ộ ụ t rờ ọ ễ ị P tí tí ữ ủ ì s t ó ù tồ t sĩ t ọ ệ ộ ụ t rờ ọ ễ ị P tí tí ữ ủ ì s t ó ù tồ ý tết st ố t ọ số t sĩ t ọ ọ ễ ệ ệ ụ ụ ụ ụ ột số ế tứ ị í tứ t P trì ị ý s s ố q trì t ột ề í ữ ủ ệ s t ó ù tồ í t tồ t t ệ ủ ệ trì ệ t tờ ủ t ộ ủ q tể tr tự ệ t tờ ủ t ộ ủ q tể tr ù ợ tồ í ụ số ết ệ t r tự tế ệ t trể ẽ ủ ề tế ế ễ trờ ỡ ệ s t ột ề ứ ố ủ t ộ t ề t ị t ợt q ứ é t ề ộ t ị ết ột số ị ệt q ết ế ú t r ợ t ộ tí ự từ ó t ộ ế ệ s t ệ trờ ệ ợ q t ể ế t trờ s t t t t t tờ ù ể tồ s t t t sử trờ số ủ ó tr ệ s t ó ợ t ù trờ tự ù ợ tồ ó ó ề t ộ q tể ù ó ữ ù ùớ ệ số tỉ ệ ự tr ệ số t ộ ữ ù ợ ý ệ D(D > 0) sử t ộ q tể tr ù x(t) y(t) sứ ứ ủ ù ợ tể từ ù 1 H s ù ủ ù ợt h D(x(t) y(t)) ế ú t ì ó ế tố t ộ tì tố ộ ế ộ ủ t ộ ủ ột t ét ế tr từ ù ợ ì ó s x(t) = x(t)(a bx(t)) D H (x(t) y(t)) Ex(t), y(t) = y(t)(a by(t)) + Dh (x(t) y(t)); tr ó ab tỉ ệ ề sứ ứ tr trờ số ủ E ệ số t ộ t ợ ế tr trờ tự ì ợ ứ ề t ọ tr tự tế số tr trờ ệ s t ị t ộ ủ ế tố ó t ì ứ ì tt ị t ứ ì s t ó t ộ ủ ế tố t tr ét ệ trì t s ì ó t ọ ủ ì s t ợ ù tồ ó t ộ ủ ế tố dx(t) = x(t)(a bx(t)) D H (x(t) y(t)) Ex(t) dt + x(t)dB(t), dy(t) = y(t)(a by(t)) + D (x(t) y(t)) dt + y(t)dB(t) h r ú t t tr ứ tí t ủ ệ ủ ệ trì (0.2) từ ó r ự t ộ ủ ệ ù tồ ế tồ t ủ ột ó tr ệ s t ự tr ý tở ó ú t ọ ề t P tí tí ữ ủ ì s t ó ù tồ ộ ủ ợ ột số ế tứ ị r t tr trì ết q ủ q trì trì sở ệ trì ết q ủ s í ữ ủ ệ s t ó ù tồ r trì ề ề ệ tồ t ệ ủ ệ trì (0.2) ét ột số tí t t qỹ ủ ệ ó ề ệ tồ t ệt ủ ột ợ t t tì ủ ễ ệ ợ t t ế t ũ t tr ọ trờ ọ ệt t tr ý tết st ố ọ ù ó ề ố s ò ề tế sót rt ợ ó ý ủ qý t ọ ệ t ột số ế tứ ị í tứ t st ọ (, F, P) ệ t tờ tứ ệ Ft = W = {Wt }t s>t Fs ọ t F0 tỏ ề số ủ F tỏ ề ứ ọ t ó st q trì ể ộ r ị tr st ù ợ ọ ị ĩ q trì ọ t {Ft }t {Ft }t {Ft }t b < a f = {f (t)}t ý ệ trị tự M2 ([a, b]; R) (Ft )ù ợ s b f a,b |f (t)|2 dt < =E a ú t t f f tr ợ ú t ó r õ r ã f M2 ([a, b]; R) ế f f f t ết a,b ị ột tr tr tr tr ủ ỗ q trì ợ ũ tế a,b = r trờ f = f M2 ([a, b]; R) f M2 ([a, b]; R) tồ t ột f M2 ([a, b]; R) s ủ f t f (t) = lim sup h h0 t f (s)ds th ó f q trì tổ qt ú t ó tể tết f = f ó t tí f M2 ([a, b]; R) q trì ị ĩ ột q trì g = {g(t)}a t b ợ ọ q trì ế tồ t ột ủ [a, b] a = t0 < t1 < < tk = b k1 i , ế ị i s i Fti ợ k1 g(t) = I[t0 ,t1 ] (t) + i I(ti ,ti+1 ] (t) i=1 ý ệ t q trì M0 ([a, b]; R) õ r M0 ([a, b]; R) M2 ([a, b]; R) b õ r a g(t)dBt Fb ợ ú t ỉ r r tí ế tộ ổ ề ế L2 (, R) g M0 ([a, b]; R) tì b g(t)dBt = E a b g(t)dBt E b |g(t)|2 dt =E a a r t ệ t trì ứ tết ổ ề s ổ ề sử f M2 ([a, b]; R) ó tồ t q trì {gn } s b |f (t) gn (t)|2 dt = lim E n+ ị ĩ tr sử g ột q trì ị M0 ([a, b]; R) ó tí ủ g ể ộ r a ố q trì {Wt } ợ ị s k1 b i (Wti+1 Wti ) g(t)dWt = a i=0 ỗ f M2 ([a, b]; R) t ổ ề tồ t q trì {gn } s b |g(t) gn (t)|2 dt = lim E n a ó b gn (t)dWt E b [gn (t) gm (t)]dWt =E gm (t)dWt a b a a b =E |gn (t) gm (t)|2 dt m, n a b a gn (t)dWt ứ tr L2 (; R) ó tồ t ủ ó ú t ó tí t ú t ó ị ĩ s ị ĩ f sử f M2 ([a, b]; R) tí ủ q trì t q trì ể ộ r {Wt } tr [a, b] ý ệ b a f (t)dWt ợ ị b b f (t)dWt = L2 lim n a tr ó gn (t)dWt , a {gn } q trì tộ M0 ([a, b]; R) s b |f (t) gn (t)|2 dt = lim E n a ị ĩ tr ụ tộ ọ {gn } tí t s ủ tí ợ trì ứ tết tr ị ý sử b a f (t)dWt E b a f (t)dWt f, g M2 ([a, b]; R) , Fb ợ = 0; số tự tì b f (t)dW t a E b a [f (t) =E b a |f (t)| dt; + g(t)]dWt = b a f (t)dWt T > f M2 ([0, T ]; R) b c f (t)dWt + a T, tì {f (t)}a t b c f (t)dWt = f (t)dWt , b a ó x(t) 0, y(t), t t ó ề ứ ú ý ợ y(t) sử ụ ị ý s s ú t ó tể ứ x(t) X(t) r ó X(t) t ộ ủ ột tr trờ ó ù ể tồ ệ t tờ ủ t ộ ủ q tể tr tự sử X(t) t ộ ủ ột tr trờ ó ù ể tồ ó X(t) ệ ủ trì dX(t) = X(t)[(a E) bX(t)]dt + X(t)dB(t) tr ó a > ệ số tỉ ệ t trở ủ b > ệ số tr ữ tể E ệ số t ộ t ợ ế t trể ủ ệ số ế t ể ét ệ ệ ủ trì trớ ết ú t ét ì q tể ó ế tố t ợ ế q tể ợ t trì st s d(t) = (t)[(a b(t)]dt + (t)dB(t), (0) = ổ ề sử (t) ệ ủ ề ệ (0) = > ó ế a> 2 , t ó ln (t) =0 t t lim t lim t t ế a= 2 tì 2a (s)ds = 2b limt (t) = t st ứ rờ ợ a> 2 ổ ề trì t d(t) = (t)[a b(t)]dt + (t)dB(t), (0) = > 0, ó ệ t (t) = e(a )t+B(t) +b t (a )s+B(s) ds e ó ln (t) = (a )t + B(t) ln[ + b ị ý t số t ó B(t) =0 t t lim h.c.c t e(a )s+B(s) ds] r ọ > tồ t T ét trờ ợ B(t) s B(t) t , t T, t t ó )t + B(t) t T 2 (a )s+B(s) ln[ + b( ds + e(a )ss ds)] e T t 2 B(t) ln (t) a + ln[K + b e(a )s ds] t t t T B(t) =a + t 2 b (a )t (a )T ln[K + (e e )] t a ln (t) (a ó t ó ln (t) t t lim rờ ợ 2 b (a )t lim ln[K + (e K1 )] t t a 2 b (a )t a ] lim ln[ e t t a 2 b =a lim [(a )t + ln ] t t 2 a 2 lim (a ) = =a t 2 B(t) a t, t tự ó t ó ì é tù ý ln (t) t t lim limt ln (t) = t , tứ ợ ứ t ứ tứ ụ tứ t t ó t t ln (t) = ln + (a b(s) )ds + dB(s) 0 t = ln + (a )t b (s)ds + B(t) ó ln (t) ln lim = lim + lim (a ) b lim t t t t t t t t =a b lim (s)ds t t t B(t) t t (s)ds + lim = t ó limt ln (t) t lim t t t a 2a (s)ds = = h.c.c b 2b tứ ợ ứ rờ ợ a= 2 ụ tứ t trì t ó t ln (t) = ln + (a b(s))ds + B(t) ó ln (t) ln = + t t t t (b(s))ds + ln B(t) lim = 0; lim = t t t t B(t) t t (b(s))ds 0 t ó t ln ln (t) = lim + lim lim t t t t t t B(t) t t (b(s))ds + lim ln (t) t t lim ó tồ t > T > s ln (t) t ó s r (t) et , t , t T T ó t ó limt (t) = ị ĩ ột ợ ọ tồ t ề ữ rsstt t tr ì ế t ộ q tể x(t) tỏ t lim inf t t x(s)ds > ột ợ ọ tệt ủ tt ế t ộ tể x(t) tỏ lim x(t) = t ị ý sử X(t) ệ ủ trì ề ệ X0 > ó ế aE > 2 tì ln X(t) =0 t t lim lim t t ế aE = ế aE < t 2(a E) X(s)ds = 2b 2 tì 2 tì limt X(t) = t st limt X(t) = 2 tì tồ t ề ữ t tr ì ù ó ợ tồ a E < tì ó ị tệt ủ ĩ ế aE > 2 ết trự tế ủ ổ ề ì ú t ỉ ứ trờ ợ a E < ứ trờ ợ aE > 2 aE = tứ t ú t ó tể t X(t) = e(aE )t+B(t) X0 +b t (aE )s+B(s) ds e ệ ủ trì trị X(t) X0 et(a+E+ B(t) t ) X0 ó ị ý t số t ó B(t) =0 t t lim h.c.c ú t ó ợ lim sup X(t) h.c.c t aE < 2 ề s r lim X(t) = h.c.c t ị í ợ ứ ệ t tờ ủ t ộ ủ q tể tr ù ợ tồ ị ý ế a > D + 2 tì tể ủ tr ù tồ tồ t ề ữ t tr ì tỏ a D b 2 t lim inf t t y(s)ds a b ứ ú t ét trì s d(t) = (t)[(a D ) b(t)]dt + (t)dB(t), (0) = y0 > 0, d(t) = (t)[a b(t)]dt + (t)dB(t), (0) = y0 > ổ ề ú t ễ ó ợ (t) = e(aD y0 +b )t+B(t) t (aD )s+B(s) ds e ệ t ủ (t) = e(a )t+B(t) y0 t (a )s+B(s) ds e +b ệ t ủ ị í s s ủ trì t ó (t) (t) t y(t) ì ú t ó t lim t t (s)ds t y(s)ds a D (s)ds = b t lim t t t lim t t (s)ds (t) (t) từ ệ t ó ết q s ụ ổ ề lim t t t lim inf t t 2 a > D + a (s)ds = b , 2 a> ó t ó a D b 2 ó số ợ tể tr D + a b t lim inf t t y(s)ds tồ t ề ữ t tr ì a> 2 ị ý ế a > E + tì tể ủ tr ù tự tồ t ề ữ t tr ì tỏ t lim inf t t ứ y(t) aE b x(s)ds x(t), t 2 ổ ề sử ụ ị í s s trì ú t ó tể ễ ứ r x(t) (t), t (t) = e(aE )t+B(t) x0 +b t (aE )s+B(s) ds e ệ t ủ trì s d(t) = (t)[(a E) b(t)]dt + (t)dB(t) (0) = x0 ổ ề t ó lim t t t aE (s)ds = b 2 ó lim inf t t t x(s)ds lim t t t ề ó r số ợ tể tr a>E+ ế trờ tự a< tồ t ề ữ t tr ì tr ị tệt ủ limt y(t) = limt x(t) = 2 y(t) ó 2 tì tể tr ù tồ ứ ứ 2 2 ị ý a< aE (s)ds = b x(t), t t ỉ ứ limt y(t) = dy(t) = [y(t)(a by(t)) + D (x(t) y(t))] dt + y(t)dB(t) dy(t) ay(t)dt + y(t)dB(t) ét trì d(t) = a(t)dt + (t)dB(t) (t), t y(t) ụ ị ý s s t ó ụ tứ t s r trì ó ệ (t) = e(a )t+B(t) a< 2 s r a 2 < ó tồ t > s a 2 + < t ụ ị ý t số t ó B(t) =0 t t lim r B(t) < t ó t ó lim e(a +)t = lim (t) t limt (t) = limt y(t) = ó t limt x(t) = í ụ số í ụ r í ụ ú t t t ộ ủ tr trờ ợ ó tồ ét ệ t số 0, 9; E = 0, ó t ó aE > x0 = 1, b = 1, = 1, a = 2 ị ý ế tồ t ề ữ t ộ ủ ợ t ì 1.4 X(t) 1.2 X(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 20 30 40 50 t ì ũ ộ t số X(t) x0 = 1, b = 1, = 1, a = 0, 9; E = 0, x0 = 1, b = 1, = 1, a = 0, 9; E = ó aE < 2 , t ị ý ế ị tệt ủ t ộ ủ ợ tể ệ ì 1.2 X(t) X(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 15 t ì ũ í ụ X(t) x0 = 1, b = 1, = 1, a = 0, 9; E = r í ụ ú t t t ộ ủ tr trờ ợ ợ ù tồ t ệ số ủ trì ét trì ộ số 1, h = 4, H = 10, E = 0, x0 = 1, y0 = 1, b = 1, = 1, a = 0, 9; D = ó a > D + 2 ụ ị í t ó t ộ ủ tr ù tồ tồ t ề ữ r trờ ợ aE > 2 t ộ ủ tr trờ tự ũ tồ t ề ữ t ộ ủ ù ợ t ì 1.4 x(t) y(t) 1.2 y x(t) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 15 t 20 25 ì ũ ộ số 10, E = t ó 30 10 15 t 20 25 30 X(t), Y (t) E = 0.3 x0 = 1, y0 = 1, b = 1, = 1, a = 0, 9; D = 1, h = 4, H = 2 ế tr trờ tự ị tệt > D + ụ ị í t ó t ộ ủ aE < ủ t ó a tr ù tồ tồ t ề ữ t ộ ủ ù ợ t ì 3.5 x(t) y(t) 1.8 1.6 2.5 1.4 y x(t) 1.2 1.5 0.8 0.6 0.4 0.5 0.2 0 10 15 t 20 25 ì ũ í ụ 30 10 15 t 20 25 30 X(t), Y (t) E = r í ụ ú t ét ì ộ ữ ù ết q ệ số ú t t ộ tì ệ t ộ ét ộ t số x0 = 0, 5; y0 = 0, 5; b = 1, = 1, a = 0, 9; E = 1, h = 4, H = 10, D = (D = 3, 5) t ộ ủ ù ợ ỏ tr ì 2.5 0.4 x(t) D=1 y(t) D=1 x(t) D=3.5 y(t) D=3.5 0.35 0.3 0.25 y 1.5 0.2 0.15 0.1 0.5 0.05 0 10 15 20 25 ì ũ í ụ 30 10 15 t 20 25 30 X(t), Y (t) D = D = 3, í ụ s ú t ét ủ ệ tí tồ ết q ứ r ệ tí tồ t tì t ộ ủ t ét ệ ộ t số x0 = 0, 5; y0 = 0, 5, b = 1, = 1, a = 1, E = 1, H = 20, D = 1, h = (h = 8) t ứ ó t ộ ủ ù ứ trị ủ h ợ t tr ì 0.9 3.5 x(t) h=2 x(t) h=8 0.8 y(t) h=2 y(t) h=8 0.7 2.5 0.5 Density Density 0.6 0.4 1.5 0.3 0.2 0.5 0.1 0 10 15 t 20 25 ì ũ í ụ r ó 30 10 15 t 20 25 30 X(t), Y (t) h = h = í ụ tế t ú t ố ỉ r r y(t) x(t) X(t) y(t), x(t) ệ ủ ệ X(t) ệ ủ trì ét ệ trì tr ộ t số 1, = 1, a = 2, E = 1, H = 10, D = 1, h = x0 = 0, 5; y0 = 0, 5; b = ó t ó aE > 2 ị í tể tồ t ề ữ t ộ ủ ợ t ì 4.5 y(t) x(t) X(t) 3.5 Density 2.5 1.5 0.5 0 10 15 t ì ũ 20 25 30 y(t), x(t), X(t) ết t ợ ết q í s rì ột ó ệ tố ột số ệ tí t ủ q trì trì rì ứ t ế ủ ề ố ệ ủ trì t ù tồ ột ó tr ì s t rì ứ ề ệ tồ t ề ữ tệt ủ ủ ột tr trờ tự tr ự tồ r ợ ột số í ụ ụ tể ọ rõ ét tồ t ề ữ tệt ủ ủ ột tr trờ tự tr ự tồ ệ t t rst t t s rt r sts t ss r r r rsr r rtr sr r ss rstss ss t s t rtt tt rtt r t r rt t ts ss tst stt t qts t r tst rt qts tr ts r Ps str [...]... t ó ề ứ ú ý ợ y(t) sử ụ ị ý s s ú t ó tể ứ x(t) X(t) r ó X(t) t ộ ủ ột tr trờ ó sự ù ể tồ ệ t tờ ủ t ộ ủ q tể tr tự sử X(t) t ộ ủ ột tr trờ ó sự ù ể tồ ó X(t) ệ ủ trì dX(t) = X(t)[(a E) bX(t)]dt + X(t)dB(t) tr ó a > 0 ệ số tỉ ệ t trở ủ b > 0 ệ số tr ữ tể ớ E ệ số t ộ t ợ ế sự t trể ủ ệ số ế t ể ét ệ ệ ủ trì trớ ết ú t ét ì q tể ó ế tố t ợ ế q tể ợ t... 0 5 10 15 t ì ũ 20 25 30 y(t), x(t), X(t) ết t ợ ết q í s rì ột ó ệ tố ột số ệ tí t ủ q trì trì rì ứ sự t ế ủ ề ố ớ ệ ủ trì t sự ù tồ ột ó tr ì s t rì ứ ề ệ tồ t ề ữ tệt ủ ủ ột tr trờ tự tr ự tồ r ợ ột số í ụ ụ tể ọ rõ ét sự tồ t ề ữ tệt ủ ủ ột tr trờ tự tr ự tồ ệ t t rst t t s rt r sts t ss r r r rsr r rtr sr r... , T ]; Rd ) g(ã, X(ã)) L2 ([t0 , T ]; Rdìm ), P trì s ợ tỏ ớ ọ t [t0 , T ] ớ st P trì ợ ọ ó t ệ tr [t0 , T ] ế X(t) X(t) ệ ủ trì tì P {X(t) = X(t), t [t0 , T ]} = 1 ờ ú t ỉ r ề ệ sự tồ t t ệ ủ trì ị ý sử tồ t số ề ệ st ớ ọ K1 x, y Rd K2 t [t0 , T ] |f (x, t) f (y, t)|2 |g(x, t) g(y, t)|2 ề ệ t tế tí ớ ọ s K1 |x y|2 (x, t) Rd ì [t0 , T ] |f (x, t)|2 |g(x,... x1 (t)) t 0, ó ớ st t ó x1 (t) x2 (t) , t 0 ữ ế trì s tồ t t ệ dX(t) = (t, X(t))dB(t) + bi (t, X(t))dt, i = 1, 2 tì t tứ ú ề ệ s ợ tỏ b1 (t, x) b2 (t, x) t 0, x R í ữ ủ ệ s t ó sự ù tồ í t tồ t t ệ ủ ệ trì ét trì t s dx(t) = x(t)(a bx(t)) D H (x(t) y(t)) Ex(t) dt + x(t)dB(t), dy(t) = y(t)(a by(t)) + D (x(t) y(t)) dt + y(t)dB(t) h D ể t í ệ H = D ó D H