Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô
Không gian xác suất (Ω,F,P) với lọc {F t } t > 0 thỏa mãn điều kiện thông thường, trong đó {F t } t > 0 là họ các σ-đại số con của F Điều kiện này yêu cầu F t = T s>tF s cho mọi t > 0 và F 0 phải chứa mọi tập hợp có xác suất 0.
W = {W(t)} t > 0 là quá trình chuyển động Brown được xác định trên không gian xác suất tương ứng với lọc {F t } t > 0 Định nghĩa 1.1.1: Với 0 ≤ a ≤ b < ∞, ký hiệu M 2 ([a, b];R) là không gian các quá trình f = {f(t)} t > 0 nhận giá trị thực và phù hợp với (F t) sao cho kfk 2 a,b = E.
Chúng ta đồng nhấtf vàf trênM 2 ([a, b];R)nếukf−fk 2 a,b = 0 Trong trường hợp này chúng ta nói rằng f và f tương đương và viết là f = f
Rõ ràng, không gian metric M 2 ([a, b];R) được xác định bởi các metric a và b là một không gian metric đầy đủ Đối với mỗi hàm f thuộc M 2 ([a, b];R), tồn tại một quá trình đo được lũy tiến fb cũng thuộc M 2 ([a, b];R), là bản sao của f Ta có thể xác định f(t) bằng giới hạn sup khi h tiến đến 0.
Trong quá trình nghiên cứu, f được coi là một quá trình ngẫu nhiên khả đoán, với giả thiết f thuộc M 2 ([a, b]; R) Định nghĩa 1.1.2 nêu rõ rằng một quá trình ngẫu nhiên g = {g(t)} trong khoảng thời gian a ≤ t ≤ b được xem là quá trình đơn giản nếu tồn tại một phân hoạch của đoạn [a, b] với a = t0 < t1 < < tk = b và các biến ngẫu nhiên bị chặn ξi, với 0 ≤ i ≤ k - 1, sao cho ξi là Fti-đo được và g(t) được xác định bởi công thức g(t) = ξ0I[t0,t1](t) + + ξk-1I[tk-1,tk](t).
Ký hiệu tập các quá trình ngẫu nhiên đơn giản là M 0 ([a, b];R) Rõ ràng
Rõ ràng,Rb a g(t)dW t là F b -đo được chúng ta sẽ chỉ ra rằng tích phân ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên thuộc lớp L 2 (Ω,R).
|g(t)| 2 dt (1.4) Trong tài liệu tham khảo [9] đã trình bày chứng minh chi tiết Bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.4 Giả sử f ∈ M 2 ([a, b];R) Khi đó tồn tại dãy quá trình đơn giản {g n } sao cho n→+∞lim E
Định nghĩa 1.1.5 cho biết rằng nếu g là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản được xác định bởi (1.2) trong M 0 ([a, b];R), thì tích phân ngẫu nhiên của g đối với quá trình chuyển động Brown W(t) được xác định theo công thức |f(t)−g n (t)| 2 dt= 0.
Với mỗi f ∈ M 2 ([a, b];R), theo Bổ đề 1.1.4, tồn tại dãy quá trình đơn giản {g n } sao cho n→∞lim E
Dãy Cauchy Rb a g n (t)dW(t) trong L2(Ω;R) có giới hạn, và giới hạn này được xem như là tích phân ngẫu nhiên Itô Định nghĩa 1.1.6 nêu rõ rằng, nếu f ∈ M2([a, b];R), thì tích phân ngẫu nhiên của quá trình f theo quá trình chuyển động Brown W(t) trên đoạn [a, b] được ký hiệu là Rb a f(t)dW(t) và được xác định theo quy tắc nhất định.
Z b a g n (t)dW(t), (1.7) trong đó {g n } là dãy các quá trình thuộc M 0 ([a, b];R) sao cho n→∞lim E
|f(t)−g n (t)| 2 dt= 0 (1.8) Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn dãy {g n }.
Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên được chứng minh chi tiết trong tài liệu [9] Định lý 1.1.7 chỉ ra rằng nếu f, g thuộc M²([a, b]; R) và α, β là hai số thực, thì: i) Tích phân Rb a f(t)dW(t) là F b -đo được; ii) Kỳ vọng ERb a f(t)dW(t) bằng 0; iii)
= ERb a |f(t)| 2 dt; iv) Rb a[αf(t) +βg(t)]dW(t) =αRb a f(t)dW(t) +βRb a g(t)dW(t).
M 2 ([a, b];R) do đó Rb a f(t)dW(t) hoàn toàn xác định Khi đó, ta có
Z c b f(t)dW(t) Z c a f(t)dW(t), (1.9) với mọi0 6 a < b < c6 T. Định nghĩa 1.1.8 Giả sửf ∈ M 2 ([a, b];R) Với mỗi t ∈ [a, b], định nghĩa
Tích phân ngẫu nhiên dạng bất định của quá trình f theo quá trình chuyển động Brown W(t) được ký hiệu là \( R_t^a f(\tau)dW_\tau \) Theo định lý 1.1.9, nếu f thuộc không gian M²([0, T]; R), thì tích phân dạng bất định {I(t)} với 0 ≤ t ≤ T là martingale bình phương khả tích đối với lọc {F_t}.
|f(s)| 2 ds (1.10) Định nghĩa 1.1.10 Một quá trình ngẫu nhiên một chiều, liên tục, phù hợpx(t) trên t > 0được gọi là quá trình ngẫu nhiên Itô nếu nó có dạng x(t) =x(0) +
Z t 0 g(s)dB s , (1.11) trong đó f ∈ L 1 (R + ;R) và g ∈ L 2 (R + ;R) Khi đó chúng ta nói x(t) có vi phân ngẫu nhiên dx(t) và viết là: dx(t) = f(t)dt+g(t)dB t (1.12)
Ký hiệuC 2,1 (R d ìR + ;R)là tập tất cả các hàm thựcV(x, t) xác định trên
R d ìR + hai lần khả vi liên tục theo biến x và một lần khả vi theo biến t Nếu
NÕuV ∈ C 2,1 (R×R + ;R) với th× Vx = ∂V ∂x và Vxx = ∂ ∂x 2 V 2 Định lý 1.1.11 (Công thức Itô một chiều) nêu rằng, nếu {x(t)} t > 0 là quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f(t)dt + g(t)dWt, trong đó f ∈ L 1 (R + ;R) và g ∈ L 2 (R + ;R), thì V ∈ C 2,1 (R×R + ;R) dẫn đến V(x(t), t) cũng là quá trình ngẫu nhiên Itô với vi phân ngẫu nhiên được xác định bởi dV(x(t), t).
Định lý 1.1.12 trình bày công thức Itô nhiều chiều, trong đó giả sử {x(t)} là quá trình Itô với vi phân ngẫu nhiên dx(t) = f(t)dt + g(t)dWt, với f ∈ L 1 (R + ;R d ) và g ∈ L 2 (R + ;R dìm ) Nếu V ∈ C 2,1 (R d ìR + ;R), thì V(x(t), t) cũng trở thành quá trình ngẫu nhiên Itô, với vi phân ngẫu nhiên được xác định bởi công thức: dV(x(t), t) = V t (x(t), t) + V x (x(t), t)f(t) + 1.
Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Trong không gian xác suất đầy đủ (Ω,F,P), với lọc {F t } t > 0 đáp ứng các điều kiện thông thường, ký hiệu W(t) = (W 1 (t), , W m (t)) T, t > 0 đại diện cho quá trình chuyển động Brown m-chiều được xác định trên không gian xác suất.
Trong khoảng thời gian 06 ≤ t < ∞, ký hiệu x(0) là một biến ngẫu nhiên có giá trị trong R^d, với F t0 được đo được và E|x(0)|^2 < ∞ Xét hai hàm Borel f: R^d × [t0, T] → R^d và g: R^d × [t0, T] → R^d, chúng ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dưới dạng: dx(t) = f(x(t), t)dt + g(x(t), t)dW(t) trong khoảng thời gian t0 ≤ t ≤ T, với điều kiện ban đầu x(t0) = x(0) Theo định nghĩa của vi phân ngẫu nhiên, phương trình này tương đương với phương trình tích phân ngẫu nhiên x(t) = x(0) +
(1.18) Định nghĩa 1.2.1 Một quá trình ngẫu nhiên nhậnR d -giá trị{X(t)} t∈[t 0 ,T ] được gọi là nghiệm của phương trình (1.17) nếu có các tính chất sau:
(i) {X(t)} là quá trình liên tục, (F t )-phù hợp,
(iii) Phương trình (1.18) sau được thỏa mãn với mọi t ∈ [t0, T] với xác suất 1.
Phương trình (1.17) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [t0, T] nếu khi
X(t) và X(t) là 2 nghiệm của phương trình thì:
Chúng ta sẽ xem xét điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Điều kiện này thường được gọi là điều kiện Lipschitz và yêu cầu các hệ số phải tăng tuyến tính Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, các hệ số chỉ thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương Bài viết này sẽ trình bày định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình trong bối cảnh các hệ số đáp ứng điều kiện Lipschitz địa phương và điều kiện Hasminskii, điều kiện này yếu hơn so với điều kiện tăng tuyến tính.
Với mỗiV ∈ C 1,2 (R d ìR + ,R), xét toán tửLV liên kết với phương trình (1.17) được xác định bởi
, (1.19) trong đó V t , V x 0 , V xx 0 được xác định bởi (1.13), (1.14) Theo công thức It^o ta có
LV(x(s), s)ds là Martingale. Định lý 1.2.2 (xem [9]) Nếu với mọiT ∈ R + và tồn tại hằng sốKT,k > 0sao cho
Hơn nữa, nếu tồn tại hằng số c > 0 và hàm V ∈ C 1,2 (T a ìR d ;R + ) thỏa mãn
LV(x, t) 6cV(x, t), với mọi (x, t) ∈ R d ìR + (1.21) và lim x→∞ inf t∈[0,T ]V(t, x) = ∞ thì phương trình (1.17) có nghiệm duy nhất, xác định trên R +
Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý so sánh đối với quá trình Itô một chiÒu.
Chúng ta xét các hàm số sau:
(i) Hàm số tăng ngặtρ : [0,∞) → R thỏa mãn ρ(0) = 0 và
(ii) Hàm thực liên tụcσ(t, x) xác định trên [0,∞)ìRthỏa mãn
Hai hàm thực liên tục b1(t, x) và b2(t, x) được xác định trên khoảng [0, ∞) với điều kiện b1(t, x) < b2(t, x) cho mọi t > 0 và x ∈ R Đồng thời, β1(t, x) và β2(t, x) là hai quá trình F_t-phù hợp Định lý 1.2.3, hay còn gọi là định lý so sánh, khẳng định rằng nếu hai quá trình ngẫu nhiên x1(t) và x2(t) là các quá trình F_t-phù hợp và thỏa mãn x_i(t) = x_i(0) + thì có thể rút ra những kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa chúng.
Khi xác suất bằng 1, ta có bất đẳng thức x1(t) ≤ 6x2(t) cho mọi t > 0 Nếu các phương trình dX(t) = σ(t, X(t))dW(t) + bi(t, X(t))dt, với i = 1,2, tồn tại duy nhất nghiệm, thì bất đẳng thức trên vẫn giữ đúng khi điều kiện b1(t, x) ≤ b2(t, x) được thỏa mãn cho mọi t > 0 và x thuộc R.
Mô hình thú mồi ngẫu nhiên với hàm đáp ứng
Tồn tại duy nhất nghiệm dương của hệ phương trình (0.2)
Trong phần này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng với điều kiện ban đầu dương, hệ phương trình (0.2) có nghiệm duy nhất và dương Cụ thể, Định lý 2.1.1 khẳng định rằng với mọi điều kiện ban đầu (x(0), y(0)) thuộc R²+, hệ phương trình (0.2) tồn tại một nghiệm duy nhất (x(t), y(t)) cho t > 0 Hơn nữa, với xác suất 1, miền R²+ là miền bất biến đối với hệ phương trình (0.2), nghĩa là với bất kỳ điều kiện ban đầu nào (x(0), y(0)) thuộc R²+, nghiệm (x(t), y(t)) sẽ luôn nằm trong R²+ với mọi t > 0.
Để chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm, chúng ta có thể áp dụng Định lý 1.2.2 Tuy nhiên, vì các hệ số của hệ phương trình là các hàm cụ thể, chúng tôi sẽ điều chỉnh chứng minh của Định lý 1.2.2 bằng cách sử dụng hàm Lyapunov Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét phương trình sau:
(a 1 − σ 2 1 2 )−b 1 exp{ξ t } − α+β exp{ξ c 1 exp{η t } t }+γ exp{η t } i dt+σ 1 dW(t) dη t h
−(a 2 + σ 2 2 2 )−b 2 exp{η t } − α+β exp{ξ c 2 exp{ξ t } t }+γ exp{η t } i dt+σ 2 dW(t)
Với điều kiện ban đầu (ξ₀, η₀) = (lnx(0), lny(0)), phương trình (2.1) có nghiệm địa phương duy nhất (ξₜ, ηₜ) cho mọi t ∈ [0, τ), trong đó τ là thời điểm nổ Theo công thức Itô, nghiệm địa phương của hệ phương trình (0.2) được xác định bởi (x(t), y(t)) = (exp{ξₜ}, exp{ηₜ}) cho mọi t ∈ [0, τ) với điều kiện ban đầu (x(0), y(0)) Để chứng minh nghiệm toàn cục, cần chỉ ra rằng τ = ∞, với k₀ > 0 đủ lớn để đảm bảo x(0), y(0) ∈ [k₁].
Đối với mỗi k > k0, chúng ta xác định thời điểm dừng τ k = inf{t > 0 : x(t) 6∈ (1/k, k) hoặc y(t) 6∈ (1/k, k)} Theo quy ước, inf∅ = ∞ Do τ k không giảm khi k tiến tới vô cực, nên tồn tại τ ∞ = lim k→∞ τ k Rõ ràng τ ∞ không lớn hơn τ h.c.c Vì vậy, để chứng minh τ ∞ = ∞, ta giả sử điều này sai, tức là sẽ tồn tại một T > 0 và ε ∈ (0,1) thỏa mãn điều kiện trên.
P{τ ∞ 6 T} > ε Ký hiệuΩk = {τk 6 T}, tồn tại k1 > k0 sao cho
P(Ω k ) > ε với mọi k > k 1 (2.3) Xét hàm V : R 2 + →R + xác định bởi
Ta thấy rằng V ∈ C 2 (R 2 +;R + ) Sử dụng công thức (1.19), ta có
Từ công thức (2.4) suy ra hàm LV(x, y) bị chặn trên bởi M trong R 2 + Với t∈ R + , áp dụng công thức It^o, ta có dV(x(t), y(t)) =LV(x(t), y(t))dt+g(x(t), y(t))dW(t), (2.5) trong đó g(x, y) = σ 1 (x−1) +σ 2 (y−1).
Từ tính bị chặn của toán tửLV và công thức (2.5) suy ra
Lấy kỳ vọng hai vế, ta được
Ta lại có ω ∈ Ωk tồn tại k sao cho xτ k (ω) hoặc yτ k (ω) bằng k hoặc 1 k và do đó
V(xT ∧τ k(ω), yT ∧τ k(ω)) > min{k−lnk;1 k + lnk}.
Kết hợp điều này và (2.6) ta có
Cho k → ∞ suy ra ®iÒu m©u thuÉn sau
Do vậy τ ∞ = ∞, h.c.c Suy ra τe = ∞,h.c.c Ta có điều phải chứng minh.
Ước lượng moment của nghiệm
Hệ phương trình (0.2) có nghiệm toàn cục, nhưng không thể giải chi tiết Để hiểu rõ hơn về tính chất của nghiệm, cần khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm Trước tiên, chúng tôi ước lượng moment của nghiệm Với mỗi hàm V ∈ C²(R²+; R), xét toán tử liên kết với hệ phương trình (0.2) được xác định như sau.
∂y, trong đó f 1 (x, y) =x(a 1 −b 1 x)− c 1 xy α +βx+γy và f 2 (x, y) = x(−a 2 −b 2 y) + c 2 xy α +βx+γy.
Lấy θ1, θ2 là các hằng số dương, đặt d 1 = 1
Bổ đề 2.2.1 Với mọi θ 1 , θ 2 là các hằng số dương, (x(t), y(t)) là nghiệm của hệ phương trình (0.2) với điều kiện ban đầu (x(0), y 0 ) ∈ R 2 + Khi đó ta có
Chứng minh Xác định hàm V ∈ C 2 (R 2 +,R) xác định bởi V(x, y) = x θ 1 y θ 2 Với mọi t >0, áp dụng công thức Itô ta có dV(x(t), y(t)) =LV(x(t), y(t))dt+ (θ 1 σ 1 +θ 2 σ 2 )V(x(t), y(t))dW(t) (2.8)
Đối với mọi số nguyên k > 1, thời điểm dừng τ k được xác định là τ k = inf{t > 0 : x(t) + y(t) > k} Dãy {τ k , k > 1} là một dãy không giảm, và nhờ tính bất biến dương của (x(t), y(t)) trên R 2 +, ta có lim k→∞ τ k = ∞ Từ đó, có thể suy ra từ (2.8).
Lấy kỳ vọng 2 vế và sử dụng (2.9), ta được
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có
VìV(x t∧τ k , y t∧τ k ) > 0, cho k → ∞ và sử dụng Bổ đề Fatou ta có
Định lý 2.2.2 khẳng định rằng với mọi hằng số dương θ1 và θ2, nghiệm (x(t), y(t)) của hệ phương trình (0.2) với điều kiện ban đầu (x(0), y(0)) thuộc R2+ sẽ thỏa mãn một số tính chất nhất định.
< exp{λ 1 } (2.11) Chứng minh Từ bất đẳng thức
Sử dụng Bổ đề 2.2.1, ta có
Do đó, bằng cách sử dụng bất đẳng thức Holder suy ra
Từ (2.8) và (2.12) suy ra với mọi t> 0 và h >0, ta có
Đặt v(t) = EV(x(t), y(t)), với 0 < v(t) < ∞ cho mọi t > 0, v(t) liên tục nhờ vào tính liên tục của (x(t), y(t)) và định lý hội tụ bị chặn Chúng ta sẽ định nghĩa đạo hàm phải của v(t) như sau.
D + [exp{d 2 t}lnv(t)] = d2exp{d 2 t}lnv(t) + exp{d 2 t}D + v(t) v(t)
Dễ thấy rằnglnx−x θ 6 −1 θ (1 + lnθ) với mọi x > 0 nên
LÊy tÝch ph©n hai vÕ ta cã exp{d 2 t}lnv(t) 6lnv(0) + [d 1 d 2
< exp{λ 1 +λ 2 exp{−d 2 t}}, với mọi t >0. tức là khẳng định thứ nhất của Định lý được chứng minh Cho t → ∞ ta được bất đẳng thức lim sup t→∞ E x(t) θ 1 y(t) θ 2
< exp{λ 1 }. Định lý được chứng minh. Định lý 2.2.3 Giả sửθ 1 , θ 2 , ς 1 , ς 2 là các số dương Khi đó, tồn tại hằng số dương
K i = K i (θ 1 , θ 2 , ς 1 , ς 2 ), i = 1,2, sao cho với mọi điều kiện ban đầu x(0) ∈ R 2 +, nghiệm của hệ phương trình (0.2) thỏa mãn các bất đẳng thức sau
6 K 1 (ii) NÕuθ i ∈ (0,1)(i = 1,2) th× lim sup t→∞
Chứng minh Xét hàm V : R 2 + → R 2 + xác định bởi V(x, y) = ς 1 x θ 1 + ς 2 y θ 2 Với mọi t >0, áp dụng công thức Itô ta được dV(x(t), y(t)) = LV(x(t), y(t))dt+ (θ 1 σ 1 ς 1 x(t) θ 1 +θ 2 σ 2 ς 2 y(t) θ 2 )dW(t),
Từ (2.15) suy ra, tồn tại K 1 = K 1 (θ 1 , θ 2 , ς 1 , ς 2 ) sao cho LV(x, y) 6 K 1 với mọi(x, y) ∈ R 2 + Kết hợp điều này với (2.14) suy ra
(θ 1 σ 1 ς 1 x(s) θ 1 +θ 2 σ 2 ς 2 y(s) θ 2 )dW(s). Lấy kỳ vọng hai vế ta được
EV(x(t), y(t)) 6V(x(0), y(0)) +K 1 t,∀ t >0. Điều này suy ra khẳng định (i) đúng.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh khẳng định(ii) của định lý Từ (2.15) chúng ta thấy rằng với bất kỳ θ 1 , θ 2 ∈ (0,1) ta có lim k(x,y)k→∞[LV(x, y) +V(x, y)] = −∞.
Do đó, tồn tại K 2 = K 2 (θ 1 , θ 2 , ς 1 , ς 2 ) sao cho LV(x, y) + V(x, y) 6 K 2 với mọi(x, y) ∈ R 2 + Kết hợp điều này với (2.14) ta có
(θ 1 σ 1 ς 1 x θ 1 (s) +θ2σ2ς2y θ 2 (s))dW(s). Lấy kỳ vọng hai vế ta được
(ς 1 x(s) θ 1 + ς 2 y(s) θ 2 )ds] 6 K 2 Vậy định lý được chứng minh.
Điều kiện tồn tại bền vững và tuyệt chủng của mô hình
Để đánh giá điều kiện tồn tại bền vững và tuyệt chủng của mô hình, trước hết chúng ta cần xem xét phương trình biên của loài thú trong trường hợp không có nguồn thức ăn, được biểu diễn bằng công thức dϕ(t) = ϕ(t)(a1 − b1ϕ(t))dt + σ1ϕ(t)dW(t).
Sử dụng định lý so sánh ta có x(t) 6 ϕ(t) ∀t > 0 h.c.c, với điều kiện ban đầu x(0) = ϕ(0) > 0 và y(0) > 0 Nếu a 1 6 σ 1 2
2 , chúng ta có thể kiểm tra phương trình(2.16) thỏa mãn ý (2) của [7, Định lý 3.1, p 447] nên lim t→∞ϕ(t) = 0 h.c.c.
Do đó, lim t→∞x(t) = 0h.c.c, từ đó suy ra lim t→∞y(t) = 0h.c.c Với lý do trên, chúng ta có thể giả thiết rằng a1 > σ 1 2
2 Đặt θ(t) = lnϕ(t), sử dụng công thức It^o, ta có dθ(t) a1 − σ 1 2
Bằng cách giải phương trình Fokker-Planck liên kết với phương trình (2.17), chúng tôi chứng minh rằng quá trình θ(t) có một phân phối dừng duy nhất với hàm mật độ f ∗ (x) = Cexp.
, trong đó C là hằng số chuẩn hóa Vì g(x) = e px ,(p > 0)là hàm f ∗ -khả tích, sử dụng luật mạnh số lớn ta có với mọi p > 0, t→∞lim
Trong trường hợp đặc biệt, với p = 1, K 1 a 1 − σ 1 2
2 b 1 , tính chất này suy ra t→∞lim
Lấy ψ(t) là nghiệm của phương trình dψ(t) = ψ(t) −a1 + c 2 β −b2ψ(t) dt+σ2ψ(t)dW(t).
Khi đó ta cũng có y(t) 6 ψ(t)∀t > 0 h.c.c với điều kiện ban đầu y(0) ψ(0) > 0 Do đó lim sup t→∞
Z t 0 y p (s)ds 6Kˆ p víi Kˆ p > 0 (2.22) Định nghĩa giá trị ngưỡng λ := −a 2 − σ 2 2
−∞ c 2 exp(x) α +βexp(x)f ∗ (x)dx (2.23) Định lý 2.3.1 Nếu λ < 0, thì lim t→∞y(t) = 0 h.c.c và phân phối của quá trình x(t) hội tụ yếu đến à − (ã) là độ đo xác suất bất biến duy nhất của ϕ(t) trên
R + Chú ý rằng: à − (ã) là phân phối của e θ với θ là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f ∗
Chứng minh rằng y(t) là nghiệm của phương trình dy(t) = y(t) − a² − b²y(t) + c²ϕ(t) α + βϕ(t) dt + σ²y(t)dW(t), với ϕ(t) là nghiệm của phương trình (2.16) Áp dụng định lý so sánh, ta có y(t) ≤ y(t) h.c.c, khi ϕ(0) = x(0) và y(0) = y(0) Sử dụng công thức Itô và tính toán Ergodic của ϕ(t), ta có lim sup t→∞.
Khi λ < 0 h.c.c., y(t) hội tụ đến 0 với tốc độ mũ chắc chắn Phần còn lại của chứng minh được thực hiện bằng cách áp dụng lược đồ tương tự như trong các bước chứng minh Bổ đề 7 trong tài liệu [11].
Xét mô hình (0.2) với các tham số a1 = 8, a2 = 1, b1 = 2, b2 = 2, c1 = 3, c2 = 2, α = 2, β = 1, γ = 1.5, σ1 = 2, và σ2 = 1, ta tính được λ = −0.096 < 0 bằng công thức (2.23) Theo Định lý 2.3.1, khi t → ∞, y(t) sẽ tiến tới 0 h.c.c và mật độ mồi sẽ tồn tại bền vững Hình 2.1 và 2.2 mô tả quỹ đạo của mật độ thú và mồi tương ứng.
Hình 2.1: Quỹ đạo của mật độ thú
Hình 2.2: Quỹ đạo của mật độ mồi Định lý 2.3.3 Nếu λ > 0, quá trình (x(t), y(t)) có một độ đo bất biến tập trung trên R 2,◦ + , (với R 2,◦ + = {(x, y) ∈ R 2 : x > 0, y >0}).
Z t 0 c 2 α(ϕ(s)−x(s)) + c 2 γ αβ +b 2 y(s) ds+σ 2 W(t) t (2.24) Cho t→ ∞, từ (2.21) và (2.24) ta có lim inf t→∞
Từ (2.18), (2.19), và (2.26) suy ra lim inf t→∞
Chia hai vế của (2.25) cho c2 α; (2.27) cho b 1 và cộng từng vế của chúng ta được lim inf t→∞
Với 0 < ~ < m < H 0, y > 0} đối với hệ phương trình (0.2), chúng ta có thể xét quá trình Markov (x(t), y(t)) với không gian trạng thái
M = {x > 0, y > 0} cho thấy quá trình (x(t), y(t)) có tính chất Feller, dẫn đến sự tồn tại của độ đo bất biến à ∗ trên M Khi y(t) tiến tới 0 khi x(0) = 0, ta có lim t→∞ P(t,(0, y), K) = 0 với mọi tập compact K ∈ M, từ đó suy ra à ∗ ({x = 0, y > 0}) = 0, tương đương với à ∗ (R 2,◦ + ) = 1 Hơn nữa, tính bất biến của R 2,◦ + khẳng định rằng à ∗ là độ đo bất biến của (x(t), y(t)) trên R 2,◦ +.
Xét phương trình (0.2) với các tham số a1 = 10, a2 = 1, b1 = 1, b2 = 2, c1 = 1, c2 = 10, α = 1, β = 1, γ = 1, σ1 = 1, và σ2 = 2, ta tính được λ = 6.005 theo công thức (2.23) Điều này cho thấy mô hình tồn tại bền vững với phân phối dừng à* tập trung trên R2,◦+ Áp dụng Định lý 2.3.3, chúng ta khẳng định mô hình này có tính bền vững Các quỹ đạo của mật độ thú và mồi được thể hiện trong hình 2.3 và 2.4.
Hình 2.3: Quỹ đạo của mật độ thú
Hình 2.4: Quỹ đạo của mật độ mồi kÕt luËn
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1) Trình bày một cách có hệ thống một số khái niệm và tính chất của tích phân ngẫu nhiên, công thức It^o và phương trình vi phân ngẫu nhiên.
2) Trình bày và chứng minh tính chất tồn tại duy nhất nghiệm dương của hệ phương trình (0.2).
3) Trình bày và chứng minh định lý ước lượng moment của nghiệm.
4) Trình bày và chứng minh điều kiện để mô hình tuyệt chủng hoặc tồn tại bền v÷ng.