Một số kiến thức bổ trợ
Bài toán đặt không chỉnh
1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng Xét ánh xạd : X×X →
R thỏa mãn các tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0,∀x, y ∈ X, và d(x, y) = 0 ⇔x = y; ii) d(x, y) =d(y, x),∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤d(x, z) +d(z, y),∀x, y, z ∈ X
Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và không gian (X, d) lập thành một không gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x 0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x 0 ) = f. Đặt
Ánh xạ R : R(A) −→ X được xác định bởi R(f) x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Việc tìm nghiệm x ∈ X cho phương trình A(x) = f, với dữ liệu ban đầu f ∈ Y, thường được diễn đạt dưới dạng phương trình x = R(f).
1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d X ),(Y, d Y ) là hai không gian mêtric Bài toán tìm nghiệm x = R(f) của phương trình A(x) = f được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y) (hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài toán) nếu ∀f 1 , f 2 ∈ R(A),∀ε > 0,∃δ(ε) > 0sao cho d Y (f 1 , f 2 ) ≤δ(ε) thì d X (R(f 1 ), R(f 2 )) ≤ε.
1.1.4 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y) nếu i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X; ii) nghiệm x đó là duy nhất; iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y).
Nếu một trong ba điều kiện cần thiết không được thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm sẽ được coi là bài toán đặt không chỉnh Thuật ngữ này cũng có thể được hiểu là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.1.5 Ví dụ 1) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều
∂y y=0 = ϕ(x),−∞ < x 0.
Nếu lấy f(x) = f 2 (x) = ϕ(x) = ϕ 2 (x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là u 2 (x, y) ≡ 0 Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét trong độ đo đều, ta có d C (f 1 , f 2 ) = sup x
Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ 1 và ϕ 2 lại khá nhỏ Trong khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm d C (u 1 , u 2 ) = sup x,y
| 1 a 2 sin(ax)sh(ay)| = 1 a 2 sh(ay).
Với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ Chính vì vậy, đây là bài toán không ổn định.
2) Xét phương trình parabolic ngược thời gian u t + Au= 0, 0< t < T, ku(T)−fk ⩽ ε (1.1) với toán tử dương, tự liên hợp, không bị chặn A có một cơ sở gồm các vectơ riêng trực chuẩn {φ i } i⩾1 trong không gian Hilbert H với chuẩn k ã k, tương ứng với cỏc giỏ trị riờng {λ i } i⩾1 sao cho
Ta thấy rằng v n (t) = λ 1 ne −λ n (t−T ) φ n ,0 ⩽ t ⩽ T là nghiệm của phương trình v t +Av = 0, 0 < t < T, v(T) = λ 1 nφ n và v(t) = 0, 0⩽ t⩽ T là nghiệm của phương trình v t +Av = 0, 0 < t < T, v(T) = 0.
= λ 1 n kφ n k = λ 1 n → 0 khi n → +∞ nhưng với mọi t ∈ [0, T) ta có kv n (t)−v(t)k
= 1 λ n e λ n (T −t) →+∞ khi n→ +∞.Điều này chứng tỏ lời giải của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện tại thời điểm cuối t= T.
X n=0 a n cos(nt), với hệ số (a 0 , a 1 , , a n , ) ∈ l 2 được cho xấp xỉ bởi c n = a n + n ε , n ≥ 1 và c 0 = a 0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng f 2 (t) ∞
X n=0 c n cos(nt), cũng có hệ số (c 0 , c 1 , , c n , ) ∈ l 2 Và khoảng cách giữa chúng là ε 1 ( ∞ X n=0
Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có thể lấy nhỏ tùy ý Trong khi đó, f 2 (t)−f 1 (t) = ε
Chuỗi Fourier có thể có độ lớn tùy ý, ví dụ tại t = 0 là chuỗi phân kỳ Điều này cho thấy rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được đánh giá trong không gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng của chuỗi Fourier trở nên không ổn định khi có sự thay đổi nhỏ ở hệ số chuỗi Ngược lại, khi xem xét trong không gian L2[0, π], tính ổn định của chuỗi Fourier được cải thiện.
Khi dữ liệu ban đầu a n gần đúng với c n và sai số nhỏ, bài toán trở nên ổn định Điều này cho thấy các chuỗi Fourier tương ứng có sự sai khác không đáng kể trong không gian L 2 [0, π].
Phương pháp chỉnh hóa
1.2.1 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f 0 , với A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y, nằm trong một tập compact M của X và f 0 ∈ Y.
Giả x 0 là nghiệm của phương trình A(x) = f 0, và toán tử R(f, α) được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình này nếu tồn tại hai số dương δ 1 và α 1 sao cho R(f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α 1) và mọi f ∈ Y khi d Y (f, f 0) ≤ δ, với δ ∈ (0, δ 1) Ngoài ra, cần có một sự phụ thuộc α = α(f, δ) để cho mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) ≤ δ 1 sao cho với mọi f ∈ Y, nếu d Y (f, f 0) ≤ δ ≤ δ 1 thì d X (x α, x 0) ≤ ε, trong đó x α ∈ R(f, α(f, δ)).
Trong định nghĩa này, khi α được chọn một cách độc lập với f, nó được gọi là cách chọn tiên nghiệm Ngược lại, nếu α phụ thuộc vào cả f và δ, thì được xem là cách chọn hậu nghiệm.
1.2.2 Nhận xét Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α).
Nghiệm hiệu chỉnh của phương trình A(x) = f 0, ký hiệu là x α ∈ R(f δ , α), được xác định với tham số hiệu chỉnh α = α(f δ , δ) = α(δ) Điều này cho thấy rằng nghiệm hiệu chỉnh giữ tính ổn định với dữ liệu ban đầu.
Việc tìm nghiệm xấp xỉ cho phương trình A(x) = f 0 phụ thuộc vào các bước quan trọng: đầu tiên, cần xác định toán tử hiệu chỉnh R(f, α), sau đó, xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa trên thông tin của bài toán liên quan đến phần tử f δ và sai số δ.
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương pháp hiệu chỉnh.
1.2.3 Ví dụ 1) Tính giá trị z = df dt (t) trong mêtric C, khi f(t) cho xấp xỉ Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân
Nếu thay cho f(t) ta biết xấp xỉ của nó là f δ (t) = f(t) + g(t), ở đây
Số hạng thứ hai được đánh giá bởi g(t+α)−g(t) α
Nếu chọnα sao choα = η(δ) δ , với η(δ) → 0khiδ → 0, thì 2δ α = 2η(δ) →0.
2) Giả sử ϕ k (t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup t∈[a,b]
|ϕ k (t)| ≤ C 0 và hệ số Fourier a = (a 1 , a 2 , ) của hàm f(t) ∞
X k=1 a k ϕ k (t) được cho xấp xỉ bởi c = (c 1 , c 2 , ) sao cho
Khi đó không thể coi f˜(t) ∞
X k=1 c k ϕ k (t) là xấp xỉ của f(t) được Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại điểm t 0 nào đó , tức là tìm f(t 0 ), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với
P k=1 c k ϕ k (t 0 )(α = n 1 ), trong đón = n(δ) = [ η(δ) δ 2 ] là phần nguyên của η(δ) δ 2 , ở đây δ, η(δ) →0, còn n(δ) → ∞ Thật vậy,
P k=1 a k ϕ k (t 0 ) hội tụ nên phần dư
1.2.4 Nhận xét Trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau:
Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vàoX được gọi là một toán tử hiệu chỉnh,nếu: i) Tồn tại một số dương δ 1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0≤ δ ≤ δ 1 và với mọi f ∈ Y sao cho d Y (f, f 0 ) ≤ δ; ii) Với ε > 0bất kì, tồn tại δ 0 = δ 0 (ε, f δ ) ≤ δ 1 sao cho từ d Y (f δ , f 0 ) ≤ δ ≤ δ 0 ta có d X (x δ , x 0 ) ≤ ε ở đây x δ ∈ R(f δ , δ).
Nếu R(f, δ) không phải là đơn ánh, thì x δ là một phần tử bất kì của{R(f, δ)}.
Bất đẳng thức Gronwall
1.3.1 Định lý ([10])(Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân) Giả sử η(t) là hàm liên tục tuyệt đối không âm trên [0, T], thỏa mãn hầu khắp nơi trên [0, T] bất đẳng thức η 0 (t) ⩽ φ(t)η(t) + ψ(t), (1.2) trong đó φ(t) và ψ(t) là các hàm không âm, khả tích trên [0, T] Khi đó η(t) ⩽ e R t
, ∀t∈ [0, T] (1.3) Đặc biệt, nếu η 0 ⩽ φη trên [0, T] và η(0) = 0, thì η ≡0 trên [0, T].
Chứng minh Từ bất đẳng thức (1.2) ta có d ds η(s)e − R s
0 φ(r)drψ(s) với hầu khắp s ∈ [0, T] Do đó, với mỗi t∈ [0, T], ta có η(t)e − R t
Bất đẳng thức (1.4) kéo theo bất đẳng thức (1.3). Định lý được chứng minh.
1.3.2 Định lý ([10])(Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân) Giả sử ξ(t) là hàm không âm, khả tích trên [0, T] và thỏa mãn hầu khắp nơi trên
[0, T] bất đẳng thức tích phân ξ(t) ⩽ C 1
Z t 0 ξ(s)ds+C 2 (1.5) với các hằng số C 1 , C 2 không âm Khi đó ξ(t) ⩽ C 2 1 +C 1 te C 1 t
(1.6) với hầu khắp t ∈ [0, T] Đặc biệt, nếu ξ(t) ⩽ C 1
Z t 0 ξ(s)ds với hầu khắp t ∈ [0, T] thì ξ(t) = 0 hầu khắp t∈ [0, T].
0 ξ(s)ds, ∀t ∈ [0, T] Ta có η 0 ⩽ C 1 η+C 2 hầu khắp nơi trên [0, T] Theo bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân ta có η(t) ⩽ e C 1 t (η(0) +C 2 t) = C 2 te C 1 t (1.7)
Từ các bất đẳng thức (1.5) và (1.7) ta có ξ(t) ⩽ C 1 η(t) +C 2 ⩽ C 2 1 +C 1 te C 1 t hầu khắp nơi trên [0, T]. Định lý được chứng minh.
Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính trong không gian một chiều
Phương trình parabolic tuyến tính trong không gian một chiều 13
Mục này khám phá lý thuyết về phương trình parabolic tuyến tính trong không gian một chiều, dựa trên các tài liệu tham khảo [3], [5] và [10] Chúng ta xem xét phương trình truyền nhiệt u_t = a^2 u_xx trong khoảng 0 < x < l và 0 < t < T.
2.1.1 Định nghĩa Một hàm u được gọi là nghiệm của giá trị biên ban đầu thứ nhất cho phương trình truyền nhiệt nếu: i) Nó được xác định và liên tục trong miền xác định gần 0 ≤ x ≤ l, t 0 ≤ t ≤T. ii) Nó thoả mãn phương trình parabolic trong miền xác định0< x < l, t 0 < t < T. iii) Nó thoả mãn điều kiện ban đầu và điều kiện biên: u(x, t 0 ) = ϕ(x), u(0, t) = à 1 (t), u(l, t) = à 2 (t), với ϕ(x), à 1 (t), à 2 (t) là cỏc hàm kiờn tục và ϕ(0) = à 1 (t 0 )[= u(0, t 0 )] ϕ(l) =à 2 (t 0 )[= u(l, t 0 )].
2.1.2 Định nghĩa Một hàm u được gọi là nghiệm của giá trị biên ban đầu thứ hai nếu điều kiện iii) trong Định nghĩa 2.1.1 được thay thế bằng u(x, t 0 ) = ϕ(x),
2.1.3 Định nghĩa Một hàm u được gọi là nghiệm của giá trị biên ban đầu thứ ba nếu điều kiện iii) trong Định nghĩa 2.1.1 được thay thế bằng u(x, t 0 ) = ϕ(x),
Chúng ta sẽ xem xét các câu hỏi theo trình tự sau: đầu tiên, liệu nghiệm của bài toán có tồn tại và có duy nhất hay không; tiếp theo, xác định xem bài toán có nghiệm hay không; cuối cùng, kiểm tra xem nghiệm của bài toán có phụ thuộc liên tục vào dữ liệu hay không.
2.1.4 Định lý (Nguyên lí cực đại) Cho hàm u(x, t) xác định và liên tục trong hình chữ nhật 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ l và thoả mãn phương trình truyền nhiệt u t = a 2 u xx (2.1) trong miền 0 < t < T, 0 < x < l Khi đó, hàm u(x, t) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) tại t = 0, hoặc tại x = 0 hoặc tại x= l.
2.1.5 Định lý Chou 1 (x, t) và u 2 (x, t) là các hàm liên tục xác định trong
0≤ x ≤ l; 0 ≤ t≤ T thoả mãn phương trình u t = a 2 u xx +f(x, t), 0 < x < l, 0 < t < T (2.2) và thoả mãn các điều kiện ban đầu cùng điều kiện biên u 1 (x,0) = u 2 (x,0) = ϕ(x), 0 ≤x ≤ l, u 1 (0, t) =u 2 (0, t) =à 1 (t), 0≤ t ≤T, u 1 (l, t) =u 2 (l, t) = à 2 (t), 0 ≤ t≤ T.
Chứng minh Đặt υ(x, t) := u 1 (x, t)−u 2 (x, t) Vì u 1 và u 2 liên tục trong
Hàm υ liên tục trong khoảng [0, l]×[0, T] và thoả mãn phương trình υ t = a 2 υ xx với 0 < x < l, 0 < t < T Điều này cho thấy hàm υ đạt cực đại tại t = 0 hoặc x = 0 hoặc x = l Với điều kiện biên υ(x,0) = 0, υ(0, t) = 0 và υ(l, t) = 0, ta suy ra rằng υ(x, t) ≡ 0, từ đó kết luận rằng u 1 (x, t) ≡ u 2 (x, t).
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tách biến của Fourier để giải phương trình u_t = a^2 u_xx + f(x, t) trong miền 0 < x < l và 0 < t ≤ T, với điều kiện ban đầu u(x, 0) = ϕ(x) và điều kiện biên u(0, t) = à_1(t), u(l, t) = à_2(t) Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm nghiệm cho phương trình truyền nhiệt thuần nhất u_t = a^2 u_xx trong miền 0 < x < l và 0 < t ≤ T, với điều kiện ban đầu u(x, 0) = ϕ(x) và điều kiện biên u(0, t) = u(l, t) = 0.
Chúng ta tìm hàm u(x, t) thỏa mãn các điều kiện (2.6)-(2.7) có dạng tách biến u(x, t) = X(x)T(t) Ở đây, X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào biến x và T(t) chỉ phụ thuộc vào biến t Khi thay thế biểu thức (2.9) vào phương trình (2.6) và chia cả hai vế cho a²XT, chúng ta sẽ có được kết quả mong muốn.
X = −λ (2.10) với λ là hằng số (vì T T 0 chỉ phụ thuộc vào t và X X 00 chỉ phụ thuộc vào x).
Từ (2.10) ta có các phương trình sau
Vì vậy X(x) thỏa mãn phương trình
X 00 + λX = 0, X(0) = X(l) = 0 (2.14) Giải phương trình vi phân (2.14) ta tìm được λ = λ n = πn l
, n = 1,2,3 (2.15) và hàm X(x) tương ứng là
Với những giá trị λ = λ n xác định theo công thức (2.15) ta tìm được
Công thức T(t) = T n (t) = c n e −a 2 λ n t mô tả sự biến đổi theo thời gian, với c n là các hằng số sẽ được xác định sau Nghiệm của phương trình u n (x, t) = X n (x)T n (t) = c n e −a 2 λ n t X n (x) thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất Để đáp ứng thêm điều kiện ban đầu, ta xem xét chuỗi hình thức u(x, t).
Nếu u(x, t) cũng thoả mãn điều kiện đầu (2.7) thì ϕ(x) =u(x,0) ∞
Vì vậy, c n là hệ số Fourier cuả ϕ(x) và được xác định theo công thức c n = ϕ n = 2 l l
Chuỗi (2.19) đã được xác định đầy đủ, và chúng ta sẽ tìm các điều kiện cần thiết để đảm bảo chuỗi này hội tụ Đồng thời, chúng ta sẽ xem xét khả năng lấy đạo hàm của chuỗi (2.19) hai lần theo biến x và một lần theo biến t Mục tiêu của chúng ta là chứng minh các chuỗi này.
∂x 2 với t≥ t > 0 (t cố định) hội tụ đều Cho ϕ là hàm bị chặn bởi M
X n=1 α n (2.22) với α n = An q e −( πn l ) 2 a 2 t (2.23) và A là hằng số dương.
Chuỗi số dương (2.22) là chuỗi hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert n→∞lim α n+1 α n = lim n→∞(n+ 1 n ) q e −( π l ) 2 a 2 (n 2 + 2n+ 1)t e −( π l ) 2 a 2 n 2 t
Vì vậy, chuỗi (2.19) với t ≥ t > 0 là khả vi vô hạn Vì t là tuỳ ý nên u(x, t) hoàn toàn xác định với t > 0 và thỏa mãn (2.6)–(2.28).
Ta có thể thay đổi trật tự của phép lấy tổng và phép lấy tích phân với t > 0 như trên là vì chuỗi
X n=1 e −( πn l ) 2 a 2 t sin(πn x x) sin(πn l ξ) với t > 0 hội tụ đều theo ξ Đặt
Khi đó G(x, ξ, t) được gọi là hàm Green và u(x, t) có thể được viết dưới dạng u(x, t) l
Bây giờ ta xét phương trình truyền nhiệt không thuần nhất u t = a 2 u xx +f(x, t), 0 < x < l, 0< t ≤ T (2.26) với điều kiện đầu u(x,0) = 0,0 ≤x ≤ l (2.27) và điều kiện biên u(0, t) =u(l.t) = 0,0 < t ≤T (2.28)
Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng u(x, t) ∞
(2.29) Để xác định u(x, t) ta phải tìm u n (t) Với mục đích này ta biểu diễn f(x, t) dưới dạng chuỗi f(x, t) ∞
Thế (2.29) và (2.31) vào (2.26) ta được
Giải (2.33) với điều kiện đầu (2.35) ta được u n (t) t
Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính
tuyến tính trong không gian một chiều
Mục này trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [9] Xét bài toán tìm cặp hàm u = u(x, t) và f = f(x) thỏa mãn
Lu ≡ (p(x)u x ) x −q(x)u t = ρ(x)f(x),0 < x 0, tồn tại họ các hằng số A i N và B N i , i= 1,2 sao cho lim
N →∞B N i = 0 và một hằng số ν, 0 < ν 0, ta có kfk 2 2 ≤ ρ −1 ∗
Từ (2.64), (2.84) và (2.87) ta có kfk 2 2 ≤A N η 2α +B N , (2.88) trong đó A N và B N là họ các hằng số dương thỏa mãn lim
Nlim→∞B N = 0 Từ (2.63), (2.85) và Giả thiết 2 ta khẳng định rằng tồn tại một hằng số dương K 6 sao cho kz(., t)k 2 2 ≤ K 6 kf)k 2 2 Định lý được chứng minh.