Đại số q -Brauer
Chương 2 của luận văn trình bày các môđun liên quan đến đại số q-Brauer, được xây dựng từ môđun hoán vị của đại số Iwahori-Hecke Chúng tôi giới thiệu dãy lọc Specht cho các môđun Specht của đại số q-Brauer, với các hệ số lọc độc lập tương tự như trong dãy lọc Specht của môđun hoán vị Cuối cùng, chương này cung cấp một số ví dụ minh họa cho các kết quả tổng quát đã nêu.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Tiến Dũng, người đã tận tình hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy và các thầy cô giáo khoa sư phạm Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kiến thức quý báu.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, mặc dù đã nỗ lực hết mình, luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót do hạn chế về thời gian và kiến thức Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các thầy cô và bạn bè để hoàn thiện hơn cho luận văn này Trân trọng!
1.1 Một số kiến thức cơ sở về tổ hợp
Nhóm đối xứng S n là tập hợp tất cả các song ánh từ tập {1, 2, 3, , n} vào chính nó, với phép toán nhóm được xác định qua phép hợp thành các ánh xạ Mỗi ánh xạ π thuộc S n được gọi là một hoán vị.
2) Kí hiệu: Đối với một hoán vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách kí hiệu khác nhau như sau.
Cách 1: Kí hiệu hai dòng trên một dãy. π = 1 2 3 n π(1) π(2) π(3) π(n)
Ví dụ 1 Xét π ∈ S 5 với π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 1, π(4) = 4, π(5) 5 Khi đó: π = 1 2 3 4 5
Cách 2: Mô tả hoán vị π bởi một dòng.
Theo cách mô tả này thì dòng đầu tiên luôn cố định Do đó cách mô tả thứ hai chỉ lấy dòng thứ hai trong cách một.
Cách 3: Mô tả một hoán vị π thông qua kí hiệu xích.
Trong một dãy số với i ∈ {1,2,3, , n}, các phần tử 1, π(i), π^2(i), hoàn toàn phân biệt Khi chọn lũy thừa đầu tiên sao cho π^p(i) = i, ta tạo ra một xích (i, π(i), , π^(p−1)(i) Tương tự, một xích (i, j, k, , l) có thể được định nghĩa, trong đó π biến i thành j, j thành k, và cuối cùng l trở lại i Tiếp theo, chọn một phần tử không nằm trong xích chứa i và lặp lại quá trình cho đến khi tất cả các số trong {1,2,3, , n} được sử dụng Ví dụ, hoán vị π có thể được biểu diễn dưới dạng π = (1,2,3)(4)(5) Lưu ý rằng việc sắp xếp lại các phần tử trong một xích hoặc thay đổi thứ tự các xích không ảnh hưởng đến hoán vị.
Một k-xích là một xích gồm k phần tử, ví dụ như hoán vị 3-xích và hai 1-xích Kiểu xích của π được biểu diễn dưới dạng (1 m 1 , 2 m 2 , , n m n ), trong đó m k là số xích có độ dài k trong π Trong ví dụ, kiểu xích là (1 2 , 2 0 , 3 1 , 4 0 , 5 0) Một 1-xích của π, hay còn gọi là điểm bất động, là các số không thay đổi vị trí, như 4 và 5 trong ví dụ trên Các điểm bất động thường được bỏ qua trong ký hiệu xích để tránh nhầm lẫn.
Một đối hợp là một hoán vị π sao cho π 2 = evới e là ánh xạ đồng nhất.
Dễ thấy π là một đối hợp nếu và chỉ nếu tất cả các xích của π có độ dài bằng 1 hoặc 2.
Kí hiệu sj = (j, j + 1) với 1 < j < n đại diện cho các chuyển vị cơ bản trong nhóm đối xứng Sn Những chuyển vị cơ bản sj đóng vai trò là các phần tử sinh của nhóm đối xứng Sn.
3) Sự diễn tả rút gọn của một hoán vị
Cho một hoán vị π thuộc Sn, nếu π có thể biểu diễn dưới dạng tích của các chuyển vị cơ bản sj 1 sj 2 sj k với k là số tự nhiên nhỏ nhất, thì ta ký hiệu l(π) = k Các chuyển vị này được gọi là một sự diễn tả thu gọn cho π.
Ví dụ 2 Sử dụng hoán vị π như trong ví dụ 1 thì ta có π = s1s2 và do đó l(π) = 2
Đại số Iwahori-Hecke của nhóm đối xứng được định nghĩa trên vành giao hoán R có đơn vị 1 và phần tử khả nghịch q Nó là R-đại số liên kết hợp Hn(q²) với các phần tử sinh g₁, g₂, , gₙ₋₁, tuân theo các quan hệ g₁² = (q² - 1)g₁ + q², gᵢgᵢ₊₁gᵢ = gᵢ₊₁gᵢgᵢ₊₁ và gᵢgⱼ = gⱼgᵢ với 2 ≤ |i - j| Đối với một phần tử w trong Sₙ, nếu sᵢ₁sᵢ₂ sᵢₘ là biểu thức thu gọn, thì gω = gᵢ₁gᵢ₂ gᵢₘ là phần tử xác định của Hₙ(q²) Tập hợp {gₕ : w ∈ Sₙ} sinh ra Hₙ(q²) như một R-môđun Để thuận tiện, ta định nghĩa gₗ,ₘ và gₗ,ₘ⁻ theo các quy tắc cụ thể cho các chỉ số l và m trong khoảng 1 ≤ l, m ≤ n.
Những kiến thức tiếp theo được chúng tôi trình bày dựa trên tài liệu [5]. Nếu à là một sự hợp thành của n, thỡ ta định nghĩa phần tử cà là c à = X σ∈S à g σ (1.1)
Trong mục này, đặt ánh xạ ∗ là phép đối hợp của đại số Hn(q 2 ), ta có
∗ : g w −→ g w − 1 với mọi ω ∈ S n Nếu λ là một sự phân hoạch của n, thì
Hˇ λ n được định nghĩa là iđêan hai phía trong Hn(q 2 ) được sinh bởi phần tử
Phát biểu tiếp theo là của E Murphy trong [10]. Định lý Đại số Iwahori-Hecke Hn(q 2 ) được sinh tự do như là một R- môđun có cơ sở
M c st = g d(s) ∗ cλg d(t) với s,t ∈ Std(λ) và λ là một phân hoạch của n
Hơn nữa, các phát biểu sau đây là luôn đúng
(1) Phép đối hợp R-tuyến tính ∗ thỏa mãn ∗ : c st −→ c ts với mọi s,t∈ Std(λ).
(2) Giả sử rằng h ∈ Hn(q 2 ) và s là một bảng λ tiêu chuẩn Thì khi đó tồn tại a t ∈ R, với t ∈ Std(λ), sao cho với mọi s ∈ Std(λ), ta có c sv h ≡ X t∈Std(λ) a t c st mod Hˇn λ (1.3)
Cơ sở M là một cơ sở cellular Nếu λ là một phân hoạch của n, thì môđun Specht S λ của H n (q 2 ) chính là R-môđun được sinh tự do bởi
Cơ sở (1.4) được định nghĩa là c s = c λ g d(s) + Hˇn λ, với s thuộc Std(λ), trong khi tác động của đại số H n (q 2 ) bên phải được biểu diễn qua c s h = X t∈Std(λ) a t c t, với h thuộc Hn(q 2 ) Các hệ số a t nằm trong R và được xác định theo công thức (1.3) Cơ sở này được gọi là cơ sở Murphy đối với môđun Specht S λ.
M là cơ sở Murphy của H n (q 2 ) Chú ý rằng H n (q 2 )-môđunS λ là đối ngẫu của môđun Specht được định nghĩa trong [9].
Cho λ và à là các sự hợp thành của n Một λ-bảng kiểu à là một ánh xạ T : [λ] −→ 1,2, ,m với à i = | y ∈ [λ] : T(y) = i |, trong đó i ≥ 1 Một λ-bảng T kiểu à được gọi là nửa chuẩn hàng nếu các mục trong mỗi hàng của T là không giảm Một bảng λ T kiểu à được gọi là nửa chuẩn nếu
(i) λ là một sự phân hoạch,
(ii) T là một nửa chuẩn hàng và các mục trong mỗi cột của T là tăng ngặt.
Cho T à là bảng của kiểu à sao cho T à (i,j) = i với (i, j) ∈ [à] Nếu à là một sự phõn hoạch của n, thỡ T à là bảng à nửa chuẩn duy nhất của kiểu à.
Vớ dụ 2 Choà = (3,2,1) Khi đú bảng nửa chuẩn của kiểuàlàT à = 1 1 1 2 2
Tất cả các bảng nửa chuẩn của kiểu à có thể thu được từ T bằng cách "di chuyển các nốt đi lên" trong T Nếu λ là một sự phân hoạch của nvà à là một sự hợp thành của n, thì tập các à-bảng nửa chuẩn sẽ được ký hiệu là T 0 (λ, à) Hơn nữa, cho trước một λ-bảng t và một sự hợp thành à của n, à(t) được định nghĩa là λ-bảng của kiểu à thu được từ t bằng cách thay thế mỗi mục i trong t bởi k nếu i xuất hiện trong hàng thứ k của bảng t à.
Vớ dụ 3 Cho n = 7, và à= (3,2,1,1), ta cú t à = 1 2 3 4 5 6
Nếu λ = (4,3) và t = 1 2 3 7 4 5 6, thì à(t) = 1 1 1 4 2 2 3 Ở đây, λ là một phân hoạch của n và à là một hợp thành của n Đặt S là một bảng à-nửa chuẩn kiểu à, và t là một bảng à-chuẩn Chúng ta định nghĩa phần tử trong H n (q 2 ) như sau: cSt = X s∈Std(λ) à(s)=S c st.
Cho một hợp thành của n, M là H n (q 2 )-mô đun bờn được tạo bởi c Những phát biểu tiếp theo tương ứng với R Dipper, G James và E Murphy (Hệ quả 3.4 và Định lý 4.9 của [10]), sẽ được sử dụng trong Mục 3.
Bổ đề 4 Cho à là một hợp thành của n Khi đú M à là một R-mụđun tự do có cơ sở
{ c à g d(t) | t là một bảng à -chuẩn hàng }. Định lý 5 Cho à là một hợp thành của n Khi đú tập hợp
{ c St : S ∈ T 0 (λ, à),t ∈ Std(λ),với λ là một phõn hoạch của n } sinh tự do M à như là một R-mụđun.
Đại số q-Brauer là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, được trình bày chi tiết trong tài liệu [2,3,11] Để đơn giản hóa, chúng tôi sử dụng ký hiệu H n để chỉ đại số Hecke của nhóm đối xứng, thay cho ký hiệu H n (q 2 ).
1.3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 6 Cố định N ∈ Z\ {0} và cho [N] = 1−q N
1−q ∈ Z[q, q −1 ]. Đại số q-Brauer Brn(N) được định nghĩa trên vành Z[q, q −1 ] bởi các phần tử sinh g1, g2, g3, , gn−1 và e và các quan hệ sau
(H’) Các phần tử g 1 , g 2 , g 3 , , g n−1 thỏa mãn các quan hệ của đại số Hecke H n (q);
(E 0 2 ) eg i = g i e với i > 2, eg 1 = g 1 e = qe, eg 2 e = q N e và eg 2 −1 e = q −1 e; (E 0 3 ) e (2) = g 2 g 3 g 1 −1 g 2 −1 e (2) = e (2) g 2 g 3 g 1 −1 g −1 2 , trong đóe (2) = e(g 2 g 3 g −1 1 g 2 −1 )e.
Biểu đồ Young và các quan hệ thứ tự
Trong toàn bộ chương này, ta làm việc với n là một số nguyên dương và S n là nhóm đối xứng.
Cho i là một số nguyên trong khoảng 1 ≤ i < n, định nghĩa s_i là một chuyển vị (i, i+1) Nhóm đối xứng S_n được sinh ra từ các chuyển vị s_1, s_2, , s_{n-1} và thỏa mãn các quan hệ sau: s_i^2 = 1 với 1 ≤ i < n; s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} với 1 ≤ i < n-1; và s_i s_j = s_j s_i với 2 ≤ |i−j|.
Một sự biểu diễn thu gọn của chuỗi ω được định nghĩa là một chuỗi có dạng s i 1 s i 2 s i−m, trong đó m là số tự nhiên nhỏ nhất và l(ω) = m là độ dài của hoán vị ω Nếu l ≤ m, ta có s l,m = s l s l+1 s m; còn nếu l > m, thì s l = s l−1 s m.
Cho k là một số nguyên trong khoảng 0 ≤ k ≤ [n/2] Nếu n − 2k > 0, ta định nghĩa một sự hợp thành của n − 2k là một dóy λ = (λ1, λ2, ) gồm các số nguyên không âm, với tổng |λ| = Σ λi = n − 2k Các số nguyên dương λi (i ≥ 1) được gọi là thành phần của phân hoạch λ Nếu λi = 0 với i > m, phân hoạch λ được viết là (λ1, λ2, , λm) Một hợp thành λ là phân hoạch của n − 2k nếu thỏa mãn điều kiện λi > λi+1 cho mọi i ≥ 1 Nếu n − 2k = 0, ta ký hiệu λ = ∅ cho hợp thành rỗng (phân hoạch rỗng) Một hợp thành λ tương ứng với phân hoạch của n − 2k được ký hiệu là λ ` n − 2k, và một phân hoạch λ của n − 2k cũng được viết là λ ` n − 2k Biểu đồ của một hợp thành λ là một tập hợp con.
Nếu λ là một sự phân hoạch của n−2k, thì biểu đồ [λ] được gọi là biểu đồ Young, với các phần tử của nó được gọi là các nốt của hợp thành λ Mỗi nốt trong biểu đồ Young được biểu diễn dưới dạng một cặp (i, j) ∈ N×N Thông thường, biểu đồ [λ] được trình bày như một mảng các hộp, trong đó hàng thứ i có λ i hộp.
Nếu λ = (2,4), thì biểu đồ [λ] được xác định Một nốt (i, j) là nốt thêm của biểu đồ [λ] nếu (i, j) không thuộc [λ], từ đó tạo ra biểu đồ mới [à] bằng cách thêm nốt (i, j) vào [λ], tức là [à] = [λ] ∪ (i, j) Biểu đồ [à] cũng là một hợp thành Ngược lại, từ biểu đồ [à], ta có thể loại bỏ nốt (i, j) để trở về biểu đồ [λ] ban đầu Với k là một số tự nhiên trong khoảng 0 đến [n/2], λ là một hợp thành của n−2k Một bảng λ-tableaux được đánh dấu bởi {2k + 1, 2k + 2, , n} là một ánh xạ từ các nốt của biểu đồ [λ] đến các số tự nhiên {2k + 1, 2k + 2, , n} Bảng λ-tableaux t : [λ] → {2k + 1, 2k + 2, , n} có thể được hình dung bằng cách đánh dấu các nốt của biểu đồ [λ] bằng các số nguyên trong tập hợp này.
Ví dụ: Cho n = 10, k = 2 và phân hoạch λ = (3,2,1), thì ta có bảng λ-tableaux như sau: t = 5 8 10 6 7 9
(2.1) Một bảng λ-tableaux t được đánh dấu bởi{2k+ 1,2k+ 2, , n} được gọi là chuẩn hàng nếu các số trong t tăng từ trái qua phải trong mỗi hàng; t được gọi là chuẩn nếu:
Nếu λ là một sự phân hoạch của n−2k, ta ký hiệu Std n (λ) cho tập hợp các bảng λ-tableaux chuẩn, được đánh dấu bởi các số tự nhiên {2k+1, 2k+2, , n} Trong trường hợp λ là một hợp thành của n−2k, ta định nghĩa t λ là λ-tableaux, trong đó các số 2k + 1, 2k + 2, , n được sắp xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải trong các hàng của [λ].
Ví dụ: lấy n = 10, k = 2 và λ = (3,2,1), ta được t λ = 5 6 7 8
Nếu λ là sự phân hoạch của n−2k, bảng t λ được gọi là bảng siêu chuẩn trong Std n (λ) Khi t thuộc Std n (λ), ta ký hiệu λ = Shape(t) và theo quy ước, Std n (λ) biểu thị tập hợp các bảng Tableaux tiêu chuẩn t : [λ] −→ {1,2, ,| λ |} Các phần tử của Std n (λ) được xem là các bảng λ-tableaux tiêu chuẩn Nếu s thuộc Std n (λ), ta ký hiệu ˆs cho các bảng tableaux trong Std n (λ), được hình thành bằng cách gán các nốt của s qua ánh xạ i 7→ i−2k.
Cho các công việc tiếp theo, chúng tôi định nghĩa thứ tự dominance trờn cỏc phõn hoạch như tiếp theo: nếu λ và à là cỏc phõn hoạch, thỡ λà nếu:
Chỳng tụi viết λà để hiểu là λà và λ 6= à.
Nếu t thuộc Stdn(λ) và i là một số nguyên thỏa mãn 2k < i ≤ n, thì t | i được định nghĩa là bảng tableaux được tạo ra bằng cách xóa các số f của t với f > i Tập Std n (λ) có thứ tự D, trong đó s D t nếu Shape(s | i) D Shape(t | i) cho mọi số nguyên i với 2k < i ≤ n Ký hiệu s B t có nghĩa là s D t và s khác t.
Nhóm con S 2k+1,n = hs i : 2k < i < ni ⊂ S n hoạt động trên tập hợp bảng tableaux theo cách thông thường, thông qua việc hoán vị các số nguyên tại các nốt của bảng [λ].
Cho λ là sự phân hoạch của n−2k, ta gọi nhóm con YoungSλ gồm những bảng siêu chuẩn t λ trong S2k+1,n và là những bảng dừng hàng.
Khi n = 10, k = 2 và λ = (3,2,1), một tính toán trực tiếp cho thấy rằng Sλ = hs 5 , s6, s8i Mỗi bảng λ-tableaux t đều tương ứng với một hoán vị duy nhất d(t) ∈ S2k+1,n, đảm bảo rằng t = t λ d(t) Ví dụ, hoán vị d(t) tương ứng với bảng t trong (2.1) là d(t) = (6,8)(7,10,9), như đã được xây dựng trong (2.2).
Họ mụđun L à với dóy lọc Specht
Với k là một số nguyên, 0≤ k ≤ [n/2], thì
H n e (j) H n (2.3) là iđêan hai phía của Br n (r 2 , q 2 ), được sinh bởi phần tử e (k) Những iđêan
J n (k) này định nghĩa một chuỗi các iđêan hai phía trongBr n (r 2 , q 2 ), nghĩa là, một dãy lọc của Br n (r 2 , q 2 ) bởi song môđun Br n (r 2 , q 2 )−Br n (r 2 , q 2 ).
Đại số q-Brauer có một cơ sở được chỉ số bằng các biểu đồ của đại số Brauer Cụ thể, với d là một sơ đồ của đại số Brauer, mỗi phần tử cơ sở của đại số q-Brauer có dạng g d = g u e (k) g ω g v, trong đó (u, ω, v) là một sự diễn tả thu gọn của d Các phần tử v trong công thức này thuộc tập hợp cụ thể.
Tập hợp B k,n được định nghĩa là {v ∈ B k | h = e (k) v và l(h) = l(v), h ∈ D(k,n)}, trong đó D(k,n) là tập hợp các biểu đồ h có đúng k cạnh ngang trên mỗi hàng Các cạnh biên ở hàng trên được sắp xếp rời nhau từ trái sang phải và không có sự giao cắt giữa các cạnh dọc Định nghĩa chi tiết về B k có thể được tìm thấy trong tài liệu [2], Chú ý 2.1.
Có nhiều biến thể khác nhau của đại số q-Brauer tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu (xem [2,3,5,11]) Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào phiên bản Br(r², q²) theo Định nghĩa 10, phiên bản này cũng đã được áp dụng trong [5] để xây dựng cơ sở cellular cho đại số q-Brauer Lý do cho sự lựa chọn này sẽ được làm rõ trong phần tiếp theo.
Phát biểu dưới đây là một trường hợp đặc biệt của [2; Mệnh đề 4.12].
Bổ đề 1.Chok là một số nguyên,0 < k ≤ [n/2], nếub ∈ Br n (r 2 , q 2 ), u ∈
B ( k, n), thì tồn tại a ( ω, v) ∈ R, với ω ∈ S (2k+1,n) và v ∈ B (k,n) , sao cho e (k) g u b ≡ X ω∈S 2k+1,n v∈B k,n a (ω,v) e (k) g ω g v mod J n (k + 1).
Cho k là một số trong khoảng 0 ≤ k ≤ [n/2], và λ là một sự phân hoạch của n−2k Ta định nghĩa phần tử x à = X σ∈S à g σ, trong đó S à là ổn định hàng trong nhúm con S (2k+1,n) của bảng à-t như đã được đề cập trong Mục 1.2 về Đại số Iwahori-Hecke Tương tự, phần tử m à = e (k) x à = x à e (k) cũng được định nghĩa Ký hiệu Λ n = {(k, λ) | với mọi 0 ≤ k ≤ [n/2], và λ là một sự phân hoạch của n−2k}, và I n (k, λ) là tập các cặp sắp thứ tự tương ứng.
Không gian R-vec tơ Brˇ n λ có tập mở rộng x ν (s,u)(t,v) := g u ∗ g d(s) ∗ m ν g d(t) g v
(2.9) là một iđêan hai phía trong Br n (r 2 , q 2 ) Hơn nữa, theo [4; Bổ đề 2], ta có
J n (k + 1) ⊆Brˇ n λ Định lý 2 Đại số Br n (r 2 , q 2 ) là được tạo ra một cách tự do như là một
(s, u),(t, v) ∈ I n (k, λ), với λ là sự phân hoạch của n−2k, và 0 ≤k ≤ [n/2]
Hơn nữa, các phát biểu sau đây luôn đúng:
(1) Phép đối hợp ∗ thỏa mãn g u ∗ g d(s) ∗ m λ g d(t) g v 7→ g v ∗ g d(t) ∗ m λ g d(s) g u với mọi (t, v),(s, u) ∈ I n (k, λ).
(2) Giả sử rằng b ∈ Br n (r 2 , q 2 ) và k là một số nguyên, 0 ≤ k ≤ [n/2]. Nếu λ là một sự phân hoạch của n−2k và (s, u),(t, v) ∈ I n (k, λ), thì g u ∗ g d(s) ∗ m λ g d(t) g v ≡ X
(t 0 ,v 0 ) a (t 0 ,v 0 ) m λ g d(t 0 ) g v 0 mod Brˇ n λ (2.11) trong đó a (t 0 ,v 0 ) ∈ R,(t 0 , v 0 ) ∈ I n (k, λ), với mọi (t, v) ∈ I n (k, λ).
Như là một hệ quả của định lý trên, Brˇ n λ là R-môđun tự do được tạo ra bởi tập hợp g ∗ u g d(s) ∗ m ν g d(t) g v : (t, v),(s, u) ∈ I n (l, ν), for ν λ)
Các môđun (hoặc môđun Specht) C n λ (k) trong đại số q-Brauer được định nghĩa là các R-môđun tự do được tạo bởi
{m λ g d(t) g v + ˇBr λ n | (t, v) ∈ I n (k, λ)} (2.12) và sự tác động Brn(r 2 , q 2 ) cho trước m λ g d(t) g v b+ ˇBr λ n = X
(t 0 ,v 0 ) a (t 0 ,v 0 ) m λ g d(t 0 ) g v 0 + ˇBr λ n với b ∈ Br n (r 2 , q 2 ), trong đó các hệ số a (t 0 ,v 0 ) ∈ R với (t 0 , v 0 ) ∈ I n (k, λ) được xác định bởi biểu thức (1.16) Ví dụ sau đây minh họa một cơ sở cho môđun Specht.
Ví dụ Cho n = 5, k = 1 và λ = (2,1) Nếu j, i j là các số nguyên với
1 ≤ i j ≤ j ≤ n−1 thì ta viết t j = 1 hoặc t j = s j s (j−1) s (i j ) , vì thế sử dụng thuật toán đã chỉ ra trong [2; Mục 3.3], ta được
Vỡ tập cỏc phõn hoạch{ν | ν B λ}={ν 1 = (3), à 2 = (1)}, nờn ta thu được tiếp theo:
Với ν 1 = (3), một tính toán đơn giản dẫn đến rằng nhóm con Young
S ( ν 1 ) = {1, s 3 , s 4 , s 3 s 4 , s 4 s 3 , s 4 s 3 s 4 } và tập tất cả các bảng chuẩn
Với ν 2 = (1), ta có nhóm con Young S ν 2 = {1}, Std(ν 2 ) = { t ν 2 = 5 } và m ν 2 = e (2) Bây giờ, theo công thức (1.4), iđêan hai phía Br (2,1) 5 được sinh tự do như là một R-môđun bởi tập hợp x ν (s 1
(2.13) Mặt khác, ta nhận được
Cơ sở của môđun Specht C(1, λ), của dạng được trình bày trong (1.17), là {x λ (t,v) = e(1+g 3 )g t g v + ˇBr (2,1) 5 | t ∈ 1, s 4 vàv ∈ B 1,5 }, vàdim R C(1, λ) = 20.
Bổ đề 3 khẳng định rằng nếu k là một số nguyên thỏa mãn điều kiện 0 ≤ k < [n/2], thì tồn tại một đơn cấu R-đại số ϑ k : H n−2k → J n (k)/J n (k+ 1), được xác định bởi ϑ k : g ˆ v → a −k e (k) g v + J n (k + 1) Trong đó, a được tính bằng r − r −1 q − q −1, v là một hoán vị trong S 2k+1,n và ˆ v là hoán vị vˆ = s i 1 −2k s i 2 −2k ã ã ãs i m −2k ∈ S n−2k Đáng chú ý, ánh xạ ϑ k cũng thỏa mãn tính chất ϑ k (g j g ˆ v ) = g 2k+j ϑ k (g ˆ v) với điều kiện 1 ≤ j < n−2k.
Chúng minh Tính chất đơn cấu R-đại số của ν k có thể được kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa của nó Phương trình (2.14) suy ra từ thực tế rằng: ϑ k (g j g v ˆ ) =ϑ k (g j )ϑ k (g ˆ v ) = (a −k e (k) g j+2k )(a −k e (k) g v )
= a −2k g j+2k (e (k) ) 2 g v = L 1 (2)[3] a −k g 2k+j e k g ˆ v = g 2k+j ϑ k (g v ˆ ). Định nghĩa 4 Cho k là một số nguyờn, 0 ≤k ≤ [n/2], và à là một hợp thành của n− 2k, ta định nghĩa L à là Br n (r 2 , q 2 )-mụđun con phải của
J n (k)/J n (k + 1) được sinh bởi phần tử m à + J n (k + 1).
Cho λ là một phân hoạch của n−2k, ta định nghĩa m St = X s∈Std(λ) à(ˆ s)=S g d(s) ∗ m λ g d(t) với S ∈ T 0 (λ, à) và t ∈ Std n (λ) Trong đó, ˆs là một bảng λ-chuẩn trong Std(λ), được tạo ra bằng cách kí hiệu lại các điểm nút i trong s bởi i−2k.
Phần tử m St của đại số q-Brauer tương tự như phần tử c St trong Đại số Iwahori-Hecke Kết quả chính đầu tiên được trình bày trong Định lý 5, trong đó cho k là một số nguyên với điều kiện 0 ≤ k ≤ [n/2] và à là sự hợp thành của n−2k Khi đó, L là tự do như một R-môđun với cơ sở mStgv + Jn(k + 1), với S thuộc T 0 (λ, à), t thuộc Std n (λ), λ là n−2k và v thuộc Bk,n.
Chứng minh Nếu b ∈ Br n (r 2 , q 2 ) và u ∈ B k,n thì theo Bổ đề 1 (trong Mục 2.3), tồn tại a (ω,v) ∈ R, với ω ∈ S 2k+1,n và v ∈ B k,n sao cho e (k) gub ≡ X ω∈S 2k+1,n v∈B k,n a (ω,v) e (k) gωgv mod Jn(k + 1).
Tiếp theo, ta nhõn cả hai vế của cụng thức cuối với x à về phớa bờn trỏi và sử dụng tính chất (2.14), ta được x à e (k) g u b ≡ X ω∈S 2k+1,n v∈B k,n a (ω,v) x à (e (k) g ω )g v mod J n (k+ 1)
Sử dụng định nghĩa của M à và Định lý 5 Mục 1.2, thỡ c à g ω ˆ cú thể được viết lại như sau c à g ω ˆ = X
(2.17) Điều này đã chứng minh tính mở rộng của tập hợp (2.16).
Bây giờ, ta cần chỉ ra rằng phần tử m St g v +J n (k+ 1) trong tập hợp (2.16) nằm trong L à Thật vậy, với v ∈ B (k,n) , theo Bổ đề 1 Mục 2.3, ta cú e (k) g v ≡ X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,v) e (k) g ω g u mod J n (k + 1).
Nhân cả hai vế vào bên trái của phương trình với g ∗ d(s) x λ g d(t) , trong đó s,t∈ Std n (λ) và à(ˆs) = S với S ∈ T 0 (λ, à), ta được
≡ BĐ3 X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,u) X ω 1 ∈hàng chuẩn à−bảng x à e (k) g d(ω 1 ) g u mod J n (k+ 1)
Phương trình cuối và (2.15) suy ra rằng mStgv ≡ X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,u) X ω 1 ∈ hàng chuẩn à−bảng màg d(ω 1 ) gu mod Jn(k+ 1) (2.18)
Tập hợp {m St g v} thuộc L và là một tập độc lập tuyến tính trên R Theo Định nghĩa (2.15), các phần tử trong tập hợp này độc lập tuyến tính vì chúng được hình thành từ tổng các tập rời nhau từng đôi một của các phần tử cơ sở theo Định lý 2 trong Mục 2.3.
Một minh họa của định lý này là ví dụ sau.
Vớ dụ 6 Cho n= 4, k = 1 và à = (1,1) Khi đú, m à = e, J 4 (2) = he (2) i, và tập B 1,4 là {1, s 2 , s 2 s 3 , s 2 s 1 , s 2 s 1 s 3 , s 2 s 1 s 3 s 2 } Theo Định lý 2 Mục 2.3 thì Đại số q-Brauer Br 4 (r 2 , q 2 ) có một cơ sở g ∗ u g π e (m) g v u, v ∈ B m,4 , g π ∈ H 2m+1,4 ,
Sử dụng Định nghĩa 4 trong Mục 2.3 và một tính toán trực tiếp ngụ ý rằng
Br 4 (r 2 , q 2 )-mụđun L à cú một tập mở rộng m à g u ∗ g π e (m) g v +J 4 (2) u, v ∈ B m,4 , g π ∈ H 2m+1,4 ,
Nếu λ là một phân hoạch của 2, thì tập hợp tất cả các bảng λ-nửa chuẩn của kiểu à được sắp xếp là T 0 (λ, à) = { S 1 = 1 2 , S 2 = 1 2 } Các phần tử m S i t với S i ∈ T 0 (λ i , à) và t ∈ Std 4 (λ i ) được xác định theo quy tắc nhất định.
(1)Nếuλ 1 = (1,1), thỡS λ 1 = {1}, Std 4 (λ 1 ) = {t λ 1 = 3 4 } và T 0 (λ 1 , à) { S 1 } Ta có, m S 1 t λ 1 = X s∈Std 4 (λ 1 ) à(ˆ s)=S 1 g ∗ d(s) m λ 1 g d(t) = 1ãm λ 1 ã1 = e.
(2) Nếu λ 2 = (2) thì S λ 2 = {1, s 3 } và do đóm λ 2 = e(1 +g 3 ) Tính toán trực tiếp suy ra: Std 4 (λ 2 ) = { t λ 2 = 3 4 } and T 0 (λ 2 , à) = { S 2 } Vỡ vậy ta có m S 2 t λ 2 = X s∈Std 4 (λ 2 ) à(ˇ s=S 2 ) g d(s) ∗ m λ 2 g d(t) = 1.m λ 2 1 = e(1 +g 3 ).
Lưu ý rằng cả m S 1 t λ 1 và m S 2 t λ 2 là độc lập tuyến tính, và tập hợp
Tập mở rộng của mụđun L được sinh ra bởi biểu thức m S 1 t λ 1g v + J 4 (2) và m S 2 t λ 2g v + J 4 (2) với v thuộc B 1,4 Định lý 7 khẳng định sự tồn tại của hệ số lọc Specht độc lập cho một số nguyên k trong khoảng 0 ≤ k ≤ [n/2], với à là hợp thành của n−2k Trong trường hợp này, mụđun L sẽ có hệ số lọc khi được xem như một Br n (r 2 , q 2 )-mụđun.
L à = L 1 > L 2 > > L f > L f +1 = 0 sao cho với i = 1,2, , f tồn tại một phân hoạch λ i của n−2k với L i /L ( i+
1) ∼= C n λ i (k) Hơn nữa, với mỗi sự phân hoạch λ i , số các thành phần hợp thành C n λ i (k), cái mà xuất hiện trong dãy lọc, bằng với số các bảng λ i -nửa chuẩn của kiểu à.
Chứng minh rằng tập hợp {S1, S2, , Sf} bao gồm tất cả các bảng λi -nửa chuẩn của kiểu à, được sắp xếp sao cho Si thuộc T0(λi, à) và i ≥ j khi λi D λj Đặt Li là R-mô đun con của Là với cơ sở mSj t g v + Jn (k + 1) với i ≤ j ≤ f và v thuộc Bk,n, t thuộc Std n(λj), λj ` n−2k.
Khi đó, theo Định lý 2 Mục 2.3, mỗi L i là một Br n (r 2 , q 2 )-môđun phải.
L à = L 1 > L 2 > > L f > L f +1 = 0 là một dóy lọc Br n (r 2 , q 2 )-mụđun của L à Như một hệ quả, chỳng ta xột đồng cấu R-môđun C n λ i (k) −→ L i /L ( i+ 1) được định nghĩa bởi m λ i g d(t) g v + ˇBr λ n i 7→ m S i t g v + L i+1 với t∈ Std n (λ i ) và v ∈ B k,n
Tính chất toàn ánh của ánh xạ được suy ra từ định nghĩa của nó, với cả hai môđun có cùng hạng Do đó, phần còn lại của phép chứng minh là để chỉ ra rằng ánh xạ đó là một Br n (r 2 , q 2 )-đồng cấu Lập luận tương tự như trong (2.6), với v ∈ B k,n và s,t ∈ Std n (λ i ) sao cho à(ˇs) = S i.
≡ BĐ3 a k X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,u) ( X ς∈Std n (λ i ) à(ˆ s)=S i c st )ϑk(gω ˆ)gu mod Jn(k+ 1)
≡ BĐ3 a k X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,u) X s∈Std n (λ i ) à(ˆ s)=S i a t 1 ( X s∈Std n (λ i ) à(ˆ s)=S i e (k) c st 1 )gu
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các thành phần trong không gian S 2k+1,n và B k,n, với a t 1 thuộc R và ˆh thuộc Hˇ n−2k λ i Bổ đề 3 trong Mục 2.3 chỉ ra rằng ϑ k (ˆh)g u có thể biểu diễn dưới dạng a −k e (k) hg u, với h thuộc Hˇ 2k+1,n λ i, cho thấy ϑ k (ˆh)g u nằm trong L i+1 Theo định nghĩa của L i, phương trình cuối có thể được tái cấu trúc thành mS i tgvb≡ X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,u) X t 1 ∈Std n (λ i) a t 1 mS i t 1gu mod (Li+1).
Bằng cách áp dụng công thức tính toán tương tự như đã trình bày trong (2.7), với λ i là một phân hoạch của n−2k và t thuộc Std n (λ i ), có thể xác định các hệ số a (ω,u) và a t 1 ∈ R tương tự như trong (2.9), đáp ứng phương trình sau.
Vì J n (k+ 1) ( Brˇ n λ i và ϑ k ∈ Brˇ n λ i nên phương trình trên tương đương với m λ i g d(t) g v b ≡ X ω∈S 2k+1,n u∈B k,n a (ω,u) X t 1 ∈Std n (λ i ) a t 1 m λ i g t 1 g u mod Brˇ λ n i (2.21)
Như vậy, đồng thời (2.20) và (2.21) đều chỉ ra rằng ánh xạ ở trên là một
Br n (r 2 , q 2 )-đồng cấu Định lí được chứng minh.
Định lý khẳng định sự tồn tại của một dãy lọc cho mỗi mụđun L Hệ số lọc cho mỗi mụđun Specht C n λ i (k) là độc lập và tương đương với số cỏc bảng λ i -nửa chuẩn kiểu à.
Ví dụ dưới đây minh họa cho Định lý 7 ở trên.
Vớ dụ 8 Cho n = 5, k = 1 và à = (1,1,1) Khi đú, m à = e và tập B 1,5 là B 1,5 = {v = t 2 t 3 t 4 | t j = 1 hoặc t j = s j,i j ,1 ≤ i j ≤ j ≤ 4 với j ∈
{2,3,4}}={1, S 2 , S 2,3 , S 2,1 , S 2,1 S 3 , S 2,1 S 3,2 , S 2,4 , S 2,1 S 3,4 , S 2,1 S 3,2 S 4 , S 2,1 S 3,2 S 4,3 }. Tập tất cả cỏc bảng λ-nửa chuẩn của kiểu à (đó sắp thứ tự) là
Cỏc phần tử m S i t với S i ∈ T 0 (λ i , à) và t ∈ Std n (λ i ) được xỏc định như sau
} and T 0 (λ 1 , à) { S 1 } Vì vậy ta có, m S 1 t = X s∈Std n (λ 1 ) à(ˆ s)=S 1 g d(s) ∗ m λ 1 g d(t) = 1ãm λ 1 ã1 = e.
(2)Nếu λ2 = (2,1)thìSλ 2 = {1, s 3 }, Std n (λ2) ={ t 2 = 3 4 5 , t 3 = 3 5 4 } và T0(λ2, à) ={S 2 ,S 3 } Một phộp tớnh trực tiếp suy ra mS 2 t 2 = 1.mλ 2 g d(t 2 ) = e(1+g3) và mS 2 t 3 = 1.mλ 2 g d(t 3 ) = e(1+g3)g4. Tương tự, m S 3 t 2 = g d(s) ∗ m λ 2 g d(t 2 ) = g 4 e(1 +g 3 ) với s = t 3 và m S 3 t 3 = g d(s) ∗ m λ 2 g d(t 2 ) = g 4 e(1 +g 3 )g 4 với s = t 3
(3) Nếu λ 4 = (4), thì S λ 4 = {1, s 3 , s 4 , s 3 s 4 , s 4 s 3 , s 3 s 4 s 3 }, Std n (λ 4 ) { t 4 = 3 4 5 và T 0 (λ 4 , à) = { S 4 } Do đú, m S 4 t 4 = 1.m λ 4 g d(t 4 ) = m λ 4 = e(1+g 3 )(1+ g 4 +g 4 g 3 ).
Một phép kiểm tra trực tiếp ngụ ý rằng Br 5 (r 2 , q 2 )-môđun L (1,1,1) có cơ sở
{m S 1 t gv +J5(2), mS 2 t 2gv +J5(2), mS 2 t 3gv +J5(2), mS 3 t 2gv +J5(2), m S 3 t 3 g v +J 5 (2), m S 4 t 4 g v +J 5 (2) | v ∈ B 1,5 }
Hơn nữa, L (1,1,1) có một dãy lọc Specht của Br 5 (r 2 , q 2 )-môđun
L (1,1,1) = L 1 ⊇L 2 ⊇ L 3 ⊇ L 4 ⊇ L 5 = 0 trong đó Li = { mS j tgv +J5(2) | i ≤ j ≤ 4, t ∈ Std5(λi) và v ∈ B1,5 } và
Chẳng hạn, sử dụng ví dụ 6 mục 2.3, chúng ta có thể thấy rằng có một
Br 5 (r 2 , q 2 )-đẳng cấu từ L 2 /L 3 tới C 5 (2,1) (1) được xác định bởi m S 2 t 2 g v +L 3 7→e(1 +g 3 )g v + ˇBr 5 (2,1) và m S 2 t 3 g v +L 3 7→e(1 +g 3 )g 4 g v + ˇBr 5 (2,1) Một Br 5 (r 2 , q 2 )-đẳng cấu khác từ L 3 /L 4 tới C 5 (2,1) (1) được xác định bởi mS 3t 2 g v +L 4 7→ e(1+g 3 )g v + ˇBr 5 (2,1) và m S−3t 3 g v +L 4 7→ e(1+g 3 )g 4 g v + ˇBr 5 (2,1)
Nhận xột: Từ tập hợp cỏc bảng λ-nửa chuẩn của kiểu à trong (2.22) và (2.23) ta nhận thấy:
1 Có 1 bảng (1,1,1)-nửa chuẩn của kiểu (1,1,1) là S 1 và dẫn đến hệ số lọc của môđun Specht C 5 (1,1,1) (1) là 1.
2 Có hai bảng (2,1)-nửa chuẩn của kiểu (1,1,1) là S 2 , S 3 và như vậy, hệ số lọc của môđun C 5 (2,1) (1) là 2.
3 Có 1 bảng (3)-nửa chuẩn của kiểu (1,1,1) là S 4 và dẫn đến hệ số lọc của môđun Specht C 5 (3) (1) là 1.
Kết quả tính toán được ở ví dụ trên phù hợp với khẳng định tổng quát trong định lí 7, Mục 2.3
Nội dung của luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau: