Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết đạo hàm riêng ngành môn giải tích toán học nghiên cứu ph-ơng trình đạo hàm riêng nghiệm chúng Nó có mối liên hệ với ngành toán học khác nh- giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giải tích số Ph-ơng trình đạo hàm riêng th-ờng xuất toán ứng dụng lý thuyết thuỷ động học, đàn dẻo, học l-ợng tử, học chất lỏng, điện - từ tr-ờng Đa số toán phức tạp, ph-ơng pháp giải Nhiều toán nghiệm theo nghĩa cổ điển Mặt khác nhiều tr-ờng hợp, tìm nghiệm toán ph-ơng trình đạo hàm riêng cách đơn giản hiệu Trong ph-ơng pháp giải gần ph-ơng trình đạo hàm riêng, ph-ơng pháp l-ới (hay gọi ph-ơng pháp sai phân) đ-ợc sử dụng phổ biến D-ới góc độ sinh viên chuyên nghành Toán khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp đồng thời đ-ợc h-ớng dẫn nhiệt tình thầy Khuất Văn Ninh em chọn đề tài: "Ph-ơng pháp l-ới giải toán hỗn hợp với ph-ơng trình dạng hyperbolic ph-ơng trình Poisson'' Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ph-ơng pháp l-ới giải số ph-ơng trình đạo hàm riêng Sử dụng ph-ơng pháp l-ới để tìm nghiệm toán hỗn hợp ph-ơng trình dạng hyperbolic ph-ơng trình Poisson Ph-ơng pháp nghiên cứu + Ph-ơng pháp nghiên cứu lý luận + Ph-ơng pháp tổng kết tài liệu Đối t-ợng nghiên cứu Ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền Phạm vi nghiên cứu Một số tính chất ph-ơng pháp l-ới, ứng dụng ph-ơng pháp l-ới giải toán hỗn hợp ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson Cấu trúc khoá luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm ch-ơng: Ch-ơng 1: Một số công thức khái niệm ban đầu Ch-ơng 2: Một số tính chất ph-ơng pháp l-ới Ch-ơng 3: Ph-ơng pháp l-ới giải toán hỗn hợp với ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền Ch-ơng Một số công thức khái niệm ban đầu 1.1 Ph-ơng pháp l-ới Ph-ơng pháp l-ới ph-ơng pháp số thông dụng để giải toán biên ph-ơng trình vi phân đạo hàm riêng ý t-ởng ph-ơng pháp l-ới đ-ợc thể nh- sau: miền biến thiên biến độc lập tạo l-ới nhờ đ-ờng thẳng song song với hai trục toạ độ Điểm giao đ-ờng thẳng gọi nút l-ới (điểm l-ới) Tại điểm l-ới thay đạo hàm ph-ơng trình kể điều kiện biên biểu thức sai phân Nghiệm hệ ph-ơng trình giá trị gần nghiệm toán ban đầu điểm l-ới Nghiên cứu ph-ơng pháp l-ới liên quan tới việc giải toán sau: 1) Lập luận khả giải đ-ợc hệ ph-ơng trình nhận đ-ợc xác định nghiệm gần ph-ơng pháp gần 2) Đánh giá sai số ph-ơng pháp mà sai số đ-ợc tích luỹ dần từ -ớc l-ợng sai số xấp xỉ ph-ơng trình vi phân với điều kiện biên Giả sử cần tìm nghiệm ph-ơng trình vi phân Lhu ( h) miền D với chu tuyến fh (1.1) Để giải ph-ơng trình (1) ph-ơng pháp l-ới miền D = D + ta chọn tập điểm Dh M h (số điểm M h đ-ợc đặc tr-ng giá trị h : giá trị h nhỏ nhiều số điểm tập Dh ) Tập Dh đ-ợc gọi l-ới, điểm M h nút l-ới Hàm số đ-ợc xác định nút l-ới đ-ợc gọi hàm số l-ới Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Giả sử có u h - nghiệm xác ph-ơng trình (1.1) nút l-ới Dh Theo quy tắc, việc xác định u hàm số l-ới u ( h ) u Trần Thị Thu Hiền h h Do ta phải tìm giải toán gần nghiệm ph-ơng trình (1.2) Lhu ( h) f h, (1.2) xấp xỉ với nghiệm ph-ơng trình (1.1) Ph-ơng trình (1.2) đ-ợc gọi công thức sai phân Ta ký hiệu không gian tuyến tính định chuẩn đ-ợc hình thành hàm số u ( h ) U h , không gian tuyến tính đ-ợc hình thành f ( h ) Fh Khi ta coi nh- không gian U h Fh không gian định chuẩn U , h Nếu nh- : Fh u h u (h) h Uh (1.3) nói công thức sai phân hội tụ Nếu nh- với giá trị h < h0 có bất đẳng thức: u u (h) h Ch k Uh (C = const) (1.4) nói hội tụ bậc k theo h Tóm lại, giải toán (1.1) ph-ơng pháp l-ới ta cần làm b-ớc sau: 1) Chọn l-ới 2) Thiết lập công thức sai phân 3) Khảo sát tính hội tụ công thức sai phân + Xác lập toán gần (1.1) công thức sai phân (1.2) + Kiểm tra tính ổn định công thức sai phân Cho công thức sai phân (1.2) gần với (1.1) nh-: Lh u f (h) h Fh f ( h) f ( h) , h Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Giá trị Trần Thị Thu Hiền f ( h ) đ-ợc gọi sai số gần Nếu f ( h) Mhl nói công thức sai phân (1.2) gần với ph-ơng trình (1) nghiệm u h với bậc l t-ơng ứng với h Công thức sai phân (1.2) đ-ợc gọi ổn định nh- tồn giá trị h0 cho với giá trị h h0 f ( h ) Fh thoả mãn: 1) Công thức sai phân (1.2) có nghiệm 2) u ( h ) Uh K f (h) Fh , K - số không phụ thuộc vào h f ( h ) Nếu công thức sai phân (1.2) xấp xỉ toán (1.1) với bậc l theo h thoả mãn (1.4) k l 1.2 Công thức sai phân Giả sử cho tr-ớc toán tử vi phân L tác động lên hàm số u Thay đạo hàm t-ơng ứng Lu tỉ sai phân, ta thu đ-ợc biểu thức sai phân Lhu ( h ) tổ hợp tuyến tính hàm số l-ới u ( h ) tập hợp nút l-ới : Lhu ( h ) ( x) Ah ( x, )u ( h) ( ), (1.5) III ( x ) Lhu ( h ) ( xi ) Ah ( xi , x j )u ( h ) ( x j ) (1.6) x j III ( x j ) xi nút l-ới Ví dụ 1.1: Giả sử cần xây dựng công thức sai phân để xác định đạo hàm u ( x, t ) thoả mãn ph-ơng trình (1.7) d-ới u ( x, t ) t a u ( x, t ) x x , t >0 f ( x, t ) (1.7) t = thoả mãn điều kiện ban đầu u ( x,0) ( x), x Đạo hàm u t thay tỉ sai phân sau: Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội (1.8) Khóa luận tốt nghiệp u ( x, t ) t u ( x, t ) t u ( x, t ) t Trần Thị Thu Hiền u ( h ) ( x, t ) u ( h ) ( x, t ) u ( h ) ( x , t ) u ( h ) ( x, t u ( h ) ( x, t (1.9) ) ) u ( h ) ( x, t , ) (1.10) , (1.11) Đạo hàm u / x thay tỉ sai phân sau: u ( x, t ) x u ( h ) ( x h, t ) u ( h ) ( x, t ) , h (1.12) u ( x, t ) x u ( h ) ( x, t ) u ( h ) ( x h, t ) , h (1.13) u ( h ) ( x h, t ) u ( h ) ( x h, t ) 2h (1.14) u ( x, t ) x D-ới dạng l-ới ta lấy tất điểm ( xm , tn ), xm mh, tn n u ( h ) ( xm , tn ) đ-ợc kí hiệu umn Thay (1.9) - (1.11) cho u t (1.12) - (1.14) cho u / x ta thu đ-ợc l-ợc đồ sai phân khác cho ph-ơng trình (1.7), (1.8) umn umn um0 a ( xm , tn ), h (1.15) a umn umn h ( xm , tn ), (1.16) ( xm ), m 0, 1, 2, , n 0,1,2, ; umn umn um0 umn ( xm ), m 0, 1, 2, , n 0,1,2, ; umn umn um0 umn a umn umn 2h 1 ( xm , tn ), (1.17) ( xm ), m 0, 1, 2, , n 0,1,2, ; umn umn a umn h umn ( xm , tn ), Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội (1.18) Khóa luận tốt nghiệp um0 Trần Thị Thu Hiền ( xm ), m 0, 1, 2, , n 0,1,2, ; Tập nút l-ới áp dụng vào xấp xỉ ph-ơng trình (1.7) biểu diễn d-ới dạng sau: * ( xm , tn ) * ( xm , tn ) M M * -* * * ( xm , tn ) ( xm 1, tn ) ( xm 1, tn ) *( xm , tn ) ( xm , tn ) ( xm , tn ) ( xm 1, tn ) * -* M * -* * ( xm 1, tn ) ( xm , tn ) M * ( xm , tn ) ( xm 1, tn ) Sử dụng (1.9) - (1.14) thu đ-ợc l-ợc đồ sai phân khác cho ph-ơng trình (1.7) (1.8) Ta viết ph-ơng trình (1.7) d-ới dạng: u t (1 ) u t a u x a(1 ) u x ( x, t ), sau thay đạo hàm theo (1.9) - (1.14) Cũng thay đạo hàm dạng khác mà không thiết (1.9) - (1.14) Khi xây dựng công thức sai phân, th-ờng sử dụng ph-ơng pháp khác ph-ơng pháp hệ số bất định Theo ph-ơng pháp này, lân cận nút l-ới ta chọn tất điểm, giá trị hàm số l-ới đ-ợc gán cho giá trị gần với nút ph-ơng trình vi phân, biên điều kiện ban đầu Sau lập ph-ơng trình dạng (1.6), hệ số Ah ( xi , y j ) đ-ợc chọn cho thoả mãn điều kiện: Rh (u( xi )) Lh u ( xi ) L u ( xi ) h Trong trình sử dụng khai triển nghiệm xác ph-ơng trình (1.1) nút x j theo công thức Taylor lân cận điểm xi Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền Cần l-u ý việc chọn hệ số Ah ( xi , y j ) xuất ẩn số có bậc t-ơng ứng với h đại l-ợng Rh (u( xi )) Từ l-ợc đồ sai phân lựa chọn biểu thức có bậc hội tụ lớn tiện cho tính toán Ví dụ 1.2 Trên l-ới ( xi , t j ), xi j xây dựng l-ợc đồ sai ih, t j phân ph-ơng trình vi phân u t Lu ( x, t ) sử dụng tập nút l-ới III ( xi , t j ) a u x ( x, t ) , ( xi , t j ),( xi 1, t j ),( xi 1, t j ),( xi , t j 1) Lời giải: Giả sử Lhu ( h) ( xi , t j ) A( xi , t j )uij B( xi , t j )uij C ( xi , t j )uij D( xi , t j )uij Ta tìm đ-ợc: Rh (u ( xi , t j )) u ( xi , t j ) a t u ( xi , t j ) x A( xi , t j )u( xi 1, t j ) B( xi , t j )u( xi , t j ) + C ( xi , t j )u( xi 1, t j ) D( xi , t j )u( xi , t j )] Sau sử dụng biểu thức khai triển h u ( xi , t j ) u ( xi , t j ) u ( xi , t j ) 1! x h2 2! u ( xi , t j ) x2 h u ( xi , t j ) u ( xi 1, t j ) u ( xi , t j ) 1! x h2 2! u ( xi , t j ) 2 t 2! u ( xi , t j ) u ( xi , t j ) 1! u ( xi , t j ) x2 u ( xi , t j ) t2 h3 3! h3 3! u ( xi , t j ) x3 u ( xi , t j ) x3 Thay vào u( xi 1, t j ), u ( xi 1, t j ) , u ( xi , t j ) Rh (u( xi , t j )) ta thu đ-ợc Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Rh (u ( xi , t j )) Trần Thị Thu Hiền (A B C h2 ( A C) 2! D)u ( xi , t j ) ( a u ( xi , t j ) Ah Ch) x u ( xi , t j ) x2 u ( xi , t j ) u ( xi , t j ) h3 ( A C) (1 D ) D 3! x3 t 2 u ( xi , t j ) t2 Các hệ số A, B, C, D ta chọn cho thoả mãn điều kiện A B C D 0, Ah Ch a A C 0, D Từ ta tính đ-ợc A a / (2h), B 1/ , C a / (2h) , D 1/ Với hệ số ta có: ah2 Rh (u ( xi , t j )) u ( xi , t j ) x u ( xi , t j ) t 0(h ) 0( ) (1.19) a j ui 2h Lhu ( h ) ( xi , t j ) uij a j ui 2h uij ( xi , t j ) Ví dụ 1.3: Xây dựng phép tính sai phân gần ph-ơng trình u (0, t ) x Lu (t ) Tại điểm ( x0 , t j ) sử dụng tập nút l-ới III ( x0 , t j ) Trong xi ( x0 , t j ),( x1, t j ),( x2 , t j ) j ih, t j Lời giải: Giả sử rằng: A( x0 , t j )u0j Lhu( x0 , t j ) B( x0 , t j )u1j C ( x0 , t j )u2j tìm đ-ợc Rh (u ( x0 , t j )) u (0, t j ) x [ A( x0 , t j )u( x0 , t j ) B( x0 , t j )u( x1, t j ) C ( x0 , t j )u ( x2 , t j )] Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 10 Ta mở rộng khai triển u ( x1 , t j ) u ( x2 , t j ) thành chuỗi Taylor : u ( x2 , t j ) u ( x0 , t j ) 2h u ( x0 , t j ) 1! x h2 2! h u ( x0 , t j ) u ( x1 , t j ) u ( x0 , t j ) 1! x x2 (2h) 2! h3 3! u ( x0 , t j ) u ( x0 , t j ) x u ( x0 , t j ) x3 (2h)3 3! u ( x0 , t j ) x3 Thay vào u( x1, t j ), u( x2 , t j ) Rh (u( x0 , t j )) Rh (u ( x0 , t j )) ( A B C )u ( x0 , t j ) (1 Bh 2Ch) h2 ( B 4C ) u ( x0 , t j ) x2 u ( x0 , t j ) x2 u ( x0 , t j ) h3 ( B 8C ) x3 Trong hệ số A, B, C, thoả mãn điều kiện: A B C 0, Bh Ch , B 4C Ta tìm đ-ợc A / (2h) , B / (2h) , C Lhu ( h ) (0, t j ) ( 3u0j 2h Rh (u (0, t j )) h2 4u1j / (2h) Từ ta thu đ-ợc: u2j ), u ( x0 , t j ) x o( h ) Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 23 u14 u23 u03 u12 0,4444 u24 u33 u13 u22 0,4 u34 u43 u23 u32 0,3636 Bài tập: Tìm nghiệm toán hỗn hợp ph-ơng trình hyperbolic l-ới ( xm , tn ) , xm 1) u( x, t ) t2 0,1n (m, n 0,1, ,10) : 0,1m , tn 2( 1) ,0 x 1,0 t 1, (x t 1)3 u ( x, t ) x2 , u (1, t ) t u (0, t ) u ( x,0) x , t u ( x,0) t 0,5 0,1k ( k 2) u ( x, t ) t2 u (0, t ) u ( x,0) u ( x, t ) t2 u ( x, t ) ,0 x2 (1 x) ,0 x 1, 0,1, ,10) t x x 1,0 t 1, , u (1, t ) , u ( x, t ) x2 u (0, t ) 0, u (1, t ) u ( x,0) ,0 t 1, 0,5 0,1k 3) x , x t u ( x,0) t ,0 t 1, )2 (x , x 1, (k 1,2, ,10) (x t) 2 x 1,0 t 1, , , t 1, (t 1) u ( x,0) t x ( x 2) , x 1, 0,2k ( k 1,2, ,10 ) Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 4) u ( x, t ) t2 Trần Thị Thu Hiền 24 u ( x, t ) , x 1, t 1, x2 u(0, t ) e t , u(1, t ) e u( x,0) e x , 0,5k ( k (1 t ) u ( x,0) t , t 1, e x , x 1, 5, 4, 3, 2, 1,1,2,3,4,5) 3.2 Ph-ơng pháp l-ới giải toán Dirichlet ph-ơng trình Poisson Giả sử ta phải tìm hàm u ( x, y ) , thoả mãn ph-ơng trình sau miền D: 2 u ( x, y) x2 biên giới hạn u ( x, y ) u ( x, y) y2 (3.9) ( x, y), miền D thoả mãn điều kiện: (3.10) ( x, y ) ( x, y ) - hàm cho tr-ớc Sau chọn b-ớc h l theo x y , xây dựng tập hợp điểm ( xm , yn ) với toạ độ xm x0 toạ độ điểm thuộc D ( m, n 0, 1, 2, ) Chúng ta đ-a vào l-ới tập hợp điểm ( xm , yn ) thuộc D mh, yn Khi xấp xỉ ph-ơng trình (3.9) ta sử dụng tập l-ới Các điểm l-ới ( xm , yn ) thuộc D thuộc tập điểm l-ới D nl , x0 , y0 - y0 mà bốn điểm kề gọi điểm nút Những điểm l-ới dù có điểm l-ới kề không thuộc tập điểm l-ới D gọi điểm nút biên Sau thay đạo hàm vào ph-ơng trình (3.9) hệ thức sai phân điểm nút trong, ta có ph-ơng trình sai phân: um 1n 2umn h2 um 1n umn 2umn l2 umn ( xm , yn ), Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội (3.11) Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 25 xấp xỉ ph-ơng trình (3.9) với sai số: M4 (l 12 h ), M ma x D u 4u , x4 y Ph-ơng trình (3.11) với giá trị umn điểm nút biên tạo thành hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính Sau giải hệ ph-ơng trình ta tìm đ-ợc giá tri umn Chúng ta xét tr-ờng hợp miền D hình chữ nhật, nghĩa x a, y b Khi điều kiện giới hạn (3.10) viết d-ới dạng: u( x,0) ( x), u( x, b) u(0, y) ( y), u(a, y) ( x), x a, (3.12) ( y), (3.13) 1 y b, Sau lấy h a / M , l b / N , M , N - số nguyên d-ơng, ta có đ-ợc hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính: um 1n umn 2(1 )umn umn um 1n h2 ( xm , yn ), (3.14) m 1, , M 1, n 1, , N 1, um0 u0n ( xm ), ( ym ), umN ( xm ), uMn ( yn ), m 0,1, , M , n 0,1, , N , (3.15) (3.16) h2 / l Nếu miền D có giới hạn (biên) đ-ờng cong giá trị umn điểm nút biên tìm đ-ợc ph-ơng pháp chuyển giá trị u ( x, y ) từ điểm biên Sai số xấp xỉ điều kiện (3.10) điểm nút ( xm , yn ) giá trị O ( ), tới điểm - khoảng cách từ điểm nút , mà từ điểm ta chuyển giá trị hàm số Sai số xấp xỉ điều kiện biên giảm nh- để xác định umn điểm nút biên ta sử dụng giá trị u ( x, y ) điểm giới hạn điểm nút bên gần Thuận lợi để dựng phép xấp xỉ sử dụng hệ số bất định Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 26 miền D đ-ờng tròn x2 Ví dụ 3.2 Giả sử giới hạn mạng l-ới tập hợp điểm ( xm , yn ) có toạ độ xm mh, yn dựngphép xấp xỉ điều kiện biên (giới hạn) u ( x, y ) y , nl Hãy ( x, y ) nút điểm h2 / l ( x1, yk ) , k Lời giải: Ta kí hiệu ( x1, yk ) điểm A , ( x1, x12 ) điểm B , ( x1, yk ) điểm C Sử dụng phép khai triển: u( A) u( B) u( A) 1! y h2 u ( B%) y2 2! kl , l u ( A) u (C ) u ( A) 1! y l 2u (C%) 2! y tìm đ-ợc: Vì u( A) lu ( B) l u (C ) l u ( A) lu ( B) l u (C ) O(l ) u( A%) y2 l , đó: Vì ph-ơng trình: u1k l ( x1, x1 ) l u1k làm xấp xỉ với điều kiện biên điểm ( x1, yk ) với sai số O(l ) Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm ph-ơng trình: u( x, y) x2 u ( x, y ) y2 0, x 0,8 , y 0,8 cho thoả mãn điều kiện biên ( điều kiện giới hạn): u( x,0) x , u( x;0,8) x2 0,64 , x 0,8 Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 27 y , u(0,8, y) 0,64 y , u(0, y) mạng l-ới ( xm , yn ) , xm y 0,8 0,2n , (m, n 0,1,2,3,4) 0,2m , yn Lời giải: Theo ph-ơng trình (3.14)- (3.16), toán biên đặt đ-ợc tính xấp xỉ hệ ph-ơng trình đại số: um,n um 1,n 4umn um 1,n um , n , m, n 1,2,3 , um0 xm2 , um4 xm2 0,64 , m 0,1,2,3,4 , u0n yn2 , u4n 0,64 yn2 , n 0,1,2,3,4, Hệ viết lại d-ới dạng: xm2 um 11 4um1 um um 11 um 12 um1 4um um3 um 12 0,64 xm2 , m 1,2,3, um 13 um2 4um3 um 13 y12 , u02 u01 y22 , u03 u41 0,64 y12 , u42 y32 , 0,64 y22 , u43 0,64 y32 , Fm xm2 , 0,64 xm2 Ta ký hiệu: Um um1 um , um y12 y22 y32 A 0,04 0,16 , 0,36 0,64 0,64 0,64 y12 y22 y32 0,60 0,48 0,28 Sử dụng ký hiệu có hệ ph-ơng trình có dạng: U0 AU1 U F1 , U1 AU U F2 , U2 AU U F3 , U0 ,U Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 28 Để giải hệ ph-ơng trình ta áp dụng ph-ơng pháp loại trừ có tính đến dạng riêng biệt hệ Sau nhân ph-ơng trình thứ hai từ bên trái với A , cộng biểu thức thu đ-ợc với ph-ơng trình thứ ph-ơng trình thứ ba, đ-ợc: A2 )U U U0 (2E F1 AF2 F3 Từ ta có: ( A2 2E)U T ,T A2 2E 15 8 16 , 15 F1 T AF2 F3 1,6 0,64 2,88 Nh- để xác định đại l-ợng u2n (n 1,2,3) ta giải hệ ph-ơng trình: 15u21 8u22 u23 1,6 8u21 16u22 8u23 u21 8u22 15u23 0,64 2,88 Sau nhân ph-ơng trình thứ hai với 2, cộng biểu thức thu đ-ợc với ph-ơng trình thứ thứ ba, tìm đ-ợc u22 Từ hệ: 15u21 u23 1,6 u21 u23 Ta có u21 0,12 , u23 0,08 0,20 Nghĩa là: U2 0,12 0,20 Chúng ta tìm U1 U Để làm đ-ợc việc ta sử dụng đẳng thức: AU1 T1 , T1 F1 U U , AU3 T3 , T3 F3 U2 U4 , Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 0,12 0,16 , 1,16 T1 Trần Thị Thu Hiền 29 1,08 0,48 0,20 T3 Để tính U1 ta giải hệ ph-ơng trình: 4u11 u12 u11 4u12 u12 0,12 u13 0,16 4u13 1,16 Sau nhân ph-ơng trình thứ hai với cộng đẳng thức thu đ-ợc với ph-ơng trình thứ thứ ba, tìm đ-ợc u11 0, u12 Từ ph-ơng trình thứ ph-ơng trình thứ ba ta tìm đ-ợc u13 T-ơng tự, từ hệ AU3 T3 ta có u31 0,32 , u32 0,12 0,32 0,20 , u33 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm toán biên sau: 2 u ( x, y) x2 u ( x, y) y2 , x 0,8 , y 0,8 cho thoả mãn điều kiện biên: u( x,0) x2 , u( x;0,8) x2 0,64 , x 0,8 u(0, y) y2 , u(0,8; y) y 0,64 , Tại mạng l-ới ( xm , yn ) , xm 0,2m , yn y 0,8 0,2n , (m, n 0,1,2,3,4) Lời giải: Theo ph-ơng trình (3.14) - (3.16), toán biên đặt đ-ợc tính xấp xỉ hệ ph-ơng trình đại số: umn um 1n 4umn um 1n umn (*) , m, n 1,2,3 um0 xm2 , um4 xm2 0,64 , m 0,1,2,3,4 u0n yn2 , 0,64 yn2 , n 0,1,2,3,4 u4n Thay lần l-ợt giá trị n 1,2,3 vào (*) ta đ-ợc hệ ph-ơng trình viết d-ới dạng: Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 30 um 11 4um1 um 11 xm2 um um 12 um1 4um um3 um 12 3,36 xm2 , m 1,2,3, um 13 um2 4um3 um 13 u41 0,64 y12 , u42 0,64 y22 , u43 0,64 y32 Ta ký hiệu um1 um , um Um y12 y22 y32 A 0,04 0,16 , 0,36 0,64 0,64 0,64 xm2 , 3,36 xm2 , Fm y12 y22 y32 0,68 0,8 Sử dụng kí hiệu cho ta có: U0 AU1 U F1 (1) U1 AU U F2 (2) U2 AU U F3 (3) U0 ,U , Nhân ph-ơng trình (2) từ bên trái với AU1 A2U AU A ta đ-ợc: AF2 (4) Cộng vế với vế biểu thức (1), (3) (4) ta đ-ợc: ( A2 2E)U Đặt T Trong đó: F1 AF2 F1 F3 0,04 , 3,32 F1 F3 AF2 AF2 F2 0,16 , 3,2 F3 4,64 12,96 8,8 Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 0,36 , Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 31 5,76 20 , 13,76 Do ta tính đ-ợc T (A 2E) 15 8 16 , 15 Mặt khác ( A2 2E)U T ta có hệ ph-ơng trình sau: 15u21 8u22 u23 5,76 8u21 16u22 8u23 20 u21 8u22 15u23 13,76 Giải hệ ph-ơng trình ta thu đ-ợc u21 1,05 , u22 , u23 2,45 hay 1,05 2,45 U2 T-ơng tự ta có AU1 F1 U U nên ta có hệ ph-ơng trình sau: 4u11 u12 0,97 u11 4u12 u13 6,84 u12 4u13 5,41 Giải hệ ph-ơng trình ta tìm đ-ợc u11 0,82 , u12 hay U1 Từ biểu thức U1 AU U3 U3 0,82 2,3 1,56 F2 ta tìm đ-ợc 6,54 21,8 8,04 Bài tập: 1) Tìm nghiệm toán biên sau: Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2,3 , u13 1,56 Khóa luận tốt nghiệp u x 0, y ; 2) u ( x, y ) x2 u ( x,0) Trần Thị Thu Hiền 32 u ( x, y ) y2 2(1 a) x , u (0, y ) y ,0 x, y ) x2 (1 - phần hình tròn x2 , y với 0,3k , k 1,2,3, ,10 Hãy tìm nghiệm toán Dirichlet điểm (0,2m;0,2n) G : u( x, y) x2 a) b) u ( x, y) x2 c) u ( x, y) x2 u ( x, y ) y2 0, x2 y 1, u ( M ) u ( x, y) y2 , x2 y 1, , x2 y , u(M ) M 2( x 1) , u(M ) M y, u ( x, y) y2 M xy 3.3 Ph-ơng pháp trực tiếp giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính dạng đặc biệt Khi tính xấp xỉ toán cho ph-ơng trình vi phân dạng eliptic th-ờng phải giải hệ ph-ơng trình đại số, hệ th-ờng đ-ợc viết d-ới dạng: AmVm BmVm CmVm BV CV 1 F1 , m 2,3, , M 1, Fm , AMVM BMVM FM , (3.17) (3.18) Trong đó: Am , Cm - ma trận đ-ờng chéo; Bm - ma trận ba đ-ờng chéo bậc N ; Fm ,Vm - véctơ N chiều Để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) ng-ời ta sử dụng ph-ơng pháp lặp ph-ơng pháp trực tiếp Sơ đồ tính toán ph-ơng pháp lặp để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) giống với sơ đồ mô tả ch-ơng Các ph-ơng pháp trực tiếp cho phép cải biên hệ cần giải có tính đến dạng riêng hệ ph-ơng trình Trong phần dừng lại phần mô tả sơ đồ tính toán vài ph-ơng pháp trực tiếp Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 33 Ph-ơng pháp khử lặp ma trận Khi giải toán (3.17), (3.18) ph-ơng pháp ng-ời ta tìm hệ số quét X m , Zm : X1 B1 1C1 , Xm B1 1F1 , Z1 Am X m ) 1C1 , ( Bm Zm (3.19) Am X m ) ( Am Zm Fm ) , ( Bm m 2,3, , M Giá trị tìm đ-ợc cho phép tính VM : VM ( BM AM X M ) ( AM Z M FM ) , (3.20) Sau ta tính tiếp VM 1,VM , ,V1 : Vm Trong det( Bm công X mVm Zm thức (3.19), (3.20) giả sử det B1 , Am X m ) ( m 2,3, , M ) Các điều kiện đ-ợc thực bất đẳng thức sau đúng: det Bm , Bm1 Am Bm1Cm 1, m 1, , M Ngoài ra, cho dù với m bất đẳng thức thứ hai bất đẳng thức thực (ở giả thiết A1 CM ) Ph-ơng pháp khử lặp ma trận đòi hỏi phải thực khoảng CMN phép toán số học ( C - số phụ thuộc vào ph-ơng pháp tìm ma trận nghịch đảo) khoảng MN ổ nhớ để ghi ma trận X m véctơ Z m Về số ph-ơng pháp khử lặp ma trận thua xa so với ph-ơng pháp lặp khác Đối với toán dạng: Vm BVm Vm V0 F0 , Fm , m 1, , M 1, (3.21) FM , (3.22) VM Ng-ời ta xây dựng ph-ơng pháp trực tiếp nhanh nhất, ph-ơng pháp có sử dụng ý t-ởng ph-ơng pháp khử đại l-ợng ch-a biết biểu diễn số đại l-ợng trung gian thông qua đẳng thức Cheb-sev bậc bậc hai Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 34 Ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt Khi sử dụng ph-ơng pháp để giải toán (3.21), (3.22) giai đoạn quét trực tiếp tìm đ-ợc ghi nhớ véctơ Y0 ,Y1, ,YM , theo công thức sau: Y0 F0 , Ym m 1, , M Pm (Ym Fm ), Trong giai đoạn quét ng-ợc cho tr-ớc VM (3.23) FM theo hệ thức truy hồi ta có: Vm (3.24) PmVm Ym Tiếp theo xác định VM 1,VM , ,V1 Trong công thức (3.23), (3.24) ta sử dụng ma trận Pm cho phép biểu diễn: Pm U m1 ( B / 2)U m ( B / 2), Trong đó: U m ( x) - đa thức Cheb-sev loại hai bậc m Phép biểu diễn cho phép dựng thuật toán tiết kiệm phép tính tích (phép nhân) ma trận pm với véctơ W Phép tính véctơ S PmW tiến hành theo sơ đồ sau: a) Tìm W1 - giải hệ ph-ơng trình: ( B E cos l )Wl m W, l 1, , m, (3.25) b) Xác định véctơ S theo công thức: m S alWl , l al m sin l m Nếu B - ma trận ba đ-ờng chéo, để giải hệ (3.25) sử dụng ph-ơng pháp quét sai phân Vì để giải toán (3.21), (3.22) theo ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt đòi hỏi phải thực C1M N phép toán số học Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 35 Ph-ơng pháp giảm toàn phần Ph-ơng pháp đ-ợc áp dụng để giải hệ ph-ơng trình (3.21), (3.22) tr-ờng hợp M , số nguyên d-ơng Sơ đồ tính toán ph-ơng pháp nh- sau: a) Chúng ta cho tr-ớc p (0) j b) Do k B( k 1) S (j k ) q(jk ) p (jk 1) p (jk ) q (jk 1) p (jk 1, p(jk )2k p(jk )2k , S (j k ) , 1) q (jk )2k q (jk )2k 2k 1l , l 1,3, ,2 c) Chúng ta cho tr-ớc V0 k Fj , ( j 1, , M 1); theo công thức: 0,1, , Chúng ta tính p(jk 1) , q(jk 1) ( j 0, q(0) j k 1); F , sau F0 ,VM 2, ,0, ta sử dụng hệ thức: B ( k )t j V j tìm véctơ V j ( j 2k Vj 2k q(jk ) , 2k l , l 1,3, ,2 Vj k Ma trận B( k ) cho phép biểu diễn B( k ) tj p(jk ) , 1) 2T2k ( B / 2), T1 ( x) - đa thức Cheb-sev loại bậc l Do nghiệm Q hệ B( k )Q W đẳng thức Q Q2k xác đáng, véctơ Q2k tìm đ-ợc nhờ nghiệm dãy hệ ph-ơng trình: B E cos 2l 2k Ql Ql , l 1, ,2 k Để giải hệ sử dụng ph-ơng pháp quét sai phân Vì thực ph-ơng pháp giảm toàn phần yêu cầu thực khoảng C2 MN log2 M phép toán số học Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 36 Trần Thị Thu Hiền Kết luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em b-ớc đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học hiệu Qua đó, em có nét hình dung toán học đại chuyên ngành ph-ơng trình đạo hàm riêng, đồng thời thấy đ-ợc phong phú lý thú toán học Đặc biệt khoá luận em nghiên cứu tìm nghiệm gần toán hỗn hợp với ph-ơng trình dạng hyperbolic toán Dirichlet ph-ơng trình Poisson ph-ơng pháp l-ới, xem nh- tài liệu tham khảo tốt cho ng-ời quan tâm vấn đề tìm nghiệm ph-ơng trình hyperbolic, ph-ơng trình Poisson nói riêng ph-ơng trình đạo hàm riêng nói chung Đó thành công đề tài Nh- nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ giải tích, thầy cô khoa Toán Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội, Tháng năm 2011 Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 37 Trần Thị Thu Hiền Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2005) Giải tích số Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiên, Nguyễn Xuân Sơn (2001) Giải tích số Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Minh Ch-ơng (chủ biên), - Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn T-ờng (2000) Giải tích số Nhà xuất giáo dục [4] Nguyễn Minh Ch-ơng (chủ biên), Nguyễn Minh Trí, Hà Tiến Ngoạn, Lê Quang Trung (2000) Ph-ơng trình đạo hàm riêng Nhà xuất giáo dục [5] Nguyễn Minh Ch-ơng, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992) Giải xấp xỉ ph-ơng trình toán tử NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội [...]... định và do l-ợc đồ sai phân xấp xỉ với bài toán Côsi (1.7), (1.8) nên nghiệm của nó hội tụ với nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 19 Ch-ơng 3 Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các ph-ơng Trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình poisson 3.1 Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán hỗn hợp với các ph-ơng trình dạng hyperbolic Giả sử rằng ta phải... chiều Để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) ng-ời ta sử dụng ph-ơng pháp lặp hoặc ph-ơng pháp trực tiếp Sơ đồ tính toán ph-ơng pháp lặp để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) giống với sơ đồ mô tả trong ch-ơng 2 Các ph-ơng pháp trực tiếp cho phép cải biên hệ cần giải có tính đến dạng riêng của hệ ph-ơng trình Trong phần này chúng ta sẽ dừng lại ở phần mô tả các sơ đồ tính toán của một vài ph-ơng pháp trực... Trong quá trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em đã b-ớc đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học hiệu quả Qua đó, em có nét hình dung đầu tiên về toán học hiện đại chuyên ngành ph-ơng trình đạo hàm riêng, đồng thời thấy đ-ợc sự phong phú lý thú của toán học Đặc biệt trong khoá luận này em đã nghiên cứu tìm nghiệm gần đúng của bài toán hỗn hợp với các ph-ơng trình dạng hyperbolic và bài toán Dirichlet... và khoảng MN 2 ổ nhớ để ghi các ma trận X m và các véctơ Z m Về chỉ số thì ph-ơng pháp khử lặp ma trận thua kém xa so với các ph-ơng pháp lặp khác Đối với các bài toán dạng: Vm 1 BVm Vm 1 V0 F0 , Fm , m 1, , M 1, (3.21) FM , (3.22) VM Ng-ời ta đã xây dựng các ph-ơng pháp trực tiếp nhanh nhất, trong ph-ơng pháp này có sử dụng ý t-ởng của ph-ơng pháp khử các đại l-ợng ch-a biết và biểu diễn một số đại... Hiền 11 Ch-ơng 2 Một số tính chất cơ bản của ph-ơng pháp l-ới 2.1 Sai số của phép xấp xỉ bài toán vi phân bởi l-ợc đồ sai phân Đặc tính quan trọng của l-ợc đồ sai phân là tính gần đúng nghiệm của nó với nghiệm của bài toán vi phân tại các nút l-ới Để thoả mãn các đặc tính đó, cần đảm bảo rằng với các bài toán sai phân thu đ-ợc phải xấp xỉ bằng với bài toán vi phân Tính "gần đúng" đ-ợc đánh giá bởi đại... , x2 y 2 1, 4 , x2 y 2 1 , u(M ) M 2( x 2 1) , 2 u(M ) M 2 y, 2 u ( x, y) y2 M 2 xy 3.3 Ph-ơng pháp trực tiếp giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính dạng đặc biệt Khi tính xấp xỉ các bài toán cho các ph-ơng trình vi phân dạng eliptic thì th-ờng phải giải hệ ph-ơng trình đại số, hệ này th-ờng đ-ợc viết d-ới dạng: AmVm 1 BmVm CmVm 1 BV CV 1 1 1 2 F1 , m 2,3, , M 1, Fm , AMVM 1 BMVM FM , (3.17) (3.18)... 3.2 Ph-ơng pháp l-ới giải bài toán Dirichlet đối với các ph-ơng trình Poisson Giả sử ta phải tìm hàm u ( x, y ) , thoả mãn ph-ơng trình sau trong miền D: 2 2 u ( x, y) x2 còn trên biên giới hạn u ở đây ( x, y ) và u ( x, y) y2 (3.9) ( x, y), của miền D thoả mãn điều kiện: (3.10) ( x, y ) ( x, y ) - là hàm cho tr-ớc Sau khi chọn các b-ớc h và l theo x và y , chúng ta xây dựng một tập hợp các điểm (... hiệu đã có hệ ph-ơng trình này có dạng: U0 AU1 U 2 F1 , U1 AU 2 U 3 F2 , U2 AU 3 U 4 F3 , U0 0 ,U 4 1 Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 28 Để giải hệ ph-ơng trình ta áp dụng ph-ơng pháp loại trừ có tính đến dạng riêng biệt của hệ Sau khi nhân ph-ơng trình thứ hai từ bên trái với A , rồi cộng biểu thức thu đ-ợc với ph-ơng trình thứ nhất và ph-ơng trình thứ ba, chúng... phân Vì vậy để giải bài toán (3.21), (3.22) theo ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt đòi hỏi phải thực hiện C1M 2 N phép toán số học Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Trần Thị Thu Hiền 35 Ph-ơng pháp giảm toàn phần Ph-ơng pháp này đ-ợc áp dụng để giải hệ ph-ơng trình (3.21), (3.22) trong tr-ờng hợp M 2 , trong đó là một số nguyên d-ơng Sơ đồ tính toán của ph-ơng pháp này nh- sau: a) Chúng... 0,20 T3 Để tính U1 ta giải hệ ph-ơng trình: 4u11 u12 u11 4u12 u12 0,12 u13 0,16 4u13 1,16 Sau đó nhân ph-ơng trình thứ hai với 4 và cộng đẳng thức thu đ-ợc với ph-ơng trình thứ nhất và thứ ba, chúng ta sẽ tìm đ-ợc u11 0, u12 Từ ph-ơng trình thứ nhất và ph-ơng trình thứ ba ta tìm đ-ợc u13 T-ơng tự, từ hệ AU3 T3 ta có u31 0,32 , u32 0,12 0,32 0,20 , u33 0 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm của bài toán biên sau: 2 2 ... hợp với ph-ơng Trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình poisson 3.1 Ph-ơng pháp l-ới giải toán hỗn hợp với ph-ơng trình dạng hyperbolic Giả sử ta phải tìm u ( x, t ) - nghiệm ph-ơng trình hyperbolic:... niệm ban đầu Ch-ơng 2: Một số tính chất ph-ơng pháp l-ới Ch-ơng 3: Ph-ơng pháp l-ới giải toán hỗn hợp với ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Khóa luận... Hiền Phạm vi nghiên cứu Một số tính chất ph-ơng pháp l-ới, ứng dụng ph-ơng pháp l-ới giải toán hỗn hợp ph-ơng trình dạng hyperbolic, ph-ơng trình Poisson Cấu trúc khoá luận Ngoài mục lục, phần