giai-tich-1_bui-xuan-dieu_bai-giang-giai-tich-1-bui-xuan-dieu-vien-toan-ung-dung-tin-hoc-bkhn - [cuuduongthancong.com]

Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Bài tập

Bài tập 1.1 Tìm TXĐ của hàm số a)y =q 4 lg(tanx) b)y =arcsin 2x

Lời giải. a.TXĐ ={ π/4+kπ ≤ x ≤ π/2+kπ,k∈ Z } b TXĐ ={−1/3 ≤ x ≤1} c.TXĐ ={ x ≥0, x 6∈ Z } d TXĐ ={− π

Bài tập 1.2 Tìm miền giá trị của hàm số a.y =lg(1−2 cos x ) b y=arcsin lg x

Lời giải a MGT ={−∞ ≤ y ≤lg 3} b MGT = {− π/2 ≤ y ≤ π/2}

Lời giải a ĐS : f(x) = x 2 −2 với| x | ≥2 b ĐS: f (x) x

Bài tập 1.4 Tìm hàm ngược của hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) a.y =2x+3 b.y= 1− x

2(e x − e − x ) nên hàm số đã cho không là một đơn ánh Ta phải xét trên 2 miền:

2(e x +e − x )⇒ e x = y±p y 2 −1⇒ x = ln(y+p y 2 −1) Ta có song ánh:

2(e x +e − x ) ln(y+q y 2 −1) ← y Vậy hàm ngược trên miền x≥0 là y =ln(x+√ x 2 −1),x ≥1.

Trên miềnx≤0, tương tự ta có hàm ngược lày =ln(x−√ x 2 −1),x≤1.

Bài tập 1.5 Xét tính chẵn lẻ của hàm số a f(x) = a x +a − x (a >0) b f(x) =ln(x+√

Lời giải a ĐS: hàm số đã cho là hàm số chẵn. b ĐS: hàm số đã cho là hàm số lẻ. c ĐS: hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Bài tập 1.6 yêu cầu chứng minh rằng mọi hàm số f(x) xác định trong khoảng đối xứng (-a, a) có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ Điều này có nghĩa là bất kỳ hàm số nào trong khoảng này đều có thể phân tách thành hai thành phần: một thành phần đối xứng với trục tung và một thành phần không đối xứng, thể hiện tính chất của hàm số lẻ Sự phân tích này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của hàm số và ứng dụng của nó trong toán học.

Lời giải Với mỗi f(x) bất kì ta luôn có f(x) = 1

| {z } h ( x ) trong đóg(x) là một hàm số chẵn, cònh(x)là một hàm số lẻ.

Bài tập 1.7 Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có) a f(x) = Acosλx+Bsinλx

3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 9 b f(x) =sinx+1

Lời giải a) Giả sử T>0là một chu kì của hàm số đã cho Khi đó f(x+T) = f(x)∀ x ∈ R

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kìT = 2π

| λ |. b Theo câu a) thì hàm số sinx tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số sin 2x tuần hoàn với chu kìπ, hàm sốsin 3xtuần hoàn với chu kì 2π

3sin 3x tuần hoàn với chu kì T=2π c f(x) =sin 2 x= 1−cos 2x

2 tuần hoàn với chu kìT =π d Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kìT >0.Khi đó sin(x+T) 2 =sin(x 2 )∀ x.

2 Cho x=√ π⇒ k là số chính phương Giả sửk=l 2 ,l ∈ Z, l >0.

2 ta suy ra điều mâu thuẫn.

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.

Bài tập 1.8 Cho f(x) = ax+b, f(0) =−2, f (3) = −5 Tìm f (x).

Bài tập 1.9 Cho f(x) = ax 2 +bx+c, f(−2) =0, f(0) =1, f(1) =5 Tìm f(x).

Bài tập 1.11 Giả sử f(x) + f(y) = f(z) Xác địnhznếu: a f(x) = ax,a 6=0 b f(x) = arctanx c f(x) = 1 x d f(x) = lg1+x

Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một quy tắc nhất định Các khái niệm liên quan đến dãy số bao gồm dãy đơn điệu, dãy bị chặn, và giới hạn của dãy Để xác định sự tồn tại của giới hạn, có các tiêu chuẩn như tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu và tiêu chuẩn Cauchy Các phép toán trên dãy số cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và phân tích chúng.

1 Nhắc lại định nghĩa dãy số và các khái niệm về dãy bị chặn, đơn điệu

2 Định nghĩa giới hạn dãy số và nêu một ví dụ Các khái niệm về dãy số hội tụ, phân kỳ Nêu tính chất giới hạn nếu có là duy nhất, mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

5 Các tiêu chuẩn hội tụ

(a) Đơn điệu bị chặn, ví dụ mô tả sốe.

(c) Định nghĩa dãy Cauchy, tiêu chuẩn Cauchy Nêu ví dụ dãy (a n ): a n =1+1

Bài tập

Bài tập 1.12 Tìm giới hạn của các dãy số sau: a x n =n−p n 2 − n b x n =q n(n+a)− n c x n =n+p 3 1− n 3 d x n = n

2 c ĐS: 0 d ĐS: phân kì e ĐS: 0

Bài tập 1.13 Xét dãy sốx n =x n − 1 + 1 x n − 1 ,x 0 =1. a Chứng minh rằng dãy { x n }không có giới hạn hữu hạn. b Chứng minh rằng lim n → ∞ x n = +∞.

Bài tập 1.14 Xétu n = (1+ 1 n) n Chứng minh rằng{ u n } là một dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

1! + .+ 1 n!.Chứng minh rằng{ s n } tăng và bị chặn.

Lời giải Chú ý : lim n → + ∞ u n = lim n → + ∞ s n =e.

Để chứng minh dãy số {u_n} với công thức u_{n+1} = 2 + u_n là một dãy số tăng và bị chặn, ta có 0 ≤ u_n ≤ 2 Theo tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn, dãy {u_n} sẽ hội tụ Giả sử giới hạn lim n → ∞ u_n = a, với 0 < a < 2, từ phương trình u_{n+1} = 2 + u_n, khi n tiến tới vô cùng, ta có a^2 = a + 2.

Bài tập 1.18 Tính lim n → + ∞ (n−√ n 2 −1)sinn.

Lời giải lim n → + ∞ (n−√ n 2 −1)sinn= lim n → + ∞ sinn n+√ n 2 −1 =0(theo tiêu chuẩn kẹp)

Bài tập 1.19 Tính lim n → + ∞ [cos(lnn)−cos(ln(n+1))].

Lời giải Ta có cos(lnn)−cos(ln(n+1)) =−2 sin lnn+ln(n+1)

0 ≤ |cos(lnn)−cos(ln(n+1))| ≤2 sinln n + n 1

2 =0nên theo nguyên lý giới hạn kẹp n →lim+ ∞ [cos(lnn)−cos(ln(n+1))] = 0

Bài tập 1.20 Chứng minh rằng lim n → + ∞ n

2 n < 2 n−1 Dùng nguyên lý kẹp ta có điều phải chứng minh.

Bài tập 1.21 Chứng minh rằng lim n → + ∞

Bài tập 1.23 Chứng minh rằng lim n → + ∞

2 α 2 n ⇒ α 2 n < 2 n−1 Áp dụng nguyên lý giới hạn kẹp ta có lim n → ∞ α n =0 Vậy lim n → ∞

Bài tập 1.24 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh rằng dãy số u n = 1+ 1

Bài tập 1.25 Chứng minh rằng nếu lim n → + ∞ a n =athì lim n → + ∞ a 1 +a 2 + .a n n =a.

Bài tập 1.26 Chứng minh rằng nếu lim n → + ∞ a n =a,a n >0∀ n thì lim n → + ∞

1 Định nghĩa giới hạn hàm số

(a) Nêu các định nghĩa:lim f(x) trong quá trình x→ x o , x → x o + , x → x − o , x →∞ (b) Tính duy nhất của giới hạn

3 Giới hạn của hàm hợp:

Nếu có lim x → x o u(x) = u o , lim u → u o f(u) = f(u o )và có hàm hợp f (u(x)) thì lim x → x o f (u(x)) f(u o ). Áp dụng lim x → x o A(x) B ( x ) =e x lim →xo B ( x ) ln A ( x )

Bài tập 1.28 Tìm giới hạn a lim x → + ∞ q x+p x+√

6 Vô cùng lớn, vô cùng bé 15 § 6 V Ô CÙNG LỚN , VÔ CÙNG BÉ

Vô cùng bé (VCB)

1 Định nghĩa; nêu mối liên hệ x lim→ a f(x) = `⇐⇒ f (x) = `+α(x); trong đóα(x)−VCB trong quá trìnhx →a Phân biệt với khái niệm rất bé.

(a) Tổng hai VCB (đối với một VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó). (b) Tích của VCB với một đại lượng bị chặn.

3 So sánh các VCB trong cùng một quá trình

(a) VCB cùng bậc, VCB tương đương

Nêu các công thức thay tương đương hay dùng trong quá trình x→0 x ∼sin x ∼tan x ∼arcsin x ∼arctan x

2 (b) Vô cùng bé bậc cao i Định nghĩa ii Hiệu hai VCB tương đương iii Tích hai VCB

4 Qui tắc ngắt bỏ các VCB và qui tắc thay tương đương

(a) Nếuα ∼ α, β ∼ β thì lim α β =lim α β; lim(α.γ) = lim(α.γ)

5 Ứng dụng khử một số dạng vô định

Chú ý: Học sinh hay nhầm

• Thay tương đương khi có hiệu hai VCB

Vô cùng lớn (VCL)

2 Mối liên hệ giữa VCB và VCL Từ đó suy ra các kết quả tương tự như đối với các VCB.

3 Qui tắc thay tương đương và ngắt bỏ VCL.

. Chú ý: Còn tồn đọng một số dạng vô định, ví dụ lim x → 0 x−sin x x 3 ; lim x → 0 + x sin x ;

Bài tập

Bài tập 1.29 Tìm giới hạn a lim x → 0

6 Vô cùng lớn, vô cùng bé 17

Bài tập 1.30 Tìm giới hạn a lim x → a sinx−sin a x− a

Lời giải a ĐS :cosa b ĐS : 0 c ĐS : −1

Bài tập 1.31 Tìm giới hạn a lim x → ∞ x 2 −1 x 2 +1 x−1 x+1 b lim x → 0 + (cos√ x) 1 x (1 ∞ ) c lim x → ∞ [sin(ln(x+1))−sin(lnx)] d lim n → ∞ n 2 (√ n x− n+1 √ x),x>0

Lời giải a) Đây không phải là dạng vô định, lim x → ∞ x 2 −1 x 2 +1 x x+1 − 1

=1. b) Áp dụng công thức lim x → x 0

A(x) B ( x ) =e x→x lim 0 B ( x ) ln A ( x ) x lim→ 0 + ln cos√ x 1 x

2 (L’Hospital) nên x lim→ 0 + ln cos√ x 1 x

Bài tập 1.32 Khix→0cặp VCB sau có tương đương không ? α(x) q x+√ x vàβ(x) = e sin x −cos x

Bài tập 1.33 Tìm giới hạn Áp dụng lim x → x 0 A(x) B ( x ) =e x lim → x 0 B ( x ) ln A ( x ) a lim x → 0 + (1−2x ) 1 x (1 ∞ ) b lim x → π 2 (sinx) tg x (1 ∞ ) c lim x → 0

Lời giải. a ĐS: e − 2 b ĐS:1 c ĐS:1 d ĐS:e e ĐS: α− β f ĐS: 1 g ĐS: a a (lna−1) § 7 H ÀM SỐ LIÊN TỤC

1 Định nghĩa: Cho f(x) xác định trong một lân cận nào đó của x o (xác định cả tại x o ) nếu có lim x → x o = f(x o ) (∀ ε >0,∃ δ (ε,x o ) >0 :∀ x,| x − x o | < δ ta có| f (x)− f (x o )| < ε ).

2 Liên tục một phía và mối quan hệ với liên tục.

3 Các khái niệm hàm liên tục trên một khoảng, một đoạn Hình ảnh hình học.

4 Các phép toán số học đối với các hàm số cùng liên tục (tại x o , bên phải x o , bên trái x o ).

5 Sự liên tục của hàm ngược

7 Hàm số liên tục 19 Định lý 1.1 (Sự liên tục của hàm ngược)

Nếu X là một khoảng, y = f(x) đồng biến (nghịch biến) liên tục trên X Khi đó có hàm ngượcy =g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) và liên tục trên f(X).

Ví dụ: Các hàm số lượng giác ngược là liên tục trên tập xác định của chúng.

6 Sự liên tục của hàm hợp

Suy ra kết quả: X-khoảng, đoạn, nửa đoạn.

Mọi hàm số sơ cấp xác định trên Xthì liên tục trênX.

7 Các định lý về hàm liên tục Định lý 1.2 Nếu f (x) liên tục trên khoảng (a,b) mà giá trị f (x o ),x o ∈ (a,b) dương (hay âm) thì tồn tại một lân cận U (x o ) sao cho∀ x ∈ U (x o ), f (x) cũng dương hay âm. Hình ảnh hình học. Định lý 1.3 Nếu f(x)liên tục trên đoạn[a,b]thì nó bị chặn trên đoạn đó Hình ảnh hình học. Định lý 1.4 Nếu f(x) liên tục trên đoạn[a,b]thì nó đạt được GTLN, NN trên đoạn này Hình ảnh hình học.

* Liên tục đều, hình ảnh hình học của liên tục đều. Định lý 1.5 (Định lý Cantor)

Nếu f (x) liên tục trên[a,b] thì nó liên tục đều trên đó (thay[a,b]bằng khoảng(a,b) thì định lý không còn đúng) Mô tả hình học. Định lý 1.6 (Định lý Cauchy)

Nếu f(x)liên tục trên đoạn [a,b] và có f(a).f(b) 1 c ĐS: n >2

Bài tập 1.44 Chứng minh rằng hàm số f(x) = | x − a | ϕ (x), trong đó ϕ(x)là một hàm số liên tục và ϕ(a) 6=0, không khả vi tại điểm x=a.

Bài tập 1.45 Tìm vi phân của hàm số a.y = 1 aarctg x a(a6=0) b.y=arcsinx a(a 6=0) c.y= 1

Gợi ý & Đáp số. a.dy = dx a 2 +x 2 b.dy = √ dx a 2 − x 2 (signa) c.dy = dx x 2 − a 2 d dy = √ dx x 2 +a

Bài tập 1.46 Tìm a I = d d(x 3 )(x 3 −2x 6 − x 9 ) b J = d d(x 2 )(sin x x ) c.K = d (sinx) d(cosx)

Bài tập 1.47 Tính gần đúng giá trị của biểu thức a.lg 11 b.r 7

Lời giải a) Xét f(x) = lgx,x 0 ,4 x =1,ta cólg 11 ≈lg 10+ 1

Bài tập 1.48 Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số a.y= x

Bài tập 1.49 Tính đạo hàm cấpn của hàm số a.y = x x 2 −1 b y = 1 x 2 −3x +2 c.y = √ 3 x

(1+x) n + 1 3 , n ≥2, x 6=1 d Tínhy 0 rồi dự đoán và chứng minh bằng quy nạp y ( n ) = (a 2 +b 2 ) n 2 e ax sin(bx+c+nϕ), ở đó, sinϕ= √ b a 2 +b 2 , cosϕ= √ a a 2 +b 2

Bài tập 1.50 Tính đạo hàm cấpn của hàm số

9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 27

2cos 2xnêny ( n ) =−2 n − 1 cos 2x + nπ 2 6/ y =sin 3 x= 3 4 sinx− 1 4 sin 3x nên y ( n ) = 3 4 sin x+ nπ 2 − 1 4 3 n sin 3x + nπ 2

7/ y =sinax sinbx = 1 2 [cos(a− b )x−cos(a+b)x] nên y ( n ) = 1

8/ y =sin 2 ax cosbx= cos bx

9/ y =sin 4 x+cos 4 x = 3 4 + 1 4 cos 4xnêny ( n ) =4 n − 1 cos 4x+ nπ 2

10/ y ( n ) =a n xcos ax+ nπ 2 +na n − 1 cos ax+ ( n − 2 1 ) π 11/ y ( n ) =a n x 2 sin ax+ nπ 2 +2na n − 1 xsin ax+ ( n − 2 1 ) π +n(n−1)a n − 2 sin ax+ ( n − 2 2 ) π 12/ y ( n ) =a n x 2 cos ax+ nπ 2 +2na n − 1 xcos ax+ ( n − 2 1 ) π +n(n−1)a n − 2 cos ax+ ( n − 2 2 ) π 13/ y ( n ) = (n−1)!b n

(a 2 − b 2 x 2 ) n [(a+bx) n + (−1) n (a− bx ) n ] § 9 C ÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Các định lý về hàm khả vi

1 Cực trị của hàm số: Nên dùng định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f(x) liên tục trên (a,b), ta nói hàm số đạt cực trị tại điểm x o ∈ (a,b) nếu ∃ U (x o ) ⊂ (a,b) sao cho f(x)− f (x o ) không đổi dấu ∀ x ∈

• Nếu f(x)− f (x o ) 0thì ta nói hàm số đạt cực đại tại x o

2 Định lý Fermat (có chứng minh) Định lý 1.9 Cho f (x) liên tục trên khoảng (a,b), nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x o ∈ (a,b) và có đạo hàm tại x o thì f 0 (x o ) =0.

Có chứng minh và mô tả hình học, chú ý giả thiết liên tục ở đây là do định nghĩa cực trị.

3 Định lý Rolle: có chứng minh và mô tả hình ảnh hình học

4 Định lý Lagrange: Có chứng minh và mô tả hình ảnh hình học

Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange, trong khi định lý Lagrange lại là một trường hợp riêng của định lý Cauchy Các giả thiết trong những định lý này đóng vai trò quan trọng và cần thiết.

(b) Nêu dạng khác của định lý Lagrange:

∆f = f 0 (x o +θ∆x), θ ∈ (0, 1).(c) Nên tìm một ví dụ hấp dẫn về định lý Lagrange.

Qui tắc L’Hospital

Qui ước nói một quá trình nào đó là hiểu x→ x o , x → x + o , x→ x − o , x →+∞, x → −∞ , x →∞

9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 29

Nếu f(x) và g(x) là các biến đổi liên tục (VCB) trong cùng một quá trình và lim f'(x) g'(x) = A (hữu hạn hoặc vô hạn), thì lim f(x) g(x) cũng sẽ bằng A trong quá trình đó.

(a) Nếu f(x) và g(x)liên tục trong lân cận điểm x o , g 0 (x o ) 6=0,∀ x 6= x o , f(x o ) =g(x o ) = 0.

Khi x→ x o thìc→ x o Do lim x → x o f 0 (x) g 0 (x) = A, suy ra x lim→ x o f(x) g(x) = lim c → x o f 0 (c) g 0 (c) =A.

(b) Nếu chỉ có lim x → x o f(x) = lim x → x o g(x) = 0 mà các hàm số chưa chắc đã xác định tại x o Ta xây dựng

. (Thay VCB bằng VCL trong qui tắc 1.)

• Hai qui tắc trên chỉ là điều kiện đủ để tìmlim f(x) g(x).

Có thể nêu ví dụ lim x → 0 x 2 sin1 x sinx

Trong quá trình tìm giới hạn có dạng vô định, việc kết hợp thay tương đương với áp dụng quy tắc L'Hospital là cần thiết Quy tắc L'Hospital có thể được sử dụng nhiều lần để đạt được kết quả chính xác.

Bài tập 1.51 Chứng minh rằng phương trình x n +px+q vớinnguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếun chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếunlẻ.

Khi n là số chẵn và phương trình có ba nghiệm thực x1 < x2 < x3, tồn tại c1 ∈ (x1, x2) và c2 ∈ (x2, x3) sao cho f'(c1) = f'(c2) = 0 Điều này cho thấy phương trình x^n - 1 = -n*p có hai nghiệm thực, điều này mâu thuẫn với giả thiết n chẵn.

Theo định lý Rolle, nếu một phương trình có 4 nghiệm thực x1 < x2 < x3 < x4, thì phương trình xn - 1 + n p có tối đa 3 nghiệm thực Tuy nhiên, theo chứng minh trước đó, phương trình này không thể có quá 2 nghiệm thực cho n - 1 chẵn.

Bài tập 1.52 Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f(b)− f (a) g(b)− g (a) = f 0 (c) g 0 (c) không áp dụng được với các hàm số f(x) = x 2 ,g(x) = x 3 ,−1≤ x ≤1

Bài tập 1.53 Chứng minh các bất đẳng thức a.|sin x −sin y | ≤ | x − y | b a − b a 1+x ∀ x 6=0 b x− x 6 3 0 c tgx > x + x 3 3 ∀0< x < π

Bài tập 1.63 Chứng minh rằng với mọix >0 ta có

Bài tập 1.64 Tính các giới hạn sau

[c.] lim x → 0 x − 5 [sin(sinx)− x p 3 1− x 2 ] [d.] lim x → 0[ln(1+x) x 1 2 − e x x]

Phép tính tích phân một biến số

Nguyên hàm của hàm số

Chương này giới thiệu về tích phân, phép toán ngược của đạo hàm Đặt câu hỏi liệu có tồn tại một hàm số F(x) mà đạo hàm của nó bằng f(x) hay không Nếu có, chúng ta cần xác định tất cả các hàm số F(x) thỏa mãn điều kiện này Theo định nghĩa, hàm số F(x) được xem là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một tập nhất định.

Nếu F 0 (x) = f(x) với mọi x thuộc D, hoặc dF (x) = f(x)dx, thì nguyên hàm của một hàm số không phải là duy nhất Nếu biết một nguyên hàm, ta có thể xác định tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó Định lý 2.10 khẳng định rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng D, thì

• Hàm sốF(x) +Ccũng là một nguyên hàm của hàm số f(x), vớiClà một hằng số bất kỳ.

• Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F (x) +C, trong đó C là một hằng số.

Biểu thức F(x) + C đại diện cho tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x), trong đó mỗi hằng số C tương ứng với một nguyên hàm cụ thể Tích phân bất định của hàm số f(x) là tập hợp các nguyên hàm F(x) + C, với x thuộc miền D, trong đó C là một nguyên hàm của f(x) và C là một hằng số bất kỳ Tích phân bất định của f(x)dx được ký hiệu là ∫ f(x)dx, trong đó f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

VậyZ f(x)dx =F(x) +C, với F(x)là nguyên hàm của f(x).

Các tính chất của tích phân bất định

Z f(x)dx (alà hằng số khác 0)

Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung

Z g(x)dx trong đóα,βlà các hằng số không đồng thời bằng 0.

Các công thức tích phân dạng đơn giản

Các phương pháp tính tích phân bất định

1 Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân đơn giản ở trên Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định:

Chúng ta thực hiện phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của các hàm số đơn giản mà đã biết nguyên hàm Các hằng số sẽ được đưa ra bên ngoài dấu tích phân để đơn giản hóa quá trình tính toán.

2 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân

Nhận xét: nếu Z f(x)dx = F(x) +C thìZ f(u)du = F(u) +C , trong đóu = u(x) là một hàm số khả vi liên tục Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x.

Bằng cách áp dụng tính chất này, chúng ta có thể chuyển đổi biểu thức tích phân \(\int f(u(x))u'(x)dx\) thành dạng \(g(x)dx\), trong đó \(f(x)\) là một hàm số mà chúng ta dễ dàng xác định được nguyên hàm \(F(x)\) Do đó, tích phân cần tính sẽ được biến đổi một cách thuận lợi.

Trong trường hợp đơn giảnu(x) = ax+bthìdu =adx, do đó nếuZ f(x)dx =F(x) +C ta suy ra

Ví dụ 1.2 (a) Z sin axdx =− 1 a cos ax +C

(c) Z e sin x cos xdx Z e sin x d(sinx) = e sin x +C

2 −arcsin x arcsin xd (arcsinx) nên

Để tính tích phân I Z f(x)dx với f(x) là hàm số liên tục, ta có thể thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t) Mục tiêu là chuyển đổi tích phân ban đầu sang một tích phân khác, trong đó biểu thức dưới dấu tích phân theo biến t có thể dễ dàng tìm được nguyên hàm.

Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục Khi đó ta có

Giả sử hàm số g(t) = f [ϕ(t)]ϕ 0 (t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm sốx =ϕ(t), ta có

Phép đổi biến thứ hai: Đặtt = ψ(x), trong đóψ(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f(x) = g[ψ(x)]ψ 0 (x) Khi đó ta có

Giả sử hàm sốg(t)có nguyên hàm là hàm số G(t), ta có

Khi áp dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân bất định, cần lưu ý rằng sau khi xác định được nguyên hàm theo biến số mới, bạn phải chuyển đổi trở lại thành hàm số của biến số cũ.

Ví dụ 1.3 (a) Tính tích phân I 1 Z r x

2− x dx Đặt x =2 sin 2 t,t∈ 0, π 2 , ta tính được dx=4 sintcostdt, r x

Z sin 2 tdt=2t−sin 2t +C Đổi lại biến x, vớit=arcsinp x

(b) Tính tích phân I 2 Z e 2x e x +1dx Đặt e x =t⇒ e x dx =dt, ta có

1− 1 t+1 dt =t−ln| t +1|+C Đổi lại biến x, ta được I 2 =e x −ln(e x +1) +C.

√1+4 x Đặt t=2 − x ⇒ dt =−2 − x ln 2dx , tích phân trở thành

√t 2 +1 =− 1 ln 2ln(t+p t 2 +1) +C Đổi lại biến x , ta có:

4 Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục Theo quy tắc lấy vi phân d(uv) =udv+vdu⇒ uv Z d(uv) Z udv+

Để thực hiện tích phân I \( \int f(x)dx \), ta cần biểu diễn \( f(x)dx \) dưới dạng \( [g(x)h(x)]dx = g(x) [h(x)dx] = udv \) và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số \( u=g(x), v=\int h(x)dx \) Phương pháp này thường được sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa các hàm số như \( \ln x \), \( a^x \), hàm số lượng giác và hàm số lượng giác ngược.

• Trong các tích phân Z x n e kx dx;

Z x n coskxdx, nnguyên dương, ta thường chọn u=x n

• Trong các tích phân Z x α ln n xdx, α 6= −1 và n nguyên dương, ta thường chọn u=ln n x.

Z x n arcsinkxdx, n nguyên dương, ta thường chọnu =arctgkxhoặcu =arcsinkx;dv =x n dx.

Ví dụ 1.4 Tính các tích phân bất định

(b) I 2 Z x 2 sinxdx Đặt u =x 2 ,dv =sinxdx ⇒ v =−cos x , ta được

Z xcosxdx Đặt u=x,dv =cosxdx ⇒ v =sinx, ta được

(x+1) 2 Đặt u =xe x ;dv = ( x + dx 1 ) 2 ⇒ v =− x + 1 1 ; du = (x+1)e x dx, ta được

1)ln(t−1) +2(t+1)ln(t+1)−4t +CĐổi lại biến x ta có

√1− x 2 dx Đặt u=arcsinx;dv = √ xdx

(f) I 6 Z e x cos 2xdx Đặt u =cos 2x;dv=e x dx⇒ v =e x ;du =−2 sin 2xdx , ta được

Z e x sin 2xdx Đặt u =sin 2x;dv=e x dx⇒ v =e x ;du =2 cos 2xdx, ta được

=e x cos 2x+2e x sin 2x−4I 6+5C Vậy I 6 = e 5 x (cos 2x+2 sin 2x) +C.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá tích phân bất định của các dạng hàm cơ bản như hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác và hàm chứa căn thức Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ trình bày một số phương pháp giải chung cho các loại tích phân này.

Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 2.4 Một hàm phân thức hữu tỷlà một hàm số có dạng f(x) = Q P ( ( x x ) ) , trong đó

P(x) và Q(x) là các đa thức của x Một phân thức hữu tỷ được coi là phân thức hữu tỷ thực sự khi bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số.

Bằng phép chia đa thức, chia P(x) choQ(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng f(x) = H(x) + r (x)

Trong phép chia đa thức, Q(x) là thương, H(x) là đa thức, và r(x) là phần dư Khi đó, Q(r(x)) tạo thành một phân thức hữu tỷ Để tìm nguyên hàm của đa thức, ta sử dụng công thức tích phân cơ bản.

Chúng ta sẽ nghiên cứu việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ Q(r(x)) trong hai trường hợp đặc biệt: khi mẫu số là đa thức bậc nhất và khi mẫu số là đa thức bậc hai Đối với những trường hợp có mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp hệ số bất định để chuyển đổi về hai trường hợp này.

Phương pháp hệ số bất định

Để phân tích một phân thức hữu tỷ thực Q(P(x)) thành tổng hoặc hiệu của các phân thức hữu tỷ thực có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai, trước tiên cần phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm.

Q(x) = (x− α 1) a 1 (x− α m ) a m (x 2 +p 1 x+q 1 ) b 1 (x 2 +p n x+q n ) b n trong đóα i ,p j ,q j là các hằng số, a i ,b j là các số nguyên dương,1≤ i ≤ m; 1≤ j ≤ n.

Nếu trong phân tích của đa thức Q(x) có xuất hiện đơn thức (x−α)^a, với a là số nguyên dương, thì trong phân tích của phân thức \(\frac{Q}{P}(x)\) sẽ có các hạng tử dạng (A_i (x−α)^i), trong đó A_i là hằng số và 1 ≤ i ≤ a.

• Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x 2 +px+q) b , b là số nguyên dương thì trong phân tích của phân thức Q P ( ( x x ) ) xuất hiện các hạng tử dạng B j x + C j

( x 2 + px + q ) j , trong đóB j ,C j là các hằng số và1 ≤ j ≤ b.

Sau khi phân tích Q P ( ( x x ) ), chúng ta xác định các hằng số A i , B j , C j bằng cách quy đồng mẫu số ở hai vế và đồng nhất hệ số của x n, n∈ R Phương pháp hệ số bất định giúp chúng ta tính toán bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản.

III Z (Mx+N)dx x 2 +px+q IV Z (Mx+N)dx

Z (Mx+N)dx x 2 +px+q Z Mt+ (N− Mp/2) t 2 +a 2 dt (a q q− p 2 /4, đổi biến t =x+p/2)

Tích phân thứ nhất:Z ( t 2 Mtdt + a 2 ) m =− 2 ( m − 1 )( M t 2 + a 2 ) m−1 +C

Tích phân thứ hai có thể tính theo phương pháp tích phân từng phần như ở ví dụ trong phần trước

Ví dụ 1.5 Tính các tích phân bất định a I 1 Z x 4 − x 3 +2x 2 −2x +1

(x 2 +2)(x−1) =x+ A x−1 + Bx +C x 2 +2 Quy đồng mẫu số ở hai vế

3 = (A+B)x 2 + (C− B +2)x− C Đồng nhất hệ số của x 2 ,x và hệ số tự do, ta được

Tích phân hàm lượng giác

Xét tích phân Z R(sinx, cosx)dx với hàm dưới dấu tích phân là biểu thức hữu tỷ liên quan đến sinx và cosx Để giải quyết, ta có thể áp dụng phép đổi biến tổng quát t=tg(2t), từ đó đưa ra mối quan hệ sinx=2t.

1+t 2 tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biếnt.

Ví dụ 1.6 Tính tích phân Z sin x −cos x +2

1+sinx+cosx Đặtt=tg x 2 , suy ra

Thay lại biến cũ, ta được

1+sinx+cosxdx =−ln|1+sinx+cosx|+ln

2 Tích phân dạng Z sin m xcos n xdx , trong đó m,n là các số nguyên

• Nếu mlà số nguyên dương lẻ, ta đặtt=cosx.

• Nếu nlà số nguyên dương lẻ, ta đặtt=sinx.

• Nếu m,nlà các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: sin 2 x= 1−cos 2x

2 rồi đưa về tích phân dạng Z sin k 2xcos l 2xdx.

Ví dụ 1.7 Tính các tích phân bất định

• I 1 Z sin 3 xcos 2 xdx Đặtcos x =t⇒ −sin xdx =dtta có

Sử dụng công thức hạ bậc ta có

1 Tích phân bất định 47 Đối với tích phân I 2 sau khi sử dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất ta cũng có thể tiếp tục hạ bậc của biểu thức lượng giác dưới dấu tích phân bởi công thức sin 3 x= 3 sin x −sin 3x

4 Áp dụng vào tích phân I 2 , ta có:

3 Tích phân Z R(sinx, cosx)dx có dạng đặc biệt

• Đặt t=cosxnếuR(−sin x, cos x ) = − R (sinx, cosx).

• Đặt t=sinxnếuR(sinx,−cos x ) = − R (sinx, cosx).

• Đặt t=tgxnếu R(−sin x,−cos x ) = R(sinx, cosx).

Ví dụ 1.8 Tính tích phân Z dx sinxcos 4 x Đặt t =cosx ⇒ dt =−sin xdx , ta có

Tích phân các biểu thức vô tỷ

Xét tích phân có dạng Z R(x,√ α 2 ± x 2 )dx, Z R(x,√ x 2 − α 2 )dx, trong đó R(u,v) là các hàm số hữu tỷ.

• Đặtx =αtgtđối với tích phânZ R(x,√ α 2 +x 2 )dx.

• Đặtx =αsinthoặc x=acostđối với tích phân Z R(x,√ α 2 − x 2 )dx.

• Đặtx = α cost hoặcx = α sint đối với tích phânZ R(x,√ x 2 − α 2 )dx.

Nói chung việc tính tích phân của các biểu thức vô tỷ thông thường được đưa về việc tính bốn loại tích phân cơ bản sau

Ví dụ 1.9 Tính các tích phân sau

1 Z (1− x 2 ) − 3 2 dx Đặtx =sint,t∈ − π 2 , π 2 ⇒ dx =costdt,√

(1− x 2 ) − 3 2 dx Z dt cos 2 t =tgt+C=tg(arcsinx) +C

1 + x 2 Đặtx =tgt⇒ dx = cos dt 2 t , ta có

1+x 2 Z costdt sin 2 t =− 1 sint+C=− 1 sin(arctgx) +C

Để tính các tích phân có dạng \( \int \frac{ax + b}{cx + d} \, dx \), ta đặt \( t = ax + b \) và \( k \) là bội chung nhỏ nhất của các chỉ số căn Qua đó, chúng ta có thể chuyển đổi về dạng hữu tỉ và thực hiện các phép tính tích phân một cách dễ dàng hơn.

(R là hàm hữu tỉ) § 2 T ÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định nghĩa tích phân xác định

Định nghĩa 2.5 đề cập đến hàm số f(x) được xác định và bị chặn trên khoảng [a,b] Để phân tích, ta chia khoảng này thành n đoạn nhỏ [x_i, x_{i+1}] với a = x_0 < x_1 < < x_n = b Trong mỗi đoạn [x_i, x_{i+1}], ta chọn một điểm ξ_i thuộc đoạn đó để thiết lập biểu thức.

Biểu thức S n được gọi là tổng tích phân Gọi λ = max

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I = lim λ → 0 S n, không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn điểm ξ i, thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b].

Z b a f(x)dx Trong trường hợp đó ta nói hàm số f(x)khả tích trên[a,b].

Remark 2.1 Trong định nghĩa trên ta đã xét hàm số f (x) trong khoảng đóng[a,b]tức là đã giả thiếta < b Bây giờ nếu b< a ta định nghĩaZ b a f(x)dx :=−

Z a b f(x)dxvà khi a =b ta định nghĩaZ b a f(x)dx =0.

Các tiêu chuẩn khả tích

Định lý 2.11 Điều kiện cần và đủ để hàm số bị chặn f(x) khả tích trên[a,b] là lim λ → 0 (S− s) =0, trong đó:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các định lý liên quan đến tính khả tích của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] Định lý 2.12 khẳng định rằng nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì f(x) khả tích trên đoạn này Định lý 2.13 chỉ ra rằng nếu f(x) bị chặn và có một số điểm gián đoạn trên [a,b], thì hàm số này vẫn khả tích Cuối cùng, Định lý 2.14 cho biết nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a,b], thì f(x) cũng khả tích trên đoạn [a,b].

Các tính chất của tích phân xác định

Trong các phần tiếp theo sau đây, nếu không có chú thích gì thì khi viết Z b a f(x)dx ta hiểu là f(x) được giả thiết là khả tích trên[a,b].

Cho 3 khoảng đóng[a,b],[a,c],[b,c], nếu f(x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất thì cũng khả tích trên 2 đoạn còn lại, và

• Tính chất 3.Giả thiếta < b Khi đó:

(iii) Nếu f(x) khả tích trên[a,b] thì| f (x)| khả tích trên[a,b] và:

| f (x) | dx (iv) Nếum≤ f (x)≤ M, f orallx ∈ [a,b] thì m(b− a ) ≤

• Tính chất 4.(Định lý trung bình thứ nhất)

Giả sử f(x)khả tớch trờn[a,b] vàm ≤ f (x) ≤ M,∀ x ∈ [a,b], khi đú tồn tại àsao cho:

Z b a f(x)dx =à(b− a ),m ≤ à ≤ M. Đặc biệt, nếu f(x)liên tục trên[a,b]thì tồn tại c∈ [a,b] sao cho:

• Tính chất 5.(Định lý trung bình thứ hai)

(iii) g(x) không đổi dấu trên[a,b].

Z b a g(x)dx,m ≤ à ≤ M. Đặc biệt nếu f(x)liên tục trên[a,b]thì tồn tại c∈ [a,b]sao cho:

Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân)

Giả sử f(x) là một hàm khả tích trên đoạn [a,b], thì với mỗi x thuộc [a,b], hàm f cũng khả tích trên đoạn [a,x] Chúng ta định nghĩa hàm số F(x) bằng tích phân Z từ a đến x của f(t) dt Theo Định lý 2.15, nếu f(t) khả tích trên [a,b], thì F(x) sẽ liên tục trên đoạn [a,b].

(2) Nếu f liên tục tại x 0 ∈ [a,b] thì F (x) có đạo hàm tại x 0 và F 0 (x 0 ) = f(x 0 ). Định lý 2.16 (Công thức Newton-Leibniz) Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng[a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x)thì

Các phương pháp tính tích phân xác định

1 Sử dụng công thức tích phân từng phần.

Giả sửu(x),v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong[a,b] Khi đó:

2 Sử dụng các phép đổi biến số. Định lý 2.17 (Đổi biến x := ϕ ( t )) Xét I Z b a f(x)dx với f (x) liên tục trong [a,b]. Thực hiện phép đổi biến x= ϕ(t) thoả mãn 3 điều kiện sau:

(1) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trong[a,b].

(3) Khi t biến thiên trong [α,β] từ α đến β thì x = ϕ(t) biến thiên liên tục từ a đến b.

Khi đó ta có công thức:

Định lý 2.18 về đổi biến trong tích phân cho biết rằng nếu tích phân cần tính có dạng \( I = \int_{a}^{b} f[\phi(x)] \phi'(x) dx \) với \( \phi(x) \) là hàm biến thiên đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a, b]\), thì có thể áp dụng phương pháp đổi biến \( t := \phi(x) \) để tính toán.

3 Sử dụng các phép truy hồi, quy nạp.

Hệ thống bài tập

Dạng 1 Tính đạo hàm của hàm tích phân.

Chúng ta có các công thức sau:

= f(g(x)).g 0 (x) (2.3) Công thức 2.2 chúng ta đã biết trong Định lý 2.15, còn công thức 2.3 được suy ra từ công thức đạo hàm của hàm hợp.

Bài tập 2.1 Tính các đạo hàm: a) d dx

Z x y e t 2 dt=− e x 2 (do ylà hằng số) b) d dy

Z y x e t 2 dt =e y 2 ( dox là hằng số) c) d dx x 3

Dạng 2 Tính giới hạn của hàm số dựa vào công thức L’Hospital và đạo hàm của hàm tích phân.

Bài tập 2.2 Tìm giới hạn: a)A = lim x → 0 + sinZ x

Lời giải: a) Nhận xét: lim x → 0 + sinZ x

√sintdt =0nên áp dụng quy tắc L’Hospital ta có: x lim→ 0 + sinZ x

! 0 = lim x → 0 + ptg(sinx) cosx psin(tgx) cos 1 2 x =1⇒ A =1 b) Nhận xét: lim x → + ∞

√x 2 +1 = ∞ nên áp dụng quy tắc L’Hospital ta có: x →lim+ ∞

Dạng 3 Sử dụng công thức tổng tích phân để tính giới hạn của một số dãy số đặc biệt.

Xuất phát từ công thức tính tổng tích phân 2.1

Nếu chúng ta chia đoạn [a,b] thành n khoảng có độ dài bằng nhau bởi phân hoạch a x 0 < x 1 < < x n =b, trong đóx i =a+ (b− a ) n i thì:

∑ i = 0 f(ξ i ) vớiξ i ∈ [x i ,x i + 1 ] Khi đó nếu hàm f(x) khả tích trên[a,b], và chọnξ i =x i ta được công thức: n lim→ ∞ b− a n

Còn nếu chọn ξ i = x i + 1 ta được công thức: n lim→ ∞ b− a n

Bài tập 2.3 Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn: a/ A= lim n → ∞ h 1 nα + nα 1 + β + nα + 1 2β +ã ã ã+ nα +( 1 n − 1 ) β i b/ B = lim n → ∞

2 Tích phân xác định 55 a/ Viết

# Áp dụng công thức 2.4 vớia =0,b =1, f(x) = α + 1 βx ta được:

Nếu áp dụng công thức 2.5 vớia =0,b =1, f(x) = α + 1 βx ta được:

A 0 = lim n → ∞ h 1 nα+β+ 1 nα+2β+ã ã ã+ 1 nα+nβ i=A = 1 βlnα+β α b/ Áp dụng công thức 2.5 vớia =0,b =1, f(x) = √

Nếu áp dụng công thức 2.4 vớia =0,b =1, f(x) = √

Dạng 3 Tính tích phân xác định (xem mục 2.5)

Bài tập 2.5 Tính các tích phân: a.

Lời giải: a/ Các câu a,b,c dễ, giải bằng phương pháp tích phân từng phần Đáp số như sau:

Vậy theo phép truy hồi ta có I n = 1 2 n I 0 = 2 n+1 π

Dạng 4 Chứng minh các đẳng thức tích phân

Bài tập 2.7 Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên[0, 1]thì: a/ π 2

Lời giải Đây là bài tập dễ, câu a) đặtt = π 2 −x, còn câu b) đặtt=π− x.

Bài tập 2.8 Áp dụng kết quả của bài tập 2.7 hãy chứng minh π 2

Bài tập 2.9 Giả sử f(x) liên tục trên[− a, a ](a >0), hãy chứng minh

0 nếu f (x) là hàm số lẻ trên[− a, a ] 2

0 f(x)dx nếu f(x) là hàm số chẵn trên[− a, a ]

Bài tập 2.10 Cho f (x)liên tục, chẵn trên[− a, a ], chứng minh

0 f(x)dx với0≤ b 6=1 Áp dụng tính

Z b a x m (a+b− x ) n dx Z b a x n (a+b− x ) m dx Áp dụng tính I n Z1

Dạng 5 Chứng minh các bất đẳng thức tích phân

Bài tập 2.12 Cho f(x),g(x) là hai hàm số khả tích trên [a,b] Khi đó f 2 (x),g 2 (x) cũng khả tích trên[a,b] Chứng minh bất đẳng thức sau(a < b )

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt)

Lời giải Xét 2 trường hợp:

Khi đó ta có dấu”=”xảy ra.

3 Các ứng dụng của tích phân xác định 59

TH2 Nếu ít nhất một trong hai tích phân

Z b a g 2 (x)dx khác 0, không mất tính tổng quát ta giả sử

Biểu thức ở vế trái là tam thức bậc 2 đối vớiαnên 2.6 đúng với mọiα ∈ R khi và chỉ khi

Ta có điều phải chứng minh. § 3 C ÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Tính diện tích hình phằng

1 Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ Descartes (tính diện tích "hình thang cong")

Trong đó giả thiết rằng phương trình ϕ(t) = a,ψ(t) = b có nghiệm duy nhất là t 1 ,t 2 và ϕ,ψ,ϕ 0 ∈ C [t 1 ,t 2 ].

Bài tập 2.13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a/ Đường paraboly =x 2 +4và đường thẳngx− y +4 =0. b/ Parabol bậc bay= x 3 và các đườngy=x,y =2x. c/ Đường tròn x 2 +y 2 =2xvà paraboly 2 =x d/ Đườngy 2 = x 2 − x 4

Các câu a), b), c) có thể vẽ hình và tính toán dễ dàng như sau: a.S Z1

Để khảo sát và vẽ đồ thị đường cong C: y² = x² - x⁴ trong điều kiện 0 ≤ x ≤ 1, ta có thể lý luận rằng nếu điểm M(x,y) thuộc C thì các điểm M₀(±x, ±y) cũng thuộc C Từ đó, ta có thể kết luận rằng diện tích S sẽ bằng 4 lần diện tích S(D), trong đó D là miền giới hạn bởi đường cong.

0≤ x ≤1 y=√ x 2 − x 4 Do miền D nằm hoàn toàn trong hình vuông 0≤ x ≤1, 0≤ y ≤1, hơn nữa hàm số y = √ x 2 − x 4 liên tục, y (0) = y(1) = 0nên đồ thị của nó trong [0, 1] phải có hình dáng như hình vẽ dưới đây: x y

3 Các ứng dụng của tích phân xác định 61 Áp dụng công thức 2.7 ta cóS(D) Z1

2 Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ cực (tính diện tích của miền có dạng hình quạt)

Bài tập 2.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường hình timr 2 = a 2 cos 2ϕ

Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong trong toạ độ cực và nhận xét tính đối xứng của hình vẽ ta có:

Tính độ dài đường cong phẳng

Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trìnhy= f(x)

Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trình tham số:

Trường hợp đường cong ABcho bởi phương trình trong toạ độ cực:

3 Các ứng dụng của tích phân xác định 63

Bài tập 2.15 Tính độ dài đường cong a/ y =ln e e x x + − 1 1 khix biến thiên từ1 đến2. b/

 x=a(cost+ln tg 2 t ) y =asint khi tbiến thiên từ π 3 đến π 2

Nên áp dụng công thức 2.11 ta được: s Z2

Z e 2 t+1 2t(t−1) =lne 2 +1 e 2 b/ Áp dụng công thức 2.12 ta có x 0 2 (t) +y 0 2 (t) = a 2 cos 2 t sin 2 t⇒ s =a π 2

Tính thể tích vật thể

Trong trường hợp vật thể bị giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a và x = b, giả thiết rằng diện tích S của thiết diện vật thể khi cắt bởi mặt phẳng x = x₀ đã được biết.

S(x 0 ), vàS(x) là hàm số xác định, khả tích trên[a,b] Khi đó

Bài tập 2.16 Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x 2 +y 2 =a 2 và y 2 + z 2 =a 2 (a>0).

Do tính đối xứng, thể tích V = 8V0, trong đó V0 = V ∩ {x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} Từ điểm M(x, 0, 0) ∈ Ox, ta xây dựng thiết diện của V0 vuông góc với Ox, tạo thành một hình vuông có cạnh là √(a² − x²) Do đó, diện tích S(x) = a² − x² Áp dụng công thức 2.14, ta có kết quả cần thiết.

Bài tập 2.17 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z =4− y 2 , các mặt phẳng toạ độ và mặt phẳng x=a.

Lời giải:Sau khi vẽ hình và áp dụng công thức 2.14 ta có:

Trường hợp vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong

 a ≤ x ≤ b y=0 y= f(x) quanh trụcOx, trong đó f ∈ C [a,b] thì

Tương tự, nêú vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong

 c≤ y ≤ d x=0 x= ϕ(y) quanh trụcOy, trong đóϕ∈ C [c,d]thì

Bài tập 2.18 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y =2x− x 2 vày=0. a/ quanh trục Ox một vòng b/ quanh trục Oy một vòng.

Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.15 ta được:

(2x− x 2 )dx b/ Áp dụng công thức 2.16 ta được:

1−p 1− y 2 dy 3 Các ứng dụng của tích phân xác định 65

Tính diện tích mặt tròn xoay

Cho hình thang cong giới hạn bởi

 a≤ x ≤ b y =0 y = f(x) với f ∈ C 1 [a,b] Quay hình thang cong này quanh trụcOxthì ta được một vật thể tròn xoay Khi đó diện tích xung quanh của vật thể được tính theo công thức:

Tương tự nếu quay hình thang cong

Bài tập 2.19 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau a/ y =tgx, 0< x ≤ π 4 quanh trục Ox b/ x 2 a 2 + y b 2 2 =1quanh trục Oy (a > b ) c/ 9y 2 =x(3− x ) 2 , 0≤ x ≤3quanh trụcOx.

Lời giải: a/ Áp dụng công thức 2.17 ta có:

√2+1 i) b/ Nhận xét tính đối xứng của miền và áp dụng công thức 2.18 ta có:

4 Tích phân suy rộng 67 c/ Trước hết

4x Nên áp dụng công thức 2.17 ta có:

(3− x )(1+x)dx=3π § 4 T ÍCH PHÂN SUY RỘNG

Tích phân xác định được định nghĩa cho các hàm số xác định và bị chặn trên đoạn hữu hạn [a,b] Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân để bao gồm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích phân của các hàm số không bị chặn.

Tích phân suy rộng với cận vô hạn

Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,+∞)] và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn[a,A],(a ≤ A 1, và phân kỳ khi và chỉ khi α ≤1.

Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn

Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,b) và khả tích trên mọi đoạn [a,t] (với t < b bất kỳ), đồng thời lim x → b f(x) = ∞ Khi đó, b được gọi là điểm bất thường (hay điểm kỳ dị) của hàm số f(x).

Z t a f(x)dx khi t → b − , được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên khoảng[a,b)và được ký hiệu như sau:

Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, tích phân được gọi là hội tụ Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng, tích phân được xem là phân kỳ.

Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a,b]và (a,b) lần lượt nhậnx =avà x =blàm điểm bất thường.

Z t f(x)dx Đối với tích phân có hai điểm bất thườngx =a,x=b, ta có thể viết

Z b c f(x)dx khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.

Ví dụ 4.2 1 Xét sự hội tụ của tích phân

2 Xét sự hội tụ của tích phân I Z1

Tích phân suy rộng I hội tụ khi và chỉ khiα 1 thì e − x 2 < e − x mà

0 e − x 2 dxcũng hội tụ. c Khi x→ +∞,1−cos 2 x =2 sin 2 1 x ∼ 2 x 2 nên

(1− x 2 ) 5 hội tụ. e Trước hết ta có nhận xét rằngI Z π 2

0 (tgx) p dxcó điểm bất thường là x=0khi p 0 Nếu p ≥ 1, tích phân chỉ có điểm bất thường tại +∞ Khi đó, giới hạn x → +∞ của biểu thức [x^p - 1 e^(-x)] : 1/x^2 sẽ tiến tới 0.

4 Tích phân suy rộng 77 nên Z x → + ∞ x p − 1 e − x dxhội tụ.

Nếu p0 và I 2 hội tụ với p bất kì.

Tích phân \( \int_0^p \frac{1}{e^x} dx \) hội tụ khi \( p > 0 \) Mặc dù tích phân này có điểm bất thường tại \( x = 1 \), chúng ta có thể chuyển đổi nó thành tích phân thường thông qua việc đổi biến, đặt \( x = \sin \theta \) trên khoảng [0, c].

Vì f là một hàm số liên tục trên[0, 1]nên hàm hợp f(sinθ)là một hàm số liên tục và bị chặn trênh

2 i và tích phân đã cho là tích phân xác định nên hội tụ.

Bài tập 2.25 Tính các tích phân suy rộng sau a.

0 e − ax sinbxdx = − a sin bx +bcosbx a 2 +b 2 e − ax

0 e − ax cosbxdx = b sin bx − a cos bx a 2 +b 2 e − ax

= b a 2 +b 2 c Thực hiện phép đổi biến x= 1 t ta có

Hàm số nhiều biến số