TỔNG QUAN
Giới thiệu
Chương này giới thiệu vật liệu composite phân lớp chức năng (FGMs), với đặc tính hữu hiệu thay đổi liên tục theo chiều cao tiết diện, nhằm cải thiện khả năng chịu nhiệt và cơ của composite nhiều lớp Nội dung bao gồm khái niệm, đặc tính, khả năng ứng dụng và nghiên cứu gần đây về FGMs Tiếp theo, chương trình bày tình hình nghiên cứu các phương pháp rời rạc hóa, đặc biệt là phương pháp không lưới sử dụng hàm cơ bản nội suy hướng tâm (RBFN) Cuối cùng, chương so sánh chi tiết sự khác biệt giữa các yếu tố trong luận văn và các nghiên cứu trước đó.
Vật liệu phân lớp chức năng
2.2.1 Khái niệm và đặc tính
Sự thay đổi đột ngột về đặc tính và thành phần vật liệu giữa các lớp của cùng một bộ phận có thể gây ra hiện tượng tập trung ứng suất lớn Tuy nhiên, nếu sự chuyển đổi giữa các vật liệu diễn ra từ từ, hiện tượng này có thể được giảm thiểu đáng kể Nguyên tắc này là cơ sở cho việc phát triển nhiều loại vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Materials).
Vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) là loại composite đặc biệt với thành phần vật liệu thay đổi liên tục, nhằm nâng cao khả năng chịu nhiệt và cơ của kết cấu FGMs được chế tạo bằng cách sắp xếp các thành phần theo yêu cầu chức năng, thường được ứng dụng trong môi trường khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học, và các bộ phận động cơ Ví dụ, trong các lớp cách nhiệt truyền thống, lớp ceramic được tráng lên cấu trúc kim loại, nhưng sự chuyển tiếp đột ngột giữa hai loại vật liệu có thể gây ra ứng suất lớn, dẫn đến biến dạng hoặc nứt Để giảm thiểu những tác động tiêu cực này, việc sắp xếp vật liệu liên tục theo các thành phần là cần thiết, với hàm lượng ceramic cao ở những vị trí chịu nhiệt và ăn mòn, trong khi kim loại tập trung ở những khu vực cần tính năng cơ học FGMs thường là sự kết hợp giữa ceramic và kim loại, mang lại các đặc trưng cơ học đa dạng.
Bảng 2.1: So sánh đặc tính của ceramic và kim loại
Vị trí Vật liệu Tính năng
Vùng chịu nhiệt cao Ceramic
Các lớp bên trong Ceramic – kim loại
- Loại bỏ những vấn đề bề mặt tiếp xúc giữa các vật liệu
Vùng chịu nhiệt thấp Kim loại
- Tính năng chịu lực cao
- Hệ số dẫn nhiệt cao
2.2.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng
Vật liệu phân lớp chức năng (Functionally Graded Materials - FGMs) lần đầu tiên được phát triển vào giữa thập niên 1980 tại Nhật Bản bởi một nhóm các nhà khoa học nhằm tạo ra vật liệu mới chống lại ảnh hưởng của nhiệt trong ngành hàng không FGMs có khả năng chịu đựng môi trường nhiệt độ cao và giảm thiểu hiện tượng tập trung ứng suất tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp vật liệu khác nhau Nghiên cứu tập trung vào các kết cấu với một mặt trong môi trường lạnh và mặt còn lại trong môi trường nhiệt độ rất cao Vật liệu ceramic được sử dụng cho mặt nóng với nhiệt độ lên đến 2000K trong môi trường oxy hóa, trong khi mặt lạnh được chế tạo từ vật liệu dẫn nhiệt, bền và dẻo như kim loại với nhiệt độ 1000K.
Ngoài Nhật Bản, nghiên cứu về vật liệu FGMs đã nhanh chóng phát triển và thu hút sự quan tâm tại nhiều quốc gia như Đức, Thụy Sỹ, Mỹ, Trung Quốc và Nga Trong những năm gần đây, FGMs đã được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như mô cấy sinh học, động cơ tên lửa, kỹ thuật hàng không, thiết bị cắt và hệ thống chuyển đổi điện trong các nhà máy nguyên tử.
Hình 2.1 trình bày một số hình ảnh về ứng dụng của vật liệu FGMs trong tự nhiên a) Xương b) Cây tre
Hình 2.1: Ứng dụng FGMs trong tự nhiên
Hình 2.2: Ứng dụng FGMs trong cấy ghép sinh học và công nghệ gốm
2.2.3 Sơ lược về tình hình nghiên cứu về vật liệu FGM
FGMs, hay vật liệu composite gradient, là loại vật liệu đặc biệt với các đặc tính thay đổi theo chiều cao tiết diện nhằm đáp ứng các yêu cầu cụ thể Chúng thường là sự kết hợp giữa ceramic và kim loại, giúp chịu được môi trường nhiệt độ cao và khắc phục những vấn đề bề mặt thường gặp ở vật liệu composite nhiều lớp truyền thống Kể từ khi ra đời vào những năm gần đây, FGMs đã trở thành một giải pháp tiềm năng trong nhiều ứng dụng công nghiệp.
1980, FGMs đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như: hàng không, vũ trụ, công nghiệp quốc phòng, điện và công nghệ sinh học
Vật liệu FGMs đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học, đặc biệt trong lĩnh vực xây dựng, thông qua việc phân tích ứng xử của tấm và dầm FGMs Nghiên cứu của Birman và cộng sự (2007) đã tóm lược quá trình phát triển và ứng dụng của vật liệu này từ năm 2000, nhấn mạnh các khía cạnh lý thuyết và ứng dụng như tính đồng nhất, truyền nhiệt, phân tích ứng suất, ổn định và ứng xử động Các nghiên cứu của Noda và Tsuji tập trung vào ứng xử nhiệt trong tấm FGP, trong khi Tanaka và cộng sự áp dụng phương pháp tối ưu và độ nhạy cho thiết kế vật liệu FGM Reddy và Chin phân tích đàn hồi nhiệt cho tấm và trụ FGM, và Vel cùng Batra đã đưa ra lời giải cho tấm FGM chịu tải cơ-nhiệt thay đổi theo thời gian Vel và Batra cũng cung cấp lời giải độ võng chính xác cho tấm dày hình chữ nhật FGM, trong khi Reddy phát triển nghiệm Navier và mô hình phần tử hữu hạn dựa vào lý thuyết biến dạng cắt bậc ba Các phương pháp phân tích như MLPG và kp-Ritz cũng được áp dụng để nghiên cứu ứng xử đàn nhiệt của tấm FGM Cuối cùng, việc giải bài toán tấm FGM liên quan đến hai quan niệm chính: lý thuyết mô hình và phương pháp giải, với ba loại lý thuyết tấm phổ biến và ba phương pháp giải chính.
Các phương pháp rời rạc
Với những hạn chế của phương pháp giải tích trong việc phân tích ứng xử của vật liệu có cơ tính thay đổi, các phương pháp số đã được phát triển để khảo sát và tối ưu hóa đặc tính của các tấm FGM Các phương pháp rời rạc như phương pháp sai phân hữu hạn (FDMs), phương pháp phần tử hữu hạn (FEMs), phương pháp thể tích hữu hạn (FVMs) và phương pháp phần tử biên (BEMs) được sử dụng để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng Những phương pháp này thường yêu cầu chia miền xét thành các miền con (các phần tử) kết nối với nhau qua các liên kết cố định.
Phương pháp phân tích số (FDM) đã xuất hiện từ lâu và được biết đến với khả năng lập trình dễ dàng, hiệu quả cho các bài toán có hình dạng đều đặn Tuy nhiên, với các bài toán có miền khảo sát không đều, cần phải chuyển hệ trục, dẫn đến việc FDM ít được ứng dụng trong thực tế Ngược lại, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp phần tử hữu hạn theo thể tích (FVM) có thể áp dụng trực tiếp cho các bài toán hình dạng phức tạp FEM là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán tuyến tính và phi tuyến trong cơ học vật rắn và cơ lưu chất, nhưng gặp phải một số hạn chế như tốn thời gian và chi phí trong việc tạo lưới, độ chính xác thấp trong tính toán ứng suất, khó khăn trong việc giải quyết các bài toán biến dạng lớn và bất liên tục Do đó, phương pháp không lưới (Meshfree) đã ra đời như một giải pháp tiềm năng nhằm khắc phục những hạn chế của FEM.
Trong những năm qua, nhiều phương pháp không lưới đã được phát triển, trong đó có phương pháp khuếch tán phần tử (DEM) do Nayroles và cộng sự giới thiệu, sử dụng xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) để xây dựng hàm dạng mà không cần hệ lưới phần tử Belytschko và cộng sự đã cải tiến DEM thành phương pháp phần tử tự do Galerkin (EFG), mang lại độ chính xác và hội tụ tốt hơn bằng cách sử dụng nhân tử Lagrange để áp đặt điều kiện biên Atluri và Zhu đã phát triển phương pháp meshfree MLPG dựa trên hệ phương trình dạng yếu địa phương và xấp xỉ MLS, trong đó điều kiện biên được áp đặt thông qua hàm phạt Liu và Gu đã giới thiệu phương pháp nội suy điểm (PIM) để xây dựng hàm dạng nội suy đa thức, cho phép áp đặt điều kiện biên đơn giản như trong FEM, tuy nhiên có thể gặp vấn đề suy biến ma trận Để khắc phục điều này, Wang và Liu đã đề xuất phương pháp nội suy điểm dựa trên các hàm cơ bản (RPIM) nhằm tạo ra ma trận không suy biến Liew và cộng sự đã áp dụng RPIM để phân tích ổn định của các tấm Midlin hình chữ nhật, tròn và hình thang dưới tải trọng phân bố không đều Tuy nhiên, trong PIM và RPIM, tính tương thích không được đảm bảo, dẫn đến hàm chuyển vị có thể không liên tục Để giải quyết vấn đề này, Liu và cộng sự đã phát triển phương pháp nội suy điểm thích hợp tuyến tính (RC-PIM), đảm bảo tính tương thích của chuyển vị và khắc phục vấn đề ma trận suy biến.
Vào năm 1990, Kansa đã đề xuất thuật toán dựa trên hàm cơ bản multiquadric (MQ) để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, cho thấy độ chính xác cao trong việc xấp xỉ các hàm và vi phân của chúng, dù sử dụng lưới tọa độ hay điểm phân tán Tuy nhiên, phương pháp này thiếu cơ sở toán học cho việc chọn lựa các thông số hệ thống, như bề rộng hàm cơ bản, thường được xác định bằng kinh nghiệm hoặc tối ưu hóa Nhiều tác giả đã áp dụng phương pháp hàm cơ bản để phân tích dao động của tấm composite, chẳng hạn Ferreira và cộng sự đã sử dụng hàm multiquadric để phân tích dao động tự do của tấm nhiều lớp, trong khi Ferreira và Fashauser áp dụng hàm không đối xứng của Kansa cho dầm Timoshenko và tấm Mindlin Liew đã đề xuất phương pháp p-Ritz nhưng gặp khó khăn trong việc chọn hàm cơ bản cho các bài toán phức tạp Karunasena và cộng sự nghiên cứu tần số dao động của tấm bốn cạnh và tấm tam giác với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng phương pháp pb-2 Rayleigh-Ritz kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Liew và cộng sự cũng đã áp dụng phép cầu phương sai phân để phân tích tần số dao động của các tấm vuông, tròn và xiên với điều kiện biên đa dạng, trong khi phương pháp không lưới được sử dụng để phân tích dao động và ổn định của tấm biến dạng cắt.
Mai Duy Nam và Trần Công Thành đã giới thiệu phương pháp tích phân (IRBFN) để xây dựng hệ thống hàm cơ bản xấp xỉ các hàm và đạo hàm của chúng, nhằm giải quyết các phương trình vi phân, thay vì sử dụng phương pháp vi phân (DRBFN) truyền thống Việc áp dụng IRBFN cải thiện đáng kể sự ổn định và độ chính xác của phương pháp số, với các kết quả cho thấy IRBFN đạt được độ chính xác vượt trội so với DRBFN Phương pháp không lưới IRBFN được áp dụng để giải các phương trình vi phân trong cả hệ tọa độ vuông góc và tọa độ cong, đồng thời cũng được sử dụng để phân tích các bài toán tĩnh của tấm composite có độ dày trung bình theo FSDT.
Mai Duy Nam và Tanner đã phát triển phương pháp sử dụng tích phân hệ thống hàm cơ bản 1 chiều (1D-IRBFN) để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 và cấp 4 Phương pháp này xây dựng 1D-IRBFN dọc theo đường lưới nhằm thỏa mãn các phương trình vi phân và điều kiện biên Các hàm và đạo hàm được xấp xỉ theo chuyển vị của các nút trên đường lưới và đường lưới vuông góc Hệ thống phương trình được thiết lập cho các điểm nút để xác định tần số dao động và dạng dao động của bài toán tấm Trong luận văn, 1D-IRBFN được áp dụng để phân tích dao động tự do của tấm FGM dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT.
Hệ thống hàm cơ bản (RBFNs) đang thu hút sự chú ý của các nhà khoa học và kỹ sư nghiên cứu nhờ khả năng xấp xỉ toàn cục cho dữ liệu phân tán trong các bài toán đa chiều Khác với các phương pháp nội suy hàm đa thức bậc cao, RBFNs không bị ảnh hưởng bởi hiện tượng Runge, làm cho chúng trở thành lựa chọn ưu việt Việc áp dụng RBFNs để giải các phương trình vi phân thường (ODE) và phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE) đã được đề xuất từ năm 1990 và dẫn đến sự phát triển của nhiều hệ thống RBF khác nhau Phương pháp này hiện đang trở thành một trong những phương pháp số phổ biến nhờ vào độ chính xác và hiệu quả đã được chứng minh qua nhiều nghiên cứu.
Có hai phương pháp chính để xây dựng các hàm cơ bản: phương pháp trực tiếp và phương pháp gián tiếp Điều này dẫn đến việc sử dụng hai loại mạng RBFN, cụ thể là DRBFNs.
Phương pháp DRBFNs, như được đề xuất bởi Kansa (1990a), sử dụng các hàm cơ bản để xấp xỉ các hàm và đạo hàm, trong khi phương pháp IRBFNs (Mai Duy Nam, 2001; Mai Duy Nam và Trần Công Thành, 2001a,b, 2003) xấp xỉ đạo hàm cấp cao nhất của các bài toán vi phân bằng hàm cơ bản RBF và tìm các đạo hàm cấp thấp hơn thông qua phép tích phân Các nghiên cứu số liệu (Mai Duy Nam và Trần Công Thành, 2001a, 2003, 2005) và phân tích lý thuyết (Ling và Trummer, 2004; Sarra, 2006) cho thấy phương pháp IRBFN đạt độ chính xác và ổn định cao hơn so với DRBFN trong việc xấp xỉ hàm và giải các phương trình vi phân.
Các phương pháp dựa trên hàm cơ bản RBFN đã được phát triển cho cả thuật toán xấp xỉ toàn cục và cục bộ Phương pháp RBF toàn cục cho phép xấp xỉ hàm tại một nút dựa trên toàn bộ các nút trong miền khảo sát, tuy nhiên, việc tính toán gặp khó khăn khi số nút tăng lên, đặc biệt khi đạt vài trăm nút do ma trận quá lớn Ngược lại, phương pháp RBF cục bộ chỉ sử dụng một số nút để xấp xỉ hàm tại một nút, giúp giảm kích thước ma trận và cho phép mô hình rời rạc với nhiều nút hơn Luận văn này sử dụng phương pháp IRBFN, kết hợp với hệ lưới Đề-các và thuật toán 1D-IRBFN để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng cho bài toán elip 2D Phương pháp 1D-IRBFN chỉ sử dụng các nút trên các đường lưới giao nhau tại nút, do đó, phân tích được chia thành nhiều ma trận nhỏ hơn Phương pháp này đang được phát triển bởi một số tác giả Việt Nam tại đại học Queensland – Australia, với những công trình tiêu biểu như luận văn tiến sỹ của Hồ Minh Đạo về các phương pháp hàm cơ bản tích hợp cho dòng chảy chất lỏng Newton và không Newton.
2011), Free vibration analysis of laminated composite plates based on FSDT using one-dimensional IRBFN method (2011)
2.4 Phương pháp phần dư có trọng số
Phương pháp phần dư trọng số (MWR) là một phương pháp truyền thống để xấp xỉ và giải quyết các phương trình vi phân Nhiều phương pháp rời rạc như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), và phương pháp phần tử biên (BEM) có thể được coi là các trường hợp đặc biệt của MWR, theo nghiên cứu của Liu và Gu.
(2005) đã tổng hợp các phương pháp số đạt được từ MWR
Xét bài toán giá trị biên được biểu diễn theo phương trình vi phân:
Và các điều kiện biên:
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ ký hiệu các đạo hàm theo điều kiện biên Dirichlet và Neumann, trong đó x là vector vị trí, u là các hàm vô hướng, và b, q, u là các hàm đã cho Miền bài toán được ký hiệu là , với và lần lượt đại diện cho biên Dirichlet và Neumann.
Lời giải chính xác của u có thể được xấp xỉ bởi:
Trong đó u là một xấp xỉ của u, i i 1 N là tập hợp các hệ số chưa biết,
Tập hợp các hàm cơ bản/hàm thử được ký hiệu là \( \{ \phi_i(x) \} \) với \( i = 1, N \), trong đó \( N \) là số lượng hàm cơ bản Để xác định \( u(x) \), ta thay thế (2.3) vào phương trình chủ đạo (2.1) và các điều kiện biên (2.2) Do (2.3) là hàm xấp xỉ, quá trình giải sẽ xuất hiện sai số, và các hàm dư \( R \), \( R \) hay \( R \) được xác định bởi các yếu tố này.
Các hệ số chưa biết i có thể được xác định bằng cách xây dựng thuật toán để cực tiểu biểu thức sau:
Trong phương trình (2.5), W, V và Y là các hàm trọng số cần xác định, tạo thành dạng tổng quát của MWR Mục tiêu của MWR là điều khiển sự phân bố của các phần dư trên miền bài toán hoặc trên các biên R trong , R trên , và R dưới Nhờ vào MWR, hệ phương trình vi phân được chuyển đổi thành một tập hợp các phương trình tích phân Thông thường, các hàm cơ bản được lựa chọn để thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet, dẫn đến biểu thức MWR trở thành một dạng cụ thể hơn.
Các hàm trọng số W và V có thể được chọn từ bất kỳ tập hợp các hàm độc lập tuyến tính nào, và việc lựa chọn này ảnh hưởng đến các phương pháp xấp xỉ khác nhau Bài viết sẽ trình bày bốn phương pháp cơ bản liên quan đến việc chọn lựa các hàm trọng số này.
Các hàm trọng số được chọn từ tập hợp các hàm thử, ví dụ như: i i i i
Hệ thống các hàm cơ bản (RBFN) sử dụng trong xấp xỉ hàm
Hệ thống hàm cơ bản hướng tâm RBFN bao gồm ba lớp: lớp đầu vào, lớp ẩn và lớp đầu ra Trong lớp ẩn, các hàm kích hoạt được sử dụng là các hàm cơ bản (RBFs), được ký hiệu là gi(x) Có hai mô hình liên quan đến cấu trúc này.
Mô hình phi tuyến được áp dụng từ lớp đầu vào đến lớp ẩn, trong khi mô hình tuyến tính được sử dụng từ lớp ẩn đến lớp đầu ra Hệ thống này có thể được mô phỏng thông qua một công thức toán học cụ thể.
Trong hệ thống, x là vector đầu vào và f là hàm đầu ra Tập hợp các trọng số được ký hiệu là {wi} với i từ 1 đến m, trong khi tập hợp các hàm cơ bản được ký hiệu là {gi} cũng với i từ 1 đến m Độ lớn của vector được ký hiệu là module, m là số lượng hàm cơ bản RBFs, và ci là tâm của hàm RBF thứ i.
Các hệ thống hàm cơ bản có thể được sử dụng để thay thế cho một hàm xấp xỉ trong bài toán nội suy Trong trường hợp này, các vector được chọn là các tâm của hàm cơ bản, với ci = xi, và trọng số của hệ thống được xác định thông qua các thuật toán tối ưu.
Trong bài viết này, chúng ta đề cập đến tập hợp các điểm chọn lựa x , di i 1 m Theo Micchelli (1986), ma trận nội suy từ các hàm cơ bản RBF sẽ luôn khả nghịch nếu các điểm dữ liệu là riêng biệt Để giải quyết bài toán xấp xỉ, cần áp dụng lý thuyết chuẩn tắc nhằm tránh hiện tượng suy biến của ma trận RBF (Poggio và Girosi, 1990) Thông thường, số tâm của hàm cơ bản được chọn nhỏ hơn số vector đầu vào, và các trọng số của hệ thống sẽ được tìm bằng thuật toán tối ưu.
Trong đó i i 1 m là tập hợp các thông số chuẩn tắc
Nhiều hàm cơ bản được tổng hợp bởi lý thuyết của Micchelli, trong đó được sử dụng phổ biến là các hàm:
2 2 i i i 2 2 i g ( ) exp , Gaussian functions a g ( ) a , Multiquadrics g ( ) 1 , inverse Multiquadrics a i i i x x c x x c x x c
Trong đó, ai là thông số hình dạng và bề rộng của hàm RBF thứ i Hình 2.4 minh họa sự khác biệt giữa các hàm RBF theo chiều này.
Hình 2.4 Đồ thị các hàm cơ bản Tâm ở tại x = 0, a được chọn bằng 1
Các hàm Gaussian và hàm inverse multiquadrics là các hàm cục bộ với ma trận nội suy xác định dương, trong khi hàm multiquadrics (MQ) là hàm toàn cục và ma trận nội suy của nó không xác định dương Nghiên cứu cho thấy thuật toán MQ mang lại kết quả chính xác nhất (Franke, 1982) Luận văn này chỉ tập trung vào hệ thống các hàm cơ bản multiquadric (MQ-RBFNs).
2.5.3 Các thuật toán sử dụng RBFN để xấp xỉ hàm
Bài viết này giới thiệu hai phương pháp cơ bản để xây dựng hàm xấp xỉ bằng cách sử dụng các hàm RBF Phương pháp đầu tiên là phương pháp trực tiếp dựa trên phép vi phân DRBFNs, được phát triển bởi Kansa vào năm 1990 Phương pháp thứ hai là phương pháp gián tiếp dựa trên phép tích phân IRBFNs, do Mai Duy Nam và Trần Công Thành đề xuất vào năm 2001.
2.5.3.1 Hệ thống các hàm cơ bản trực tiếp (DRBFNs)
Trong phương pháp trực tiếp, hàm cơ bản được sử dụng để xấp xỉ hàm s, và các đạo hàm của hàm s được tính toán thông qua việc đạo hàm hàm cơ bản Cụ thể, quá trình này có thể được mô tả bằng các biểu thức toán học liên quan đến các biến và hàm khác nhau, cho phép xác định giá trị của hàm s và các yếu tố liên quan.
Tập hợp các hàm cơ bản \( D_i \) được sử dụng để xấp xỉ đạo hàm bậc \( p \) của hàm \( s \) theo các biến \( x_j \) Trong bài toán nội suy, các điểm dữ liệu được chọn là tập hợp các tâm, tức là \( c_i = x_i \) với \( m = N \) (N là số điểm sắp xếp) Khi áp dụng sắp xếp tại các tâm, ta có được biểu thức \( \hat{f} = Gw \).
Trong đó Gˆ là ma trận nội suy được xác định bởi:
Từ biểu thức (2.31) ta có thể biểu diễn các trọng số của hàm cơ bản thông qua các giá trị hàm tại các nút như sau: ˆ ˆ1 ˆ wG f (2.32)
Các giá trị của f và các đạo hàm của chúng tại điểm x bất kỳ có thể được tính toán bằng cách thay thế (2.32) vào (2.30):
2.5.3.2 Hệ thống các hàm cơ bản gián tiếp
Trong phương pháp trực tiếp, hàm RBFNs được áp dụng để xấp xỉ đạo hàm bậc cao nhất của hàm cần xét s, như p s/xpj Các đạo hàm bậc thấp hơn và hàm s được tính bằng cách tích phân các biểu thức RBFNs này.
Trong đó Cks là các hàm hằng số tích phân, và j j j j j j j j x (p 1) x (p) i i j x (p 2) x (p 1) i i j x (1) x (2) i i j x (0) x (1) i i j
(2.35) là các hàm cơ bản được sử dụng để xấp xỉ đạo hàm bậc (p-1), bậc (p-2),…, bậc 1 và hàm gốc s
Trong nghiên cứu của Mai Duy Nam và Trần Công Thành (2003), các hàm Cks đã được thay thế bằng các hàm IRBFNs Bằng cách sử dụng các ký hiệu H[i](.) và w[i] (với i > m) để chỉ các hàm cơ bản và trọng số của các hệ thống bổ sung, các biểu thức (2.34) được viết lại một cách mới.
Trong đó q , ,q (0) (p 1) là các kích thước của hệ thống phụ dùng để đại diện cho các hằng số tích phân (q (p-2) = 2q (p-1) ,…, q (0) =pq (p-1)
Khác với DRBFN, điểm khởi đầu của quá trình tích phân có thể thay đổi tùy thuộc vào bài toán cụ thể, cho phép lựa chọn bậc của đạo hàm để thực hiện xấp xỉ.
Quá trình giải bài toán theo IRBFNs tương tự với DRBFNs Quan hệ giữa trọng số của hệ thống và các hàm như sau:
Trong đó H ˆ là ma trận nội suy được xác định bởi:
Giá trị của hàm f và các đạo hàm của nó tại điểm x bất kỳ được tính bằng cách thay (2.37) vào (2.36):
Bảng 2.2 trình bày một số thuật toán nội suy trong phương pháp không lưới
Bảng 2.2 Một số thuật toán nội suy trong phương pháp không lưới
Tên phương pháp Viết tắt Tác giả Xuất hiện
PP thuỷ động điểm trơn smooth particle hydrodynamics SPH Lucy; Gingold và Orkisz 1977
PP phần tử khuếch tán diffuse element method DEM B Nayroles 1992
PP điểm hạt nhân tái tạo
(dạng cải tiến của SPH) reproducing kernel particle method RKPM Liu,W.K 1993
PP phần tử tự do Galerkin element-free Galerkin EFG Belytschko 1994
PP không lưới cục bộ
Petrov–Galerkin meshless local Petrov–Galerkin MLPG Atluri và Zhu 1998
PP nội suy điểm hướng tâm radial point interpolation method RPIM Liu, G R and
PP nội suy hệ thống hàm cơ bản Radial basis function networks DRBFN Kansa 1990
PP nội suy hệ thống hàm cơ bản 1 chiều One dimensional integrated radial basis function networks 1D-
Mai Duy Nam, Tanner, Ngô Công Đức 2010
Kết luận
Chương này đã tóm tắt định nghĩa, đặc điểm, lịch sử phát triển và ứng dụng của vật liệu FGMs trong tự nhiên và kỹ thuật Sự chuyển đổi dần dần về tính chất của vật liệu FGMs mở ra khả năng phát triển những loại vật liệu mới, phục vụ cho nhiều ứng dụng thực tiễn.
Trong chương này, chúng tôi đã tổng quan về tình hình nghiên cứu liên quan đến luận văn và so sánh sự khác biệt giữa luận văn và các nghiên cứu trước đó Phương pháp số được đề xuất là tương đối mới trên thế giới và hiện vẫn đang thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả Các kết quả công bố cho thấy phương pháp này có độ chính xác cao và tốc độ giải quyết nhanh chóng, điều này chứng tỏ tiềm năng của nó trong công tác nghiên cứu trong tương lai.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Giới thiệu
Chương này trình bày lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tấm vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) dựa trên nguyên lý Hamilton Phương pháp không lưới với thuật toán nội suy hướng tâm một chiều (1D-IRBFN) được áp dụng để phân tích dao động tự do của tấm FGMs Ngoài ra, các biểu thức cho phân tích dao động của thanh dao động dọc trục, tấm Mindlin và tấm laminate cũng được đề cập trong phần phụ lục.
Bài viết này bao gồm năm mục, trong đó mục 2 giới thiệu lý thuyết tấm dày Reisser – Mindlin Mục 3 trình bày lý thuyết tấm FGMs, bao gồm các giả thuyết, đặc trưng hữu hiệu của vật liệu FGMs, cùng với ứng suất, biến dạng và nội lực trong tấm FGMs Tiếp theo, các phương trình chủ đạo của bài toán được thiết lập Cuối cùng, lý thuyết nội suy hướng tâm một chiều (1D-IRBFN) được trình bày và áp dụng cho phân tích dao động tự do của tấm FGMs, với các biểu thức được thể hiện dưới dạng ma trận để thuận tiện cho việc lập trình.
Lý thuyết tấm dày Mindlin-Reisser
3.2.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng
Xét tổng quát cho vật liệu dị hướng: ij Cijkl kl
Hay viết lại dạng ma trận: xx 11 12 13 14 15 16 xx yy 22 23 24 25 26 yy zz 33 34 35 36 zz yz 44 45 46 yz
Với vật liệu có 1 mặt phẳng đối xứng đ{n hồi, giả sử rằng mặt phẳng đối xứng là x-y nghĩa l{ thay đổi hệ trục tọa độ xyz th{nh x’y’z’ với x’ = x, y’ = y, z’
Phép biến đổi tenxơ khi quay trục tọa độ T’ij=akialjTkl
Lúc này quan hệ ứng suất - biến dạng: xx 11 12 13 14 15 16 xx yy 22 23 24 25 26 yy zz 33 34 35 36 zz yz 44 45 46 yz
Do vật liệu có mặt phẳng đối xứng x-y nên ’xx=xx, ’yy=yy , ’zz=zz,
’xy= xy, ’yz= - yz, ’xz= - xz Tương tự cho thành phần biến dạng: ’xx=xx,
’yy=yy , ’zz=zz, ’xy= xy, ’yz= - yz, ’xz= - xz Đồng nhất 2 hệ phương trình (3.2) và (3.3) này ta suy ra Ci5=Ci6=0, i=14 Suy ra:
Với vật liệu trực hướng có ba mặt phẳng đối xứng vuông góc, nếu bổ sung thêm một mặt phẳng đối xứng vuông góc nữa là mặt phẳng x-z, các hệ số đàn hồi đơn giản sẽ được điều chỉnh.
Với vật liệu đẳng hướng, tính chất đ{n hồi không phụ thuộc hướng, ma trận chỉ còn lại 2 hằng số đ{n hồi:
3.2.2 Quan hệ biến dạng – chuyển vị
Tấm là kết cấu hình lăng trụ hoặc hình trụ có chiều dày nhỏ hơn nhiều so với chiều dài và chiều rộng Có ba loại lý thuyết tấm phổ biến: lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT).
Hình 3.1: Mô tả các lý thuyết biến dạng
Lý thuyết tấm cổ điển, dựa trên lý thuyết Kirchhoff, là phương pháp phân tích biến dạng cắt đơn giản nhất, bỏ qua biến dạng cắt Theo lý thuyết này, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ vẫn giữ nguyên hình dạng thẳng và vuông góc khi tấm chịu uốn, với độ dài không thay đổi Từ giả thuyết này, ta suy ra rằng các biến dạng trượt trong mặt phẳng là bằng không, tức là xz = yz = 0, dẫn đến việc mô tả trường chuyển vị trong tấm.
Trong lý thuyết tấm mỏng, u0, v0, w đại diện cho chuyển vị tại mặt trung bình của tấm, trong khi z là khoảng cách từ mặt trung bình đến điểm cần xem xét Lý thuyết này áp dụng cho tấm đẳng hướng với kích thước bề dày nhỏ hơn so với hai phương còn lại.
Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, hay còn gọi là lý thuyết tấm dày Reissner – Mindlin, là một sự cải tiến của CLPT khi xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt ngoài mặt phẳng Theo lý thuyết này, đoạn thẳng vuông góc với mặt trung hòa của tấm vẫn giữ thẳng sau khi biến dạng, nhưng bị lệch một góc β so với mặt phẳng trung hòa.
Trong đó x = y, y = x là góc xoay của đoạn pháp tuyến mặt phẳng tấm quanh trục y và x
Để đạt được kết quả tốt hơn trong khảo sát tấm composite, cần áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, đặc biệt là biến dạng cắt bậc 3 (TSTD) của Reddy, khi xem xét biến dạng cong của pháp tuyến mặt trung hòa sau khi biến dạng Lý thuyết TSDT cung cấp một mô hình chính xác cho trường chuyển vị trong tấm.
Tuy nhiên trong luận văn n{y t|c giả chỉ giới hạn nghiên cứu đến lý thuyết cắt bậc nhất thêm các giả thuyết:
Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung hòa không bị kéo nén trong khi biến dạng nên bỏ qua z
Bỏ qua ứng suất pháp z
Khi này biến dạng trong tấm là: x 0,x x,x y 0,y y,y 0 xy 0,y 0,x x,y y,x u u z x v v z z y u v
Nhận xét: khi tấm là tấm mỏng các góc xoay tuyến tính với đạo hàm của độ võng y w, x w x y
, khi này công thức (3.7) trở thành:
Và công thức (3.8) suy biến thành =0 Lời giải trên quay về lời giải cho tấm mỏng theo lý thuyết tấm Kirchhoff-Love
3.2.3 Nội lực và ứng suất
Theo giả thuyết 3 lý thuyết tấm Reissner – Mindlin, bỏ qua ứng suất pháp z Từ phương trình (2.4) ta có thể tách ra ứng suất trong mặt phẳng: x 11 12 16 x y 21 22 26 y
Và ứng suất cắt: zy 44 45 zy
Lý thuyết cơ học vật rắn cho tấm FGM
3.3.1 Các giả thuyết cho tấm FGM
Tấm FGM tuân theo lý thuyết tấm d{y, được chia thành nhiều lát mỏng
Những lát mỏng n{y đồng nhất đẳng hướng, có module đ{n hồi thay đổi theo chiều dày tấm (tọa độ phương z)
Biến dạng là liên tục qua các biên tiếp giáp giữa các lát mỏng
Không có biến dạng trượt giữa các lát mỏng
3.3.2 Đặc trưng hữu hiệu của vật liệu FGM
Vật liệu FGM được hình thành từ sự kết hợp giữa gốm và kim loại, trong đó gốm với hệ số truyền nhiệt thấp nằm ở bề mặt trên mang lại khả năng cách nhiệt tốt, còn kim loại có tính dẻo và bền được bố trí ở mặt dưới giúp tăng cường độ bền và khả năng chịu nhiệt Đặc tính của vật liệu này thay đổi dọc theo bề dày theo một hàm mũ, tạo ra sự chuyển tiếp mượt mà giữa hai loại vật liệu.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các đại lượng vật lý quan trọng như mô đun Young E, hệ số Poisson , hệ số truyền nhiệt k, hệ số dãn nở , và khối lượng riêng , cùng với các đặc trưng vật liệu Pc, Pm của gốm và kim loại Các đại lượng này được xác định trong khoảng z[-t/2,t/2], với z là tọa độ theo phương chiều dày của tấm.
Nhận xét: từ phương trình (3.12) ta thấy:
Khi n=0 P(z)=Pc: tấm hoàn toàn là tấm gốm
Khi n= P(z)=Pm: tấm là tấm kim loại đẳng hướng
Khi n 0, đặc tính tấm FGM thay đổi theo chiều dày tấm như (Hình 3.3)
Hình 3.2 Tấm vật liệu phân lớp chức năng (FGM)
Trong nghiên cứu về tấm FGM, mối quan hệ giữa tỷ lệ ceramic Vc và chiều cao z/t được thể hiện rõ ràng Áp dụng định luật Hook, chúng ta có thể tính toán ứng suất trong mặt phẳng, giúp hiểu rõ hơn về biến dạng và nội lực trong tấm FGM.
Trong đó ma trận vật liệu được x|c định như sau
Với hệ số chống cắt =5/6, module Young E(z) và hệ số Poisson được tính theo công thức (3.12)
Nội lực bao gồm: lực dọc, lực cắt và momen với phương chiều như (Hình 3.4) được x|c định như sau:
Hình 3.4 Nội lực trong tấm dày x t /2 xx y yy t /2 xy xy
Thay các giá trị ứng suất ở phương trình (3.13), (3.14) v{o phương trình (3.15) - (3.17) ta thiết lập phương trình tính nội lực trong tấm dạng ma trận sau:
Phương trình động lực học
3.4.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho bài toán tấm FGM
Nguyên lý Hamilton cho b{i to|n đ{n hồi có dạng:
Trong bài viết này, K đại diện cho động năng, trong khi là tổng thế năng biến dạng U và thế năng do ngoại lực V Bằng cách áp dụng lý thuyết FSDT vào bài toán dao động của tấm hình chữ nhật, chúng ta có thể xác định các phương trình chuyển động cần thiết.
Từ đó hệ c|c phương trình chuyển động (3.21) trở thành:
Trong luận văn n{y xét đến các bài toán tấm có các cạnh ngàm hoặc tựa đơn, điều kiện biên cho c|c b{i to|n n{y được viết như sau:
Đối với bài toán tấm với cạnh tựa đơn, có hai loại điều kiện biên chính: Tựa đơn mềm (SS1) với các điều kiện w = 0, Mns = 0 và Mn = 0; và Tựa đơn cứng (SS2) với các điều kiện w = 0, θns = 0 và Mn = 0.
Bài toán tựa đơn cứng được khảo sát trong luận văn n{y Từ (3.27), các điều kiện biên được viết thành: w 0 (3.28) x y y x n - n 0 trên biên (3.29) n M 2 x x 2n n M x y xy n M 2 y y 0 (3.30)
Trong đó nx và ny là cosin chỉ phương của vector pháp tuyến đơn vị tại 1 điểm trên biên
Phương trình (3.30) có thể biểu diễn theo biến chuyển vị như sau:
Đối với cạnh ngàm [29]: w = 0; n = 0; s = 0 trên biên (3.32)
Trong các phương trình (3.26), (3.27) và (3.30), các chỉ số n và s đại diện cho hướng pháp tuyến và tiếp tuyến của cạnh Mn và Mns lần lượt biểu thị mômen uốn và mômen xoắn, trong khi n và s thể hiện góc xoay quanh trục tiếp tuyến và pháp tuyến của cạnh tấm.
Phương pháp nội suy sử dụng hệ thống các hàm cơ bản một chiều 1D- IRBFN
Trong phần sau của luận văn c|c ký hiệu sau được sử dụng nhằm đơn giản hóa cách viết c|c phương trình:
[]ˆ: Một vector/ma trận liên quan đến 1 đường lưới
[ ]: Một vector/ma trận liên quan đến toàn bộ c|c đường lưới
[] ( , ) : các hàng , các cột của ma trận [ ] được chọn
[]( ) : các thành phần của vector [ ] được chọn
[](:, ) : tất cả các hàng của các cột trong ma trận [ ] được chọn
[]( ,:) : tất cả các cột của các hàng trong ma trận [ ] được chọn
Hệ tọa độ Đề cac được áp dụng để rời rạc hóa miền khảo sát, trong đó các đại lượng phụ thuộc vào biến chuyển vị u và v, cùng với các đạo hàm tương ứng của chúng là u, 2u, và 2x.
được xấp xỉ bằng cách sử dụng thuật toán nội suy IRBFN
3.5.1 Biểu thức các hàm nội suy IRBFN trên một đường lưới (thuật toán 1D- IRBFN)
Xét 1 đường lưới dọc theo phương x, như trong hình 3.5 Đạo hàm cấp 2 của các biến chuyển vị được xấp xỉ bằng c|c h{m cơ bản RBFs, sau đó c|c h{m RBFs được tích phân một lần rồi hai lần để có được đạo hàm cấp một của chuyển vị và chuyển vị của c|c điểm nút [29]
Trong đó N [j] x chỉ số nút của đường lưới thứ [j]; w i i 1 N [ j] x là trọng số các hàm RBFs, g (x) i N i 1 [ j] x H (x) 2 i i 1 N [ j] x l{ c|c h{m RBFs đ~ biết, ví dụ đối với hàm multiquadric thì g (x) i (x x ) (i) 2 a (i)2 - a(i) là bề rộng hàm RBF;
(3.35) c1 và c2 là các hằng số tích ph}n (chưa biết)
Từ biểu thức (3.33) ta biểu diễn các thành phần chuyển vị theo trọng số và hằng số tích phân ˆ ˆ ˆ ˆ u = H w c
(3.36) Hay biểu diễn dưới dạng ma trận: x x x x x
Trong đó Hˆ là ma trận kích thước N [j] x x(N [j] x +2) với các thành phần được tạo ra từ các hàm RBFs ˆH ij H (x ) 0 j i , uˆ (u ,u u (1) (2) (N ) x j ) T ,wˆ (w , w w (1) (2) (N ) x j ) T và
Từ đó ta có 2 trường hợp để biểu diễn c|c đạo hàm của chuyển vị theo biến chuyển vị:
Ma trận chuyển đổi không vuông (NSCM): Sử dụng trực tiếp biểu thức (3.36) ta được ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ w w u = H C. c c
(3.38) Trong đó ma trận C ˆ -1 có thể tìm được bằng thuật to|n SVD (dùng để nghịch đảo ma trận không vuông)
Ma trận chuyển đổi vuông (SCM): Ta có thể thêm v{o 2 phương trình dạng ˆ ˆ ˆ ˆ f = K w c
vào hệ phương trình (3.38) Ví dụ, trong trường hợp điều kiện biên Neumann, 2 phương trình n{y có thể được sử dụng để |p đặt điều kiện biên đạo hàm
Khi đó hệ phương trình chuyển đổi có thể viết dưới dạng: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u H w w
Trong luận văn n{y chọn dạng (3.38) để biểu diễn các thành phần đạo hàm của chuyển vị theo biến chuyển vị như sau:
Trong đó D 2x và D 1x l{ c|c vector có độ dài N [j] x , xây dựng từ hàm RBFs một điểm nút Do đó tập hợp tất cả các giá trị 2 u(x) 2 x
tại các nút trên đường lưới (j) sẽ được biểu diễn như sau:
(3.43) D ˆ 2x và D ˆ 1 x là các ma trận kích thước N [j] x xN [j] x
Một c|ch tương tự ta có thể biểu diễn giá trị c|c đạo hàm theo trục y:
(3.44)D ˆ 2 y và D ˆ 1y là các ma trận kích thước N [j] y x N [j] y
3.5.2 Biểu thức các hàm nội suy IRBFN trên toàn bộ miền tính toán
Giá trị của c|c đạo hàm cấp 2 và cấp 1 của chuyển vị theo biến x tại các điểm nút trên toàn bộ miền tính to|n được biểu diễn:
D 2x và D 1x là các ma trận kích thước NxN (N là tổng số nút của miền tính toán)
Tương tự, đạo hàm cấp 2 v{ đạo hàm cấp 1 của chuyển vị u theo y tại các điểm nút trên miền tính toán:
Và đạo hàm của chuyển vị theo 2 biến:
(3.47) Đối với bài toán tấm hình chữ nhật, các ma trận D 1x ,D 1y ,D 2 x ,D 2 y ,D 2 xy có thể được tính toán từ D ˆ 1x ,D ˆ 1y ,D ˆ 2 x ,D ˆ 2 y ,D ˆ 2 xy bằng cách sử dụng các tích tensor Kronecker như sau [29]:
Trong đó Ix, Iy lần lượt là các ma trận đơn vị kích thước NxxNx và NyxNy;
D D D D D là các ma trận kích thước NxNy x NxNy đ~ biết x y
(u , u u ) u ; Nx và Ny lần lượt là số điểm nút theo phương x v{ y
3.5.3 Biểu thức các hàm nội suy IRBFN áp dụng cho bài toán tấm FGM
Kí hiệu bp và ip đại diện cho các điểm nằm trên biên và bên trong của tấm, trong khi Nbp và Nip là số lượng điểm tương ứng trên biên và bên trong.
Thay các biểu thức của D 1x ,D 1y ,D 2 x ,D 2 y ,D 2 xy (3.48) v{o c|c phương trình (3.25) tại c|c điểm bên trong của tấm ta được: ip ip
I và 0 lần lượt là các ma trận đơn vị và ma trận 0 có kích thước NipxN Áp đặt điều kiện biên cho bài toán:
Từ c|c phương trình (3.32) ta viết lại điều kiện biên ngàm dưới dạng ma trận như sau: bp bp
Trong đó: bp ; bp ; bp bp bp bp x bp y
Ibp và 0 là các ma trận kích thước NbpxN, trong đó Ibp được hình thành từ các số 1 tại các vị trí hàng và cột tương ứng với nút có ràng buộc điều kiện biên chuyển vị.
Trường hợp biên gối tựa:
Từ c|c phương trình (3.26), (3.27) ta viết lại điều kiện biên gối tựa như sau:
; ; bp bp bp bp bp x y
R bp_5 viết cho c|c h{ng tương ứng với c|c điểm nút có Mxx = 0; bp_55
R viết cho c|c h{ng tương ứng với c|c điểm nút có Myy = 0
Ibp và 0 là hai ma trận kích thước NbpxN, trong đó Ibp được hình thành từ các số 1 ở các vị trí hàng và cột tương ứng với nút có ràng buộc điều kiện biên chuyển vị.
Viết lại hệ phương trình chủ đạo đ~ |p đặt điều kiện biên dưới dạng ma trận ip ip bp bp
Bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab, chúng ta có thể xác định tần số dao động và dạng dao động của tấm từ hệ phương trình chủ đạo này.
VÍ DỤ SỐ
Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ số và so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả và tính đúng đắn của phương pháp áp dụng cho mô hình bài toán Tiếp theo, chúng tôi sẽ khảo sát tần số dao động của tấm FGM Cuối cùng, chúng tôi sẽ đưa ra kết luận về ảnh hưởng của các yếu tố đến tần số dao động của tấm FGM và khả năng áp dụng của phương pháp 1D-IRBFN Các ví dụ này được trình bày trong mục 2 của chương với 4 bài toán cụ thể.
Khảo sát sự hội tụ bao gồm việc xác định tần số dao động riêng dọc trục của thanh đồng chất và so sánh với kết quả giải tích Ngoài ra, nghiên cứu cũng xác định tần số dao động riêng của tấm Mindlin đồng chất dựa trên các yếu tố như kiểu liên kết ngàm và khớp, tỉ số nhịp/chiều cao tấm, cũng như tỉ số giữa hai nhịp, và so sánh với các nghiên cứu trước đây.
Phần tiếp theo của chương này phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm FGM Đầu tiên, nghiên cứu sẽ xem xét tác động của số mũ vật liệu n đối với tần số dao động của các loại vật liệu khác nhau Tiếp theo, sẽ đánh giá ảnh hưởng của tỉ số nhịp/chiều cao tiết diện đến tần số dao động của các loại vật liệu này.
Các công thức tần số sử dụng trong chương này:
Tần số dao động dọc trục của thanh: i 2
Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i: i i b 2 / 2 h D / (tấm Mindlin đồng chất); i i b 2 /h c /E c hoặc i i h c / E c (tấm FGM)
Kiểm tra chương trình
4.2.1 Ví dụ 1: Xác định tần số thanh dao động dọc trục:
Xét dao động tự do của thanh dài 5m với mô-đun đàn hồi E = 3.3 x 10^7 N/m², diện tích tiết diện A = 1 x 10^-3 m² và khối lượng phân bố m = 3 kg/m Một đầu của thanh được ngàm cố định, trong khi đầu còn lại là tự do Bảng 4.1 trình bày sự so sánh giữa kết quả thu được từ chương trình Matlab và nghiệm giải tích Tần số dao động thứ i được xác định là i².
[3], N là số nút lưới Hình 4.1 cho thấy mode shape của 6 tần số dao động đầu tiên
Bảng 4.1 Tần số dao động dọc trục của thanh i 2
Hình 4.1 Mode shape của dao động dọc trục
4.2.2 Ví dụ 2: Xác định tần số dao động của tấm Mindlin đồng chất Để chứng minh độ tin cậy của kết quả trong nghiên cứu này, một số kết quả của bài toán trị riêng của tấm Mindlin đồng chất được đem so sánh với những nghiên cứu trước đó của K.M Liew et al 2004 [22], nghiên cứu của Yufeng Xing và Bo Liu 2009 [45] thể hiện trong bảng 4.2
Bảng 4.2 trình bày năm tần số tự nhiên cơ bản đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất với các thông số E = 1GPa, = 0kg/m³, = 0.3, a/b = 0.4, h/b = 0.1 hoặc 0.2 Kết quả cho thấy nghiên cứu này phù hợp với các công trình trước đây của K.M Liew et al (2004) và Yufeng Xing cùng Bo Liu (2009), đồng thời khẳng định tốc độ giải bài toán dao động của phương pháp được đề xuất là khá nhanh.
Tan so dao dong doc truc cua thanh x/L M o d e s h a p e X n (x )
Mode #1Mode #2Mode #3Mode #4Mode #5Mode #6
Bảng 4.2: Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 h D/ của tấm Mindlin 4 cạnh tựa đơn, tỉ số nhịp a/b = 0.4 h/b Lưới
Y Xing [45] 5.1831 6.7212 8.9137 11.487 12.703 Sai số (%)- [22] 0.00 0.00 0.02 0.07 0.00 Nhận xét: Với kích thước lưới 13x13 thì kết quả phân tích đã hội tụ, thời gian phân tích chỉ là 6.12s Thông số hàm dạng a = 5 cho kết quả tốt nhất đối với bài toán tấm Do đó, trong những ví dụ sau sử dụng lưới kích thước 13x13 và thông số hàm dạng a = 5 để tính toán
4.2.3 Ví dụ 3: Tần số dao động của tấm Mindlin đồng chất
Trong nghiên cứu này, tần số dao động của các tấm Mindlin được khảo sát dưới các điều kiện biên khác nhau, cùng với các tỉ số nhịp và chiều cao tiết diện Kết quả được trình bày trong các bảng 4.3 đến 4.7, cho thấy sự tương đồng với các nghiên cứu trước đây của Leissa (1969), K.M Liew et al (2004) và Yufeng Xing cùng Bo Liu (2009), cũng như với kết quả từ phần mềm SAP 2000.
Bảng 4.3: Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 h D/ của tấm Mindlin 4 cạnh tựa đơn, tỉ số nhịp a/b = 0.4 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau h/b a/b=0.4; SSSS Mode
Bảng 4.4: Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 h D/ của tấm Mindlin 4 cạnh tựa đơn, tỉ số nhịp a/b = 0.6 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau h/b a/b=0.6; SSSS Mode
Bảng 4.5: Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 h D/ của tấm Mindlin 4 cạnh ngàm, tỉ số nhịp a/b = 0.4 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau h/b a/b=0.4; CCCC Mode
Bảng 4.6: Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 h D/ của tấm Mindlin 4 cạnh ngàm, tỉ số nhịp a/b = 0.6 với các tỉ số chiều cao tiết diện/nhịp khác nhau h/b a/b=0.6; CCCC Mode
Bảng 4.7: Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 /D của tấm Mindlin 4 cạnh tựa đơn, a/b = 1 , a/b = 0.02
Tần số không thứ nguyên i i b 2 / 2 /D
Mode LEISSA[20] (a) SAP2000 (b) Luận văn
(* Trong SAP2000 sử dụng lưới 24x24)
Hình 4.2 trình bày 4 mode shape của tấm Mindlin 4 cạnh khớp với tỉ số nhịp a/b = 0.4 và h/b = 0.1 Trong khi đó, hình 4.3 và hình 4.4 thể hiện 4 mode shape của tấm Mindlin 4 cạnh khớp với tỉ số nhịp a/b = 1 và h/b = 0.1, được phân tích qua chương trình Matlab và SAP2000.
Kết quả từ các ví dụ trong bảng 4.2 đến bảng 4.7 cho thấy rằng phân tích tần số dao động tự do của tấm Mindlin bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất là đáng tin cậy Ma trận khối lượng [M] và ma trận độ cứng [K] cũng như việc khử các điều kiện biên đều chính xác và có thể áp dụng cho các bài toán khác Thuật toán này mang lại kết quả chính xác hơn cho các tấm dày với tỷ số chiều dày/nhịp từ 0.1 đến 0.2.
Hình 4.2: 4 mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất tựa đơn 4 cạnh; a/b = 0.4, h/b = 0.1 với lưới 15x15
Hình 4.3: 4 mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất tựa đơn 4 cạnh; a/b = 1, h/b = 0.1 với lưới 15x15
Hình 4.4: 4 mode dao động đầu tiên của tấm Mindlin đồng nhất tựa đơn 4 cạnh;
Phân tích tần số dao động của các loại tấm FGM
Trong các ví dụ tiếp theo, lưới có kích thước 13x13 được sử dụng với thông số hàm a = 5 Đặc trưng của tấm khảo sát được trình bày trong bảng 4.8, và hệ số hiệu chỉnh ứng suất cắt được chọn là ks = 5/6.
Bảng 4.8 Đặc tính vật liệu
Trong phần này, tác giả khảo sát sự hội tụ của phương pháp áp dụng cho tấm FGM, sử dụng chương trình khảo sát tần số dao động tự nhiên đầu tiên của tấm FGM với Al ở mặt dưới và Al2O3 ở mặt trên, trong đó đặc tính vật liệu thay đổi theo giá trị cơ số mũ n từ 0–10 Tấm được liên kết biên bằng tựa đơn 4 cạnh Kết quả tính toán ở bảng 4.9 cho thấy độ hội tụ của phương pháp khá tốt, với lưới 11x11 và 13x13 cho kết quả gần như trùng khớp Khi giá trị cơ số mũ n tăng, độ cứng tổng thể giảm, dẫn đến tần số tự nhiên của tấm cũng giảm theo Nghiệm lời giải giải tích của Sh.Hoseini [16] được sử dụng làm kết quả tham chiếu, cho thấy kết quả từ phương pháp đề xuất trùng khớp với nghiệm của lời giải giải tích đối với tấm n = 0 (tấm Mindlin đồng nhất) và các trường hợp còn lại cũng cho kết quả phù hợp.
Bảng 4.9 Tần số dao động thứ nhất 1 1 h c /E c của tấm Al/Al2O3 4 cạnh khớp với phân phối vật liệu khác nhau a/h
1 Sh.Hoseini [16] 0.0577 0.049 0.0442 0.0382 0.0366 (*) X Zhao et al sử dụng lưới 17x17
Bảng 4.10 trình bày các giá trị tần số tương ứng với các lưới chia khác nhau và tỷ lệ kích thước a/h khác nhau Tác giả đã chọn giá trị tần số của phương pháp 1D-IRBFN với lưới chia 13x13 để so sánh với các giải pháp của Hosseini [16] và X Zhao [44].
Bảng 4.10 Tần số dao động không thứ nguyên i i h c /E c của tấm Al/Al2O3 4 cạnh khớp với phân phối vật liệu khác nhau n h/a (m,n) 0 0.5 1 4 10
Trong nghiên cứu này, tác giả khảo sát tần số dao động của bốn loại tấm FGM vuông: Al/Al2O3, Al/ZrO2, Ti-6Al-4V/Al2O3 và SUS304/Si3N4, với số mũ vật liệu n từ 0 đến 10 Các đặc trưng vật liệu được trình bày trong bảng 4.8, và tỉ số nhịp được khảo sát là h/a = 0.01, 0.05, 0.1 và 0.2 Nghiên cứu thực hiện với hai điều kiện biên: 4 cạnh ngàm và 4 cạnh tựa đơn, sử dụng kích thước lưới 13x13 Kết quả được trình bày trong các bảng 4.11 đến 4.18, chỉ khảo sát bốn tần số dao động cơ bản đầu tiên Hình 4.5 và 4.6 thể hiện mối quan hệ giữa tần số dao động riêng và phân phối vật liệu của tấm vuông FGM với điều kiện biên 4 cạnh ngàm, trong khi hình 4.7 và 4.8 tương ứng cho điều kiện biên tựa đơn Hình 4.9 và 4.10 cho thấy sự phụ thuộc của tần số dao động vào tỉ số nhịp/chiều cao tiết diện trong trường hợp 4 cạnh ngàm, còn hình 4.11 và 4.12 cho trường hợp 4 cạnh tựa đơn.
Bảng 4.11 Tần số dao động không thứ nguyên i i b 2 /h c /E c của tấm Al/Al2O3 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
Bảng 4.12 Tần số dao động không thứ nguyên i i b 2 /h c /E c của tấm Al/ZrO2 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
4 21.4439 20.7809 20.5158 19.9827 19.4679 Bảng 4.13 Tần số dao động không thứ nguyên i i b 2 /h c /E c của tấm Ti-Al- 4V/Al2O3 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
Bảng 4.14 Tần số dao động không thứ nguyên i i b 2 /h c /E c của tấm SUSs304/Si3N4 4 cạnh ngàm với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
Bảng 4.15 Tần số dao động không thứ nguyên i i h c /E c của tấm Al/Al2O3 4 cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
Bảng 4.16 Tần số dao động không thứ nguyên i i h c /E c của tấm Al/ZrO2 4 cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
Bảng 4.17 Tần số dao động không thứ nguyên i i h c /E c của tấm Ti-Al-4V l/Al2O3 4 tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau, sử dụng lưới 13x13 h/a Mode n
Bảng 4.18 Tần số dao động không thứ nguyên i i h c /E c của tấm SUSs304/Si3N4 4cạnh tựa đơn với phân phối vật liệu khác nhau h/a Mode n
Hình 4.5: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh ngàm theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.1
Hình 4.6: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh ngàm theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.2
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3 Al/ZrO2 Ti-Al-4V/Al2O3 SUSs3O4/Si3N4
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3 Al/ZrO2 Ti-Al-4V/Al2O3 SUSs3O4/Si3N4
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3 Al/ZrO2 Ti-Al-4V/Al2O3 SUSs3O4/Si3N4
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3Al/ZrO2Ti-Al-4V/Al2O3SUSs3O4/Si3N4
Hình 4.7: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh tựa đơn theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.1
Hình 4.8: Tần số dao động mode 1 và mode 2 của tấm vuông FGM 4 cạnh tựa đơn theo sự phân phối vật liệu với h/a = 0.2
Hình 4.5 – 4.8 cho thấy tần số không thứ nguyên của tấm vuông FGM phụ thuộc vào phân phối vật liệu của bốn loại hỗn hợp (h/a = 0.1 và 0.2) Trong cả hai trường hợp liên kết ngàm và tựa đơn, tần số dao động của tấm giảm khi n tăng Điều này xảy ra do hàm lượng ceramic giảm, dẫn đến độ cứng tương đương của tấm cũng giảm Tuy nhiên, đối với tấm Al/ZrO2, sự thay đổi này không đáng kể do chênh lệch module đàn hồi giữa hai loại vật liệu không lớn.
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3 Al/ZrO2 Ti-Al-4V/Al2O3 SUSs3O4/Si3N4
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3 Al/ZrO2 Ti-Al-4V/Al2O3 SUSs3O4/Si3N4
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3 Al/ZrO2 Ti-Al-4V/Al2O3 SUSs3O4/Si3N4
Fre q u en cy p ar ame ter
Al/Al2O3Al/ZrO2Ti-Al-4V/Al2O3SUSs3O4/Si3N4
Hình 4.9: Tần số dao động mode 1 của tấm vuông FGM 4 cạnh ngàm theo tỉ số nhịp a/h của các loại vật liệu khác nhau
Fre q u en cy p ar ame ter a/h
Fre q u en cy p ar ame ter a/h
Fre q u en cy p ar ame ter a/h
Fre q u en cy p ara m ete r a/h
Hình 4.10: Tần số dao động mode 1 của tấm vuông FGM 4 cạnh tựa đơn theo tỉ số nhịp a/h của các loại vật liệu khác nhau
Hình 4.9 và 4.10 minh họa sự phụ thuộc của tần số không thứ nguyên của tấm vuông FGM theo tỉ số nhịp/chiều cao tiết diện Tần số dao động của tấm tăng lên khi tấm trở nên mỏng, áp dụng cho cả hai trường hợp liên kết ngàm và tựa đơn Công thức tần số không thứ nguyên cho tấm liên kết ngàm là i i b 2 /h c /E c, trong khi cho tấm liên kết tựa đơn là i i h c /E c.
Fre q u en cy p ar ame ter a/h
Fre q u en cy p ar ame ter a/h
Fre q u en cy p ara m ete r a/h
Fre q u en cy p ar ame ter a/h
Kết luận
Luận văn nghiên cứu một thuật toán mới trong phương pháp không lưới để giải các bài toán cơ học, cụ thể là thuật toán nội suy hướng tâm 1 chiều với hàm cơ bản Multiquadric Bên cạnh đó, luận văn khảo sát tần số dao động riêng của tấm FGM, một loại vật liệu mới tại Việt Nam Kết quả nghiên cứu đã được so sánh với các nghiên cứu trước và cho thấy tính chính xác, phù hợp, đồng thời có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến các loại vật liệu và lý thuyết tấm khác nhau Chi tiết các kết quả này được trình bày trong chương 4 với các bài toán cụ thể.
Bài toán phân tích dao động dọc trục của thanh đồng chất: Bài toán được so sánh với nghiệm chính xác từ lời giải giải tích
Bài toán phân tích dao động của tấm dày đồng chất: Ảnh hưởng của kích thước tấm và điều kiện biên đến tần số dao động của tấm
Phân tích dao động của tấm dày FGM cho thấy kích thước tấm và điều kiện biên có ảnh hưởng đáng kể đến tần số dao động Ngoài ra, loại vật liệu cấu tạo tấm và sự phân bố của vật liệu cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tần số dao động của tấm.
Thông qua những kết quả đã đạt được, một số ưu điểm của thuật toán áp được nhận thấy bao gồm:
Thuật toán nội suy 1 chiều 1D-IRBFN, sử dụng hàm Multiquadric, cho phép xấp xỉ các đạo hàm cấp 2 của chuyển vị theo biến tọa độ, mang lại kết quả tốt và hội tụ nhanh cho các bài toán 1 chiều và 2 chiều Phương pháp này cho độ chính xác cao hơn so với việc sử dụng hàm cơ bản trong xấp xỉ các hàm chuyển vị (DRBFN), và nhờ vào việc áp dụng phép tích phân trong xấp xỉ, nó giúp tránh hiện tượng suy biến khi tính toán đạo hàm so với thuật toán DRBFN.
Việc xấp xỉ giá trị đạo hàm của một hàm tại điểm bất kỳ chỉ cần dựa vào các nút trên hai đường lưới vuông góc tại điểm đó, giúp giảm số ẩn của phương trình so với các phương pháp xấp xỉ lưới toàn miền Điều này dẫn đến việc rút ngắn thời gian giải bài toán hiệu quả hơn.
Kết quả phân tích các bài toán tấm dày đồng chất cho thấy sự trùng khớp với các lời giải giải tích, trong khi đối với tấm FGM, sai số lớn hơn Nguyên nhân có thể do lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất chưa phù hợp; nếu áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hơn, kết quả sẽ được cải thiện đáng kể.
Tần số dao động của tấm FGM chịu ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố, và những yếu tố này đã được khảo sát trong luận văn nhằm tạo nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo về loại vật liệu này, mở ra khả năng ứng dụng trong tương lai.
Thuật toán gặp một số hạn chế, bao gồm việc nghịch đảo ma trận không vuông gây ra sai số trong tính toán Hiện tại, thuật toán chỉ áp dụng cho lưới đều, và việc lựa chọn thông số hàm dạng a (bề rộng hàm dạng) thiếu cơ sở toán học vững chắc cho từng loại bài toán, thường được thực hiện thông qua tối ưu hóa hoặc dựa vào kinh nghiệm.
