TỔNG QUAN
Giới thiệu
Chương này cung cấp cái nhìn tổng quan về vật liệu phân lớp chức năng (FGMs), nhấn mạnh đặc tính thay đổi liên tục theo một phương và những ưu điểm vượt trội của loại vật liệu này Bên cạnh đó, nội dung cũng đề cập đến tình hình nghiên cứu FGMs trên thế giới và trong nước, cũng như các vấn đề liên quan đến kết cấu chịu tải trọng di động Qua đó, ý nghĩa của đề tài và sự khác biệt so với các nghiên cứu liên quan được làm rõ.
Tổng quan về vật liệu phân lớp chức năng (FGMs)
Con người luôn tìm kiếm vật liệu mới bền hơn và dẻo dai hơn để đáp ứng nhu cầu đa dạng Trong quá trình này, vật liệu composite được phát triển, với khả năng đáp ứng yêu cầu về độ bền, cứng và trọng lượng nhẹ Tuy nhiên, sự khác biệt về đặc tính giữa các loại vật liệu khiến composite theo lớp dễ bị hư hại do tập trung ứng suất, dẫn đến giảm tuổi thọ Để khắc phục, các nhà khoa học Nhật Bản đã phát triển vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) vào năm 1984, kết hợp hai loại vật liệu với đặc tính thay đổi liên tục theo một phương, thường là theo chiều dày Nhờ đó, FGMs giảm thiểu sự tập trung ứng suất, đồng thời loại vật liệu này cũng thường gặp trong tự nhiên, như cấu trúc xương, răng và thân tre, với lớp vỏ cứng bên ngoài và cấu trúc mềm bên trong.
Hình 2.1: Vật liệu FGMs với sự phân bố vật liệu theo 1 phương
FGMs (Vật liệu chức năng gradient) là sự kết hợp của hai loại vật liệu khác nhau, thường là gốm và kim loại Gốm có khả năng chịu nhiệt độ cao, chống hao mòn và oxy hóa, trong khi kim loại nổi bật với tính dẻo dai và khả năng dẫn nhiệt tốt Sự kết hợp này giúp FGMs tận dụng ưu điểm của cả hai vật liệu, đồng thời giảm thiểu nhược điểm của chúng Thêm vào đó, sự thay đổi đặc tính vật liệu theo một phương có thể mang lại nhiều ứng dụng tiềm năng trong công nghệ.
Vùng vật liệu A với một số thành phần của vật liệu B
Vùng chuyển tiếp giữa 2 loại vật liệu
Vùng vật liệu B với các thành phần điều chỉnh từ vật liệu A đáp ứng nhiều yêu cầu thiết kế khác nhau, giúp FGMs có tiềm năng ứng dụng lớn trong nhiều lĩnh vực Hiện nay, FGMs đã được áp dụng trong hàng không, tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học, thể thao, năng lượng, và nhiều lĩnh vực khác Sự đa dạng trong ứng dụng của FGMs đã thu hút nhiều nghiên cứu gần đây tập trung vào hành vi của các kết cấu sử dụng vật liệu này.
Sơ lược tình hình nghiên cứu
2.3.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Các kết cấu chịu tải trọng chuyển động thường xuất hiện trong các công trình giao thông như cầu, hầm, và đường ray Việc phân tích các bài toán này không thể áp dụng phương pháp tĩnh, do đó, các nghiên cứu thường khảo sát các điều kiện biên khác nhau và phân tích dao động của kết cấu Một số nghiên cứu tiêu biểu như của Taheri và Ting (1990) đã phát triển mô hình phần tử hữu hạn cho tấm chịu tải trọng chuyển động Nghiên cứu của Shadnama và các cộng sự (2001) đã giải quyết vấn đề dao động của tấm dưới tác động của khối lượng lớn di chuyển, chỉ ra rằng mô hình tác nhân chuyển động nên được xây dựng dựa trên khối lượng di động thay vì lực di động.
Bài toán dao động của tấm phi tuyến mỏng chịu khối lượng chuyển động đã được nghiên cứu bởi Seong-Min Kim (2004), trong đó tác giả giải quyết vấn đề ổn định và dao động của tấm mỏng vô hạn trên nền đàn hồi Winkler dưới tác động của lực nén tĩnh trong mặt phẳng và tải trọng chuyển động với tốc độ không đổi.
Seong-Min Kim (2004) đã nghiên cứu dao động của tấm mỏng trên nền đàn hồi, chịu lực cản ngang và tải trọng chuyển động không đổi cùng dao động điều hòa Sang-Youl Leea và Sung-Soon Yhim (2004) phân tích dao động của tấm composite một và hai nhịp dưới nhiều tải trọng chuyển động, áp dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 3 và tính đến quán tính xoay Jia-Jang Wu (2005) đã đề xuất phương pháp dự đoán ứng xử của tấm dưới tải trọng dải chuyển động thông qua bài toán dầm chịu tải trọng điểm Seong-Min Kim (2005) tiếp tục phân tích ổn định và dao động của dầm-cột Rayleigh dài vô hạn trên nền đàn hồi, xem xét quán tính xoay và lực dọc dưới tải trọng chuyển động không đổi hoặc dao động điều hòa.
Nghiên cứu năm 2006 [9] tương tự như nghiên cứu trước đó [8], nhưng đã bổ sung thêm biến dạng cắt trong dầm Lu Sun (2006) [10] phân tích dao động của tấm vô hạn trên nền đàn hồi dưới tải trọng tập trung và chuyển động với cường độ cùng vận tốc không đổi, sử dụng chuỗi Fourier để biểu diễn Jia-Jang Wu (2007) [11] đã giải quyết bài toán liên quan đến tấm nghiên chịu khối lượng chuyển động Lawa và các cộng sự (2007) cũng đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này.
Bài viết này tập trung vào việc giải quyết bài toán dao động của tấm bản mặt cầu dưới tác động của tải trọng chuyển động, trong đó tải trọng được mô hình hóa như các bánh xe với khoảng cách không đổi và tấm được làm từ vật liệu trực hướng Muscolino và Palmeri (2007) đã nghiên cứu dao động của dầm trên nền đàn hồi nhớt chịu tải trọng chuyển động, mô hình hóa hệ thống bằng một khối lượng và lò xo - cản Malekzadeh và các cộng sự (2009) đã phân tích dao động của tấm composite nhiều lớp dưới tải trọng chuyển động, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử khối 3D, tấm được đặt tựa trên bốn cạnh và chịu lực chuyển động Rofooei và Nikkhoo (2009) cũng đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này.
Nghiên cứu về dao động của tấm mỏng chịu khối lượng chuyển động và việc sử dụng tấm áp điện để kiểm soát dao động đã được thực hiện bởi [15] Ghafoori và Asghari (2010) [16] đã giải quyết vấn đề dao động của tấm composite nhiều lớp dưới tác động của khối lượng và lực chuyển động, áp dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Mohebpour và các cộng sự (2011) [17] cũng đã phân tích dao động của tấm composite nhiều lớp chịu tác động của vật thể chuyển động, mô hình hóa vật thể này bằng hệ thống hai khối lượng và lò xo – cản Sapountzakis và Kampitsis (2011) [18] đã sử dụng phương pháp phần tử biên để giải bài toán dao động của dầm phi tuyến hình học, xét đến biến dạng cắt và tải trọng chuyển động, trên nền đàn nhớt phi tuyến không chịu kéo với ba thông số Jen-San Chen và Yung-Kan Chen (2011) [19] đã nghiên cứu dao động và ổn định của dầm dài vô hạn trên nền đàn nhớt không chịu kéo dưới tải trọng điểm chuyển động với vận tốc nhỏ hơn vận tốc tới hạn Cuối cùng, Zarfam và Khaloo (2012) [20] đã phân tích dao động của dầm trên nền đàn hồi chịu tác động của tải trọng và khối lượng chuyển động, đồng thời xem xét các yếu tố khác như gió và động đất.
Từ khi vật liệu FGMs được phát triển bởi các nhà khoa học Nhật Bản, nhiều nghiên cứu đã chỉ ra tính ưu việt của chúng, như khả năng cách nhiệt, chống mòn, và độ bền cao Birman và Byrd (2007) đã tổng hợp các nghiên cứu từ năm 2000 đến 2007, cho thấy rằng nghiên cứu về ứng xử của kết cấu FGMs dưới tải trọng tĩnh và động là một lĩnh vực chính, mặc dù nghiên cứu về tấm FGMs trên nền đất chịu tải động vẫn còn hạn chế Các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bài toán chịu uốn của tấm FGMs với các tải tĩnh khác nhau Một số nghiên cứu tiêu biểu bao gồm mô hình phần tử hữu hạn cho tấm FGMs của Crocea và Venini (2004) dựa trên lý thuyết tấm Reissner-Mindlin, và giải bài toán phẳng của dầm FGMs của Ying và cộng sự (2008) trên nền đàn hồi Winkler-Pasternak Nhiều nghiên cứu khác cũng đã đề cập đến các vấn đề phi tuyến và dao động tự do của tấm FGMs, như nghiên cứu của Alinia và Ghannadpour (2009) về áp lực phân bố, và Simsek và Kocaturk (2009) về dao động của dầm FGMs dưới tải trọng điều hòa Các nghiên cứu gần đây đã mở rộng ứng dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao và các mô hình lý thuyết khác để phân tích ứng xử của tấm FGMs trong môi trường nhiệt độ cao và chịu tải trọng phức tạp.
Nghiên cứu về dao động của dầm FGMs có vết nứt trên nền đàn hồi dưới tải trọng chuyển động với vận tốc không đổi đã được thực hiện dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, trong đó mô hình tiết diện có vết nứt được coi như một lò xo xoay Bên cạnh đó, Singha và các cộng sự (2011) đã phân tích ứng xử phi tuyến của tấm FGMs dưới tác dụng của tải phân bố bằng phương pháp phần tử tấm chịu uốn có độ chính xác cao Họ áp dụng lý thuyết tấm FSDT, chú trọng đến vị trí chính xác của trục trung hòa và điều chỉnh hệ số cắt theo nguyên lý năng lượng.
2.3.2 Tình hình nghiên cứu trong nước
Vấn đề kết cấu chịu tải trọng chuyển động đang được nghiên cứu trong nhiều luận văn thạc sĩ thuộc ngành Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp tại trường ĐHBK Tp HCM Nghiên cứu gần đây của Khổng Trọng Toàn đã đóng góp vào lĩnh vực này, mang lại những hiểu biết mới và ứng dụng thiết thực trong thiết kế kết cấu.
Năm 1999, một nghiên cứu đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) Đến năm 2009, Nguyễn Đăng Phong áp dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc ba (TSDT) để nghiên cứu ứng xử của dầm đồng nhất dưới tải trọng chuyển động Năm 2011, Nguyễn Tấn Cường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết tấm Mindlin để phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt chịu khối lượng chuyển động Cùng năm, Nguyễn Thế Trường Phong áp dụng lý thuyết dầm Timoshenko và quan hệ biến dạng chuyển vị Von-Karman để phân tích ứng xử phi tuyến của dầm FGMs trên nền đàn hồi Winkler dưới tải trọng điều hòa chuyển động.
Ý nghĩa của đề tài
Gần đây, hai vấn đề được quan tâm nhiều trong nghiên cứu vật liệu trên thế giới và trong nước là vật liệu FGMs và tải trọng di động, với tải trọng di động đã được nghiên cứu sâu trong thời gian dài.
Vật liệu FGMs (Functionally Graded Materials) sở hữu nhiều tính năng ưu việt và tiềm năng ứng dụng lớn trong nhiều lĩnh vực, do đó việc nghiên cứu và phân tích ứng xử của các kết cấu sử dụng vật liệu này là rất cần thiết Tuy nhiên, đặc tính của FGMs thay đổi liên tục theo một phương, khiến cho việc tính toán ứng xử của kết cấu trở nên phức tạp hơn so với các vật liệu đồng nhất thông thường Điều này cần được làm rõ để có thể ứng dụng hiệu quả trong thực tiễn.
Các nghiên cứu về kết cấu chịu tải trọng di động thường sử dụng mô hình tải trọng là lực hoặc khối lượng di động Tuy nhiên, trong thực tế, tải trọng di động bao gồm các vật thể như bánh xe, thân xe và hệ cô lập dao động Do đó, cần phân tích ứng xử của kết cấu khi chịu tác động từ các vật thể di động, mô hình hóa hệ thống này như hai khối lượng liên kết bằng hệ lò xo và cản (sprung mass).
Nghiên cứu về kết cấu vật liệu FGMs chịu tải trọng di động chủ yếu tập trung vào dầm, với các mô hình tải trọng như lực, lực điều hòa hoặc khối lượng di động Đề tài “Phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng trên nền đàn nhớt chịu vật thể chuyển động” là một nghiên cứu mới mẻ và chưa từng được thực hiện trước đây Sự khác biệt của đề tài này so với các nghiên cứu gần đây được thể hiện qua Bảng 2.1, cho thấy rằng các nghiên cứu trước đây chủ yếu phân tích tải trọng di động trên dầm FGMs, trong khi các bài toán tấm FGMs vẫn chỉ dừng lại ở phân tích tĩnh.
Bảng 2.1: So sánh sự khác biệt giữa đề tài luận văn và các nghiên cứu liên quan
Tác giả Cấu kiện Biến dạng –
Chuyển vị Tải trọng Nền Kết quả
J Ying và các cộng sự (2008) [23] Dầm FGMs Tĩnh Nền đàn hồi
Winkler- Pasternak Ứng xử chịu uốn và dao động tự do của dầm
Tấm FGMs vuông Phi tuyến Áp lực tĩnh (Không) Ứng xử của tấm (chuyển vị và nội lực)
(2009) [26] Tấm FGMs Phi tuyến Nền đàn hồi 2 thông số Dao động tự do của tấm
Dầm FGMs, sử dụng lý thuyết dầm Euler- Bernoulli Điều hòa di động (Không) Dao động tự do và ứng xử động của dầm
Luận văn Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết FSDT
Tuyến tính Vật thể di động Nền đàn nhớt Ứng xử của tấm và vật thể
Tác giả Cấu kiện Chuyển vị Tải trọng Nền Kết quả
Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết HSDT
Phi tuyến Tĩnh và nhiệt Nền đàn hồi
Pasternak Ứng xử của tấm (chuyển vị và nội lực)
(2010) [29] Dầm FGMs, sử dụng lý thuyết dầm Euler- Bernoulli, dầm Timoshenko, dầm TSDT
Tuyến tính Khối lượng di động (Không) Ứng xử của dầm (chuyển vị và nội lực)
M.K Singha và các cộng sự (2011)
Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết FSDT
Phi tuyến Tĩnh (Không) Ứng xử của tấm (chuyển vị và nội lực)
Luận văn Tấm FGMs, sử dụng lý thuyết FSDT
Tuyến tính Vật thể di động Nền đàn nhớt Ứng xử của tấm và vật thể
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Giới thiệu
Chương này thiết lập phương trình chuyển động của tấm FGMs trên nền đàn nhớt dựa trên lý thuyết tấm Mindlin và phương pháp phần tử hữu hạn Mô hình vật thể cùng với phương pháp số Newmark để giải phương trình chuyển động được trình bày chi tiết Nội dung chương gồm 8 mục, bắt đầu với tổng quan về mô hình bài toán và các giả thiết, tiếp theo là mô hình tấm và đặc trưng vật liệu Lý thuyết tấm Mindlin và phương trình chuyển động của tấm được thiết lập, cùng với cách giải quyết hiện tượng “khóa cắt” Các mô hình vật thể và thiết lập phương trình chuyển động cũng được đề cập, sau đó phương pháp Newmark được áp dụng để giải bài toán Cuối cùng, chương cung cấp một kỹ thuật lập trình MATLAB liên quan.
Mô hình bài toán và đặc trưng vật liệu của tấm
Tấm FGMs hình chữ nhật có kích thước cạnh dài a, cạnh ngắn b và chiều dày h, được đặt trên nền đàn nhớt và tự do ở chu vi, chịu tác động của vật thể di động với vận tốc V Mô hình chi tiết của vật thể sẽ được phân tích trong phần tiếp theo Tấm FGMs có mặt trên là gốm và mặt dưới là kim loại, với đặc tính vật liệu thay đổi liên tục theo chiều dày theo quy luật lũy thừa.
Trong nghiên cứu này, P_c và P_m đại diện cho các đặc tính của vật liệu gốm và kim loại, trong khi n là hệ số mũ thể hiện sự phân phối vật liệu theo chiều dày tấm Các đặc tính của vật liệu được sử dụng trong luận văn được trình bày chi tiết trong Bảng 3.1.
Bảng 3.1: Đặc tính vật liệu
Trong luận văn này, giả thiết rằng:
• Ứng xử của vật liệu là tuyến tính và đẳng hướng
• Chuyển vị và biến dạng của tấm là bé
Hình 3.1: Mô hình tấm FGMs trên nền đàn nhớt x y b a
• Trong quá trình chuyển động, vật thể luôn tiếp xúc với tấm (hay bánh không nhảy)
• Ứng xử của nền là tuyến tính và nền có chịu kéo
Trong luận văn này, tấm FGMs được khảo sát bao gồm ba dạng chính: (A) tấm FGMs thông thường với FGMs toàn bộ chiều dày tấm, (B) tấm sandwich FGMs với lõi là FGMs và hai mặt là vật liệu đồng nhất, và (C) tấm sandwich FGMs với lõi đồng nhất và hai mặt là FGMs Đối với các trường hợp (B) và (C), tỷ lệ chiều dày tấm được ghi nhận từ mặt dưới đến mặt trên, ví dụ 1-1-1, cho thấy chiều dày của ba lớp bằng nhau, tức là h1 = h2 = h/6.
Hình 3.2: (A) Tấm với FGMs toàn bộ chiều dày
Hình 3.3: (B) Tấm với lõi là FGMs, mặt trên và dưới đồng nhất
Hình 3.5: Mô đun đàn hồi E theo chiều dày tấm
Sự thay đổi đặc tính vật liệu theo chiều dày tấm trong các trường hợp có dạng như sau:
• Trường hợp tấm sandwich FGMs (B)
Hình 3.4: (C) Tấm với lõi là đồng nhất, mặt trên và dưới là FGMs
• Trường hợp tấm sandwich FGMs (C)
Sự thay đổi mô đun đàn hồi E theo chiều dày tấm trong các trường hợp (A) và (C) (1-1-1) được thể hiện rõ ràng trong Hình 3.5 Đồ thị cho thấy rằng khi n = 0, tấm hoàn toàn là gốm, trong khi khi n = ∞, tấm hoàn toàn là kim loại.
Lý thuyết tấm Mindlin cho tấm nhiều lớp
Lý thuyết tấm cổ điển cho tấm nhiều lớp (CLPT) là lý thuyết Kirchoff áp dụng cho tấm nhiều lớp với các giả thiết rằng đường thẳng vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng vẫn giữ thẳng, không có biến dạng theo chiều dày tấm, và đường thẳng này vẫn vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng Điều này dẫn đến εz = εxz = εyz = 0 Tuy nhiên, khác với giả thiết cho tấm đồng nhất, mặt trung bình tấm có thể trải qua biến dạng kéo nén do sự không đối xứng trong phân bố vật liệu Lý thuyết này phù hợp với các tấm có chiều dày mỏng hoặc tỷ số h/b nhỏ, nhưng khi tỷ số h/b lớn hơn, việc bỏ qua các biến dạng εxz và εyz trở nên không phù hợp Chuyển vị trong tấm theo lý thuyết này có dạng cụ thể.
( , , , ) 0 ( , , ) w x y z t = w x y t (3.5) với ( u v w 0 , , 0 0 ) là chuyển vị theo trục ( x y z, , )
Lý thuyết tấm Mindlin cho tấm nhiều lớp, hay lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), loại bỏ giả thiết thứ ba của lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) Theo lý thuyết này, đường thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn giữ nguyên hình dạng thẳng sau khi biến dạng, nhưng không còn vuông góc với mặt trung bình Chuyển vị trong tấm được mô tả theo hình thức cụ thể như trong Hình 3.6.
Theo lý thuyết FSDT, biến dạng cắt và ứng suất cắt được coi là hằng số suốt chiều dày tấm, điều này không phản ánh đúng thực tế Để tính toán lực cắt trong tấm, cần có hệ số điều chỉnh cắt K s Lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) bổ sung các thành phần bậc cao hơn của z trong hàm chuyển vị, tuy nhiên, điều này làm tăng độ phức tạp trong tính toán Mặc dù HSDT mang lại kết quả chính xác hơn, lý thuyết FSDT vẫn được ưa chuộng do độ chính xác phù hợp và tính toán không quá phức tạp Do đó, luận văn này lựa chọn lý thuyết tấm FSDT để khảo sát ứng xử động của tấm.
Hình 3.6: Sự thay đổi hình dạng của tấm trước và sau khi biến dạng theo lý thuyết FSDT [36]
3.3.1 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị theo lý thuyết FSDT có dạng như sau
(0) (1) u x x x xx xx xx v yy yy y yy yz yz yz w y y xz xz xz w x x u v xy xy xy y x z z φ φ φ ε ε ε ε ε ε γ γ γ γ γ γ γ γ γ
(3.7) với (ε ε γ xx (0) , yy (0) , yz (0) ,γ xz (0) ,γ xy (0) ) là các biến dạng màng, và (ε ε γ γ γ xx (1) , , , , yy (1) yz (1) xz (1) xy (1) ) là các biến dạng do uốn
3.3.2 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực
Theo định luật Hooke (dạng ngược), quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng như sau
0 0 0 0 xx xx yy yy yz yz xz xz xy xy
Từ đây, nội lực được tính như sau
2 2 xx h xx yy h yy xy xy
2 xx h xx yy h yy xy xy
∫ (3.10) với K s là hệ số điều chỉnh lực cắt, lấy bằng 5/6 Thay (3.7), (3.8) và (3.9) vào (3.10), nội lực được viết dưới dạng sau
0 0 0 0 xx xx xx yy yy yy xy xy xy
0 0 0 0 xx xx xx yy yy yy xy xy xy
Tùy thuộc vào từng loại tấm FGMs (mục 3.2) mà các hệ số A ij , B ij , và D ij có dạng như sau:
• (A) Tấm FGMs thông thường với FGMs toàn bộ chiều dày tấm
• (B) Tấm với lõi là FGMs, mặt trên và dưới là vật liệu đồng nhất
• (C) Tấm với lõi là đồng nhất, mặt trên và dưới là FGMs
Nguyên lý Hamilton có dạng như sau
Để khảo sát dao động của hệ, ta bắt đầu từ phương trình 0 = ∫ 0 T δU + δV − δK dt (3.23), trong đó δU là biến phân thế năng biến dạng đàn hồi, δV là biến phân công của ngoại lực, và δK là biến phân động năng Bằng cách thay thế các phương trình từ (3.7) đến (3.13) vào (3.23) và thực hiện một số biến đổi toán học, ta có thể thu được phương trình dao động của hệ dưới dạng các phương trình Euler-Lagrange Điều này xảy ra khi các hệ số của các biến phân δu 0, δv 0, δw 0, δφ x, và δφ y được đặt bằng 0 trên miền Ω0.
(trên toàn bộ diện tích tấm), có dạng như sau [36] u 0 δ : N xx N xy I 0 2 w 2 0 I 1 2 2 x x y t t
∂ ∂ ∂ ∂ (3.24) trong đó q là lực phân bố trên tấm và
∫ (3.26) với ρ ( ) z là khối lượng riêng của tấm, ( I I I 0 , , 1 2 ) có dạng giống ( A B D 11 , , 11 11 )
3.3.4 Thiết lập các công thức phần tử hữu hạn
Theo lý thuyết tấm Mindlin, các biến độc lập (u, v, w, φx, φy) được biểu diễn bằng hàm nội suy Lagrange Phần tử tấm được sử dụng là phần tử chữ nhật 4 nút, với mỗi nút có 5 bậc tự do Chuyển vị trong phần tử được xác định theo dạng cụ thể.
= ∑ (3.27) với ψ e j là hàm nội suy Lagrange (theo tọa độ tự nhiên) có dạng như sau
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) tập trung vào việc tìm kiếm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm chỉ trong từng miền con, thay vì trên toàn bộ miền Ω 0 Hình 3.7 minh họa phần tử tấm chữ nhật, thể hiện rõ ràng ý tưởng này.
Miền phần tử Ωe thuộc miền xác định Ω0 Để xây dựng phương trình chuyển động của phần tử theo phương pháp PTHH, ta nhân các phương trình (3.24) với các biến phân tương ứng và thực hiện tích phân trên toàn miền phần tử Ωe Sau đó, thay thế các phương trình (3.27) vào các tích phân này, ta có thể viết phương trình chuyển động dưới dạng ma trận như sau: y x y1 x1.
Hình 3.8: Tọa độ tự nhiên của phần tử
Các ma trận con thành phần K αβ , M αβ , và { } F α (α β, =1,2, ,5) trong
= ∫ Ω (3.32) trong đó các hệ số N Ij α , M Ij α , và Q Ij α (α =1,2, 5 và I =1,2,6) có dạng như sau
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các lực tác dụng lên phần tử, bao gồm lực P x và P y theo phương x và y, cùng với lực phân bố q theo phương z Ngoài ra, lực phân bố Q n trên biên phần tử cũng sẽ được đề cập Cuối cùng, mô men T x và T y quanh các trục y và x tác động lên phần tử sẽ được phân tích để hiểu rõ hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến cấu trúc.
Ảnh hưởng của nền
Tấm FGMs được đặt trên nền đàn nhớt, được đặc trưng bởi hai thông số k f (hệ số độ cứng) và c f (hệ số cản) Lực tác dụng lên tấm từ nền đàn nhớt là lực phân bố theo phương z trên toàn bộ diện tích tấm, phụ thuộc vào w và ẇ Vec tơ lực nút F 3 (theo phương z) có thể được tách thành hai thành phần.
F 3 = F 3 p + F 3 f, trong đó F 3 p là lực nút do tải ngoài tác động lên tấm, còn F 3 f là lực nút do nền đàn nhớt tác động lên tấm Theo công thức (3.34), F 3 f có dạng như sau.
= ∫ Ω (3.36) trong đó q x y t f ( , , ) là lực phân bố trên phần tử và được xác định như sau
= −∑ −∑ (3.37) Đưa (3.37) vào (3.36), F i 3 f được viết lại như sau
Thế (3.38) vào (3.30) rồi chuyển vế, ma trận độ cứng phần tử K e khi có kể ảnh hưởng của nền có dạng
(3.39) trong đó K 33 f là ma trận độ cứng thêm vào khi có kể ảnh hưởng của nền và xác định như sau
Tương tự, phương trình (3.30) (hay (3.31)) thêm thành phần ma trận cản phần tử C e có dạng như sau
(3.41) tương ứng với { { } { } { } u e , v e , w e , { } { } S 1 , S 2 } T và C 33 f được xác định như sau
Như vậy, phương trình chuyển động của phần tử theo PP PTHH (3.31) có kể đến ảnh hưởng của nền đàn nhớt được viết lại như sau
Hiện tượng “khóa cắt” (shear locking) và phép cầu phương Gauss
Khi chiều dày của tấm nhỏ hơn nhiều so với hai kích thước còn lại, kết quả tính độ võng theo lý thuyết tấm Mindlin phải tương đồng với lý thuyết tấm Kirchoff Tuy nhiên, thực tế cho thấy độ võng tính toán theo lý thuyết Mindlin lại nhỏ hơn nhiều so với thực tế, hiện tượng này được gọi là "khóa cắt" (shear locking) Đối với tấm mỏng, biến dạng cắt γxz và γyz được coi là bằng 0.
Trong biểu thức năng lượng, không có phần năng lượng nào do biến dạng cắt tạo ra Thành phần năng lượng liên quan đến biến dạng cắt có dạng nhất định.
Hiện tượng “khóa cắt” cho thấy rằng, trong tính toán số, biến dạng cắt γxz và γyz không bằng 0 khi chiều dày của tấm mỏng Hệ số D ij tỷ lệ với h^3, trong khi A ij tỷ lệ với h, dẫn đến việc khi chiều dày của tấm nhỏ, hệ số A ij lớn hơn rất nhiều so với D ij Điều này khiến phần năng lượng do biến dạng cắt vẫn được tính vào biểu thức năng lượng của tấm, làm cho tấm trở nên rất cứng và ảnh hưởng đến kết quả bài toán.
Một cách đơn giản để khắc phục hiện tượng “khóa cắt” là áp dụng kỹ thuật tích phân thu gọn (reduced integration) Kỹ thuật này sử dụng phép cầu phương Gauss để tính toán các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động theo phương pháp PTHH, trong đó các hệ số A 44 và A 55 được tính với số điểm Gauss thấp hơn 1 bậc so với yêu cầu Đối với phần tử chữ nhật 4 nút, các hệ số A 44 và A 55 được tính với 1 điểm Gauss, trong khi các hệ số còn lại được tính với 2 điểm Gauss.
3.5.2 Phương pháp cầu phương Gauss
Phương pháp cầu phương Gauss bao gồm một số bước quan trọng, trong đó việc xác định các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động (3.30) yêu cầu tính toán các tích phân có dạng nhất định.
Phương pháp Gauss được áp dụng cho các tích phân có giới hạn từ -1 đến 1 Do đó, tích phân (3.46) sẽ được chuyển đổi sang hệ tọa độ tự nhiên của phần tử để thực hiện tính toán.
= ∫ = ∫ = ∫ ∫ (3.47) trong đó J là định thức của ma trận Jacobi, và đạo hàm riêng hàm dạng theo x và y được chuyển sang tọa độ tự nhiên như sau
(3.48) với [ ] J là ma trận Jacobi và được xác định như sau
Theo phương pháp Gauss, tích phân (3.47) được xác định như sau
Trong phương pháp tính toán, tổng trọng số được xác định bởi công thức ∑∑ (3.50), trong đó W i và W j là trọng số tương ứng với các điểm Gauss thứ i và j Tọa độ của điểm Gauss thứ i được ký hiệu là (ξ η i , i) Khi chỉ sử dụng 1 điểm Gauss, tọa độ sẽ là ξ η = 0 và trọng số W i = W j = 2 Ngược lại, khi sử dụng 2 điểm Gauss, trọng số sẽ là W i = W j = 1 và tọa độ các điểm Gauss được minh họa trong Hình 3.9.
Mô hình vật thể
Từ phần này trở đi, ma trận, vectơ cột và vectơ hàng được ký hiệu lần lượt là [ ], { }, và Mô hình vật thể dựa trên mô hình xe được thể hiện như Hình 3.10, bao gồm hai phần: phần trên là thân xe không tiếp xúc với tấm, có k bậc tự do, được biểu diễn bằng vectơ chuyển vị { } d u Phần dưới là n bánh xe tiếp xúc với tấm, mỗi bánh xe có một bậc tự do là chuyển vị đứng v wi, được biểu diễn bằng vectơ { } d w = v w 1 v w 2 v wi v wn T Chuyển vị của tấm tại vị trí các bánh xe được ký hiệu là v ci và được thể hiện bằng vectơ ξ=-1/√3 ξ=1/√3 η=1/√3 η=-1/√3 ξ η.
Hình 3.9: Tọa độ điểm Gauss
{ } d c = v v c 1 c 2 v ci v cn T Lực tiếp xúc giữa bánh xe và tấm được ký hiệu là V i và được thể hiện bằng vec tơ { } f c = V V 1 2 V i V n T
Chuyển vị của bánh xe và chuyển vị của tấm tại vị trí tiếp xúc có quan hệ như sau
{ } d w = Γ [ ]{ } d c (3.51) với giả thiết bánh không nhảy thì [ ] Γ là ma trận đơn vị Phương trình chuyển động của vật thể có dạng như sau [39]
{ } u u uu uw uu uw wu ww w wu ww w d d m m c c m m d c c d
[ ] [ ] u { } u ue uu uw wu ww w we w c l d f k k f k k d f l
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ảnh hưởng của các lực ngoại lực lên hai phần của vật thể, với { } f ue và { } f we đại diện cho các lực tác động lên phần trên và dưới Ma trận chuyển đổi [ ] l u và [ ] l w được xác định từ vectơ { } f c, có kích thước tương đương với { } d w Lưu ý rằng phần trên của vật thể không tiếp xúc với tấm, điều này ảnh hưởng đến ma trận chuyển đổi.
Thân xe với k bậc tự do vwn vwn-1 vw2 vw1
Hình 3.10: Mô hình minh họa vật thể vcn vcn-1 vc2 vc1
Tùy theo trượng hợp mô hình tải trọng (hay vật thể), các ma trận thành phần trong (3.52) có dạng như sau:
• Lực di động (moving force) (Hình 3.11a)
Phương trình chuyển động của vật thể (hay tải trọng) (3.52) không có thành phần chuyển vị của phần trên (phần thân xe) Các thành phần của (3.52) như sau
• Khối lượng di động (moving mass) (Hình 3.11b)
Tương tự như lực di động (không có thành phần chuyển vị của phần trên), các thành phần của (3.52) như sau z x
Mv vu mw kv cv
V z x vw2 mw vw1 mw kv cv d kv cv ds vu ϕ u Mv, Iv
Mô hình tải trọng bao gồm bốn thành phần chính: (a) lực di động, (b) khối lượng di động, (c) hai khối lượng liên kết với nhau qua hệ lò xo-cản di động, và (d) hệ dầm cứng cùng với hai bánh di động.
[ m ww ] ≡ M , [ ] c ww ≡0, [ ] k ww ≡0, { } f we ≡ − Mg , [ ] l w ≡1, [ ]Γ ≡1 (3.54)
• Hệ 2 khối lượng liên kết với nhau bằng hệ lò xo-cản di động (moving sprung mass) (Hình 3.11c)
Chuyển vị v u và v w được tính từ vị trí cần bằng của vật thể Tách vật thể (sprung mass) thành 2 phần như Hình 3.12
Các thành phần lực trong Hình 3.12 được được xác định như sau
( ) s v u w st f k z z = − − ∆ , f c z z d = v ( u − w ), vg v f =M g, f vI = M z v v , f wg =m g w , f wI = m z w w , ∆ st v k M g = v (3.55) Xét cần bằng từng phần vật thể, phương trình chuyển động của vật thể có dạng như sau
Mv fs fd fvg fvI fs fd fc fwI fwg
Hình 3.12: Hai phần của hệ sprung mass
• Hệ dầm cứng và 2 bánh (suspended rigid beam) (Hình 3.11d)
Thực hiện tương tự như đối với moving sprung mass, tách vật thể thành
Các thành phần lực trong Hình 3.13 được xác định như sau vg v f =M g, f vI = M v v u , m I =I v u ϕ , I v = M d d v ( +2 s ) 2 /12,
Tổng lực theo phương thẳng đứng cho phần trên và dưới, cùng với tổng mômen quanh trọng tâm vật thể bằng 0, dẫn đến phương trình chuyển động được xác định như sau: 2 0.5 2 s v u u w st f =k v − ϕ d v− − ∆ , f d 2 =c v v ( u −0.5ϕ u d v− w 2 ), v st 0.5 v k ∆ = M g, f wg =m g w , f wI 2 = m v w w 2 , f wI 1 = m v w w 1 (3.58)
(3.59) hay mI fvI fs2 fvg fd2 fs1 fd1 fs2 fd2 fc2 fwI2 fwg fs1 fd1 fc1 fwI1 fwg
Hình 3.13: Hai phần của hệ suspended rigid beam
Trong luận văn này, ứng xử của tấm được khảo sát với mô hình vật thể là moving sprung mass, và có 1 phần so sánh các trường hợp tải.
Phương pháp số giải phương trình chuyển động
Phương trình chuyển động có dạng như
Mu t Cu t Ku t + + = P t (3.61) có thể được giải bằng nhiều phương pháp Các phương pháp này được chia làm
Có hai nhóm phương pháp trong phân tích: nhóm phương pháp giải thích và nhóm phương pháp số Các phương pháp giải tích cung cấp kết quả chuyển vị, gia tốc và vận tốc dưới dạng hàm, trong khi nhóm phương pháp số cho kết quả cụ thể về chuyển vị, gia tốc và vận tốc tại từng thời điểm.
Các phương pháp giải tích chỉ thích hợp cho những bài toán đơn giản do những khó khăn về mặt toán học, trong khi đó, các phương pháp số có thể áp dụng cho nhiều loại bài toán từ đơn giản đến phức tạp với độ chính xác cao nhờ vào khả năng tính toán của máy tính và khả năng lập trình tự động Ý tưởng chính của các phương pháp số là rời rạc hóa phương trình chuyển động theo thời gian, với nghiệm được tính toán tại từng thời điểm Các phương pháp số được chia thành hai dạng: tường minh (explicit) và ẩn (implicit) Phương pháp tường minh giải quyết vận tốc và chuyển vị tại thời điểm i +1 dựa trên nghiệm tại thời điểm i và các thời điểm trước đó thông qua các biểu thức rõ ràng Ngược lại, phương pháp ẩn giải chuyển vị tại thời điểm i +1 từ kết quả của các thời điểm trước đó cùng với vận tốc và gia tốc tại thời điểm i +1, trong đó vận tốc và gia tốc là các ẩn số cần tìm.
Các phương pháp dạng tường minh bao gồm phương pháp Euler, phương pháp Runge Kutta bậc 4 và phương pháp sai phân trung tâm Phương pháp Euler có thuật toán đơn giản nhưng thường dẫn đến sai số lớn Ngược lại, phương pháp Runge Kutta và phương pháp sai phân trung tâm mang lại độ chính xác cao hơn, nhưng đi kèm với thuật toán phức tạp và khối lượng tính toán lớn.
Các phương pháp dạng ẩn bao gồm phương pháp Newmark, Wilson, HHT và HHθ Phương pháp Newmark, được giới thiệu lần đầu vào năm 1959, nổi bật với thuật toán đơn giản, khối lượng tính toán hợp lý và khả năng áp dụng cho nhiều bài toán, mang lại độ chính xác cao, do đó được sử dụng phổ biến Các phương pháp còn lại dựa trên nền tảng của Newmark, cho kết quả tương đương về độ chính xác nhưng có thuật toán phức tạp hơn và ít được áp dụng hơn.
Trong luận văn này, phương pháp Newmark với gia tốc trung bình được lựa chọn do độ chính xác cao, thuật toán đơn giản, khối lượng tính toán hợp lý, không yêu cầu điều kiện ổn định, và khả năng áp dụng cho nhiều loại bài toán khác nhau.
Phương trình chuyển động (3.61) được rời rạc theo thời gian và viết ở thời điểm i +1 như sau
Trong phương pháp Newmark, hàm gia tốc giữa các thời điểm được xấp xỉ để tính toán vận tốc và chuyển vị Vận tốc và chuyển vị tại thời điểm sau được xác định thông qua việc tích phân hàm gia tốc xấp xỉ.
Phương trình (3.63) mô tả sự thay đổi của biến số u theo thời gian, trong đó ∆t là độ lớn của bước thời gian, γ và β là các thông số trong phương pháp Newmark, với giá trị lần lượt là ẵ và ẳ trong phương pháp gia tốc trung bình Các biến số u i + 1 và u i + 1 được suy ra từ phương trình này, cho phép tính toán chính xác hơn trong mô hình động học.
1 5 1 6 7 i i i i i u + =a u + −u −a u a u − (3.64) với các hệ số a i trong (3.64) và các công thức sau này được xác định như sau
Thay các phương trình (3.64) vào (3.62), phương trình (3.62) được viết lại như sau eff i 1 eff
K u+ =P (3.66) trong đó K eff và P eff , lần lượt là ma trận độ cứng hiệu dụng và vec tơ tải hiệu dùng, có dạng như sau
Phương trình (3.67) cho phép xác định chuyển vị u i + 1 tại cuối bước thời gian, giúp dễ dàng tìm ra ẩn này Sau khi xác định được chuyển vị u i + 1, ta có thể suy ra vận tốc u i + 1 và gia tốc u i + 1 bằng cách thay thế u i + 1 vào các phương trình (3.64) Như vậy, từ nghiệm đã biết tại thời điểm i, ta có thể tìm nghiệm tại thời điểm i + 1.
3.7.2 Áp dụng phương pháp Newmark
Phương trình chuyển động của vật thể (3.52) được rời rạc theo thời gian và viết ở thời điểm t + ∆ t như sau
{ } u u uu uw uu uw wu ww w t t wu ww w t t d d m m c c m m d +∆ c c d +∆
[ ] [ ] u { } u ue uu uw c t t wu ww w t t we t t w l d f k k f k k d +∆ f +∆ l +∆
Dòng trên trong phương trình (3.68) được viết lại như sau
[ ]muu { }d u t t +∆ + [ ] cuu { }d u t t +∆ + [ ] k duu { } u t t +∆ = { } fue t t +∆ − { } quc t t +∆ (3.69) trong đó
{ }quc t t +∆ = [muw ] { }d w t t +∆ + [ ] cuw { }d w t t +∆ + [ ] kuw { } dw t t +∆ (3.70) Theo phương pháp Newmark, gia tốc { } d u t t +∆ và vận tốc { } d u t t +∆ (theo (3.64)) có dạng như sau
{ }d u t t +∆ =a d5 ( { } u t t +∆ − { } du t ) −a d6 { } u t −a d7 { } u t (3.71) Thay (3.71) vào (3.69), phương trình (3.69) được viết lại như sau
[ Ψ uu ] ( { } d u t t +∆ − { } d u t ) = { } f ue t t +∆ − { } q uc t t +∆ + { } q u t (3.72) trong đó
{ }q u t = [ ]m uu (a d 1 { } u t +a d 2 { } u t ) + [ ] c uu (a d 6 { } u t +a d 7 { } u t ) − [ ] k d uu { } u t (3.73) Giải phương trình (3.72), chuyển vị tại cuối bước thời gian { } d u t t +∆ có dạng như sau
{ }du t t +∆ = Ψ [ uu ] − 1 ( { }fue t t +∆ − { }quc t t +∆ + { }qu t ) + { } du t (3.74) Vận tốc { } d u t t +∆ và gia tốc { } d u t t +∆ tại cuối bước thời gian được suy ra từ phương trình (3.71) có dạng như sau
{ } d u t t +∆ = a 5 [ ] Ψ uu − 1 ( { } f ue t t +∆ − { } q uc t t +∆ + { } q u t ) − a d 6 { } u t − a d 7 { } u t (3.75) Thay các phương trình (3.74) và (3.75) vào dòng dưới trong phương trình (3.68), vec tơ lực tiếp xúc dó dạng như sau
{ }fc t t +∆ = [ ]m dc { } w t t +∆ + [ ] c dc { } w t t +∆ + [ ] k dc { } w t t +∆ + { } pc t t +∆ + { } qc t (3.76) trong đó
Công thức lực tiếp xúc được mô tả bởi phương trình { }q w t = [m wu ] (a d 1 { } u t +a d 2 { } u t ) + [ ] c wu (a d 6 { } u t +a d 7 { } u t ) − [ ] k wu { } d u t Điều kiện để bánh không nhảy được xác định theo phương trình (3.51), từ đó vectơ lực tiếp xúc { } f c t t +∆ có thể được viết lại dựa trên chuyển vị { } d c t t +∆, vận tốc { } d c t t +∆, và gia tốc { } d c t t +∆ của tấm tại vị trí tiếp xúc.
{ }fc t t +∆ = [ ]m dc { } c t t +∆ + [ ] c dc { } c t t +∆ + [ ] k dc { } c t t +∆ + { } pc t t +∆ + { } qc t (3.79) Như vậy, lực tiếp xúc V i t t , +∆ của bánh xe thứ i ( i =1, ,n ) có dạng như sau
1 n i t t ci t t ci t cij cj t t cij cj t t cij cj t t
= + +∑ + + (3.80) Đối với phần tử tấm có lực tiếp xúc V i t t , +∆ , phương trình chuyển động của phần tử (3.43) (đã có kể ảnh hưởng của nền đàn nhớt) có dạng như sau
Trong bài viết này, chúng ta xem xét vectơ tải nút phần tử {F_i t t e +∆}, chịu tác động từ ngoại lực, không phải từ lực tiếp xúc Đồng thời, vectơ lực nút của phần tử {f_c i t t e +∆} được xác định bởi lực tiếp xúc V_i t t , +∆ tác động lên phần tử.
Đối với phương trình (3.82), { } N ci v là vector hàm dạng của chuyển vị w tại vị trí lực tiếp xúc trong phần tử Khi thay thế (3.80) và (3.82) vào (3.81), ta có thể viết lại phương trình (3.81) một cách chính xác.
1 v n ci ci t t ci t cij cj t t cij cj t t cij cj t t
Các thành phần chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại vị trí lực tiếp xúc được xác định thông qua các giá trị tương ứng của nút phần tử Cụ thể, chuyển vị d cj t t , +∆ , vận tốc d cj t t , +∆ , và gia tốc d cj t t , +∆ là những yếu tố quan trọng trong việc phân tích lực tác động.
, v { } e cj t t cj j t t d +∆ = N ∆ +∆ , , v { } e cj t t cj j t t d +∆ = N ∆ +∆ , , v { } e cj t t cj j t t d +∆ = N ∆ +∆ (3.84)
Thay (3.84) vào (3.83), phương trình chuyển động của phần tử khi có lực tiếp xúc tác dụng có dạng như sau
1 n e e e cij j t t cij j t t cij j t t ci t t ci t t j m ∗ +∆ c ∗ +∆ k ∗ +∆ p ∗ +∆ q ∗ +∆
, (3.86) và các vec tơ tải nút
Sau khi thiết lập phương trình chuyển động cho phần tử chịu lực tiếp xúc, chúng ta tiến hành ghép nối các phần tử Kết quả là phương trình chuyển động của tấm tại thời điểm t + ∆ t được biểu diễn theo dạng cụ thể.
Theo các phương trình (3.85) và (3.88), ma trận thành phần trong (3.88) thay đổi theo vị trí vật thể tại từng thời điểm Phương pháp Newmark (mục 3.7.1) được áp dụng để xác định ứng xử của tấm tại mỗi thời điểm.
Thuật toán giải bài toán tấm FGMs trên nền đàn nhớt chịu vât thể di động theo phương pháp Newmark được mô tả như sau:
1 Khai báo các thông số cơ bản của tấm, nền, và vật thể
2 Thiết lập ma trận tổng thể M plate , C plate , và K plate (đã có kể ảnh hưởng của nền đàn nhớt, và chưa kể đến tác động của vật thể)
3 Đặt điều kiện ban đầu là tại thời điểm t =0 thì { } { } D 0 = D 0 = { } { } D 0 = 0 đối với tấm, và { } { } D v 0 = D v 0 = { } { } D v 0 = 0 đối với vật thể Khai báo bước thời gian ∆ t Khai báo thời gian kết thúc phân tích t end (khi t t > end thì chương trình ngừng tính toán)
4 Thiết lập ma trận thành phần trong phương trình chuyển động (3.68) của vật thể theo mục 3.6 Tính [ ]Ψuu , [Ψwu ] , [ ] m c , [ ] c c , và [ ] k c theo (3.73), (3.78), và (3.77)
5 Tại thời điểm tiếp theo t t ′ = + ∆ t, kiểm tra t t ′ > end , nếu đúng thì chương trình ngừng tính toán, nếu không thì tiếp tục bước 6
Một kỹ thuật lập trình PP PTHH bằng MATLAB
Chương trình tính trong luận văn được lập trình bằng MATLAB 7.11.0 (R2010b); chương trình này được thiết kế bởi công ty MathWorks Lập trình
PP PTHH trong MATLAB thường gặp vấn đề về thời gian tính toán Bài viết này giới thiệu một kỹ thuật lập trình PP PTHH dựa trên hướng dẫn của Loren, nhân viên thiết kế chương trình MATLAB tại MathWorks Kỹ thuật này giúp giảm thời gian thiết lập các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động.
Trong phương pháp PTHH, ma trận độ cứng tổng thể K và các ma trận thành phần trong phương trình chuyển động được thiết lập thông qua ma trận chỉ số b, còn được gọi là ma trận liên hệ.
Mỗi thành phần K ij e trong ma trận độ cứng phần tử K e được cộng vào thành phần K mn trong ma trận độ cứng tổng thể K, với m b = ei và n b = ej Ví dụ, ma trận K b có cấu trúc như mô tả trong Bảng 3.2.
Bảng 3.2: Ví dụ ma trận chỉ số [ ] b
Từ đây, K 35 được xác định như sau
Để lập trình ma trận độ cứng tổng thể [ ] K, trước tiên cần thiết lập ma trận chỉ số [ ] b và tạo ma trận [ ] [ ] K = 0 với kích thước đầy đủ Sau đó, từng thành phần của ma trận độ cứng phần tử sẽ được thiết lập.
được gộp thêm vào ma trận độ cứng tổng thể [ ] K với vị trí xác định dựa vào ma trận chỉ số [ ] b như sau
( , ) ( , ) i ik il ik il kl
Việc lập trình để thiết lập các ma trận thành phần theo cách này làm tăng đáng kể thời gian tính toán, chủ yếu do cách MATLAB lưu trữ ma trận rời rạc Để hiểu rõ hơn về quá trình này, chúng ta có thể tham khảo một ví dụ về một ma trận bất kỳ có dạng [ ].
MATLAB chỉ lưu các giá trị C ij ≠ 0 của [ ] C như sau:
Như vậy, MATLAB lưu [ ] C theo bằng 3 vec tơ p (chỉ hàng), i (chỉ cột), và x
Khi thêm vào C ( )3,1 = C ( )3,1 42+ , ma trận [ ] C lúc này trở thành:
Việc thêm giá trị vào C(3,1) không chỉ đơn thuần là bổ sung một giá trị mới mà còn giúp lưu giữ tất cả các giá trị có thứ tự bên dưới nó Do đó, việc lập trình phương pháp PTHH trong MATLAB thường được thực hiện thông qua các câu lệnh chuẩn.
( , ) ( , ) i ik il ik il kl
K b b = K b b + K làm thời gian tính toán tăng lên đáng kể Phương pháp truyền thống chủ yếu tiêu tốn thời gian vào việc thiết lập các ma trận thành phần, trong khi việc giải hệ phương trình tuyến tính lại trở nên nhanh chóng hơn.
KX P= sẽ tiết kiệm thời gian trong tương lai nhờ vào việc MATLAB hỗ trợ giải hệ phương trình bằng dòng lệnh X K B = \ Trong một số trường hợp, thời gian để thiết lập ma trận thành phần có thể lâu hơn gấp 100 lần so với thời gian giải hệ phương trình tuyến tính Để khắc phục vấn đề này, lệnh sparse được sử dụng để thiết lập ma trận thành phần, với cấu trúc cụ thể như sau.
Ma trận thưa được biểu diễn bằng công thức S sparse i j s m n, trong đó i là vector chỉ hàng, j là vector chỉ cột, và s là vector chứa giá trị tương ứng Công thức S(i, j) = s(k) áp dụng cho các chỉ số hàng m và cột n của ma trận S cần khởi tạo Lệnh sparse được sử dụng để thiết lập ma trận thành phần [ ] K một cách hiệu quả.
1 Thiết lập ma trận độ cứng phần tử K e và vec tơ chỉ số [ ] b
2 Tạo 3 vec tơ i, j, và s có số hàng = (số phần tử × (số bậc tự do trong 1 phần tử) 2 ) với tất cả giá trị là 0 với dòng lệnh như sau ntriplets=sophantu*sobactudotrong1phantu^2;
3 Gán giá trị vào vec tơ i, j, và s với dòng lệnh như sau for i=1:sophantu for krow=1:sobactudotrong1phantu for kcol=1:sobactudotrong1phantu ntriplets=ntriplets+1;
X(ntriplets)=Ke(krow,kcol); end end end
4 Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [ ] K bằng lệnh sparse như sau
K=sparse(I,J,X,sonut*sobactudotai1nut,sonut*sobactudotai1nut);
Việc thiết lập ma trận thành phần theo các bước trên tránh được việc sử dụng dòng lệnh dạng ( , ) ( , ) i ik il ik il kl
K b b được cải thiện đáng kể với công thức K b b = K b b + K, giúp rút ngắn thời gian thiết lập ma trận thành phần Trong một số trường hợp, tốc độ thiết lập nhanh hơn phương pháp truyền thống tới 150 lần.
(*) (http://blogs.mathworks.com/loren/2007/03/01/creating-sparse-finite- element-matrices-in-matlab/)
VÍ DỤ SỐ
Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi thực hiện một số ví dụ để xác minh tính chính xác của phương pháp áp dụng cho bài toán và độ tin cậy của kết quả từ chương trình tính trong luận văn Các ví dụ kiểm chứng bao gồm tổng cộng 7 trường hợp.
- Xác định chuyển vị của tấm đồng nhất, tựa 4 cạnh, chịu tải trọng tập trung; kết quả được so sánh với kết quả từ chương trình SAP2000
Bài viết này xác định chuyển vị của tấm đồng nhất trên nền Winkler, với điều kiện tự do ở chu vi và chịu tác động của tải trọng tập trung Kết quả thu được sẽ được so sánh với các kết quả từ chương trình SAP2000 để đánh giá tính chính xác và hiệu quả của phương pháp phân tích.
- Xác định chuyển vị của tấm FGMs chữ nhật, tựa 4 cạnh, chịu tải trọng phân bố đều; kết quả được so sánh với nghiên cứu của Singha et al [31]
- Xác định tần số dao động của tấm FGMs chữ nhật, tựa 4 cạnh; kết quả được so sánh với nghiên cứu của Zhu và Liew [37]
- Xác định tần số dao động của tấm sandwich FGMs chữ nhật, tựa 4 cạnh; kết quả được so sánh với nghiên cứu của Xiang S et al [38]
- Xác định độ võng của tấm đồng nhất trên nền đàn nhớt chịu lực di động; kết quả được so sánh với nghiên cứu của N T Cường [34]
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xác định chuyển vị tại điểm đặt tải theo thời gian trong bài toán tấm đồng nhất trên nền đàn nhớt chịu khối lượng di động Kết quả thu được sẽ được so sánh với nghiên cứu trước đó của N T Cường [34] để đánh giá tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp.
Nhiều ví dụ số đã được thực hiện để phân tích ứng xử động của tấm vật liệu chức năng biến thiên (FGMs) trên nền đàn hồi chịu tác động của vật thể di động Những ví dụ này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách mà tấm FGMs phản ứng dưới các điều kiện khác nhau.
- Xác định tần số dao động của tấm FGMs và tấm sandwich FGMs tựa đơn trên chu vi
- Xác định tần số dao động của tấm FGMs trên nền đàn nhớt
- Khảo sát ảnh hưởng hệ số độ cứng nền đến dao động của tấm FGMs
- Khảo sát ảnh hưởng hệ số cản của nền đến dao động của tấm FGMs
- Khảo sát ảnh hưởng vận tốc chuyển động của vật thể đến dao động của tấm FGMs
- Khảo sát ảnh hưởng của hệ số phân phối vật liệu n đến ứng xử của tấm FGMs và tấm sandwich FGMs
- Khảo sát ảnh hưởng của chiều dày tấm FGMs đến ứng xử của tấm
- Xác định ứng suất ở tâm tấm khi vật thể đặt tĩnh ở tâm tấm trong trường hợp tấm FGMs và tấm sandwich FGMs
- Khảo sát ảnh hưởng của độ cứng của vật thể ( ) k v đến dao động của tấm FGMs và của vật thể
- Khảo sát ảnh hưởng khối lượng của vật thể (M v ) đến dao động của tấm FGMs
- Khảo sát ảnh hưởng của hệ số cản của vật thể ( ) c v đến dao động của tấm FGMs và của vật thể
- Ứng xử của tấm trong các trường hợp mô hình vật thể khác nhau
Trong chương này, các trường hợp tấm FGMs thông thường và tấm sandwich FGMs được ký hiệu theo mục 3.2 Tấm được khảo sát chủ yếu là tấm FGMs thông thường, trong trường hợp không có thông tin bổ sung nào khác.
Bài toán kiểm chứng
4.2.1 Tấm đồng nhất chịu tải tập trung
Cho tấm vuông, tựa trên 4 cạnh, có kích thước 1m x 1m, dày 0.02m Các thông số vật liệu tấm E = ×2 10 8 kN m/ 2 , ν = 0.3 Tấm chịu một lực tập trung
Tấm chịu lực P = 10kN đặt tại tâm, và kết quả chuyển vị từ chương trình trong luận văn được so sánh với SAP2000, sử dụng lưới phần tử 10x10 Sai lệch [%] được tính bằng công thức (Kết quả từ SAP2000 – Kết quả từ luận văn) / (Kết quả từ SAP2000) Độ võng tại y = 0.5m được thể hiện trong Hình 4.1, cho thấy ma trận độ cứng trong chương trình tính của luận văn là phù hợp.
Hình 4.1: Độ võng của tấm khi chịu tải tập trung
Bảng 4.1: Chuyển vị đứng tại tâm tấm
Luận văn SAP2000 Sai lệch [%] Chuyển vị đứng tại tâm (mm) -0.79 -0.81 2.12
4.2.2 Tấm đồng nhất trên nền Winkler chịu tải tập trung
Tấm vuông có kích thước 5m x 5m và chiều cao h = 0.15m, với các thông số vật liệu E = 2 × 10^7 kN/m² và ν = 0.2, chịu một lực tập trung P = 10kN tại tâm Kết quả chuyển vị của tấm từ chương trình trong luận văn được so sánh với SAP2000, sử dụng lưới phần tử 20x20 Sai lệch [%] được tính theo công thức (Kết quả từ SAP2000 – Kết quả từ luận văn) / (Kết quả từ SAP2000) Độ võng của tấm tại y = 2.5m được thể hiện trong Hình 4.2, cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng có tính đến ảnh hưởng của nền trong chương trình tính là phù hợp.
Hình 4.2: Độ võng của tấm (y = 0.5m) trên nền Winkler khi chịu tải tập trung
Bảng 4.2: Chuyển vị đứng tại tâm tấm
Luận văn SAP2000 Sai lệch [%] Chuyển vị đứng tại tâm (mm) -0.173 -0.177 2.26
4.2.3 Tấm FGMs chịu tải phân bố đều
Cho tấm vuông tựa 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều Tấm làm bằng vật liệu FGMs với các thông số E t =380GPa (Alumia) và E b = 70GPa
Trong nghiên cứu này, vật liệu nhôm được xem xét với hệ số Poisson ν = 0.3 cho cả hai loại vật liệu Tỷ lệ kích thước cạnh trên chiều dày tấm được xác định là a/h = 100 Độ võng tại tâm tấm được biểu diễn bằng đại lượng không thứ nguyên w w D q a c = c t /( ) 0 4, trong đó D được tính theo công thức D E h t = t 3 / 12 1 ( − ν 2 ) Kết quả thu được từ chương trình được so sánh với nghiên cứu của Singha et al [31] như trình bày trong Bảng 4.3.
Sai lệch [%] = (Kết quả từ nghiên cứu trước – Kết quả từ luận văn)/ (kết quả từ nghiên cứu trước)
Bảng 4.3: Chuyển vị không thứ nguyên tại tâm w w D q a c = c t /( ) 0 4 của tấm FGMs vuông với a/h = 100
Singha et al [31] Luận văn [%]
Bảng 4.4: Chuyển vị không thứ nguyên w c =10E h w q a t 3 c /( ) 0 4 của tấm FGMs vuông với a/h = 10
Singha et al [31] Luận văn [%]
Kim loại có giá trị 0.4666 và 0.4663 với độ sai lệch 0.06 Đối với tấm có tỷ lệ a/h = 10, chuyển vị tại tâm tấm được biểu diễn qua đại lượng không thứ nguyên w c = 10E h w t^3 c /( ) q a^0.4 Kết quả thu được từ chương trình đã được so sánh với nghiên cứu của Singha et al [31] (Bảng 4.4).
Kết quả cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng cho tấm FGMs trong chương trình của luận văn là phù hợp
4.2.4 Tần số dao động của tấm FGMs
Cho tấm FGMs vuông, tựa 4 cạnh Thông số vật liệu như mục 4.2.2, với
Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm được tính bằng công thức ω* = ωa h² / (ρt / Et), với ρb = 2702 kg/m³ Kết quả từ chương trình được so sánh với nghiên cứu của Zhu và Liew [37] và được trình bày trong Bảng 4.5 Những kết quả này cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho tấm FGMs trong chương trình của luận văn là hợp lý và chính xác.
Bảng 4.5: Tần số dao động không thứ nguyên ω* của tấm FGMs vuông, với a/h
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
Liew [37] Luận văn Sai lệch
4.2.5 Tần số dao động của tấm sandwich FGMs (C)
Cho tấm sandwich FGMs vuông, tựa 4 cạnh, có các thông số như mục 4.2.4, a h/ =10 Tần số dao động tự do không thứ nguyên của tấm
1 a h/ 10 ω ω= − Kết quả từ chương trình trong luận văn được so sánh với
Xiang S et al [39] và được trình bày trong Bảng 4.6
Kết quả cho thấy việc thiết lập ma trận độ cứng và ma trận khối lượng trong chương trình luận văn là phù hợp với tấm sandwich FGMs.
Bảng 4.6: Tần số dao động không thứ nguyên ω của tấm sandwich FGMs với a h/ =10 n Kết quả 2-1-2 1-1-1 1-8-1
4.2.6 Tấm đồng nhất đặt trên nền đàn nhớt chịu lực di động
Xem xét tấm đồng nhất chữ nhật có kích thước 5m x 10m và chiều dày 0.15m, với thông số vật liệu gồm E = 3 × 10^7 kN/m², ρ = 2500 kg/m³, và hệ số Poisson ν = 0.35 Nền có thông số kf = 10^5 kN/m³ và hệ số cản cf Khi một lực F = 1kN tác động lên tấm với vận tốc V = 10 m/s và di chuyển trên đường y = 2.5m như trong Hình 4.3.
Hình 4.3: Đường di chuyển của tải trọng
Hình 4.4: Độ võng của tấm trên đường y = 2.5m khi lực F di chuyển đến tâm tấm với các giá trị c f khác nhau
Hình 4.5: Độ võng trên của tấm trên đường y = 2.5m khi lực F di chuyển đến tâm tấm với các giá trị c f khác nhau [34]
5.0E-07 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đ ộ v õn g (m ) y (m) cf = 0 kNs/m3 cf = 2000 kNs/m3 cf = 4000 kNs/m3
Kết quả mặt võng của tấm trên đường y = 2.5m khi lực F di chuyển đến tâm tấm được thể hiện trong Hình 4.4, Hình 4.5 là kết quả từ nghiên cứu của
N T Cường [34] Sự phù hợp của 2 đồ thị này cho thấy kết quả tính toán tải trọng di động của chương trình trong luận văn là có thể tin cậy
4.2.7 Tấm đồng nhất đặt trên nền đàn nhớt chịu khối lượng di động
Xét bài toán với khối lượng di động M = 1 tấn, V = 50 m/s, c f = 0 kNs/m³, Hình 4.6 và Hình 4.7 minh họa chuyển vị dưới điểm đặt tải khi có và không có khối lượng vật thể Kết quả từ chương trình luận văn và nghiên cứu của N T Cường [34] cho thấy sự phù hợp giữa hai đồ thị, chứng minh tính tin cậy trong việc tính toán ứng xử của tấm khi chịu tác động của khối lượng di động.
Hình 4.6: Chuyển vị dưới điểm đặt tải khi không xét và có xét khối lượng chuyển động, kết quả từ chương trình tính của luận văn
Có xét khối lượng Không xét khối lượng
Hình 4.7: Chuyển vị dưới điểm đặt tải khi không xét và có xét khối lượng chuyển động, theo [34] (hình 6.20)
Thuật toán thiết lập ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng, và vec tơ tải, cùng với việc giải phương trình chuyển động bằng phương pháp Newmark trong chương trình tính của luận văn, đã được chứng minh là hoàn toàn tin cậy.
Bài toán khảo sát
Các đại lượng không thứ nguyên được sử dụng trong mục này: f b k b E α = : Hệ số độ cứng nền không thứ nguyên
Hệ số vận tốc không thứ nguyên (SP = T = L) được xác định là tỷ lệ giữa chu kỳ dao động mode 1 của tấm (T p 1) và thời gian vật thể di chuyển trên tấm (T v) Trong đó, V là vận tốc di chuyển của vật thể và L là chiều dài đường di chuyển của vật thể.
DMF = W W : Hệ số động (dynamic magnification factor) với
W d là chuyển vị tại điểm đặt tải trong bài toán động và W s là chuyển vị tại điểm đặt tải trong bài toán tĩnh v w p
M mM κ = + : Hệ số khối lượng vật thể không thứ nguyên với M p là khối lượng của tấm
= = : Tỷ số giữa tần số dao động của vật thể và của tấm với ωp 1 là tần số dao động mode 1 của tấm
M c ξ = ω : Tỷ số cản của vật thể
4.3.1 Xác định tần số dao động của tấm FGMs thông thường và tấm sandwich FGMs tựa đơn trên chu vi
Xét tấm FGMs vuông tựa đơn trên chu vi, a h/ =10 Thông số vật liệu của tấm (Alumia) E t = 380 10× 6 kN m/ , 2 ρ t = 3800 /kg m 3 , (Aluminum)
E_b = × kN/m², ρ_b = 2702 kg/m³, và hệ số Poisson ν = 0.3 Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên của tấm ω được xác định theo mục 4.2.5 Đối với tấm sandwich (B) và (C), tỷ lệ chiều dày được lấy là 1-1-1 Kết quả được trình bày trong Bảng 4.7.
Bảng 4.7 trình bày tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω cho tấm FGMs thông thường và tấm sandwich FGMs Thông tin này cung cấp cái nhìn sâu sắc về đặc tính dao động của các loại tấm này trong các ứng dụng kỹ thuật.
Hình 4.8: Quan hệ giữa tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω và hệ số phân phối vật liệu n
Kết quả tần số dao động ω được trình bày trong Bảng 4.7, và Hình 4.8 thể hiện mối quan hệ giữa tần số dao động ω và hệ số phân phối vật liệu n trong các trường hợp tấm khác nhau Tăng hệ số phân phối vật liệu n, tức là tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm, dẫn đến giảm tần số dao động của tấm và giảm độ cứng của tấm.
Sự ảnh hưởng đến ω ở tấm (A) và (C) là đáng kể, trong khi tấm (B) gần như không bị ảnh hưởng Điều này có thể lý giải bởi sự thay đổi đặc tính trong tấm (A) diễn ra trên toàn bộ chiều dày, tấm (C) thay đổi ở 2/3 chiều dày (bao gồm lớp trên và dưới), còn tấm (B) chỉ thay đổi ở 1/3 chiều dày (chỉ phần lõi).
4.3.2 Xác định tần số dao động của tấm FGMs trên nền đàn nhớt
Xét tấm FGMs vuông tự do trên chu vi và được đặt trên nền có độ cứng nền là k f Thông số vật liệu của tấm (Alumia) E t = 380 10× 6 kN m/ 2 ,
Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên ω* của tấm FGMs được xác định theo công thức ω1 ∗ ω1a ρ t /E t, với các thông số như ρ = 3800 / 3 t kg m, E b = 70 × 10^6 kN/m², và hệ số Poisson ν = 0.3 Tần số dao động ω* được phân tích trong các trường hợp khác nhau của b h/ và α, trong đó b là kích thước cạnh ngắn của tấm, được trình bày chi tiết trong Bảng 4.8.
Bảng 4.8: Tần số dao động không thứ nguyên ω1 ∗ theo α và b/h b/h α Tần số dao động không thứ nguyên ω 1 ∗
Kết quả từ Bảng 4.8 cho thấy rằng khi độ cứng của nền tăng, tần số dao động của tấm cũng tăng Ngoài ra, việc tăng hệ số phân phối vật liệu n, tức là tăng thành phần kim loại (có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm), cũng dẫn đến sự gia tăng tần số dao động Mặc dù độ cứng của tấm giảm do tăng thành phần kim loại, nhưng khối lượng của tấm giảm nhiều hơn, khiến tần số dao động tăng Thêm vào đó, Bảng 4.8 chỉ ra rằng khi tỷ số b/h tăng, chu kỳ của tấm cũng tăng Điều này trái ngược với kết quả ở mục 4.2.4, nơi việc tăng thành phần kim loại trong tấm tựa 4 cạnh làm giảm tần số dao động, cho thấy sự khác biệt này phụ thuộc vào điều kiện biên của bài toán.
4.3.3 Khảo sát ảnh hưởng độ cứng của nền đến dao động của tấm
Xét tấm FGMs chữ nhật có kích thước a =2b =10m, b h/ =20 Thông số vật liệu như ở phần 4.3.1, hệ số phân bố vật liệu n =1, nền với
Vật thể chuyển động với vận tốc V = 20 m/s theo đường di chuyển như Hình 4.3, với κ = 0.2, m_w = 0.05 tấn, γ = 0.5 và ξ_v = 0 kNs/m Tấm được chia theo lưới phần tử 20x21, và điều kiện ban đầu của bài toán là thuần nhất.
Hình 4.9: Chuyển vị tại tâm tấm ứng với các vị trí khác nhau của tải trọng trong các trường hợp α khác nhau
Hình 4.10: Lực tiếp xúc trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau
Hình 4.9 minh họa sự chuyển vị tại tâm tấm trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau Đồ thị cho thấy rằng độ cứng nền lớn dẫn đến biên độ dao động của tấm nhỏ và tần số dao động lớn Sau khi vật thể ra khỏi tấm (X/L > 1), tấm vẫn tiếp tục dao động không ngừng, điều này phù hợp với bản chất vật lý của hệ thống.
Hình 4.10 minh họa giá trị lực tiếp xúc tương ứng với vị trí của vật thể trong các trường hợp nền có độ cứng khác nhau Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc kiểm tra giả thuyết bánh không nhảy, đồng thời khẳng định tính chính xác của giả thuyết này.
4.3.4 Khảo sát ảnh hưởng hệ số cản của nền đến dao động của tấm
Cho tấm FGMs, vật thể (đường di chuyển như ở Hình 4.3), và nền có các thông số như mục 4.3.3: a =2b =10m, b h/ = 20, n =1, α , κ = 0.2, w 0.05 m = ton, γ = 0.5, ξ v =0, V =20 /m s
Hình 4.11: Chuyển vị tại tâm tấm ứng với các vị trí khác nhau của tải trọng trong các trường hợp hệ số cản của nền khác nhau
Hình 4.11 minh họa sự chuyển vị tại tâm tấm trong các trường hợp khác nhau của hệ số cản nền Đồ thị cho thấy rằng khi hệ số cản nền tăng lên, chuyển vị của tâm tấm sẽ giảm xuống Sự cản trở này dẫn đến việc dao động của tấm sẽ tắt dần sau khi vật thể rời khỏi tấm Đặc biệt, với hệ số cản nền c f ≥ 100kNs/m³, dao động của tấm tắt rất nhanh sau khi vật thể ra khỏi tấm.
Hình 4.12: Lực tiếp xúc trong các trường hợp hệ số cản nền khác nhau
Hình 4.12 minh họa lực tiếp xúc của vật thể tùy thuộc vào vị trí và hệ số cản nền khác nhau Kết quả cho thấy giả thuyết về việc bánh không nhảy là hợp lý trong trường hợp này, đồng thời hệ số cản nền có tác động làm giảm lực tiếp xúc f c.
4.3.5 Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc chuyển động của vật thể đến dao động của tấm
Cho tấm FGMs, nền, và vật thể với các thông số như ở phần 4.3.3:
Hình 4.13: Chuyển vị của tấm trên đường y = b/2 (Hình 4.3) khi vật di chuyển đến tâm tấm ứng với các trường hợp SP khác nhau
Hình 4.14: Quan hệ giữa hệ số động DMF và SP ( c f = 0kNs m/ 3 )
Hình 4.15: Hệ số động DMF theo V trong các trường hợp độ cứng nền khác nhau ( c f = 0kNs m/ 3 )
Hình 4.13 thể hiện độ võng của tấm trên đường y b = / 2 khi vật thể di chuyển đến tâm tấm với các vận tốc không thứ nguyên SP khác nhau Hình 4.14 cho thấy mối quan hệ giữa hệ số động DMF và SP trong các trường hợp α và α 0 Kết quả chỉ ra rằng có một giá trị vận tốc không thứ nguyên SP tối ưu cho giá trị DMF lớn nhất, nằm trong khoảng 0 < SP < 1 Khi vật thể di chuyển với vận tốc cao hơn, hệ số động DMF sẽ tiến gần về 0.
Khi vật thể di chuyển với vận tốc V (m/s) và độ cứng nền không thứ nguyên α, hệ số động DMF có xu hướng giảm khi α tăng, mặc dù mức độ ảnh hưởng không đáng kể Hình 4.15 cho thấy rằng khi giá trị SP gần 0 (khi c f = 0 kNs/m³), DMF không tiến gần đến 1 mà nằm trong khoảng từ 2 đến 2.5, như thể hiện trong Hình 4.14 và Hình 4.15 Điều này xuất phát từ điều kiện ban đầu thuần nhất, nơi vật thể từ bên ngoài chạy vào tấm, dẫn đến tấm chịu tác động đột ngột và dao động quanh vị trí cân bằng, khiến hệ số DMF không đạt gần 1 khi SP tiến gần về 0.
Hình 4.16: Hệ số động DMF theo SP trong các trường hợp hệ số cản nền khác nhau (α )
Hệ số động DMF được thể hiện trong Hình 4.16, cho thấy sự ảnh hưởng rõ rệt của hệ số cản nền c f đến giá trị DMF Cụ thể, giá trị DMF giảm đáng kể khi hệ số cản nền c f tăng cao.
SP cf=0kNs/m3 cfkNs/m3 cf0kNs/m3
Hình 4.17: Lực tiếp xúc trong các trường hợp SP khác nhau
Hình 4.17 thể hiện lực tiếp xúc theo vị trí vật thể trong các trường hợp
Kết luận
Các bài toán kiểm chứng cho thấy kết quả so sánh với phần mềm SAP2000 và các nghiên cứu trước đã khẳng định tính chính xác của phương pháp được áp dụng trong luận văn, đồng thời xác nhận độ tin cậy của kết quả từ chương trình tính toán sử dụng trong nghiên cứu này.
Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố như độ cứng kf, hệ số cản cf, loại tấm (FGMs và sandwich FGMs), phân phối vật liệu, chiều dày tấm, cùng với các yếu tố của vật thể như vận tốc, khối lượng Mv, độ cứng kv, hệ số cản cv và các mô hình khác nhau đến ứng xử của tấm và vật thể.