Đánh giá độ tin cậy tần số dao động của tấm, vỏ mindlin bằng phần tử CS DSG3

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Sự phát triển của khoa học công nghệ đã mang lại những ưu điểm vượt trội cho kết cấu tấm và vỏ, như cường độ, độ bền, khả năng chịu nhiệt và va đập cao, dẫn đến việc ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như công nghiệp, dân dụng và quốc phòng Các kết cấu này dễ dàng được tìm thấy trong nhà máy sản xuất, thiết bị máy móc, ô tô, xe tải, và các công trình cao tầng Bên cạnh đó, vật liệu vỏ còn được sử dụng trong các công trình đòi hỏi tính thẩm mỹ và độ phức tạp cao, như mái vòm cung điện Kremlin ở Nga, điện Capitol của Hoa Kỳ, và nhà hát vỏ sò Opera Sydney ở Úc.

Với sự phát triển của các ứng dụng vật liệu tấm và vỏ, các phương pháp tính toán và thí nghiệm cũng đã được nghiên cứu và cải tiến Đối với các công trình nhỏ và đơn giản, việc thiết lập mô hình thí nghiệm tính toán khá dễ dàng Tuy nhiên, đối với những mô hình lớn và phức tạp, quy trình này yêu cầu nhiều thời gian và chi phí Để giải quyết vấn đề tính toán một cách hiệu quả, các phương pháp số đã được phát triển, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn nổi bật như một trong những phương pháp phổ biến nhất, thường được áp dụng cho các bài toán có độ phức tạp cao.

Trong quá trình thiết kế và sản xuất, các hằng số vật liệu, điều kiện biên và tải trọng có thể dao động do nhiều nguyên nhân khác nhau Sự thay đổi này ảnh hưởng đến ứng xử của kết cấu, như độ võng và tần số dao động riêng, và có thể vượt quá giới hạn cho phép, gây nguy hiểm cho công trình Vì vậy, việc áp dụng các phương pháp tính toán là cần thiết để đảm bảo độ tin cậy trong thiết kế và tính toán.

Hình 1.1: Một số ứng dụng của tấm, vỏ

Các bài toán phân tích độ tin cậy được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm sản xuất thiết bị máy móc và cơ khí chính xác, giúp các nhà thiết kế và chế tạo xây dựng quy chuẩn, hệ số an toàn và kiểm soát chất lượng để tạo ra sản phẩm tin cậy Trong ngành xây dựng, tấm và vỏ được sử dụng phổ biến nhờ đáp ứng yêu cầu về cường độ và độ bền trong các điều kiện khí hậu khác nhau Tuy nhiên, sản phẩm xây dựng thường được thực hiện ngoài hiện trường, không đảm bảo tiêu chuẩn kỹ thuật cao như trong phòng thí nghiệm, do đó, việc đánh giá độ tin cậy của tấm vỏ trong thiết kế trở thành vấn đề quan trọng hiện nay.

Bài toán phân tích độ tin cậy trong thiết kế không chỉ quan trọng trong các lĩnh vực kỹ thuật mà còn được ứng dụng rộng rãi trong quân sự, thiết kế vũ khí chịu cường độ cao, hàng không, y học và nhiều lĩnh vực khác.

Tình hình nghiên cứu

Nghiên cứu về kết cấu tấm và vỏ đã được thực hiện bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước Lee và Wong (1982) đã áp dụng hai phương pháp phần tử hữu hạn PLAT8 và PLAT8H trong lý thuyết tấm Mindlin chịu uốn, nhằm giải quyết hiện tượng khóa cắt ở cả tấm dày và tấm mỏng.

Dựa trên lý thuyết tấm Mindlin, Zienkiewicz và Lefebvre (1988) đã phát triển một phương pháp phần tử tam giác mới, sử dụng phép nội suy của lực cắt và chuyển vị để giải quyết hiện tượng khóa cắt Phương pháp này rất thích hợp cho các phần tử tấm Mindlin.

Dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn, Bathe (1996) đã viết quyển sách "Finite Element Procedures", tổng hợp lý thuyết cơ bản và mở rộng phân tích các bài toán liên quan đến kết cấu, chất rắn và chất lỏng.

Bhavikatti (2005) đã tổng hợp phương pháp phân tích phần tử hữu hạn trong cuốn sách "Finite Element Analysis" dựa trên kinh nghiệm giảng dạy cho sinh viên Tác giả áp dụng phương pháp này cho các bài toán liên quan đến tấm, vỏ và phân tích phi tuyến.

Reddy (2006) đã trình bày lý thuyết và phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm, vỏ đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và bậc ba Để phát triển các phương pháp số mới, giáo sư Liu và cộng sự đã kết hợp kỹ thuật biến dạng trơn vào phương pháp phần tử hữu hạn, tạo ra phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên phần tử (SFEM hay CS-FEM) cho các bài toán 2D và 3D Nguyễn Xuân Hùng cùng các tác giả T Rabczuk, S Bordas và J.F Debongnie (2008) đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn trơn tứ giác cho phân tích tĩnh các bài toán tấm.

Nguyễn Thành Nhân, T Rabczuk, Nguyễn Xuân Hùng và S Bordas (2008) đã thực hiện phân tích bài toán vỏ Mindlin, áp dụng phương pháp với các biến dạng màng và biến dạng uốn được làm trơn.

Tác giả Nguyễn Xuân Hùng và Nguyễn Thời Trung (2009) đã áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn kết hợp với phần tử MITC4 và STAB để phân tích bài toán động cho tấm Mindlin–Reissner.

Trong quá trình sản xuất tấm và vỏ, các yếu tố khác nhau có thể gây ra sự thay đổi ngẫu nhiên ở các thông số đầu vào, dẫn đến biến động tần số dao động của kết cấu Điều này tạo ra những thách thức không chỉ cho các nhà thiết kế mà còn cho các nhà sản xuất Vì vậy, việc dự đoán và kiểm soát sự thay đổi cũng như xác định độ tin cậy của kết cấu hiện nay trở thành một vấn đề quan trọng.

Liên quan đến mảng nghiên cứu này, chúng tôi đã khảo sát một số công trình nghiên cứu trong và ngoài nước như sau:

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Hasselman và Hart (1972) đã nghiên cứu mô hình dựa trên kỹ thuật ngẫu nhiên để phân tích tần số dao động riêng của kết cấu khi tham số khối lượng thay đổi giảm tuyến tính Ibrahim (1987) tiếp tục phân tích bài toán động của kết cấu với các tham số thay đổi ngẫu nhiên, nghiên cứu tác động của chúng đến bài toán tối ưu trong thiết kế và phân tích độ tin cậy.

Manohar và Ibrahim (1999) đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn ngẫu nhiên, nghiên cứu các bài toán như phân tích năng lượng, thời gian và tần số dao động cho hệ một và nhiều bậc tự do với yếu tố phi tuyến Tiếp theo, A Haldar và S Mahadevan (2000) đã tổng hợp các phương pháp xác suất, độ tin cậy và thống kê trong thiết kế kỹ thuật, xuất bản sách “Probability, reliability and statistical methods in engineering design”, trong đó trình bày các khái niệm và phương pháp tính toán nhằm dự đoán và kiểm soát các giá trị trong thiết kế.

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước

Phương pháp phân tích độ tin cậy là công cụ hiệu quả để dự đoán những thay đổi do các yếu tố ngẫu nhiên, tuy nhiên vẫn còn mới mẻ tại Việt Nam Mặc dù nhiều quốc gia đã áp dụng, số lượng tác giả sử dụng phương pháp này ở nước ta còn hạn chế Một ví dụ điển hình là nghiên cứu của PGS.TS Trần Minh Quang, người đã áp dụng phương pháp độ tin cậy trong thiết kế công trình đê chắn sóng bảo vệ cảng Ông tập trung vào phân tích ổn định của các khối bảo vệ, các dạng hư hỏng, mức độ không chắc chắn trong thiết kế, cũng như xác định độ an toàn và độ tin cậy của công trình thông qua việc phân tích các hệ số an toàn.

Năm 2011, Ông Kim Sang đã bảo vệ thành công luận văn thạc sĩ với đề tài “Phân tích độ tin cậy của tấm vật liệu có tính chất cơ lý biến đổi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên cạnh ES-DSG3” Trong nghiên cứu, tác giả đã phân tích ảnh hưởng của các biến ngẫu nhiên như mô đun đàn hồi E_c, hệ số Poisson ν_c và khối lượng riêng ρ_c của vật liệu gốm.

E m, ν m, ρ m của vật liệu kim loại và số mũ về thể tích n ảnh hưởng đến độ nhạy và độ tin cậy của tấm FGM Luận văn đã nghiên cứu cả bài toán động và bài toán tĩnh của tấm vuông Đồng thời, tác giả Phạm Văn Trực đã bảo vệ thành công đề tài thạc sĩ của mình.

Bài viết "Phân tích độ tin cậy của tấm composite laminate bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên cạnh ES-DSG3" tập trung vào việc nghiên cứu độ nhạy và độ tin cậy của tấm vuông composite tựa đơn trên bốn cạnh Tấm composite này được cấu tạo từ bốn lớp với cấu trúc [0/90/90/0] và các biến ngẫu nhiên ρ, nhằm đánh giá hiệu suất và độ bền của vật liệu trong các điều kiện khác nhau.

E 11 , θ, G 13 , G 23 , E 22 , G 12, ν 12 cho bài toán tĩnh và bài toán động

Tuy nhiên, các ví dụ số này chỉ xét cho kết cấu tấm Mindlin, chứ chưa xét đến kết cấu vỏ Mindlin.

Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Phân tích độ tin cậy đóng vai trò quan trọng trong việc dự đoán độ tin cậy của kết cấu trước khi đưa vào sử dụng Trong quá trình sản xuất, các hằng số vật liệu như mô đun đàn hồi E, tỷ khối ρ và hệ số Poisson ν có thể thay đổi ngẫu nhiên, ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm và vỏ.

Luận văn phân tích ảnh hưởng của các hằng số vật liệu đến độ nhạy và độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của tấm và vỏ Mindlin, sử dụng phương pháp phân tích độ tin cậy bậc nhất FORM để đánh giá độ tin cậy Kết quả tính toán sẽ được so sánh với gói thư viện FERUM Để phân tích tần số dao động, luận văn áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, một phương pháp phổ biến với nhiều ưu điểm vượt trội so với phương pháp giải tích truyền thống, điển hình là phương pháp DSG3 Tuy nhiên, phương pháp này vẫn còn một số nhược điểm, do đó luận văn tiếp tục sử dụng phương pháp CS-.

DSG3 [16] được thiết kế để nâng cao độ chính xác và tính ổn định của phần tử DSG3 Phương pháp này có ưu điểm sử dụng phần tử tam giác, giúp dễ dàng chia lưới cho các hình học phức tạp và khắc phục những nhược điểm của phần tử DSG3.

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của các hằng số vật liệu đến độ nhạy và độ tin cậy của tần số tự nhiên trong tấm và vỏ Mindlin Phương pháp phân tích độ tin cậy được áp dụng là phương pháp độ tin cậy bậc nhất FORM, trong khi phương pháp phân tích tần số dao động cho tấm và vỏ Mindlin sử dụng phương pháp CS-DSG3.

Luận văn hệ thống lại lý thuyết phương trình tấm và vỏ Mindlin, cùng với lý thuyết phương pháp CS-DSG3 Để phân tích độ nhạy và độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên, luận văn trình bày lý thuyết độ tin cậy bậc nhất FORM và phương pháp Monte Carlo Cuối cùng, luận văn kết hợp phương pháp CS-DSG3 với FORM nhằm đánh giá độ nhạy và độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của tấm, vỏ Mindlin, với kết quả phân tích được so sánh với kết quả từ gói thư viện FERUM.

Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia thành bốn chương:

Chương 1 giới thiệu tổng quan về vật liệu tấm, vỏ, các nghiên cứu trong và ngoài nước, mục tiêu và hướng nghiên cứu

Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết của tấm, vỏ Mindlin và trình bày tóm tắt các bước thành lập phần tử hữu hạn của tấm, vỏ Mindlin bằng phương pháp CS-DSG3 Ngoài ra, các phương pháp đánh giá độ tin cậy FORM, Monte Carlo cũng được trình bày

Chương 3 trình bày hai ví dụ số cho phân tích độ nhạy, độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của tấm vỏ Mindlin khi dữ liệu đầu vào thay đổi

Chương 4 trình bày những nhận xét về ví dụ số, hướng phát triển tiếp theo của luận văn.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Phương trình ứng xử của tấm, vỏ [4-5]

Dựa trên kích thước hình học, tấm được chia làm hai loại tấm dày và tấm mỏng

Tấm được gọi là tấm mỏng nếu 1 1

≤ ≤b , trong đó b là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình, t là chiều dày tấm; nếu 1

Lý thuyết tấm mỏng được Kirchhoff phát triển dựa trên giả thuyết về mặt trung bình của tấm sau khi biến dạng Sau đó, Reisser-Mindlin đã cải tiến lý thuyết này để áp dụng cho tấm dày.

Tấm mỏng được tính toán theo lý thuyết tấm chịu uốn với ba giả thuyết sau:

Hình 2.1: Tấm mỏng trước và sau biến dạng

Giả thuyết về các đoạn thẳng pháp tuyến cho thấy rằng trạng thái trước và sau biến dạng của các đoạn thẳng pháp tuyến (theo phương dọc trục z) luôn vuông góc với mặt trung bình, như thể hiện trong Hình 2.1 Điều này chỉ ra rằng không có sự trượt diễn ra trên các mặt.

   (2.1) và độ dài của các đoạn thẳng vuông góc này không đổi nên biến dạng dài theo phương z bằng 0 z 0 ε = (2.2)

Giả thuyết về mặt trung bình cho thấy rằng tại mặt trung bình của tấm, không xảy ra biến dạng kéo, nén hay trượt Khi tấm bị uốn, mặt trung bình trở thành mặt trung hòa, do đó tại đây không có chuyển vị xảy ra.

Sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình được bỏ qua do độ biến thiên theo chiều z (σ z) nhỏ hơn nhiều so với độ biến thiên theo chiều x (σ x) và chiều y (σ y), tức là σ z không được tính đến Theo lý thuyết Reissner – Mindlin, tấm được phân tích với giả định này.

Reissner - Mindlin cho thấy rằng các đoạn thẳng pháp tuyến, mặc dù vẫn giữ hình dạng thẳng sau biến dạng, nhưng không còn vuông góc với mặt trung bình của tấm Hơn nữa, ứng suất pháp σ z (vuông góc với mặt trung bình) vẫn bằng 0, tương tự như giả thiết của Kirchhoff.

Hình 2.2: Biến dạng và góc xoay của tấm theo lý thuyết Kirchhoff và Reissner –

Theo giả thuyết Reissner-Mindlin, chuyển vị của tấm được biểu diễn bởi

(2.4) trong đó u, v, w lần lượt là chuyển vị theo phương x, y và z; θ x , θ y lần lượt là góc quay quanh trục x và trục y Biến dạng trượt được cho bởi công thức zx x zy y u w w z x x v w w z y y γ β γ β

2.1.2 Phương trình ứng xử của tấm Mindlin Để đơn giản trong trình bày, kể từ đây trở đi, lý thuyết tấm Reissner – Mindlin sẽ được viết gọn lại là tấm Mindlin

Xét tấm Mindlin như trong Hình 2.3, với mặt trung bình được chọn làm mặt chuẩn và miền khảo sát là Ω ⊂ R² Độ võng được ký hiệu là w, trong khi β T = β x β y  là vector các góc xoay, trong đó β x và β y lần lượt là các góc xoay của mặt trung bình quanh trục y và trục x, với chiều dương được định nghĩa như trong Hình 2.3 Vector chuyển vị tại mỗi điểm trên tấm Mindlin được mô tả như sau.

Hình 2.3: Quy ước chiều dương của độ võng w và hai góc xoay β x , β y trong tấm

Biến dạng uốn κ và biến dạng cắt γ được định nghĩa như sau d ; w

=L β = ∇ +β κ γ κ γ κ γ κ γ (2.7) trong đó ∇ = ∂ ∂ [ / x ∂ ∂ / y ] T và L d là ma trận chứa đạo hàm

Dạng yếu của phương trình cân bằng động tấm Mindlin được cho bởi công thức [19-21] d d d d

∫ κ κ κ κ D κ κ κ κ ∫ γ γ γ γ D γ γ γ γ ∫ u m u ɺɺ ∫ u b (2.9) trong đó b =   p x y ( , ) 0 0   T , với p(x,y) là tải trọng phân bố đều trên tấm; m là ma trận thu được từ tỷ khối của vật liệu ρ và chiều dày t

  m (2.10) trong đó D b là ma trận vật liệu tương ứng với biến dạng uốn được cho bởi

D (2.11) với E là modun đàn hồi Young; t là chiều dày tấm; D s là ma trận vật liệu tương ứng với biến dạng cắt được cho bởi

D (2.12) trong đó k là modun trượt

= ν + , với 5 à=6 là hệ số điều chỉnh cắt

2.1.3 Phương trình ứng xử của vỏ Mindlin

Vỏ chịu tác dụng bởi hai lực chính: lực màng và lực uốn Trong đó, các chuyển vị tại mặt trung bình được ký hiệu là u, v, w tương ứng với các tọa độ x, y, z Các góc xoay của mặt trung bình quanh các trục y, x, z được biểu thị bằng βx, βy, βz, như được minh họa trong Hình 2.4.

Vector chuyển vị tại mỗi điểm trong phần tử vỏ Mindlin được viết như sau

Hình 2.4: Quy ước dương của độ võng, chuyển vị và các góc xoay của phần tử vỏ

Biến dạng uốn κ và biến dạng cắt γ của phần tử vỏ tương tự như phần tử tấm, được thể hiện qua công thức (2.7) Biến dạng màng ε m của phần tử vỏ Mindlin được mô tả một cách cụ thể.

=∂ ∂ ∂ +∂  εεεε (2.14) Để phân tích tần số dao động cho vỏ Mindlin, phương trình cân bằng tĩnh học bổ sung thêm thành phần lực quán tính như sau [19-21]

∫ ε D ε ∫ κ D κ ∫ γ D γ ∫ u mu ɺɺ ∫ u b (2.15) trong đó trong đó b = [0 0 p x y z ( , , ) 0 0 0] T , với p(x,y,z) là tải trọng phân bố đều trên vỏ và m là ma trận

  m (2.16) và D m là ma trận vật liệu biến dạng màng được cho bởi

Phần tử CS-DSG3 cho tấm, vỏ Mindlin [25-26]

2.2.1 Phần tử hữu hạn cho tấm Mindlin

Ta rời rạc miền Ω thành N e phần tử sao cho

Ω =∪Ω và Ω ∩ Ω ≠ ∅ i j , i ≠ j Xấp xỉ chuyển vị tại mỗi nút u h = w h β x h β y h  cho tấm Mindlin như Hình 2.5 như sau

(2.18) trong đó N n là tổng số nút; N I (x) là hàm dạng tại nút I và d I =   w I β xI β yI   T là vector của bậc tự do của nút thứ I

Hình 2.5: Quy ước dương của độ võng và góc xoay trong phần tử tấm tam giác

Biến dạng uốn và biến dạng cắt trong phần tử thể hiện như sau s

B S (2.20) với N I x , và N I y , là đạo hàm hàm dạng theo phương x và phương y

Từ ma trận độ cứng uốn và cắt, ta có ma trận độ cứng K tổng thể được viết như [4]

K B D B S D S (2.21) Để tìm tần số dao động riêng của tấm, ta cần giải phương trình dao động tự do

( K − ω 2 M d ) = 0 (2.22) trong đó ω là tần số tự nhiên; M là ma trận khối lượng tổng thể

2.2.2 Phần tử DSG3 cho tấm Mindlin

Hình 2.6: Phần tử tam giác 3 nút và hệ tọa độ địa phương

Công thức của phần tử DSG3 dựa trên khái niệm khe cắt dọc theo cạnh của phần tử, với hiện tượng khóa cắt xảy ra khi tấm dày trở nên mỏng và biến dạng cắt không bị triệt tiêu trong điều kiện uốn Để ngăn chặn hiện tượng này, Bletzinger và cộng sự đã đưa ra các giải pháp hiệu quả.

Phương pháp DSG3 cho biến dạng cắt đã được đề xuất trong nghiên cứu [15] Luận văn này tóm tắt quá trình thành lập ma trận độ cứng của DSG3 [15-16], nhằm phục vụ cho việc xây dựng ma trận độ cứng của phần tử CS-DSG3.

Sử dụng lưới phần tử tam giác, chúng ta có thể xấp xỉ chuyển vị tại mỗi nút u h = w h β x h β y h  của phần tử tấm tam giác ba nút, như được thể hiện trong Hình 2.6.

(2.24) trong đó d eI =[w I β β xI yI ] T là bậc tự do tại nút của u h e tại nút thứ I và N I (x) là hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên với

Biến dạng uốn trong phần tử thu được từ h

T e = e e e d d d d là vector chuyển vị nút của phần tử; ma trận B là ma trận chứa đạo hàm các hàm dạng

(2.27) với a = x 2 − x 1 , b = y 2 − y 1 , c = y 3 − y 1 , d = x 3 − x 1 được trình bày trên Hình 2.6 và

Tọa độ của ba nút trong một phần tử tam giác được ký hiệu là T i = x i y i với i = 1, 2, 3 Diện tích của phần tử tam giác được gọi là A e, trong khi B i (với i = 1, 2, 3) là các ma trận chứa các đạo hàm của hàm dạng tương ứng với từng nút.

Biến dạng cắt trong phần tử được tính như sau h

2 e e e e c ac bc b bd bc b c A d ad bd a ad ac

(2.29) với S i , i=1, 2,3 là các ma trận chứa các đạo hàm của hàm dạng của nút thứ i

Thế các phương trình (2.27) và (2.29) vào phương trình (2.21), ma trận độ cứng tổng thể được viết lại như sau

K K (2.30) trong đó, K e DSG3 là ma trận độ cứng của phần tử DSG3 và được tính như sau

Theo đề xuất của Bletzinger, việc bổ sung ổn định cắt cho phần tử DSG3 là cần thiết để nâng cao độ chính xác và ổn định của biến dạng cắt Sự điều chỉnh này được thực hiện bằng cách thay thế D s trong phương trình (2.31) bằng Dˆ s.

D (2.32) trong đó h e là chiều dài dài nhất của cạnh phần tử và α = 0.1 là hằng số của phần tử [22-23] Do đó phương trình (2.21) trở thành

Ma trận độ cứng của phần tử DSG3 phụ thuộc vào số nút, dẫn đến nghiệm của nó bị ảnh hưởng khi thứ tự nút thay đổi Để khắc phục nhược điểm này và cải thiện độ chính xác cũng như sự ổn định, phần tử CS-DSG3 đã được đề xuất.

2.2.3 Phần tử CS-DSG3 cho tấm Mindlin

Trong phương pháp CS-DSG3, miền bài toán được chia thành N phần tử tam giác tương tự như trong DSG3 Tuy nhiên, mỗi phần tử tam giác Ω e trong CS-DSG3 được phân chia thành ba phần tử tam giác con ∆ 1, ∆ 2 và ∆ 3 Ba phần tử con này được hình thành bằng cách nối tâm O của phần tử với ba nút 1, 2 và 3, như minh họa trong Hình 2.7.

Trong phần tử CS-DSG3, ba tam giác con (∆1, ∆2 và ∆3) được hình thành từ tam giác 1-2-3 bằng cách nối trọng tâm O với ba nút 1, 2, 3 Chúng ta coi vector chuyển vị d eO tại trọng tâm O là trung bình của ba vector chuyển vị d e1, d e2 và d e3 tại ba nút của phần tử.

Trong phần tử tam giác con đầu tiên ∆ 1 , (tam giác O-1-2), ta xây dựng một trường xấp xỉ tuyến tính của chuyển vị u e ∆ 1 = w e β ex β ey  T bằng công thức

∆ = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ∆ u x d x d x d N x d (2.35) trong đó d ∆ 1 = d eO d e 1 d e 2  T là vector chuyển vị nút của tam giác con ∆ 1 và

N x x x x là vector chứa các hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự nhiên được định nghĩa bởi công thức (2.25)

Các biến dạng uốn và biến dạng cắt tương ứng với κκκκ ∆ 1 và γγγγ ∆ 1 trong tam giác con ∆ 1 thu được như sau

Trong công thức (2.37), b ∆ 1 và s ∆ 1 được tính toán tương tự như ma trận B và S trong DSG3 theo các công thức (2.27) và (2.29), nhưng có hai thay đổi quan trọng: thứ nhất, các tọa độ địa phương của ba nút.

[ ] T i = x i y i x , i=1, 2,3 được thay thế bằng x 0 , x 1, x 2 và 2) diện tích phần tử A e được thay thế bằng diện tích A ∆1 của tam giác con ∆ 1

Thế d eO trong công thức (2.34) vào các phương trình (2.36) và (2.37), ta thu được

Bằng cách áp dụng phép hoán vị, chúng ta có thể xác định biến dạng uốn κκκκ ∆ j và biến dạng cắt γγγγ ∆ j cùng với ma trận B ∆ j và S ∆ j cho tam giác con thứ hai ∆ 2 (O-2-3) và tam giác con thứ ba ∆ 3 (O-3-1) Phương pháp biến dạng trơn dựa trên phần tử bằng CS-FEM cho phép sử dụng các hằng số biến dạng uốn và cắt κκκκ ∆ j và γγγγ ∆ j (j = 1, 2, 3) để xây dựng biến dạng uốn trơn κκκκɶ e và biến dạng cắt trơn γγγγɶ e trong phần tử tam giác Ω e.

= ∫ γ Φ x Ω =∑ γ ∫ Φ x Ω ɶγγγγ (2.41) trong đó Φ e ( ) x là hàm dạng trơn thỏa mãn điều kiện ( ) d 1 e e

Sử dụng hàm trơn hằng loại Heaviside như sau

 A ∈Ω Φ =  ∉Ω x x x (2.42) trong đó A e là diện tích của phần tử tam giác Thay công thức (2.42) vào các công thức (2.40) và (2.41), biến dạng uốn trơn κκκκɶ e và biến dạng cắt trơn γγγγɶ e có dạng

Biến dạng uốn trơn κκκκɶ e và biến dạng cắt trơn ɶγγγγ e được thể hiện trong phương trình (2.44) dưới dạng ma trận, với e = ɶ e d e và γ e = S dɶ e e ɶ Trong đó, ΒΒΒΒɶ e và Sɶ e lần lượt là ma trận biến dạng uốn trơn và ma trận biến dạng cắt trơn.

Vì vậy ma trận độ cứng tổng thể của phần tử CS-DSG3 được viết như sau

Kɶ Kɶ (2.46) trong đó Kɶ e là ma trận độ cứng phần tử được làm trơn của tấm d ˆ d ˆ e e

Ma trận độ cứng phần tử CS-DSG3 không bị ảnh hưởng bởi thứ tự của các nút, như được thể hiện trong các phương trình (2.43), (2.44) và (2.47) Điều này cho thấy rằng phương pháp CS-DSG3 luôn đảm bảo tính ổn định ngay cả khi có sự thay đổi thứ tự các nút.

2.2.4 Phần tử CS-DSG3 cho vỏ Mindlin [16]

Cũng như phương pháp CS-DSG3 cho tấm, mỗi phần tử CS-DSG3 cho vỏ cũng được chia thành ba tam giác con

Biến dạng uốn trơn κκκκ ∆ j, biến dạng cắt trơn γγγγɶ ∆ j, và các ma trận trơn Bɶ ∆ j và Sɶ ∆ j của phần tử vỏ tương tự như phần tử tấm Tuy nhiên, phần tử vỏ còn bổ sung thêm biến dạng màng trơn εɶ m e, được biểu diễn bằng công thức m e = e e εɶ R dɶ (2.48), trong đó Rɶ e là ma trận biến dạng màng trơn.

Rɶ R (2.49) với ma trận biến dạng màng R ∆ j của tam giác con được tính tương tự như các ma trận biến dạng uốn và biến dạng cắt

Ma trận độ cứng tổng thể của phần tử vỏ CS-DSG3 cũng giống như phần tử tấm

Kɶ Kɶ (2.50) nhưng ma trận độ cứng phần tử Kɶ e được làm trơn bổ sung thêm độ cứng của biến dạng màng

Ma trận độ cứng phần tử được làm trơn của vỏ, ký hiệu là kɶ e, được tính toán trong hệ tọa độ địa phương xyzˆˆˆ Đồng thời, ma trận T thực hiện chuyển đổi từ hệ tọa độ tổng thể xyz sang hệ tọa độ địa phương xyzˆˆˆ, như được minh họa trong Hình 2.8.

Hình 2.8: Hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể của phần tử tam giác của vỏ trong đó [ ] λ 3 3 x được định nghĩa như sau

=   λ λ λ λ (2.53) trong đó λ x , λ y , λ z là các cosin chỉ phương của phương x, ˆ yˆ và zˆ so với các phương của hệ trục tọa độ Oxyz

2.3 Phân tích độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của tấm, vỏ Mindlin [13][27]

2.3.1 Hàm trạng thái giới hạn

Phân tích độ tin cậy giúp các nhà thiết kế và sản xuất nắm bắt rõ các yếu tố ảnh hưởng đến vật liệu tấm và vỏ, từ đó kiểm soát chúng một cách khoa học và tối ưu nhất Kết cấu tấm và vỏ chịu tác động của tần số tải trọng ngoài ω r, nhưng do nhiều yếu tố không chắc chắn, tần số có thể dao động đến ω p Giá trị ω p không cố định mà có sự biến đổi ngẫu nhiên, được xác định qua các giá trị trung bình và độ lệch chuẩn Vì vậy, hàm trạng thái giới hạn được định nghĩa để phản ánh những biến động này.

X (2.54) trong đó λ p =ω 2 p và λ r =ω r 2 là các trị riêng và X là vector của các giá trị ngẫu nhiên như sau

Lưu đồ đánh giá độ tin cậy bằng phương pháp FORM

Vòng lặp k=1 Giả định { } X ′ ( ) 1 Tính β1,g X ( )′ 1

VÍ DỤ SỐ

Bài toán tấm Mindlin

3.1.1 Phân tích độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của tấm hình vuông

Luận văn này phân tích độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của tấm hình vuông Mindlin được ngàm cả 4 cạnh, có chiều dày t/a = 0.1 và kích thước hình vuông với tỷ lệ a/b = 1, được chia thành 8x8 phần tử Các hằng số vật liệu như modun đàn hồi E, hệ số Poisson ν và tỷ khối vật liệu ρ được xác định với giá trị thay đổi ngẫu nhiên, được trình bày trong Bảng 3.1 Từ những giá trị này, luận văn đánh giá ảnh hưởng của các hằng số vật liệu đến tần số dao động tự nhiên của tấm.

Hình 3.1: Tấm vuông Mindlin được ngàm bốn cạnh

Tần số dao động tự nhiên ω r của tấm được xác định từ nghiệm chính xác trong nghiên cứu [17][29], với mode 1 đạt 243,367 Tần số dao động do tải ngoài tác động được tính theo tỷ lệ ω r / ω p, nằm trong khoảng từ 0.85 đến 1 Hình dạng dao động của mode 1 được minh họa trong Hình 3.2.

Hình 3.2: Hình dạng dao động của mode 1 của tấm vuông được ngàm bốn cạnh Bảng 3.1: Các hằng số vật liệu tấm Mindlin [17]

Bảng 3.2 trình bày độ nhạy của tấm vuông với tỷ lệ a/b=1, sử dụng ngàm bốn cạnh và chiều dày t/a=0.1 Kết quả được thu thập thông qua phương pháp CS-DSG3 và DSG3, trong đó các hằng số vật liệu như E, ν, ρ được thay đổi ngẫu nhiên.

Hình 3.3: Độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của tấm tương ứng với sự thay đổi của các hằng số vật liệu bằng phương pháp CS-DSG3

Bảng 3.2 và Hình 3.3 chỉ ra rằng sự thay đổi của các hằng số vật liệu tác động đến độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin Phân tích cho thấy khi modun đàn hồi E, tỷ khối ρ và hệ số Poisson ν tăng, tần số dao động tự nhiên của tấm cũng tăng theo Điều này chứng tỏ rằng sự thay đổi ngẫu nhiên của các hằng số vật liệu có ảnh hưởng đến tần số dao động Trong đó, modun đàn hồi E và tỷ khối ρ có tác động lớn hơn, trong khi hệ số Poisson ν ảnh hưởng không đáng kể Kết quả được tính toán và so sánh bằng hai phương pháp CS-DSG3 và DSG3 cho thấy độ nhạy tần số dao động của hai phương pháp này gần như tương đương.

Vì vậy, kiểm soát sự thay đổi các tham số đầu vào E, ρ, ν thực sự quan trọng trong quá trình sản xuất chế tạo

3.1.2 Phân tích độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của tấm hình vuông

Luận văn tiến hành phân tích độ tin cậy tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin bằng cách chia tấm thành lưới 16x16 phần tử Để thực hiện phân tích tần số dao động, phương pháp CS-DSG3 và DSG3 được áp dụng Trong phần phân tích độ tin cậy, phương pháp FORM(LV) được sử dụng để xác định xác suất không an toàn p f Kết quả phân tích được so sánh với dữ liệu từ gói thư viện FERUM, với giá trị hội tụ δ và ε được thiết lập là 0.001.

Bảng 3.3: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm vuông ngàm bốn cạnh ω r /ω p 0.85 0.9 0.95 1 p f - FORM(LV) DSG3 0.0827 0.1607 0.2696 0.3999

CS-DSG3 0.1257 0.2270 0.3559 0.4967 p f - FORM (FERUM) DSG3 0.0827 0.1607 0.2696 0.3999

CS-DSG3 0.1257 0.2270 0.3559 0.4967 p f - SORM (FERUM) DSG3 0.0818 0.1592 0.2676 0.3976

CS-DSG3 0.1244 0.2251 0.3536 0.4942 p f - Monte Carlo (FERUM)

Hình 3.4: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm tính bằng các phương pháp FORM(LV)-CS-DSG3 và FORM(LV)-DSG3

Hình 3.5: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm tính bằng các phương pháp SORM(FERUM)-CS-DSG3 và SORM(FERUM)-DSG3

10 -1 ω r / ω p lo g (p f- F O R M (L V )) pf-FORM(LV)-CS-DSG3 pf-FORM(LV)-DSG3

10 -1 ω r / ω p lo g (p f- S O R M ) pf-SORM-CS-DSG3 pf-SORM-DSG3

Hình 3.6 trình bày xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm, được tính toán bằng các phương pháp Monte Carlo (FERUM)-CS-DSG3 và Monte Carlo (FERUM)-DSG3 Trong khi đó, Bảng 3.4 thể hiện xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin, cũng được tính bằng phương pháp Monte Carlo (FERUM)-CS-DSG3 với các số lượng mẫu N khác nhau.

Số lượng mẫu - N 200 500 800 1400 2000 5000 10000 p f - CS-DSG3 0.4350 0.4760 0.4063 0.4450 0.4490 0.4524 0.4500

10 -1 ω r / ω p lo g (p f- M o n te C a rl o ) pf-Monte Carlo-DSG3 pf-Monte Carlo-CS-DSG3

Hình 3.7: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm sử dụng phương pháp Monte Carlo (FERUM) kết hợp với CS-DSG3

Bảng 3.5 trình bày sự so sánh xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin giữa các phương pháp FORM(LV), FORM, SORM và Monte Carlo trong gói thư viện FERUM, với tỷ lệ ω r /ω p = 1, kết hợp với phương pháp CS-DSG3.

N - So luong mau p f pf-trung binh pf-Monte Carlo

Hình 3.8 trình bày sự hội tụ của xác suất không an toàn liên quan đến tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin, được phân tích bằng phương pháp DSG3 kết hợp với FORM (LV) và SORM (FERUM), so với kết quả từ phương pháp Monte Carlo.

Hình 3.9 minh họa sự hội tụ của xác suất không an toàn đối với tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin Nghiên cứu này áp dụng phương pháp CS-DSG3 kết hợp với FORM (LV) và SORM (FERUM) để so sánh với kết quả từ phương pháp Monte Carlo.

0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025 1.03 1.035 ω r / ω p x a c x u a t k h o n g a n t o a n - p f pf-FORM(LV)-DSG3 pf-SORM-DSG3 pf-Monte Carlo-DSG3

1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 ω r / ω p x a c x u a t k h o n g a n t o a n - p f pf-Monte Carlo-CS-DSG3 pf-FORM(LV)-CS-DSG3 pf-SORM-CS-DSG3

Bảng 3.3 trình bày xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm vuông ngàm theo sự thay đổi của tần số dao động tải ngoài với tỷ số ω r /ω p bằng các phương pháp FORM(LV), FORM(FERUM), SORM(FERUM) và Monte Carlo (FERUM) Kết quả cho thấy phương pháp FORM(LV) và FORM của gói thư viện FERUM cho kết quả trùng nhau, khẳng định độ tin cậy của phương pháp FORM(LV) Đồng thời, tần số dao động tự nhiên do tải ngoài tác động ω r càng tăng thì xác suất không an toàn của tấm càng cao Ngoài ra, phương pháp DSG3 cho kết quả xác suất không an toàn nhỏ hơn phương pháp CS-DSG3, cho thấy DSG3 có độ tin cậy thấp hơn CS-DSG3 Điều này chứng tỏ rằng việc sử dụng các phương pháp phân tích tấm chính xác cao như CS-DSG3 sẽ giúp đánh giá độ tin cậy an toàn hơn, đảm bảo an toàn cho các kết cấu trong quá trình sử dụng.

Bảng 3.4 thể hiện xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của tấm Mindlin, được tính bằng phương pháp Monte Carlo với tỷ lệ ω r /ω p = 1, trong đó số lượng mẫu N thay đổi từ 200 đến 10,000 Khi số lượng mẫu tăng lên, xác suất không an toàn dần hội tụ về giá trị trung bình, như minh họa trong Hình 3.7.

Bảng 3.5 trình bày sự so sánh xác suất không an toàn giữa các phương pháp FORM(LV), FORM(FERUM) và SORM(FERUM) với Monte Carlo(FERUM) tại tỷ lệ ω r /ω p = 1, áp dụng phương pháp CS-DSG3 Kết quả cho thấy sai số của SORM(FERUM) so với Monte Carlo (FERUM) là 1.0206%, thấp hơn so với sai số của FORM(LV) và FORM(FERUM) là 1.0258% Như vậy, SORM(FERUM) đạt được kết quả gần hơn với Monte Carlo (FERUM) so với hai phương pháp còn lại.

Hình 3.8 và Hình 3.9 thể hiện sự hội tụ xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên khi so sánh phương pháp FORM (LV) và SORM (FERUM) với phương pháp Monte Carlo (FERUM) Biểu đồ cho thấy rõ hiệu quả của các phương pháp này trong việc đánh giá xác suất không an toàn.

SORM (FERUM) gần gũi với Monte Carlo (FERUM) hơn so với FORM (LV) Hơn nữa, phương pháp DSG3 cho thấy kết quả không ổn định khi phân tích xác suất không an toàn.

Bài toán vỏ Mindlin

3.2.1 Phân tích độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ

Trong ví dụ thứ hai, luận văn phân tích độ nhạy của vỏ trụ Mindlin với tỷ lệ bán kính và chiều dày R/t = 100 và tỷ lệ chiều dài và bán kính L/R = 10, như thể hiện trong Hình 3.10 Vỏ trụ được gắn ở một biên và tự do ở biên còn lại, được chia thành 16x16 phần tử Tương tự như tấm hình vuông, các giá trị kỳ vọng và hệ số phương sai của các hằng số vật liệu như mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν, và tỷ khối vật liệu ρ thay đổi ngẫu nhiên và được trình bày trong Bảng 3.6.

Hình 3.10: Vỏ trụ được ngàm ở một biên và tự do ở biên còn lại

Tần số dao động tự nhiên ω r của vỏ trụ được xác định từ phương pháp RSQ24, với mode 1 = 35.838 Tần số dao động do tải ngoài cũng được tính theo tỷ lệ ω r /ω p từ 0.85 đến 1 Hình dạng dao động của mode 1 được thể hiện trong Hình 3.11.

Hình 3.11: Hình dạng dao động của mode 1 của vỏ trụ được ngàm ở một biên và tự do ở biên còn lại

Dựa trên các kết quả trong Bảng 3.7 và Hình 3.12, luận văn sẽ tiến hành đánh giá sự biến đổi tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ khi các hằng số vật liệu thay đổi Thông tin về các hằng số vật liệu của vỏ trụ Mindlin được trình bày trong Bảng 3.6 [16].

Bảng 3.7 trình bày độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ khi áp dụng phương pháp CS-DSG3 và DSG3, trong bối cảnh các hằng số vật liệu như E, ν, ρ thay đổi ngẫu nhiên.

Độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ được xác định tương ứng với sự thay đổi của các hằng số vật liệu qua phương pháp CS-DSG3.

Bảng 3.7 và Hình 3.12 chỉ ra rằng sự thay đổi các hằng số vật liệu có ảnh hưởng lớn đến tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ Kết quả cho thấy rằng hằng số modun đàn hồi E và tỷ khối ρ có tác động mạnh mẽ đến tần số dao động, trong khi hệ số Poisson ν lại có ảnh hưởng không đáng kể.

Phương pháp CS-DSG3-ν và CS-DSG3-ρ được áp dụng để tính toán và so sánh, cho thấy độ nhạy về tần số dao động tự nhiên của cả hai phương pháp tương đương nhau.

Kết quả phân tích cho thấy độ nhạy của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ không bị ảnh hưởng bởi các phương pháp tính toán hay hình dạng kết cấu khác nhau, tương tự như nhận xét về ảnh hưởng của các hằng số vật liệu đến tần số dao động tự nhiên của tấm.

3.2.2 Phân tích độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ

Luận văn phân tích độ tin cậy của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ Mindlin, sử dụng phương pháp CS-DSG3 và DSG3 để xác định tần số này Để thực hiện phân tích xác suất không an toàn, luận văn áp dụng phương pháp FORM(LV) cùng với gói thư viện FERUM Ngoài ra, phương pháp Monte Carlo (FERUM) cũng được sử dụng để so sánh kết quả Giá trị hội tụ δ và ε được xác định là 0.001.

Bảng 3.8: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ ω r /ω p 1 0.95 0.9 0.85 p f - FORM(LV) DSG3 0.1338 0.0717 0.0335 0.0134

CS-DSG3 0.1796 0.1014 0.0499 0.0211 p f - FORM (FERUM) DSG3 0.1338 0.0717 0.0335 0.0134

CS-DSG3 0.1796 0.1014 0.0499 0.0211 p f - SORM (FERUM) DSG3 0.1328 0.0711 0.0331 0.0132

CS-DSG3 0.1783 0.1006 0.0495 0.0208 p f - Monte Carlo (FERUM)

Hình 3.13: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ tính bằng các phương pháp FORM(LV)-CS-DSG3 và FORM(LV)-DSG3

Hình 3.14: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ tính bằng các phương pháp SORM(FERUM)-CS-DGS3 và SORM(FERUM)-DSG3

10 -1 ω r / ω p lo g (p f- F O R M (L V )) pf-FORM(LV)-DSG3 pf-FORM(LV)-CS-DSG3

10 -1 ω r / ω p lo g (p f- S O R M ) pf-SORM-CS-DSG3 pf-SORM-DSG3

Hình 3.15 trình bày xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ, được tính toán bằng các phương pháp Monte Carlo (FERUM)-CS-DSG3 và Monte Carlo (FERUM)-DSG3 Bảng 3.9 thể hiện xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ, sử dụng phương pháp Monte Carlo (FERUM)-CS-DSG3 với các mẫu N khác nhau, tương ứng với tỷ lệ ω r /ω p = 1.

Số lượng mẫu - N 200 500 800 1400 2000 5000 10000 p f - CS-DSG3 0.171 0.172 0.191 0.164 0.185 0.181 0.179

10 -1 ω r / ω p lo g (p f- M o n te C a rl o ) pf-Monte Carlo-DSG3 pf-Monte Carlo-CS-DSG3

Hình 3.16: Xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ sử dụng phương pháp Monte Carlo kết hợp với CS-DSG3

Bảng 3.10 trình bày sự so sánh xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ, sử dụng phương pháp CS-DSG3 kết hợp với các phương pháp FORM(LV), FORM, SORM và Monte Carlo từ gói thư viện FERUM, với tỷ lệ ω r /ω p = 1 Kết quả cho thấy sự khác biệt trong các phương pháp phân tích xác suất, đặc biệt giữa p f - FORM(LV) và p f - FORM.

N - so luong mau p f pf-trung binh pf-Monte Carlo

Hình 3.17 minh họa sự hội tụ của xác suất không an toàn đối với tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ, sử dụng phương pháp DSG3 kết hợp với FORM (LV) và SORM (FERUM) so với phương pháp Monte Carlo.

Hình 3.18 minh họa sự hội tụ của xác suất không an toàn đối với tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ, khi áp dụng phương pháp CS-DSG3 kết hợp với FORM (LV) và SORM (FERUM), so với phương pháp Monte Carlo.

1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 ω r / ω p x a c x u a t k h o n g a n t o a n - p f pf-SORM-DSG3 pf-Monte Carlo-DSG3 pf-FORM(LV)-DSG3

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 ω r / ω p x a c x u a t k h o n g a n t o a n - p f pf-Mote Carlo-CS-DSG3 pf-FORM(LV)-CS-DSG3 pf-SORM-CS-DSG3

Bảng 3.8 trình bày xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ khi tần số dao động của tải ngoài thay đổi theo tỷ số ω r /ω p, sử dụng các phương pháp FORM(LV), FORM(FERUM), SORM(FERUM) và Monte Carlo (FERUM) Kết quả được minh họa trong Hình 3.13, Hình 3.14 và Hình 3.15, với tần số dao động được tính bằng phương pháp CS-DSG3 và DSG3 Kết quả cho thấy phương pháp FORM(LV) và FORM của thư viện FERUM cho kết quả tương đương, xác nhận tính đáng tin cậy của phương pháp FORM(LV) Hơn nữa, xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ tăng lên tương ứng với tần số tự nhiên do tải ngoài ω r Các kết quả trong Bảng 3.8 và các hình ảnh cho thấy phương pháp DSG3 cho kết quả xác suất không an toàn lớn hơn, trong khi phương pháp CS-DSG3 có độ tin cậy cao hơn DSG3 Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc áp dụng các phương pháp phân tích vỏ chính xác cao như CS-DSG3 để đảm bảo an toàn cho kết cấu trong quá trình sử dụng.

Bảng 3.9 cho thấy xác suất không an toàn của tần số dao động tự nhiên của vỏ trụ theo phương pháp Monte Carlo với tỷ lệ ω r /ω p = 1 khi số lượng mẫu N tăng từ 200 đến 10,000 Khi số lượng mẫu N tăng, xác suất không an toàn dần hội tụ về giá trị trung bình, như thể hiện trong Hình 3.16.