CĂc hồ số khÊ tờng
Sau Ơy ta trẳnh b y mởt số kát quÊ vã cĂc hồ số khÊ tờng.
1.2.1 ành nghắa ([1]) Cho {x i } i∈I l mởt hồ cĂc số (thỹc ho°c phực).
Hồ {x i } i∈I ữủc gồi l khÊ tờng náu vợi mồi ε > 0, tỗn tÔi J 0 ∈ F(I ) sao cho vợi mồi J ∈ F (I ) m J > J 0 thẳ
Khi I = N, tập hợp các số thực {x_n} với n thuộc N tạo thành một chuỗi số P ∞ n=1 x_n, được gọi là chuỗi hội tụ Chuỗi này có thể được xác định là hội tụ tuyệt đối nếu tổng các số hạng tuyệt đối của nó hội tụ Chúng ta biết rằng điều kiện hội tụ tuyệt đối là cần thiết và đủ để chuỗi P ∞ n=1 x_n hội tụ, theo định lý Riemann.
Ta cƯn bờ ã ỡn giÊn sau.
1.2.3 Bờ ã ([8]) Náu vợi hồ cĂc số {x i } i∈I tuý ỵ, tỗn tÔi số C > 0 sao cho
Chựng minh Ưu tiản ta giÊ sỷ hồ {x i } i∈I l hồ cĂc số thỹc Vợi mội
Tiáp theo náu {x i } i∈I l hồ cĂc số phực thẳ hai hồ { Re x i } i∈I v { Im x i } i∈I l cĂc hồ số thỹc thọa mÂn giÊ thiát cừa bờ ã Do vêy
1.2.4 Mằnh ã ([8]) Hồ cĂc số {x i } i∈I l khÊ tờng khi v ch¿ khi tỗn tÔi
C > 0 sao cho vợi mồi J ∈ F (I ) thẳ P i∈J
Chựng minh iãu kiằn cƯn Náu {x i } i∈I l hồ khÊ tờng v cõ tờng l S thẳ tỗn tÔi J 0 ∈ F (I ) sao cho
|S J − S| < 1, ∀J > J 0 , trong â S J = P i∈J x i Khi õ vợi mồi J ∈ F (I ) ta cõ
|x i | thẳ theo Bờ ã 1.2.3 ta cõ P i∈J
|x i | < C vợi mồi J ∈ F (I ) iãu kiằn ừ GiÊ sỷ tỗn tÔi C > 0 sao cho P i∈J
Theo tẵnh chĐt cừa cên trản úng tỗn tÔi J 1 , , J n , thuởc F (I ) sao cho
Vợi mội n = 1, 2, Khi õ vợi mồi J ∩ J n = ∅ ta cõ
Nhữ vêy, vợi mội n = 1, 2, náu °t
|x i | ⩽ 1 n → 0 khi n → ∞ Chựng tọ {S n } l dÂy số Cauchy, vẳ vêy nõ hởi tử tợi S Cuối cũng ta ch¿ ra {x i } i∈I cõ tờng l S Vợi ε > 0 chồn n ừ lợn sao cho
2 v n 1 < ε 2 Khi õ, vợi mồi J ∈ F (I ) v J > J n ta cõ
1.2.5 Nhên x²t Tứ Mằnh ã 1.2.4, ta thĐy hồ số {x i } i∈I l khÊ tờng khi v ch¿ khi hồ {|x i |} i∈I khÊ tờng °c biằt
1.2.6 Hằ quÊ Náu hồ số {x i } i∈I l hồ khÊ tờng thẳ mồi x i = 0 trứ ra mởt têp ám ữủc.
Chựng minh Vợi cĂc J n , n = 1, 2, nhữ trong chựng minh iãu kiằn ừ cừa Mằnh ã 1.8, °t
Khi có một dãy số {x_i} với i thuộc I, ta có thể xác định rằng |x_i| < n với n = 1, 2, Khi n tiến đến vô cùng, x_i sẽ hội tụ về 0 Dãy số {x_i} được gọi là dãy bị chặn nếu tồn tại một hằng số M > 0 sao cho |x_i| < M với mọi i thuộc I.
{x i } i∈I : {x i } i∈I bà ch°n l khổng gian cĂc hồ số bà ch°n Trản l ∞ (I ) trang bà cĂc ph²p toĂn nhữ sau:
Ph²p cởng: Vợi mồi x = {x i } i∈I , y = {y i } i∈I ∈ l ∞ (I ) ,ta ành nghắa x + y = {x i + y i } i∈I
Ph²p nhƠn vợi vổ hữợng: Vợi mồi x = {x i } i∈I ∈ l ∞ (I ) v λ ∈ K , ta ành nghắa λx = {λx i } i∈I
Dạng kiểm tra đức hai phép toán cho trán l xác ảnh và với hai phép toán này, không gian tuyên tĩnh \( l^\infty(I) \) là một không gian Banach với chuẩn \( ||x||_{l^\infty} = \sup_{i \in I} |x_i| \).
1.2.8 ành nghắa ([8]) Hồ số {x i } i∈I ữủc gồi l hởi tử tợi 0 náu vợi mồi ε > 0, tỗn tÔi J 0 ∈ F (I ) sao cho
{x i } i∈I : {x i } i∈I hởi tử tợi 0 l khổng gian cĂc hồ hởi tử tợi 0
1.2.9 Mằnh ã C 0 (I ) l khổng gian con õng cừa l ∞ (I )
|x i | p < ∞ o l khổng gian cĂc hồ số p− khÊ tờng Dạ d ng kiºm tra ữủc l p (I ) l khổng gian con cừa C 0 (I ) Hỡn nỳa, bÊn thƠn l p (I ) l khổng gian Banach vợi chu©n kxk p = X i∈I
1 p. °c biằt khi p = 2 thẳ ta gồi l 2 (I ) l khổng gian cĂc hồ số bẳnh phữỡng khÊ tờng Nõ l khổng gian Hilbert vợi tẵch vổ hữợng
Khổng gian cĂc dÂy nhên giĂ trà trong khổng gian ành chuân 14 1.4 Khổng gian p -ành chu©n
Các kết quả trong mức n y cỡ bên  ữủc trảnh b y đã được theo dõi chặt chẽ Đặc biệt, giảng viên E đã xác định không gian chuẩn trữớng K Kết quả cho thấy l ∞ (E) = n x = {x n } ⊂ E, với {kx n k} là dãy số bậc chọn o.
Vợi cĂc ph²p toĂn cởng cĂc dÂy v nhƠn mởt số vợi mởt dÂy thổng thữớng ta cõ l ∞ (E) l khổng gian tuyán tẵnh v C (E) , C 0 (E) v l p (E) l cĂc khổng gian con cõa l ∞ (E) Hìn núa l p (E) ⊂ C 0 (E) ⊂ C(E) ⊂ l ∞ (E).
Náu E = K thẳ ta nhên ữủc cĂc khổng gian  trẳnh b y ð Vẵ dử 1.1.6.
1.3.1 ành lỵ ([3]) l ∞ (E) l khổng gian ành chuân vợi chuân ữủc xĂc ành bði kxk = sup n ⩾ 1 kx n k, (1.3) vợi mồi x ∈ l ∞ (E) Hỡn nỳa, náu E l khổng gian Banach thẳ l ∞ (E) l khổng gian Banach.
1.3.2 ành lỵ ([3]) C (E) v C 0 (E) l cĂc khổng gian con õng cừa l ∞ (E) °c biằt, náu E l khổng gian Banach thẳ C (E) v C 0 (E) cụng vêy.
1.3.3 ành lỵ ([3]) l p (E) l khổng gian ành chuân vợi chuân xĂc ành bði kxk p =
Hỡn nỳa, náu E l khổng gian Banach thẳ l p (E) l khổng gian Banach.
Trong mức n y, chúng tôi trình bày những kết quả cơ sở về không gian tuyến tính p -ành chuẩn hay viết gọn là không gian p -chuẩn Các kết quả chính của mức n y được rút ra từ [4].
Trong mửc n y, cĂc khổng gian v²c tỡ ữủc x²t trản trữớng K = R , C
Định nghĩa không gian p-chuẩn tràn E với p thuộc (0; 1] bao gồm các tính chất sau: i) Độ lớn kxk bằng 0 khi x bằng 0; ii) Độ lớn kλxk tương đương với |λ|^p nhân với độ lớn kxk, với λ thuộc K và x thuộc E; iii) Độ lớn kx + yk không vượt quá tổng độ lớn kxk và kỳ yk, với x và y thuộc E.
(E, k.k) gồi l khổng gian p -ành chuân, hay viát gồn l khổng gian p -chuân.1.4.2 Nhên x²t Ró r ng, náu p = 1 thẳ mội 1 -chuân l mởt chuân v mội khổng gian 1 -chuân l khổng gian ành chuân.
1.4.3 Vẵ dử X²t têp R vợi cĐu trúc tuyán tẵnh thỹc thổng thữớng Vợi
0 < p ⩽ 1 cố ành, x²t cổng thực kxk = |x| p , ∀x ∈ R
Khi õ, cổng thực trản xĂc ành mởt p -chuân trản R.
Tiêu chuẩn trần không gian vecto E được định nghĩa với các tính chất sau: Đầu tiên, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0 Thứ hai, kλxk = |λ|kxk đối với mọi λ ∈ K và x ∈ E Cuối cùng, tính chất kx + yk ⩽ σ(kxk + ky k) được áp dụng cho mọi x, y ∈ E, với σ ≥ 1 là một hằng số cố định.
Số σ nhọ nhĐt º iii) úng ữủc gồi l hơng số tỹa chuân cừa khổng gian
1.4.5 Nhên x²t 1) GiÊ sỷ (E, k.k) l khổng gian tỹa chuân Khi õ, hồ
B E (0, ε) = {x ∈ E : kxk < ε}, ε > 0 l cỡ sð lƠn cên tÔi 0 Hỡn nỳa, E l khổng gian mảtric tuyán tẵnh, do cỡ sð lƠn cên tÔi gốc cõ thº chồn l ám ữủc.
2) Náu k.k l mởt p -chuân trản E vợi 0 < p ⩽ 1 thẳ k.k 1 p xĂc ành mởt tỹa chuân, hỡn nỳa d p (x, y) = kx − yk 1 p l mảtric sinh ra tổpổ tuyán tẵnh trản E
Người ta còn chứng minh được rằng, nếu E là không gian và chọn một p-chuẩn k, thì d(p, y) = kx - yk 1 p là ma trận sinh ra tổ hợp tuyến tính tràn E Do đó, mọi không gian và chọn một phưỡng hoàn toàn xác định bởi một p-chuẩn nào đó, thực tế nó được xem như một không gian p-ảnh chuẩn.
1.4.6 ành nghắa Khổng gian p -ành chuân E ữủc gồi l p -Banach náu nõ Ưy ừ vợi mảtric sinh bði p -chuân.
Nhữ vêy mội khổng gian p -Banach l F − khổng gian.
1.4.7 Vẵ dử Khổng gian bà ch°n àa phữỡng l p , 0 < p < 1, ữủc xĂc ành bði p -chu©n kxk =
1.4.8 Mằnh ã Mội p -chuân l mởt h m thỹc liản tửc.
Chựng minh GiÊ sỷ k.k l mởt p -chuân trản E Ta chựng minh bĐt ¯ng thùc sau
|kxk − kyk| ⩽ kx − yk vợi mồi x, y ∈ E
Thêt vêy, vợi mồi x, y ∈ E kxk = kx − y + yk ⩽ kx − yk + kyk.
Suy ra kxk − kyk ⩽ kx − yk (1.5) M°t kh¡c kyk = ky − x + xk ⩽ ky − xk + kxk = | − 1| p kx − yk + kxk = kx − y k + kxk.
BĐt ¯ng thực n y chựng tọ p -chuân liản tửc.
Khổng gian cĂc dÂy nhên giĂ trà trong khổng gian p -ành chuân 18
CĂc kát quÊ cừa mửc n y ữủc ã xuĐt v chựng minh trong [2] CĂc kát quÊ cừa Mửc 1.3 l hằ quÊ cừa mửc n y khi p = 1
Trong cÊ mửc n y, ta x²t E l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân k.k
Ta kỵ hiằu l ∞ (E) = n x = {x n } ⊂ E : {kx n k} : l d¢y sè bà ch°n o
Ta cõ kát quÊ sau
1.5.1 ành lỵ l ∞ (E) l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân ữủc xĂc ành bði kxk = sup n⩾1 kx n k, (1.7) vợi mồi x ∈ l ∞ (E) Hỡn nỳa, náu E l khổng gian p -Banach thẳ l ∞ (E) l khổng gian p -Banach.
Tiáp theo ta x²t lợp khổng gian cĂc dÂy hởi tử tợi 0 nhên giĂ trà trong khổng gian p -ành chuân Kỵ hiằu
1.5.2 ành lỵ C 0 (E) l cĂc khổng gian con õng cừa l ∞ (E) °c biằt, náu E l khổng gian p -Banach thẳ C 0 (E) l khổng gian p -Banach.
C (E) = n x = {x n } ⊂ E : hởi tử trong E o 1.5.3 ành lỵ C(E) l cĂc khổng gian con õng cừa l ∞ (E) °c biằt, náu
E l khổng gian p -Banach thẳ C (E) l khổng gian p -Banach.
1.5.4 ành lỵ l q (E) l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân xĂc ành bði kxk q =
Hỡn nỳa, náu E l khổng gian p -Banach thẳ l q (E) l khổng gian p -Banach.
1.5.5 ành lỵ l[E] l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân xĂc ành bði kxk = sup n ⩾ 1 kx n k, ∀x ∈ l[E] (1.9)
V CC HÅ NHN GI TRÀ TRONG KHặNG GIAN
Trong bài viết này, chúng tôi xây dựng các hồ trong không gian p-Banach, một không gian chứa các hàm số liên tục Ở mức thứ hai, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của không gian này Các nội dung được trình bày trong bài viết đã được chúng tôi chứng minh dựa trên những kết quả quen thuộc của lý thuyết không gian và các định lý liên quan.
2.1 CĂc hồ bà ch°n trong khổng gian p -ành chuân
Trong cÊ mửc n y, ta x²t E l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân k.k v I l têp ch¿ số tũy ỵ Ta kỵ hiằu l ∞ (E) = n x = {x i } i∈I ⊂ E : {kx i k} l hồ số bà ch°n o
Náu I đề cập đến việc tạo ra một không gian chứa các hồ và lựa chọn trong không gian phân vùng chuẩn A, trong khi Náu E liên quan đến việc tạo ra không gian chứa các hồ số và lựa chọn thông thường.
Ta cõ kát quÊ sau.
2.1.1 ành lỵ l ∞ (E) l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân ữủc xĂc ành bði kxk = sup i∈I kx i k, (2.1) vợi mồi x ∈ l ∞ (E) Hỡn nỳa, náu E l khổng gian p -Banach thẳ l ∞ (E) l khổng gian p -Banach.
Chứng minh rằng tập hợp các phép toán trên không gian l∞(E) xác định bởi x + y = {x_i + y_i}, λx = {λx_i} với mọi x = {x_i}, y = {y_i} ∈ l∞(E) và λ ∈ K Đầu tiên, cần chỉ ra các phép toán xác định Nếu x, y ∈ l∞(E), thì suy ra sup_{i∈I} ||x_i|| < ∞ và sup_{i∈I} ||y_i|| < ∞ Do đó, sup_{i∈I} ||x_i + y_i|| ≤ sup_{i∈I} ||x_i|| + sup_{i∈I} ||y_i|| < ∞, từ đó kết luận rằng x + y ∈ l∞(E) Đối với mọi λ ∈ K, ta có sup_{i∈I} ||λx_i|| = sup_{i∈I} |λ| ||x_i||.
Nếu \( \lambda p_k x_i k < \infty \), thì tập hợp \( \{ \lambda x \} \) thuộc không gian \( l^\infty(E) \) Điều này cho thấy các phép toán trên không gian này là xác định Hơn nữa, chúng ta cũng có thể kiểm tra rằng \( l^\infty(E) \) là không gian tuyến tính với hai phép toán là phép cộng và phép nhân tỷ lệ, trong đó \( \theta \) là một phần tử trong \( l^\infty(E) \) với \( i = 0 \) và mỗi \( i \in I \) đều có phần tử tỷ lệ không bằng 0 trong \( E \).
Bằng cách sử dụng định nghĩa chuẩn l∞, ta có thể kiểm tra các điều kiện của chuẩn p Rõ ràng, chuẩn l∞ được xác định là sup i∈I kx_i k ≥ 0 với mọi x = {x_i} thuộc l∞(E) Hơn nữa, ta có kxk = sup i∈I kx_i k = 0 nếu và chỉ nếu kx_i k = 0 cho mọi i, tức là x_i = 0 cho mọi i, và điều này tương đương với x = θ.
Vợi λ ∈ K v x = {x i } ∈ l ∞ (E) ta cõ kλxk = sup i∈I kλx i k = sup i ⩾ 1
Vợi x, y ∈ l ∞ (E) ta cõ kx + yk = sup i∈I kx i + y i k ⩽ sup i∈I kx i k + sup i∈I ky i k = kxk + kyk.
Vêy, l ∞ (E) l khổng gian p -ành chuân.
GiÊ sỷ E l khổng gian p -Banach v {x k } ⊂ l ∞ (E) l dÂy Cauchy Khi õ, vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi k 0 sao cho kx k − x l k = sup i∈I kx k i − x l i k < ε, ∀k, l ⩾ k 0 (2.3)
Trong không gian p-Banach E, nếu dãy {x_k} là dãy Cauchy với điều kiện ∀ ε > 0, tồn tại k_0 sao cho ∀ k, l ≥ k_0, ta có ||x_k - x_l|| < ε, thì giới hạn k→∞ x_k = x ∈ E Khi k tăng đến vô hạn, ta có ||x_k - x_i|| < ε cho mọi i, dẫn đến ||x_i|| ≤ ||x_k - x_i|| + ||x_k|| < c < ∞ với mọi i ∈ I, cho thấy x ∈ l∞(E) Nếu E = K, ta có những kết quả quan trọng tiếp theo.
2.1.2 Hằ quÊ l ∞ ( K ) l khổng gian p -Banach vợi p -chuân kxk = sup i∈I
Khi p = 1 ta cõ hằ quÊ sau.
2.1.3 Hằ quÊ Náu E l khổng gian ành chuân thẳ l ∞ (E) l khổng gian ành chuân °c biằt, náu E l khổng gian Banach thẳ l ∞ (E) l khổng gianBanach.
CĂc hồ hởi tử tợi 0 v cĂc hồ hởi tử trong khổng gian p -Banach 23 2.3 CĂc hồ khÊ tờng trong khổng gian p -ành chu©n
Tiáp theo ta x²t lợp khổng gian cĂc hồ hởi tử tợi 0 nhên giĂ trà trong khổng gian p -ành chuân Kỵ hiằu
Ta nhưc lÔi rơng, hồ {x i } ữủc gồi l hởi tử tợi 0 náu vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi
J 0 ∈ F (I ) sao cho kx i k < ε vợi mồi i ∈ I \ J 0
2.2.1 ành lỵ C 0 (E) l khổng gian con õng cừa l ∞ (E) °c biằt, náu E l khổng gian p -Banach thẳ C 0 (E) l khổng gian p -Banach.
Chựng minh Ta ch¿ ra C 0 (E) l khổng gian con cừa l ∞ (E) GiÊ sỷ x =
{x i }, y = {y i } ∈ C 0 (E) Khi õ, vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi J 1 , J 2 ∈ F (I ) sao cho kx i k < ε vợi mồi i ∈ I \ J 1 v 2 ky i k < ε vợi mồi i ∈ I \ J 2 °t J 0 = J 1 ∪ J 2 Khi õ,2 J 0 ∈ F (I ) v kx i − y i k ⩽ kx i k + ky i k < ε vợi mồi i ∈ I \ J 0 Vẳ vêy x − y ∈ C 0 (E)
Ta chùng minh C 0 (E) âng trong l ∞ (E) Gi£ sû {x k } ⊂ C 0 (E) v x k → x trong l ∞ (E) Khi õ, vợi mội ε > 0 tỗn tÔi k 0 sao cho kx k − xk = sup i∈I kx k i − x i k < ε, ∀k ⩾ k 0 (2.5) Vẳ x k 0 ∈ C 0 (E) nản tỗn tÔi J 0 sao cho kx k i 0 k < ε, ∀i ∈ I \ J 0 (2.6)
Tứ (2.5) v (2.6) ta nhên ữủc kx i k ⩽ kx k i 0 − x i k + kx k i 0 k < 2ε vợi mồi i ∈ I \ J 0 , tực l x ∈ C 0 (E) Vẳ thá C 0 (E) õng trong l ∞ (E) Náu
E l khổng gian p -Banach thẳ l ∞ (E) cụng l khổng gian p -Banach Do õ, khổng gian con õng C 0 (E) cừa nõ cụng l khổng gian p -Banach.
Khi E = K, ta nhên ngay cĂc hằ quÊ sau.
2.2.2 Hằ quÊ C 0 (K) l khổng gian p -Banach vợi p -chuân kxk = sup i∈I
Khi p = 1 ta cõ hằ quÊ sau.
2.2.3 Hằ quÊ Náu E l khổng gian ành chuân thẳ C 0 (E) l khổng gian ành chuân °c biằt, náu E l khổng gian Banach thẳ C 0 (E) l khổng gian Banach.
Ta nhưc lÔi rơng, hồ {x i } ữủc gồi l hởi tử tợi x náu vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi
J 0 ∈ F (I ) sao cho kx i − xk < ε vợi mồi i ∈ I \ J 0
2.2.4 ành lỵ C (E) l cĂc khổng gian con cừa l ∞ (E) °c biằt, náu E l khổng gian p -Banach thẳ C (E) l khổng gian p -Banach.
Chựng minh Dạ d ng kiºm tra ữủc C(E) l khổng gian con cừa l ∞ (E) GiÊ sỷ E l khổng gian p -Banach v {x k } ⊂ C(E) , hởi tử tợi x ∈ l ∞ (E)
Ta s³ ch¿ ra x ∈ C(E) Thêt vêy, vợi mồi ε > 0 tứ lim k→∞ x k = x suy ra tỗn t¤i k 0 sao cho kx k − xk = sup i∈I kx k i − x i k < ε
3 (2.8) vợi mồi k ⩾ k 0 v vợi mồi n = 1, 2, M°t khĂc, vẳ {x k i 0 } hởi tử trong E nản nõ l dÂy Cauchy, tực l tỗn tÔi J 0 ∈ F (I ) sao cho kx k i 0 − x k j 0 k < ε
3 (2.9) vợi mồi i, j / ∈ I \ J 0 BƠy giớ, vợi i, j / ∈ I \ J 0 ta cõ kx i − x j k ⩽ kx i − x k i 0 k + kx k i 0 − x k j 0 k + kx k j 0 − x j k < ε
Với dãy {x_i} trong không gian E, nếu E là không gian p-Banach và x = {x_i} hội tụ trong E, thì x thuộc C(E) Hơn nữa, C(E) là không gian con của l∞(E) Nếu E là không gian p-Banach, thì l∞(E) cũng là không gian p-Banach, và do đó, C(E) cũng là không gian p-Banach.
Khi E = K , ta nhên ngay cĂc hằ quÊ sau.
2.2.5 Hằ quÊ C(E) l khổng gian p -Banach vợi p -chuân kxk = sup i∈I
Khi p = 1 ta cõ hằ quÊ sau.
2.2.6 Hằ quÊ Náu E l khổng gian ành chuân thẳ C (E) l khổng gian ành chuân °c biằt, náu E l khổng gian Banach thẳ C(E) l khổng gian Banach.
2.3 CĂc hồ khÊ tờng trong khổng gian p -ành chuân º tiằn cho viằc chựng minh ành lỵ, ta kỵ hiằu l q (E) = n x = {x i } ⊂ E : X i∈I kx i k q < ∞ o
2.3.1 ành lỵ l q (E) l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân xĂc ành bði kxk q = X i∈I kx i k q 1/q
Hỡn nỳa, náu E l khổng gian p -Banach thẳ l q (E) l khổng gian p -Banach.
Chựng minh Ưu tiản, l q (E) l khổng gian con cừa l ∞ (E) GiÊ sỷ x =
{x i }, y = {y i } ∈ l q (E) Khi õ, P i∈I kx i k q < ∞, tực l tỗn tÔi C 1 , C 2 l cĂc hơng số dữỡng sao cho cĂc dÂy suy rởng
S J 1 = X i∈J kx i k q , S J 2 = X i∈J ky i k q hởi tử tợi C 1 , C 2 tữỡng ựng, trong õ J ∈ F (I) Thá thẳ, vợi mồi ε > 0 tỗn t¤i J 1 , J 2 ∈ F (I ) sao cho
|(S J 1 + S J 2 ) − (C 1 + C 2 )| ⩽ |S J 1 − C 1 | + |S J 2 − C 2 | < ε + ε = 2ε vợi mồi J ⊃ J 0 = J 1 ∪ J 2 Vẳ vêy (S J 1 + S J 2 ) hởi tử tợi C 1 + C 2 , tực l
Ta cõ x − y = {x i − y i } i∈I Thá thẳ, tứ
X i∈I kx i − y i k q ⩽ 2 q X i∈I kx i k q + 2 q X i∈I ky i k q suy ra
Vẳ vêy x − y ∈ l q (E) Tiáp theo, ta chựng minh (2.10) l p -chuân trản l p (E)
Vợi x, y ∈ l ∞ (E) , nhớ bĐt ¯ng thực Holder ta cõ kx + yk q =
Vêy l q (E) l khổng gian p -ành chuân.
GiÊ sỷ E l khổng gian p -Banach v {x k } ⊂ l q (E) l dÂy Cauchy Khi õ, vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi k 0 sao cho kx k − x l k q = X i∈I kx k i − x l i k q 1/q
Suy ra, với mọi i ∈ I, ta có kx_k_i − x_l_i k < ε với mọi k, l ≥ k_0, tức là dãy {x_k_i} ∞ k=1 là dãy Cauchy trong không gian E Nếu E là không gian p-Banach, thì lim k→∞ x_k_i = x_i ∈ E, với mọi i ∈ I Khi đó, từ (2.11) cố định k ≥ k_0 cho l → ∞, ta nhận được kết quả mong muốn.
Tứ (2.12) suy ra x k 0 − x ∈ l q (E) Vẳ vêy x = x k 0 − (x k 0 − x) ∈ l q (E), tực l kx k − xk q < ε vợi mồi k ⩾ k 0 , hay x k → x khi k → ∞ Nhữ vêy l q (E) l khổng gian Banach.
Ta kỵ hiằu l[E] = n x = {x i } ⊂ E : X i∈I x i hởi tử trong E o
2.3.2 ành lỵ l[E] l khổng gian p -ành chuân vợi p -chuân xĂc ành bði kxk = sup i ⩾ 1 kx i k, ∀x ∈ l[E] (2.13)
Chựng minh Vợi mội x = {x i }, y = {y i } ∈ l[E] Khi õ, P i∈I x i = u ∈ E v P ∞ i∈I y i = v ∈ E, tùc l lim J S J 1 = u, lim
J S J 2 = v, trong â S J 1 = P i∈J x i , J ∈ F (I ) v S J 2 = P i∈J y i , J ∈ F(I ) Khi õ, vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi J 1 , J 2 ∈ F (I ) sao cho kS J 1 − uk < ε vợi mồi J ⊃ J 1 v kS J 2 − vk < ε vợi mồi J ⊃ J 2 Thá thẳ k(S J 1 + S J 2 ) − (u + v)k ⩽ kS J 1 − uk + kS J 2 − vk < 2ε vợi mồi J ⊃ J 1 ∪ J 2 Suy ra lim J (S J 1 + S J 2 ) = u + v.
Do â P i∈I (x i + y i ) = u + v ∈ E Chùng minh t÷ìng tü ta câ λx ∈ l[E] vợi mồi λ ∈ K v x ∈ E Suy ra l[E] l khổng gian con cừa l ∞ (E) Vẳ vêy, nõ l p -ành chuân vợi p -chuân xĂc ành bði kxk = sup i∈I kx i k, ∀x ∈ l[E] (2.14)
Khi p = 1 ta cõ hằ quÊ sau.
2.3.3 Hằ quÊ Náu E l khổng gian ành chuân thẳ l[E] l khổng gian ành chu©n.
Kát luên Luên vôn  thu ữủc cĂc kát quÊ chẵnh sau:
Tranh bày một số kết quả nổi bật và các hồ sơ như hồ sơ bà chọn, hồ sơ khê tường, hồ hởi tử tợi khổng, cùng với các hồ tưởng ưng nhiên về giá trị trong không gian ngành chuẩn.
2 XƠy dỹng cĐu trúc cĂc hồ nhên giĂ trà trong khổng gian p -ành chuân thº hiằn ð cĂc ành lỵ 2.1.1, ành lỵ 2.2.1, ành lỵ 2.3.1.
3 ữa ra mởt số tẵnh chĐt cuÊ khổng gian cĂc hồ nhên giĂ trà trong khổng gian p -ành chuân, thº hiằn ð cĂc hằ quÊ 2.1.2, hằ quÊ 2.1.3, hằ quÊ2.2.2,