Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học giải tích 12

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh GDTX trong quá trình giải toán và đề xuất các giải pháp sư phạm nhằm hạn chế và khắc phục những sai lầm này Mục tiêu là nâng cao năng lực giải toán cho học sinh và cải thiện chất lượng giảng dạy toán tại các Trung tâm GDTX.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:

- Làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản năng lực giải Toán

Nghiên cứu về năng lực giải Toán của học sinh GDTX cho thấy việc rèn luyện kỹ năng này là rất cần thiết Đặc biệt, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình dạy học Giải Tích 12 không chỉ giúp nâng cao năng lực giải Toán mà còn cải thiện kết quả học tập của học sinh Việc chú trọng vào các biểu hiện của năng lực giải Toán sẽ góp phần tạo ra môi trường học tập hiệu quả và phát triển toàn diện cho học sinh.

- Đề xuất các biện pháp sư phạm với các tình huống điển hình để hạn chế, sửa chữa các sai lầm của HS GDTX

- Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất.

Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

Khách thể và đối tượng nghiên cứu của đề tài bao gồm:

- HS GDTX của một số Trung tâm GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh

- Giáo viên dạy toán GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh

- Môi trường sư phạm của một số trung tâm GDTX trên địa bàn tỉnh Trà Vinh, đặc biệt là trong giờ dạy toán.

Giả thiết khoa học

Việc chú trọng rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12 là rất quan trọng Khi thực hiện điều này thường xuyên, năng lực giải toán của học sinh sẽ được cải thiện, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trung học.

Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu và phân tích tài liệu về giáo dục học và tâm lý học, bao gồm sách giáo khoa, sách bài tập, tạp chí và báo chí liên quan đến logic toán học và tư duy học sinh, nhằm rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh GDTX Bài viết tập trung vào các phương pháp phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán Giải Tích 12, từ đó nâng cao khả năng tư duy toán học của các em.

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc

“Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày các biện pháp đã được triển khai thông qua một số giờ dạy thực nghiệm tại các lớp học được chọn Dựa trên kết quả thực hiện, chúng tôi sẽ tiến hành kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh các biện pháp này nhằm nâng cao tính khả thi và hiệu quả trong giảng dạy.

Đóng góp của luận văn

Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12 là một phương pháp hiệu quả nhằm nâng cao kỹ năng tư duy và giải quyết vấn đề Việc này không chỉ giúp học sinh nhận diện những lỗi sai trong quá trình học tập mà còn khuyến khích các em phát triển khả năng tự học và tự điều chỉnh Thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm, học sinh sẽ hiểu rõ hơn về các khái niệm Toán học, từ đó nâng cao kết quả học tập và sự tự tin trong môn Giải Tích.

Xây dựng một số biện pháp “Rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12”

Vận dụng các biện pháp trên vào thực tiễn để sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán Giải Tích 12.

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết thúc và tài liệu tham khảo, luận văn chúng tôi thực hiện gồm 3 chương:

- Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiển

- Chương 2 : Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12

- Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Năng lực, năng lực toán học

Năng lực là một khái niệm trừu tượng trong tâm lý học, với nhiều cách tiếp cận và diễn đạt khác nhau Dưới đây là một số quan điểm của các tác giả về năng lực.

Năng lực được định nghĩa là khả năng áp dụng các kỹ năng một cách tự nhiên vào các nội dung trong những tình huống cụ thể, nhằm giải quyết các vấn đề phát sinh từ những tình huống đó.

Phạm Minh Hạc định nghĩa năng lực là sự kết hợp các đặc điểm tâm lý của cá nhân, hoạt động theo một mục đích cụ thể để tạo ra kết quả trong các hoạt động nhất định.

C Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [17, tr

167] Ph Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [1, tr

Trường phái tâm lý học Xôviết, với những nhà nghiên cứu như A G Côvaliov, N X Lâytex và đặc biệt là B M Chieplôv, đã đóng góp nhiều công trình quan trọng về năng lực trí tuệ B M Chieplôv định nghĩa năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân liên quan đến kết quả tích cực trong việc hoàn thành một hoạt động Ông nhấn mạnh rằng có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm năng lực.

Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân, và mỗi người có năng lực khác nhau trong cùng một lĩnh vực Do đó, không thể khẳng định rằng mọi người đều có năng lực giống nhau.

Năng lực (NL) không chỉ bao gồm các đặc điểm tâm lý chung mà còn gắn liền với hoạt động cụ thể và đạt được kết quả tốt, thể hiện tính hướng đích Tại Việt Nam, Phạm Tất Dong và Phạm Minh Hạc nhấn mạnh sự quan trọng của mục đích và nhân cách trong NL, định nghĩa rằng "Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người, vận hành theo một mục đích nhất định để tạo ra kết quả cho một hoạt động nào đó."

Năng lực được định nghĩa là tổ hợp các thuộc tính tâm lý và kỹ năng của con người, giúp thực hiện thành công một hoạt động nhất định Nó liên quan đến khả năng hoàn thành nhiệm vụ cụ thể và chỉ xuất hiện khi giải quyết những yêu cầu mới, do đó gắn liền với tính sáng tạo Năng lực có thể được rèn luyện và phát triển, và mỗi cá nhân sẽ có năng lực khác nhau.

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học

Theo V A Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:

Năng lực học tập trong môn toán được hiểu là khả năng tiếp thu và nắm vững giáo trình toán học ở trường phổ thông, bao gồm việc nhanh chóng và hiệu quả trong việc lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo liên quan.

Năng lực sáng tạo trong lĩnh vực khoa học, đặc biệt là toán học, thể hiện khả năng tạo ra những kết quả mới và có giá trị lớn đối với xã hội.

Giữa hai mức độ hoạt động toán học không có sự ngăn cách tuyệt đối, và năng lực học tập toán không thể tách rời khỏi năng lực sáng tạo Nhiều học sinh có khả năng nắm vững giáo trình toán học một cách độc lập và sáng tạo, tự đặt và giải các bài toán đơn giản, cũng như khám phá các phương pháp chứng minh định lý và suy ra công thức Tuy nhiên, số lượng học sinh này chỉ chiếm một tỷ lệ rất nhỏ Luận văn chủ yếu tiếp cận năng lực toán học từ góc độ thứ nhất.

Năng lực học tập toán học bao gồm các đặc điểm tâm lý cá nhân, đặc biệt là các đặc điểm trí tuệ, đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học Điều này giúp người học nắm vững giáo trình toán một cách sáng tạo, đồng thời tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc.

Năng lực học toán được định nghĩa là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đặc biệt là các hoạt động trí tuệ, đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học Trong những điều kiện ổn định, những năng lực này là yếu tố quyết định cho sự thành công trong việc tiếp thu toán học một cách sáng tạo, giúp người học nắm vững kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo trong lĩnh vực này một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc.

Học sinh có năng lực toán học thể hiện trí thông minh trong việc học toán Mặc dù tất cả học sinh đều có khả năng tiếp thu chương trình trung học, nhưng mức độ năng lực giữa các em là khác nhau Những khả năng này không cố định và có thể thay đổi, hình thành và phát triển qua quá trình học tập và luyện tập để nắm vững các hoạt động toán học tương ứng.

Mỗi cá nhân có mức độ năng lực toán học khác nhau, vì vậy việc lựa chọn nội dung và phương pháp dạy học toán phù hợp là rất quan trọng Điều này giúp tất cả học sinh đều có cơ hội nâng cao năng lực toán học của mình Nhà toán học Xôviết, Viện sĩ A đã nhấn mạnh tầm quan trọng của vấn đề này trong giáo dục.

Một số biểu hiện năng lực giải toán của học sinh

Năng lực đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển nhân cách cũng như trí tuệ cho học sinh Nó giúp bồi dưỡng hứng thú và nhu cầu học tập, đồng thời khuyến khích học sinh khám phá, sáng tạo và say mê tìm tòi kiến thức mới.

Giáo viên có thể giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo thông qua các hoạt động và bài tập thực hành, từ đó ứng dụng kiến thức và phương pháp đã học Đối với học sinh phổ thông, năng lực giải toán có thể được thể hiện qua việc giải bài tập giải tích lớp 12, với các mức độ biểu hiện được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

1.2.1 Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn cảnh mới

Khả năng áp dụng các thuật giải đã có sẵn để giải quyết bài toán mới là một yếu tố quan trọng trong quá trình học toán Giáo viên cần chú trọng phát hiện và bồi dưỡng khả năng này ở học sinh Tất cả học sinh đều nên nỗ lực để vận dụng kiến thức và kỹ năng đã học vào những bài toán tương tự hoặc mới mẻ Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện qua việc biết biến đổi bài tập từ các tình huống cụ thể sang những kiến thức quen thuộc, từ đó áp dụng hiệu quả để giải quyết vấn đề, khẳng định năng lực cá nhân trong học tập.

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a/ y = x 4 – 2x 2 + 1 b/ y = x + e x

Kết luận: - Hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 0); (1; + )

- Hàm số nghịch biến trong các khoảng ( ; -1); (0; 1) b/ TXĐ: D  y/  1 e x vì e x  0, x   nên y / > 0,   x

Kết luận: Hàm số đồng biến trên

1.2.2 Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc

Khi học sinh tiếp cận bài tập, việc nhận diện vấn đề mới trong các điều kiện quen thuộc giúp họ phát hiện chức năng mới trong những đối tượng đã biết Điều này không chỉ tránh được sự rập khuôn máy móc mà còn tạo cơ hội để điều chỉnh hướng giải quyết trong các tình huống mới, từ đó rèn luyện tính mềm dẻo trong năng lực giải toán của học sinh.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số y    x 3 x 2 3 x  10 tăng trên Giải:

  Vậy hàm số tăng trên

Trước khi hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên nên đặt ra những câu hỏi gợi mở để kích thích tư duy, chẳng hạn như: "Bài tập này có điểm gì đặc biệt?" Điều này giúp học sinh nhận diện và phân tích nội dung bài tập một cách sâu sắc hơn.

HS đi vào giải bài tập này

1.2.3 Có khả năng nhìn nhận đối tượng dưới các khía cạnh khác nhau

Khi học sinh gặp thất bại trong việc giải toán, thường họ cảm thấy chán nản thay vì tìm kiếm hướng đi mới Tuy nhiên, thất bại chỉ có ý nghĩa nếu học sinh không quá chú trọng vào phần kém hiệu quả Thay vào đó, họ nên phân tích toàn bộ quá trình và các yếu tố liên quan để tìm ra cách cải thiện Thay vì hỏi “Tại sao mình thất bại?”, hãy tự hỏi “Mình đã làm được gì?” Việc nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau giúp phát hiện những cách nhìn mới phù hợp hơn Aristotle cho rằng ẩn dụ là dấu hiệu của sự thiên tài, vì vậy những người có khả năng kết nối các ý tưởng khác nhau thường sở hữu năng lực đặc biệt.

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  f(x)    x 3 (2m-1) x 2  (m 5) x 1   đạt cực trị tại x = 1

Thuận: Hàm số đạt cực trị tại x = 1 f (x) 0/ 3 2(2m-1) (m-5) 0 m 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Kết luận: Với m = - 2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

1.2.4 Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề Đứng trước một bài tập toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phương pháp, cách giải khác nhau Đồng thời học sinh cũng phải biết phối hợp các kiến thức và phương pháp đó, huy động những kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng với sự nỗ lực, phát huy năng lực giải toán của cá nhân để tìm tòi, giải quyết vấn đề

1.2.5 Có khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho Đây là biểu hiện của học sinh khi đứng trước những bài toán có những đối tượng, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau Đứng trước những bài toán loại này học sinh biểu hiện khả năng, năng lực chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, thể hiện năng lực nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau

Ví dụ 5: Giải phương trình : x  x 5   5 (1)

Ta thấy : x = 5 nghiệm đúng của phương trình (1) Đặt f(x)   x x 5 (x   5) f (x) / 1 1 0 (x > 5)

Vậy : đồ thị hàm số y  f(x) x x 5  cắt đường thẳng y = 5 tại x = 5

Do đó x = 5 là nghiệm duy nhất

1.2.6 Có khả năng tìm được cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho

Trong một số bài toán, các yếu tố có thể xuất hiện rõ ràng qua ngôn ngữ của đề bài, trong khi những bài toán khác lại ẩn chứa các yếu tố khó phát hiện, thậm chí có thể đánh lừa khả năng tư duy của học sinh Khi giải quyết bài toán, nếu học sinh nhận ra trọng tâm và phát hiện những điều mới mẻ, khác lạ trong quá trình làm bài, họ sẽ thể hiện được năng lực giải toán của mình.

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gọi y 0 là một giá trị của hàm số, phương trình 0

2 2 x - x+1 y = x + x+1 phải có nghiệm x  Phương trình 0

Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x     0

Vậy f(x) có GTLN là 3 và có GTNN là 1

Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải toán Giải tích 12

1.3.1 Sơ lược về nội dung chương trình toán Giải tích 12 ở trường THPT hiện nay

1.3.1.1 Mục tiêu dạy học toán Giải tích 12 trường THPT

Nội dung Về kiến thức Về kỹ năng

I ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1 ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số

Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó

Biết cách xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó

2 Cực trị của hàm số - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số

- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số

Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số

3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số

Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng

4 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang

Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị

Biết cách tìm đường tiệm đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

5 Khảo sát hàm số Sự - Biết các bước khảo sát - Biết cách khảo sát và tương giao của hai đồ thị Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị vẽ đồ thị của các hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a  0), y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a  0) và y = ax b cx d

 (ac  0), trong đó a, b, c, d là các số cho trước

- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình

- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

II Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

1 Luỹ thừa Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực Các tính chất

Khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ và số mũ thực của số thực dương là những kiến thức cơ bản trong toán học Lũy thừa với số mũ nguyên giúp ta hiểu về phép nhân lặp, trong khi lũy thừa với số mũ hữu tỉ liên quan đến việc tính toán căn bậc hai và các căn bậc khác Cuối cùng, lũy thừa với số mũ thực mở rộng khả năng tính toán cho các số thực dương, giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn.

- Biết các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa

Biết dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa luỹ thừa với số mũ thực

2 Lôgarit Định nghĩa lôgarit cơ số a (a > 0, a  1) của một số dương Các tính chất cơ bản của lôgarit

Lôgarit thập phân Số e và lôgarit tự nhiên

- Biết khái niệm lôgarit cơ số a (a > 0, a  1) của một số dương

- Biết các tính chất của lôgarit (so sánh hai lôgarit cùng cơ số, quy tắc tính lôgarit, đổi cơ số của lôgarit

- Biết các khái niệm lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit

Hàm số mũ Hàm số lôgarit Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị

- Biết khái niệm và tính chất của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Biết dạng đồ thị của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit

- Biết vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Tính được đạo hàm các hàm số y = e x , y = lnx

4 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

- Biết trình, bất phương trình mũ: phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ

Để giải phương trình và bất phương trình mũ, có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả như: phương pháp đưa số, phương pháp lôgarit hóa, phương pháp sử dụng ẩn số phụ và phương pháp khai thác tính chất của hàm số Những kỹ thuật này giúp đơn giản hóa quá trình giải quyết và tìm ra nghiệm chính xác cho các bài toán liên quan đến mũ.

Để giải quyết phương trình và bất phương trình lôgarit, có một số phương pháp hiệu quả như đưa về lôgarit cùng cơ số, áp dụng mũ hoá và sử dụng ẩn số phụ Đối với luỹ thừa cùng cơ số, chúng ta có thể sử dụng phương pháp lôgarit hoá, kết hợp với ẩn số phụ và khai thác các tính chất của hàm số để tìm ra nghiệm chính xác.

- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit: phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ

1 Nguyên hàm Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm

Kí hiệu họ các nguyên hàm của một hàm số

Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Phương pháp đổi biến số Tính nguyên hàm từng phần

- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số

- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm

- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong cong Định nghĩa và các tính chất của tích phân

Phương pháp đổi biến số Phương pháp tính tích phân từng phần

- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn

- Biết các tính chất của tích phân

3 ứng dụng hình học của tích phân

- Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân

- Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích phân

1 Dạng đại số của số phức Biểu diễn hình học của số phức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức

- Biết dạng đại số của số phức

- Biết cách biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp

- Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Biết được phương trình bậc hai với hệ số thực (nếu  < 0)

Biết tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (nếu

Rèn luyện kỹ năng suy luận hợp lý và logic, cùng với khả năng quan sát và dự đoán, là rất quan trọng để phát triển tư duy phân tích và tổng hợp Việc này giúp nâng cao khả năng sử dụng ngôn ngữ một cách chính xác và hiệu quả.

Bồi dưỡng phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo là rất quan trọng; điều này giúp hình thành thói quen tự diễn đạt ý tưởng một cách chính xác và rõ ràng, đồng thời nâng cao khả năng hiểu biết ý tưởng của người khác.

- Góp phần hình thành các phẩm chất cần thiết của con người lao động trẻ

1.3.1.2 Phân phối chương trình Giải tích 12 ở trường THPT tỉnh Trà Vinh

Cả năm 123 tiết Giải tích 78 tiết

I Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số §1 Sự đồng biến, nghich biến của hàm số

Lí thuyết I,II (đến hết vd 4) 1

Lí thuyết còn lại +Bài tập 2 §2 Cực trị của hàm số 3 - 5

Từ đầu đến hết mục II 3

Bài tập (1,2,3,4) 5 §3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Từ đầu đến hết mục 1 của mục II 6 Mục 2 của mục II đến hết lí thuyết 7

Bài tập (1,2) 11 §5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đa thức

Từ đầu đến hết hàm số y= ax 3 +bx 2 + cx+d

Khảo sát hàm số y=ax 4 +bx 2 +c 13

Khảo sát hàm số y= ax b cx d

Sự tương giao của các đồ thị 15

Bài tập 7+… 17 Ôn tập chương 1 18 - 19 Ôn tập lý thuyết và chữa bài tập (6,7) 18 Bài tập (8,9) 19

Kiểm tra 45 phút 20 §1 Luỹ thừa 21 - 23

Bài tập (1,2,3,4) 23 §2 Hàm số Luỹ thừa 24- 25

II- Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài tập (1,2,3,4,5) 28 §4 Hàm số mũ và Hàm số Logarit

Bài tập (2,3,5) 31 §5 Phương trình mũ, phương trình Logarit

Bài tập (1,2,3,4) 34 §6 Bất phương trình mũ, phương trình Logarit Luyện tập

III- Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài tập (1.b.d.g; 2a,b,c,d) 45 Ôn tập, kiểm tra Ôn tập học kì I 46- 47

Hàm số và một số dạng bài tập điển hình vêg hàm số

Một số dạng bài tập diển hình về pt

III- Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Bài tập1(a,c,e),3,4,5 50 §3 ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài tập 1,2,3,4 54 Ôn Tập chương III 55 - 56 Ôn tập lí thuyết + Bài tập 3,4 55

IV- Số phức ( 10 tiết ) §1 Số phức 58 §2 Cộng, trừ và nhân số phức 59 - 60

Bài tập 1(a,b),2(a,b),3(a,b),4,5 60 §3 Phép chia số phức 61 - 62

Kiểm tra 45 phút 63 §4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài tập 1,2(a,b),3,4 65 Ôn tập chương IV 66 - 67 Ôn tập lí thuyết + Bài tập 3,4,5 66

Bài tập 6,7,8,9 67 Ôn tập, kiểm tra Ôn tập cuối năm 68 - 69

Bài tập ôn cuối năm (từ 1 đến 10) 68 Bài tập ôn cuối năm (từ 10 đến 16) 69

Tổng ôn tập cho thi tốt nghiệp 71 - 78

1.3.2 Các dạng sai lầm chủ yếu khi giải toán 12

Chương trình Toán Giải tích 12 trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, cũng như nghiên cứu các hàm lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Học sinh cũng được làm quen với các bài toán nguyên hàm, tích phân và số phức, giúp hình thành nền tảng kiến thức cho việc học Toán ở các cấp độ cao hơn Tuy nhiên, trong quá trình học tập, học sinh thường mắc phải nhiều sai lầm, bao gồm sai lầm tính toán, sai lầm trong việc áp dụng các khái niệm, định nghĩa và định lý, cũng như những sai lầm tinh vi liên quan đến nhận thức và tư duy Nhiều tài liệu đã chỉ ra các loại sai lầm này, như Nguyễn Hữu Hậu đã liệt kê các sai lầm liên quan đến hoạt động học tập, trong khi Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất và Phan Thanh Quang đã hệ thống hóa các dạng sai lầm của học sinh trong giải Toán ở bậc THPT.

1.3.2.1 Sai lầm khi biến đổi công thức

Khi biến đổi công thức, nhiều người thường mắc phải sai lầm khi sử dụng các đẳng thức không phải là hằng đẳng thức, tức là những đẳng thức chưa đúng với điều kiện cụ thể nào đó Sai lầm này có thể xuất phát từ việc hiểu nhầm công thức hoặc quên các điều kiện ràng buộc cần thiết khi áp dụng công thức.

1.3.2.2 Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình

Học sinh thường mắc phải những sai lầm khi giải phương trình do vi phạm quy tắc biến đổi phương trình và bất phương trình tương đương Việc đặt thừa hoặc thiếu các điều kiện có thể dẫn đến những sai sót nghiêm trọng, thậm chí không thể giải được bài toán Ngoài ra, một sai lầm khác xuất phát từ việc biến đổi công thức không chính xác.

1.3.2.3 Sai lầm khi khi chứng minh bất đẳng thức

Các sai lầm thường xảy ra khi áp dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không chú ý đến điều kiện cần thiết để chúng đúng Việc sử dụng sai các quy tắc suy luận khi chuyển từ bất đẳng thức này sang bất đẳng thức khác cũng là nguyên nhân dẫn đến những lỗi này.

1.3.2.4 Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Những sai lầm phổ biến khi xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức nhiều ẩn thường xuất phát từ việc vi phạm các quy tắc suy luận logic Việc không tuân thủ những nguyên tắc này có thể dẫn đến kết quả sai lệch, ảnh hưởng đến quá trình giải quyết bài toán Do đó, việc nắm vững các quy tắc logic là rất quan trọng trong việc tìm ra giá trị tối ưu của hàm số.

- Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tương tự

1.3.2.5 Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai

Khi giải toán tam thức bậc hai, nhiều sai lầm thường xảy ra do không chú ý đến giả thiết của các định lý, dẫn đến việc áp dụng một cách vội vàng Ngoài ra, việc lạm dụng suy diễn từ những mệnh đề không chính xác hoặc bỏ sót các trường hợp cần biện luận cũng là nguyên nhân gây ra lỗi trong quá trình giải.

1.3.2.6 Sai lầm khi giải hệ phương trình, bất phương trình

Sai lầm trong việc giải các loại hệ phương trình thường xuất phát từ việc không nắm vững các phép biến đổi tương đương hoặc không xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra.

1.3.2.7 Sai lầm khi tính giới hạn

Khi tiếp xúc với các bài toán tính giới hạn, học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển từ "vùng đất hữu hạn" sang "vùng đất vô hạn" với các đại lượng vô cùng bé và vô cùng lớn Những sai lầm phổ biến trong dạng toán này thường xuất phát từ việc không nắm vững các quy tắc áp dụng định lý về giới hạn, đặc biệt là phạm vi hiệu lực của các định lý đó.

1.3.2.8 Sai lầm khi giải toán liên quan tới đạo hàm

Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thường gặp khi tính đạo hàm và khi vận dụng đạo hàm để giải toán

1.3.2.9 Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến

Sai lầm trong việc giải quyết bài toán này thường đến từ việc thiếu hiểu biết về thuật ngữ hoặc không nhận thức đúng về sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.

1.3.2.10 Sai lầm khi xét các đường tiệm cận của đồ thị

Thực trạng sai lầm trong giải toán 12 của HS trên địa bàn tỉnh Trà Vinh

Trà Vinh là một tỉnh nghèo, chủ yếu cư trú của đồng bào dân tộc Khemer Tỉnh hiện có 32 trường THPT, 7 trung tâm GDTX huyện và 1 trung tâm GDTX thành phố Mặc dù một số trung tâm có cơ sở vật chất và đội ngũ giáo viên tương đối đầy đủ, vẫn còn nhiều trường thiếu thốn về cơ sở vật chất và nhân lực.

GV thiếu về số lượng và chất lượng chưa cao Chất lượng HS còn thấp và chưa đồng đều giữa các trường

Thông qua các giờ dạy, dự giờ và ý kiến khảo sát một số giáo viên, người viết nhận thấy thực trạng dạy và học bài tập Giải tích 12 hiện nay có nhiều thuận lợi nhưng cũng gặp không ít khó khăn Việc phát huy năng lực giải toán và tính tích cực, chủ động của học sinh chưa đạt hiệu quả như mong muốn, mặc dù giáo viên đã nỗ lực tổ chức và định hướng quá trình học tập bằng các phương pháp dạy học tích cực Chất lượng dạy học vẫn còn khiêm tốn do nhiều nguyên nhân, cả khách quan lẫn chủ quan.

Hệ quả này xuất phát từ việc còn tồn tại phương pháp dạy học cũ, chủ yếu tập trung vào việc truyền thụ thông tin một chiều từ giáo viên, với người dạy là trung tâm Một số giáo viên vẫn chậm đổi mới phương pháp giảng dạy.

Hệ thống học tập bài tập Giải tích 12 hiện nay chưa phong phú và đa dạng về nội dung, đồng thời còn đơn giản về hình thức trong các giờ dạy.

+ Thứ ba, việc thực hành làm bài tập tại lớp của học sinh còn mang tính hình thức, đối phó

Việc thiết kế các bài toán sáng tạo vẫn chưa được chú trọng, dẫn đến việc không kích thích được sự hứng thú của người học và chưa đáp ứng được nhu cầu của từng đối tượng học sinh.

Năng lực giải bài tập Giải tích 12 của học sinh còn hạn chế, dẫn đến tâm lý coi nhẹ việc thực hành Kết quả là, khi đối diện với bài toán khó, các em thường cảm thấy chán nản và nặng nề.

Vào thứ Sáu, việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh chưa được chú trọng đúng mức, dẫn đến việc học sinh không chủ động và tích cực tiếp nhận cũng như vận dụng tri thức đã học vào thực tế trong giờ học.

Việc phát huy năng lực giải toán và tính chủ động của học sinh trong giờ thực hành Giải tích 12 là rất cần thiết Điều này giúp học sinh trở thành những chủ thể tích cực trong học tập và cuộc sống, từ đó phát triển toàn diện và đóng góp cho sự phát triển của đất nước.

1.4.2 Tình hình thực tế qua điều tra

1.4.2.1.Điều tra từ giáo viên

Tìm hiểu năng lực giải toán của HS lớp 12 khi học chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, nguyên hàm và tích phân

Vào tháng 4 năm 2015, chúng tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra cho 12 giáo viên giảng dạy môn Toán tại Trung tâm GDTX TP Trà Vinh Qua cuộc khảo sát này, chúng tôi nhận thấy rằng tất cả các đối tượng tham gia đều

Học sinh thường mắc nhiều sai lầm khi giải toán, đặc biệt là trong việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, nguyên hàm và tích phân Các giáo viên đã được khảo sát về những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm này của học sinh trong quá trình học tập và giải bài tập.

Nguyên nhân sai lầm của HS Ý kiến đồng ý (%)

Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn 75.8

Xét thiếu trường hợp, không logic trong suy diễn 79.3

Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện 78.9

Nhớ sai công thức, tính chất, diễn đạt kém 75

1.4.2.2 Điều tra từ học sinh

Vào tháng 2 năm 2015, chúng tôi đã tiến hành kiểm tra 134 học sinh khối 12 từ 4 lớp tại Trung tâm GDTX TP Trà Vinh Các giáo viên tổ chức kiểm tra một cách nghiêm túc, tạo điều kiện thuận lợi để học sinh có thể làm bài hết sức mình trong thời gian 45 phút.

Câu 1/ Tính đạo hàm của hàm số y = (5 1) x x

Câu 2/ Tính các tích phân sau : a/ A 1

Câu 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c) y = f(x) = x 3 – 2x 2 + 3 tại điểm A (2; 3)

Các sai lầm mà giáo viên điều tra quan tâm là:

S1: HS áp dụng sai công thức (u )  / .u   1 / u vì  là một hằng số ( Câu 1)

S2: HS giải sai bài toán là vì áp dụng nhầm giữa hai công thức nguyên hàm x dx 

S3: HS giải sai bài toán là vì áp dụng không đúng phương pháp tính tích phân

S4: HS giải bài toán thiếu tiếp tuyến vì đồ thị (c) nhận điểm A làm tiếp điểm

Dưới đây là thống kê số HS mắc các sai lầm:

Tỉ lệ HS mắc sai lầm (%) 62.7 81.3 85.1 78.4

Kết quả điều tra cho thấy đa số học sinh mắc nhiều sai lầm trong quá trình giải toán Do đó, nghiên cứu năng lực giải toán, phát hiện và sửa chữa sai lầm, cũng như đề xuất các biện pháp khắc phục là vấn đề cấp thiết Việc này không chỉ giúp học sinh cải thiện kỹ năng mà còn nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán, từ đó hoàn thiện các phương pháp dạy học.

1.4.3 Những sai lầm chủ yếu

Qua việc điều tra và nghiên cứu các lớp học tại các Trung tâm GDTX ở thành phố Trà Vinh, chúng tôi nhận thấy học sinh GDTX hiện nay vẫn gặp nhiều sai lầm trong quá trình giải toán Tất cả các đối tượng học sinh đều có khả năng mắc lỗi khi giải toán, và một số nguyên nhân chủ yếu dẫn đến tình trạng này đã được xác định.

- Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn

- Xét thiếu trường hợp, không logic trong suy diễn

- Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện

Nhiều học sinh thường mắc phải những sai lầm phổ biến trong giải toán, đặc biệt là ở môn Giải tích lớp 12, như nhớ sai công thức, hiểu sai tính chất và diễn đạt kém Những lỗi này ảnh hưởng lớn đến kết quả học tập và cần được chú ý để cải thiện kỹ năng giải toán.

1.4.4 Nguyên nhân dấn đến sai lầm

1.4.4.1 Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học

Khái niệm là sản phẩm của tư duy toán học, bao gồm nội hàm và ngoại diện Nội hàm là tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của đối tượng, trong khi ngoại diện là tập hợp các đối tượng chứa các dấu hiệu đó Việc hiểu sai hoặc không đầy đủ về khái niệm có thể dẫn đến sai lầm trong giải toán Nhiều khái niệm toán học mở rộng hoặc thu hẹp từ khái niệm trước, và việc không nắm vững khái niệm này sẽ ảnh hưởng đến khả năng hiểu biết các khái niệm khác Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học rất liên kết lôgic Các khái niệm khó như vectơ, biến hình, nguyên hàm, tích phân đang được đưa vào chương trình PTTH, do đó, cần cải thiện phương pháp giảng dạy để giúp học sinh dễ dàng lĩnh hội các khái niệm này.

Nội dung, chương trình chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau

- Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x 1 < x 2  f(x 1 ) < f(x 2 )

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x 1 , x 2 thuộc

- Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x)

Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương và đồng biến (hoặc nghịch biến) trên miền D, thì tích f(x)g(x) cũng sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tuy nhiên, tính chất này không áp dụng cho trường hợp khi f(x) và g(x) không cùng dương trên D.

- Công thức tính đạo hàm:

Hàm số hợp y = u  có đạo hàm y ' =  u  -1 ' u  (*)

+ công thức (*) chỉ đúng với số mũ  là hằng số

+ Nếu  không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương

- Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:

+ Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K

Ký hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng Nếu đạo hàm f '(x) > 0 với mọi x thuộc K, thì hàm số f(x) đồng biến trên K Ngược lại, nếu f '(x) < 0 với mọi x thuộc K, hàm số f(x) nghịch biến trên K Cuối cùng, nếu f '(x) = 0 với mọi x thuộc K, hàm số f(x) không đổi trên K.

Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần

- Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:

+ Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng

K = (x - h; x + h) 0 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ x   0 , với h > 0 a Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x - h; x ) 0 0 và f '(x) < 0 trên khoảng

(x ; x + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x) b Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x - h; x ) 0 0 và f '(x) > 0 trên khoảng

(x ; x + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

+ Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

(x - h; x + h), với h > 0 Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng

- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:

 x 0  D: f(x ) = m 0 (hay  x 0  D: f(x )= M 0 ) thì dấu "=" không xảy ra Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền

Khi xác định giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x) trên miền D, ta cần chuyển sang xem xét giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số g(t) thông qua phép đặt t = u(x) Việc này đòi hỏi phải chuyển đổi điều kiện để đảm bảo bài toán trở thành tương đương.

- Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):

+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0

+ Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1; y1) có phương trình: y = k.(x - x 1 ) + y 1 Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:

Nếu điểm M 1 (x 1 ; y 1 ) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến

2.1.1 Một số khó khăn của HS trong học tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D

Không hiểu rõ sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số và tiếp tuyến kéo dài từ một điểm bên ngoài đến đồ thị có thể gây nhầm lẫn Tiếp tuyến tại một điểm biểu thị độ dốc của hàm số tại điểm đó, trong khi tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài cho thấy mối quan hệ giữa điểm ngoài và đồ thị Việc nắm vững hai khái niệm này là rất quan trọng trong việc phân tích và hiểu sâu về đồ thị hàm số.

2.1.2 Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2.1.2.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số a Một số học sinh thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số: x-2 y = f(x) x+2

Một số học sinh trình bày như sau:

Tập xác định: D = R\ -2 { } , Ta có: 4 2   y' = > 0, x D (x+ 2)

Suy ra: Hàm số đồng biến trên ( - ¥ - ; 2) È - ( 2; + ¥ )

Kết luận bài toán có vẻ đúng, nhưng cần chú ý đến định nghĩa của hàm đồng biến Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D, thì với mọi x1, x2 thuộc D, nếu x1 < x2 thì f(x1) phải nhỏ hơn f(x2) Tuy nhiên, trong trường hợp này, khi chọn x1 = -3 và x2 = 0 thuộc D, ta thấy x1 < x2 nhưng f(x1) = 5 lại lớn hơn f(x2) = -1, điều này mâu thuẫn với tính chất đồng biến của hàm số.

Tập xác định: D = ¡ \ { - 2 } Ta có: 4 2    y' = 0, x D

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - ¥ - ; 2) và ( 2; - + ¥ )

2 b Nhiều khi các học sinh không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai

Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f(x) = x-1+ 9- x 2

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x y ' - 0 + 0 - y 3 2 2

Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3 ; 3 )

- và nghịch biến trên các khoảng ( 3; 3 )

Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn 3; 3

2 é ù ê - - ú ê ú ở ỷ giỏ trị của hàm số giảm từ -4 xuống 3 2 2

- 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số

Tập xỏc định: D = - ộ ở 3;3 ự ỷ Ta cú:

2 Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x y ' + 0 - y

Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; 3 )

- 2 và nghịch biến trên khoảng

2.1.2.2 Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức a Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng

Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)

Chứng minh rằng: tanx > x, với 0; x ổ ỗ p 2 ử ữ

Xét hàm số f(x) = tanx - x, với 0; x ẻ ỗ ổ ỗ ỗ ố p 2 ử ữ ữ ữ ứ

- = > " ẻ p , suy ra hàm số f(x) đồng

Từ x > 0 ị f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với 0; x ổ ỗ p 2 ử ữ

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi

Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;

2 ổ p ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ thỡ vỡ sao từ x > 0 ị f(x) > f(0) ? Sai lầm ở đây là 0 0;

2 ổ p ử ỗ ữ ẽ ỗ ỗ ố ữ ữ ứ Nhớ rằng: Nếu f(x) đồng biến trờn đoạn ộ ở a; b ự ỷ (tức là f(x) liờn tục trờn ộ ở a; b ự ỷ và f '(x)> 0 với " ẻ x ( a;b ) ) thỡ với " x , x 1 2 ẻ ộ ở a;b , x ự ỷ 1 > x 2 ị f(x ) 1 > f(x ) 2

Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x 0;

Ta có: f '(x) = 1 2 1 tan x 2 0 , x 0; cos x ộ ờ ờ ở 2 ửữ ữ ữ ứ

- = ³ " ẻ p , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0;

Từ x > 0 ị f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với x 0;

" ẻ p b Các em học sinh cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến

Chứng minh rằng nếu với " ẻ x Ă , x > - 1 thỡ x e 1 e x > -

Hàm số f(x) = x và g(x) = e^x đều là các hàm đồng biến trên khoảng ¡ Do đó, hàm h(x) = x.e^x, là tích của hai hàm đồng biến, cũng đồng biến trên khoảng này Từ đó, với x > -1, ta có f(x) > f(-1), hay x.e^x > -1.

Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương

Xét hàm số f(x) = x.e x , ta có f '(x) = e x (x+1) ³ 0, " ³ - x 1, dấu "=" xảy ra chỉ tại x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến trờn nửa khoảng [ - 1; + Ơ ) Từ x > - 1 ị f(x) > f(-1) hay x.e 1 e x > -

2.1.2.3 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm a Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (3x+1) x

Lời giải trên đã vận dụng công thức ( ) u a / = a u a - 1 u / Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số

Lời giải đúng là: Điều kiện: x 1 , x 0

+ b Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức

( ) u a / = a u a - 1 u / , a ẻ Ă , nhưng quờn rằng nếu như a khụng nguyờn thỡ công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x 3 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 y = (x+1) +1

Phân tích: Một sai lầm phổ biến là không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên, trong đó cơ số phải là số dương Do đó, việc viết (1) - - 1 3 là không chính xác.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 y = - (x+1) +1

2.1.2.4 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số a Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em học sinh quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần

 y / > 0 , " ẻx (a;b) ị hàm số đồng biến trờn khoảng (a; b)

 y / < 0 , " ẻx (a;b) ị hàm số nghịch biến trờn khoảng (a; b) Điều ngược lại nói chung là không đúng

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx 2 + x- 2 đồng biến trên ¡

Tập xác định: D = ¡ y / = 3x 2 - 2mx + 1 Hàm số đồng biến trờn Ă Û y / > 0 , " ẻx Ă

Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x 3 đồng biến trên ¡ , nhưng y ' = 3x 2

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) nếu f(x) > 0 cho mọi x trong khoảng này và dấu "=" chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trong (a; b) Lưu ý rằng trường hợp đặc biệt xảy ra tại x = 0.

Hàm số đồng biến trờn Ă Û y / ³ 0 , " ẻx Ă 0

Khi áp dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, các bạn cần lưu ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ, không phải là điều kiện cần.

< là điểm cực đại Điều ngược lại nói chung là không đúng

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = 4mx 3 , f ''(x) = 12mx 2 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x 4 có y ' = - 4x 3 , y ' = 0 Û x = 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn

Điểm cực đại của hàm số không nhất thiết phải có đạo hàm bậc hai âm, vì nếu x0 là điểm cực đại, thì f''(x0) có thể bằng 0 Điều này cho thấy rằng điều kiện f''(x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm g(x) = f/(x) nghịch biến trong khoảng lân cận (x0 - h; x0 + h) với h > 0.

< = " ẻ + ị là điểm cực đại của hàm số

Cách 1: Ta có y' = 4mx 3 Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y'(x) > 0

" ẻ - , với h > 0 Tức là: 4 mx 3 0 h x 0 ớùù ỡ ùùợ

Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm

+ m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị + m > 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực tiểu của hàm số

+ m < 0: Ta có y ' = 4mx 3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0

Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x 4 + mx 3 + 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?

Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = 4x 3 + 3mx 2 , f ''(x) = 12x 2 + 6mx Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x 4 + 3 Ta có y ' = 4x 3 , y ' = 0 Û x = 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Cách 1: Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì /

Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

4 Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn) Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0

Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

2.1.2.5 Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D

Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = 2 1 2 1 cos x+ + 2 cosx+ -1 cos x cosx ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ

Một số HS trình bày như sau: Đặt t = 1 cosx+ cosx ị

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) khụng trựng với giỏ trị nhỏ nhất của hàm g(t), " ẻ t Ă

Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx+ 1 cosx = - 1 Nhớ rằng, số

Lời giải đúng là: Đặt t = cosx+ 1 cosx, với x D \ k , k

1 1 t cosx+ cosx 2 cosx cosx ị = = + ³ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cosx = 1

Khi đó: cos x+ 2 1 2 cos x = t 2 - 2 Ta được hàm số: g(t) = t 2 + 2t - 3

Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ 2): t g '(t) - - + + g(t)

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: min ( ) m D f x min ( ) 2 t g t

 = - 3 Đạt được khi t = - 2 1 cosx+ = -2 Û cosx Û cosx= - 1 x k 2 , k Û = p + p ẻ Â

2.1.2.6 Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + 3x 2 + 1, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 5)

Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = - 3x 2 + 6x

Ta cú điểm A(-1; 5) ẻ đồ thị (C) suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1) + 5 Û y = - 9( x + + 1) 5

Phương trình tiếp tuyến y = -9x - 4 là tiếp tuyến tại điểm A, với A là điểm tiếp xúc Tuy nhiên, vẫn có thể tồn tại các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm điểm tiếp xúc.

Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 5) với hệ số góc k được biểu diễn là y = k(x + 1) + 5 Để đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị (C), cần thỏa mãn điều kiện rằng hệ phương trình -x + 3x + 1 = k(x + 1) + 5 và k = -3x + 6 có nghiệm.

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 5 và y = - 9x - 4.

Nội dung, chương trình chủ đề Nguyên hàm - Tích phân

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau:

+ Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F x /      f x với mọi x thuộc K

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

+ Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+ C với C là một hằng số

Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là f(x)dx

Khi đó: f(x)dx = F(x)+C (C: hằng số)

- Tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 2: kf x dx =k f x dx     (k là hằng số khác 0)

Tính chất 3:    f x ±g x dx = f x dx ± g x dx           

- Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

- Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp α xα+1 x dx = +C

 lna  a mx+n dx = m lna 1 a mx+n +C cosx.dx =sinx+C

 1 cos(ax+b)dx = sin(ax+b)+C

 sin(ax+b)dx =- cos(ax+b)+C1

1 dx = (1+tan x)dx=tanx+C cos x

  2 1 dx = tan(ax+b)+C1 cos (ax+b) a

1 dx= (1+cot x)dx =-cotx+C sin x

- Phương pháp tính nguyên hàm

+ Phương pháp đổi biến số Định lí: Nếu f t dt = F t +C    và t = u x   là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u' x dx =F u x +C         

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí: Nếu hai hàm số u = u x   và v = v x   có đạo hàm liên tục trên

Hay viết gọn là udv = uv- vdu

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], F(x) là nguyên hàm của f(x) trên cùng đoạn này Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b, ký hiệu là ∫[a, b] f(x) dx.

- Tính chất của tích phân

Tính chất 1: b   b   a a kf x dx = k f x dx

Tính chất 2: b     b   b   a a a f x ± g x dx = f x dx ± g x dx

Tính chất 3: b   c   b   a a c f x dx = f x dx + f x dx

- Phương pháp tính tích phân

+ Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f x   liên tục trên  a; b  Giả sử hàm số x = φ t   có đạm hàm liên tục trên    ;  sao cho a = φ α   , b = φ β   và a   (x)  b với mọi t    ;   Khi đó: b   β       a α f x dx = f φ t φ' t dt

+ Phương pháp tích phân từng phần

Theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, định lý sau đây được đưa ra: Nếu \( u = u(x) \) và \( v = v(x) \) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng \([a; b]\), thì công thức sau đây được áp dụng: \[\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx.\]

Hay viết gọn là b b b a a a u.dv = uv - vdu

2.2.1 Một số khó khăn của HS trong học tập Nguyên hàm -Tích phân

Nguyên hàm và tích phân là kiến thức mới mẻ với học sinh, tuy nhiên chúng có mối liên hệ với đạo hàm, giúp các em hình thành công thức nguyên hàm từ công thức đạo hàm Nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa hai loại công thức này Kiến thức về biến đổi đại số, đã được học từ THCS, là nền tảng quan trọng, nhưng học sinh có học lực trung bình, yếu kém thường mất gốc và gặp khó khăn trong việc giải quyết bài tập nguyên hàm và tích phân Đối với học sinh khá, giỏi, tâm lý nóng vội khi gặp bài toán dẫn đến việc họ bỏ qua các bước quan trọng như phân tích đề, kiểm tra điều kiện và các phép tính, từ đó dễ mắc sai sót.

Kinh nghiệm cho thấy việc nhận diện lỗi sai của người khác dễ hơn nhiều so với việc phát hiện lỗi sai của chính mình Trong quá trình giảng dạy, tôi khuyến khích học sinh tự vận dụng tư duy logic cá nhân, theo dõi và nhận xét lời giải của nhau Qua đó, các em có thể phát hiện lỗi sai, phân tích nguyên nhân, hiểu rõ bản chất vấn đề, từ đó khắc phục sai sót và tích lũy kinh nghiệm cho bản thân.

Việc thường xuyên chỉ ra sai lầm của học sinh có thể khiến các em cảm thấy nhàm chán và mất hứng thú học tập Do đó, tôi áp dụng phương pháp linh hoạt trong các tiết dạy và cung cấp những gợi ý cần thiết để hỗ trợ các em tìm kiếm lời giải.

Một thách thức lớn trong quá trình giảng dạy của tôi là việc phân hóa dạy học theo từng đối tượng học sinh Tại lớp 12S2, nơi tôi chủ yếu giảng dạy cho học sinh trung bình và yếu, tôi phải điều chỉnh giáo án, ví dụ và bài tập để phù hợp với nhu cầu của hai nhóm học sinh Trước tiên, tôi ưu tiên hỗ trợ các em có trình độ trung bình và yếu, sau đó mới nâng cao với những bài toán mở rộng nhằm hướng dẫn và giới thiệu kiến thức mới.

2.2.2 Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Nguyên hàm - Tích phân và ví dụ minh họa

2.2.2.1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm

Ví dụ 1 Chứng minh rằng F x ( )    (2 2 ) x e  x là một nguyên hàm của hàm ( ) 2 x f x  xe  trên R Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm g x ( )  (2 x  2) e  x

* Lời giải có sai lầm:

F’(x) = -2e - x + (2 + 2x)e - x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R

(2 2 ) 2 2 x x x x x x x x g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C x e e xe

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm

2 2 2 x x x x x g x dx x e dx xe dx e dx x e C e C

Ví dụ 2 Tính tích phân  tan xdx

* Lời giải có sai lầm: tan sin

1 sin cos cos sin cos

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm

* Lời giải đúng: s inx  cos  tan ln cos cosx cosx

2.2.2.2 Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 3 Tính tích phân I    3x 1 dx   6

* Lời giải có sai lầm:   6  3x 1  7

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Học sinh vận dụng công thức x dx n x n 1 c n 1

  6 6 7  3x 1  7 dt dt t dt 3dx dx 3x 1 dx t C C

2.2.2.3 Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm

Ví dụ 4 Tính tích phân 3

* Lời giải có sai lầm: 3 3   3

Sai lầm trong việc hình thành nguyên hàm thường xuất phát từ sự nhầm lẫn với kiến thức về đạo hàm Học sinh thường không phân biệt rõ ràng giữa hai loại công thức này, dẫn đến những hiểu lầm trong quá trình học tập.

Để khắc phục vấn đề, hãy yêu cầu học sinh thuộc lòng bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản Điều này giúp các em hình thành thói quen kiểm tra công thức bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm đã tìm được và so sánh với hàm số đã cho.

Ví dụ 5 Tính tích phân 1   5

* Lời giải có sai lầm: 1   5   6 1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng α x α+1 x dx = +C

(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt t = 3x+1)

Để khắc phục vấn đề, yêu cầu học sinh thuộc lòng bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản và nguyên hàm của hàm hợp tương ứng Học sinh nên tự lập bảng nguyên hàm cho hàm hợi với u = ax + b Điều này giúp các em hình thành thói quen kiểm tra công thức bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm đã tìm được để xác định xem nó có bằng hàm số đã cho hay không.

2.2.2.4 Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân

Ví dụ 6 Tính tích phân

* Lời giải có sai lầm :

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

* Lời giải đúng: Hàm số

  không xác định tại x     2  3;1  suy ra hàm không liên tục trên   3;1 , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân Giúp các em tạo thói quen: Khi tính b a f (x)dx

Cần kiểm tra tính liên tục của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] Nếu hàm số liên tục, hãy áp dụng các phương pháp đã học để tính tích phân Ngược lại, nếu hàm không liên tục, kết luận rằng tích phân đó không tồn tại.

2.2.2.5 Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân

Ví dụ 7 Tính tích phân 1 x

* Lời giải có sai lầm :

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần

Để khắc phục tình trạng học sinh chưa nắm vững kiến thức, cần yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân Điều này sẽ giúp các em tổng quát hóa các dạng toán và áp dụng hiệu quả phương pháp tích phân từng phần.

Cách làm: Biểu diễn f x dx   về dạng u.dv = u.v dx /

- Chọn u sao cho du dễ tính

- Chọn dv sao cho dễ tính v = dv

2.2.2.6 Sai lầm khi đổi biến số

Ví dụ 8 Tính tích phân 1 2

* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint  dx = costdt

* nhân dẫn đến sai lầm Nguyên: Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

* Lời giải đúng: Đặt x = sint dx = cost.dt Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t

Để khắc phục vấn đề trong việc tính tích phân, yêu cầu học sinh thực hiện từng bước theo phương pháp đổi biến số, bao gồm cả việc đổi biến và đổi cận Khi gặp tích phân có dạng b, cần chú ý áp dụng đúng quy tắc để đạt được kết quả chính xác.

I   c  x dx, nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint (hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t

* Lời giải có sai lầm: Đặt t = 2x + 1 Đổi cận: x 0    t 1; x 1    t 4

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt

* Lời giải đúng: Đặt t = 3x+1dt = 3dx; Đổi cận: x 0    t 1; x 1    t 4

Để khắc phục vấn đề, hãy yêu cầu học sinh ghi nhớ các bước thực hiện phương pháp đổi biến số Điều này giúp các em hình thành thói quen kiểm tra lại bài làm và xác minh kết quả bằng cách sử dụng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi.

2.2.2.7 Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số

Ví dụ 10 Tính tích phân 2 2

* Lời giải có sai lầm: 2 2 2   2 2     2 2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh sử dụng phép biến đổi sai

 x 1   2   x 1 với x    0; 2   thay vì dùng  x 1   2   x 1 với x    0; 2  

I x 2x 1 dx x 1 dx x 1dx 1 x dx x 1 dx 1

Để khắc phục khi gặp tích phân của hàm vô tỉ dạng \(2n \left[ f(x) \right]^{2n}\), các em cần sử dụng phép biến đổi \(2n \left[ f(x) \right]^{2n} = f(x)\) (với \(n \geq 1\) và \(n\) nguyên) Sau đó, hãy xét dấu của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a, b]\) và áp dụng tính chất tách cận để phân tích thành tổng các tích phân, từ đó loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2.2.2.8 Sai lầm khi thực hiện đổi biến số

* Lời giải có sai lầm: Đặt x = sint  dx = costdt Đổi cân: x 0 t 0; x 1 t arcsin 1

I cos t.dt cos t.dt sin t.dt cos t

    Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm ra được đáp số

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức 1 x  2 thông thường ta đặt x = sint (hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ

11, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận Cụ thể khi x = 1

2 ta không tìm chính xác được t

* Lời giải khác: Đặt t = t   1 x 2     t 2 1 x 2 2tdt   2xdx  xdx   tdt Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 3

* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức

Để tính tích phân 1 x - 2, nếu giá trị lượng giác của góc đặc biệt là cân của tích phân, ta có thể sử dụng phép đổi x = sin(t) hoặc x = cos(t) Nếu không, cần tìm phương pháp khác để giải quyết bài toán.

2.3 Biện pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà HS thường gặp phải, chúng tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau:

2.3.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà HS thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để HS nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2.3.2 Rèn luyện cho HS về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: Phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: Phương pháp giải toán

2.3.3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy HS làm trung tâm)

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho HS

Kết luận chương 2

Trong chương này, tác giả đã đưa ra một số biện pháp nhằm nâng cao khả năng giải toán cho học sinh, tập trung vào việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình dạy học giải tích lớp 12.

Trong đó chú trọng vào việc xây dựng hệ thống bài tập đa dạng và phong phú, phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh

Tác giả mong muốn đóng góp vào việc cụ thể hóa đổi mới phương pháp dạy học hiện nay nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải tích và môn Toán.

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	1,38 MB