Phân tích động lực dầm tựa đơn chịu vật chuyển động

TỔNG QUAN

Sự cần thiết của việc nghiên cứu

Bài toán vật mang khối lượng chuyển động trên dầm là một vấn đề cơ bản trong kết cấu động, đặc biệt quan trọng trong ngành xây dựng cầu Các kết cấu dầm thường phải chịu tải trọng thay đổi theo thời gian và không gian Phân tích động lực của dầm dưới tải trọng di động đã được nghiên cứu từ lâu, mô phỏng sự tương tác giữa xe và cầu, trong đó xe được xem như một vật tròn chuyển động và dầm là dầm tựa đơn Tải trọng động từ xe có ảnh hưởng lớn đến việc lựa chọn giải pháp kết cấu, do đó nghiên cứu dao động của dầm chịu vật chuyển động là chủ đề thu hút sự quan tâm của các chuyên gia và nhà khoa học.

Trong bối cảnh phát triển hiện nay, hệ thống giao thông đang ngày càng hoàn thiện với sự đa dạng của các phương tiện và gia tăng về trọng lượng cũng như tốc độ di chuyển Nghiên cứu dao động của dầm dưới tác động của vật mang khối lượng chuyển động không chỉ mang tính thực tiễn cao mà còn có ý nghĩa khoa học sâu sắc.

Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn

Phân tích phản ứng động của dầm tựa đơn dưới tác động của vật di động dựa trên lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Bài viết áp dụng phương pháp phần tử chuyển động MFE (Moving Finite Element) để mô hình hóa vật chuyển động và phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method) để mô hình hóa dầm Ma trận khối lượng, độ cứng và cản tổng thể của hệ thống được tính toán tại từng thời điểm, bao gồm cả ma trận khối lượng, độ cứng và cản của vật di động.

Qua phân tích động lực học dầm tựa đơn, luận văn trình bày một số nội dung chính sau:

- Xác định phương trình vi phân chuyển động của hệ

Phương pháp PTHH và phương pháp phần tử chuyển động được áp dụng để mô hình hóa bài toán, kết hợp với phương pháp tích phân trực tiếp Newmark nhằm giải quyết các phương trình vi phân Thuật toán được xây dựng trên ngôn ngữ lập trình Matlab.

- Kiểm tra độ tin cậy của chương trình bằng cách so sánh kết quả của chương trình với các kết quả của các tác giả khác

- Đưa ra một số bài toán nhằm khảo sát ảnh hưởng của một số đại lượng đến dao động của dầm

- Đưa ra nhận xét, kết luận và hướng phát triển của đề tài.

Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày gồm 5 chương chính, ngoài ra có phần phụ lục và tài liệu tham khảo như sau:

Chương 1: Trình bày tổng quan về nghiên cứu dao động của dầm chịu tải trọng di động, trình bày mục tiêu nghiên cứu và nhiệm vụ của luận văn

Chương 2: Trình bày phương pháp số được sử dụng để giải quyết bài toán dao động, phương pháp Newmark được trình bày và phân tích cụ thể

Chương 3: Trình bày cơ sở lý thuyết, đưa ra phương trình vi phân cân bằng của dầm tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động Vật chuyển động có gia tốc được mô phỏng như một phần tử chuyển động Lý thuyết dầm Euler- Benoulli làm cơ sở cho ứng xử của dầm, phần tử dầm được rời rạc thành các phần tử thông qua phương pháp phần tử hửu hạn, ma trận khối lượng, độ cứng, cản tổng thể có xét đến các ma trận khối lượng, độ cứng, cản của vật chuyển động

Chương 4: Kết quả số khi xét một số bài toán được trình bày Các ví dụ số được trình bày trên 3 bài toán cơ bản: dầm có tiết diện không đổi chịu 1 vật chuyển động, dầm có tiết diện không đổi chịu 2 vật chuyển động, dầm có tiết diện ngang thay đổi chịu 1 vật chuyển động

Chương 5: Trình bày kết luận và hướng phát triển

Phụ lục: Trình bày code Matlab để giải một số bài toán ở chương 4

Các kết quả đã nghiên cứu

Trong những năm gần đây, nhiều tác giả cả trong nước và quốc tế đã tiến hành nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về phân tích động của dầm tựa đơn dưới tác động của vật chuyển động Mục này sẽ hệ thống hóa các nghiên cứu tiêu biểu đã và đang được thực hiện trong lĩnh vực này.

1.4.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Ismail Esen đã nghiên cứu ứng xử động của dầm dưới tác động của vật chuyển động có gia tốc, mô hình hóa vật này như một phần tử chuyển động để phân tích ảnh hưởng của lực quán tính Nghiên cứu cũng xem xét các thành phần lực tác dụng lên dầm, bao gồm lực hướng tâm và lực Coriolis Mục tiêu chính của nghiên cứu là khảo sát ảnh hưởng của gia tốc của vật chuyển động đến lực dọc.

Huajiang Ouyang nghiên cứu về kết cấu chịu tải trọng di động, trong đó ông trình bày phương trình vi phân cân bằng của lý thuyết dầm và tấm Đồng thời, Mesut Simsek cũng nghiên cứu dao động của dầm phân lớp chức năng (FG) tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động, áp dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko Phương trình cân bằng chuyển động được suy ra từ phương trình Lagrange.

Lu Sun [16] đã nghiên cứu dao động của dầm trên nền đàn nhớt (viscoelastic) dưới tải trọng di động, trong đó đưa ra lời giải kín cho dao động dầm Hàm Green của dầm được xác định thông qua biến đổi Fourier Để tính độ võng của dầm, phương trình tuyến tính đạo hàm riêng được áp dụng Đồng thời, P Sniady [17] cũng đã nghiên cứu dao động của dầm dưới tải trọng di động với vận tốc ngẫu nhiên (stochastic) không theo quy luật.

Fahim Javid [20] đã nghiên cứu về việc khử dao động của dầm dưới tác động của tải trọng di động bằng cách tối ưu hóa hệ thống giảm chấn TDM (Tuned – Mass – Damper) Nghiên cứu này được thực hiện trên hai loại dầm với hình học khác nhau: dầm cong và dầm thẳng.

Zhuchao Ye và Huaihai Chen đã nghiên cứu dầm tựa đơn chịu tác động của vật khối lượng chuyển động Nghiên cứu của họ tập trung vào việc khảo sát ảnh hưởng của vận tốc và khối lượng của vật chuyển động đến hành vi ứng xử của dầm.

Arash Yavari [26] áp dụng phương pháp số được gọi là phương pháp rời rạc phần tử (discrete element technique - DET) để phân tích phản ứng động của dầm Timoshenko dưới tác động của vật mang khối lượng chuyển động Trong phương pháp DET, các phần tử uốn của dầm liên tục được thay thế bằng các hệ thống thanh cứng (rigid bars) và khớp dẻo (flexible joints).

A Nikkhoo [27] nghiên cứu dao động dầm Euler- Bernoulli chịu vật khối lượng di động Hàm dirac-delta được sử dụng để thể hiện vị trí của vật chuyển động dọc suốt chiều dài dầm và cũng để thể hiện của lực quán tính Thuật toán điều khiển tối ưu tuyến tính cổ điển (a linear classical optimal control algorithm) với thời gian thay đổi được sử dụng để điều khiển dao động của dầm Hiệu quả của thuật toán điều khiển trong việc khử dao động của hệ thống chịu ảnh hưởng của vật chuyển động với điều khiển các mode khác nhau và cơ cấu điều chỉnh được khảo sát

Jia-Jang Wu nghiên cứu dao động của dầm nghiêng dưới tác động của tải trọng di động, sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để phân tích ảnh hưởng của lực quán tính, lực hướng tâm và lực Coriolis Nghiên cứu cũng xem xét tác động của lực ma sát giữa vật tròn chuyển động và dầm.

Raid Karoumi [52] đã nghiên cứu dao động của cầu treo và cầu dây văng dưới tác động của tải trọng di động Nghiên cứu này tập trung vào việc khảo sát ảnh hưởng của hệ số cản cầu, tương tác giữa xe và cầu, dao động của dây cáp, tình trạng mặt cầu ghồ ghề, tốc độ xe chạy, và hệ thống giảm chấn TMD Kết quả tính toán cho thấy mặt cầu ghồ ghề có ảnh hưởng rất lớn đến dao động của cầu.

1.4.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Tại ĐHBK TP HCM, nhiều luận văn cao học ngành xây dựng tập trung vào các bài toán kết cấu chịu tải trọng chuyển động Đỗ Nguyễn Văn Vương [12] đã thực hiện phân tích dao động của cầu dây văng dưới tải trọng di động, trong đó nghiên cứu này xem xét ảnh hưởng của độ cứng dây cáp đến dao động của cầu.

Nguyễn Đăng Phong đã tiến hành phân tích dầm giản đơn chịu tải trọng điều hòa di động, trong đó xem xét ảnh hưởng của khối lượng vật di động Nghiên cứu này áp dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao để thực hiện phân tích dầm.

Nguyễn Tấn Cường đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt với sự xem xét đến khối lượng vật chuyển động Tác giả thiết lập ma trận khối lượng tấm tại từng thời điểm, đồng thời nghiên cứu mô hình moving sprung mass để khảo sát ảnh hưởng của dao động tấm đến dao động của xe.

Nguyễn Anh Duy đã tiến hành phân tích dầm Timoshenko chịu tải trọng di động, trong đó áp dụng hệ cản khối lượng (TMDs) nhằm giảm thiểu dao động của dầm Đồng thời, Nguyễn Thế Trường Phong cũng nghiên cứu ứng xử của dầm phân lớp chức năng trên nền đàn hồi Winkler dưới tải trọng di động, dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng chuyển vị phi tuyến Von-Karman Đặc điểm vật liệu trong nghiên cứu này được giả thuyết tuân theo luật lũy thừa với số mũ k.

PHƯƠNG PHÁP SỐ

Giới thiệu

Tính toán dao động kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ phương trình vi phân mu + cu + ku = f i, trong đó u là véc tơ chuyển vị nút, k là ma trận độ cứng, m là ma trận khối lượng quy đổi, c là ma trận cản quy đổi, và f i là véc tơ tải trọng nút quy đổi Hệ phương trình này là phi tuyến.

Giải hệ phương trình phi tuyến theo phương pháp giải tích thường gặp nhiều khó khăn Với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử, việc tính tích phân trực tiếp cho hệ phương trình vi phân đã trở thành một xu hướng mới Hiện nay, có nhiều phương pháp gần đúng để tính tích phân trực tiếp như phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp Houbolt, phương pháp Newmark và phương pháp Wilson Mỗi phương pháp này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng, nhưng trong luận văn này, phương pháp Newmark được lựa chọn vì tính phù hợp của nó trong phân tích phi tuyến của bài toán.

Phương pháp Newmark

Phương pháp tích phân Newmark, được giới thiệu bởi Newmark vào năm 1959, dựa trên giả thiết rằng gia tốc tuyến tính giữa hai khoảng thời gian là không đổi Phương pháp này đã được áp dụng rộng rãi trong việc phân tích động lực học của các kết cấu chịu tải động đất và nổ trong suốt 52 năm qua Ngoài ra, nó còn được cải tiến và phát triển bởi nhiều nhà nghiên cứu khác, giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các ứng dụng thực tế.

-7- tích phân số Newmark, chúng ta xem xét giải phương trình cân bằng động học

Sử dụng trực tiếp chuổi Taylor ta nhận được hai phương trình cân bằng [23]: ̇ ̈ ⃛ +… (2.2.1) ̇ ̇ ̈ ⃛ … (2.2.2)

Phương trình (2.2.1), (2.2.2) được Newmark cắt bỏ bớt và được viết lại dưới dạng : ̇ ̈ ⃛ (2.2.3) ̇ ̇ ̈ ⃛ (2.2.4)

Nếu giả thiết rằng gia tốc tuyến tính trong bước thời gian, ta có được phương trình:

(2.2.5) Thay phương trình (2.2.5) vào phương trình (2.2.3), (2.3.4) ta được phương trình

Hệ số Newmark được biểu diễn qua các công thức cơ bản: ̇ ̈ ̈ (2.2.6) và ̇ ̇ ̈ ̈ (2.2.7) Trong đó, hệ số  thể hiện sự thay đổi tuyến tính của ảnh hưởng giữa gia tốc ban đầu và gia tốc cuối đối với sự thay đổi vận tốc Hệ số  phản ánh mức độ ảnh hưởng của gia tốc đầu và gia tốc cuối đến chuyển vị.

Hình 2.1 Chuyển động theo sự thay đổi tuyến tính của gia tốc [4] t t+  v(t)

Tại thời điểm t i ta có ̇ ̇ ̈ ̈ , và theo phương pháp Newmark ta có thể xác định các đại lượng ̇ ̇ ̈ ̈ , tại thời điểm t i+1 như sau:

(2.2.8) ̇ ̇ ̇ (2.2.9) ̈ ̈ ̈ (2.2.10) (2.2.11) Thế (2.2.6), (2.2.10) vào (2.2.8) và (2.2.7), (2.2.10) và (2.2.9) ta được phương trình: ̇ ̇ ̈ ̈ ̈ ̇ ̈ ̈ (2.2.12) ̇ ( ) ̈ ̈ ̈ ̇ ̈ ̈ (2.2.13) Chia 2 vế phương trình (2.2.13) cho ta được:

Thay (2.2.14) và (2.2.15) vào phương trình số giai cân bằng: ̈ ̇ (2.2.16)

Ta được phương trình rút gọn: ̅ ̅ (2.2.17) trong đó:

Giải phương trình (2.2.17) để xác định số gia chuyển vị với các thông số k, m, c đặc trưng cho hệ thống và ̇ ̈ tại bước thời gian đầu (2.2.20) Sau khi có giá trị này, ta có thể tính ̇ ̈ từ các phương trình (2.2.14) và (2.2.15) Tiếp theo, thay các giá trị đã tính vào (2.2.8), (2.2.9), và (2.12.0) để tìm các giá trị ̇ ̇ ̈ ̈ Các bước tính tiếp theo sẽ sử dụng kết quả vừa tìm được làm điều kiện ban đầu, và quá trình này sẽ dừng lại khi số bước tính đạt yêu cầu thời gian của bài toán cụ thể.

Các hệ số tích phân của phương pháp Newmark

Qua việc thiết lập các phương trình (2.2.14) và (2.2.15), hệ số  được xác định là yếu tố quyết định mức độ cản nhân tạo trong phân tích từng bước Khi chọn giá trị =1/2, quá trình cản nhân tạo sẽ bị loại bỏ Do đó, Newmark đã đề xuất sử dụng =1/2 cho các hệ nhiều bậc tự do chuẩn mực.

Giữ giá trị =1/2 và =1/4, quá trình Newmark được rút gọn thành biểu thức xác định giai tốc và vận tốc cuối Do đó, phương pháp Newmark với =1/4 còn được gọi là phương pháp giai tốc trung bình không đổi.

Trong trường hợp giữ giá trị =1/2, lấy  =1/6 thì xấp xỉ với giai tốc tuyến tính

Hình 2.2 Biểu đồ ổn định của phương pháp tính phân Newmark [22]

Vấn đề chính xác của phương pháp Newmark

Độ chính xác của phương pháp tích phân Newmark phụ thuộc vào độ lớn bước thời gian t Có ba yếu tố phải xét khi chọn t [4]

1 Mức độ biến đổi của tải trọng f(t)

2 Độ phức tạp về tính chất phi tuyến của độ cứng và hệ số cản

3 Chu kỳ dao động T của hệ, với quy luật f(t) tương đối khá đơn giản thì t phụ thuộc vào T, thường t  T/10 có thể cho kết quả đáng tin cậy.

Các bước tính toán theo phương pháp Newmark

Bước 1: Tính các giá trị ban đầu

1 Dof = Tổng số bậc tự do của hệ

2 Tính toán chuyển vị, vận tốc, gia tốc ban đầu

3 Chọn bước thời gian và các hệ số Newmark

4 Tính toán các hằng số tính phân

Bước 2: Tính toán cho mỗi bước thời gian t=t+t

1 Tính các ma trận K, M, C tại thời điểm t=t+t

3 Đưa ma trận t  t K về ma trận tam giác trên: t t T

5 Tính chuyển vị tại tại thời điểm t=t+t

6 Tính gia tốc và vận tốc tại thời điểm t=t+t

Ví dụ số áp dụng phương pháp Newmark

Để kiểm tra độ tin cậy của phương pháp Newmark trong bài toán động, chúng tôi đã khảo sát hệ hai bậc tự do với các thông số m1 = m2 = 50 kg, c1 = c2 = 1000 Ns/m, và k1 = k2 = 30000 N/m, theo số liệu tham khảo [22].

Hình 2.3 Hệ 2 bậc tự do Áp dụng định luật 2 Newton ta có phương trình:

Sử dụng biến đổi Laplace

(m s c sk X s) ( ) f s( ) ( c sk X s) ( ) (2.6.4) Xắp xếp (2.6.3) và (2.6.4) ta được:

Bài toán dao động của hệ hai bậc tự do được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab cho kết quả sau đây:

Hình 2.4 Phản ứng xung lực của vật m 1

Phân tích từ Đồ thị hình 2.4 cho thấy phương pháp Newmark cho kết quả tương đồng với biến đổi Laplace, chứng tỏ rằng việc áp dụng phương pháp Newmark trong các bài toán động mang lại kết quả đáng tin cậy.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu

Chương này trình bày mô hình và lý thuyết tính toán dao động của dầm tựa đơn chịu vật khối lượng chuyển động Phương trình vi phân dao động của dầm được thiết lập dựa trên lý thuyết dầm Euler Để xác định độ võng và chuyển vị của dầm, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) kết hợp với phương pháp phần tử chuyển động (MFE) được áp dụng.

Cơ sở lý thuyết và thiết lập công thức

Trong suốt thế kỷ qua, nhiều tác giả đã phát triển các mô hình tính toán dao động của cầu khi xe chạy qua, từ những mô hình đơn giản đến phức tạp hơn để phản ánh chính xác hiện tượng thực tế Luận văn này sử dụng mô hình tương tác giữa xe và cầu, trong đó xe được mô phỏng bằng một vật tròn có khối lượng m_p, di chuyển từ bên trái sang bên phải dầm với vận tốc v_m(t) và gia tốc không đổi a_m Các thông số vật lý của dầm được xác định theo lý thuyết Euler-Bernoulli với mô đun đàn hồi E.

I, L, , A, trong đó E mô đun Young, I là mômem quán tính của mặt cắt ngang dầm,

L chiều dài của dầm,  là trọng lượng trên một đơn vị chiều dài của dầm, A là diện tích mặt cắt ngang của dầm

Hình 3.1 Dầm tựa đơn có vật di động với vận tốc v m (t)

Bài toán nghiên cứu ứng xử của dầm dựa trên phương trình vi phân Euler-Bernoulli, với giả thiết biến dạng nhỏ và tuân theo định luật Hooke.

Trong luận văn này, chúng tôi phân tích hai loại dầm khác nhau: loại thứ nhất là dầm có tiết diện mặt cắt ngang hằng số và khối lượng không đổi trên một đơn vị chiều dài; loại thứ hai là dầm có tiết diện mặt cắt ngang và khối lượng thay đổi theo chiều dài.

Phương trình dao động của dầm chịu vật chuyển động được mô tả như sau [5]:

                      Điều kiện biên và điều kiện ban đầu của dầm tựa đơn:

3.3 THIẾT LẬP MA TRẬN KHỐI LƢỢNG, CẢN, ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN

Dầm được chia thành n phần tử, mỗi phần tử s mang vật chuyển động với vận tốc v m(t) tại thời điểm t Mỗi nút của phần tử s có 3 lực và 3 chuyển vị Vị trí của vật trong tọa độ tổng thể được ký hiệu là x p(t), trong khi vị trí địa phương của vật là x m(t) Tổng số nút trên dầm là (n+1).

Hình 3.2 Rời rạc phần tử của dầm có mang vật chuyển động và cân bằng lực nút, chuyển vị của phần tử dầm thứ s

Khi dầm dao động, lực quán tính gây ra bởi vật chuyển động[5]:

      (3.3.2) trong đó: f x t z ( , ) là lực quán tính do vật chuyển động tại x, thời điểm t;

Gia tốc trọng trường được biểu diễn bằng hàm Dirac-delta, trong đó x0 và v0 là vị trí và vận tốc ban đầu của vật tại thời điểm t=0 Gia tốc của vật chuyển động được ký hiệu là am Để phân tích ảnh hưởng quán tính của vật, gia tốc d²w(x, tp)/dt² được tính từ phương trình vi phân bậc hai tổng thể của hàm w(z, x, t) với các biến t và xp.

2 2 2 2 w ( , ) w ( , ) w ( , ) w ( , ) w ( , ) p 2 p p p d x t x t x t dx x t dx x t d x dt t x t dt x dt x dt

(3.3.4) Phương trình (3.3.4) có thể viết được viết dưới dạng khác:

2 w ( , ) w ( , ) 2 w ( , ) w ( , ) w ( , ) p m m m d x t x t v a t x t v a t x t a x t dt          (3.3.5) ở đây kí hiệu ( ’ ) là đạo hàm theo x, ( ) là đạo hàm theo t, wz(x,t) là độ võng theo phương đứng (z) của dầm tại điểm x và thời điểm t

( , ) w 2 w w w z p m m m p f x t  m    v  a t   v  a t   a    x  x (3.3.6) trong đó: m w p z là lực quán tính ; m p    v 0  a t m  2 w  z  a m w    là lực hướng tâm; m p 2  v 0  a t m  w  là lực Coriolis; m p g là lực trọng trường

Trong phương trình (3.3.6), các thành phần quán tính như lực quán tính, lực hướng tâm, lực Coriolis và trọng lực của vật chuyển động đều ảnh hưởng đến độ võng của dầm.

Khi dầm dao động, thành phần lực nằm ngang (x) giữa vật và dầm:

Phương trình (3.3.7) được viết dưới dạng thu gọn:

Cân bằng lực nút của phần tử dầm thứ s dưới tác động của vật mang khối lượng chuyển động [5]: w ( 1, 4) s i i p x f N m i  (3.3.9)

N i (i=1÷6) là hàm hình dạng của phần tử dầm [19]:

  (3.3.12) trong đó l là chiều dài của phần tử thứ s, x m (t) là khoảng cách vật chuyển động với điểm nút bên trái của phẩn tử s tại thời điểm t hình (3.2)

Mối quan hệ giữa hàm hình dạng và chuyển vị của phần tử thứ s tại vị trí x và thời điểm t [19]

1 1 4 4 w ( , ) x x t  N u s N u s (3.3.13) z 2 2 3 3 5 5 6 6 w ( , )x t  N u s N u s N u s N u s (3.3.14) ở đây u i (i=1÷6) là chuyển vị nút của phần tử dầm mà vật chuyển động đang đứng Thế (3.3.11), (3.3.12) vào phương trình vào (3.3.8), (3.3.6) ta được biểu thức viết dưới dạng ma trận [5]:

(3.3.15f) với k i j ,  v t N N ( ) 2 i j   a N N m i j  triển khai ra ta được:

Với phương trình chuyển động v(t) = v0 + a(t), trong đó m, c, k đại diện cho các ma trận khối lượng, cản và độ cứng của phần tử chuyển động, vị trí x p(t) của vật chuyển động m p sẽ thay đổi theo thời gian Do đó, các ma trận khối lượng, cản và độ cứng cũng sẽ biến đổi theo thời gian Đặc biệt, ma trận cản và ma trận độ cứng chứa biến vận tốc v(t), ảnh hưởng đến động lực học của hệ thống.

3.4 THIẾT LẬP MA TRẬN KHỐI LƢỢNG, ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM

3.4.1 Phần tử dầm chụi uốn và lực dọc Để thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm ta dựa trên các giả thiết sau:

 Phần tử có chiều dài là l với 2 nút, mỗi nút tại mỗi đầu mút

 Phần tử nối với các phần tử khác chỉ tại các nút

 Tải chỉ tác dụng lên các phần tử tại các nút

Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (dầm mỏng) được áp dụng để xây dựng ma trận phần tử hữu hạn, với giả thiết rằng mặt cắt dầm giữ nguyên tính phẳng trong quá trình uốn và không có biến dạng trượt Điều này có nghĩa là đường trung hòa luôn trực giao với mặt cắt trước và sau khi biến dạng Khác với lý thuyết dầm dày Timoshenko, lý thuyết Euler-Bernoulli không xem xét sự trượt của mặt phẳng, dẫn đến việc mặt cắt dầm duy trì sự trực giao giữa trục trung hòa và mặt cắt ngang.

3.4.2 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Giả thiết rằng biến dạng dọc trục và biến dạng uốn là độc lập, quá trình xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử được thực hiện bằng cách kết hợp phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh biến dạng dọc trục.

Xét phần tử dầm chịu uốn có hai bậc tự do gồm chuyển vị thẳng và góc xoay

Hình 3.3 Phần tử dầm và các chuyển vị nút

Hàm hình dạng N i (  ) chỉ tạo ra chuyển vị u i =1, trong khi các chuyển vị nút khác đều bằng 0 và cần phải thỏa mãn điều kiện biên Hàm hình dạng N i (  ) có tính chất tương tự như các hàm hình dạng khác.

Từ bốn hàm nội suy (3.4.1) ta xác định chuyển vị của dầm các chuyển vị nút: z 2 2 3 3 5 5 6 6 w  N u s N u s N u s N u s (3.4.2)

Hệ số cứng của dầm là phản lực nút do chuyển vị nút gây ra Ta xét trường hợp cụ thể như hình 3.4

Hình 3.4 Hệ số độ cứng của phần tử dầm

-21- Áp dụng nguyên lý công khả dĩ, ta có:

(3.4.3) Mômen do nội lực u 3 =1 gây ra là:

 (3.4.4) Công khả dĩ của nội lực:

∫     (3.4.5) Cho W I =W E ta suy ra được:

Tương tự, ta xét phần tử thanh chịu nén (phần tử thanh dàn 2 dầu là khớp)

Hình 3.5 Phần tử thanh chịu nén

Chọn hàm hình dạng tuyến tính:

Từ 2 hàm nội suy này ta xác định được chuyển vị của thanh:

1 1 4 4 w x  N u s N u s (3.4.9) Cách làm tương tự, ta có được công thức tổng quát hóa của phần tử thanh:

Từ 2 phương trình (3.4.7) và (3.4.10) tính được ma trận độ cứng K của một phần tử dầm chịu uốn và nén Ta xét hai trường hợp phần tử dầm đưới đây:

-22- a) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang không đổi A, độ cứng E, mômen quán tính I, và chiều dài l

EI EI EI EI k k k k k k l l l l k k k k k k EI EI EI EI k k k k k k l l l l

  b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), độ cứng E, mômen quán tính I(x), bề rộng b, và chiều dài l [22]

Hình 3.6 Hình dạng của phần tử dầm

  (3.4.12) Thay (3.4.12) vào (3.4.7) và (3.4.10) ta được các phần tử của ma trận K

3.4.3 Thiết lập ma trận khối lượng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Cách tiến hành thiết lập ma trận khối lượng tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng Dùng hàm nội suy N i () như trong ma trận độ cứng [4]:

Giả sử dầm chịu tác dụng của gia tốc góc tương đương với gia tốc đơn vị tại nút, sau đó dầm sẽ trải qua một chuyển vị khả dĩ Từ cân bằng công khả dĩ giữa lực nút và lực quán tính, ta có thể rút ra công thức tổng quát.

Từ phương trình (3.4.13), ta có thể tính toán ma trận độ cứng M của một phần tử dầm chịu uốn và nén Bài viết này sẽ xem xét hai trường hợp của phần tử dầm: a) Trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện cắt ngang thay đổi A, trọng lượng riêng  và chiều dài l.

  b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), bề rộng b, và chiều dài l hình 3.6

3.5 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CÂN BẰNG CỦA TOÀN HỆ

Theo phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình cân bằng chuyển động của dầm Euler-Bernoulli nhiều bậc tự do có cản được biểu diễn dưới dạng ma trận, cho phép phân tích chính xác các đặc tính động học và tĩnh học của dầm trong các ứng dụng kỹ thuật.

 ;   C t ( )  ;  K t ( )   tương ứng với ma trận khối lượng, cản, độ cứng tổng thể tức thời của hệ,   z t ( ) ;   z t ( ) ;   z t ( ) tương ứng với véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị,

Vào thời điểm t, véctơ ngoại lực tổng thể tức thời của hệ được biểu diễn bằng F(t) Để phân tích ảnh hưởng của lực quán tính và lực hướng tâm do chuyển động của vật gây ra, ma trận khối lượng M(t) và độ cứng K(t) tổng thể tức thời của hệ được thiết lập theo một phương pháp cụ thể.

Ngoại trừ ma trận phần tử của phần tử thứ s:

  si j si j si j ; si j si j si j ( , 1 6) 3.5.4 s s s s s s

M = M + m và K = K + k, trong đó n là tổng số bậc tự do của hệ thống Ma trận khối lượng [M] và ma trận độ cứng [K] được tổ hợp từ các ma trận phần tử dầm, trong khi [m] và [k] là ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử chuyển động.

Giái trị tức thời x m (t) và s được xác định như sau [5]:

3.6 THIẾT LẬP MA TRẬN CẢN

Ma trận cản tổng thể của dầm được tính toán từ lý thuyết Rayleigh [51]:

Thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm

Với công thức v(t) = v0 + at, trong đó [m], [c], [k] là các ma trận khối lượng, cản, và độ cứng của phần tử chuyển động, vị trí x p(t) của vật m p thay đổi theo thời gian Do đó, các ma trận khối lượng, cản và độ cứng cũng biến đổi theo thời gian Đặc biệt, ma trận cản và ma trận độ cứng đều phụ thuộc vào biến vận tốc v(t).

3.4 THIẾT LẬP MA TRẬN KHỐI LƢỢNG, ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM

3.4.1 Phần tử dầm chụi uốn và lực dọc Để thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm ta dựa trên các giả thiết sau:

 Phần tử có chiều dài là l với 2 nút, mỗi nút tại mỗi đầu mút

 Phần tử nối với các phần tử khác chỉ tại các nút

 Tải chỉ tác dụng lên các phần tử tại các nút

Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (dầm mỏng) được áp dụng để xây dựng ma trận phần tử hữu hạn, với giả thiết rằng mặt cắt dầm giữ nguyên phẳng trong quá trình uốn và không có biến dạng trượt Điều này có nghĩa là đường trung hòa vẫn trực giao với mặt cắt trước và sau khi biến dạng Lý thuyết này khác với thuyết dầm dày của Timoshenko, nơi có sự trượt của mặt phẳng, dẫn đến việc mặt cắt dầm không duy trì sự trực giao giữa trục trung hòa và mặt cắt ngang.

3.4.2 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Dưới giả thiết rằng biến dạng dọc trục và biến dạng uốn là độc lập, quá trình xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử được thực hiện bằng cách kết hợp phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh biến dạng dọc trục.

Xét phần tử dầm chịu uốn có hai bậc tự do gồm chuyển vị thẳng và góc xoay

Hình 3.3 Phần tử dầm và các chuyển vị nút

Hàm hình dạng N i (  ) chỉ tạo ra chuyển vị u i = 1, trong khi các chuyển vị nút khác đều bằng 0 và phải tuân thủ điều kiện biên Hàm hình dạng N i (  ) có tính chất tương tự như

Từ bốn hàm nội suy (3.4.1) ta xác định chuyển vị của dầm các chuyển vị nút: z 2 2 3 3 5 5 6 6 w  N u s N u s N u s N u s (3.4.2)

Hệ số cứng của dầm là phản lực nút do chuyển vị nút gây ra Ta xét trường hợp cụ thể như hình 3.4

Hình 3.4 Hệ số độ cứng của phần tử dầm

-21- Áp dụng nguyên lý công khả dĩ, ta có:

(3.4.3) Mômen do nội lực u 3 =1 gây ra là:

 (3.4.4) Công khả dĩ của nội lực:

∫     (3.4.5) Cho W I =W E ta suy ra được:

Tương tự, ta xét phần tử thanh chịu nén (phần tử thanh dàn 2 dầu là khớp)

Hình 3.5 Phần tử thanh chịu nén

Chọn hàm hình dạng tuyến tính:

Từ 2 hàm nội suy này ta xác định được chuyển vị của thanh:

1 1 4 4 w x  N u s N u s (3.4.9) Cách làm tương tự, ta có được công thức tổng quát hóa của phần tử thanh:

Từ 2 phương trình (3.4.7) và (3.4.10) tính được ma trận độ cứng K của một phần tử dầm chịu uốn và nén Ta xét hai trường hợp phần tử dầm đưới đây:

-22- a) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang không đổi A, độ cứng E, mômen quán tính I, và chiều dài l

EI EI EI EI k k k k k k l l l l k k k k k k EI EI EI EI k k k k k k l l l l

  b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), độ cứng E, mômen quán tính I(x), bề rộng b, và chiều dài l [22]

Hình 3.6 Hình dạng của phần tử dầm

  (3.4.12) Thay (3.4.12) vào (3.4.7) và (3.4.10) ta được các phần tử của ma trận K

3.4.3 Thiết lập ma trận khối lượng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Cách tiến hành thiết lập ma trận khối lượng tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng Dùng hàm nội suy N i () như trong ma trận độ cứng [4]:

Giả sử dầm chịu tác động của gia tốc góc tương đương với gia tốc đơn vị tại nút, sau đó dầm sẽ trải qua một chuyển vị khả dĩ Từ sự cân bằng công khả dĩ giữa lực nút và lực quán tính, ta có thể rút ra công thức tổng quát.

Từ phương trình (3.4.13), ta có thể tính toán ma trận độ cứng M của một phần tử dầm chịu uốn và nén Bài viết này sẽ phân tích hai trường hợp của phần tử dầm, trong đó trường hợp đầu tiên là phần tử dầm có mặt tiết diện cắt ngang thay đổi A, trọng lượng riêng , và chiều dài l.

  b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), bề rộng b, và chiều dài l hình 3.6

Phương trình chuyển động cân bằng của toàn hệ

Theo phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình cân bằng chuyển động của dầm Euler-Bernoulli với nhiều bậc tự do và có cản được biểu diễn dưới dạng ma trận.

 ;   C t ( )  ;  K t ( )   tương ứng với ma trận khối lượng, cản, độ cứng tổng thể tức thời của hệ,   z t ( ) ;   z t ( ) ;   z t ( ) tương ứng với véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị,

Vào thời điểm t, véctơ ngoại lực tổng thể tức thời của hệ được ký hiệu là F(t) Để phân tích ảnh hưởng của lực quán tính và lực hướng tâm do chuyển động của vật gây ra, ma trận khối lượng M(t) và ma trận độ cứng K(t) tổng thể tức thời của hệ được thiết lập theo các phương pháp phù hợp.

Ngoại trừ ma trận phần tử của phần tử thứ s:

  si j si j si j ; si j si j si j ( , 1 6) 3.5.4 s s s s s s

M và K lần lượt là ma trận khối lượng và độ cứng tổng thể của hệ, được tạo thành từ các ma trận phần tử dầm Trong đó, m và k là ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử chuyển động Tổng số bậc tự do của hệ được ký hiệu là n.

Giái trị tức thời x m (t) và s được xác định như sau [5]:

Thiết lập ma trận cản

Ma trận cản tổng thể của dầm được tính toán từ lý thuyết Rayleigh [51]:

Hệ số thay đổi theo thời gian và phụ thuộc vào sự biến động của tần số tự nhiên của dầm tại từng bước thời gian Để đánh giá tác động của lực Coriolis do chuyển động của vật thể gây ra, ma trận cản tổng thể tức thời của hệ được thiết lập.

C  C i j   n ngoại trừ ma trận phần tử của phần tử thứ s:

3.7 VECTO LỰC TỔNG THỂ CỦA DẦM MANG VẬT CHUYỂN ĐỘNG

Véc tơ lực tổng thể tức thời của kết cấu thay đổi theo thời gian, với các phần tử của véc tơ này bằng 0, ngoại trừ lực nút của phần tử dầm thứ s đang mang vật chuyển động.

; (3.7.2) trong đó là hàm hình dạng tương tự như (3.3.11)

3.8 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

Phương trình (3.5.5) được giải bằng phương pháp số Newmark (Chương 2) Tần số tự nhiên không cản và dao động mode của dầm được tính toán dựa trên phương pháp này.

-26- giải phương trình thuần nhất (3.5.5) Trong trường hợp này, phương trình (3.5.5) được rút gọn: ̈ (3.8.1)

Lời giải (3.8.1) [5] Đạo hàm bậc hai z ta được: ̈ Thay z và ̈ vào (3.8.1) ta được:

(3.8.2) Đây là phương trình thuần nhất, chỉ tồn tại nghiệm khi : , i=(1-n) (3.8.3)

Từ (3.8.3) ta xác định được n giá trị tần số ,… Tần số tự nhiên là tần số tự nhiên thứ i, thay vào (3.8.2) ta tính được vectơ { } tương ứng

Vectơ tương ứng với tần số tự nhiên thứ i được gọi là mode tự nhiên thứ i hay mode hình dạng i Để tính toán ma trận khối lượng và độ cứng tổng thể của hệ thống tại mỗi bước thời gian, cần thực hiện các bước tính toán cụ thể.

1 Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử (3.4.11), (3.4.15)

2 Tại thời điểm t xác định phần tử s mà vật chuyển động đang đứng, sử dụng công thức (3.5.5)

3 Xác định giá trị vị trí của vật chuyển động phụ thuộc vào thời gian trên phần tử s ( 3.5.5)

4 Sử dụng giá trị mới tính được ở bước 3 thay vào (3.3.11) để tính toán hàm hình dạng

5 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động với các công thứ (3.3.5e), (3.3.5f) và (3.3.5g)

6 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời của toàn hệ bằng cách kết nối ma trận khối lượng, độ cứng của từng phần tử dầm và ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử vật chuyển động, sau đó ta áp điều kiện biên vào Giải phương trình trị riêng tìm các tần số tự nhiên của toàn hệ tại thời điểm t

7 Tại thời điểm quay lại bước 2

3.9 SƠ ĐỒ KHỐI GIẢI THUẬT BÀI TOÁN

Nhập các dữ liệu đầu vào của bài toán: + Các thông số của dầm, vật liệu

+Các thông số về tải trọng, khối lượng + Số lượng phần tử…

Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử dầm

Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động tại thời điểm t

Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời tại thời điểm t

Tính toán véc tơ tải trọng tổng thể tại thời điểm t

Giải phương trình chuyển động tìm chuyển vị

Tính giai tốc và vận tốc

3.10 NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB

Matlab là một môi trường tính toán số và lập trình do công ty MathWorks phát triển, cho phép thực hiện tính toán ma trận, vẽ đồ thị, và thực hiện các thuật toán Nó cũng hỗ trợ tạo giao diện người dùng và kết nối với các chương trình viết bằng nhiều ngôn ngữ lập trình khác Matlab được ứng dụng rộng rãi trong giáo dục, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán số trị trong các lĩnh vực kỹ thuật.

Matlab, viết tắt của "Matrix Laboratory", được phát minh bởi Cleve Moler vào cuối thập niên 1970 Sau đó, ông đảm nhận vị trí chủ nhiệm khoa máy tính tại Đại học New Mexico.

Sau hơn 40 năm phát triển, Matlab đã trở thành một công cụ lập trình mạnh mẽ Trong luận văn này, tác giả áp dụng ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản R2010a để phục vụ cho phương pháp tích phân số.

3.10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TẦN SỐ BẰNG THUẬT TOÁN TRỊ RIÊNG

Bài toán tìm tấn số dao động riêng của một kết cấu thực chất là bài toán tìm trị riêng (eigenvalues) của phương trình tấn số

Hiện nay có nhiều hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp số, trong đó có

 Hướng sử dụng phương pháp vectơ để tìm trị riêng và vectơ riêng thấp nhất của hệ

Các phép biến đổi như phương pháp Jacobi tổng quát, Givens, Houshholder-QR và Lanczos là những công cụ quan trọng trong việc tìm kiếm tất cả các trị riêng và vectơ riêng tương ứng Những phương pháp này giúp tối ưu hóa quá trình phân tích ma trận, mang lại hiệu quả cao trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đại số tuyến tính.

Phép lặp đa thức, đặc biệt là phép lặp không gian con, được sử dụng để xác định một số giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng Việc lựa chọn phương pháp và thuật toán giải thích hợp phụ thuộc vào yêu cầu tính toán và số lượng trị riêng cùng vectơ riêng cần tìm.

Giải phương trình chuyển động

Phương trình (3.5.5) được giải bằng phương pháp số Newmark (Chương 2) Tần số tự nhiên không cản và dao động mode của dầm được tính toán dựa trên phương pháp này.

-26- giải phương trình thuần nhất (3.5.5) Trong trường hợp này, phương trình (3.5.5) được rút gọn: ̈ (3.8.1)

Lời giải (3.8.1) [5] Đạo hàm bậc hai z ta được: ̈ Thay z và ̈ vào (3.8.1) ta được:

(3.8.2) Đây là phương trình thuần nhất, chỉ tồn tại nghiệm khi : , i=(1-n) (3.8.3)

Từ (3.8.3) ta xác định được n giá trị tần số ,… Tần số tự nhiên là tần số tự nhiên thứ i, thay vào (3.8.2) ta tính được vectơ { } tương ứng

Vectơ tương ứng với tần số tự nhiên thứ i được gọi là mode tự nhiên thứ i hay mode hình dạng i Để tính toán ma trận khối lượng và độ cứng tổng thể của toàn hệ thống tại mỗi bước thời gian, cần thực hiện các bước tính toán cụ thể.

1 Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử (3.4.11), (3.4.15)

2 Tại thời điểm t xác định phần tử s mà vật chuyển động đang đứng, sử dụng công thức (3.5.5)

3 Xác định giá trị vị trí của vật chuyển động phụ thuộc vào thời gian trên phần tử s ( 3.5.5)

4 Sử dụng giá trị mới tính được ở bước 3 thay vào (3.3.11) để tính toán hàm hình dạng

5 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động với các công thứ (3.3.5e), (3.3.5f) và (3.3.5g)

6 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời của toàn hệ bằng cách kết nối ma trận khối lượng, độ cứng của từng phần tử dầm và ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử vật chuyển động, sau đó ta áp điều kiện biên vào Giải phương trình trị riêng tìm các tần số tự nhiên của toàn hệ tại thời điểm t

7 Tại thời điểm quay lại bước 2

Sơ đồ khối giải thuật bài toán

Nhập các dữ liệu đầu vào của bài toán: + Các thông số của dầm, vật liệu

+Các thông số về tải trọng, khối lượng + Số lượng phần tử…

Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử dầm

Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động tại thời điểm t

Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời tại thời điểm t

Tính toán véc tơ tải trọng tổng thể tại thời điểm t

Giải phương trình chuyển động tìm chuyển vị

Tính giai tốc và vận tốc

Ngôn ngữ lập trình Matlab

Matlab là môi trường tính toán số và lập trình do công ty MathWorks phát triển, cho phép thực hiện các phép toán ma trận, vẽ đồ thị, thực hiện thuật toán và tạo giao diện người dùng Nó có khả năng kết nối với các chương trình viết bằng nhiều ngôn ngữ lập trình khác nhau Matlab được sử dụng phổ biến trong giáo dục, đặc biệt cho các bài toán số trị trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật.

Matlab, viết tắt của “Matrix Laboratory”, được phát minh bởi Cleve Moler vào cuối những năm 1970 Sau đó, ông đảm nhận vị trí chủ nhiệm khoa máy tính tại Đại học New Mexico.

Sau hơn 40 năm phát triển và cải tiến, Matlab đã trở thành một công cụ lập trình mạnh mẽ Trong luận văn này, tác giả áp dụng ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản R2010a để thực hiện phương pháp tích phân số.

Giải phương trình tần số bằng thuật toán trị riêng

Bài toán tìm tấn số dao động riêng của một kết cấu thực chất là bài toán tìm trị riêng (eigenvalues) của phương trình tấn số

Hiện nay có nhiều hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp số, trong đó có

 Hướng sử dụng phương pháp vectơ để tìm trị riêng và vectơ riêng thấp nhất của hệ

Các phương pháp biến đổi như Jacobi tổng quát, Givens, Houshholder-QR và Lanczos cho phép xác định tất cả các trị riêng và vectơ riêng tương ứng.

Phép lặp đa thức, đặc biệt là phép lặp không gian con, là một phương pháp hiệu quả để xác định các giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng Sự lựa chọn phương pháp và thuật toán giải phù hợp phụ thuộc vào yêu cầu tính toán cũng như số lượng trị riêng và vectơ riêng cần tìm.

VÍ DỤ SỐ

Giới thiệu

Trong chương này, học viên sẽ trình bày ví dụ về dao động của dầm giản đơn do vật chuyển động gây ra Dựa trên phân tích lý thuyết ở chương 3, mô hình hóa vật chuyển động và dầm được thực hiện bằng cách kết hợp phần tử hữu hạn với phần tử chuyển động, đồng thời xem xét các yếu tố phi tuyến của khối lượng, độ cứng và ma trận cản.

Bài viết này mô hình hóa bài toán sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab và phương pháp tích phân Newmark để phân tích ứng xử động của dầm Nghiên cứu xem xét ảnh hưởng của các yếu tố như tỉ số cản, chiều dài, độ cứng của dầm, cùng với lực quán tính, lực hướng tâm, lực Coriolis, và các điều kiện biên Thêm vào đó, ảnh hưởng của gia tốc và vận tốc của vật chuyển động cũng được phân tích qua một số bài toán cụ thể Ngoài ra, bài viết còn đề cập đến một số bài toán số liên quan đến dầm có mặt cắt ngang thay đổi và dầm chịu tác động của hai vật đồng thời chuyển động.

Các bài toán kiểm chứng

Mục đích trình bày ở mục 4.2 này nhằm kiểm tra mức độ tin cậy của thuật toán giải bài toán động dầm tựa đơn được viết trên ngôn ngữ Matlab

Bài toán 1: Dầm tựa đơn chịu tải trọng di động với vận tốc không đổi, số liệu tham khảo [52]

Hình 4.1 Dầm tựa đơn chịu tải trọng di động

Dầm tựa tựa đơn chịu tải trọng F = 347000 N, chuyển động với vận tốc không đổi V = 68.1 m/s, dầm dài L = 34 m, có độ cứng EI = 9.92 x 10 10 Nm 2 , khối lượng

-30- dầm trên một đơn vị chiều dài  = 11400 kg/m Theo phương pháp PTHH dầm được chia 70 đoạn, chọn bước thời gian t =0.005 s

Kết quả của Raid Karoumi [52]

Hình 4.2 Kết quả chuyển vị tại giữa nhịp của Raid Karoumi

Kết quả từ lập trình Matlab (phụ lục A)

Hình 4.3 Kết quả chuyển vị tại giữa nhịp được tính toán từ Matlab

Chuyển vị tĩnh lớn nhất tại giữa nhịp:

Chuyện vị động tại giữa nhịp: U d

Nhận xét kết bài bài toán:

- Kết quả từ lập trình Matlab có hệ số động (DAF 1 ) lớn nhất tại x/L = 0.4 và giá trị của nó DAF = 1.256

- Kết quả của Karoumi có giá trị hệ số động lớn nhất DAF 2 = 1.258 tại x/L

Chênh lệch từ 2 kết quả tính toán: (DAF 2 - DAF 1 )/ DAF 1 = 0.16 %

Kết quả từ việc lập trình Matlab cho bài toán dầm tựa đơn chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không đổi cho thấy sai số rất nhỏ so với kết quả từ tài liệu [52], điều này chứng tỏ mô hình tính toán bằng ngôn ngữ Matlab là hợp lý.

Bài toán 2: Dầm hai đầu khớp cố định chịu vật mang khối lƣợng chuyển động với vận tốc không đổi, số liệu bài toán tham khảo [51]

Hình 4.4 Dầm hai dầu khớp chịu vật mang khối lượng chuyển động từ trái sang phải

Dầm có kích thước hình học với chiều dài L = 4.352 m, chiều rộng b = 0.018113 m, chiều cao h = 0.072322 m Tính chất vật liệu của dầm bao gồm mô đun đàn hồi E = 2020.797216 N/m² và mật độ  = 15267.1756 kg/m³ Độ bền của dầm được xác định bởi mô men quán tính I = 5.71 x 10⁷ và tỷ số cản ₁ = ₂ = 0.005 Gia tốc trọng trường g được xác định là 9.81 m/s² Vật tròn chuyển động có khối lượng mₚ = 21.8 kg và chuyển động với vận tốc không đổi V.

'.49 m/s, dầm được chia làm 14 phần tử và chọn bước thời gian t =0.001 s

Kết quả của Jia-Jang Wu [51]

Hình 4.5 Kết quả độ võng của dầm theo Jia-Jang Wu Kết quả từ lập trình Matlab (phụ lục B)

Hình 4.6 Kết quả độ võng của dầm từ lập trình Matlab

Nhận xét kết bài bài toán:

- Kết quả từ lập trình Matlab có độ võng lớn nhất W 1 = -0.0051 khi vật chuyển động đến vị trí x/L = 0.653

- Kết quả của Jia-Jang Wu có độ võng lớn nhất W 2 = -0.00517 khi vật chuyển động đến vị trí x/L = 0.650

Chênh lệch từ 2 kết quả tính toán: (W 2 – W 1 )/ W 1 = 1.37 %

Kết quả từ việc lập trình Matlab cho bài toán dầm hai đầu khớp cố định chịu vật mang khối lượng chuyển động với vận tốc không đổi cho thấy sai số nhỏ 1.37% so với kết quả tham khảo [51] Điều này chứng tỏ rằng mô hình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab là đáng tin cậy và chấp nhận được.

Bài toán 3: Dầm tựa đơn chịu vật mang khối lƣợng chuyển động với vận tốc thay đổi, số liệu bài toán tham khảo [22]

Hình 4.7 Dầm tựa đơn chịu vật chuyển động với vận tốc thay đổi

Dầm tựa đơn có chiều dài L = 0 m, với môđun đàn hồi E đạt 2.15 x 10^11 Pa và mômen quán tính I là 0.8 m^4 Diện tích mặt cắt ngang của dầm là A = 2.4 m^2, trọng lượng riêng ρ = 6375 kg/m^3, và khối lượng trên một đơn vị chiều dài μ = 153 x 10^2 kg/m Khối lượng tổng cộng của dầm được tính bằng công thức M_b = ρAL.

153x10 4 kg, dầm có tỉ số cản  1 = 2 =0.005

Vật chuyển động có khối lượng m p a.2 x 10 3 kg và chuyển động với vận tốc ban đầu v 0 = 20 m/s, giai tốc của vật thay đổi lần lượt là a=0,  3, 6,  9 m/s 2

Sử dụng phương pháp Newmark để phân tích chuyển vị động tại giữa dầm, chọn giá trị bước thời gian t =0.02s m p v (t) a m m x z

Kết quả của Junping Pu, Peng Liu [22]

Hình 4.8 Chuyển vị tại giữa nhịp với ảnh hưởng của gia tốc dương (Junping Pu) Kết quả của lập trình

Hình 4.9 Chuyển vị tại giữa nhịp với ảnh hưởng của gia tốc dương (lập trình)

Kết quả của Junping Pu, Peng Liu [22]

Hình 4.10 Chuyển vị tại giữa dầm với ảnh hưởng của gia tốc âm (Junping Pu) Kết quả của lập trình

Hình 4.11 Chuyển vị tại giữa dầm với ảnh hưởng của gia tốc âm (lập trình)

So sánh hình ảnh giữa các đồ thị 4.8 và 4.9 cũng như 4.10 và 4.11 cho thấy sự tương đồng giữa kết quả từ lập trình và kết quả nghiên cứu của Junping Pu và Peng Liu.

[22] là giống nhau Như vậy lập trình Matlab bài toán dầm tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động với vận tốc thay đổi là đáng tin cậy

Bảng 1 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp ứng với các gia tốc dương

Dựa vào số liệu trong bảng 1, có thể nhận thấy rằng khi vật bắt đầu chuyển động với vận tốc ban đầu giống nhau (v0 = 20 m/s), thì vật chuyển động với gia tốc lớn hơn sẽ có chuyển vị lớn hơn.

Bảng 2 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp ứng với các gia tốc âm

- Từ số liệu Bảng 2 cho thấy rằng vật chuyển động có gia tốc âm càng nhỏ thì xu hướng chuyển vị tại giữa nhịp càng nhỏ

Các bài toán khảo sát

Dựa trên các bài toán kiểm chứng, mục 4.3 sẽ khảo sát thêm một số bài toán khác để phân tích sâu hơn về ảnh hưởng của vật chuyển động lên dao động của dầm tựa đơn Kích thước của dầm và vật chuyển động cho các bài toán 4, 5, 6, 7, 8, 9 được cung cấp để học viên tham khảo [22].

Bảng 3 Tính chất vật liệu của dầm

Vật chuyển động có khối lượng m p = 61,2 x 10^3 kg được phân tích bằng phương pháp Newmark, với dầm được chia thành 50 phần tử Hai hệ số tích phân Newmark được chọn là α = 1/2 và β = 1/4, cùng với bước thời gian phù hợp để giải quyết bài toán dao động của dầm.

t học viên khảo sát bài toán độ hội tụ

Áp dụng phương pháp tích phân Newmark cho bài toán với các giá trị bước thời gian t khác nhau, nghiên cứu hệ số động chuyển vị (DAF) tại vị trí giữa nhịp.

Hình 4.12 Biểu đồ biểu diễn độ hội tụ theo bước thời gian t

Kết quả bài toán chỉ ra rằng với các giá trị t từ 0.02 đến 0.005, hệ số động (DAF) gần như không thay đổi Do đó, nên chọn t = 0.02 cho các bài toán tiếp theo.

Bài toán 4: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số cản  đối với hệ số động của chuyển vị và mô men tại giữa nhịp (vật chuyển động với v 0 = 20m/s, a =3 m/s 2 )

Hình 4.13 Hệ số động của chuyển vị tại giữa nhịp khi thay đổi tỉ số cản

Hình 4.14 Hệ số động của mômen tại giữa nhịp khi thay đổi tỉ số cản

Chuyển vị tĩnh lớn nhất tại giữa nhịp:

Chuyện vị động tại giữa nhịp: U d (t)

Hệ số động của chuyển vị: AF d ( )

Mômen tĩnh lớn nhất tại giữa nhịp:

Mômen động tại giữa nhịp: M d (t)

Hệ số động của mômen: AFm d ( )

Bảng 4 Hệ số động của chuyển vị khi thay đổi tỉ số cản Nhận xét bài toán:

Theo số liệu trong bảng 4, tỉ số cản nhỏ dẫn đến hệ số động chuyển vị lớn ở giữa nhịp, trong khi tỉ số cản lớn làm giảm hệ số động chuyển vị Điều này cho thấy mối quan hệ giữa tỉ số cản và hệ số động chuyển vị là tỉ lệ nghịch Tương tự, mối quan hệ giữa tỉ số cản và hệ số động mômen cũng mang tính tỉ lệ nghịch.

Dựa vào đồ thị hình 4.13 và bảng số liệu 4, có thể thấy rằng trong khoảng thời gian vật chuyển động trên dầm từ 0 s đến 3.9 s, tỉ số cản có ảnh hưởng rất ít đến chuyển vị của dầm Cụ thể, trong trường hợp tỉ số cản lớn nhất là =0.05 tại thời điểm t = 1.7 s, DAF vẫn không bị ảnh hưởng đáng kể.

Chênh lệch: (DAF 0 - DAF 0.05 )/ DAF 0.05 = 2.6%

Khi vật chuyển động ra khỏi dầm, dầm sẽ dao động tự do và tỉ số cản ảnh hưởng lớn đến dao động này Tại thời điểm t = 9.12 giây, tỉ số cản lớn nhất đạt giá trị  = 0.05 với DAF = 0.212, trong khi khi không có cản, tỉ số  = 0 và DAF = 0.552.

Chênh lệch: (DAF 0 - DAF 0.05 )/ DAF 0.05 = 61.59%

Trong xây dựng cầu, các kết cấu thường có tỉ số cản dưới 3%, với thép có tỉ số cản khoảng 0.02 và bê tông cũng có tỉ số cản tương tự.

=0.03), ta lần lượt xét tỉ số cản của hai loại vật liệu trên:

TH1 +  = 0; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm = 0.0813 (m)

+  =0.02; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm = 0.080 (m) Độ chênh lệch = (0.0813-0.08)/0.0813x100 =1.59%

+  =0; Mômen lớn nhất tại giữa dầm =1.461x10 7 (Nm)

+ =0.02; Mômen vị lớn nhất tại giữa dầm =1.440 x10 7 (Nm) Độ chênh lệch = (1.461-1.44)/1.461x100=1.43%

TH2 +  =0; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm =0.0813 (m)

+  =0.03; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm =0.0796 (m) Độ chênh lệch =(0.0813-0.0796)/0.0813x100=2.09%

+  =0; Mômen lớn nhất tại giữa dầm =1.461x10 7 (Nm)

+  =0.03; Mômen vị lớn nhất tại giữa dầm =1.431 x10 7 (Nm) Độ chênh lệch = (1.461-1.431)/1.461x100=2.05%

Độ chênh lệch giữa chuyển vị và mômen tại giữa nhịp là rất nhỏ khi xem xét và không xem xét tỉ số cản Do đó, trong các bài toán tính toán kết cấu của dầm mà không yêu cầu độ chính xác cao, ta có thể bỏ qua tỉ số cản mà không ảnh hưởng nhiều đến kết quả.

Bài toán 5: Khảo sát ảnh hưởng độ cứng dầm đối với hệ số động chuyển vị và mô men tại giữa nhịp (vật chuyển động với v 0 = 30 m/s , a = 3 m/s 2 )

Hình 4.15 Hệ số động của chuyển vị tại giữa nhịp khi thay đổi độ cứng

Hình 4.16 Hệ số động của mômen tại giữa nhịp khi thay đổi độ cứng

Bảng 5 Hệ số động tại giữa nhịp khi thay đổi độ cứng Nhận xét bài toán:

Theo số liệu từ bảng 4, khi độ cứng của dầm tăng (do mômen quán tính gia tăng), hệ số động của chuyển vị và mômen giảm Điều này cho thấy rằng dầm càng cứng thì chuyển vị càng nhỏ.

- Cùng một kích thước dầm nhưng khi thay đổi độ cứng thì vị trí lớn nhất của hệ số động chuyển vị (DAF ) khác nhau

- Trong mọi trường hợp khi thay đổi mômen quán tính (I) thì hệ số động chuyển vị (DAF) luôn lớn hơn hệ số động mômen (DAFm)

- Khi I tăng lên 75% ( từ 0.8 đến 1.4) thì hệ số động chuyển vị (DAF) giảm đi 12.38 %

- Khi độ cứng của dầm tăng đến một giá trị nhất định thì hệ số động mômen

DAFm