Tổng quan
Giới thiệu
Chương này tóm tắt lịch sử nghiên cứu và phát triển về ứng xử và đặc tính của kết cấu tấm, dựa trên các tài liệu tham khảo từ các nhà khoa học trong và ngoài nước Đầu tiên, chương thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho dao động của tấm Tiếp theo, các phương pháp tính toán tần số dao động riêng được trình bày Ngoài ra, lý thuyết về phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống và kỹ thuật bình phương cực tiểu cũng được đề cập, nhằm tạo nền tảng lý thuyết cho phương pháp không lưới LSFD trong chương 3.
Phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động
Xét một tấm mỏng đẳng hướng dưới tác dụng của tải trọng phân bố q(x,y), phương trình chuyển động của tấm dao động được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton Động năng T của tấm dao động được xác định theo các công thức cụ thể.
Thế năng toàn phần của tấm được tính theo công thức 2 ℎ ̇ (2.1), trong đó R đại diện cho diện tích tiết diện ngang của tấm, ρ là dung trọng của vật liệu tấm, và h là bề dày của tấm.
(2.2) Theo nguyên lý Hamilton, biến phân của năng lượng là
( − ) = 0 (2.3) Thay các phương trình (2.1) và (2.2) vào (2.3) thu được
Thay thế vận tốc bằng đạo hàm của chuyển vị, phương trình (2.4) trở thành
Sử dụng điều kiện trên, ta có thể viết lại phương trình (2.5) dưới dạng
Chúng tôi không thực hiện tích phân đường trong phương trình (2.7) vì các thành phần động học trong động năng của hệ không liên quan đến tích phân này Do đó, phương trình (2.7) được đơn giản hóa.
Từ (2.8) rút ra được phương trình vi phân chuyển động của tấm là
( ) là độ cứng trụ của tấm
Trường hợp tấm dao động tự do, = 0, phương trình chuyển động đối với dao động của tấm có dạng
∇ + ℎ = 0 (2.10) Trong đó: là chuyển vị ngang của tấm là dung trọng của vật liệu tấm h là bề dày tấm
D là độ cứng trụ của tấm là hệ số poisson
E là module đàn hồi Young
∇ là toán tử song điều hòa có dạng ∇ = ∇ (∇ ) với ∇ là toán tử Laplacian
Trên đây đã thiết lập phương trình vi phân chủ đạo của tấm dao động Đây là phương trình vi phân bậc 4 đối với chuyển vị ngang của tấm.
Các phương pháp tính toán tần số dao động riêng
Nhìn chung có hai nhóm phương pháp chính để giải bài toán dao động tự do của kết cấu tấm:
Nhóm phương pháp giải tích (phương pháp chính xác)
Phương pháp này cung cấp nghiệm chính xác cho tần số riêng và các dạng dao động của tấm, dựa trên lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff.
Kirchhoff là người đầu tiên giải quyết vấn đề dao động riêng của tấm hình chữ nhật tựa trên bốn cạnh và tấm tròn ngàm trên đường biên vào năm 1850 Tiếp theo, từ năm 1955 đến 1965, các nhà khoa học như W Nowachi, Z Kaczkowski đã tiếp tục nghiên cứu trong lĩnh vực này.
Tomotika và S Iguchi đã xác định chính xác dao động riêng của tấm đơn hình chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau, bao gồm tấm bốn biên ngàm và tấm ba biên ngàm một biên tựa A Havers và Z Kaczkowski cũng đã đưa ra lời giải cho dao động riêng của tấm tam giác vuông cân và tam giác đều với các biên tựa hoặc biên ngàm W Nowachi và M Kurata là những tác giả đầu tiên áp dụng phương pháp chính xác để giải bài toán dao động riêng của tấm chữ nhật liên tục nhiều nhịp Tấm có sườn là mô hình thực tế, do đó, bài toán dao động riêng của loại tấm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong thời kỳ này Locksin là người đầu tiên giải bài toán này bằng phương pháp gần đúng, tiếp theo là các nghiên cứu khác.
Philipov và Nowachi giải bằng phương pháp chính xác cho tấm chữ nhật Sau đó Ripertz tìm ra lời giải cho tấm tam giác bằng phương pháp chính xác [29,41]
Nhóm phương pháp gần đúng
Giải chính xác bài toán dao động riêng của tấm rất quan trọng để đánh giá độ chính xác của các phương pháp gần đúng Tuy nhiên, trong một số trường hợp đặc biệt, việc tìm nghiệm chính xác gặp khó khăn Do đó, các phương pháp gần đúng như Rayleigh, Ritz, Galerkin, sai phân hữu hạn (FDMs), phần tử hữu hạn (FEMs), thể tích hữu hạn (FVMs) và phần tử biên (BEMs) đã ra đời để hỗ trợ giải quyết vấn đề này.
Phương pháp Rayleigh, do J W S Rayleigh phát triển vào năm 1877, và phương pháp Ritz, do W Ritz giới thiệu vào năm 1908, là những công cụ hiệu quả và đơn giản để xác định tần số cơ bản một cách nhanh chóng mà không cần quan tâm đến các tần số cao hơn trong các tình huống phức tạp, như dao động của tấm có sườn hay tấm sàn ô cờ Phương pháp Rayleigh dựa trên nguyên lý bảo toàn cơ năng của hệ dao động để tính toán tần số cơ bản, nhưng yêu cầu phải giả định chính xác dạng thực dao động Trong khi đó, phương pháp Ritz khắc phục nhược điểm này, tuy nhiên, hàm chuyển vị w(x,y) cần phải phù hợp và đáp ứng các điều kiện biên hình học.
Phương pháp Galerkin tương tự như phương pháp Ritz, trong đó hàm chuyển vị w(x,y) cần phải đáp ứng các điều kiện biên hình học và động học Sau đó, bằng cách sử dụng tính chất trực giao của các hàm chuyển vị, ta có thể thu được phương trình tần số.
Phương pháp sai phân hữu hạn là một kỹ thuật thay thế cho việc giải phương trình vi phân thông qua việc giải hệ phương trình đại số Để đạt được độ chính xác cao hơn, cần chia lưới thành những phần nhỏ hơn, tức là làm cho số mắt lưới dày hơn.
N Ganesan và T.S Jagadeesan (1978) đã phân tích dao động tự do của tấm có 2 cạnh đối diện tựa đơn bằng phương pháp sai phân hữu hạn Đến năm 1979, J
N Reddy và R Gera đưa ra moment uốn chính xác của tấm chữ nhật đàn hồi, mỏng bằng công thức sai phân hữu hạn đã hiệu chỉnh Phương trình song điều hòa được thay thế bởi quan hệ moment uốn-biến dạng và phương trình cân bằng moment Tấm chữ nhật đẳng hướng cũng như trực hướng chịu các loại tải trọng và điều kiện biên khác nhau đã được phân tích Cũng trong thời điểm này, T Liszka và J Orkisz
Năm 1980, phương pháp sai phân hữu hạn đã được áp dụng với các lưới hình dạng bất kỳ trong miền, và chương trình máy tính FIDAM code được giới thiệu để giải quyết các bài toán elip 2 chiều tuyến tính và phi tuyến, cũng như các bài toán parabol 3 chiều Chương trình FIDAM đã thành công trong việc giải nhiều bài toán quan trọng trong cơ học ứng dụng và vật lý, bao gồm xoắn của thanh, bài toán đàn hồi phẳng, độ võng của tấm và màng, dòng chảy của chất lỏng, và sự phân bố nhiệt độ.
Tấm Mindlin chịu tải trọng động được phân tích dựa trên lý thuyết tấm Mindlin, với sự xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt và quán tính xoay, theo nghiên cứu của A Lamouki và T Krauthammer (1989) bằng phương pháp sai phân hữu hạn Nghiên cứu của Karim S Numayr, R H Haddad và M.A Haddad (2004) đã tập trung vào dao động tự do của tấm composite, phân tích ảnh hưởng của biến dạng cắt và quán tính xoay đến tần số riêng trong bốn trường hợp khác nhau: không xét đến biến dạng cắt và quán tính xoay, chỉ xét quán tính xoay, chỉ biến dạng cắt, và cả hai yếu tố Kết quả đạt được cho các tấm nhiều lớp laminate đối xứng và tấm angle-ply.
Năm 2011, C.M.C Roque, C Shu và A.J.M Ferreira đã áp dụng kỹ thuật sai phân hữu hạn kết hợp với hàm cơ bản để phân tích tấm composite hình vuông và hình chữ L Hệ thống hàm cơ bản cho phép giải quyết bài toán nội suy và phương trình vi phân đạo hàm riêng một cách chính xác, trong khi kỹ thuật sai phân hữu hạn cải thiện tính ổn định của ma trận Tuy nhiên, kỹ thuật này bị giới hạn bởi hệ thống lưới Đối với các nút phân bố bất kỳ, sự kết hợp giữa hai phương pháp này là lựa chọn tối ưu Nhóm nghiên cứu đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để dự đoán ứng xử tĩnh của tấm composite mỏng và dày.
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một trong những phương pháp số phổ biến hiện nay, nhờ vào những ưu điểm vượt trội như khả năng lập trình thuận tiện và đạt độ chính xác cao thông qua việc chia nhỏ lưới phần tử Phương pháp này có khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến nội lực và dao động của tấm vỏ với nhiều hình dạng khác nhau, bao gồm hình chữ nhật, hình tròn, hình tam giác và tứ giác.
Sự phát triển của các phương pháp ma trận trong phân tích kết cấu chủ yếu được đóng góp bởi J H Argyris và S Kelsey vào năm 1960, khi họ trình bày công thức tính ma trận cho các phương pháp phân tích lực và chuyển vị dựa trên các định lý năng lượng Năm 1956, M J Turner, R W Clough, H C Martin và L J Topp đã phát hiện ra phương pháp phần tử hữu hạn R W Clough sau đó đã cung cấp sự giải thích vật lý cho phương pháp này và được coi là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ "phần tử hữu hạn" vào năm 1960 Từ đó, nhiều nhà nghiên cứu như O C Zienkiewicz và R L Taylor đã có những đóng góp quan trọng cho sự phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn.
Từ những năm 1980 đến 1990, E L Wilson đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển phương pháp giải quyết các bài toán kỹ thuật, dẫn đến những tiến bộ lớn trong 30 năm qua về cả nền tảng toán học và sự tổng quát hóa phương pháp Đồng thời, sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ máy tính đã cho phép triển khai nhiều chương trình phân tích phần tử hữu hạn, làm cho phương pháp này trở nên phổ biến và ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn.
Mặc dù phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) đã được sử dụng rộng rãi, nhưng nó vẫn gặp phải một số hạn chế như tốn thời gian và chi phí trong việc tạo lưới, độ chính xác thấp trong tính toán ứng suất, khó khăn trong việc giải các bài toán biến dạng lớn và các bài toán bất liên tục Để khắc phục những vấn đề này, phương pháp không lưới (Meshfree) đã được phát triển Phương pháp này cho phép xây dựng hàm xấp xỉ hoặc nội suy hoàn toàn từ các điểm nút mà không cần xác định mối liên hệ giữa chúng, mở ra nhiều tiềm năng trong việc giải quyết các hạn chế của FEM.
Trong hai thập niên vừa qua, đã có nhiều phương pháp không lưới được phát triển Nayroles và cộng sự [1] đã giới thiệu phương pháp khuếch tán phần tử
Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân hữu hạn là kỹ thuật sử dụng một tập hợp các phương trình sai phân hữu hạn để thay thế cho phương trình đạo hàm riêng, nhằm đạt được sự gần đúng về mặt toán học.
Phương pháp sai phân hữu hạn, ra đời vào những năm 1930 từ nghiên cứu của Courant, Friedrichs và Lewy, đã được áp dụng trong giải quyết các bài toán vật lý liên quan đến toán học Xấp xỉ sai phân hữu hạn lần đầu tiên được định nghĩa trong phương trình sóng, với điều kiện ổn định CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) là yếu tố quan trọng cho sự hội tụ Gerschgorin đã đề xuất giới hạn sai số cho xấp xỉ sai phân hữu hạn của bài toán elip vào năm 1930, dựa trên hệ mô hình hóa rời rạc của nguyên lý cực đại trong phương trình Laplace Sự phát triển của xấp xỉ này tiếp tục cho đến thập niên 60, khi các xấp xỉ khác của phương trình elip và các điều kiện biên liên quan được phân tích.
2.4.2 Khái niệm sai phân hữu hạn [30]
Trước khi biến đổi phương trình đạo hàm riêng thành phương trình sai phân, ta hãy tìm hiểu khái niệm sai phân hữu hạn
Giả sử có một hàm liên tục được biểu diễn bằng đường cong trong hình 2.1 Đường cong này được chia thành một số đoạn hữu hạn với độ dài Δ, có thể là đều nhau hoặc không Khi các khoảng cách đều nhau với Δ = h, hàm ( ) sẽ có giá trị xác định tại các điểm cụ thể.
Ta gọi sai phân bậc nhất tại các điểm 0 và 1 là
Như vậy ta đã lấy hiệu các giá trị hàm ở 2 điểm trái và phải của điểm cần tính, nên ta gọi đây là sai phân trung tâm
Sai phân bậc nhất còn có thể lấy bằng cách khác
(∆ ) = − gọi là sai phân tiến
(∆ ) = − gọi là sai phân lùi (2.12)
Sau đây ta chỉ dùng sai phân trung tâm
Lấy sai phân bậc nhất chia cho khoảng cách 2ℎ, ta được giá trị gần đúng của đạo hàm bậc nhất
Tại điểm bất kỳ , sai phân bậc nhất và giá trị gần đúng của đạo hàm bậc nhất là (∆ ) = ( + ℎ) − ( − ℎ)
Hình 2.1.Xấp xỉ sai phân hữu hạn của hàm f(x)
Sai phân bậc hai tại điểm 0 là
Tức là được biểu diễn bằng các giá trị hàm ở trước hai khoảng cách và sau hai khoảng cách so với điểm 0
Ta cũng có thể định nghĩa sai phân bậc hai bằng cách biểu diễn qua giá trị hàm ở trước một khoảng cách và sau một khoảng cách
Từ đây về sau ta sử dụng cách biểu diễn này
Tại điểm bất kỳ , sai phân bậc hai và giá trị gần đúng của đạo hàm bậc hai là
Từ đó ta được sai phân bậc bốn
Các sai phân khác cũng có thể tính tương tự
2.4.3 Phương trình sai phân hữu hạn [30]
Trong bài viết này, chúng ta chỉ xem xét hàm của một biến Đối với hàm của hai biến, ta cũng có thể tìm giá trị gần đúng của đạo hàm riêng Giả thiết rằng (x, y) là một hàm trơn, chúng ta chia miền của hàm thành một mạng lưới với ∆x = ∆y = h như hình 2.2.
Tại các nút giá trị của hàm là đã biết Từ (2.17) ta có giá trị gần đúng của đạo hàm riêng bậc hai tại nút 0 là
Hình 2.2 Xấp xỉ sai phân hữu hạn của hàm f(x,y)
Ví dụ nếu cần phải tìm nghiệm của phương trình điều hòa
∇ = + = 0 (2.20) thì thay (2.19) vào phương trình này, ta sẽ tìm được phương trình sai phân hữu hạn tương ứng tại nút 0
ℎ ( + + + − 4 ) = 0 (2.21) hoặc ( + + + − 4 ) = 0 (2.22) Đối với mỗi nút trong miền có thể viết được một phương trình sai phân dạng như (2.22)
Nếu mạng lưới có nút, ta có thể xây dựng phương trình sai phân hữu hạn và sử dụng các điều kiện biên để xác định giá trị gần đúng của hàm tại mỗi nút trong miền Việc chuyển đổi phương trình đạo hàm riêng thành hệ phương trình đại số tuyến tính giúp đơn giản hóa quá trình giải, không gặp khó khăn về mặt toán học.
Nếu phải giải phương trình đạo hàm riêng có dạng
∇ = − (2.23) trong đó C là hằng số, thì phương trình sai phân hữu hạn tương ứng tại nút 0 sẽ là
Nếu cần giải phương trình trùng điều hòa
∇ = + 2 + = 0 (2.25) thì theo hình 2.2 tại nút 0 lần lượt đưa biến x và y vào (2.18) ta được
ℎ ( + + + − 2 − 2 − 2 − 2 + 4 ) (2.26) Đưa ba đạo hàm trên đây vào phương trình trùng điều hòa (2.25) ta được phương trình sai phân hữu hạn tương ứng tại nút 0
Với mỗi điểm trong miền đều có thể viết một phương trình sai phân hữu hạn tương tự.
Phương pháp bình phương cực tiểu
Một trong những thách thức cơ bản trong khoa học là tối ưu hóa mô hình đo đạc với các sai số Đo đạc chính xác cho phép tính toán các thông số trong mô hình, nhưng thường dẫn đến việc giải các hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến không có nghiệm chính xác Phương pháp bình phương cực tiểu là kỹ thuật gần đúng phổ biến để tìm lời giải xấp xỉ cho hệ phương trình, thông qua việc lựa chọn một số thống kê phù hợp Việc áp dụng phương pháp này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và đạt được kết quả hiệu quả cho các hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến.
Trong ỏ nhất ựa chọn một đ ố thống k ờng đư ề việc t hay
Bài toán bình phương tối thiểu là một phương pháp quan trọng trong thống kê, giúp ước lượng các tham số của một mô hình thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp này cho phép tối ưu hóa các sai số giữa giá trị dự đoán và giá trị thực tế, từ đó cải thiện độ chính xác của các phân tích dữ liệu Việc áp dụng công thức trong bài toán này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và mang lại kết quả đáng tin cậy hơn.
Trong hay ựa chọn một đ ố thống kê ược d ề việc t hay cực đại
Bài toán bình phương tối thiểu là một phương pháp quan trọng trong thống kê và toán học, thường được sử dụng để tìm ra mối quan hệ giữa các biến trong một hệ phương trình tuyến tính Việc tính toán các hệ số của phương trình này không gặp khó khăn lớn, giúp tối ưu hóa các dự đoán và phân tích dữ liệu một cách hiệu quả.
Trong toán hay bình ph ựa chọn một đ
(error) gi ợc d ề việc tìm c ực đại
Bài toán bình phương tối thiểu là một phương pháp thống kê quan trọng để tìm đường khớp tốt nhất cho một tập dữ liệu Kỹ thuật này áp dụng cho hệ phương trình tuyến tính, giúp tính toán các tham số một cách chính xác Việc lựa chọn đường khớp tối ưu không chỉ cải thiện độ chính xác mà còn giảm thiểu sai số trong các dự đoán.
(error) gi ợc dùng trong ìm c ực đại
Bài toán bình phương tối thiểu là phương pháp quan trọng trong việc tính toán các thông số của mô hình phi tuyến Để áp dụng bồi quy thống kê, cần sử dụng các công thức phù hợp nhằm tối ưu hóa độ chính xác Phương pháp này giúp giải quyết hệ phương trình tuyến tính, từ đó tính toán cốt lõi một cách hiệu quả Việc xác định sai số (error) là cần thiết để tìm ra giá trị cực trị trong quá trình tối đa hóa hàm mục tiêu.
Bài toán bình phương tính toán thống kê có thể gặp khó khăn khi ẩn chứa bồi quy Việc giải quyết bài toán phi tuyến có thể phức tạp hơn so với phương pháp thông thường, do đó, việc tính toán cốt lõi cần chú trọng đến việc áp dụng phương pháp bình phương trung bình khớp nhất cho dải dữ liệu, nhằm giảm thiểu sai số giữa các giá trị thực tế và dự đoán.
Bài toán bình phương vén và bài toán hồi quy thống kê có thể được giải quyết bằng phương pháp thử đúng dần Tại mỗi điểm lặp, hệ thống tạo ra một hệ phương trình tuyến tính, do đó việc tính toán cốt lõi không gặp khó khăn Phương pháp ước lượng trung bình khớp nhất được áp dụng cho một dải dữ liệu tương ứng với thực tiễn của dạng b entropy.
Bài toán bình phương cường và bài toán bình phê có thể giải quyết bằng phương pháp phi tuyến đúng dần Tại mỗi điểm lặp, hệ thống tạo thành một hệ tuyến tính, do đó việc tính toán cốt lõi không phức tạp hơn so với số lượng phương pháp bình quân trung bình khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với đường dùng trong khung trị của dạng b entropy.
Kỹ thuật ước lượng và bình phương tối thiểu có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán phi tuyến đúng dần; tại mỗi điểm lặp, hệ thống trở thành một hệ tuyến tính, do đó việc tính toán cốt lõi không gặp khó khăn Phương pháp ước lượng trung bình khớp nhất cho một dải dữ liệu tương ứng với ước lượng chính xác của dạng b entropy.
Phương pháp bình phương tối thiểu là một kỹ thuật quan trọng trong việc tối ưu hóa dữ liệu, cho phép tính toán chính xác thông qua lời giải dạng đóng Lời giải này có thể được áp dụng cho các bài toán phi tuyến và cho phép đánh giá thông qua một số hữu hạn tại mỗi điểm lặp, mà không cần giải quyết vấn đề một cách dần dần Hệ thống phương trình tuyến tính tại mỗi bước lặp đảm bảo tính chính xác trong các phép tính Phương pháp này đặc biệt hữu ích trong việc khớp dữ liệu với các đường cong phức tạp, giúp tối ưu hóa hiệu suất và độ tin cậy của các mô hình phân tích.
Phương pháp cực trị trong bài toán tối ưu tìm điểm cực tiểu phi tuyến và cực tiểu tuyến tính thường sử dụng các lời giải dạng đóng Lời giải dạng đóng cho phép đánh giá thông qua một số hữu hạn, trong khi một số bài toán không có lời giải dạng đóng sẽ gặp khó khăn trong việc tìm kiếm nghiệm.
Phương pháp tối ưu hóa có thể chia thành hai loại chính: phương pháp tuyến tính và phương pháp phi tuyến Phương pháp tuyến tính sử dụng các giải pháp dạng đóng, cho phép đánh giá thông qua một số hữu hạn Trong khi đó, phương pháp phi tuyến thường không có giải pháp dạng đóng và yêu cầu các kỹ thuật khác để giải quyết các trường hợp phức tạp.
Phương pháp tối ưu hóa cực tiểu phi tuyến là một kỹ thuật quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu Nó dựa trên việc sử dụng các lời giải dạng đóng, cho phép đánh giá thông qua một số hữu hạn trong phép toán Lời giải này giúp xác định các giá trị tối ưu cho tổng các hàm mục tiêu, mang lại hiệu quả cao trong việc tối ưu hóa Phương pháp này cũng cho phép xấp xỉ các giải pháp trong nhiều trường hợp khác nhau, từ đó nâng cao độ chính xác và tính khả thi của các mô hình tối ưu Việc áp dụng phương pháp này trong các bài toán thực tiễn không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn tăng cường hiệu suất giải quyết vấn đề.
Phương pháp bình phương cực tiểu, phát triển trong thiên văn học và trắc địa học, đã giúp các nhà khoa học giải quyết thách thức định vị các đại dương của trái đất trong quá trình thám hiểm Việc mô tả chính xác hành vi của các phần trong vũ trụ là chìa khóa để dễ dàng di chuyển trên đại dương, trong khi các thủy thủ phải dựa vào đất liền để xác định vị trí tàu của họ.
Carl Friedrich Gauss được cho là người đã phát triển nền tảng cho phân tích bình phương cực tiểu vào năm 1795 khi mới 18 tuổi, nhưng thực tế, Legendre cũng đã phát hiện ra phương pháp này vào thời điểm tương tự.
2.5.2 Mô tả phương pháp bình phương cực tiểu
Giả sử dữ liệu gồm các điểm ( , ) với = 1, 2, , Chúng ta cần tìm một hàm số thỏa mãn
Giả sử hàm có thể thay đổi hình dạng, phụ thuộc vào một số tham số, với
Nội dung của phương pháp là tìm giá trị của các tham số sao cho biểu thức sau đạt cực tiểu
Kết luận
Chương này tóm tắt quá trình phát triển liên quan đến bài toán ứng xử và đặc tính của kết cấu tấm, đồng thời nêu rõ các phương pháp tính toán tần số dao động riêng Đặc biệt, chương chú trọng vào các phương pháp số hiện đang thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học, trong đó nổi bật là phương pháp không lưới LSFD Phương pháp này hứa hẹn mang lại độ chính xác cao, khả năng hội tụ tốt và tốc độ giải nhanh, sẽ được trình bày chi tiết trong chương tiếp theo.
Cơ sở lý thuyết
Giới thiệu
Chương này trình bày lý thuyết về phương pháp không lưới sai phân hữu hạn (LSFD) dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu, sau khi đã giới thiệu nền tảng của phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống Phương pháp LSFD sẽ được áp dụng để phân tích dao động của tấm mỏng đẳng hướng với các cạnh tựa đơn hoặc ngàm Đạo hàm bậc bốn trong phương trình chủ đạo của tấm được rời rạc hóa qua hai hoặc ba bước, đồng thời điều kiện biên được thay thế trực tiếp trong phương trình chủ đạo.
Mục 2 và 3 nêu lý thuyết về phương pháp sai phân hữu hạn LSFD Quy tắc dây chuyền được sử dụng để rời rạc hóa phương trình chủ đạo của tấm dao động được trình bày trong mục 4 Cuối chương là thuật toán của chương trình LSFD và sơ đồ khối để thuận tiện cho việc lập trình.
Phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu
(Least Square based Finite Difference Method - LSFD)
Chúng ta biết rằng phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống (Finite Difference Method – FDM), phương pháp cầu phương vi phân (Differential
Phương pháp Quadrature (DQM) và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là những công cụ quan trọng trong giải quyết các bài toán cơ học Trong khi phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống mang lại nhiều lợi ích cho các miền hình học đơn giản với độ chính xác cao, nó lại gặp khó khăn khi áp dụng cho các miền hình học phức tạp do các điểm nút không nằm trên biên Để khắc phục vấn đề này, có thể sử dụng kỹ thuật biến đổi tọa độ hoặc chia nhỏ miền hình học thành các miền chữ nhật.
Hình 3.1 Các điểm nút của lưới không nằm trên biên của miền (FDM)
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) có khả năng giải quyết hiệu quả các bài toán với miền hình học phức tạp, nhưng nhược điểm lớn nhất của nó là yêu cầu duy trì thông tin về lưới phần tử, bao gồm các điểm nút và sự kết nối giữa các phần tử Điều này dẫn đến việc hiệu chỉnh và chia lại lưới phần tử tốn nhiều thời gian và công sức Để khắc phục những hạn chế này, phương pháp không lưới đã được phát triển trong những năm gần đây và đang trở thành một giải pháp phổ biến trong lĩnh vực cơ học tính toán.
Phương pháp không lưới cho phép xây dựng hàm xấp xỉ hoặc nội suy từ thông tin của một tập hợp các nút mà không cần kết nối hay mối quan hệ xác định trước Một trong những phương pháp không lưới nổi bật là phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương tối thiểu (Least Square-based Finite Difference - LSFD), được đề xuất bởi Ding và các cộng sự.
Phương pháp LSFD giúp giảm chi phí lao động và tính toán khi xây dựng hệ thống lưới, đã chứng minh hiệu quả trong việc giải các bài toán lưu lượng với hình học đa dạng So với các phương pháp FD và DQ, LSFD khắc phục được những hạn chế của chúng, đồng thời vẫn giữ được những ưu điểm của kỹ thuật sai phân hữu hạn truyền thống, như tính đơn giản trong quá trình thực hiện.
3.2.2 Khai triển Taylor 2 chiều và kỹ thuật sai phân hữu hạn không lưới [12]
Giá trị hàm tại các nút gần điểm khảo sát (điểm 0) có thể được xấp xỉ thông qua giá trị hàm và các đạo hàm riêng tại điểm 0, bằng cách áp dụng khai triển Taylor cho hàm hai biến x và y.
Khai triển Taylor ở đây được khai triển đến cấp 3 và có 9 giá trị đạo hàm riêng chưa biết tại điểm 0 gồm x 0
Để tìm 9 giá trị này cần áp dụng phương trình (3.1) cho 9 điểm lân cận điểm 0 như hình 3.2
Hình 3.2 Các điểm hỗ trợ xung quanh điểm khảo sát
Giả sử có 9 điểm hỗ trợ nằm trong miền hỗ trợ hình tròn D 0 với bán kính d 0 quanh điểm 0 Áp dụng phương trình (3.1) cho 9 điểm này, chúng ta thu được một hệ gồm 9 phương trình.
Trong đó: = – ; = − ; ( , ) là tọa độ của điểm hỗ trợ thứ j quanh điểm 0
S s s (3.6) thì chúng ta có thể viết phương trình (3.2) dưới dạng ma trận: Δφ = Sdφ (3.7)
Ma trận S chứa toàn bộ thông số hình học liên quan đến sự phân bố của các điểm hỗ trợ Khi ma trận S không suy biến (|S| ≠ 0), vector đạo hàm dφ có thể được tính toán một cách chính xác.
Nghiên cứu cấu trúc của ma trận S, ta thấy có 2 vấn đề cần lưu tâm:
- S có khuynh hướng suy biến khi một hay nhiều điểm hỗ trợ quá gần điểm khảo sát tức là ≈ 0; ≈ 0 đối với một vài điểm j
- S có khuynh hướng suy biến khi một vài điểm hỗ trợ quá gần nhau
Vấn đề thứ nhất có thể giải quyết bằng cách phi thứ nguyên hóa khoảng cách ; theo bán kính của miền hỗ trợ như sau:
Do đó vector đạo hàm được viết lại:
Với D là ma trận đường chéo:
Để đánh giá mức độ suy biến của ma trận A, người ta sử dụng khái niệm số điều kiện cond(A) Số điều kiện càng lớn thì khả năng suy biến của ma trận A càng cao Bài viết này khảo sát cond(S) trước và sau khi phi thứ nguyên hóa, với kết quả được trình bày trong bảng 3.1.
Khoảng cách lưới 0.3 0.2 0.1 0.05 cond(S) 100.3102 191.3210 815.7190 3295.7000 cond( )S 61.8997 47.8200 49.1685 48.4241
Bảng 3.1 Khảo sát cond(S) và cond S ( )
Bảng 3.1 chỉ ra rằng tỉ số cond(S)/cond( ) S luôn lớn hơn 1 và có xu hướng tăng khi khoảng cách lưới giảm Điều này chứng tỏ rằng sau khi thực hiện phi thứ nguyên, khả năng suy biến của ma trận S giảm đáng kể.
Vấn đề đảm bảo tính khả nghịch của ma trận S trong bài toán không dễ giải quyết do sự phân bố các nút không thể xác định trước Để khắc phục, chúng ta có thể áp dụng quá trình thử đúng dần Một phương pháp khác, FDEM, đề xuất một thuật toán loại bỏ các điểm hỗ trợ làm cho ma trận S trở nên phụ thuộc tuyến tính, tuy nhiên, phương pháp này tốn nhiều thời gian và công sức LSFD cung cấp giải pháp thay thế bằng cách sử dụng nhiều hơn 9 điểm hỗ trợ để tạo ra nhiều phương trình hơn số ẩn cần tìm, từ đó áp dụng phương pháp hồi quy với kỹ thuật bình phương cực tiểu để cải thiện tính khả nghịch của ma trận.
Nghiên cứu về ảnh hưởng của số điểm hỗ trợ trên cond( ) S được thực hiện khi sử dụng hơn 9 điểm hỗ trợ, với kết quả được thể hiện trong bảng 3.2 Khoảng cách lưới cũng được xem xét trong phân tích này.
Bảng 3.2 cond( ) S với số điểm hỗ trợ khác nhau
Bảng 3.2 chỉ ra rằng khi sử dụng 9 điểm hỗ trợ, giá trị cond( ) S rất lớn Tuy nhiên, giá trị cond( ) S giảm đáng kể khi số điểm hỗ trợ m tăng lên, và đạt giá trị tối ưu khi m = 2N (với m = 18 và N là số hạng trong khai triển chuỗi Taylor F-N).
3.2.3 Kỹ thuật bình phương cực tiểu [12]
Giả sử giá trị xấp xỉ của vector đạo hàm tại nút 0 là b Giá trị của hàm tại các điểm lân cận nó được xấp xỉ bởi:
Vector b có thể xấp xỉ bởi kỹ thuật bình phương cực tiểu, bằng cách định nghĩa hàm sai số xấp xỉ E như sau:
Sai số là nhỏ nhất khi:
Thay hàm sai số xấp xỉ E từ công thức (3.13) vào (3.14) ta được
Với , là phần tử ở hàng j, cột k trong ma trận S và là phần tử ở hàng k của vector đạo hàm dφ Phương trình (3.15) có thể viết lại như sau:
Do , = , nên phương trình (3.16) có thể viết dưới dạng ma trận:
Từ (3.17) ta có thể đạt được biểu thức của vector đạo hàm tối ưu bằng kỹ thuật bình phương cực tiểu như sau:
Khi các vector cột của ma trận S là độc lập tuyến tính thì ma trận là xác định dương nên khả nghịch
3.2.4 Phân tích sai số phương pháp [12]
Trong trường hợp sử dụng khai triển Taylor đến cấp 3, sai số phương pháp có thể viết như sau:
4 , 4 , 1 i i i e x y i n (3.19) với n là số điểm hỗ trợ quanh điểm đang khảo sát
Trong trường hợp sử dụng lưới nút đều theo 2 phương x, y thì , tỉ lệ với khoảng cách lưới h
Phương trình (3.1) có thể viết lại:
Vì dφ ( S S T ) 1 S T φ S T φ S Sdφ T Áp dụng kỹ thuật bình phương cực tiểu đã trình bày ở trên, thay (3.21) vào (3.18):
Vì E dφ dφ exact nên thay vào phương trình (3.22) ta có:
Ma trận S thể hiện khoảng cách lưới và vị trí tương đối của các điểm hỗ trợ so với điểm khảo sát Để đánh giá sai số, cần chuyển đổi ma trận S về dạng không phụ thuộc vào khoảng cách lưới bằng cách định nghĩa ma trận S và H.
Thay vào phương trình (3.23) ta có:
Vì S S T đối xứng nên nó khả nghịch Đồng thời, (S S) S T -1 T không chứa khoảng cách lưới nên bậc của (S S) S e T -1 T bằng bậc của e, O(h 4 )
Do vậy bậc của vector sai số E:
Chúng ta đã đạt được độ chính xác bậc 3 trong việc xấp xỉ đạo hàm cấp 1 và độ chính xác bậc 2 cho đạo hàm cấp 2 Điều này cho thấy phương pháp LSFD không làm giảm độ chính xác trong quá trình xấp xỉ sai phân hữu hạn.
Áp dụng phương pháp LSFD vào bài toán dao động tự do của tấm
Phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên kỹ thuật bình phương cực tiểu (LSFD) được mô tả chi tiết bởi Ding [12] trong phần trước cho hàm bất kỳ Chúng ta sẽ áp dụng khai triển chuỗi Taylor 2 chiều ở dạng ∆ cho hàm ( , ).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các thông số ∆ = −, ∆ = − và ∆ = −, trong đó ( , ) là tọa độ của điểm, , là tọa độ của điểm hỗ trợ, và là giá trị hàm tại điểm Khoảng cách trung bình từ điểm hỗ trợ đến nút được ký hiệu là ∆, với điều kiện cho = 1,2,… và > 9.
Hình 3.3 minh họa miền tính toán với phân bố các nút ngẫu nhiên Bằng cách áp dụng phương trình (3.28) cho tất cả các nút hỗ trợ, với i = 1, 2, … và n > 9, chúng ta thu được một hệ các phương trình tương ứng.
2 2 6 6 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i im im im im im im im im im im x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
Để đảm bảo ma trận S không suy biến, bán kính của miền hỗ trợ được áp dụng để xác định khoảng cách cục bộ (∆, ∆) Điều này được thực hiện thông qua việc định nghĩa một ma trận đường chéo.
= ( , , , , , , , , ) (3.33) trong đó là bán kính của miền hỗ trợ đối với điểm Phương trình (3.29) có thể được viết lại
Để tối ưu hóa lời giải cho d từ phương trình (3.34), chúng ta áp dụng kỹ thuật bình phương tối thiểu Điều này tương đương với việc nhân cả hai vế của phương trình (3.34) với ma trận.
Kích thước của ma trận được xác định là 9 × 9, đảm bảo rằng ma trận không suy biến tại tất cả các điểm trong miền xác định của bài toán Theo phương trình (3.36), ta có thể tính d bằng cách sử dụng công thức d = ( ) ∆ (3.37).
Trong nghiên cứu thực nghiệm, Ding và các cộng sự nhận thấy rằng việc tăng số lượng nút hỗ trợ giúp cải thiện tính ổn định của các phép tính.
Trong phương pháp không lưới, đặc biệt là LSFD, ảnh hưởng của các điểm lân cận đến điểm khảo sát có sự khác biệt rõ rệt Cụ thể, những điểm gần điểm khảo sát sẽ có tác động lớn hơn, trong khi những điểm xa hơn sẽ có ảnh hưởng nhỏ hơn Để đáp ứng yêu cầu này, việc sử dụng hàm trọng số là cần thiết.
Các hàm trọng số như trên có các đặc trưng sau đây [12]
Xác định dương trong miền hỗ trợ
Giá trị của hàm trọng số giảm dần theo khoảng cách từ nút chuẩn, tức là các điểm hỗ trợ gần nút i sẽ có ảnh hưởng lớn hơn đến giá trị hàm tại nút i Để thể hiện điều này, một hàm trọng số đã được giới thiệu trong phương trình (3.37).
Kết quả được điều chỉnh thành d = ( ) ∆ (3.38), trong đó = ( , , … , ) (3.39) là ma trận đường chéo của hàm trọng số Bốn hàm trọng số dưới đây đã được Ding và các cộng sự kiểm nghiệm trong tài liệu [12].
Công thức (4) = 1/ ̅ (3.40d), trong đó ̅ = ∆ + ∆ / ≤ 1, với là bán kính của miền hỗ trợ xung quanh điểm nút i, cho thấy rằng mỗi công thức (3.40a - 3.40d) đạt giá trị cực đại tại nút hỗ trợ gần nhất, và độ lớn giảm khi khoảng cách từ nút hỗ trợ ij đến nút i tăng Điều này cho thấy các nút hỗ trợ gần hơn với nút i có ảnh hưởng lớn hơn đến việc xác định ma trận hệ số trong công thức (3.38) Nghiên cứu của Ding và các cộng sự [12] đã chứng minh rằng việc áp dụng các hàm trọng số (3.40) có thể nâng cao độ chính xác của kết quả số, trong đó công thức (3.40a) mang lại kết quả tốt nhất [12,35,38].
Công thức cuối cùng của phương pháp LSFD được xác định từ phương trình (3.35) và (3.38), cho ra kết quả là d = ( ) ∆, hay có thể đơn giản hóa thành d = ∆ (F-9) dựa trên định nghĩa của ma trận các hệ số.
Các vectơ d và ∆ được định nghĩa trong các biểu thức (3.32) và (3.30) Công thức cuối cùng của phương pháp LSFD được thể hiện qua (F-9), rút ra từ việc khai triển chuỗi Taylor hai chiều với 9 số hạng đầu tiên Phương trình (F-9) chỉ ra rằng đạo hàm của hàm ( , ) tại nút i được biểu diễn bằng sự kết hợp tuyến tính của các giá trị hàm tại nút i và các nút hỗ trợ xung quanh.
Hàm xấp xỉ LSFD (F-9) đạt độ chính xác bậc 3 cho đạo hàm cấp 1 và bậc 2 cho đạo hàm cấp 2 Kỹ thuật LSFD bậc cao hơn có thể được phát triển bằng cách khai triển chuỗi Taylor 2-D với nhiều số hạng hơn Để dễ dàng tham khảo, chúng ta định nghĩa hàm (F-N) để biểu thị công thức LSFD cuối cùng từ khai triển chuỗi Taylor 2-D với số hạng đầu tiên.
Nghiên cứu của Ding và các cộng sự chỉ ra rằng mỗi kỹ thuật LSFD đều có một giới hạn dưới về số nút hỗ trợ để đảm bảo tính ổn định của lời giải Khi áp dụng kỹ thuật LSFD bậc cao với giá trị N lớn, ma trận hệ số có thể trở nên bất ổn định Đặc biệt, khi số nút hỗ trợ m gấp 2 lần N (N là số hạng trong khai triển Taylor F-N), kết quả bài toán đạt được độ ổn định cao nhất Hơn nữa, độ chính xác của bài toán không thay đổi đáng kể khi số nút hỗ trợ vượt quá 2N (m>2N).
Phương trình chủ đạo đối với dao động tự do của tấm mỏng đẳng hướng
Theo lý thuyết tấm mỏng cổ điển, thì phương trình chủ đạo đối với tấm mỏng, đẳng hướng, chịu dao động là [20]
Độ võng của tấm dao động được xác định bởi công thức + 2 + = (3.43), trong đó ( , ) là độ võng và = ⁄ ; = ⁄ là tọa độ Đềcác không thứ nguyên trong mặt phẳng trung bình của tấm Kích thước đặc trưng của tấm trong mặt phẳng − được ký hiệu là a, và Ω là thông số tần số không thứ nguyên được xác định theo [20].
là tần số góc của dao động (rad/s)
là dung trọng của vật liệu tấm h : bề dày tấm
D : độ cứng trụ của tấm
E : mođun đàn hồi của vật liệu tấm
Rời rạc hóa phương trình chủ đạo bằng phương pháp LSFD
Trong miền xác định 2 chiều, các điểm nút được tạo ra với chỉ số từ 1 đến n, trong đó các điểm nút từ 1 đến m là các điểm bên trong, và các điểm còn lại từ m+1 đến n là các điểm biên Mỗi nút i (i = 1, 2, …, n) có một số thứ tự tổng thể của m nút hỗ trợ gần nhất, được xác định bởi chỉ số j (j = 1, 2, …, m) Bán kính của miền hỗ trợ xung quanh mỗi nút được tính toán bằng một công thức cụ thể.
Với sự phân phối các nút được tạo ra, ma trận ; ( = 1,2, … , ) có thể được đánh giá bằng cách sử dụng công thức (3.42) Sau đó vectơ ; ( = 1,2, … , ) được tính toán bằng
Lưu ý rằng là sự kết hợp của các hệ số trọng số đối với đạo hàm bậc hai
⁄ Sử dụng với công thức Laplacian
∇ = + (3.47) có thể được rời rạc hóa bằng phương pháp LSFD như sau
Toán tử trong không gian của phương trình chủ đạo được viết lại
Sử dụng quy luật dây chuyền, toán tử trên có thể được rời rạc hóa với phương pháp LSFD thành
Giá trị hàm tại điểm được ký hiệu là (3.50), với chỉ số bên dưới thể hiện thứ tự của điểm hỗ trợ Do đó, phương trình (3.43) được rời rạc hóa như sau.
+ − + − = (3.51) đối với các điểm nút bên trong ( = 1,2, … , )
Phương trình (3.51) là một hệ phương trình với số ẩn nhiều hơn số phương trình, vì giá trị các hàm được xác định tại các điểm bên trong và tại biên Để giải quyết hệ phương trình này, việc xác định các điều kiện biên là cần thiết Bài viết này sẽ trình bày phương pháp hiệu quả để xác định các điều kiện biên tựa đơn và ngàm kẹp, có thể áp dụng cho tấm có hình dạng bất kỳ.
Điều kiện biên
Xét một tấm có tất cả các cạnh tựa đơn, điều kiện biên cho các cạnh này yêu cầu độ võng phải bằng không và momen uốn pháp tuyến cũng phải bằng không.
Nếu độ võng bằng 0 dọc theo cạnh tấm, thì tỷ lệ độ võng cũng bằng 0 đối với cạnh thẳng Tuy nhiên, với cạnh tấm cong, tỷ lệ độ võng sẽ là ± ( ⁄ ), trong đó t là phương tiếp tuyến, n là phương pháp tuyến, và r là bán kính cong tại mặt trung bình của tấm Dấu “+” được sử dụng cho cạnh cong lồi, trong khi dấu “−“ được sử dụng cho cạnh cong lõm Từ điều kiện biên, ta có thể xác định các yếu tố này.
∇ = + = 0 (3.53 ) nếu cạnh tựa đơn là cạnh thẳng, và
(3.53 ) nếu cạnh tựa đơn là cạnh cong
Vậy cuối cùng, điều kiện biên (3.52) có thể viết gọn lại như sau
∇ = 0 dọc theo biên là cạnh thẳng (3.54b)
∇ = ± dọc theo biên là cạnh cong (3.54c)
Xét một tấm có tất cả các cạnh là ngàm, với điều kiện biên tại các cạnh này được xác định bởi phương trình (3.55), yêu cầu độ võng và góc xoay pháp tuyến tại các cạnh phải bằng không.
= 0; = 0 (3.55 , ) Giả sử ( , ) là một điểm trên biên ta có
= ∙ + ∙ = − ∙ sin + ∙ cos (3.56 ) với mối quan hệ = ; = ; = − ; = giống như mô tả trong hình vẽ dưới đây
Hình 3.4 Hệ tọa độ địa phương (n,t) tại biên
Từ phương trình (3.55a,b) ta có ⁄ = ⁄ = 0 dọc theo cạnh ngàm Do đó từ phương trình (3.56a, 3.56b) ta suy ra ⁄ = ⁄ = 0
Cuối cùng, điều kiện biên đối với cạnh ngàm được cho trong phương trình (3.55a,b) tương đương với
= = 0 đối với các nút = + 1, + 2, … , nằm trên biên (3.57b)
3.6.3 Cách thay thế trực tiếp điều kiện biên vào trong phương trình chủ đạo a Cạnh tựa đơn
Xét phương trình (3.50) với các công thức rời rạc của toán tử không gian
Điều kiện biên tựa đơn đối với cạnh thẳng có thể được thay thế trực tiếp mà không cần biến đổi các đạo hàm Điều này cho thấy rằng nếu một nút hỗ trợ nằm trên biên là cạnh thẳng, thì việc áp dụng điều kiện này là hợp lệ.
∇ | = 0 có thể thay trực tiếp vào phương trình (3.50) Ta không cần thiết phải biến đổi ∇ | nữa
Nếu nút hỗ trợ nằm trên biên cong, ta thay ∇ | = ± ( ) vào phương trình (3.50) Sau đó ta chỉ cần rời rạc hóa các đạo hàm bậc nhất ( / ) và
Chúng ta nên sử dụng rời rạc hóa đạo hàm bậc nhất thay vì đạo hàm bậc hai trên biên, vì sai số của đạo hàm bậc thấp hơn thường nhỏ hơn Trong phương trình (3.50), các số hạng và được xác định là bằng zero nếu các nút hỗ trợ nằm trên biên.
Bằng cách áp dụng các biến đổi, phương trình (3.51) chỉ còn lại các số hạng liên quan đến giá trị hàm tại các nút bên trong tấm, dẫn đến dạng rút gọn của phương trình này.
= [ … ] còn A là ma trận hệ số có kích thước ×
Thông số tần số Ω có thể đạt được bằng cách tính trị riêng của ma trận A b Cạnh ngàm
Từ phương trình (3.50) toán tử không gian của phương trình chủ đạo được rời rạc
∇ (∇ )| = ∇ | + − ∇ | (3.59) Đối với nút nằm trên biên, số hạng ∇ có thể được rời rạc thêm nữa
Điều kiện biên (3.57b) có thể được áp dụng trực tiếp vào phương trình (3.60) Đối với các nút bên trong tấm, phương trình (3.59) có thể được rời rạc hóa tương tự như phương trình (3.50) Điều kiện = 0 có thể thay thế vào công thức cuối cùng trong phương trình chủ đạo, dẫn đến hệ phương trình rời rạc cuối cùng chỉ liên quan đến giá trị hàm tại các nút bên trong tấm, từ đó cho phép xây dựng ma trận tương tự như trong phương trình (3.58).
Dao động tự do – Bài toán trị riêng xác định tần số riêng của hệ
Phương trình dao động cưỡng bức của hệ kết cấu có n bậc tự do được cho như sau
Trong đó: [M] là ma trận khối lượng tổng thể và
[K] : Ma trận độ cứng tổng thể
[C] : Ma trận cản tổng thể
{P} : vectơ tải trọng tổng thể
P P P với [ ] , [ ] , [ ] lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản của phần tử
{ } vectơ tải trọng tác dụng lên phần tử
{ } vectơ tải trọng tập trung đặt tại các nút
{ } , { ̇ } , { ̈ } lần lượt là các chuyển vị, vận tốc, gia tốc của hệ
Khi tác động vào kết cấu một lực khiến nó lệch khỏi vị trí cân bằng và sau đó ngừng lực kích thích, kết cấu sẽ thực hiện dao động tuần hoàn, được gọi là dao động tự do Dao động này phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng và độ cứng trong kết cấu Do có lực cản, biên độ dao động sẽ giảm dần và sẽ tắt dần khi lực cản không vượt quá một giá trị giới hạn Ngược lại, nếu lực cản lớn, kết cấu sẽ nhanh chóng trở lại vị trí cân bằng ban đầu mà không thực hiện dao động nào.
Từ phương trình (3.61), cho tải trọng ngoài {P} bằng không, ta nhận được phương trình dao động tự do có cản của kết cấu là
Khi lực cản được xem là bằng không, kết cấu sẽ dao động liên tục với biên độ phụ thuộc vào độ lệch ban đầu do lực kích thích Tần số riêng, chu kỳ và dạng dao động của kết cấu trong dao động tự do là những yếu tố quan trọng trong nghiên cứu đáp ứng động lực học, đồng thời giúp tránh hiện tượng cộng hưởng xảy ra.
Trong trường hợp không cản, phương trình dao động tự do của kết cấu có dạng
Xem các dao động như là điều hòa với tần số góc và biên độ xác định, phương trình dao động tự do dẫn đến bài toán trị riêng có dạng cụ thể.
∅ : là biên độ của các chuyển vị nút khi dao động và xác định dạng dao động
: là tần số riêng của kết cấu
Phương trình (3.64) là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Nó sẽ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số ([ ] − [ ]) bằng không.
Điều kiện (3.65) tạo ra một phương trình đại số bậc đối với Giải phương trình này cho ta nghiệm thực dương, từ đó xác định giá trị tần số riêng ( = 1,2, … , ) Đối với mỗi tần số riêng, ta sẽ tìm được vectơ riêng tương ứng ∅ bằng cách thay giá trị vào phương trình (3.64) và giải ra ∅.
Vectơ ∅ cung cấp biên độ dao động của các nút trong kết cấu, được gọi là dạng dao động (Mode shape) tương ứng với tần số riêng thứ.
Giải bài toán trị riêng và vectơ riêng
Từ công thức (3.65) ta có bài toán trị riêng tổng quát như sau
Trong đó [K] là ma trận độ cứng của kết cấu; [M] : ma trận khối lượng của kết cấu
: các giá trị riêng chính là các tần số vòng dao động tự do bình phương
∅ : các vectơ riêng này chính là vectơ mode shape tương ứng
Nhìn chung để giải bài toán trị riêng ta có thể giải theo bốn nhóm sau [28]
Nhóm 1: Là các phương pháp lặp vectơ (phương pháp lặp đảo, phương pháp lặp tiến về trước, phương pháp lặp thương số Rayleigh) với các đặc trưng cơ bản được sử dụng là
Nhóm 2: Là các phương pháp chuyển đổi (phương pháp Jacobi tiêu chuẩn, phương pháp Jacobi tổng quát, phương pháp lặp đảo Householder – QR) với các đặc trưng cơ bản được sử dụng là
[ ] = I (3.68) với : = [∅ , ∅ , … , ∅ ] và = diag( ) trong đó diag là ma trận chéo hóa, i=1,n
Nhóm 3: Là các kỹ thuật lặp đa thức dựa trên các đặc trưng sau
Nhóm 4: Sử dụng đặc trưng dãy Sturm của các đa thức đặc trưng có dạng như sau
( ) ( ) = det [ ] ( ) − ( ) [ ] ( ) (3.70) với = 1,2, … , − 1 và ( ) ( ) là đa thức đặc trưng của bài toán ràng buộc liên kết thứ r tương ứng với [ ] ∅ = [ ] ∅
Ngoài bốn nhóm kỹ thuật đã được phân loại, còn có hai phương pháp quan trọng là phương pháp Lanczos và phương pháp lặp không gian con Subspace Cả hai phương pháp này đều tích hợp các đặc trưng cơ bản từ (3.67) đến (3.70).
Tuy nhiên, trong luận văn này tác giả sử dụng hàm eig để tính trị riêng
Các tần số vòng dao động tự do bình phương và vectơ riêng trong ngôn ngữ lập trình MATLAB được sử dụng để chuẩn hóa vectơ riêng thành dạng dao động (mode shape) của kết cấu tương ứng.
Thuật toán chương trình LSFD
Sử dụng chương trình Gambit hoặc Distmesh tạo dữ liệu các nút Chia nhóm các nút bên trong và nút trên biên Đánh số thứ tự các nút
Xây dựng ma trận khối Index thể hiện số thứ tự các nút hỗ trợ như hình 3.5
Hình 3.5 Cấu trúc của ma trận khối Index
Cấu trúc của ma trận khối t cũng tương tự như ma trận khối Index i j i n j
Thứ tự của m điểm hỗ trợ quanh điểm n i k ij n k n 1 n 2 n 3 n i n I
Thứ tự của n I điểm bên trong tấm
Thứ tự của m điểm hỗ trợ quanh điểm n i j
Nhập dữ liệu về tọa độ các nút
Nhập dữ liệu đầu vào: kích thước cạnh đặc trưng của tấm; số nút
Tính bán kính miền hỗ trợ d(i)
Tính bán kính miền hỗ trợ d(ij)
Tính ma trận hệ số A, Áp đặt điều kiện biên
Xác định m nút hỗ trợ ij quanh nút i Thao tác với các nút bên trong i(x i , y i )
Xác định m nút hỗ trợ k quanh nút ij
XÂY D Ự NG MA TR Ậ N KH Ố I I ndex & t D Ữ LI Ệ U Đ Ầ U VÀO ÁP Đ Ặ T ĐI Ề U KI Ệ N BI ÊN VÀ TÍ NH T Ầ N S Ố
Kết luận
Chương này trình bày lý thuyết về phương pháp không lưới sai phân hữu hạn kết hợp với kỹ thuật bình phương cực tiểu (LSFD) để giải phương trình vi phân chuyển động của kết cấu tấm dao động tự do với các cạnh tựa đơn hoặc ngàm Quy tắc dây chuyền được áp dụng để rời rạc hóa đạo hàm bậc 4 trong 2 hoặc 3 bước Sử dụng ngôn ngữ MATLAB, chúng tôi xác định tần số dao động riêng và vẽ dạng dao động, đồng thời khảo sát ảnh hưởng của các hàm trọng số và hệ số khoảng cách đến tần số dao động tự do của các loại tấm có hình dạng khác nhau.
Tính đúng đắn của chương trình sẽ được kiểm chứng thông qua việc phân tích các ví dụ số sẽ được trình bày trong chương tiếp theo.