KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Môđun con cốt yếu
1.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun phải và N là môđun con của M
(1) Môđun con N đƣợc gọi là môđun con cốt yếu của M, Ký hiệu
N *M nếu với mọi môđun con khác không KM ta đều có K N 0 Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N
Môđun con N của M được xem là đóng trong M khi N không có bất kỳ một mở rộng cốt yếu nào trong M Điều này có nghĩa là N được coi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K khác không của M mà N là tập con của M, thì K phải bằng N.
(3) Môđun K của M đƣợc gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N*K
(4) Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là môđun con cốt yếu trong M thì M đƣợc gọi là môđun đều (uniform)
1.1.2 Ví dụ a) Cho M là R - môđun Ta luôn có M *M b) Ta xét là - môđun Mỗi môđun khác không của đều cốt yếu vì với a , b khác không đều có 0ab a b , hay là môđun đều (trên vành )
1.1.3 Mệnh đề i) Cho AM thì A*M x 0, x M thì ARx 0 ii) Cho A K M, khi đó A*M A *K và K *M. iii) Cho f M: N là một đồng cấu R-môđun và BM Nếu
B*Mthì f 1 B * M Điều ngược lại không đúng iv) Giả sử A Bi, i là các môđun con của M và Ai *Bi, i1, n Khi đó
nếu tập chỉ số vô hạn thì điều này không đúng v) Cho A K M và K A/ *M A/ Khi đó K* M. vii) Cho A M M i i và A *M i I, i i Nếu tồn tại I Mi và
Chứng minh i) Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Với mọi môđun BM ta cần chứng minh A B Lấy x B x , 0, xét x R rx r / R B
Theo giả thiết ta có: ARx 0 nên với mọi BM ta chứng minh
A B ii) Giả sử A*M, lấy môđun con X bất kỳ của K mà A X 0 Do
Ngƣợc lại, nếu A*K và K*M thì với môđun con X bất kỳ của
Do A*K nên B0 và K *M nên X 0, suy ra K X 0 Vậy
A*M iii) Với CM C, 0, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: f C M suy ra f C B 0 (vì B * M ), do đó tồn tại y f C B y , 0 Khi đó tồn tại x C sao cho y f x , x 0 (vì
Trường hợp 2: f C M suy ra C f 1 B Vì với mọi x C nên ta có f x 0 B suy ra x f 1 B iv) Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n2
Trường hợp giao vô hạn nói chung không đúng
Xét -môđun: n * , n * Ta có: * i i i , i 1, , suy ra 0* Điều này vô lí
Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng v) Lấy X * M sao cho K X 0 Khi đó K A X A nên
Vậy X 0 hay K * M vi) Ta chứng minh 2 trường hợp
Trường hợp 1: I n hữu hạn Sử dụng quy nạp ta cần chứng minh với n2
M M Thật vậy, sử dụng tính chất iv) ta có *
M M Bây giờ ta chứng minh *
Xét các đồng cấu chiếu:
A A M M nên theo tính chất iii) ta có f11 A1 * M1M2 và f 21 A2 * M1M2
Mà f11 A1 A1 M2* M1M2 và f21 A2 M1A2* M1M2 nên lấy giao hai vế ta đƣợc *
Trường hợp 2: Với I bất kì, điều đầu tiên ta chứng minh I Mi Lấy x M
suy ra x x 1 x 2 x k , x i M i , 1, k * là hữu hạn Theo trường hợp 1 suy ra tồn tại ,
do đó biểu diễn * là duy nhất nên tồn tại
Bây giờ ta chứng minh I Ai I Mi Lấy X 0, X I Mi, từ đó suy ra x X x, 0 và x a 1 a 2 a n , a i M i i , 1, n *
Theo trường hợp 1 ta có *
Vậy tồn tại I Mi và *
1.1.5 Mệnh đề Với mọi môđun con của môđun M luôn tồn tại môđun con B của M sao cho A B cốt yếu trong M
Chứng minh Đặt S X M X : A 0 Vì 0 S nên S
Ta sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho X 1 X 2 Xn * Khi đó
M và là lân cận trên của *
Lấy x A C suy ra có một số k nào đó sao cho x X
k Vậy X 0 hay C A 0 Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại là B Ta cần chứng minh A B * M
Thật vậy, Y M thỏa mãn A B Y 0 Ta có A Y 0 và 0
Nếu có aA và b B , y Y sao cho a b y thì ya b A B Suy ra y0 và a b 0 Nhƣ vậy A B Y 0 suy ra B Y S Do tính tối đại của B nên Y 0 Vậy
1.1.6 Bổ đề a) Nếu trong môđun M có các dãy môđun con A B C thì
A*Mkéo theo B* C b) Nếu Ai * M,i1,n thì *
c) Nếu :M N là đồng cấu môđun và B*N thì 1 B * M
Chứng minh a) Giả sử E là môđun con khác không của C, thế thì E cũng là môđun con của M và
E A E B Điều này chứng tỏ B* C b) Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp theo n Với n1 mệnh đề đúng theo giả thiết Giả sử mệnh đề đúng với n1, tức là 1 *
Giả sử E0 là môđun con của M Do An cốt yếu trong M nên
An E Lại do A cốt yếu trong M nên
A An E A An M c) Giả sử E là một môđun con của M và
Khi đó Bker0 vì vậy E 0 do B * N Từ đó
Ek B E E B Điều này chứng tỏ 1 B là cốt yếu trong M.
1.1.7 Bổ đề Cho :NM là một đẳng cấu môđun trên R khi đó môđun con L của N cốt yếu trong N L cốt yếu trong M
Chứng minh Điều kiện cần Cho L* N thì X M sao cho L X 0 suy ra L 1 X 1 X L 1 0 0 Do L * N
Mặt khác đẳng cấu nên X 0 Vậy L * M Điều kiện đủ Cho L * M thì X M sao cho L Y 0 đẳng cấu nên 1 Y L 1 L 1 Y L Y 0.
Suy ra L X 0 Do L * M nên Y 0 suy ra Y 0
Các điều kiện C i của môđun
1.2.1 Định nghĩa các điều kiện C i của môđun
Cho M là một R-môđun Ta xét các điều kiện sau đối với môđun M
C 1 Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M
C 2 Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M
C 3 Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A B 0 thì
AB cũng là hạng tử trực tiếp của M
1 C 1 Mỗi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M
Ta có các định nghĩa sau:
1 Một môđun M đƣợc gọi là CS-môđun (hay môđun extending), nếu
2 Môđun M đƣợc gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C 1 và C 2
3 Môđun M đƣợc gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện C 1 và C 3
4 Một vành R gọi là CS-vành (liên tục, tựa liên tục) phải nếu R R là
CS-môđun (liên tục, tựa liên tục) như một R-môđun phải R Tương tự ta có khái niệm CS-vành, vành liên tục và tựa liên tục trái
1.2.3 Ví dụ 1 Xét -môđun thì ta có a) có điều kiện C 1 và C 3 b) không có điều kiện C 2
Với A B, v Aà B 0 suy ra A0, B0; A0, B hoặc
A B Vì vậy, A B b) không có điều kiện C 2 Thật vậy, ta có: 2 mà nhƣng 2 không là hạng tử trực tiếp của
2 -môđun thỏa mãn tất cả các điều kiện Ci ở trên Bởi vì là môđun nội xạ Mà môđun nội xạ thì có đầy đủ các điều kiện C i
Môđun nội xạ
1.3.1 Định nghĩa Môđun M đƣợc gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
: f X M và với mỗi đơn cấu i:X A của những R - môđun, tồn tại một đồng cấu ':f AM sao cho f i' f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
1.3.2 Định lí Nếu Q I Qi thì Q là môđun nội xạ khi và chỉ khi Qi là nội xạ với i I
Chứng minh Giả sử Q là môđun nội xạ Giả sử g A: B là một đơn cấu và :f AQi là một đồng cấu với i I
Gọi i: QiQ là phép nhúng chính tắc, và nếu A: Q là một đồng cấu, thì do Q nội xạ, tồn tại một đồng cấu k: BQ sao cho biểu đồ sau giao hoán.
Bây giờ ta xét đồng cấu hik, trong đó i:QQi là phép chiếu chính tắc, ta có hg i k g i i f f Điều này chứng tỏ Q i là nội xạ
Giả sử Q i là môđun nội xạ với iI Xét biểu đồ giao hoán
Trong đó g đơn cấu, f là đồng cấu,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phép chiếu chính tắc \( \pi_i \) và đồng cấu \( h_i \) được tạo ra từ tính nội xạ của \( Q_i \), với công thức \( \pi_i f = h g_i \) Theo tính chất phổ dụng, tồn tại đồng cấu \( h: B \rightarrow Q \) sao cho \( \pi_i h = h_i \), với \( b \in B \).
Ta khẳng định rằng f hg Thật vậy, với mọi aA ta có f a i i f a h g a i i hg a hg a i , i I
1.3.3 Hệ quả Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ
1.3.4 Định lí Đối với một môđun Q
R có các điều kiện sau tương đương
b Mỗi đơn ánh :QB là chẻ ra (nghĩa là Im là hạng tử trực tiếp trong B)
c Mỗi đơn cấu :AB, ánh xạ
Chứng minh a c Từ định nghĩa của Hom ,1
suy ra rằng c là một phát biểu tương đương của mệnh đề a
a b Do Q là nội xạ nên tồn tại đồng cấu :BQ sao cho biểu đồ sau giao hoán
Q Bởi vậy là chẻ ra
b a Xét biểu đồ các đồng cấu môđun
Trong đó, g được xác định là đơn cấu Gọi K là môđun con của Q⊕B, bao gồm tất cả các tập có dạng (fa(a), -ga(a)) với mọi a thuộc A Đặt N = (Q⊕B)/K, từ đó ta có các đồng cấu β: B → N và γ: Q → N sao cho hình vuông sau giao hoán được thỏa mãn.
Do g đơn cấu nên cũng đơn cấu khi đó theo giả thiết chẻ ra, tức là tồn tại đồng cấu v N: Q sao cho v 1
Q Đặt h v :BQ ta có f v f v g hg, Điều này chứng tỏ Q là nội xạ
Theo định nghĩa, để xác định tính nội xạ của môđun Q ta cần chứng tỏ sự tồn tại của đồng cấu h B: Q, sao cho f hg
1 3.5 Định lí (Tiêu chuẩn Baer) Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải U R
R và mỗi đồng cấu f U: Q đều tồn tại đồng cấu
R sao cho hi f, trong đó i là phép nhúng U vào R
Chứng minh Hiển nhiên điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của môđun Ta cần chứng minh điều kiện đủ theo hai bước sau
trong đó là đơn cấu Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của
B sao cho ImC và tồn tại đồng cấu :CQ sao cho Ta khẳng định rằng khi đó tồn tại môđun
C1của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu
) Để chứng minh điều khẳng định này ta lấy b B b C , và đặt
Nếu C bR0 thì có thể mở rộng trên C 1 một cách tầm thường Nếu C bR0 ta thực hiện nhƣ sau Gọi U u R bu C
Rõ ràng U là iđêan phải trong R và ánh xạ
là một R- đồng cấu Đặt , :UQ Theo giả thiết tìm đƣợc đồng cấu :R Q
sao cho i , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
Bây giờ ta định nghĩa :
Tương ứng 1 là một ánh xạ Thật vậy, nếu có
Do và là những R - đồng cấu nên
1 cũng là R - đồng cấu, và rõ ràng
Bước 2 Giả sử CoIm và o là đẳng cấu của A lên Co, cảm sinh bởi Đặt 1
o , ta có thể kéo dài lên B nhờ bước 1 và Bổ đề Zorn Cụ thể, giả sử là tập tất cả các cặp C , , trong đó
Tập vì co,o Đƣa vào quan hệ thứ tự
Bây giờ giả sử A là một dây chuyền trong và
Rõ ràng, Co D B và giã sử :DQ đặt tương ứng d d với dC, trong đó C , A Điều này chứng tỏ rằng D , là lân cận trên của A trong Theo Bổ đề Zorn, trong tồn tại phần tử tối đại, và phần tử tối đại này phải bằng B , với .
Môđun con bé
1.4.1 Định nghĩa Một môđun con B của môđun M đƣợc gọi là bé (hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu BM , Nếu với mọi môđun con L của M ,
LM thì B L M Nói cách khác, nếu B L M thì LM
2) Trong - môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là môđun con bé
Thật vậy, giả sử F là - môđun tự do với cơ sở e i I i Khi đó
F I ei Giả sử A là môđun con khác không của F và 0 a A Khi đó a biểu diễn duy nhất dưới dạng
Chọn n , n1 sao cho n x , 1 1 và đặt
ta có a E F, nghĩa là A E F, trong đó EF Điều này chứng tỏ A không là môđun con bé của F
3) Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong
Z là đối cốt yếu trong
Z Thật vậy, giả sử A là môđun con của , sinh bởi tập
q q 1 , 2 , ,q n và E là môđun con của sao cho A E Khi đó
q q 1 , 2 , ,q n E là một hệ sinh của
Z Từ đó E là một hệ sinh của và do đó E Điều này chứng tỏ A
1.4.3 Chú ý AM khi và chỉ khi với mọi E là môđun con thực sự của M ,
A E cũng là môđun con thực sự của M
1.4.4 Bổ đề 1) Nếu trong M có dãy những môđun con A B C thì BC kéo theo AM.
3) Nếu :M N là đồng cấu các môđun và AM thì A N
Chứng minh 1) Giả sử D là môđun con trong M sao cho A D M Khi đó
B D M và theo luật môđula ta có
Do BC nên D C C Điều này kéo theo CD Bởi vậy
2) Ta tiến hành quy nạp theo n Với n1 mệnh đề đúng do giả thiết
Giả sử ta đã chứng minh đƣợc
Bây giờ, giả sử D là môđun con của M sao cho
Khi đó, do AM nên A D M Lại do AM nên DM, điều này chứng tỏ
3) Giả sử A D N Với D là môđun con của N Ta chứng tỏ
Thật vậy, với phần tử tùy ý m M ta có
Do AM nên 1 suy ra 1 D M Bởi vậy
Do đó N A D D , và ta có điều phải chứng minh
R môđun con aR không là môđun con bé trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a K
Chứng minh. Nếu K là môđun con tối đại trong M và a K thì
. aR K M Bởi vậy aR không là môđun con bé trong M
Để chứng minh phép kéo theo này ta sử dụng Bổ đề Zorn Đặt là tập tất cả các môđun con B của M, BM sao cho aR B M
Tập do aR không là môđun con bé Giả sử A là một dây chuyền trong (Theo quan hệ bao hàm) Khi đó dễ thấy
Bo là lân cận trên của A, và chúng ta cần chứng minh rằng Bo khác M Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng a không thuộc Bo Nếu a thuộc Bo, thì sẽ tồn tại một B nào đó trong A sao cho a thuộc B Khi đó, aR sẽ là tập con của B, dẫn đến kết luận cần thiết.
M aR B B trái với giả thiết BM Bởi vậy a Bo
Mặt khác, hiển nhiên BoaRM, nghĩa là Bo Khi đó theo Bổ đề Zorn trong có phần tử tối đại K
Ta chứng tỏ K là môđun con tối đại trong M Thật vậy, giả sử có môđun con E của M sao cho K E và KE Khi đó E Đồng thời
M aR K aR E M aR E M Bởi vậy EM, chứng tỏ K là tối đại trong M
MÔĐUN SUY BIẾN VÀ MÔĐUN ĐỐI SUY BIẾN
Môđun suy biến
2.1.1 Bổ đề Cho môđun M Ký hiệu
Z M {x M xI / 0 với I là iđêan phải cốt yếu nào đó của R }
Khi đó Z M là môđun con của M
Cho x y, Z M , khi đó I J , * R R mà xI 0, yI 0 Đặt A I J khi đó A *R
R (giao hữu hạn các môđun con cốt yếu là cốt yếu) Ta có
Cho x Z M xI 0 với I * R R và r R (r bất kỳ) Ta chứng minh xr Z M Đặt K a R ra I /
R ( K là iđêan phải của R) Xét đồng cấu:
(Tạo ảnh toàn phần của môđun con cốt yếu là môđun con cốt yếu)
Mặt khác xrK 0 Bởi vì lấy bất kỳ a K ta có xra x ra xI 0
Vậy xr Z M Hay Z M là môđun của M
2.1.2 Định nghĩa : Đối với một môđun M i) Ta gọi Z M là môđun con suy biến của M ii) Nếu Z M 0 ta gọi M là môđun không suy biến. iii) Nếu Z M M ta gọi M là môđun đối suy biến iv) 0 Z M M ta nói rằng M không phải là môđun không suy biến và không phải là môđun suy biến vi) Vành R gọi là vành không suy biến phải (trái) nếu R - môđun phải
Vành R được coi là suy biến nếu môđun phải (trái) của R là suy biến Một vành R được xác định là suy biến (hoặc không suy biến) khi cả hai môđun phải và trái đều suy biến (hoặc không suy biến).
2.1.3 Ví dụ 1) Xét - môđun có Z {x /xI 0 với I * }.Do đó In , n0 suy ra xI xn 0 Vậy Z 0 hay là môđun không suy biến
Lấy x 6 , khi đó 6 * mà x 6 0 (bằng 0 trong 6 ) Do đó
Z Hay 6 là môđun suy biến
Tổng quát - môđun n thì Z n n nghĩa là n là môđun suy biến (trên vành )
3) Xét 6 - môđun 6 (môđun 6 trên vành 6 )
Do 6 là vành chỉ có 6 cốt yếu trong
6) Hay 6 không suy biến trên vành 6
Ta thấy 4 chỉ có hai môđun cốt yếu là 0;2 và 4 , nên
Z Vì 0 0;2 4 , do đó 4 - môđun 4 không phải là môđun suy biến cũng không phải là môđun đối suy biến
2.1.4 Mệnh đề a) M là môđun suy biến khi và chỉ khi M AB với A là môđun nào đó và B là môđun cốt yếu trong A b) Nếu A là môđun suy biến, A B là môđun suy biến thì B cốt yếu / trong A
Chứng minh a) Giả sử M là môđun suy biến Ta có M F A , trong đó F là môđun tự do và K là một môđun con của F Gọi x i i là cơ sở của F hay
Do M suy biến nên F K là suy biến Vì thế với mỗi xi K FK, tồn tại iđêan Ii*RR để x i K I i 0, hay x I i i K K , với mọi i Do
I *R i R nên x Ii i* x Ri R vì vậy t x It t * t x Rt R F
Do x It t K, với mọi t, nên t x It t * K.
Do đó K * F Lấy AF B, K, ta có
B A Ngƣợc lại, giả sử M AB với A là môđun nào đó và B là môđun con cốt yếu trong A Lấy bất kỳ aA và gọi I R a / B
Vì f 1 B I và B * A nên I R R Ta có a b I B 0 (lớp không trong môđun thương A B ) hay a B Z A B hay A B Z A B Vậy
A B suy biến, nghĩa là M suy biến b) Giả sử X là một môđun con khác không của A Khi đó tồn tại
, 0 xX x Suy ra x B A B Z A B Do đó tồn tại I *R
x B I 0 hay xI B Do A không suy biến nên xI 0 mà xI X cho nên B X 0 Vậy B cốt yếu trong A.
Môđun M-suy biến
Cho R là vành và M, N là các R-môđun phải N đƣợc gọi là suy biến trong M hay môđun M- suy biến nếu N L
Khi M R thì khái niệm M- suy biến trùng với khái niệm suy biến thông thường, có nghĩa là N suy biến khi và chỉ khi N là R - suy biến
Thật vậy, N là môđun R - suy biến khi và chỉ khi N L
L R K L Mặt khác, ta đã biết R Mod R hay L là R môđun, do đó N là môđun R- suy biến khi và chỉ khi N L
K L khi và chỉ khi N suy biến
Mọi môđun M-suy biến đều nằm trong M
Giả sử N là môđun M- suy biến Ta có N L
Ta lại có LK M ,vì môđun thương của môđun M là môđun thuộc
K nên N M Mọi môđun M-suy biến là suy biến
Gọi N là môđun M-suy biến, ta có N L
Ta có K và L cũng là R- môđun, vì vậy N là môđun suy biến
Lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy môđun con, có nghĩa là môđun con của môđun M- suy biến là môđun M- suy biến
Gọi N là môđun M- suy biến, PN Ta có N L
L M K L, vậy tồn tại đẳng cấu :f N LK, khi đó P f P Ta có
L f P K nên f P X K với K X L Vì L M nên X M , vì
K *L nên ta có K * X, mà P f P X K , do đó P là môđun M- suy biến
Lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy tổng trực tiếp
Gọi N , i I i là các môđun M-suy biến Khi đó Ni L i Ki với
Từ đó ta có các đẳng cấu :fi Ni LiKi, vì vậy
I I i I ii xi Ki I xi I I Ki
Ta có L M , i I i nên I Li M đóng đối với việc lấy tổng trực tiếp Hơn nữa do K L , i I i i nên I Ki * I Li Do đó N i
là môđun M- suy biến Ảnh đồng cấu của môđun M-suy biến là môđun M- suy biến
Mọi môđun N M có chứa một môđun con M-suy biến và kí hiệu là Z M N
Thật vậy, gọi N i I i là tập tất cả các môđun con M-suy biến của N
Vì lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy tổng trực tiếp nên ta có
I Thật vậy, x A, ta có x xi với x i I I N i , do đó
Ngƣợc lại x I Ni thì x đƣợc biểu diễn hữu hạn ,
A N , là môđun con của N, và
Môđun M- suy biến có ảnh đồng cấu là môđun suy biến, do đó A hay ∑I Ni được xác định là môđun M- suy biến, đồng thời là môđun M- suy biến lớn nhất trong N.
Với mọi R- môđun N, ta có Z N Z R N
Ta có Z N là môđun con suy biến của N nên Z N là môđun R- suy biến, mà Z R N là môđun R- suy biến lớn nhất trong N Vì vậy
Tập hợp Z(N) được định nghĩa là tập hợp các phần tử x thuộc N sao cho x nằm trong I*R Ở đây, "lớn nhất" được hiểu theo quan hệ bao hàm, không phải theo nghĩa tối đại, vì nếu hiểu theo nghĩa tối đại, môđun con R-suy biến sẽ lớn hơn.
Môđun con suy biến của N, ký hiệu là xI 0, cho thấy rằng Z(N) là môđun con suy biến lớn nhất của N Giả sử K là môđun con suy biến lớn nhất của N, điều này dẫn đến các kết luận quan trọng về cấu trúc của N.
để xI 0, suy ra xZ N Vậy Z N cũng chính là môđun con R-suy biến lớn nhất của N, do đó Z N Z R N
2.2.1 Mệnh đề Cho M là R - môđun phải, ta có các điều kiện sau là tương đương a) M không suy biến trong M b) Với K M và mọi f : KM, ker f đóng trong K c) Với K M và mọi f : KM, ker f không cốt yếu trong K Chứng minh a ) b ) : Chứng minh ker f đóng trong K tức là chứng minh
ker f không mở rộng cốt yếu thực sự trong K hay với kerf f * N K ta suy ra ker f N
: , f KM gọi g f N Ta có ker f = ker g vì ker f N ta lại có
: g N L g N là toàn cấu nên N ker g N ker f g N f N M
Vì K M , N K nên N M (môđun con của môđun thuộc M là môđun thuộc M ) Mà L N ker f , ker f * N cho nên L là môđun
Do M không M- suy biến nên Z M L 0 L f N M suy ra
Ta có ker f ker g x N f x 0 N (vì f N 0 và ker f N )
) ) : b c ta xét f không phải là đồng cấu tầm thường, vì vậy
er k f K Vì k er f đóng trong K nên nó không có mở rộng cốt yếu thực sự trong K hay ker f * K
) ): c a Giả sử Z M M N 0, khi đó tồn tại K M L, *K K, 0 mà N KL, suy ra tồn tại toàn cấu f : K N mà ker f L tức f 0 Vì vậy tồn tại K M và 0 f K: N sao cho ker f * K , trái với c)
Do đó M không suy biến trong M
2.2.2 Định lý Cho M là R- môđun phải và M là bao M- nội xạ của nó
1) Mọi môđun N trong M với Hom N M , 0 là M- suy biến
a N trong M là M- suy biến khi và chỉ khi Hom N M , 0
b Lớp các môđun M- suy biến là đóng đối với việc lấy mở rộng
Giả sử có môđun N thuộc M với Hom(N, M) = 0 nhưng không phải là môđun M-suy biến, tức là Z(M)(N) ≠ N Khi đó, bao M-nội xạ N cũng không phải là M-suy biến Nếu N là M-suy biến, thì N cũng sẽ trở thành môđun M-suy biến, điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu.
Vì mọi môđun nội xạ trong M là M-sinh, nên N cũng là M-sinh Do đó, tồn tại toàn cấu f M: N, suy ra k er f * M Giả sử k er f * M , vì f là toàn cấu nên.
M k f N mà M M suy ra N là M- suy biến, vô lý
cũng là toàn cấu (vì f toàn cấu)
Tương tự như trên ta có ker f * f 1 N , vì vậy tồn tại 0 K f 1 N sao cho K k er f 0 Ta có f K : K N là đơn cấu, vì
Do đó ta có K L f K N Vì K 0 , K f 1 N M nên tồn tại
Gọi h M: M (x iolà thành phần ở vị trí io, vị trí mà có a 0 io ) x i I x i o khi đó ta có h là đồng cấu và h 0.
ta có g0 Vì K L nên tồn tại đẳng cấu : LK, mà K 0 nên 0, do đó g 0 (vì g0)
Vì M là bao của M- nội xạ trong M nên M nội xạ trong M hay M là
N- nội xạ (vì N M ), nên tồn tại đồng cấu * là mở rộng của , tức là
trong đó i là một đơn cấu nhúng
Vì * i mà 0 nên *0 hay Hom N M , 0 là M- suy biến
2) a N M , Hom N M , 0 thì N là M- suy biến (đã chứng mục 1)
Với N M là M- suy biến, ta chứng minh Hom N M , 0 suy ra
Z M M 0, vì giả sử Z M M 0 thì từ M * M suy ra Z M M M 0 Ta có
Z M M M Z M M mà lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy môđun con nên Z M M M cũng là môđun M- suy biến Từ đó ta có
0Z M M M M là môđun con M- suy biến của M, trái với giả thiết
Giả sử Hom N M , 0 suy ra tồn tại 0 f N: M là đồng cấu vậy
0. f N Ta có f n là ảnh đồng cấu f N , là môđun M- suy biến nên
f N cũng là M- suy biến của M (lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy ảnh đồng cấu) Mặt khác f N 0, Z M M 0 nên suy ra vô lý, vậy
b Chứng minh lớp các môđun M- suy biến là đóng đối với việc lấy mở rộng có nghĩa là chứng minh với mọi dãy khớp f g
O K L N O mà K và N là các môđun M- suy biến thì L cũng là môđun M- suy biến
Từ a ta có Hom K M , Hom N M , 0 Mặt khác, nếu cho một phức M' M M'' O.
Do đó phức này là khớp khi và chỉ khi với R- môđun N ta có dãy
là khớp Vậy ta có dãy
Vì Hom N M , 0 nên Im g * g * 0 0; Hom K M , 0 nên
do đó Hom L M , 0, vì vậy theo a ta có L là môđun M- suy biến.
Môđun đối suy biến
2.3.1 Định nghĩa môđun bé Cho môđun B trên R, B đƣợc gọi là môđun bé nếu B là môđun con bé trong một môđun M nào đó
2.3.2 Bổ đề B là môđun bé khi và chỉ khi B là môđun con bé trong bao nội xạ của E B của B
Chứng minh Chiều thuận Cho môđun B bé, theo định nghĩa tồn tại môđun X để o
B X Ta cần chứng minh b O E B trong đó E B là bao nội xạ của B
Thật vậy, do B o X B o X E B * ta lại có E B nội xạ và
A là môđun nào đó trong môđun X E B
Khi đó ta có B o E B A , mà B E B do vậy B o E B
(Theo tính chất đã biết rằng nếu môđun PM N và o ,
Chiều ngƣợc lại Hiển nhiên theo định nghĩa, vì B o E B thì chứng tỏ B là môđun con bé trong một môđun nào đó
2.3.3 Định nghĩa Cho môđun M, Ký hiệu
Z M { U M M U là môđun bé} và Z M đươci gọi là môđun con đối suy biến của môđun M
Nếu Z M 0 khi đó M đƣợc gọi là môđun đối suy biến
Nếu Z M M khi đó M đƣợc gọi là môđun không đối suy biến
2.3.4 Định lý Các mệnh đề sau đây là tương đương với môđun M i) Z M là hạng tử trực tiếp của M ii) M là tổng trực tiếp của môđun con đối suy biến và một môđun con không đối suy biến Trong trường hợp này Z M là môđun con không đối suy biến lớn nhất của M
Chứng minh i)ii) Giả sử N là một môđun con của M sao cho M Z M N
Bởi 7 , (mệnh đề 2.1 7 ), N là đối suy biến Khi Z M Z Z M Z N
Bởi 7 , (mệnh đề 2.1 4 ), chúng ta có Z M Z Z M Do đó, Z M là không đối suy biến
) ) ii i Giả sử N là một môđun con đối suy biến của M và để cho K là một môđun không đối suy biến của M sao cho M N K Đƣợc suy ra từ
7 , (mệnh đề 2.1 4 ), Z M Z N Z K Nhƣ vậy, Z M K là một hạng tử trực tiếp của M Đối với mệnh đề cuối cùng: Nếu L là một môđun con không đối suy biến của M, từ đó L Z L Z M