Khi khảo sát các hệ lượng tử cũng như khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẽ. Để tìm các định luật người ta đưa ra các thống kê lượng tử. Từ việc tìm hiểu các thống kê lượng tử người ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất các hệ lượng tử.
CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ
Các hệ lượng tử và tính chất của chúng
1.1.1 Giới thiệu về hệ lượng tử
Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử
Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử
VD: Hệ electron trng kim loại, khí phonon …
Cơ học lượng tử giải thích các tính chất và đặc điểm độc đáo của các hạt trong thế giới vi mô, điều mà quan điểm cổ điển không thể làm rõ.
1.1.2 Các đặc tính của hệ a) Lưỡng tính sóng – hạt của các đối tượng vi mô
De Broglie đã đưa ra quan điểm rằng các hạt thông thường cũng có tính chất sóng, tương tự như các lượng tử ánh sáng (photon) vốn mang cả hai đặc tính sóng và hạt Quan niệm này đã thách thức lý thuyết cổ điển, vốn không thể giải thích đầy đủ hiện tượng này.
Hệ thức bất định do Heisenberg phát hiện vào năm 1925 cho thấy mối liên hệ giữa các độ bất định ∆𝑥 và ∆𝑝 trong việc xác định tọa độ và xung lượng của một hạt vi mô.
Đối với các hạt vi mô có năng lượng và kích thước nhỏ, độ chính xác trong việc đo đồng thời các thông số như xung lượng là chưa đủ đáp ứng yêu cầu.
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt vi mô không thể được mô tả chỉ bằng tọa độ và xung lượng như trong cơ học cổ điển, mà cần phải sử dụng các phương trình chính tắc Hamilton để thể hiện sự phức tạp của chúng.
Các mức năng lượng xác định chỉ có thể đạt được trong các trạng thái dừng, tức là chúng không thể được xác định một cách chính xác theo thời gian.
Do tính chất sóng-hạt, một hạt vi mô không có tọa độ xác định tuyệt đối, mà bị "nhòe" trong không gian.
Khi hai hạt nằm trong cùng một miền không gian, chúng ta không thể phân biệt chúng do không thể theo dõi sự chuyển động của từng hạt.
Trong cơ học lượng tử, mỗi hạt đều có chuyển động đồng nhất, thể hiện tính chất đặc trưng của chúng Đồng thời, tính gián đoạn của các phân số vật lý cũng là yếu tố quan trọng trong việc mô tả các hạt vi mô Để diễn tả chính xác các đặc tính này, chúng ta gán cho mỗi đại lượng vật lý một toán tử tương ứng.
Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý được thể hiện qua các toán tử, và giá trị của chúng được xác định là các trị riêng của những toán tử này.
Theo cơ học lượng tử, hệ thống có nhiều đại lượng như năng lượng E, moomen động lượng, spin và moomen từ, tất cả đều có thể nhận các giá trị rời rạc khi được tách riêng theo một phương nhất định.
Chẳng hạn như bình phương của mômen động lượng chỉ có thể lấy các trị số sau đây
𝑀 2 = ħ 2 𝑙(𝑙 + 1) (1.3) Trong đó l = 0, 1, 2,… được gọi là số lượng tử quỹ đạo
Spin chỉ có thể có các trị số
Bình phương của momen động lượng toàn phần 𝐽 2 (𝑗⃗ = 𝑀⃗⃗⃗ + 𝑆⃗) chỉ có thể có các trị số
Trong đó j = 1 ± 𝑠, được gọi là số lượng tử mômen toàn phần hay số lượng tử nội
Hình chiếu của mômen từ quỹ đạo lên phương của từ trường ngoài chỉ có thể có các trị số
2𝑚𝑐 là manheto Bo và m1 chỉ có thể có 2𝑙 + 1 giá trị là + 𝑙, 𝑙 −
Hình chiếu của mômen từ riêng (mômen từ spin) lên phương của từ trường ngoài chỉ có thể có các trị số
Trong đó 𝑚 𝑠 chỉ có thể lấy 2s + 1 giá trị là + s, s-1…-s
Hình chiếu của mômen từ toàn phần lên phương của từ trường ngoài chỉ có thể có các trị số
Trong đó 𝑚 𝑧 được gọi là số lượng tử từ và chỉ có thể có 2𝑗 + 1 giá trị là +𝑗, 𝑗 −
Thừa số Lanđơ, ký hiệu là -𝑗, có giá trị khác nhau tùy thuộc vào bản chất và spin của hạt, cũng như vào số lượng tử quỹ đạo 𝑙 Một trong những đặc tính quan trọng của hạt là spin.
Ngoài những đặc tính cổ điển như khối lượng và điện tích, chúng ta cần xem xét các thông số và tính chất mới mang tính chất lượng tử, bao gồm "spin" của hạt và "tương tác trao đổi".
“nguyên lí Pauli”, “nguyên lí các hạt đồng nhất”, “tính chất suy biến của các mức năng lượng”, “hệ thức bất định Heisenberg ”.
Ap dụng các phương pháp thống kê vào hệ lượng tử
1.2.1 Cách mô ta các hệ lượng tử
Trước khi nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp thống kê vào hệ lượng tử, cần xem xét cách các hệ được mô tả Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý và mối liên hệ giữa chúng được mô tả bằng các toán tử tuyến tính tự liên hợp 𝐿̂ tác dụng lên hàm sóng 𝜓 Toán tử này biểu diễn một đại lượng cụ thể và chỉ ra tác dụng cần thực hiện trên hàm sóng.
VD: Toán tử tọa độ 𝑋̂ chỉ rõ hám sóng được nhận một cách đơn giản với tọa độ
𝑋̂𝜓 = 𝑋𝜓 Toán tử hình chiếu xung lượng:
𝜕𝑥 Chỉ rõ cần phải lấy vi phân hàm sóng theo x
Toán tử động năng chỉ ra rằng ta cần phải lấy tổng các đạo hàm bậc hai của hàm sóng
Trong cơ học lượng tử toán tử 𝐻̂ tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ
Trong cơ học lượng tử để diễn tả trạn thái cảu hệ vật lý người ta dùng phương trình Schrodinger:
𝜕𝑡 (1.6) Đối với trạng thái dừng phương trình Schrodinger được viết dưới dạng sau:
Mỗi giá trị riêng của 𝐸 𝑛 tương ứng với một hoặc nhiều trạng thái xác định của hệ, được mô tả bởi các hàm riêng Khi một mức năng lượng tương ứng với nhiều hàm riêng, nó được gọi là suy biến Trạng thái tương ứng với năng lượng E được gọi là độ suy biến hay trọng số thống kê g(E).
Theo hệ thức bất định, hàm sóng diễn tả trạng thái của hệ có thể phụ thuộc hoặc chỉ vào các tọa độ
𝜓(𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) Hoặc chỉ vào các xung lượng
𝜓(𝑝 1 , 𝑝, … , 𝑝 𝑁 ) Hàm sóng có ý nghĩa thống kê Cụ thể là, bình phương của môđun hàm sóng |𝜓(𝑞)| 2 hay 𝜓𝜓 ∗ liên hệ vơi xác suất tìm hệ lượng tử có các tọa độ
𝑞 1 , 𝑞 2 … 𝑞 𝑛 trong yếu tố không gian tọa độ 𝑑𝑞 = 𝑑𝑞 1 , 𝑑𝑞 2 … 𝑑𝑞 𝑛 theo hệ thức
𝑑𝑊(𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑁 ) = |𝜓| 2 𝑑𝑞 1 , 𝑑𝑞 2 … 𝑑𝑞 𝑁 = |𝜓| 2 𝑑𝑞 Nghĩa là |𝜓| 2 là mật độ phân bố xác suất
Do đó bình phương cảu môđun hàm sóng cần phải thỏa mãn điệu kiện chuẩn hóa dưới dạng
= 1 Trong đó tích phân được lấy theo toàn bộ không gian của tọa độ của hệ
Nếu hàm sóng 𝜓(𝑞₁, 𝑞₂, …, 𝑞ₙ) thỏa mãn phương trình Schrödinger, thì hàm sóng 𝜓(𝑝₁, 𝑝₂, …, 𝑝ₙ) với thứ tự hạt thay đổi cũng sẽ thỏa mãn phương trình này Đặc tính này phản ánh tính không thể phân biệt của các hạt trong cơ học lượng tử; khi các tọa độ hạt riêng lẻ hoán đổi cho nhau, không có hiện tượng mới nào xuất hiện Hàm sóng đổi dấu khi hoán vị hai hạt được gọi là hàm sóng phản xứng, trong khi hàm sóng không đổi dấu khi hoán vị hai hạt được gọi là hàm sóng đối xứng.
Tínhđối xứng của hàm sóng của một hệ lượng tử phụ thuộc vào spin của các hạt cấu thành hệ đó
Nếu các hạt cấu thành hệ đó có spin nguyên thì trạng thái của hệ diễn tả bằng hàm sóng đối xứng
Nếu các hạt cấu thành hệ đó có spin bán nguyên thì trạng thái của hệ diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng
Tính đối xứng của các hàm sóng xác định số lượng trạng thái khả dĩ của hệ, dẫn đến hai loại thống kê lượng tử quan trọng: Thống kê Fermi-Dirac và thống kê Bose-Einstein.
Hạt có spin bám nguyên tuân theo nguyên lí loại trừ pauli, trong hệ không thể có hai hạt nằm trên cùng một hệ lượng tử
1.2.2 Ap dụng phương pháp thống kê vào các hệ lượng tử
Vật lý thống kê lượng tử nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt thông qua cơ học lượng tử Tương tự như vật lý thống kê cổ điển, trạng thái vi mô của hệ lượng tử vẫn chưa được xác định Mặc dù phương trình Schodinger giúp xác định phổ các trạng thái khả hữu, nhưng chúng ta vẫn không thể biết hệ lượng tử đang ở trạng thái nào tại một thời điểm cụ thể.
Để trả lời các câu hỏi liên quan đến hệ thống vi mô, cần xem xét một tập hợp các trạng thái vi mô tương thích với các điều kiện bên ngoài nhất định Từ những trạng thái khả hữu này, thông qua phương pháp thống kê, ta có thể xác định xác suất của từng trạng thái và tính toán trị trung bình của các thông số vi mô khác nhau Điều này cho thấy rằng, khi nghiên cứu các hệ lượng tử hay cổ điển, việc hiểu rõ luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẻ là rất quan trọng.
9 Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta có thể sử dụng phương pháp Gipxơ
1.3 Phân bố chính tắc lượng tử
Phương pháp Gipxơ trong hệ vật lý thống kê cổ điển có thể áp dụng cho nghiên cứu hệ lượng tử, nhưng cần điều chỉnh do đặc điểm của hạt vi mô Đối với hệ đẳng nhiệt, xác suất để hệ ở trạng thái có năng lượng 𝐸 𝑘 được xác định một cách cụ thể.
𝜃 } (1.8) Đó là phân bố chính tắc lượng tử
Trạng thái vi mô của hệ lượng tử được mô tả bằng hàm sóng 𝜓 𝑘 với năng lượng 𝐸 𝑘 Trị trung bình của một đại lượng vật lý ℒ trong trạng thái vi mô 𝜓 𝑘 có thể được đo đạc và tính toán.
Sự biến thiên trạng thái ứng với thời gian được xác định bằng phương trình Schodinger: 𝐻̂𝜓 = 𝑖ћ𝜕𝜓 𝜕𝑡 (2)
Nếu hệ nằm trong trạng thái dừng 𝜓 𝑘 với năng lượng đã cho 𝐸 𝑘 thì ta tìm được 𝜓 𝑘 và 𝐸 𝑘 từ phương trình: 𝐻̂𝜓 𝑘 = 𝐸 𝑘 𝜓 𝑘 (3)
Trong cơ học lượng tử, mỗi trạng thái vĩ mô của hệ tương ứng với một tập hợp các trạng thái vi mô 𝜓 𝑘, với xác suất để hệ ở trạng thái vi mô 𝜓 𝑘 là 𝑊 𝑘 Tương tự như trong cơ học cổ điển, tập hợp thống kê lượng tử bao gồm các hệ tương tự nhưng ở các trạng thái vi mô khác nhau Do đó, một tập hợp thống kê lượng tử được mô tả bằng các hàm sóng 𝜓 𝑘 và các xác suất tương ứng 𝑊 𝑘 Theo lý thuyết xác suất, trị trung bình của đại lượng ℒ theo tập hợp thống kê lượng tử được xác định bằng công thức: ℒ̅ = ∑ 𝑊 𝑘 〈ℒ̅〉 ∫ 𝜓 𝑘 ∗ ℒ̂ 𝜓 𝑘 (𝑞)𝑑𝑞.
Chúng ta có thể diễn đạt công thức (4) tương tự như công thức tính trung bình pha trong Vật lý thống kê cổ điển bằng cách đưa các phần tử ma trận của các toán tử vào.
𝑞𝑞 Ở đây ℒ(𝑞, 𝑞 ′ ) là phần tử ma trận của toán tử ℒ̂ còn ⍴(𝑞 ′ , 𝑞) chính là ma trận mật độ được định nghĩa như sau: ⍴(𝑞 ′ , 𝑞) = ∑ 𝑊 𝑘 𝑘 𝜓 𝑘 ∗ (𝑞 ′ )𝜓 𝑘 (𝑞) (6)
Ma trận mật độ chính là phần tử ma trận của toán tử mật độ ⍴̂ định nghĩa như sau: ⍴̂𝜓 𝑘 (𝑞) = ∑ ⍴(𝑞 ′ , 𝑞) 𝑘 𝜓 𝑘 (𝑞′)𝑑𝑞 ′ (7)
Trong trường hợp tổng quát, ma trận mật độ được gọi là hàm của thời gian, và toán tử mật độ cũng phụ thuộc vào thời gian Cụ thể, ta có công thức: ⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) = ∑ 𝑊 𝑘 𝜓 𝑘 ∗ (𝑞 ′ , 𝑡)𝜓 𝑘 𝑑(𝑞, 𝑡).
Với 𝜓 𝑘 (𝑞, 𝑡) được xác điịnh từ phương trình 2
Ta hãy tìm phương trình để xác định ⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) Theo (2) ta có: 𝑖ћ𝜕𝜓 𝑘 (𝑞, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝐻̂𝜓 𝑘 (𝑞, 𝑡) (9) Hay là nếu đưa vào các phần tử ma trận toán tử 𝐻̂,
Do đó từ (8) và (9) ta thấy rằng ma trận mật độ ⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) thỏa mãn phương trình:
Ta có thể viết lại dưới dạng toán tử:
Phương trình (11) là phiên bản lượng tử của phương trình chuyển động cổ điển trong tập hợp pha Tương tự như trong vật lý thống kê cổ điển, phương trình này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các quá trình không cân bằng trong lĩnh vực vật lý thống kê lượng tử.
Tập hợp thống kê lượng tử từ điều kiện cân bằng:
Toán tử mật độ ⍴̂ giao hoán với toán tử 𝐻̂, cho thấy ma trận mật độ là tích phân chuyển động Hơn nữa, ⍴̂ và 𝐻̂ có hàm riêng chung, cho phép viết ma trận mật độ trong trường hợp cân bằng thống kê dưới dạng (6), với 𝜓 𝑘 (𝑞) là hàm riêng của toán tử 𝐻̂ được xác định từ phương trình (3) Do ma trận mật độ là tích phân chuyển động, nên 𝑊 𝑘 phải là hàm năng lượng của 𝐸 𝑘 Tương tự như trong thống kê cổ điển, đối với hệ tiếp xúc với hệ nhiệt, chúng ta có thể chọn 𝑊 𝑘 dưới dạng cụ thể.
𝜃 } (1.9) Để kiểm tra lại xem biểu thức có đúng hay không ta chỉ cần chứng minh
𝜓 có tính chất của năng lượng tự do, còn 𝜃 có tính chất của nhiết tuyệt đối Theo diều kiện chuẩn hóa:
𝑘=0 Đưa vào tổng trạng thái
Dễ thấy rằng 𝜓 và θ có các tính chất của năng lượng tự do và nhiệt độ tuyệt đối Xét các đạo hàm của 𝜓 theo θ và theo thông số ngoài a:
Tức là ta tìm được phương trình Gipxơ-Hemhônxơ
Theo cơ học lượng tử ta có hệ thức:
Gỉa sử toán tử 𝐻̂ là hàm của thông số ngoài a Bằng cách lấy vi phân phương trình Schodinger 𝐻̂𝜓 𝑘 = 𝐸 𝑘 𝜓 𝑘 theo a, ta được:
𝜕𝑎 Nhân vế trái với 𝜓 𝑘 ∗ và lấy tích phân theo q, ta được:
Số hạng thứ 2 của vế bên phải của biểu thức đó bằng không, bởi vì 𝐻̂ là toán tử liên hợp, nghĩa là
Tức là ta tìm được hệ thức (2.9)
Từ đó (1.16) có thể viết dưới dạng:
𝜕𝑎 = −𝐴̅ (1.18) Tức là ta cũng lại tìm được một biểu thức nhiệt động đã biết
Tương tự như trong hệ cổ điển, 𝜓 và θ đại diện cho năng lượng tự do và nhiệt độ tuyệt đối, trong khi sự phân bố được xác định bởi phân bố chính tắc lượng tử.
Cần lưu ý rằng phân bố (1.9) áp dụng cho hệ thống có các mức năng lượng hoàn toàn không suy biến Nếu xảy ra sự suy biến, tức là một mức năng lượng tương ứng với nhiều hàm 𝜓 𝑘 khác nhau và nhiều trạng thái vật lý khác nhau, thì 𝑊 𝑘 cần được biểu diễn theo dạng phù hợp.
𝜃 } 𝑔 𝑘 (1.20) Trong đó 𝑔 𝑘 là độ suy biến
1.4 Thống kê Maxwell-Boltzmann lượng tử
Khảo sát hệ các hạt không tương tác Năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng của các hạt riêng lẻ :
(1.21) Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái với năng lượng E bằng :
Trong đó 𝑊 𝑖 là xác suất để một hạt bất kì của hệ ở trong trạng thái với năng lượng 𝜀 𝑖
𝑍 Trong trường hợp mức năng lượng 𝜀 𝑖 suy biến bội g( 𝜀 𝑖 ) thì:
𝑍 𝑒 − 𝑘𝑇 𝜀 𝑖 (1.23) Đây chính là hàm phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử
Khảo sát hệ các fermion (các hạt có spin bán nguyên) không tương tác Gọi
E và N là năng lượng và số hạt của cả hệ; 𝜀 𝑖 và 𝑛 𝑖 là năng lượng một hạt và số hạt ở trạng thái i Ta có :
Tổng thống kê của hệ là:
Vì các fermion tuân theo nguyên lí Pauli nên số hạt 𝑛 𝑖 chỉ có thể nhận hai giá trị
0 và 1 Do đó ta có :
𝑘𝑇 } Vậy tổng thống kê của hệ các fermion là :
Thế nhiệt động của hệ bằng :
Số hạt trung bình của hệ:
So sánh vơi biểu thức số hạt trung bình của hệ ta được kết quả:
𝑘𝑇 } (1.27) Đây chính là thống kê fermi – Dirac
Thống kê Maxwell-Boltzmann lượng tử
Khảo sát hệ các hạt không tương tác Năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng của các hạt riêng lẻ :
(1.21) Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái với năng lượng E bằng :
Trong đó 𝑊 𝑖 là xác suất để một hạt bất kì của hệ ở trong trạng thái với năng lượng 𝜀 𝑖
𝑍 Trong trường hợp mức năng lượng 𝜀 𝑖 suy biến bội g( 𝜀 𝑖 ) thì:
𝑍 𝑒 − 𝑘𝑇 𝜀 𝑖 (1.23) Đây chính là hàm phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử.
Thống kê Fermi – Dirac
Khảo sát hệ các fermion (các hạt có spin bán nguyên) không tương tác Gọi
E và N là năng lượng và số hạt của cả hệ; 𝜀 𝑖 và 𝑛 𝑖 là năng lượng một hạt và số hạt ở trạng thái i Ta có :
Tổng thống kê của hệ là:
Vì các fermion tuân theo nguyên lí Pauli nên số hạt 𝑛 𝑖 chỉ có thể nhận hai giá trị
0 và 1 Do đó ta có :
𝑘𝑇 } Vậy tổng thống kê của hệ các fermion là :
Thế nhiệt động của hệ bằng :
Số hạt trung bình của hệ:
So sánh vơi biểu thức số hạt trung bình của hệ ta được kết quả:
𝑘𝑇 } (1.27) Đây chính là thống kê fermi – Dirac
Thống kê Bose – Einstein
Khảo sát hệ các boson không tương tác, với E là năng lượng tổng và N là số hạt trong hệ Đối với mỗi trạng thái i, năng lượng một hạt được ký hiệu là 𝜀 𝑖 và số hạt ở trạng thái này là n 𝑖.
Tổng thống kê của hệ
𝑛 𝑖 𝑖 Đối với các boson thì số hạt 𝑛 𝑖 có thể nhận giá trị nguyên không âm bất kì Khi đó:
Là tổng của cấp số nhân vô hạn với công bội là:
𝑘𝑇 } > 0 (1.30) Để cấp số nhân này hội tụ ta phải có :
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q thì có giá trị bằng 1
Vậy tổng thống kê của hạt boson là:
(1.31) Thế nhiệt động của hệ bằng:
Số hạt trung bình của hệ:
So sánh vơi biểu thức số hạt trung bình của hệ ta được kết quả:
𝑘𝑇 } − 1 (1.32) Đây chính là thống kê Boson –Einstein.
So sánh các phân bố Maxwell-Boltzmann, Boson–Einstein và Fermi– Dirac
Như vậy đối với các hệ lượng tử ta tìm được ba hàm phân bố khác nhau theo năng lượng
Trong bài viết này, chúng ta xem xét trọng số thống kê g(𝜀) của các trạng thái lượng tử với năng lượng khác nhau Sự khác biệt trong phân bố này xuất phát từ bản chất và các tính chất của đối tượng vi mô, được mô tả bởi một trong ba thống kê Hơn nữa, từ các công thức đã nêu, ta nhận thấy rằng điều kiện cần thiết phải được thỏa mãn để có thể áp dụng các thống kê này một cách chính xác.
Thống kê Maxwell-Boltzmann có thể được coi là trường hợp giới hạn của thống kê Boson–Einstein và Fermi–Dirac Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các loại thống kê này trong vật lý lượng tử.
Khi nghiên cứu hàm phân bố Maxwell-Boltzman, chúng ta giả định rằng các hạt khác nhau về tọa độ Tuy nhiên, trong thực tế, các hạt đồng nhất không thể áp dụng phân bố theo mức năng lượng Có một số hệ lượng tử gọi là hệ lượng tử định xứ, trong đó các hạt vi mô được coi là cố định tại các điểm không gian xác định Trong các hệ này, nguyên lý không thể phân biệt của các hạt vi mô không còn hiệu lực, cho phép tính đối xứng của hàm sóng không làm giảm số trạng thái vi mô khả hữu Đối với các hệ cấu tạo từ các hạt có vị trí cố định, chúng ta vẫn có thể áp dụng phân bố Maxwell-Boltzman cho các mức năng lượng rời rạc.
Trong một số trường hợp, chúng ta cần áp dụng hoặc phân bố Boson-Einstein cho các hạt hoặc hệ thống có spin nguyên, hoặc sử dụng phân bố Fermi cho các hạt khác.
Dirac đối với các hạt hay các hệ có sipin bán nguyên
Ta đã thấy rằng cả ba thống kê trùng nhau chỉ trong trường hợp khi thỏa mãn điều kiện sau đây:
Thống kê Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein và Fermi-Dirac đều trùng khớp khi số lượng trạng thái khả hữu trong không gian pha vượt xa số hạt trong hệ Khi đó, thể tích của không gian pha trở nên quan trọng trong việc mô tả hành vi của các hạt.
Có thể biểu thị dưới dạng:
Từ điều kiện 𝛤 ≫ 𝛤 𝑚𝑖𝑛 = ℎ 3𝑁 thu được từ điều kiện (1.39)
Phân bố Maxwell-Boltzmann được suy ra từ phân bố chính tắc lượng tử, do đó, các trường hợp áp dụng của phân bố Maxwell-Boltzmann cũng tương đồng với những trường hợp mà phân bố chính tắc lượng tử có thể sử dụng.
BÀI TẬP
Bài tập có lời giải
Bài 1: tìm mối liên hệ giữa áp suất và mật độ năng lượng trung bình đối với khí
Bose lượng tử trong trường hợp phi tương đối tính
Bài giải Theo định nghĩa của thế nhiệt động,
Trong đó 𝑑𝑁(𝜀) là số mức nằm trong khoảng năng lượng từ 𝜀 đến 𝜀 + 𝑑𝜀 Khi lấy tích phân từng phần, ta thu được:
𝑘𝑇 } − 1 Nhưng 𝑁(𝜀) = 𝐴𝜀 𝑛 trong đó n=3/2 đối với các hạt phi tương đối tính Từ đó:
𝑑𝜀 = 𝑛𝑁(𝜀) Khi so sánh các biểu thức đối với E và p.V, ta có thể viết :
Bài 2: Chứng minh rằng trong trường hợp suy biến yếu, nội năng của khí Bose có dạng
Trong đó 𝜇 là thế hóa học
Nội năng của khí Bose bằng:
Thay tổng bằng tích phân ta được:
Trong trường hợp suy biến yếu, có thể khai triển hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi:
Bài 3: Phổ năng lượng của các photon có dạng
Trong đó 𝑞 = |𝑞⃗| , 𝑞⃗ là vecto sóng Tính năng lượng tự do và entropi của khí photon
Thế hóa học 𝜇 của khí photon băng không Do đó năng lượng tự do của khí photon bằng
Tổng theo i thực chất là tổng tất cả các giá trị của véc tơ sóng q và có thể được thay thế bằng tích phân Số trạng thái tương ứng với năng lượng 𝜀 được xác định như sau:
Khi tính đến hai định hướng khả dĩ đối với sự phân cực của các photon, ta thu được
45(ћ𝑐) 3 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑆𝑡𝑒𝑓𝑎𝑛 − 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛 Nếu biết được năng lượng tự do có thể tính được entropi
Bài 4: Rút ra công thức Plank đối với bức xạ nhiệt trong một môi trường tán sắc trong đó chiết suất phụ thuộc vào tần số bức xạ
Trong môi trường với chiết suất n(v), vecto sóng của bức xạ được xác định bởi công thức :
Số dao động riêng trong khoảng số sóng từ q đến q+dq đối với bức xạ điện từ chiếm thể tích V bằng
𝜋 2 Khi chuyển đến phân bố theo tần số, ta thu được
Do đó, số dao động mà các tần số của chúng nằm trong khoảng v-v+dv bằng
Sau khi nhân biểu thức này với năng lượng trung binhfcuar dao động tử điều hòa:
Ta thu được công thức Plank đối với bức xạ nhiệt:
Bài 5: Rút ra điịnh luật bức xạ Planck đối với không gian hai chiều Sử dụng kết quả thu được khi đó rút ra định luật Stefan- Boltzmann đối với không gian hai chiều
Bài giải Đối với khí hai chiều
Số photon với năng lượng trong khoảng 𝜀 − 𝜀 + 𝑑𝜀 bằng:
Mật độ bức xạ cân bằng
Năng lượng toàn phần bức xạ ra trên mọi tần số bằng:
Bài 6: Ơ không độ tuyệt đối, mức Fermi vơi nồng độ là 𝜇 = 7,04 𝑒𝑉 Xác định giá trị của mức Fermi ở 20K
Để tính mức Fermi ở nhiệt độ trên 0K, chúng ta áp dụng công thức tương tự như khi tính mức Fermi ở T=0, với điểm khác biệt là hàm Fermi-Dirac trong dấu tích phân không thể thay thế bằng hàm khác.
Ở nhiệt độ thấp, khi 𝜇 ≫ 𝑘𝑇, chúng ta có thể thay cận trên trong tích phân bằng ∞ Bằng cách khai triển các hàm 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) và 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥) thành chuỗi và giới hạn đến các số hạng thứ hai, chúng ta thu được kết quả quan trọng cho nghiên cứu.
Vì trong kim loại, số điện tử toàn phần trên tất cả các mức khi T>0 bằng số điện tử ở T=0 nên
Có thể viết gần đúng
Bài 7:Tìm mật độ dòng bão hòa của sự phát xạ nhiệt điện tử khi áp dụng phân bố Fermi-Dirac cho các điện tử trong kim loại Công thoát của các điên tử là A
Số trạng thái năng lượng của các điện tử trong khoảng vận tốc 𝑣 𝑥 ÷ 𝑣 𝑥 + 𝑑𝑣 𝑥 ,
𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑣 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Khi hay tính cho một đơn vị thể tích kim loại
Số điện tử trong khoảng vận tốc này bằng
2 (𝑣 𝑥 2 + 𝑣 𝑦 2 + 𝑣 𝑧 2 ) Trong tất cả các điện tử có thành phần pháp tuyến của vận tốc 𝑣 𝑥 > 𝑣 0 , trong đó
2 − 𝜇 = 𝐴 Đều đi qua diện tích 1 𝑐𝑚 2 bề mặt kim loại sau 1 giây
Số điện tử với vận tốc 𝑣 𝑥 đi qua 1 𝑐𝑚 2 bề mặt kim loại sai 1 giây
Số điện tử toàn phần bay ra sau 1 giây từ 1𝑐𝑚 2 bề mặt
Ta đưa vào các tọa độ trụ 𝜌, 𝑣 𝑥 , 𝜑 sao cho
Ta đưa biến vào số mới
𝑘𝑇) Nếu giả thiết A>> kT thì
Bài 8: Áp suất của khia điện tử trong bạc ở T=0K bằng bao nhiêu
Bài giải Theo nhiệt động lực học
𝑇 Ở T=0K, 𝐹 = 𝑈 0 − 𝑇𝑆 = 𝑈 0 nghĩa là giá trị của năng lượng tự do trùng với giá trị của nội năng mà nó bằng
𝑈 0 𝑉 Khi thay đổi giá trị của 𝑈 0 , ta thu được
Số điện tử trong một đơn vị thể tích của bạc bằng
Trong đó 𝑁 𝐴 là số Avongadro, 𝜌 là khối lượng riêng và M là khối lượng nguyên tử bạc Thay các giá trị bằng số ta thu được:
Bài 9: rút ra điều kiện khử suy biến (điềukiện áp dụng thống kê cổ điển) và giải thích ý nghĩa vật lý của nó
Sử dụng sự khác biệt giữa phân bố Bose-Einsten lượng tử, Fermi-Dirac lượng tử và phân bố Maxwwell-Boltzmann cổ điển không còn nữa ở điều kiện: exp (𝜀 − 𝜇
𝑘𝑇 ) ≫ 1 Điều kiện ứng với mọi 𝜀 này dẫn tới exp (− 𝜇
Sau khi lấy tích phân ta thu được:
𝑉 𝑁 Nghĩa là điều kiện áp dụng thống kê cổ điển có dạng:
𝑁 ≫ 1 Khoảng cách trung bình giữa các hạt là 𝑑 = 𝑛 −1 ⁄ 3 , trong đó 𝑛 = 𝑉/𝑁 Tù đó:
Nếu tính đến vận tốc có xác xuất lớn nhất 𝑣 = √ 2𝑘𝑇
Điều kiện thu được cho thấy rằng thống kê cổ điển chỉ áp dụng khi khoảng cách trung bình giữa các hạt lớn hơn nhiều so với bước sóng de Broglie, tức là 𝑑 ≫ 𝜆.
Bài 10: Xác định số va chạm của các điện tử ở một đơn vi điện tích thành bình trong khí điện tử ở không độ tuyệt đối
Bài giải Nguyên tố thể tích pha trong không gian xung lượng trong các tọa độ cầu bằng
Vì góc 𝜑 nhận giá trị từ 0 đến 2𝜋
Số điện tử trong một đơn vị thể tích với xung lượng trong khoảng từ p đến p+dp tạo với pháp tuyến thành bình một góc θ trong khoảng 𝜃 ÷ 𝜃 + 𝑑𝜃 bằng
Số va chạm của các điện tử vơi smootj đơn vị điện tích thành bình bằng
Sô va chạm cộng với một đơn vị điện tích thành bình bằng
Trong đó 𝑝 0 , là các gia strij gới hạn của xung lượng điện tử ở T=0 Gia trại của xung lượng tìm được từ điều kiện
Bài tập không lời giải
Bài 1: Từ phân bố chính tắc lượng tử hãy suy ra phân bố Maxwell-Boltzmann cho hệ các hạt không tương tác
Bài 2: Tính năng lượng và áp suất của khí Bose ở dưới điểm chuyển pha
Bài 3: Xét khí ở nhiệt độ cao và ở trong sự cân bằng nhiệt với bức xạ Tìm hệ thức giữa mật độ khí và nhiệt độ đối với trường hợp khi áp suất khí bằng áp suất bức xạ
Bài 4: Tìm xác suất để điện tử trong kim loại có năng lượng bằng năng lượng
Bài 5: Tìm năng lượng giới hạn của khí điện tử siêu đặc có năng lượng liên hệ với xung lượng bằng hệ thức 𝜀 = 𝑐𝑝 Xác đinh mật độ khi có thể coi chất khí là khí siêu tương đối tính