Các đánh giá nhị phân
Ký hiệu k ã k và hã,ãi đại diện cho chuẩn và tớch vụ hướng trong không gian Hilbert tách được X Xét A là một toán tử tuyến tính trên X, chúng ta cần nhắc lại khái niệm phổ và phân loại phổ của toán tử tuyến tính (tham khảo [20]).
Giả sử A là một toán tử tuyến tính xác định trên D(A) ⊂ X với D(A) =
X Khi đó với y∈ X cho trước, giả sử tồn tại y ∗ thuộc X sao cho hAx, yi = hx, y ∗ i, ∀x ∈ D(A) (1.1)
Giả thiết D(A) = X đảm bảo rằng nếu tồn tại thì y ∗ là duy nhất Do đó, ta có thể xác định toán tử liên hợp A ∗ : D(A ∗ ) ⊂ X → X bởi
D(A ∗ ) = {y ∈ X : ∃!z ∈ X, hAx, yi = hx, zi , ∀x ∈ D(A)} Với y ∈ D(A ∗ ), ta xác định A ∗ y = z, trong đó z là phần tử duy nhất thỏa mãn hAx, y} = hx, zi với mọi x ∈ D(A) Định nghĩa 1.1: Một toán tử tuyến tính (không bị chặn) A được gọi là tự liên hợp nếu A ∗ = A, nghĩa là D(A ∗ ) = D(A) và A ∗ x = Ax với mọi x ∈ D(A) Định nghĩa 1.2: Cho A: D(A) → X là một toán tử tuyến tính với D(A) = X.
Ta nói số λ là giá trị chính quy của A nếu toán tử (A−λI) −1 tồn tại và bị chặn.
Số à khụng là giỏ trị chớnh quy thỡ được gọi là giỏ trị phổ.
Một tập hợp gồm tất cả các giá trị phổ của toán tử Ađược gọi là tập phổ của toán tử A và ký hiệu là σ(A).
Tập hợp ρ(A) := C\σ(A) được gọi là tập giải của toán tử A Phổ điểm của toán tử A, ký hiệu là σ p (A), là tập hợp tất cả các giá trị riêng của A Cụ thể, λ thuộc σ p (A) nếu và chỉ nếu tồn tại x thuộc D(A) \ {0} sao cho Ax = λx Điều này có nghĩa là λ là một giá trị riêng và x là véctơ riêng tương ứng với trị riêng λ của A.
Nếu λ thuộc vào phổ riêng σ p (A), thì không gian kernel của phép toán A − λI không bằng không, và số chiều của không gian này được gọi là bội số của giá trị riêng λ Phổ liên tục của toán tử A, ký hiệu là σ c (A), bao gồm tất cả các giá trị λ thuộc σ(A) nhưng không thuộc σ p (A), sao cho ảnh của A − λI là một tập con thực sự trù mật trong không gian X Phổ dư của toán tử A, ký hiệu là σ r (A), được xác định bằng σ r (A) = σ(A) \ (σ p (A) ∪ σ c (A)) Do đó, với λ thuộc σ r (A), ta có ảnh của A − λI không bằng toàn bộ không gian X và không gian kernel của A − λI bằng không.
Nhận thấy, nếu A là toán tử tuyến tính đóng thì σ(A) =σ p (A)∪σ c (A)∪σ r (A).
Trong luận án này, ta giả sử
Giả thiết 1 Toán tử tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp và có giải compact.
Toán tử A được gọi là xác định dương, nếu tồn tại a > 0 sao cho akuk 2 6hAu, ui, ∀u∈ D(A) (1.2)
Toán tử A được gọi là có giải compact, nếu toán tử giải
Do A là toán tử tự liên hợp, phổ của A chỉ bao gồm các giá trị riêng thực Từ bất đẳng thức (1.2), suy ra phổ của A nằm trong khoảng [a,+∞) Vì A có giải compact, nên phổ của A chỉ chứa các giá trị riêng với bội hữu hạn, không có các điểm giới hạn.
Trong không gian X, giả sử {e1, e2, e3, } là các vector riêng tương ứng với các giá trị riêng λ1, 6λ2, 6λ3, và tạo thành một cơ sở trực chuẩn Các giá trị riêng này là những giá trị đặc trưng của ma trận A, và chúng lặp lại với bội tương ứng.
Ae i = λ i e i , i= 1,2,ã ã ã Nếu X có số chiều vô hạn thì λ i → ∞ khi i → ∞.
Áp dụng định lý ánh xạ phổ cho toán tử tuyến tính A, nếu f là một hàm liên tục với giá trị thực xác định trên σ(A), thì toán tử tuyến tính f(A) được xác định qua công thức f(A)x.
X i=1 f(λ i )hx, e i ie i với miền xác định của f(A) là
) Đặc biệt, C 0 -nửa nhóm sinh bởi −A được xác định như sau e −tA x : ∞
Với N ∈ N ∗ , ta xây dựng phép chiếu trực giao P N lên span{e k : k = 1,2, , N}, bởi công thức
Mệnh đề 1.1 ([12]) Cho P N là phép chiếu được định nghĩa trong (1.3) Đặt
Q N = I −P N (quy ước Q 0 = I) Ta có kA β Q N e −tA xk 6
Tương tự, ta có các đánh giá nhị phân cho P, với P thay cho P N Cụ thể, các đánh giá này bao gồm: ke −tA Pk ≤ e λ N |t| cho mọi t ∈ R; kA β e −tA Pk ≤ λ β N e λ N |t| cho mọi t ∈ R; ke −tA (I−P)k ≤ e −λ N+1 t cho mọi t > 0; và kA β e −tA (I −P)k ≤
Hơn nữa, ta có thể định nghĩa hàm Green
Mặt khác, theo các đánh giá nhị phân (1.4), với γ = λ N +λ N+1
2 ta có ke γ(t−τ ) A β G(t, τ)k6 η(t, τ)e −α|t−τ | với mọi t 6= τ, (1.6) trong đó α= λ N +1 −λ N
Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn 23
Về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp phương trình tiến hóa cấp hai
lớp phương trình tiến hóa cấp hai
Một trong những phương pháp nghiên cứu phương trình tiến hóa cấp hai là thực hiện phép đổi biến để chuyển đổi chúng thành phương trình tiến hóa cấp một trong các không gian pha phù hợp Phương pháp này cho phép áp dụng các kết quả đã được trình bày trong luận án cho các lớp phương trình tiến hóa cấp hai đặc biệt Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét một lớp các phương trình tiến hóa cấp hai có dạng nhất định.
Trong không gian Hilbert tách được X thỏa mãn Giả thiết 1, A là toán tử tuyến tính không bị chặn với D(A) ⊃ X K: R×X β → X đáp ứng điều kiện ϕ-Lipschitz theo Định nghĩa 1.10, trong đó X β được xác định là D(A β ) với 06β ≤ 1/2 Đặt X = D(A 1/2 ) × X, ta có X là một không gian Hilbert tách được với tích vô hướng.
(U, V) = (Ax 0 , y 0 ) + (x 1 , y 1 ), trong đó U = (x 0 , x 1 ) và V = (y 0 , y 1 ) là các phần tử thuộcX Lúc này, trên
X (2.1) có thể được viết lại dưới dạng hệ cấp một như sau
U(t) := (x(t),x(t))˙ và U s = (x s,0 , x s,1 ). Ở đây, toán tử tuyến tính A và ánh xạ K được định nghĩa bởi các công thức
AU = (−x 1 , Ax 0 + 2εx 1 ) với miền xác định D(A) =D(A) ×D(A 1/2 ),
Chúng ta có thể xác định các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A thông qua công thức à ± N = ε±p ε 2 −λ N và g N ± = (e N ,−à ± N e N) cho mọi N = 1, 2, Tại đây, λ N và e N đại diện cho các giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử A Giả sử tồn tại một số tự nhiên N sao cho ε 2 > λ N+1, điều này cho thấy mối liên hệ giữa các giá trị riêng và vectơ riêng trong nghiên cứu toán học.
Trên X 1 và X 2 , ta có thể trang bị các tích vô hướng sau hU, Vi 1 = ε 2 (x 0 , y 0 )−(Ax 0 , y 0 ) + (εx 0 +x 1 , εy 0 +y 1 ), hU, Vi 2 = (Ax 0 , y 0 ) + (ε 2 −2λ N+1 )(x 0 , y 0 ) + (εx 0 +x 1 , εy 0 +y 1 ), trong đó U = (x 0 , x 1 ) và V = (y 0 , y 1 ) là các phần tử lần lượt thuộc vào X 1 và X2 tương ứng.
Từ đó, ta có thể định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trên X như sau: hU, Vi= hU 1 , V 1 i 1 +hU 2 , V 2 i 2 , |U|= hU, Ui 1/2 (2.3) với U = U 1 +U 2 và V = V 1 +V 2 , trong đó V i , U i ∈ Xi, i= 1, 2.
Bổ đề 2.1 ([11, Bổ đề 7.1]) Với 0 6β 61/2, thì
Bổ đề này, cho ta đánh giá sau kA β x 0 k 6λ β N+1 δ N,ε −1 |U|, ∀U = (x 0 , x 1 ) ∈ X (2.5) với 0 6β 6 1/2 và δ N,ε có dạng (2.4) Hơn nữa, chuẩn xác định bởi (2.3) là tương đương với chuẩn thông thường trên X
Ta cố định N, và xét các không gian con
Ký hiệu PX i là các phép chiếu trực giao X lên các không gian con đóng
Bổ đề 2.2 ([11, Bổ đề 7.2]) Ta có: ke −t A PX 2k = e −à − N+1 t , ∀t≥ 0, ke t A P X 1 − k 6e −à − N |t| , ∀t ∈ R, ke −t A P X 1 + k 6e −à + N t , ∀t > 0. Để xây dựng đa tạp quán tính chấp nhận được, ta đặt
P = P X 1 − , Q = I −P = P X 1 + +PX 2. Theo Bổ đề 2.2, ta có các đánh giá ke t A Pk 6e à − N |t| , t∈ R, ke −t A Qk 6e −à − N+1 t , t > 0.
Hơn nữa, ta định nghĩa hàm Green như sau
Khi đó G(t, τ ) từ X vào X và e ω(t−τ ) |G(t, τ )| 6e −%|t−τ | với mọi t, τ ∈ R (2.7) trong đó
2 Ở đõy, à − N = ε−√ ε 2 −λ N , à − N+1 = ε−p ε 2 −λ N+1 với ε 2 > λ N+1 Mệnh đề 2.1 Nếu K là ϕ-Lipschitz, thì
Chứng minh Trước hết, theo cách xác định của K , và tính ϕ-Lipschitz của
K và Bổ đề 2.1 ta có
Hơn nữa, từ (2.5) ta có
Nhận xét 2.1 Để đơn giản, với mọi t ∈ R ta đặt κ(t) = max{ϕ(t), ψ(t)}.
Như vậy, nếu K là ϕ-Lipschitz thì K là κ-Lipschitz, hay
Thay vì nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính của phương trình tiến hóa cấp hai trên không gian X, chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình tiến hóa cấp một Một hàm u thuộc C([s, T], X) được coi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.2) trên khoảng thời gian [s, T] nếu U(s) = U s.
Z t s e −(t−ξ) A K (ξ, U (ξ))dξ, ∀t> s (2.10) Để tìm hiểu thêm về mối liên hệ giữa nghiệm cổ điển và nghiệm đủ tốt, chúng ta có thể tham khảo thêm trong [11, 21, 39, 46, 52].
Trong bài viết này, chúng ta xây dựng khái niệm "đa tạp quán tính chấp nhận được" trên không gian X dựa trên phương trình (2.10) Theo Định nghĩa 2.2, một đa tạp quán tính chấp nhận được thuộc lớp E là tập hợp các mặt M = {M_t} với t ∈ R trong X, trong đó mỗi M_t được xác định là đồ thị của một hàm Lipschitz Φ_t: PX → QX.
M t = {U +Φ t U : U ∈ PX } (2.11) Hơn nữa, các tính chất sau được thỏa mãn
(i) Hằng số Lipschitz của Φ t độc lập với t, nghĩa là, tồn tại một hằng số C không phụ thuộc t sao cho
(ii) Với mỗi t 0 ∈ R và với mỗi U 0 ∈ M t 0 , tồn tại một và chỉ một nghiệm
U(ã) của phương trỡnh (2.10) trờn (−∞, t 0 ] thỏa món U(t 0 ) = U 0 và hàm
(iii) M là bất biến dương dưới tác động của (2.10), tức là, nếu một nghiệm
U(ã) của phương trỡnh (2.10) thỏa món U(s) ∈ M s , thỡ U(t) ∈ M t với t >s.
(iv) M hỳt mũ tất cả cỏc nghiệm của phương trỡnh (2.10) Tức là, với U(ã) là nghiệm tùy ý của (2.10) và s ∈ R cố định, tồn tại một hằng số dương
H, và một nghiệm U ∗ (ã) thuộc M sao cho
Theo công trình 1 trong danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án, chúng tôi đã chứng minh chi tiết các kết quả sau đây:
Bổ đề 2.3 nêu rõ rằng, cho một tập hợp A thỏa mãn Giả thiết 1 và E, cùng với E 0 thỏa mãn Giả thiết 2 với β = 0, tồn tại một số N sao cho ε 2 > λ N+1 Hơn nữa, K : R× X β → X được xác định là hàm ϕ-Lipschitz Giả sử t 0 ∈ R là một số cố định, và U là một nghiệm của phương trình (2.10) sao cho U(t) thuộc D(A) với mọi t ≤ t 0.
−∞G(t, τ )K (τ, U (τ ))dτ ∀t 6t 0 , (2.15) trong đó v 1 ∈ PX, và G(t, τ ) là hàm Green được định nghĩa như trong (2.6).
Phương trình (2.15), được gọi là phương trình Lyapunov-Perron, được sử dụng để xác định đa tạp quán tính chấp nhận của phương trình (2.10) Ngược lại, tất cả các nghiệm của phương trình (2.15) đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (2.10) khi t lớn hơn hoặc bằng 0.
Bổ đề 2.4 khẳng định rằng với tập hợp A thỏa mãn Giả thiết 1 và E, cùng với E 0 thỏa mãn Giả thiết 2 với β = 0, nếu tồn tại một số N sao cho ε 2 > λ N +1, thì với mọi t thuộc R, ta có thể xác định hàm K thông qua một công thức cụ thể.
Giả sử K : R×X β → X là ϕ-Lipschitz sao cho kKk E < 1.
Khi đó, ứng với mỗi t 0 ∈ R và với mỗi v 1 ∈ PX , có một và chỉ một nghiệm U(ã) của phương trỡnh (2.10) trờn (−∞, t 0 ] thỏa món điều kiện
Z(t) =|e −ω(t 0 −t) U(t)|, t 6t 0 thuộc E (−∞,t 0 ] Định lý 2.1 Cho A thỏa mãn Giả thiết 1 và E, E 0 thỏa mãn Giả thiết 2 với β = 0 Giả sử tồn tại N sao cho ε 2 > λ N+1 và K là ϕ-Lipschitz Nếu kKk E < 1 và kKk E N 2
(1− kKk E )(1−e −% )kΛ 1 ϕk ∞ +kKk E < 1 (2.17) thì phương trình (2.10) có một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E.
Ví dụ 2.1 Xét phương trình truyền sóng tắt dần nửa tuyến tính dạng
(2.18) trong đó φ 1 , φ 2 là các hàm cho trước nào đó, và a(t) xác định bởi a(t)
Lấy X = L 2 (0, π) và xét A : X → X được cho bởi
Au = −u 00 với miền xác định
Khi đó, toán tử A thỏa mãn Giả thiết 1 và phổ của A chỉ bao gồm
Ta có K là ϕ-Lipschitz với ϕ(t) = a(t) ∀t ∈ R.
Ta thấy ϕ có thể nhận giá trị lớn tùy ý nên ϕ /∈ L ∞
Xét E = L p (R) với 1< p < ∞ thì E 0 = L q (R) với 1 p + 1 q = 1 và
Khi kiểm tra các điều kiện của Định lý 2.1, ta có thể xác nhận rằng phương trình (2.18) có đa tạp quán tính chấp nhận lớp E.
N và/hoặc c đủ lớn (ở đây, E là không gian Banach tương ứng với L p (R)).
Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn
lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn
Cho X là một không gian Hilbert tách được, A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1, r > 0, 06 β < 1 là các hằng số, ta ký hiệu
Cβ = C([−r,0];X β )) (2.19) là không gian các hàm liên tục mạnh trên [−r,0] nhận giá trị trong X β Khi đó, Cβ là một không gian Banach với chuẩn kvk C β = sup θ∈[−r,0] kA β v(θ)k, ∀v ∈ Cβ.
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho một lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn, được mô tả bởi phương trình du/dt + Au = B(t, u_t), với t > s và t, s thuộc R Ở đây, B: R × C β → X là một toán tử phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, trong đó r > 0 là hằng số trễ và u_t là hàm lịch sử xác định bởi u_t(θ) = u(t + θ) với mọi −r ≤ θ ≤ 0 Định nghĩa một hàm u ∈ C([s−r, T], X β) là nghiệm đủ tốt của phương trình trên [s−r, T] nếu thỏa mãn u_s(θ) = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] và u(t) = e −(t−s)A u(s) + t.
Trên Cβ, ta định nghĩa toán tử chiếu Pˆ bởi công thức
Chúng ta có thể xây dựng khái niệm "đa tạp quán tính chấp nhận được" cho nghiệm đủ tốt của phương trình (2.20) hoặc (2.21) Định nghĩa 2.4 nêu rõ rằng một đa tạp quán tính chấp nhận được thuộc lớp E của phương trình (2.21) là một họ các mặt M = (Mt) với t ∈ R trong C β có dạng cụ thể.
Mt = {pˆ+ Φ t (ˆp(0)) |pˆ∈ PˆC β } ⊂ C β , trong đó Φ t : P X → (I −Pˆ)C β là một ánh xạ Lipschitz Hơn nữa, các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Hằng số Lipschitz của Φ t không phụ thuộct Nói cách khác, tồn tại một hằng số C không chứa t, sao cho kΦ t (x 1 )−Φ t (x 2 )k C β 6 CkA β (x 1 −x 2 )k ∀ x 1 , x 2 ∈ X β ;t ∈ R;
(ii) Với mỗi t 0 ∈ R và với mỗi φ∈ Mt 0 thì phương trình (2.21) có duy nhất một nghiệm u trên (−∞, t 0 ] thỏa mãn u t 0 = φ và hàm t 7→ e −γ(t 0 −t) ku t k C β , t 6 t 0 , thuộc E (−∞,t 0 ] ;
(iii) M là bất biến dương đối với phương trình (2.21) Tức là: nếu u là một nghiệm của phương trình (2.21) thỏa u s ∈ Ms thìu t ∈ Mt với mọit >s;
M tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (2.21) với cấp độ mũ Cụ thể, nếu u là một nghiệm tùy ý của phương trình (2.21) với s ∈ R cố định, thì tồn tại một hằng số dương H và một nghiệm u ∗ thuộc M sao cho ku t −u ∗ t k C β ≤ He −γ (t−s) cho mọi t > s.
Bổ đề 2.5 khẳng định rằng, với A thỏa mãn Giả thiết 1 và các yếu tố E, E 0 cùng ϕ thuộc E 0 thỏa mãn Giả thiết 2, hàm B: R×Cβ → X là ϕ-Lipschitz Giả sử t 0 ∈ R cố định và u là nghiệm của phương trình (2.21) với điều kiện u(t) ∈ X β cho mọi t ≤ t 0 Định nghĩa hàm z(t) = e −γ(t 0 −t) ku t k C β với t ≤ t 0, ta có rằng u(t) = e −(t−t 0 )A p+ t 0.
Chứng minh Với t 6t 0 , ta đặt v(t) t 0
Khi đó, v(t) ∈ X β với mọi t 6t 0 Hơn nữa e −γ(t 0 −t) kA β v(t+θ)k
(2.26) Đặt w(t) =e −γ (t 0 −t) +kz(t)k Khi đó w ∈ E (−∞,t 0 ] và t 0
Thay bất đẳng thức trên vào (2.27), ta được t 0
(2.29) Thay bất đẳng thức (2.28) vào (2.26), ta có e −γ (t 0 −t) kA β v(t+θ)k 6e −γθ k(t, θ)kwk β Suy ra e γ(t 0 −t) kv t k C β 6m(t)kwk β , ∀ t 6t 0 , trong đó m(t) = e rλ N+1 h β β +λ β N+1 +λ β N ke −α|t−ã| ϕ(ã)k E 0 + +β β
Do m(ã) thuộc E (−∞,t 0 ] , và từ tớnh chấp nhận được của E (−∞,t 0 ] nờn e γ(t 0 −t) kv t k C β ∈ E (−∞,t 0 ] Tiếp theo, ta chỉ ra v thỏa mãn v(t 0 ) =e −(t 0 −t)A v(t) + t 0
Z t e −(t 0 −τ )A B(τ, u τ )dτ, ∀t 6t 0 (2.30) Thật vậy, thay v từ (2.25) vào vế phải của (2.30) ta được e −(t 0 −t)A v(t) + t 0
Một cách hoàn toàn tương tự u(t 0 ) = e −(t 0 −t)A u(t) + t 0
Ta cần phải chỉ ra u(t 0 )−v(t 0 )∈ P X.
Tác động A β (I −P) lên hai vế của (2.31), ta có kA β (I −P)[u(t 0 )−v(t 0 )] = ke −(t 0 −t)A A β (I −P)[u(t)−v(t)]k
Do esssup t 6 t 0 ke −γ(t 0 −t) A β (u(t)−v(t))k< ∞, cho t → −∞ ta nhận được kA β (I −P)[u(t 0 )−y(t 0 )]k= 0, hay
Mặt khác A β là một đơn ánh, nên (I−P)[u(t 0 )−y(t 0 )] = 0 Do đó, p :=u(t 0 )−y(t 0 )∈ P X.
P X khả nghịch với nghịch đảo là e −(t−t 0 )A nên u(t) =e −(t−t 0 )A p+v(t) =e −(t−t 0 )A p+ t 0
Phương trình (2.24) được gọi là phương trình Lyapunov-Perron, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định đa tạp quán tính chấp nhận được của Phương trình (2.21) Qua các tính toán trực tiếp, chúng ta nhận thấy rằng chiều ngược lại của Bổ đề 2.5 vẫn đúng, cho thấy rằng mọi nghiệm của phương trình (2.24) đều thỏa mãn Phương trình (2.21) với t6 t 0.
Bổ đề 2.6 Cho A thỏa mãn Giả thiết 1 Hơn nữa, cho E, E 0 và ϕ ∈ E 0 thỏa mãn Giả thiết 2 Với 0 6 β < 1 và với t ∈ R, ta xây dựng hàm m bởi công thức m(t) =e rλ N+1 h β β +λ β N+1 +λ β N ke −α|t−ã| ϕ(ã)k E 0 + + β β
Giả sử B: R×C β → X là hàm ϕ-Lipschitz với điều kiện kmk β < 1, trong đó chuẩn k ã k β được xác định theo Giả thiết 2 (ii) Khi đó, với mỗi t 0 ∈ R và mỗi p ∈ P X, tồn tại một và chỉ một nghiệm u của phương trình (2.21) trên khoảng (−∞, t 0 ] thỏa mãn điều kiện P u(t 0 ) = p Hàm z(t) được định nghĩa là z(t) := e −γ (t 0 −t) ku t k C β, với t ≤ t 0, thuộc không gian E (−∞, t 0 ].
Chứng minh Xét không gian Banach
E γ,t 0 ,β := { h : (−∞, t 0] → X β |h đo được mạnh và e −γ(t 0 −ã) khãk C β ∈ E (−∞,t β
0 ] } với chuẩn khk γ,β :=ke −γ(t 0 −ã) khãk C β k β
Với mỗi t 0 ∈ R, p∈ P X và u ∈ E γ,t 0 ,β , ta định nghĩa T bởi
Khi đú, T : P XìE γ,t 0 ,β → E γ,t 0 ,β và với mỗi p cố định thỡT(p,ã)là co trong
Thật vậy, với p∈ P X và u ∈ E γ,t 0 ,β ta có ke −γ (t 0 −t) A β T(p, u)(t+θ)k
Từ đó, suy ra e −γ(t 0 −t) k(T(p, u)) t k C β 6λ β N e rλ N e −α(t 0 −t) kA β pk+m(t)kwk β
Do đó, kT(p, u)k γ,β 6 λ β N e rλ N kA β pkke −α(t 0 −ã) k β +kmk β kwk β
Tiếp theo, với bất kỳ u, v ∈ E γ,t 0 ,β và p = P u(t 0), q = P v(t 0 ), ta có ke −γ(t 0 −t) A β [T(p, u)−T(q, v)] (t+θ)k
Từ đó suy ra kT(p, u)−T(q, v)k γ,β 6λ β N e rλ N ke −α(t 0 −ã) k β kA β (p−q)k+kmk β ku−vk γ,β
Với điều kiện kmk β < 1, khi p = q, T là co trong E γ,t 0 ,β, dẫn đến sự tồn tại duy nhất của u thỏa mãn u = T(p, u) Theo định nghĩa của T, u là nghiệm duy nhất thuộc E γ,t 0 ,β của phương trình (2.24) khi t ≤ t 0 Bên cạnh đó, từ Bổ đề 2.5 và Chú ý 2.3, ta có thể kết luận rằng u cũng là nghiệm duy nhất thuộc E γ,t 0 ,β của phương trình (2.21) khi t ≤ t 0 Định lý 2.2, là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được cho phương trình (2.21), với A thỏa mãn Giả thiết 1 và E, E 0 cùng ϕ ∈ E 0 thỏa mãn Giả thiết 2.
# (2.33) Giả sử B là ϕ-Lipschitz và max{kmk β ,}} < 1 (2.34) với m được định nghĩa như trong (2.32) Khi đó, phương trình (2.21) có đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E.
Chứng minh Trước hết, ta định nghĩa họ các mặt {Mt 0} t 0 ∈ R bởi
Mt 0 = n ˆ p+ Φ t 0 (ˆp(0)) |pˆ∈ PˆCβ o ⊂Cβ, ở đây, với mỗi t 0 ∈ R ánh xạ Φ t 0 : P X → (I −Pˆ)Cβ xác định như sau Φ t 0 (p)(θ) t 0
G(t 0 +θ, τ)B(τ, u τ )dτ, ∀p∈ P X, ∀θ ∈ [−r,0], trong đó u là nghiệm duy nhất thuộc E γ,t 0 ,β của phương trình (2.21) thỏa điều kiệnP u(t 0 ) =p (Sự tồn tại và tính duy nhất của u đã được chứng minh trong Bổ đề 2.6).
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng Φ t 0 là liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t 0 Để thực hiện điều này, giả sử p và q là hai phần tử thuộc P X, và u cùng v là các nghiệm của phương trình (2.24) với điều kiện P u(t 0 ) = p và P v(t 0 ) = q Bằng cách áp dụng phương trình (2.24) cho u và v, ta có được bất đẳng thức e −γ(t 0 −t) kA β [u(t+θ)−v(t+θ)]k.
Do đó, ku−vk γ,β 6 N 1 e rλ N λ β N ke α kkA β (p−q)k+kmk β ku−vk γ,β
Từ (2.34), suy ra ku−vk γ,β 6 N 1 e rλ N λ β N ke α k
1− kmk β kA β (p−q)k (2.35) Mặt khác, theo định nghĩa của Φ t 0 và sử dụng đánh giá (2.35) suy ra kA β (Φ t 0 (p)(θ)−Φ t 0 (q)(θ))k6 t 0
1− kmk β kA β (p−q)k. Điều này cho thấyΦ t 0 là Lipschitz và hằng số Lipschitz N 1 e r(γ+λ N ) λ β N ke α kkmk β
Từ các Bổ đề 2.5, Bổ đề 2.6 và Chú ý 2.3, ta có thể rút ra kết luận (ii) Để chứng minh (iii), giả sử u là nghiệm của phương trình (2.21) với điều kiện ban đầu u s ∈ Ms, tức là u s (θ) = e −θA p 1 + s.
G(s+θ, τ)B(τ, u τ )dτ, ∀θ ∈ [−r,0], với p 1 ∈ P X Khi đó, ta cần chỉ ra rằng với mọi t 0 > s thì u t 0 ∈ Mt 0 Thật vậy, cố định t 0 ∈ (s,∞) tùy ý, và xây dựng hàm w(t) xác định trên (−∞, t 0 ] bởi công thức w(t)
u(t) nếu t ∈ (s, t 0 ] v(t) nếu t ∈ (−∞, s]. Ở đõy,v(ã)là nghiệm duy nhất thuộc E γ,t 0 ,β của (2.21) với điều kiện v s = u s
Dễ thấy w(t) là liên tục, bị chặn trên (−∞, t 0 ] và u t 0 = w t 0 , do đó ta chỉ cần chứng minh w t 0 ∈ Mt 0.
Hiển nhiên, (2.36) vẫn đúng với t ∈ (−∞, s] Do đó, tồn tại p 2 ∈ P X sao cho w t 0 (θ) =w(t 0 +θ) =e −θA p 2 + t 0
Tức là, w t 0 ∈ Mt 0 hay u t 0 ∈ Mt 0 với mọi t 0 >s.
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh tính chất (iv) của đa tạp quán tính chấp nhận được Cụ thể, với nghiệm tùy ý u của (2.21) với u s ∈ Ms, luôn tồn tại một hằng số dương H và một nghiệm u ∗ của (2.21) sao cho u ∗ t ∈ Mt và ku t −u ∗ t k C β 6He −γ(t−s) cho mọi t > s.
Lúc này, u ∗ được gọi là quỹ đạo rút gọn của u trên đa tạp M Ta sẽ tìm những quỹ đạo rút gọn này dưới dạng u ∗ (t) =u(t) +w(t) sao cho kwk s,+ = sup t > s e γ (t−s) kw(t)k β < +∞.
Thế u ∗ vào (2.21) ta được u ∗ (ã) là một nghiệm của (2.21) khi và chỉ khi w là nghiệm của w(t) = e −(t−s)A w(s) + t
Khi đó, ta thấy hàm w ∈ L + γ,s là một nghiệm của (2.37) khi và chỉ khi nó thỏa mãn w(t) = e −(t−s)A q(0) +ˆ
G(t, τ)B(τ, w τ )dτ, ∀t >s, (2.38) với qˆ∈ (I −Pˆ)Cβ được chọn để u ∗ s = u s +w s ∈ Ms, tức là:
Thay kết quả trên vào (2.38) ta có w(t) =e −(t−s)A
Để chứng minh sự tồn tại của u ∗ thỏa mãn (2.23), cần chỉ ra rằng (2.41) có một nghiệm w thuộc L + γ,s Cụ thể, với q(0)ˆ ∈ QX cố định, chúng ta sẽ chỉ ra phép biến đổi U.
G(t, τ)B(τ, w τ )dτ, ∀t> s−r từ L + γ,s vào L + γ,s và co trong L + γ,s
Thật vậy, từ kB(t, w t )k6 ϕ(t)e γr e −γ(t−s) kwk s,+ , ∀w ∈ L + γ,s suy ra e γ(t−s) kA β (T w)(t)k
Thay các đánh giá (2.43) và (2.44) vào (2.42) ta được kUwk s,+
(2.45) với } được định nghĩa như trong (2.33).
Mặt khác, do kB(t, w 1 t )−B(t, w 2 t )k 6ϕ(t)e γr e −γ(t−s) kw 1 −w 2 k s,+ , ∀ w 1 , w 2 ∈ L + γ,s , ta có e γ (t−s) kA β [(Uw 1 )(t)−(Uw 2 )(t)]k
Từ điều kiện (2.34), ta suy ra rằng U là co trong L + γ,s, dẫn đến sự tồn tại duy nhất điểm bất động w ∈ L + γ,s của U Theo định nghĩa của U, w là nghiệm duy nhất thuộc L + γ,s của phương trình (2.41) với t > s−r Theo (2.45), ta có kwk s,+ ≤ 1.
1−}kΦ s (P u(s))−Quˆ s k C β Mặt khác, từ cách xác định củaw, ta suy ra được sự tồn tại nghiệmu ∗ = u−w của (2.21) sao cho u ∗ t ∈ Mt với mọi t> s, và u ∗ thỏa mãn kA β u ∗ t (θ)−u t (θ)k= kA β w(t+θ)k 6e −γ(t−s) kwk s,+
R hút cấp mũ mọi nghiệm u của (2.21).
Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51
Về không gian pha cho các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn 51
Trước hết, ta nhận thấy khi nghiên cứu phương trình tiến hóa trễ hữu hạn (2.20), thì hàm giá trị ban đầu φ thuộc Cβ := C([−r,0], X β ) với chuẩn sup
Đối với phương trình vi phân trễ vô hạn, hàm giá trị ban đầu φ cần được xác định trên khoảng vô hạn (−∞,0] Tuy nhiên, việc trang bị chuẩn "sup" cho các hàm trên khoảng này là không khả thi Do đó, cần chọn một không gian khác phù hợp cho các hàm ban đầu trong phương trình vi phân trễ vô hạn, không gian này được gọi là không gian pha Trong chương này của luận án, chúng tôi thường sử dụng không gian pha để giải quyết vấn đề này.
, là không gian Banach được trang bị chuẩn kφk C β g = sup θ 6 0 kA β φ(θ)k g(θ) , ∀φ∈ Cg β ở đây g : (−∞,0] → [1,+∞) là một hàm liên tục cho trước.
Ngoài ra, trong một số trường hợp đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng một số không gian pha khác như sau (xem thêm [26, 27]):
Không gian Cβ ×L β p gồm tất cả cá hàm φ : (−∞,0] → X β sao cho φ liờn tục trờn [−r,0] và kA β φ(ã)k p khả tớch trờn (−∞,−r], được trang bị chuẩn kφk C β ×L β p = sup
U C β g : φ∈ Cg β : φ g liên tục đều trên (−∞,0]
Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn
các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn
Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp các phương trình tiến hóa có độ trễ vô hạn.
Trong không gian Hilbert tách được X thỏa mãn Giả thiết 1, A là một toán tử tuyến tính không bị chặn, ký hiệu là X ⊃D(A) Đồng thời, R được định nghĩa là một toán tử phi tuyến ϕ-Lipschitz từ R×Cg β đến X, như đã nêu trong Định nghĩa 1.10.
Hơn nữa, với N nào đó được chọn như trong (1.3), ta giả sử hàm g thỏa mãn sup θ 6 0 e −λ N+1 θ g(θ) < +∞ (3.2)
Một hàm u ∈ C((−∞, T], X β ) được coi là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) trên khoảng (−∞, T] nếu thỏa mãn điều kiện u s (θ) = φ(θ) với mọi θ ∈ (−∞, 0], và đồng thời u(t) = e −(t−s)A u(s) + t.
Z s e −(t−τ )A R(τ, u τ )dτ, ∀ t ∈ [s, T] (3.3) Trên Cg β , ta xây dựng toán tử chiếu P¯ bởi công thức
X k=1 e −λ k θ hφ(0), e k ie k = e −θA P φ(0), −∞< θ 6 0, (3.4) trong đó φ là phần tử thuộc Cg β
Tương tự như trong Chương 2, chúng ta định nghĩa khái niệm "đa tạp quán tính chấp nhận được" cho một lớp các phương trình dạng (3.3) Theo đó, đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của phương trình (3.3) được xác định là một tập hợp các mặt M = (Mt) với t thuộc R trong không gian Cg β.
Mt = {p¯+Φ t (¯p(0))|p¯∈ P¯Cg β } ⊂ Cg β trong đó Φ t : P X → (I −P¯)Cg β là một ánh xạ Lipschitz Hơn nữa, các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Hằng số Lipschitz của Φ t không phụ thuộc t Tức là, tồn tại một hằng số C không phụ thuộc t sao cho kΦ t (x 1 )−Φ t (x 2 )k C β g 6C
(ii) Với mỗi t 0 ∈ R, φ∈ M t 0 tồn tại duy nhất một nghiệmu(ã) của phương trình (3.3) trên (−∞, t 0 ] thỏa mãn u t 0 = φ và hàm t7→ e −γ(t 0 −t) ku t k C β g, t 6t 0 thuộc E (−∞,t 0 ] ;
(iii) M là bất biến dương đối với phương trỡnh (3.3) Tức là, nếuu(ã), là một nghiệm của phương trình (3.3) thỏa mãn u s = φ ∈ M s , thì u t ∈ M t với mọi t >s;
M tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (3.3) với cấp độ mũ Với u(ã) là nghiệm tùy ý của phương trình (3.3) và s ∈ R cố định, tồn tại một hằng số dương H và một nghiệm u ∗ thuộc M sao cho k u(t) - u ∗(t) k C β g ≤ H e −γ (t−s) với t > s.
Bổ đề 3.1 nêu rõ rằng, với A thỏa mãn Giả thiết 1 và các không gian E, E 0 cùng ϕ∈ E 0 thỏa mãn Giả thiết 2, nếu R : R×Cg β → X là hàm ϕ-Lipschitz, thì với mỗi t 0 ∈ R cố định, nghiệm u(ã) của phương trình (3.3) sẽ có dạng u(t) ∈ X β cho mọi t ≤ t 0 Hơn nữa, hàm z(t) = e −γ(t 0 −t) ku t k C β g cũng thuộc E (−∞,t 0 ] Do đó, ta có thể kết luận rằng u(t) = e −(t−t 0 )A p+ t 0.
Chứng minh Theo định nghĩa của hàm Green, ta thấy v(t) : t 0
Lúc này, với −∞ < θ 6 0 ta có e −γ (t 0 −t) kA β v(t+θ)k
(3.11) Kết hợp (3.10) và (3.8), ta có e γ (t 0 −t) kv t k C β g = e γ(t 0 −t) sup θ 6 0 kA β v t (θ)k g(θ)
Do n(ã) ∈ E (−∞,t 0 ] và tớnh chấp nhận được của E (−∞,t 0 ] suy ra e γ(t 0 −t) kv t k C β g ∈ E (−∞,t 0 ]
Khi đó, u(t 0 )−v(t 0 ) =e −(t 0 −t)A [u(t)−v(t)] (3.14) Tác động A β (I −P) lên hai vế của phương trình (3.14), ta có kA β (I −P)[u(t 0 )−v(t 0 )] = ke −(t 0 −t)A A β (I −P)[u(t)−v(t)]k
Do esssup t 6 t 0 ke −γ(t 0 −t) A β (u(t)−v(t))k< ∞, cho t → −∞ ta được kA β (I −P)[u(t 0 )−y(t 0 )]k = 0, do đó A β (I−P)[u(t 0 )−y(t 0 )] = 0.
Vì A β là đơn ánh, nên (I −P)[u(t 0 )−y(t 0 )] = 0 Do đó, p:= u(t 0 )−y(t 0 )∈
P X Mặt khác, hạn chế của e −(t 0 −t)A lên P X có nghịch đảo là e −(t−t 0 )A nên u(t) =e −(t−t 0 )A p+v(t) =e −(t−t 0 )A p+ t 0
Phương trình (3.6), được gọi là phương trình Lyapunov-Perron, được sử dụng để xác định đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình (3.3) Qua các tính toán trực tiếp, ta nhận thấy rằng chiều ngược lại của Bổ đề 3.1 vẫn đúng Điều này cho thấy mọi nghiệm của phương trình (3.6) đều thỏa mãn phương trình (3.3) với t6 t 0.
Bổ đề 3.2 Cho A thỏa mãn Giả thiết 1, các không gian E, E 0 và ϕ∈ E 0 thỏa mãn Giả thiết 2 Với 06β < 1 ta định nghĩa hàm n: R →E bởi công thức n(t) = sup θ 6 0 e −λ N+1 θ g(θ) h β β +λ β N+1 +λ β N ã ke −α|t−ã| ϕ(ã)k E 0 +
Giả sử R : R×Cg β → X là hàm ϕ-Lipschitz với knk β < 1 Đối với mỗi p ∈ P X và mỗi t 0 ∈ R, tồn tại duy nhất một nghiệm u của phương trình (3.3) trên khoảng (−∞, t 0 ] thỏa mãn điều kiện P u(t 0 ) = p Hơn nữa, z(t) được định nghĩa là e −γ (t 0 −t) ku t k C β g cho t ≤ t 0, thuộc không gian E (−∞,t 0 ].
Chứng minh Ta xây dựng không gian Banach
Eg γ,t 0 ,β :=n h : (−∞, t 0 ] → X β |h đo được mạnh, e −γ(t 0 −ã) kh ã k C β g ∈ E (−∞,t β
0 ] o với chuẩn khk γ,β :=ke −γ(t 0 −ã) kh ã k C β gk β Với mỗi t 0 ∈ R, p∈ P X và u ∈ Eg γ,t 0 ,β ta định nghĩa
Khi đó, với p∈ P X và u ∈ Eg γ,t 0 ,β ta có ke −γ (t 0 −t) A β T (p, u)(t + θ)k
Kết hợp (3.10) và (3.12), ta suy ra e −γ(t 0 −t) k[T (p, u)] t k C g β 6 λ β N ãsup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ã ke −α(t 0 −ã) k β ã kA β pk+n(t)kwk β và do đó, kT (p, u)k γ,β 6λ β N ãsup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ã ke −α(t 0 −ã) k β ã kA β pk+knk β kwk β
Tiếp theo, với u, v ∈ Eg γ,t 0 ,β tùy ý, và p :=P u(t 0 ), q := P v(t 0 ), ta có ke −γ(t 0 −t) A β [T (p, u) −T (q, v)] (t + θ)k
Suy ra kT (p, u)−T (q, v)k γ,β 6 λ β N ãsup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ãke −α(t 0 −ã) k β ãkA β (p−q)k+knk β ku−vk γ,β Điều kiện knk β < 1 dẫn đến T là co trong Eg γ,t 0 ,β khi p = q Do đó, tồn tại duy nhất u ∈ Eg γ,t 0 ,β sao cho T (p, u) = u, và u là nghiệm duy nhất thuộc Eg γ,t 0 ,β của (3.6) với t 6 t 0 Theo các Bổ đề 2.5 và Chỳ ý 3.1, ta thấy u(ã) là nghiệm duy nhất thuộc Eg γ,t 0 ,β của (3.3) với t 6 t 0 Định lý 3.1 khẳng định rằng cho A thỏa mãn Giả thiết 1, các không gian E, E 0 và ϕ ∈ E 0 thỏa mãn Giả thiết 2.
Giả sử R là một hàm ϕ-Lipschitz với điều kiện max{knk β ,4} < 1 Khi đó, phương trình (3.3) sẽ có đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E.
Chứng minh Trước hết, ta định nghĩa một tập hợp các mặt {Mt 0} t 0 ∈ R bởi
M t 0 ¯ p+Φ t 0 (¯p(0))|p¯∈ P¯Cg β ⊂Cg β , trong đó, với mỗi t 0 ∈ R ánh xạ Φ t 0 : P X → (I −P¯)Cg β cho bởi công thức Φ t 0 (p)(θ) t 0
G(t 0 +θ, τ)R(τ, u τ )dτ, ∀p∈ P X, ∀θ 60, và u là nghiệm duy nhất thuộc Eg γ,t 0 ,β của phương trình (3.3) thỏa mãn
P u(t 0 ) = p (sự tồn tại u đã được chỉ ra ở Bổ đề 2.6).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng Φ t 0 là Lipschitz với hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t 0 Để làm điều này, giả sử p và q thuộc P X là hai giá trị tùy ý, với u và v là các nghiệm của phương trình (3.6) sao cho P u(t 0 ) = p và P v(t 0 ) = q Áp dụng (3.6) cho u và v, ta nhận được bất đẳng thức e −γ(t 0 −t) kA β [u(t+θ)−v(t+θ)]k.
6e −λ N θ λ β N e −α(t−t 0 ) kA β (p−q)k+n(t)ku−vk γ,β Suy ra ku−vk γ,β 6N 1 λ β N sup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ke α kkA β (p−q)k+knk β ku−vk γ,β
Do knk β < 1, ta được ku−vk γ,β 6 N 1 λ β N ke α k
Từ cách xác định của Φ t 0 suy ra kA β (Φ t 0 (p)(θ)−Φ t 0 (q)(θ))k
1− knk β ãsup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ã kA β (p−q)k. Ở đây, ta sử dụng các đánh giá (3.10) và (3.18).
Bất đẳng thức trên cho thấy với p, q ∈ X β , và với mọi t 0 ∈ R ta có kΦ t 0 (p)−Φ t 0 (q)k C β g 6 N 1 λ β N ke α kknk β
1− knk β ãsup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ãsup θ 6 0 e −γθ g(θ) ã kA β (p−q)k hay, Φ t 0 là Lipschitz với hằng số Lipschitz
1− knk β ãsup θ 6 0 e −λ N θ g(θ) ãsup θ 6 0 e −γθ g(θ) không phụ thuộc t 0
Tính chất (ii) được rút ra từ Bổ đề 3.1, Bổ đề 3.2 và Nhận xét 3.1 Để chứng minh tính chất (iii), ta chọn một giá trị cố định s ∈ R và giả sử u là nghiệm của phương trình (3.3), thỏa mãn điều kiện u s ∈ Ms, tức là u s (θ) = e −θA p 1 + s.
G(s+θ, τ)R(τ, u τ )dτ, ∀θ 60. với p 1 ∈ P X Khi đó, ta sẽ chỉ ra u t 0 ∈ M t 0 với mọi t 0 > s Ta cố định t 0 ∈ (s,∞), định nghĩa hàm w(t) trên (−∞, t 0 ] bởi w(t)
u(t) nếu t∈ (s, t 0 ] v(t) nếu t∈ (−∞, s] trong đú v(ã) là nghiệm duy nhất thuộc Eg γ,t 0 ,β của phương trỡnh (3.3) với v s = u s
Dễ thấy w(t)liên tục, bị chặn trên (−∞, t 0 ] và u t 0 = w t 0 , do đó ta chỉ cần chứng minh w t 0 ∈ M t 0.
Thật vậy, với t ∈ [s, t 0 ] ta có w(t) =e −(t−s)A u(s) + t
Ngược lại (3.19) vẫn đúng vưới t ∈ (−∞, s] Như vậy, tồn tại p 2 ∈ P X sao cho w t 0 (θ) =w(t 0 +θ) =e −θA p 2 + t 0
Tức là, w t 0 ∈ Mt 0 và do đó u t 0 ∈ Mt 0 với mọi t 0 > s.
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh tính chất (iv) của đa tạp quán tính chấp nhận được Cụ thể, với u là nghiệm tùy ý của phương trình (3.3) và u s ∈ Ms, sẽ tồn tại một nghiệm u ∗ của phương trình (3.3) thỏa mãn u ∗ t ∈ M t với t > s, đồng thời có điều kiện ku t − u ∗ t k C β g 6H e −γ(t−s).
Lúc này, u ∗ gọi là quỹ đạo rút gọn của u trên đa tạp {Mt} Ta sẽ tìm quỹ đạo này dưới dạng u ∗ (t) =u(t) +w(t) với kwk s,+ = sup t > s e γ(t−s) kA β w(t)k < +∞.
Bằng cỏch thay trực tiếp u ∗ (ã) = u(ã) +v(ã) vào phương trỡnh (3.3) ta thấy u ∗ là nghiệm của phương trình (3.3) với t >s khi và chỉ khi w là nghiệm của phương trình w(t) =e −(t−s)A w(s) + t
là khụng gian Banach với chuẩn k ã k s,+
Khi đó, ta thấy rằng hàm w ∈ Lγ,s + là một nghiệm của phương trình (3.20) khi và chỉ khi nó thỏa mãn w(t) =e −(t−s)A q(0) +¯
G(t, τ)R(τ, w τ )dτ, ∀t >s, (3.21) và q¯∈ (I −P¯)Cg β nào đó được chọn sao cho u ∗ s = u s +w s ∈ Ms, tức là,
(3.23) Thay đẳng thức trên vào (3.21) ta được w(t) =e −(t−s)A
Để chứng minh sự tồn tại của u ∗ thỏa mãn điều kiện (3.5), cần chứng minh rằng phương trình (3.24) có nghiệm w thuộc không gian Lγ,s + Cụ thể, với q(0)¯ ∈ QX cố định, chúng ta sẽ chỉ ra ánh xạ U được xác định bởi.
G(t, τ)R(τ, w τ )dτ, ∀t >s từ Lγ,s + vào Lγ,s + và là co trong Lγ,s +
Thật vậy, với w ∈ Lγ,s + , và với mỗi θ ∈ (−∞,0] ta có kA β w(t+θ)k = e −γ (t+θ−s) e γ(t+θ−s) kA β w(t+θ)k
6e −γ(t+θ−s) sup t+θ > s e γ(t+θ−s) kA β w(t+θ)k, và do đó kA β w(t+θ)k g(θ) 6 e −γθ g(θ).e −γ(t−s) kwk s,+ nên kR(t, w t)k 6ϕ(t)kw t k C β g 6ϕ(t)ãsup θ 6 0 e −γθ g(θ) ãe −γ(t−s) kwk s,+ Lúc này, với mọi t >s thì e γ(t−s) kA β (U w)(t)k
Thay (3.26) và (3.27) vào (3.25) ta được e γ(t−s) kA β (U w)(t)k6 kΦ s (P u(s))−Qu¯ s k C β g +4kwk s,+ , ∀t >s (3.28) Suy ra kUwk s,+ := sup t > s e γ(t−s) kA β (U w)(t)k
< +∞, với 4 được định nghĩa trong (3.16).
Mặt khác, từ kR(t, w t 1 )−R(t, w 2 t)k 6ϕ(t)ãsup θ 6 0 e −γθ g(θ)ãe −γ (t−s) kw 1 −w 2 k s,+ , ∀w 1 , w 2 ∈ Lγ,s + , ta có e γ(t−s) kA β ((Uw 1 )(t) − (U w 2 )(t))k
Ánh xạ U: Lγ,s + → Lγ,s + là ánh xạ co với 4 < 1, do đó tồn tại duy nhất w ∈ Lγ,s + sao cho U(ã, w) = w Điều này chứng tỏ w là nghiệm duy nhất thuộc Lγ,s + của phương trình (3.24) với t > s Hơn nữa, từ (3.28), với mọi w ∈ Lγ,s +, ta có kwk s,+ ≤ kΦ s (P u(s)) − Qu¯ s k C β g.
Mặt khác từ định nghĩa của w, ta suy ra sự tồn tại nghiệm u ∗ = u−w của phương trình (3.3) sao cho u ∗ t ∈ Mt với mọi t >s, và u ∗ thỏa mãn kA β [u ∗ t (θ)−u t (θ)]k = kA β w(t+θ)k
Từ đó, suy ra ku t −u ∗ t k C β g 6H e −γ(t−s) , ∀t >s với
Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vô hạn dạng phân phối
Mackey-Glass có trễ vô hạn dạng phân phối
Trong phần này, ta áp dụng kết quả trên cho một lớp các phương trình kiểu Mackey-Glass có trễ vô hạn dạng phân phối
(3.30) trong đó r > 0 là một hằng số, a(t) là hàm số được cho bởi công thức a(t)
Chọn X = L 2 (0, π) và xét toán tử A: X ⊃D(A) → X xác định bởi
Khi đó, A thỏa mãn Giả thiết 1 với σ(A) = 1 2 +r,2 2 +r,ã ã ã , n 2 +r,ã ã ã
Tiếp theo, ta chọn g(θ) = e θ 2 và β = 0 Khi đó X 0 = X Lúc này, ta có thể định nghĩa không gian Banach
, với chuẩn kφk C g 0 := sup θ 6 0 kφ(θ)k e θ 2 , và định nghĩa toán tử R: R×Cg 0 → X bởi
1 +kφ(s)kds, ∀φ ∈ Cg 0 Khi đó, với φ 1 , φ 2 ∈ Cg 0 tùy ý, ta có kR(t, φ 1 )−R(t, φ 2 )k 6a(t)k
Như vậy, R là ϕ-Lipschitz với ϕ(t) =a(t).
Tính toán đơn giản, ta có sup θ 6 0 e −λ N+1 θ g(θ) = sup θ 6 0 e −λ N+1 θ e θ 2 = e λ 2 N+1
4 < ∞ hay, điều kiện (3.2) được thỏa mãn.
Hơn nữa, nhận thấy ϕ có thể nhận giá trị lớn tùy ý Tức là, ϕ /∈ L∞.
Bây giờ, nếu ta xét E = L p (R) với 1 < p < ∞ thì E 0 = L q (R) trong đó 1 p + 1 q = 1 và ta có
Theo Nhận xét 3.2, phương trình (3.30) có đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E khi N và/hoặc c đủ lớn, trong đó E là không gian Banach tương ứng với L p (R).
Khi xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của (3.1) ta gặp một số khó khăn sau:
Hàm giá trị ban đầu φ xác định trên khoảng vô hạn (−∞,0], nên một số đánh giá được sử dụng ở Chương 2 đối với trễ hữu hạn không còn đúng.
Phần phi tuyến R là ϕ-Lipschitz nên như trong Chương 2, định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm không còn đúng đối với (3.1);
Nửa nhóm sinh bởi −A không ảnh hưởng đến không gian Bannach chứa đa tạp quán tính, do đó phương pháp nhiễu phi tuyến không thể áp dụng Để giải quyết những khó khăn này, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tương tự như trong Chương 2.
Xét các hàm giá trị ban đầu trong một lớp không gian pha, thường được áp dụng trong nghiên cứu phương trình tiến hóa với độ trễ vô hạn.
Cg β (xem thêm [42]) và xây dựng các đánh giá mới trên không gian đó.
Khi g = e −νθ, không gian C ν trở nên quen thuộc, và việc lựa chọn không gian pha Cg β là phù hợp nhất khi xem xét sự tồn tại của đa tạp quán tính (chấp nhận được) cho các phương trình tiến hóa có trễ vô hạn.
Phát biểu lại khái niệm đa tạp quán tính (như trong Định nghĩa 3.2) sao cho nó chứa sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm;
Xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Lyapunov-Perron cho phép áp dụng các đánh giá nhị phân mũ của nửa nhóm (e −tA )t≥0 Qua đó, chúng ta có thể chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong các không gian hàm chấp nhận được, từ đó xây dựng đa tạp quán tính phù hợp cho phương trình (3.1).
Kết quả chính của chương này là Định lý 3.1, chỉ ra điều kiện cần thiết để tồn tại đa tạp quán tính có thể chứa nghiệm tốt cho phương trình (3.1) Kết quả này mở rộng các nghiên cứu trước đó trong tài liệu [29], đặc biệt là về sự tồn tại của đa tạp quán tính lớp E trong trường hợp trễ vô hạn.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Những kết quả đã đạt được
Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu các bài toán liên quan đến đa tạp quán tính chấp nhận được, dựa trên ý tưởng của N.T Huy [29] Nghiên cứu này tập trung vào một số lớp phương trình tiến hóa trong không gian Hilbert và đã đạt được những kết quả quan trọng.
Chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn hoặc vô hạn.
Chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho một lớp phương trình tiến hóa cấp hai.
2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo
Sau những kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề sau đây có thể được tiếp tục nghiên cứu:
Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình vi phân trung tính.
Sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình tiến hóa cấp hai có trễ.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1 N T Huy, L A Minh (2018), “Admissible inertial manifolds for delay equations and applications to Fisher-Kolmogorov model”, Acta Appli- candae Mathematicae 156(1), pp 15-31.
2 L A Minh (2020), “Admissible inertial manifolds for second order in time evolution equations”, Khayyam Journal of Mathematics 6(2), pp. 155-173.
3 L A Minh (2020), “Admissible inertial manifolds for infinite delay evo- lution equations”, has been accepted for publication at Bulletin of theKorean Mathematical Society.
[1] C T Anh, L V Hieu, N T Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and Continuous Dynamical Systems 33, pp 483-503.
[2] C T Anh, L V Hieu (2013), "Inertial manifolds for retarded second order in time evolution equations in admissible spaces", Annales Polonici Mathematici 108(1), pp 21–42.
[3] Bensoussan A., Landoli F (1995), "Stochastic inertial manifolds", Stochastics and Stochastics Reports 53, pp 13-39.
[4] Bisconti L., Catania D (2018), "On the existence of an inertial manifold for a deconvolution model of the 2D mean Boussinesq equations", Mathematical Methods in the Applied Sciences 41(13), pp 4923–4935.
[5] Brune P.; Schmalfuss B (2011), "Inertial manifolds for stochastic PDE with dynamical boundary conditions", Communications on Pure & Applied Analy- sis 10(3), pp 831–846.
[6] Cardin F., Favretti M., Lovison A (2017), "Inertial manifold and large de- viations approach to reduced PDE dynamics", Journal of Statistical Physics 168(5), pp 1000–1015.
[7] Chalkina N A (2012), "Sufficient condition for the existence of an inertial manifold for a hyperbolic equation with weak and strong dissipation", Russian Journal of Mathematical Physics 19(1), pp 11–20.
[8] Chepyzhov V V., Kostianko A., Zelik S (2019), "Inertial manifolds for the hyperbolic relaxation of semilinear parabolic equations", Discrete and Contin- uous Dynamical Systems Series B 24(3), pp 1115–1142.
[9] Chow S.N., Lu K (1988), "Invariant manifolds for flows in Banach spaces", Journal of Differential Equations 74, pp 285-317.
[10] Chueshov I.D (1995), "Approximate inertial manifolds of exponential order for semilinear parabolic equations subjected to additive white noise", Journal of Dynamics and Differential Equations 7, pp 549-566.
[11] Chueshov I.D (2002), Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dis- sipative Systems , ACTA, Kharkiv.
[12] Chueshov I.D (2015), Dynamics of Quasi-Stable Dissipative Systems , Springer, Cham.
[13] Chueshov I D., Schmalfuò, B (2005), "Averaging of attractors and inertial manifolds for parabolic PDE with random coefficients", Advanced Nonlinear Studies 5(4), pp 461–492.
[14] Chueshov I., Scheutzow M., Schmalfuò, B (2005), "Continuity properties of inertial manifolds for stochastic retarded semilinear parabolic equations" in Interacting Stochastic Systems , pp 353–375, Springer, Berlin.
[15] Chung Y., Titi E S (2003), "Inertial manifolds and Gevrey regularity for the Moore-Greitzer model of an axial-flow compressor", Journal of Nonlinear Science 13(1), pp 1–25.
[16] Constantin P., Foias C., Nicolaenko B., Temam R (1989), Integral Manifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations , Springer, New York.
[17] Constantin P., Foias C., Nicolaenko B., Temam R (1989), "Spectral barriers and intertial manifolds for dissipative partial differential equations", Journal of Dynamics and Differential Equations 1, pp 45-73.
[18] Da Prato G., Debussche A (1996), "Construction of stochastic inertial mani- folds using backward integration", Stochastics and Stochastic Reports 59(3-4), pp 305–324.
[19] Debussche A (1990), "Inertial manifolds and Sacker’s equation", Differential and Integral Equations 3, pp 467-486.
[20] Eidelman Y., Milman V., Tsolomitis A (2004), Functional Analysis: An In- troduction , American Mathematical Society, Rhode Island.
[21] Engel K.J., Nagel R (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations , Springer, New York.
[22] Fabes E., Luskin M., Sell R G (1991), "Construction of inertial manifolds by elliptic regularization", Journal of Differential Equations 89(2), pp 355-387.
[23] Foias C., Sell G.R., Temam R (1988), "Inertial manifolds for nonlinear evolu- tionary equations", Journal of Differential Equations 73(2), pp 309-353.
[24] Gal C G., Guo Y (2018), "Inertial manifolds for the hyperviscous Navier- Stokes equations", Journal of Differential Equations 265(9), pp 4335–4374.
[25] Goritskii A Y., Chalkina N A (2014), "Inertial manifolds for weakly and strongly dissipative hyperbolic equations", Journal of Mathematical Sciences 197(3), pp 291–302.
[26] Hale K J., Kato J (1978), "Phase space for retarded equations with infinite delay", Funkcialaj Ekvacioj 21, pp 11-41.
[27] Hino Y., Murakami S., Naito T (1991), Functional Differential Equations with Infinite Delay, Springer, Berlin.
[28] N T Huy (2012), "Inertial manifolds for semi-linear parabolic equations in admissible spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications 386(2), pp 894-909.
[29] N T Huy (2013), "Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations", Journal of Differential Equations 254(6), pp 2638 - 2660.
[30] N T Huy, B X Quang (2016), "Sectorial operators and inertial manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces", Applicable Analysis and Discrete Mathematics 10(2), pp 262–291.
[31] N T Huy, B X Quang (2017), "Inertial manifolds for partial neutral func- tional differential equations in admissible spaces", Vietnam Journal of Math- ematics 45, pp 585–608.
[32] N T Huy, B X Quang(2018), "Competition models with diffusion, analytic semigroups, and inertial manifolds", Mathematical Methods in the Applied Sci- ences 41(17), pp 8182–8200.
[33] Koksch N., Siegmund S (2002), "Pullback attracting inertial manifols for nonautonomous dynamical systems", Journal of Dynamics and Differential Equations 14, pp 889-941.
[34] Kostianko A (2017), Inertial manifolds for semilinear parabolic equations which do not satisfy the spectral gap condition , Ph.D Thesis, University of Surrey, Surrey.
[35] Kostianko A (2018), "Inertial manifolds for the 3D modified-Leray-α model with periodic boundary conditions", Journal of Dynamics and Differential Equations 30(1), pp 1–24.
[36] Kostianko A., Zelik S (2015), "Inertial manifolds for the 3D Cahn-Hilliard equations with periodic boundary conditions", Communications on Pure & Applied Analysis 14(5), pp 2069–2094.
[37] Kwak M (1992), "Finite dimensional description of convective reaction diffu- sion equations", Journal of Dynamics and Differential Equations 4, pp 515- 543.
[38] Li X., Sun C (2020), "Inertial manifolds for the 3D modified-Leray-α model", Journal of Differential Equations 268(4), pp 1532–1569.
[39] Lunardi A (1995), Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems , Birkh¨auser, Basel.
[40] Mallet-Paret J., Sell G R.(1988), "Inertial manifolds for reaction diffusion equations in higher space dimensions", Journal of the American Mathematical Society 1, pp 805-866.
[41] Massera J L., Sch¨affer J J.(1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York.
[42] L A Minh (2020), "Inertial manifolds for neutral functional differential equa- tions with infinite delay and applications", Annales Polonici Mathematici 125
[43] N V Minh, Wu J (2004), "Invariant manifolds of partial functional differential equations", Journal of Differential Equations 198(2), pp 381-421.
[44] Monvel L B., Chueshov I.D., Rezounenko A.V (1998), "Inertial manifolds for retarded semilinear parabolic equations", Nonlinear Analysis 34(6), pp. 907-925.
[45] Nartea C (2007), "Computation of inertial manifolds in biological mod- els FitzHugh-Nagumo model", Buletinul Academiei de S átiintáe a Republicii Moldova Matematica 3, pp 102–110.
[46] Pazy A (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations , Springer, New York.
[47] P¨otzsche C (2008), "Discrete inertial manifolds", Mathematische Nachrichten 281(6), pp 847–878.
[48] Rezounenko, A V (2002), "Inertial manifolds for retarded second order in time evolution equations", Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applica- tions 51(6), pp 1045–1054.
[49] Robinson C J (2001), Infinite-dimensional Dynamical Systems : An Intro- duction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors , Cambridge University Press, Cambridge.
[50] Romanov A V (2016), "On the hyperbolicity properties of inertial manifolds of reaction-diffusion equations", Dynamics of Partial Differential Equations 13(3), pp 263–272.
[51] Schmalfuss B (2005), "Inertial manifolds for random differential equations", in Probability and Partial differential equations in Modern applied mathematics , pp 213-236, Springer, New York.
[52] Sell G.R., You Y (2002), Dynamics of Evolutionary Equations, Springer, New York.
[53] Vukadinovic J (2008), "Inertial manifolds for a Smoluchowski equation on a circle", Nonlinearity 21(7), pp 1533–1545.
[54] Vukadinovic J (2009), "Inertial manifolds for a Smoluchowski equation on the unit sphere", Communications in Mathematical Physics 285(3), pp 975–990.
[55] Wang, B (2015), "Periodic and almost periodic random inertial manifolds for non-autonomous stochastic equations" in Continuous and Distributed Systems