Đối đồng điều của các không gian đối xứng compact
Chương 2: Đồng điều nguyên của C ∗ − đại số nhóm trình bày cách tính đồng điều nguyên của C ∗ − đại số nhóm thông qua phương pháp đồng điều nguyên của đại số Banach Chúng tôi tập trung vào hai trường hợp cụ thể: C ∗ − đại số của mặt cầu và đồng điều nguyên của C ∗ − đại số của mặt cầu lượng tử tương ứng.
Đồng điều nguyên của C ∗ − đại số của mặt cầu
2.2 Đồng điều nguyên của C ∗ −đại số của mặt cầu lượng tử.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người đã hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, cùng với Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trường ĐH Vinh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình trong chương trình cao học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy (Cô) giáo, đồng nghiệp trong Tổ Toán và Ban Giám hiệu Trường THPT Quỳnh Lưu 3 đã tạo điều kiện thuận lợi và hỗ trợ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Mặc dù đã nỗ lực hết mình, luận văn vẫn còn một số hạn chế do năng lực của tác giả Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các nhà khoa học và đồng nghiệp để có thể hoàn thiện luận văn một cách tốt nhất.
Nghệ An, ngày 10 tháng 5 năm 2016
Trong chương này, chúng tôi hệ thống hóa các khái niệm và tính chất cơ bản về đại số Lie và nhóm Lie, đồng thời làm rõ mối liên hệ giữa chúng Chúng tôi cũng trình bày cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact và khái niệm đồng điều của các không gian đối xứng compact Các kết quả được trình bày dưới dạng Định nghĩa, Định lý và Hệ quả.
1.1 Đại số Lie - Nhóm Lie
Không gian véctơ g trên trường K được gọi là đại số Lie trên K nếu nó có một phép nhân được gọi là tích Lie.
(x, y) 7−→ [x, y] sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:
(L 1 ) Tích Lie là toán tử song tuyến tính, tức là:
(L2) Tích Lie phản xứng, tức là: [x, x] = 0, ∀x ∈ g
(L3) Tích Lie thỏa mãn đẳng thức Jacôbi, tức là:
Chú ý: Nếu K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với
Nếu [x, y] = 0,∀x, y ∈ g thì người ta nói tích Lie tầm thường và đại số Lie giao hoán.
Số chiều của đại số Lie tương ứng với số chiều của không gian véctơ g, trong đó g là một không gian hữu hạn chiều trên trường K Nếu chiều của g là n, cấu trúc đại số Lie trên g được xác định thông qua tích Lie của từng cặp véctơ thuộc cơ sở {e1, e2, , en} đã được chọn trước.
[e i , e j ] :∑ n k=1 c k ij e k , 1≤ i < j ≤n, c ij ∈ K các hệ số c ij được gọi là hằng số cấu trúc đại số Lie g
Cho A là đại số (kết hợp) trên trường K Đối với mọi cặp (x, y) ∈ A², ta định nghĩa [x, y] = xy − yx, từ đó A trở thành đại số Lie Cụ thể, đại số Mat(n, K) gồm các ma trận vuông cấp n với phần tử trên K cũng được xem là đại số Lie với tích Lie được xác định bởi [A, B] = AB − BA, với mọi A, B ∈ Mat(n, K).
Ví dụ 2 Xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K− không gian véctơ V.
Khi đóEnd(V) trở thành một đại số Lie, với tích Lie được xác định như sau:
Ví dụ 3 ChoA là đại số trên trường K Toán tử tuyến tính φ : A −→ A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu: φ(x.y) =φ(x)y −xφ(y).
Ký hiệu Der(A) đại diện cho tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A Der(A) không chỉ trở thành một đại số trên K với phép nhân là phép hợp thành ánh xạ, mà còn là một đại số Lie trên K, trong đó tích Lie được định nghĩa một cách rõ ràng.
1.1.3 Đồng cấu và đẳng cấu đại số Lie
Chog 1 và g 2 là hai K−đại số Lie và f : g 1 −→ g 2 là một ánh xạ Khi đó ánh xạf là một đồng cấu đại số Lie nếu:
(i) f là ánh xạ K−tuyến tính.
(ii) f bảo tồn móc Lie, tức là: f([x, y]) = [f(x), f(y)],∀x, y ∈ g 1
Nếu f là một song ánh, thì f được gọi là đẳng cấu đại số Lie, và các đại số Lie trên trường K tạo thành một phạm trù với các đồng cấu đại số Lie là các cấu xạ Mỗi đồng cấu đại số Lie f: g₁ → End(V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của g₁ trong không gian véctơ V, ký hiệu là (f, V) Nếu dim(V) = n < ∞, khi cố định cơ sở của V, ta có f: g₁ → End(V) tương đương với M at(n, K) Đôi khi, thuật ngữ "biểu diễn" được sử dụng thay cho "biểu diễn tuyến tính" Khi f là một đơn ánh, f được gọi là biểu diễn khớp.
1.1.4 Biểu diễn chính quy của đại số Lie
Đại số Lie Chog được xác định bởi Der(g) = {f : g −→ g | f là toán tử vi phân} Đồng cấu đại số Lie ad : g −→ Der(g) ⊂ End(g) được định nghĩa bởi x 7−→ ad x, trong đó ad x : g −→ g và y 7−→ ad x (y) = [x, y] là biểu diễn tuyến tính ad của g trong chính g Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của g Hạt nhân của biểu diễn này, Ker(ad) = {x ∈ g | ad x ≡ 0}, chính là tâm của g.
Ví dụ 4 Xét đại số Lieg = R 3 ,với móc Lie là tích có hướng thông thường Khi đó,
∀v = (a, b, c) ∈ g = R 3 ta có biểu diễn chính quy củag được cho bởi ma trận như sau: ad v [ 0 c −b
Tâm của đại số Lie g là tầm thường, điều này cho thấy rằng biểu diễn ad ở đây là khớp Cụ thể, đại số Lie g tương đương với R^3, với phép Lie là tích vô hướng thông thường, tương đương với đại số Lie của các ma trận phần tử thực, có tính chất phản xứng cấp 3.
1.1.5 Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh
Cho g là đại số Lie và M là không gian con của g Không gian con M được gọi là đại số con của g nếu [M, M] ⊂ M và M là iđêan của g nếu [g , M] ⊂ M.
Trong đó ta ký hiệu
Khi M là một iđêan của g thì không gian thươngg /M trở thành một đại số Lie với tích Lie được định nghĩa như sau: g /M × g /M −→ g /M
Cho g là K−đại số Lie Đặt g 1 := [g , g], g 2 := [g 1 , g 1 ], , g n := [g n−1 , g n−1 ] (n≥ 2) g 1 := [g , g] = g 1 , g 2 := [g 1 , g], , g n := [g n − 1 , g] (n ≥ 2).
Mệnh đề Với những ký hiệu ở trên, ta có:
(i) g k và g k là các iđêan của g Riêng g k được gọi là iđêan dẫn xuất thứ k của g víi k = 1,2,3,
(ii) Nếu dim(g) < ∞thì tồn tại n∈ N sao cho: g n = g n+1 = = g ∞ g n = g n+1 = = g ∞ Đại số Lie g gọi là giải được nếu g ∞ = {0}và g gọi là lũy linh nếu g ∞ = {0}.
Chỉ sốnnhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh).
(đại số các ma trận tam giác trên) là đại số Lie giải được có số chiều là n(n+ 1)
(đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là đại số Lie giải được có số chiều là n(n−1)
Định lý Lie khẳng định rằng nếu f là một biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie g trên không gian véctơ V với trường đóng đại số K, thì f tương đương với biểu diễn ma trận tam giác, tức là f(x) thuộc T(n, K) cho mọi x thuộc g Đồng thời, Định lý Angel cho biết đại số Lie g là lũy linh nếu và chỉ nếu với mọi x thuộc g, toán tử ad x là toán tử lũy linh, nghĩa là tồn tại n ∈ N* sao cho (ad x)^n = 0.
Một nhóm Lie được định nghĩa là tập hợp G̸= ∅ thỏa mãn các điều kiện sau: thứ nhất, G phải là một nhóm; thứ hai, G cần phải là một đa tạp khả vi; và thứ ba, các ánh xạ tích trong G phải được xác định.
G×G −→ G; (x, y) 7−→ xy và ánh xạ lấy phần tử nghịch đảo
G−→ G;x 7−→x −1 là các ánh xạ trơn.
Nhóm Lie G được xem là nhóm giao hoán khi phép toán nhóm của nó giao hoán Số chiều của nhóm Lie G tương ứng với số chiều của đa tạp khả vi G Với cấu trúc đa tạp khả vi và nhóm, nhóm Lie cho phép áp dụng nhiều công cụ từ đại số, giải tích, tôpô đến hình học vi phân để nghiên cứu cấu trúc của nó.
1.1.7 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm Lie
Ví dụ 6 Tập hợp G = R các số thực với phép cộng các số thực là một nhóm Lie, gọi là nhóm cộng tính và được ký hiệu là G a
•Tập hợp G = R ∗ các số thực khác không với phép nhân các số thực là một nhóm Lie, gọi là nhóm nhân và được ký hiệu làG m
Đồng điều nguyên của C ∗ − đại số của mặt cầu lượng tử
Trong phần này, chúng tôi sử dụng các kết quả đã thu được để tính Đồng điều nguyên cho trường hợp không gian thuần nhất không giao hoán, cụ thể là C ∗ -đại số của mặt cầu lượng tử, được ký hiệu là C ϵ ∗ (S 2n+1 ).
Giả sử G là nhóm Lie phức và đại số hàm lượng tử trên G được ký hiệu là F ϵ (G), được tham số hóa bởi cặp (ω, t), trong đó t là phần tử của xuyến cực đại của G và ω là phần tử của nhóm Weyl của T trong G Để mô tả đại số hàm lượng tử của mặt cầu S 2n+1, chúng ta xem xét các quỹ đạo của nhóm tác động SU(n+1) trên các véctơ trọng trội v0 trong tập hợp biểu diễn tiêu chuẩn (n+1)-chiều V của SU(n+1) Nếu t rs là một phần tử của ma trận trong V với 0 ≤ r, s ≤ n, thì đại số của các hàm trên quỹ đạo của nhóm tác động SU(n+1) được sinh bởi phần tử ma trận t rs.
F(S 2n+1 ) =C[t 00 , , t n0 , t 00 , , t n0 ]/ ∼, trong đó quan hệ tương đương∼ được xác định từ hệ thức
∑ n s=0 t s0 t s0 = 1, vớit s0 là liên hợp phức của t s0
Cấu trúc của đại số Hopf F(SL n+1 (C)) được mô tả bởi mệnh đề 2.4.1, trong đó t ∗ s = (−ϵ) r−s qdet(T b rs ), với Tb rs là ma trận thu được từ ma trận T bằng cách loại bỏ hàng thứ r và cột thứ s Định nghĩa 2.4.2 chỉ ra rằng đại số con của F ϵ (SL n+1 (C)) được sinh bởi phần tử t s0 và t ∗ s0, với s = 1, n, được gọi là đại số hàm lượng tử trên mặt cầu S 2n+1 và được ký hiệu là
Nếu ký hiệuz s = t so thì từ Mệnh đề 2.4.1 và Định nghĩa 2.4.2, trong F ϵ (S 2n+1 ) chóng ta cã
∑ n s=0 z s z s ∗ = 0 Định lý 2.4.3 Mỗi ∗− biểu diễn bất khả quy của F ϵ (S 2n+1 ) tương đương với một trong các trường hợp sau i) Biểu diễn 1− chiều ρ 0,t với t ∈ S 1 , được cho bởi công thức
{ρ 0,t (z 0 ∗ ) = t − 1 ρ 0,t (z r ∗ ) = 0 nÕu r > 0 ii) Biểu diễnρ r,t với 1 6 r 6 n, và t∈ S 1 trên không gian Hilbert là tích tenxơ
0 nÕu s > r trong đó biểu diễnρ 0,t tương đương với hạn chế của biểu diễnT t củaF ε (SL n+1 (C)) và vớir > 0biểu diễn ρ r,t tương đương với hạn chế củaπ s 1 ⊗π s 2 ⊗ ⊗π s 1 ⊗ T t
Theo kết quả ở trong [6], ta có biểu diễn ⊕ ω ∈ W
T ρ ω,t dt là biểu diễn chính xác.
Mặt khác, hạn chế của biểu diễn ⊕ ω ∈ W
T ρ ω,t dttrên đại số conSU(n+ 1)chính là biÓu diÔn ∑ n r=1
Ker(ρ r,t ) ={e}, nghĩa là biểu diễn ∑ n r=1
S 1 ρ r,t dtlà chính xác và dim(ρ r,t ) {1nÕu r = e
∞nÕu r ̸= e Định nghĩa 2.4.4 C ∗ − đại số của mặt cầu lượng tử S 2n+1 (ký hiệu là C ε ∗ (S 2n+1 )) là C ∗ − bổ sung của ∗−đại số F ϵ (S 2n+1 ) với C ∗ − chuẩn
Trong bài viết này, chúng ta xem xét chuẩn của không gian C ∗, được định nghĩa bởi ∥f∥ C ∗ = sup ρ ∥ρ(f)∥ với f thuộc F ϵ (S 2n+1 ) Ở đây, ρ là ∗−biểu diễn của F ϵ (S 2n+1 ) theo Định lý 2.4.3, và chuẩn bên phải được xác định là chuẩn toán tử Định nghĩa này mang lại một chuẩn chính quy, với điều kiện ∥f ◦ f ∗ ∥= ∥f∥ 2 Theo Định lý 2.4.5, nếu C ε ∗ (S 2n+1 ) là C ∗−đại số của mặt cầu lượng tử S 2n+1, thì các tính chất của chuẩn này có thể được áp dụng trong các nghiên cứu tiếp theo.
K(H r,t )dt, trong đóC(S 1 )là đại số của những hàm nhận giá trị phức, liên tục trênS 1 và K(H) là iđêan của những toán tử compact trên không gian Hilbert H.
Chứng minh Theo Định lý 2.4.3, với r > 0 thì biểu diễn ρ r,t tương đương với hạn chế của một biểu diễn π s i
Trong bài viết này, chúng ta xem xét cấu trúc của biểu diễn một chiều T t của F ε (SL 2(C)), với π s ik là hợp thành của đồng cấu F ε (S 2n+1) → F ε (SL 2(C)) Biểu diễn này được thể hiện trong không gian ℓ(N) ⊗ r, nơi t thuộc S 1.
T t (a) =t, T t (b) = T t (c) = 0 T t (d) =t −1 và đại số F ε (SL 2(C)) được sinh bởi ma trận A [a b c d
Mặt khác, biễu diễnπ s i là CCR, do đó ta có π s i (C ∗ (S 2n+1 )) ∼= K(H r,t ).
∼= K(H r,t ), trong đóH r,t = H s i 1 ⊗ H s ik ⊗C Do vậy ρ r,t (C ϵ ∗ (S 2n+1 )) ∼= K(H r,t )
Biểu diễn ρ r,t là một hạn chế của CCR, trong khi biểu diễn ρ ω,t cũng thuộc CCR Sử dụng phương pháp biểu diễn cảm sinh của đại số C ∗, ta có thể đạt được kết quả mong muốn.
Bây giờ, ta tính K ∗ (C ϵ ∗ (S 2n+1 )) và HE ∗ (C ϵ ∗ (S 2n+1 )) của C ∗ − đại số của mặt cầu lượng tử. Định lý 2.4.6 Giả sử C ϵ ∗ (S 2n+1 ) là C ∗ − đại số của mặt cầu lượng tử S 2n+1
Chứng minh Theo Định lý 2.4.5, ta có
Mặt khác vìC(Z n+1 ìS 1 ) là C −đại số giao hoán, khi đó theo Mệnh đề 2.3.1,
Kết luận của luận văn
Luận văn đã hoàn thành những nội dung sau đây:
Bài viết trình bày các khái niệm cơ bản về lý thuyết C∗-đại số của các nhóm Lie compact và lý thuyết biểu diễn liên quan Đồng thời, nó cũng khám phá lý thuyết đồng điều nguyên của các đại số Banach đối hợp và đồng điều nguyên trong bối cảnh C∗-đại số nhóm.
Sử dụng phương pháp xây dựng đồng điều nguyên của C∗-đại số trong đại số Banach của Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư, chúng ta có thể trình bày lại cách tính đồng điều nguyên cho C∗-đại số của mặt cầu S^n và mặt cầu lượng tử tương ứng.