GIỚI THIỆU
NÊU VẤN ĐỀ
Việc xác định ứng xử động của hệ kết cấu dưới tác động của các nguyên nhân động là một chủ đề quan trọng trong nhiều nghiên cứu, với ý nghĩa lý thuyết và thực tiễn sâu sắc Các ví dụ thực tế bao gồm đường băng, đường ray xe lửa chịu tải trọng từ xe chuyển động, nhà cao tầng chịu tác động của gió và động đất, cũng như các công trình ngoài khơi, đường ống dẫn dầu, cần trục và công cụ máy chịu tải trọng sử dụng.
Bài toán ứng xử của kết cấu dầm cầu, bắt nguồn từ sự sụp đổ của cầu bắc qua sông Dee ở Chester năm 1847, đã thu hút nhiều nghiên cứu nhằm đánh giá các yếu tố ảnh hưởng như tải trọng gió, động đất và phương tiện di chuyển Độ võng lớn và dao động do lực động từ phương tiện nặng có thể gây hư hỏng, tăng chi phí bảo trì và giảm tuổi thọ công trình Sự phát triển của các kết cấu nhẹ hơn, dài hơn và mảnh hơn, cùng với sự gia tăng của phương tiện vận tải siêu tốc, đã làm cho vấn đề này trở nên quan trọng hơn bao giờ hết Mục tiêu là phát triển các phương pháp và mô hình chính xác hơn để mô tả phản ứng thực của kết cấu, đảm bảo an toàn và mang lại sự thoải mái cho hành khách.
Nhiều nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm đã được thực hiện về tải trọng chuyển động của dầm cầu, nhưng chưa đánh giá đầy đủ các yếu tố ảnh hưởng đến phản ứng của kết cấu, đặc biệt là cầu nhiều nhịp Luận văn này giải quyết bài toán tương tác xe – cầu cho dầm cầu liên tục nhiều nhịp, xem xét tất cả các thành phần quán tính của xe và kết cấu, các mô hình tải trọng khác nhau, cũng như các yếu tố ảnh hưởng đến phản ứng của dầm cầu Một số yếu tố quan trọng có thể ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử động của kết cấu được nêu ra trong nghiên cứu.
Đặc điểm của phương tiện như: tải trọng trục, tần số tự nhiên, độ cứng và cản nhớt của hệ thống treo
Số lượng phương tiện và hình dạng đường đi
Đặc điểm của kết cấu nhƣ hình dạng cầu, điều kiện liên kết, khối lƣợng và độ cứng của cầu, tần số tự nhiên
Dựa vào các yếu tố đã nêu, việc mô hình hóa chi tiết hơn cho bài toán này là rất cần thiết, và đây chính là lý do chúng tôi lựa chọn đề tài này.
MỤC ĐÍCH LUẬN VĂN
Bài luận văn này phân tích động lực học của dầm liên tục dưới tác động của tải trọng xe chuyển động dọc theo dầm với vận tốc không đổi Dầm được mô hình hóa theo lý thuyết dầm Euler.
Mô hình Bernoulli với tiết diện ngang đều và gối tựa đơn được mô tả trong hình 1.1 Để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử của dầm, ba mô hình tải trọng xe đã được sử dụng: lực di động, khối lượng di động và hệ sprung mass, bao gồm cả khối lượng bánh xe và thân xe Mô hình lực loại bỏ ảnh hưởng quán tính của xe, trong khi mô hình khối lượng di động xem xét cả quán tính và sự tương tác giữa xe và cầu Hệ sprung mass là mô hình chi tiết nhất, có hai bậc tự do với các khối lượng xe và bánh xe được liên kết bởi lò xo và cản nhớt.
Hình 1.1 Sơ đồ bài toán tải trọng chuyển động
Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích sự tương tác giữa kết cấu và phương tiện, bao gồm tất cả các thành phần quán tính Nó xem xét ảnh hưởng của các thông số như vận tốc, khối lượng, tần số, cản nhớt của xe và dầm, cũng như các đặc điểm của kết cấu dầm liên tục đến phản ứng động của dầm cầu Để đạt được mục tiêu này, luận văn thực hiện một số công việc cụ thể.
Thiết lập ma trận khối lƣợng hiệu chỉnh có kể đến khối lƣợng vật chuyển động
Thiết lập ma trận độ cứng và ma trận cản bao gồm độ cứng của lò xo, hệ số cản nhớt của xe, cùng với các thành phần quán tính tương ứng.
Thiết lập phương trình chuyển động của hệ
Xây dựng chương trình MATLAB phục vụ cho việc tính toán
Kiểm tra độ tin cậy của chương trình sử dụng
Thực hiện các ví dụ số khảo sát bài toán và rút ra các kết luận.
PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN
Bài toán phân tích động lực học kết cấu thường phức tạp hơn so với bài toán tĩnh, đặc biệt khi xét đến sự tương tác giữa phương tiện và kết cấu Để giải quyết vấn đề này, có hai phương pháp chính: phương pháp giải tích và phương pháp số Phương pháp giải tích chỉ áp dụng cho những trường hợp đặc biệt khi bài toán đơn giản, trong khi phương pháp số, đặc biệt là phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH), ngày càng được ưa chuộng nhờ khả năng khắc phục các hạn chế của phương pháp giải tích Trong luận văn này, phương pháp số bao gồm PTHH và tích phân từng bước được sử dụng để phân tích phản ứng động của dầm cầu Hai hệ phương trình chuyển động cho phương tiện và kết cấu được liên hệ qua lực tương tác tại điểm tiếp xúc giữa chúng, và phương trình chuyển động được thiết lập dựa trên nguyên lý của Phần tử hữu hạn.
Hamilton và phương trình Lagrange được giải bằng phương pháp lặp sử dụng thuật toán Newmark Để phân tích, một chương trình MATLAB đã được xây dựng, trong đó tương tác động học giữa phương tiện và kết cấu được mô phỏng bằng sơ đồ lặp Chương trình này đã được kiểm tra với các tài liệu nghiên cứu trước đó và cho kết quả nhất quán.
CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn được chia thành năm chương, bắt đầu với chương 1 giới thiệu về tải trọng chuyển động, ý nghĩa và mục đích nghiên cứu Chương 2 tổng quan tình hình nghiên cứu động lực học kết cấu chịu tải trọng chuyển động, phân tích các công trình của tác giả trong và ngoài nước Chương 3 trình bày cơ sở lý thuyết và giả thuyết của bài toán, từ đó thiết lập phương trình chuyển động và phương pháp giải Kết quả số thu được từ chương trình MATLAB được trình bày trong chương 4, kèm theo các thí dụ kiểm chứng độ tin cậy của công thức và lập trình Cuối cùng, chương 5 đưa ra các kết luận từ nghiên cứu, kèm theo tài liệu tham khảo và mã nguồn chương trình MATLAB ở cuối luận văn.
TỔNG QUAN
GIỚI THIỆU
Chương này tóm tắt quá trình phát triển nghiên cứu về tải trọng chuyển động, bắt đầu từ lực chuyển động đơn giản đến các khái niệm phức tạp hơn như khối lượng và hệ sprung mass Nó cũng đề cập đến sự chuyển mình từ các kết cấu đơn giản như dầm hay Console đến các kết cấu liên tục nhiều nhịp Các tác giả phân tích những yếu tố khác nhau ảnh hưởng đến kết cấu và đề xuất giải pháp mới nhằm nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong lời giải.
TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC
Ảnh hưởng động lực học của tải di động được nhận ra vào giữa thế kỷ 19 và
Stoke được coi là người tiên phong trong việc phân tích tải trọng chuyển động ở mức độ lực di động Kể từ đó, nhiều nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm đã được thực hiện để đánh giá các yếu tố ảnh hưởng đến phản ứng của các kết cấu này Hiện nay, động lực học của kết cấu cầu vẫn là một lĩnh vực hấp dẫn do sự phát triển nhanh chóng của hệ thống vận tải, vật liệu mới, cùng với sự hỗ trợ của công nghệ máy tính và các phương pháp số trong việc mô phỏng tương tác động học giữa hệ chuyển động và kết cấu Một số nghiên cứu tiêu biểu trong lĩnh vực này đã được thực hiện.
Năm 1974, E C Ting và cộng sự đã phát triển một thuật toán tổng quát để phân tích phản ứng động của khối lượng và dầm Euler-Bernoulli hữu hạn dưới tác động của khối lượng di động Thuật toán này kết hợp điều kiện biên, chỉ yêu cầu điều kiện ban đầu của bài toán Nghiên cứu xác định ba dãy tần số: vùng dưới tới hạn, nơi tính chất quán tính của khối lượng không ngăn cản chuyển vị âm của dầm; vùng tới hạn, nơi tính chất quán tính của dầm và khối lượng đạt cực đại chuyển vị mà không gây ra chuyển vị âm; và vùng siêu tới hạn, nơi chuyển vị lan truyền như dạng sóng.
Năm 1977, S I Suzuki đã tiến hành khảo sát một dầm chịu lực chuyển động với gia tốc Phương trình chính được thiết lập thông qua phương pháp năng lượng và được giải bằng tích phân Fresnel Kết quả phân tích lý thuyết cho thấy phản ứng động của dầm bị ảnh hưởng đáng kể bởi gia tốc.
Năm 1979, N Sridharan và A K Mallik đã phân tích dầm đơn giản chịu lực chuyển động đều bằng phương pháp số, sử dụng phương trình Wilson – θ Phương trình chủ đạo chỉ được giải ở các thời điểm rời rạc cách đều nhau, không thỏa mãn ở tất cả các thời điểm trong toàn miền thời gian Sự thay đổi của chuyển vị hoặc đạo hàm của nó theo thời gian trong mỗi bước được giả định trước Phương pháp này khắc phục hạn chế của phương pháp giải tích trong các bài toán dầm nhiều nhịp hoặc dầm có tiết diện thay đổi.
Năm 1984, J Hino và cộng sự đã áp dụng phương pháp PTHH để phân tích độ võng và gia tốc của cây cầu bắc qua sông Brahmaputra, Ấn Độ, dưới tải trọng xe với mô hình một bậc tự do Cây cầu bao gồm 20 nhịp chính, mỗi nhịp được thiết kế với hai dầm Console và một nhịp treo nhỏ, trong đó diện tích và moment quán tính của mặt cắt ngang dầm không đồng nhất Phương trình dao động đã được thiết lập cho dầm.
Năm 1985, M Olsson kết hợp phương pháp động học và phân tích mode để nghiên cứu kết cấu chịu tải trọng chuyển động Hiện tượng tương tác giữa cầu và xe được xem xét thông qua một phần tử cầu – xe tổng quát, hoạt động như một phương pháp động học phụ thuộc vào thời gian và ma trận phần tử bất đối xứng Giả định ứng xử của kết cấu là tuyến tính, từ đó công thức chồng chất mode dao động của cầu được thu thập Lợi ích của công thức này là loại bỏ các mode dao động cao hơn, giúp giảm số lượng phương trình cần giải trong mỗi bước thời gian Phương trình chuyển động được thiết lập dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính với hệ số phụ thuộc vào thời gian và được giải quyết bằng phương pháp Newmark.
Năm 1986, T Yoshimura và cộng sự đã áp dụng phương pháp Galerkin để phân tích dao động của một dầm chịu tải trọng từ xe chuyển động, đồng thời xem xét tính chất phi tuyến hình học của dầm Dầm được mô hình hóa là đơn giản, đàn hồi với các đầu biên cố định Hệ chuyển động được giả định là một bậc tự do với lò xo, khối lượng và cản nhớt Một số hạng tử trong lời giải chuỗi Galerkin đã cho kết quả hội tụ, trong khi độ võng động được giả định là một hàm thời gian và được giải bằng phương pháp tương ứng.
Năm 1989, Arturo O Cifuentes đã áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) kết hợp với sai phân hữu hạn để nghiên cứu phản ứng của dầm Euler – Bernoulli dưới tác động của khối lượng di động Phương pháp này dựa trên công thức nhân tử Lagrange, cho phép mô tả điều kiện tương thích giữa bề mặt dầm và khối lượng thông qua một bộ hàm phụ trợ Ba ưu điểm nổi bật của phương pháp này là: dễ dàng thích ứng với PTHH chuẩn, có khả năng mở rộng để giải quyết các bài toán với điều kiện biên khác nhau, và cho phép phân tích toàn diện các thành phần ảnh hưởng đến lực tương tác giữa khối lượng và dầm.
Năm 1990, Y H Lin và M W Trethewey đã áp dụng phương pháp phân tích thông qua PTHH để nghiên cứu dầm chịu tải trọng di động, chuyển từ dạng lực sang hệ sprung mass Họ đã xây dựng một hệ các phương trình vi phân bậc hai với hệ số phụ thuộc vào thời gian để mô tả tương tác giữa dầm và hệ chuyển động Để giải quyết phản ứng động của dầm và hệ di động, họ sử dụng tích phân Runge-Kutta với bước trung gian, cho phép giải cho mọi hệ động phụ thuộc thời gian với điều kiện biên bất kỳ Khi có ngoại lực tác động, các mode cao hơn của dầm có thể ảnh hưởng đáng kể, do đó cần tăng số lượng phần tử để giảm sai số Đối với dầm ngắn và gối tựa cứng, việc xem xét ảnh hưởng cắt là cần thiết để đảm bảo độ chính xác của mô hình.
Năm 1991, M Olsson đã tiến hành khảo sát phản ứng động của dầm Euler–Bernoulli đơn giản với tiết diện không đổi dưới tác động của lực chuyển động đều thông qua phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn Kết quả nghiên cứu này có thể được sử dụng làm dữ liệu tham khảo cho nhiều nghiên cứu tổng quát liên quan đến tải trọng chuyển động.
Năm 1994, H P Lee đã phân tích phản ứng động của dầm có điểm liên kết trung gian chịu tải trọng di động, áp dụng lý thuyết dầm Euler và nguyên lý Hamilton, đồng thời sử dụng phương pháp mode giả định Điểm liên kết trung gian được giả định là gối đỡ với độ cứng rất lớn Kết quả mô phỏng số cho thấy rằng việc bổ sung liên kết trung gian vào dầm đơn giản làm giảm đáng kể độ võng khi chuyển động tương đối chậm, nhưng tác động này ít quan trọng hơn khi vận tốc tăng cao Ngoài ra, chuyển vị tại các điểm liên kết khác và độ võng dưới tải trọng di động có thể diễn ra theo hướng ngược lại với hướng tải.
Năm 1996, U Lee đã chỉ ra rằng lực tương tác giữa khối lượng chuyển động và dầm phụ thuộc vào khối lượng của vật cũng như tính đàn hồi của dầm Ông đã theo dõi quá trình tách rời giữa khối lượng và dầm Euler–Bernoulli bằng cách kiểm tra lực tiếp xúc giữa chúng trong suốt quá trình kích thích Kết quả cho thấy ảnh hưởng của vật di động đến phản ứng động của dầm là không thể bỏ qua, đặc biệt khi tỷ số khối lượng của vật chuyển động tăng lên và vận tốc lớn.
H.P Lee [24] đã nghiên cứu phản ứng động của dầm Timoshenko dưới tác động của khối lượng di động, sử dụng cách tiếp cận Lagrange và phương pháp động tương đương về chuyển vị Nghiên cứu này xem xét một số trường hợp khối lượng vật di động với các vận tốc và tỷ số độ mảnh khác nhau.
Năm 1997, K Henchi và cộng sự đã phát triển một phần tử độ cứng động học chính xác dưới sườn xấp xỉ PTHH để nghiên cứu phản ứng của kết cấu nhiều nhịp chịu tải trọng di động Mô hình động lực học kết hợp với thuật toán FFT cho phép tính toán chính xác tất cả tần số dao động và hình dạng mode của kết cấu dầm thông qua thuật toán Wittrick và Williams Kết quả cho thấy chỉ cần một phần tử trên nhịp là đủ để xác định tần số và mode chính xác nhờ hàm nội suy thỏa mãn phương trình cân bằng Công thức này áp dụng cho mọi vận tốc của lực chuyển động, bao gồm cả trường hợp với vận tốc lớn Bên cạnh đó, một số kết quả về hệ số khuếch đại động học cũng được trình bày như một hàm của vận tốc tải di động.
Năm 1998, D Y Zheng và cộng sự đã áp dụng nguyên lý Hamilton để phân tích dao động của dầm nhiều nhịp có tiết diện không đều dưới tác động của tải di động, sử dụng hàm dao động dầm hiệu chỉnh Hàm này đảm bảo điều kiện chuyển vị bằng không tại tất cả các điểm tựa trung gian và điều kiện biên của dầm Kết quả nghiên cứu được trình bày cho cả dầm có tiết diện đều và không đều với nhiều vận tốc của tải chuyển động, cho thấy phương pháp này hội tụ nhanh và mang lại kết quả tốt.
TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC
Nghiên cứu của Nguyễn Đăng Phong (2009) tập trung vào phản ứng động của dầm đơn giản dưới tải trọng điều hòa di động, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Nghiên cứu đã khảo sát ảnh hưởng của khối lượng vật chuyển động và tác nhân gây ra dao động điều hòa Bằng cách áp dụng phương trình Lagrange, bài toán được chuyển đổi thành các phương trình vi phân và giải quyết thông qua phương pháp tích phân trực tiếp Newmark.
Năm 2012, Nguyễn Tấn Cường nghiên cứu dao động của tấm trên nền đàn hồi nhớt với sự xem xét đến khối lượng vật chuyển động Thuật toán được phát triển dựa trên phương pháp Phân Tích Hệ Thống (PTHH) và giải hệ phương trình bằng tích phân theo thời gian Newmark Phân tích phản ứng động được thực hiện cho cả hai trường hợp có và không có khối lượng của đối tượng di động, đồng thời đánh giá ảnh hưởng của vận tốc và gia tốc chuyển động.
NHẬN XÉT
Các nghiên cứu về tải trọng chuyển động chủ yếu tập trung vào kết cấu dầm đơn giản chịu lực di động, bao gồm khối lượng di động và khối lượng chuyển động có lò xo Mặc dù vấn đề của dầm đơn giản đã được nghiên cứu kỹ lưỡng, dầm liên tục vẫn chưa nhận được nhiều sự chú ý Kết cấu dầm liên tục phức tạp hơn, với điều kiện chuyển vị bằng không tại các gối tựa trung gian và các điều kiện biên khác nhau, làm cho việc phân tích trở nên khó khăn Sự tương tác giữa kết cấu và phương tiện khi xét đến quán tính của đối tượng chuyển động càng làm tăng độ phức tạp Hiện nay, phương pháp số, nhờ vào sự hỗ trợ của máy tính, được coi là giải pháp hiệu quả để giải quyết các bài toán chuyển động phức tạp này.
Luận văn này nhằm mục đích hiểu rõ về tải trọng chuyển động, phân tích ảnh hưởng của các thành phần quán tính và các thông số quan trọng đến phản ứng của dầm cầu liên tục nhiều nhịp Phương pháp số được áp dụng để phát triển bài toán tương tác xe – cầu, sử dụng mô hình phù hợp với kết cấu thực tế và đảm bảo độ chính xác cần thiết.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
GIỚI THIỆU
Chương này sẽ giới thiệu lý thuyết dầm Euler – Bernoulli áp dụng trong bài toán kỹ thuật Tiếp theo, chúng tôi sẽ thiết lập phương trình chuyển động dựa trên nguyên lý Hamilton và phương trình Lagrange, đồng thời xem xét sự tương tác giữa phương tiện và kết cấu dầm cầu Cuối cùng, nội dung sẽ trình bày phương pháp tích phân từng bước với thuật toán Newmark để giải quyết phương trình chuyển động.
LÝ THUYẾT DẦM EULER – BERNOULLI
Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng: Trước và sau biến dạng, các mặt cắt ngang luôn phẳng và vuông góc với trục thanh
Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau
Biến dạng, chuyển vị của dầm là bé
Theo giả thuyết thứ nhất, khi dầm chịu uốn thì mặt cắt ngang của dầm vẫn còn phẳng và xoay di một góc dv
Hình 3.1 Biến dạng của phần tử dầm chịu uốn
Do đó, chuyển vị dọc trục u và độ võng v có quan hệ: u ydv
Trong đó y là khoảng cách từ điểm đang xét tới trục trung hòa của dầm
Khi đó, biến dạng dọc trục và ứng suất đƣợc tính nhƣ sau:
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DẦM DÙNG PP PTHH
3.3.1 Phần tử dầm chịu uốn
Chọn phần tử dầm hai điểm nút chịu uốn
Hàm chuyển vị v(x) đƣợc biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút q e :
Trong đó, [N] là ma trận các hàm nội suy Hecmit bậc 3
Theo (3.2), ta có quan hệ giữa biến dạng dọc trục và chuyển vị đứng nhƣ sau:
dx (3.6) Ứng suất tại mọi diểm của phần tử dầm chịu uốn:
3.3.2 Phương trình Lagrange Để thu được phương trình chuyển động của dầm cầu, ta sử dụng phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận trong toàn vật thể
Hàm Lagrange được định nghĩa là L = -ΠT, trong đó T là động năng và Π là thế năng của hệ thống R là hàm tiêu tán, trong khi q và q đại diện cho vectơ chuyển vị nút và vận tốc nút tổng thể.
3.3.3 Phương trình động lực học của dầm chịu uốn
Xét với một phần tử dầm, động năng T e , thế năng e và hàm tiêu tán R e đƣợc viết nhƣ sau:
Khối lượng riêng của vật liệu phần tử được ký hiệu là , trong khi lực khối và lực mặt tác dụng lên phần tử được biểu thị bằng các ký hiệu g e và p e Hệ số cản c phụ thuộc vào môi trường mà hệ khảo sát đang chuyển động, cùng với hiện tượng ma sát trong của vật liệu và độ ma sát của các liên kết.
Sử dụng công thức (3.4) và kết hợp với (3.5) và (3.7), chúng ta có thể biểu diễn động năng, thế năng và hàm tiêu tán đối với phần tử thông qua vectơ chuyển vị nút phần tử và vectơ vận tốc nút phần tử như sau:
M e là ma trận khối lƣợng phần tử, e
K e là ma trận độ cứng phần tử, e
C e là ma trận cản của phần tử, e
P e là vectơ tải phần tử, e e
Bằng cách ghép nối phần tử, ta có liên hệ giữa vectơ chuyển vị nút phần tử
q e và vectơ chuyển vị nút tổng thể q nhƣ sau:
Trong đó L e là ma trận định vị của phần tử, ma trận này cho thấy hình ảnh sắp xếp của các thành phần vectơ q e trong q
Động năng, thế năng toàn phần và hàm tiêu tán năng lượng của toàn hệ được thể hiện qua vectơ chuyển vị và vectơ vận tốc của nút tổng thể.
M là ma trận khối lƣợng tổng thể, M L T e M e L e (3.23)
K là ma trận độ cứng tổng thể, K L T e K e L e (3.24)
C là ma trận cản tổng thể, C L T e C e L e (3.25)
Vectơ tải tổng thể P được xác định bằng tổng các vectơ tải của từng phần tử, được biểu diễn qua công thức P = ∑[L T e] P e Trong đó, dấu ∑ thể hiện phép cộng có sắp xếp khi ghép nối các phần tử Khi thay thế các biểu thức của động năng, thế năng và hàm tiêu tán năng lượng tổng thể vào phương trình Lagrange, chúng ta có thể phân tích và tính toán các yếu tố ảnh hưởng đến hệ thống.
Ta thu được phương trình dao động của kết cấu dầm chịu tải trọng động:
3.3.4 Các ma trận tính chất
Ma trận khối lƣợng phần tử
Ma trận khối lượng phần tử dầm được tính theo phương trình (3.15) như sau:
Nếu dầm có khối lƣợng phân bố đều thì:
Ma trận độ cứng phần tử
Ma trận độ cứng phần tử được tính theo phương trình (3.16):
I y dF là moment quán tính đối với trục trung hòa
Ma trận cản phần tử
Theo phương trình (3.17) thì ma trận cản được xác định:
Tính chất cản của kết cấu thay đổi theo biên độ dao động, vận tốc, gia tốc và cường độ ứng suất, khiến việc ước lượng lý thuyết trở nên khó khăn và thường phải dựa vào thực nghiệm Theo Rayleigh, ma trận cản tổng thể của kết cấu có thể được tính như tổ hợp tuyến tính của ma trận khối lượng và ma trận độ cứng.
Với các hệ số a 0 và a 1 đƣợc xác định theo công thức:
Các tỷ số cản i và j tương ứng với hai tần số i và j của kết cấu Thông thường, giả định rằng i = j = , dẫn đến các công thức đơn giản hơn.
Trong kết cấu thực tế, tần số i đƣợc đề nghị lấy là tần số cơ bản của hệ, và
Việc lựa chọn tần số cao hơn từ những mode có ảnh hưởng đáng kể đến phản ứng động của hệ thống đảm bảo đạt được tỷ số cản mong muốn Những mode có tần số nằm giữa hai tần số đặc biệt này thường có tỷ số cản thấp hơn, trong khi các mode có tần số cao hơn sẽ có tỷ số cản cao hơn Điều này cho thấy rằng các mode có tần số rất cao bị loại bỏ do tỷ số cản lớn của chúng.
Phương pháp Rayleigh gặp bất lợi khi ứng xử cản của toàn bộ kết cấu chỉ được mô tả bởi hai hệ số a0 và a1, với giá trị không đổi trong suốt quá trình phản ứng của kết cấu Mặc dù vậy, phương pháp này vẫn cung cấp một ma trận có tính chất trực giao với vectơ riêng của hệ không cản, tương tự như ma trận khối lượng và ma trận độ cứng.
Công thức tổng quát cho vectơ tải phần tử được biểu diễn như sau: P = ∫ N g dV + ∫ N p dS Trong trường hợp có tải trọng phân bố q(x) và các lực tập trung Q i, ta có thể áp dụng công thức này hoặc từ sự cân bằng công của lực nút trên các chuyển vị tương ứng, cùng với tổng công các ngoại lực trên các chuyển dời tương ứng, để xác định vectơ tải phần tử P e.
Trong đó, q(x) đại diện cho cường độ lực phân bố dọc theo chiều dài của phần tử, trong khi Q_i và x_Qi lần lượt là lực tập trung và vị trí của điểm đặt lực trên hệ trục địa phương của phần tử.
Khi lực tập trung có giá trị Q đặt cách nút đầu phần tử một khoảng cách là a (x Q =a) thì vectơ tải phần tử thu đƣợc:
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA XE
Tải trọng xe có thể được mô phỏng bằng các mô hình lực di động, khối lượng di động hoặc mô hình sprung mass Mô hình lực di động với độ lớn không đổi phù hợp khi lực quán tính của xe nhỏ hơn nhiều so với trọng lượng của nó Khi xe di chuyển thẳng với vận tốc không đổi, ảnh hưởng quán tính chủ yếu đến từ bề mặt gồ ghề của cầu Các yếu tố ảnh hưởng đến quán tính bao gồm: vận tốc lớn, kết cấu cầu mềm, khối lượng xe lớn, khối lượng cầu nhỏ, độ cứng hệ treo của xe và bề mặt cầu không bằng phẳng Trong nghiên cứu này, mô hình sprung mass với hai bậc tự do được áp dụng cho một trục xe, phù hợp khi nhịp cầu lớn hơn đáng kể so với khoảng cách giữa các trục xe Mô hình quá chi tiết không cần thiết và không mang lại cải thiện đáng kể cho mục tiêu nghiên cứu phản ứng của kết cấu dầm cầu.
Trong bài toán xe – cầu, tải trọng động chủ yếu phát sinh trong hai dải tần số: vật thể nảy dao động từ 1 đến 4 Hz và bánh xe dao động từ 8 đến 15 Hz Điều này dẫn đến sự gia tăng hệ số động, đặc biệt đối với dầm cầu có tần số cơ bản từ 1 đến 5 Hz, như quy định trong một số tiêu chuẩn quốc gia Ba mô hình xe phổ biến được sử dụng bao gồm mô hình lực, khối lượng và hệ sprung mass.
Hình 3.3 Các mô hình tải trọng xe
Trong mô hình sprung mass, lực tương tác tại vị trí tiếp xúc giữa cầu và bánh xe được ký hiệu là F(t) Các thành phần lực tác động lên hai khối lượng m1 và m2 được biểu diễn một cách rõ ràng, giúp hiểu rõ hơn về động lực học của hệ thống.
Hình 3.4 Sơ đồ cân bằng lực cho các khối lượng m 1 và m 2
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các yếu tố quan trọng trong hệ thống treo của xe, bao gồm khối lượng và chuyển vị đứng của bánh xe (m1, w1) cùng với khối lượng và chuyển vị đứng của thân xe (m2, w2) Ngoài ra, độ cứng lò xo (ks) và hệ số cản nhớt (cs) cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hiệu suất và sự ổn định của xe.
Phương trình vi phân chủ đạo của các khối lượng m 2 và m 1 được thành lập từ phương trình cân bằng lực lần lượt như sau:
Với s là chuyển vị tĩnh của lò xo, k s s m g 2
Phương trình (3.41) và (3.42) được viết lại:
Thay (3.43) vào (3.44) ta thu được phương trình của lực tương tác F(t) giữa xe với cầu:
Thành phần đầu tiên trong vế phải của (3.45) là lực tiếp xúc tĩnh, trong khi thành phần còn lại thể hiện ảnh hưởng của quán tính Đối với mô hình khối lượng di động, lực tương tác này được rút gọn như sau:
Và cho mô hình lực di động là:
Giả sử bánh xe luôn tiếp xúc với mặt cầu (F(t)>0) và không tính đến biến dạng giữa trục bánh xe và trục dầm cầu, mối liên hệ giữa chuyển vị của bánh xe (w1) và chuyển vị đứng của dầm cầu (v), cùng với các đạo hàm, được mô tả như sau:
Trong nghiên cứu này, w t 1 ( ) đại diện cho vận tốc và gia tốc theo phương đứng của bánh xe (m 1), trong khi v m và a m là vận tốc và gia tốc chuyển động của xe theo phương dọc cầu Hơn nữa, v(x,t) thể hiện chuyển vị theo phương đứng của dầm cầu.
Thành phần đầu tiên trong vế phải của phương trình (3.50) thể hiện tác động của độ cong dầm hoặc gia tốc hướng tâm, trong khi thành phần thứ hai phản ánh ảnh hưởng của gia tốc.
Coriolis, thành phần thứ tư là ảnh hưởng của gia tốc theo phương đứng của điểm tiếp xúc.
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA HỆ XE – CẦU
Sơ đồ bài toán dầm cầu chịu tải trọng xe đƣợc cho nhƣ hình vẽ
Hình 3.5 Bài toán tương tác xe-cầu
Chiều dài một nhịp dầm được ký hiệu là L, modun dàn hồi của vật liệu cấu tạo dầm là E, và moment quán tính của mặt cắt dầm là I Khối lượng bánh xe được ký hiệu là m1, trong khi khối lượng thân xe là m2 Ngoài ra, độ cứng lò xo và hệ số cản nhớt của xe lần lượt được ký hiệu là ks và cs.
Quan hệ giữa chuyển vị, vận tốc và gia tốc theo phương đứng giữa khối lượng m1 và dầm cầu tại điểm tiếp xúc được mô tả từ (3.48) đến (3.50) như sau: Chuyển vị ảnh hưởng trực tiếp đến vận tốc và gia tốc của hệ thống, trong đó các yếu tố này cần được phân tích đồng thời để đảm bảo tính chính xác trong thiết kế và ứng dụng Sự tương tác giữa khối lượng và dầm cầu là yếu tố quyết định trong việc xác định các thông số động học của hệ thống.
Với đạo hàm bậc nhất và bậc hai của ma trận các hàm nội suy được ký hiệu là N x và N xx, ta áp dụng phương trình (3.29) cho bài toán tương tác giữa xe và cầu Kết quả là phương trình dao động của dầm cầu được xác định như sau:
Thay (3.53) vào (3.54) và sắp xếp lại ta thu đƣợc:
Thay (3.51) và (3.52) vào phương trình (3.43), ta có phương trình dao động của khối lƣợng m 2 :
Kết hợp (3.55) và (3.56) ta thu được phương trình dao động của toàn hệ và biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
Các thành phần chứa N hoặc N T chỉ được thêm vào ma trận tổng thể của hệ tại vị trí các phần tử chịu tác động trực tiếp từ tải trọng xe.
Phương trình dao động của hệ được viết lại dưới dạng:
M q C q K q P (3.58) Đây chính là phương trình dao động được dùng để giải trong bài toán tương tác xe – cầu của Luận văn này, trong đó:
Trong trường hợp khảo sát bài toán khối lượng di động với mô hình xe một bậc tự do, phương trình dao động của hệ được xác định bằng cách loại bỏ m2 và được biểu diễn như sau:
Trường hợp bài toán lực di động thì phương trình dao động của dầm chỉ còn:
Trong phương trình dao động của bài toán sprung mass, các ma trận tính chất của dầm bao gồm ma trận khối lượng [M b ], ma trận độ cứng [K b ] và ma trận cản [C b ] Đặc biệt, trong bài toán tương tác xe – cầu, các ma trận này còn có thêm thành phần quán tính của hệ di động, ảnh hưởng bởi độ cong dầm, gia tốc Coriolis và gia tốc theo phương đứng tại điểm tiếp xúc giữa xe và cầu Những thành phần này thay đổi theo vị trí của xe trên cầu, do đó, các ma trận tính chất trong phương trình dao động cũng cần được hiệu chỉnh và cập nhật liên tục trong quá trình tính lặp Đây là nội dung trọng tâm trong Luận văn và sẽ được đề cập trong phần tiếp theo.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp Newmark, phát triển bởi Nathan M Newmark vào năm 1959, là một phương pháp tích phân số được sử dụng để giải các phương trình vi phân, đặc biệt trong phân tích số về phản ứng động của kết cấu và vật thể Phương pháp này rất hiệu quả trong việc mô hình hóa hệ động trong phân tích PTHH và thích hợp cho các tình huống phân tích phi tuyến.
Bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor thì thu được hai phương trình sau:
Newmark lược bỏ các số hạng bậc cao và diễn tả chúng dưới dạng:
Giả sử gia tốc thay đổi tuyến tính trong bước thời gian, ta có:
Thay (3.70) vào (3.68) và (3.69) thu được phương trình Newmark:
1 1 1 i i i i u u t u t u (3.72) Trong đó, và là hai thông số đƣợc chọn để thu đƣợc tích phân chính xác và ổn định
Sự ổn định của phương pháp Newmark:
Sự ổn định trong phương pháp tích phân được định nghĩa là khả năng kiểm soát sai số trong quá trình tích phân, đảm bảo rằng sai số không vượt quá một mức nhất định ở các bước thời gian tiếp theo Ngược lại, một phương pháp không ổn định sẽ dẫn đến việc sai số tăng theo hàm mũ, gây ra những kết quả không chính xác.
Không xét tính cản, phương pháp Newmark ổn định không điều kiện nếu: 0.5, 0.25( 0.5)2
Các thông số tích phân Newmark:
: trường hợp gia tốc thay đổi tuyến tính (ổn định có điều kiện)
: gia tốc trung bình, trường hợp này tương ứng với quy tắc hình thang (ổn định không điều kiện)
: phương pháp Fox-Goodwin, trong đó độ chính xác bậc 4 (ổn định có điều kiện)
Nghiên cứu trong Luận văn này sử dụng phương pháp gia tốc trung bình với các thông số 1 1
3.6.2 Sử dụng phương pháp newmark giải phương trình chuyển động
Ta có phương trình dao động của hệ xe – cầu như (3.58):
Phương trình dao động của hệ ở thời điểm i+1:
M i 1 q i 1 C i 1 q i 1 K i 1 q i 1 P i 1 (3.75) Chọn gia tốc là ẩn số cơ bản Sử dụng phương trình Newmark (3.71) và
Với M eff và P eff là các ma trận hiệu dụng:
Chúng ta có thể tính giá trị chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm i+1 dựa trên các giá trị tương ứng ở thời điểm i.
Phương trình (3.82) mô tả sự thay đổi của biến q theo thời gian, với “i” và “i+1” tương ứng với các thời điểm “t” và “t+Δt” Các thông số tích phân được chọn là γ = 1/2 và β = 1/4 Điều kiện ban đầu của bài toán được giả định cho các giá trị q0 và q0 Giá trị q0 được xác định từ phương trình dao động tại thời điểm ban đầu t0.
Trong Luận văn này, giả định điều kiện ban đầu khi xe bắt đầu đi vào cầu thì chuyển vị và vận tốc của cầu bằng không, hay q 0 = q 0 =0
Có thể tóm tắt trình tự tính toán bằng sơ đồ nhƣ sau:
3.6.3 Giải phương trình tần số bằng thuật toán tìm trị riêng
Bài toán xác định tần số dao động riêng của kết cấu liên quan đến việc tìm trị riêng của phương trình tần số Có ba phương pháp chính để giải quyết bài toán này.
Phương pháp vectơ để tìm trị riêng và vectơ riêng thấp nhất của hệ
Phương pháp biến đổi trong toán học bao gồm các kỹ thuật như Jacobi, Jacobi tổng quát, Givens, Housholder – OR và Lanczos, cho phép xác định tất cả các trị riêng cùng với vectơ riêng tương ứng.
Phép lặp đa thức: phương pháp lặp không gian con Phương pháp này tìm vài giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng
Việc chọn phương pháp và thuật toán giải quyết vấn đề trị riêng phụ thuộc vào yêu cầu tính toán và số lượng trị riêng cùng vectơ riêng cần tìm MATLAB là lựa chọn tối ưu cho bài toán này, vì nó cung cấp đầy đủ các hàm cần thiết để thực hiện tính toán theo phương pháp chuyển đổi.
GIỚI THIỆU NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB
MATLAB, sản phẩm của công ty MathWorks Inc., nổi bật với khả năng tính toán và biểu diễn đồ họa kỹ thuật nhanh chóng, đa dạng và chính xác Thư viện hàm phong phú của MATLAB cung cấp nhiều chương trình con giúp giải quyết các bài toán về ma trận, số phức, hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến Ngoài ra, MATLAB hỗ trợ xử lý dữ liệu và biểu diễn đồ họa 2D và 3D với nhiều dạng đồ thị, giúp người dùng trình bày kết quả một cách trực quan Các phiên bản MATLAB cũng liên tục phát triển với nhiều Toolbox chuyên dụng cho từng lĩnh vực cụ thể.
MATLAB là viết tắt từ "MATrix LABoratory", đƣợc Cleve Moler phát minh vào cuối thập niên 1970, và sau đó là chủ nhiệm khoa máy tính tại Đại học
MATLAB, nguyên sơ đƣợc viết bởi ngôn ngữ Fortran, cho đến 1980 nó vẫn chỉ là một bộ phận đƣợc dùng nội bộ của Đại học Stanford
Năm 1983, Jack Little, một người đã học ở MIT và Stanford, đã viết lại
MATLAB là một ngôn ngữ lập trình được phát triển bằng ngôn ngữ C, tích hợp các thư viện hỗ trợ cho thiết kế hệ thống điều khiển, hộp công cụ (toolbox) và mô phỏng Jack đã phát triển MATLAB thành một mô hình ngôn ngữ lập trình dựa trên ma trận.
Steve Bangert là người phát triển trình thông dịch cho MATLAB Năm 1984, Jack Little kết hợp với Cleve Moler và Steve Bangert đã quyết định biến MATLAB thành một dự án thương mại, dẫn đến sự ra đời của công ty The MathWorks.
Phiên bản đầu tiên của MATLAB 1.0 được phát hành vào năm 1984, được viết bằng ngôn ngữ C cho hệ điều hành MS-DOS trên máy tính cá nhân Sự kiện ra mắt này diễn ra tại Hội nghị IEEE về thiết kế và điều khiển tại Las Vegas, Nevada.
Hiện nay, MATLAB được sử dụng phổ biến trong giáo dục, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán số trị, bao gồm cả đại số tuyến tính và giải tích, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau.
Dữ liệu cùng với thư viện được lập trình sẵn cho phép người sử dụng có thể có đƣợc những ứng dụng sau đây:
Sử dụng các hàm có sẵn trong thư viện, các phép tính toán học thông thường;
Cho phép lập trình tạo ra những ứng dụng mới;
Cho phép mô phỏng các mô hình thực tế;
Phân tích, khảo sát và hiển thị dữ liệu với đồ họa cực mạnh;
Cho phép phát triển, giao tiếp với một số phần mềm khác nhƣ C++, Fortran.
THÍ DỤ SỐ
GIỚI THIỆU
Chương này bao gồm hai phần: phần đầu tiên kiểm chứng một số ví dụ từ các tài liệu nghiên cứu trước đây để đánh giá độ tin cậy của chương trình MATLAB được sử dụng trong Luận văn; phần thứ hai trình bày các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các thông số khác nhau đối với ứng xử động của dầm.
PHẦN KIỂM CHỨNG
4.2.1 Bài toán dầm đơn giản chịu tác dụng của lực di động
Bài khảo sát này tập trung vào bài toán dầm đơn giản Euler – Bernoulli chịu lực di động với vận tốc không đổi, không xem xét đến tính cản và điều kiện ban đầu khi dầm ở trạng thái nghỉ Dữ liệu trong nghiên cứu được lấy từ M Olsson [10].
Hình 4.1 Sơ đồ bài toán của M Olsson [10]
Tỷ số phản ứng của hệ chỉ phụ thuộc vào ba thông số x/L, t/và
, với 1 , T 1 là tần số góc và chu kỳ dao động của mode cơ bản Thời gian chuyển động của lực P: L
Hệ số động của chuyển vị: DAFu = max[u d (L/2,t) / u s (L/2)]
Hệ số động của moment (DAFm) được tính bằng công thức: DAFm = max[M d (L/2,t) / M s (L/2)] u d (L/2,t) Trong đó, M d (L/2,t) đại diện cho chuyển vị đứng và moment động theo thời gian tại vị trí giữa nhịp, còn u s (L/2) và M s (L/2) là chuyển vị đứng và moment tĩnh tại cùng vị trí này.
Hình 4.2 So sánh chuyển vị tại vị trí giữa nhịp với [10] khi thay đổi
Hình 4.4 Hệ số động của chuyển vị tại vị trí giữa nhịp
Hình 4.5 Hệ số động của moment tại vị trí giữa nhịp
Bảng 4.1 So sánh hệ số động DAFu của một số nghiên cứu
Bảng 4.2 So sánh hệ số động DAFm của một số nghiên cứu
Kết quả của luận văn tương đồng với nghiên cứu của M Olsson và được thể hiện qua các hình 4.2, 4.3 cùng với bảng 4.1, 4.2 Hình dạng của các đường cong chuyển vị và moment cho thấy sự tương đồng rõ rệt Đặc biệt, các đường ứng với α = 0.125 và α = 0.25 dao động quanh đường tựa tĩnh (α = 0), tương ứng với thời gian chuyển động τ gấp 4 và 2 lần chu kỳ dao động nhỏ nhất của dầm, cho thấy mode dao động thứ nhất có đủ thời gian hoàn thành Tuy nhiên, khi α tăng lên, các đường cong bắt đầu sai lệch đáng kể so với đường tựa tĩnh.
Hệ số động DAFu và DAFm tăng chủ yếu trong các đoạn 0.2 ≤ α ≤ 0.62 và 0.2 ≤ α ≤ 0.37, với giá trị max(DAFu) đạt 1.732 khi α = 0.625, tương ứng với thời gian chuyển động τ bằng 0.8 lần chu kỳ cơ bản của dầm, phù hợp với các nghiên cứu trước đây Giá trị max(DAFm) là 1.45 khi α = 0.375 Đối với giá trị α ≤ 0.2, hệ số động có cả hai trạng thái tăng và giảm khi α tăng, liên quan đến sự dao động đã được đề cập Khi vận tốc đủ nhỏ, phản ứng của dầm tương tự như trường hợp tĩnh, dẫn đến hệ số động nhỏ Hệ số động của moment luôn nhỏ hơn hệ số động của chuyển vị với mọi giá trị α.
4.2.2 Bài toán dầm đơn giản chịu tác dụng của khối lƣợng di động
Bài toán của E Sharbati và H J Schneider được khảo sát trong hình 4.6, trong đó chỉ xem xét lực P di chuyển cùng với khối lượng mà không tính đến trọng lực do khối lượng gây ra.
Hình 4.6 Sơ đồ bài toán của E Sharbati
Khối lƣợng di động: M = 0.135 kg
Vận tốc chuyển động dọc dầm của khối lƣợng và lực: v = 2.32 m/s
Trong hình 4.7, chúng ta xem xét bốn loại phương trình chuyển động: Type 1 - trạng thái tĩnh, Type 2 - lực di động, Type 3 - khối lượng di động, và Type 4 - khối lượng di động với tính chất cản của ma trận khối lượng phụ thuộc vào thời gian.
Hình 4.8 trình bày sự chuyển vị của dầm tại vị trí khối lượng theo thời gian với bốn mô hình tải trọng khác nhau: (a) lực di động, (b) khối lượng di động không tính đến lực Coriolis, (c) khối lượng di động có tính đến lực Coriolis, và (d) khối lượng di động xem xét cả lực Coriolis lẫn lực hướng tâm.
Kết quả thu được đồng nhất với các nghiên cứu trước đó, cho thấy sự khác biệt đáng kể khi xem xét hoặc loại bỏ nhiều thành phần gia tốc Ảnh hưởng của khối lượng di động cũng rất quan trọng trong bài toán chuyển động, đặc biệt khi tỷ số giữa khối lượng di động (0.135 kg) và khối lượng dầm (0.157 kg) tăng lên Thời gian khối lượng di động di chuyển hết dầm (0.431 s) gần bằng với chu kỳ dao động thứ nhất của dầm (0.433 s).
Hình 4.7 So sánh chuyển vị cực đại của dầm với [9] xét các thành phần khác nhau của phương trình chuyển động
4.2.3 Bài toán dầm đơn giản chịu tác dụng của hệ sprung mass
Xét bài toán tương tự ví dụ của S.G.M Neves [11] được mô tả ở hình 4.9 trong đó loại bỏ ảnh hưởng cản của dầm, biến dạng cắt và quán tính xoay
Hình 4.9 Sơ đồ bài toán của S.G.M Neves
Khối lƣợng đơn vị: m = 2303 kg/m
Khối lƣợng di động: M v = 5750 kg Độ cứng lò xo: k v = 1595 KN/m
Vận tốc chuyển động: v = 100 km/h
Một số kết quả về chuyển vị và gia tốc của dầm và khối lƣợng nhƣ sau:
Hình 4.10 So sánh chuyển vị đứng tại điểm giữa dầm với [11]
Hình 4.11 So sánh gia tốc tại điểm giữa dầm với [11]
Hình 4.12 So sánh chuyển vị đứng của khối lượng M v với [11]
Hình 4.13 So sánh gia tốc theo phương đứng của khối lượng M v với [11]
Hình 4.10 đến 4.13 minh họa mối quan hệ giữa chuyển vị và gia tốc của điểm giữa dầm cùng với khối lượng tập trung theo thời gian Sau 900 bước thời gian tính lặp, các kết quả thu được hoàn toàn khớp với nội dung đã được công bố trong bài báo.
M Olsson đã đưa ra một bài toán tương tự liên quan đến dầm đơn giản Euler-Bernoulli chịu tác động của hệ sprung mass đang chuyển động, trong đó có xem xét ảnh hưởng của gia tốc đối lưu.
Hình 4.14 Sơ đồ bài toán của M OLsson [31]
Các thông số sử dụng cho bài toán đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Tỷ số khối lƣợng xe với cầu: (m 1 m 2 ) /m l b
Tỷ số khối lƣợng của xe: 0 m m 1 / 2
Tỷ số về tần số giữa dầm với xe: * b ,1 / v , với v k m/ 2
Tỷ số cản nhớt của xe: v c/ 2m 2 v
Tỷ số cản nhớt dầm b i , và tỷ số gồ ghề bề mặt cầu r
Xét ba bài toán là lực di động, khối lƣợng di động và hệ sprung mass chuyển động với các thông số 0 1, 0, 0 0.25, * 3, b i , 0, v 0.125, r0
Kết quả được trình bày trong hình 4.15 phù hợp với các nghiên cứu trước đây [18] Đồ thị minh họa tác động của các mô hình tải trọng khác nhau và vận tốc chuyển động lên phản ứng của kết cấu thông qua hệ số động DAFu Hệ số động thường tăng khi giá trị α tăng, nhưng bắt đầu giảm khi đạt 0.65 Đối với mô hình khối lượng di động, giá trị này được duy trì tốt nhất ở các giá trị α lớn.
Hình 4.15 So sánh hệ số động DAFu với [31] xét 3 dạng tải trọng
4.2.4 Bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của lực di động
Một dầm Euler-Bernoulli nhiều nhịp với tải trọng chuyển động nhƣ mô tả ở hình 4.16 đƣợc khảo sát Các dữ liệu lấy theo bài báo của K Henchi [28]
Hình 4.16 Sơ đồ bài toán của K Henchi
Chiều dài dầm: L = 60 m Độ cứng chống uốn: EI = 1.96×10^9 Nm 2
Diện tích tiết diện ngang : A = 0.51 ×10^ –2 m 2
Khối lƣợng đơn vị: .A = 1000 kg/m
Bỏ qua ảnh hưởng cản của dầm, ta xem xét phản ứng của dầm ở hai giá trị vận tốc là 35.57 m/s và 71.25 m/s
Hình 4.17 So sánh chuyển vị đứng tại điểm A với [28]
Hình 4.18 So sánh chuyển vị đứng tại điểm B với [28]
Hình 4.19 So sánh hệ số động tại các điểm A, B, C với [28]
Hình 4.17 và 4.18 thể hiện sự chuyển vị đứng của dầm tại các vị trí A và B tương ứng với lực tác động và các vận tốc di chuyển khác nhau Kết quả từ Luận văn và bài báo cho thấy sự tương đồng, mặc dù có một số sai lệch vừa phải tại một số vị trí Hình 4.19 minh họa tác động của vận tốc lên hệ số động tại ba vị trí A, B và C giữa mỗi nhịp Điểm A ở giữa nhịp đầu tiên thể hiện sự nhạy cảm cao nhất với vận tốc, với hệ số động tại điểm giữa nhịp thứ nhất và thứ ba tăng lên khi vận tốc tăng, đặc biệt là ở nhịp thứ nhất Tác động của vận tốc cũng được ghi nhận tại điểm giữa nhịp thứ hai.
PHẦN KHẢO SÁT
Khảo sát dầm Euler – Bernoulli liên tục nhiều nhịp, gối tựa đơn chịu tải trọng xe chuyển động đều đƣợc mô tả trong hình 4.20
Hình 4.20 Sơ đồ bài toán dầm liên tục
Thông số của dầm cầu và xe đƣợc cho sau đây
Chiều dài một nhịp dầm: L = 30 m
Diện tích mặt cắt ngang: F = 0.6 m 2
Khối lƣợng riêng của dầm: = 2500 kg/m 3
Tỷ số cản của dầm: b 2%
Khối lƣợng xe: m 2 = 30 T Độ cứng lò xo: k s = 8.63×10^6 N/m
Tỷ số cản nhớt của xe: v c s / 2m 2 v
Các thông số không thứ nguyên đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Thông số vận tốc là tỷ số của chu kỳ dao động cơ bản của dầm với hai lần thời gian xe di chuyển hết một nhịp dầm: 1
Thông số khối lƣợng là tỷ số giữa khối lƣợng của xe trên toàn bộ khối lƣợng của một nhịp dầm: (m 1 m 2 ) /FL
Thông số tần số là tỷ số giữa tần số của xe với tần số góc cơ bản của dầm:
Hệ số động của chuyển vị (DAFu) và moment (DAFm) tại một điểm được xác định bằng tỷ lệ giữa giá trị động lớn nhất và giá trị tĩnh lớn nhất của chuyển vị hoặc moment tại điểm đó.
Hệ số động của chuyển vị: DAFu = max [u d (x i ,t) / u s (x i )]
Hệ số động của moment: DAFm = max [M d (x i ,t) / M s (x i )]
Với u d (x i ,t), M d (x i ,t) tương ứng là chuyển vị và moment động theo thời gian tại vị trí x i ; u s (x i ), M s (x i ) tương ứng là chuyển vị và moment tĩnh cực đại tại vị trí x i
Trong luận văn này, vận tốc tới hạn được xác định là vận tốc mà xe di chuyển qua một nhịp dầm trong thời gian bằng một nửa chu kỳ dao động cơ bản của dầm, tương ứng với thông số vận tốc α bằng 1 Khi vận tốc vượt quá giá trị này, dầm không có đủ thời gian để phản ứng với tác động của tải trọng xe, do đó không phải là tình huống nguy hiểm nhất Đối với một dầm ba nhịp có các đặc trưng như trên, vận tốc tới hạn được tính là 85.5 m/s Đặc trưng độ cứng và cản của xe tương tự như trong tài liệu [1], với tần số dao động là 2,7 Hz và tỷ số cản là 8%.
Các điểm A, C và D nằm ở vị trí chính giữa của các nhịp dầm; điểm B nằm tại gối thứ hai
Các số liệu này sẽ được sử dụng làm ví dụ cho việc khảo sát ảnh hưởng của các thông số đến phản ứng của dầm, và sẽ được trình bày chi tiết trong các phần tiếp theo.
4.3.1 Tần số tự nhiên của dầm nhiều nhịp gối tựa đơn
Khảo sát dầm 3 nhịp hình 4.20 với thông số đã nêu, bảng 4.3 trình bày tần số tự nhiên của 10 mode dao động đầu tiên của dầm sau khi thực hiện giải pháp.
Kết quả từ SAP2000 với 180 phần tử không khác biệt đáng kể so với khi sử dụng 90 phần tử, cho thấy nghiệm này có độ chính xác cao Sai số giữa kết quả của Luận văn và SAP rất nhỏ, đặc biệt.
Bảng 4.3 Tần số dao động theo SAP2000 và chương trình viết bằng MATLAB
Tỷ số cản của dầm là 2%, với các tần số góc của hai mode đầu tiên lần lượt là 1 = 8.5939 rad/s và 2 = 11.4745 rad/s Hệ số cản theo phương pháp Rayleigh được tính từ hai tần số này là a 0 = 0.20117 và a 1 = 0.00196.
4.3.2 Khảo sát sự hội tụ của bài toán Để kiểm tra bước thời gian lựa chọn là hợp lý nhằm thu được nghiệm hội tụ, ta xét chuyển động của xe với vận tốc 30m/s trên một dầm cầu 3 nhịp nhƣ mô tả ở hình 4.20 Dầm được chia thành 90 phần tử và các khoảng chia bước thời gian tính lặp Newmark thay đổi từ 0.05s đến 0.001s tương ứng với số bước tính lặp là 60 đến
Đồ thị chuyển vị và moment chuẩn hoá tại điểm A theo thời gian được trình bày trong hình 4.21 và 4.22 Thời gian t/ được chuẩn hoá bằng cách chia thời gian chuyển động t cho thời gian di chuyển qua một nhịp dầm , tương ứng với số nhịp dầm Kết quả cho thấy, ngoại trừ đường cong với t = 0.05s có một số sai lệch nhỏ, các đường cong còn lại đều đồng nhất.
Bảng 4.4 so sánh hệ số động tại điểm A cho thấy sai số so với nghiệm chính xác khi t = 0.001s Sai số của hệ số động về chuyển vị luôn nhỏ hơn sai số về moment tương ứng ở mọi bước thời gian Với t = 0.01s và 300 bước tính lặp, sai số của DAFu là 0.03% và DAFm là 0.28%, được coi là chấp nhận được Các ví dụ trong Luận văn về dầm có 3 nhịp sử dụng 90 phần tử và 300 bước thời gian tính lặp Khi vận tốc thay đổi, bước thời gian sẽ được điều chỉnh để đảm bảo thời gian xe đi hết dầm tương ứng với 300 bước thời gian, với vận tốc lớn hơn dẫn đến bước chia thời gian nhỏ hơn nhằm duy trì độ chính xác cao.
Hình 4.21 Chuyển vị đứng tại A với các bước thời gian tính lặp khác nhau
Bảng 4.4 So sánh hệ số động tại A với các bước thời gian tính lặp khác nhau
4.3.3 Khảo sát ảnh hưởng của số nhịp dầm
Bài toán dầm cầu liên tục được nghiên cứu với số nhịp lần lượt là 3, 4 và 5 nhịp, chịu tác động của xe chuyển động đều với vận tốc 40m/s Các thông số được sử dụng tương tự như trong bài toán ở hình 4.20 Các dầm lần lượt được chia thành 90, 120 và 150 phần tử, và áp dụng 300, 400 và 500 bước tính lặp Khi không tính đến tính cản của dầm, kết quả về chuyển vị và moment tại một số điểm đặc biệt của dầm được ghi nhận như sau:
Hình 4.23 Chuyển vị đứng ở giữa nhịp thứ nhất (điểm A) theo thời gian
Hình 4.24 Chuyển vị đứng ở giữa nhịp thứ hai (điểm C) theo thời gian
Hình 4.25 Moment tại gối thứ hai (điểm B) theo thời gian
Hình 4.23 đến 4.25 biểu diễn chyển vị của các điểm A, C và moment tại B
Chuyển vị và moment giữa nhịp chủ yếu bị ảnh hưởng bởi tải trọng tác dụng trực tiếp trong nhịp, trong khi moment ở gối bị tác động bởi tải trọng ở hai nhịp lân cận Phản ứng của hệ gần như tương đồng ở các trường hợp dầm 3, 4 và 5 nhịp, nhưng có sự khác biệt nhỏ do ảnh hưởng của các nhịp biên cuối Do đó, khi phân tích dầm liên tục, việc xem xét dầm ba nhịp cũng đủ để đạt được kết quả chính xác.
4.3.4 Khảo sát ảnh hưởng của các mô hình tải trọng
Bài toán dầm 3 nhịp chịu tải trọng xe chuyển động với vận tốc 40m/s được khảo sát qua bốn loại bài toán: lực tĩnh hay đường ảnh hưởng, lực di động với giá trị bằng (m1 + m2)g, khối lượng di động (m1 + m2) và hệ sprung mass Kết quả về chuyển vị theo thời gian tại các điểm A, C, D và moment tại B được trình bày trong hình 4.26 đến 4.29 Bảng 4.5 so sánh hệ số động của chuyển vị, cung cấp cái nhìn tổng quan về ảnh hưởng của tải trọng động lên cấu trúc.
DAFu và hệ số động của moment DAFm ứng với các mô hình tải trọng khác nhau
Hình 4.26 Chuyển vị ở giữa nhịp đầu (điểm A) theo thời gian với 4 dạng tải
Hình 4.27 Chuyển vị ở giữa nhịp thứ hai(điểm C)theo thời gian với 4 dạng tải
Hình 4.28 Chuyển vị ở giữa nhịp thứ ba(điểm D)theo thời gian với 4 dạng tải
Hình 4.29 Moment tại gối thứ hai (điểm B) theo thời gian với 4 dạng tải
Bảng 4.5 So sánh hệ số động DAFu và DAFm của các mô hình tải trọng
Vị trí Lực Khối lƣợng Sprung mass
Đồ thị chuyển vị đứng và moment tại vị trí khác nhau với các mô hình tải trọng cho thấy sự dao động quanh đường tựa tĩnh Trong các mô hình tải trọng, đường cong của lực di động gần nhất với đường tựa tĩnh, trong khi các mô hình khối lượng di động và sprung mass có hình dạng tương tự Biểu đồ cũng chỉ ra sự trễ khi đạt giá trị cực đại từ mô hình lực di động đến khối lượng di động và sprung mass với t/τ = 0.56, 0.74 và 0.76 tại điểm A Các đường cong tại điểm A có dạng tương tự, nhưng sự khác biệt tăng lên tại các điểm C và D Tại gối B, mô hình lực tĩnh tạo ra moment lớn hơn khi tải trọng ở nhịp biên, trong khi các mô hình khối lượng di động và sprung mass có phản ứng lớn hơn khi tải trọng ở nhịp thứ hai Vận tốc chuyển động được sử dụng là 40m/s, tương đương khoảng 0.5 lần vận tốc tới hạn (85.5m/s).
4.3.5 Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc
Xét bài toán dầm 3 nhịp nhƣ ở hình 4.20 với giá trị vận tốc của xe thay đổi từ
Từ 0 đến 100m/s, các thông số khác vẫn giữ nguyên, với hình 4.30 đến 4.34 mô tả hệ số động của chuyển vị và moment tại một số điểm đặc biệt phụ thuộc vào vận tốc chuyển động với ba dạng tải trọng: lực di động, khối lượng di động và hệ sprung mass Hình 4.35 đến 4.37 thể hiện chuyển vị của các điểm giữa các nhịp dầm theo thời gian, với thời gian khảo sát gấp đôi thời gian xe đi hết dầm Ở đây, t/ được xem xét từ 0 đến
3 biểu diễn chuyển vị cưỡng bức của dầm còn t/ từ 3 đến 6 tương ứng với dao động tự do của dầm
Hình 4.30 Hệ số động của chuyển vị tại điểm A với 3 dạng tải trọng
Hình 4.31 Hệ số động của chuyển vị tại điểm C với 3 dạng tải trọng
Hình 4.33 Hệ số động của moment tại điểm A với 3 dạng tải trọng
Hình 4.34 Hệ số động của moment tại điểm B với 3 dạng tải trọng
Hình 4.35 Chuyển vị tại điểm A theo thời gian với mô hình sprung mass
Hình 4.36 Chuyển vị tại điểm C theo thời gian với mô hình sprung mass
Hình 4.37 Chuyển vị tại điểm D theo thời gian với mô hình sprung mass
Khi vận tốc nhỏ, phản ứng của dầm tương đối ổn định, với hệ số động đạt một số giá trị cực đại và cực tiểu cục bộ Tuy nhiên, chưa có sự khác biệt lớn giữa các mô hình tải trọng Phản ứng tại điểm A ít biến động hơn so với điểm C.