Mởt số vĐn ã vã GiÊi tẵch h m
Khổng gian v²ctỡ tổpổ
GiÊ sỷ E l khổng gian v²ctỡ trản K, mởt tổpổ trản E ữủc gồi l tữỡng thẵch vợi cĐu trúc Ôi số cừa E náu cĂc ph²p toĂn cởng Ôi số v nhƠn ngo i
EE là một không gian vector với tổ hợp tuyến tính của các vector Mỗi không gian vector đều có tổ hợp tuyến tính tương ứng với các vector trong không gian đó Tổ hợp tuyến tính được sử dụng để xây dựng các cấu trúc không gian vector một cách chính xác.
Náu E l mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ thẳ ph²p tành tián v ph²p và tỹ trản E l cĂc ph²p ỗng phổi lản chẵnh nõ Nội dung này suy trỹc tiáp tứ tẵnh tữỡng thẵch cừa tổpổ trản E Nói riảng, náu U l lƠn cên cừa 0 P E thẳ a U l lƠn cên cừa a v αU l lƠn cên cừa 0 vợi mồi α 0.
Mằnh ã 1.1.1 ([2]) GiÊ sỷ E l mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ Náu U l cỡ sð lƠn cên cừa 0 P E thẳ
(i) Mồi U P U l têp hút, tực l mồi x P E luổn tỗn tÔi ε Ă 0 sao cho λx P U vợi mồi |λ| ε.
(ii) Vợi mồi U P U tỗn tÔi lƠn cên V cừa 0 sao cho V V U.
(iii) Vợi mồi U P U tỗn tÔi mởt lƠn cên cƠn V cừa 0 sao cho V U é Ơy, lƠn cên V ữủc gồi l cƠn náu λV V vợi mồi |λ| Ô 1.
Theo tính chất của Mành, với mồi U P U, tồn tại V P U sao cho V V U Điều này chứng tỏ rằng V U nằm trong U, và các yếu tố trong U cũng có khả năng mở rộng trong hệ thống này Ngoài ra, hiện diện với mồi cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các đặc điểm của cấu trúc.
V thuởc U thẳ V V nản V cụng l mởt lƠn cên cừa 0 Do õ, khổng gian v²ctỡ tổpổ E cõ mởt cỡ sð lƠn cên cừa 0 gỗm to n cĂc têp cƠn õng.
Mằnh ã 1.1.2 ([2]) GiÊ sỷ E l mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ Khi õ E l Hausdorff náu v ch¿ náu vợi mồi x 0 thuởc E tỗn tÔi lƠn cên U cừa
Ta nõi rơng tổpổ τ trản khổng gian v²ctỡ E l bĐt bián ối vợi ph²p tành tián náu mồi ph²p tành tián trản E l mởt ph²p ỗng phổi.
Ngữủc lÔi vợi Mằnh ã 1.1.1, ta cõ
Mằnh ã 1.1.3 ([2]) GiÊ sỷ E l mởt khổng gian v²ctỡ v τ l mởt tổpổ trản E bĐt bián ối vợi ph²p tành tián Náu E cõ mởt cỡ sð lƠn cên U cừa
(i) Vợi mồi U P U tỗn tÔi V P U sao cho V V U;
Mồi V P U l cƠn v hút thẳ topo τ l tổpổ v²ctỡ trản E Khổng gian v²ctỡ tổpổ E được gọi là khổng gian v²ctỡ mảtric nếu nó có thể xác định bởi một mảtric Khổng gian v²ctỡ tổpổ Hausdorff E là khổng gian v²ctỡ mảtric nếu mỗi cặp điểm khác nhau trong E có một cỡ sð lớn hơn 0.
Mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ Hausdorff E ữủc gồi l Ưy ừ náu mồi dÂy suy rởng Cauchy trong E hởi tử Tuy nhiên, thỹc tá chúng ta lÔi thữớng g°p phÊi cĂc khổng gian khổng Ưy ừ GiÊ sỷ E l khổng gian v²ctỡ tổpổ Hausdorff, tỗn tÔi duy nhĐt mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ Hausdorff Ưy ừ Ep chựa E nhữ mởt khổng gian con trũ mêt khưp nỡi Khổng gian Ep ữủc gồi l bao Ưy cừa E GiÊ sỷ E l khổng gian v²ctỡ hỳu hÔn chiãu, mồi tổpổ v²ctỡ Hausdorff trản E l nhữ nhau Trản khổng gian v²ctỡ hỳu hÔn chiãu ch¿ tỗn tÔi duy nhĐt mởt tổpổ v²ctỡ Hausdorff Khổng gian v²ctỡ tổpổ Hausdorff E hỳu hÔn chiãu náu v ch¿ náu nõ cõ mởt lƠn cên 0 ho n to n bà ch°n Mởt khổng gian v²ctỡ tổpổ E ữủc gồi l khổng gian lỗi àa phữỡng náu iºm gốc 0 P E cõ mởt cỡ sð lƠn cên ữủc th nh lêp tứ cĂc têp lỗi GiÊ sỷ U l mởt hồ tũy ỵ cĂc têp lỗi cƠn hút cừa mởt khổng gian v²ctỡ E, tỗn tÔi trản E mởt tổpổ lỗi àa phữỡng yáu nhĐt tữỡng thẵch vợi cĐu trúc Ôi số cừa E sao cho mội têp trong U l mởt lƠn cên cừa 0 P E Mởt nỷa chuân p trản khổng gian v²ctỡ E l h m khổng Ơm thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn.
(i) ppλxq |λ|ppxq vợi mồi λ P K v mồi x P E;
(ii) ppx yq Ô ppxq ppyq vợi mồi x, y P E.
Náu giÊ thiát thảm ppxq 0 k²o theo x 0 thẳ p ữủc gồi l mởt chuân Tứ (i) v (ii) ta suy ra
(iii) |ppxq ppyq| Ô ppxyq vợi mồi x, y P E.
Ngữủc lÔi, náu xÊy ra (i) v (iii) thẳ cõ (ii).
Ró r ng, náu p l nỷa chuân trản E thẳ têp hủp
U tx P E | ppxq ¤ 1u l mởt têp lỗi cƠn Ngo i ra, náu p v q l cĂc nỷa chuân trản khổng gian v²ctỡ E thoÊ mÂn ppxq Ô 1 k²o theo qpxq Ô 1 thẳ ppxq Ơ qpxq vợi mồi x P E.
Mằnh ã 1.1.4 ([2]) (i) Mội têp lỗi cƠn hút A E ãu tữỡng ựng vợi nûa chu©n p A x¡c ành bði p A pxq inftλ ¡ 0 : x P λAu cõ tẵnh chĐt tx : pApxq 1u A tx : pApxq ¤ 1u.
Náu p l nỷa chuân trản E thẳ vợi mồi % Ă 0 cĂc têp tx cho thấy ppxq %u v tx có thể dẫn đến lỗi cƠn hút Hơn nữa, ppxq p U 1 pxq và U 1 tx cho thấy sự liên quan đến mồi xP E Mằnh ã 1.1.4 đề cập đến việc xác định các tiêu chuẩn trong phần (i) của tài liệu Từ đó, Mằnh ã 1.1.4 nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nhận diện các têp lỗi cƠn hút A, được gọi là phiám h m Mincowski, hay h m cù kát, liên quan đến têp A.
Mằnh ã sau Ơy cho ta liản hằ giỳa nỷa chuân liản tửc v lƠn cên lỗi cƠn cừa khổng trong khổng gian lỗi àa phữỡng.
Mằnh ã 1.1.5 ([2]) (i) Nỷa chuân p trản khổng gian lỗi àa phữỡng
E liản tửc khi v ch¿ khi p liản tửc tÔi 0P E.
(ii) Náu p l phiám h m Mincowski cừa têp lỗi cƠn hút U thẳ p liản tửc khi v ch¿ khi U l mởt lƠn cên cừa 0P E Khi õ int U tx : ppxq 1u v U tx : ppxq ¤ 1u.
Hình ảnh dưới đây cho thấy sự liên kết giữa tổ hợp lỗi và phương pháp chuẩn tướng Trong đó, Giải sỹ P liệt kê một số phương pháp chuẩn trong không gian vật thể E Khi áp dụng, tổn tốn một tổ hợp lỗi và phương pháp chuẩn nhất trong E là để cải thiện mỗi phương pháp trong P liệt kê.
Tổpổ trong không gian lỵ 1.1.6 được xác định bởi hồ nỷa chuân P Không gian E là một khổng gian lỗi àa phữỡng, trong đó tồn tại một hồ nỷa chuân liản tửc P trản E sao cho tổpổ sinh bði P là tổpổ ban Ưu Ngoài ra, E được gọi là Hausdorff khi v ch¿ khi ppxq 0 với mỗi pP P k²o theo x 0 Khổng gian mảtric pX, dq ữủc gồi là Ưy ừ àa phữỡng, với mỗi x P X tồn tại một lƠn cên cừa x nõ Ưy ừ theo d.
Khổng gian Fr²chet
ành nghắa 1.1.6 ([2]) Mởt khổng gian lỗi àa phữỡng ữủc gồi l khổng gian Fr²chet hay (F)-khổng gian náu nõ l khổng gian v²ctỡ mảtric v Ưy õ.
Tứ ành nghắa 1.1.6 dạ thĐy rơng tổpổ cừa khổng gian Fr²chet ữủc xĂc ành bði mởt dÂy giÊm cĂc lƠn cên lỗi, cƠn tV n u 8 n 1 cừa 0 ho°c bði mởt dÂy tông cĂc nỷa chuân liản tửc tp n u 8 n 1.
Mằnh ã 1.1.6 đề cập đến tổpổ Hausdorff E, trong đó tổpổ lỗi là yếu tố quan trọng cho một dãy các tệp lỗi Điều này có thể được áp dụng để tạo ra một dãy các nửa chuẩn liên tục, từ đó xác định E là không gian khê ma tríc.
Chứng minh rằng Giê sỹ Tổn Tô đã mở ra một tổp hợp lỗi và phương pháp tối ưu nhất để xử lý các tệp lỗi, bao gồm cả việc hút tVnu 8 trong một hệ thống lớn Khi áp dụng các tệp có dòng ε, hiệu quả xử lý được nâng cao rõ rệt.
1 Ô i Ô rV n i vợi r nguyản dữỡng, ε hỳu t dữỡng, lêp th nh mởt cỡ sð lƠn cên ám ữủc Vêy E l khổng gian khÊ mảtric.
Mằnh ã 1.1.7 ([2]) (i) Mồi khổng gian con õng cừa mởt khổng gian Fr²chet l khổng gian Fr²chet.
Khổng gian Fréchet được mở rộng từ khổng gian con, trong khi khổng gian Banach là khổng gian chuẩn với ma trận sinh bội chuẩn Khổng gian chuẩn E được coi là Banach nếu mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong nó đều hội tụ Đối với hai khổng gian tôpô E và F, có sự liên hệ giữa chúng thông qua các hàm số.
E ẹ F ữủc gồi l liản tửc náu nõ thọa mÂn mởt trong cĂc kh¯ng ành t÷ìng ÷ìng sau:
(i) f 1 pVq l mð vợi mồi têp mð V trong F,
(ii) f 1 pUq l õng vợi mồi têp õng U trong F,
(iii) Náu dÂy suy rởng xi hởi tử tợi x thẳ fpxiq hởi tử tợi fpxq.
CĂc nguyản lỵ cỡ bÊn cừa GiÊi tẵch h m
Giá trị T là một phép toán xác định mối quan hệ giữa hai không gian vector E và F Chúng ta có thể nói rằng T là một ánh xạ tuyến tính từ E đến F, với điều kiện rằng T là một hàm số lớn hơn không đối với mọi điểm trong E.
Mởt Ănh xÔ liản tửc khổng nhĐt thiát l mð, với nguyản lỵ Ănh xÔ mð cho ta mởt số iãu kiằn GiÊ sỷ T l mởt to n Ănh tuyán tẵnh liản tửc tứ khổng gian v²ctỡ mảtric Ưy ừ E lản khổng gian v²ctỡ mảtric Ưy ừ F Khi õ T l Ănh xÔ mð.
Rỗng mồi Ănh xÔ tuyến tĩnh liên tục giữa các không gian vật thể tổpổ đã có thà õng Tuy nhiên, không ảnh ngữ lôi nói chung không đúng Dựa vào ảnh lị, ta có ảnh lị 1.1.10, cho thấy ảnh xÔ tuyến tĩnh có thà õng giữa các không gian vật thể màtric Ưy từ E.
F Khi õ T l Ănh xÔ liản tửc. ành lỵ 1.1.11 ([2], ành lỵ Hahn - Banach dÔng phực) GiÊ sỷ p l mởt nỷa chuân trản mởt khổng gian v²ctỡ E v f l mởt phiám h m tuyán tẵnh trản mởt khổng gian con M cừa E sao cho |fpxq| Ô ppxq vợi mồi x P M. Khi õ tỗn tÔi mởt phiám h m tuyán tẵnh fptrản E sao cho fp| M f v
Tứ ành lỵ Hahn - Banach ta cõ mởt số hằ quÊ sau
Hằ quÊ 1.1.1 ([2]) Náu A l mởt têp lỗi trong khổng gian lỗi àa phữỡng
E v a R A, thẳ tỗn tÔi mởt phiám h m tuyán tẵnh liản tửc f trản E sao cho fpaq R fpAq.
Hằ quÊ 1.1.2 ([2]) Náu A l mởt têp lỗi cƠn trong khổng gian lỗi àa phữỡng E v a R A, thẳ tỗn tÔi mởt phiám h m tuyán tẵnh liản tửc f trản
E sao cho |fpxq| Ô 1 vợi mồi x P A v fpaq Ă1.
Hằ quÊ 1.1.3 ([2]) GiÊ sỷ E l khổng gian lỗi àa phữỡng, F l khổng gian con õng cừa E Náu a P E{F thẳ tỗn tÔi f P E 1 sao cho f| F 0 v fpaq 0.
Hằ quÊ 1.1.4 ([2]) Vợi mồi a P E v vợi mồi nỷa chuân p trản mởt khổng gian v²ctỡ E tỗn tÔi mởt phiám h m tuyán tẵnh f trản E sao cho
|fpxq| Ô ppxq vợi mồi x P E v fpaq ppaq.
Hằ quÊ 1.1.5 ([2]) GiÊ sỷ E l khổng gian lỗi àa phữỡng Hausdorff v a P E thọa mÂn fpaq 0 vợi mồi phiám h m tuyán tẵnh liản tửc f trản
Lỵ thuyát ối ngău
Trong không gian vector \(V\) và \(W\) với một trường \(K\), hai không gian con \(E\) và \(F\) được gọi là một cặp đối ngẫu nếu có một ánh xạ \(l: E \to F\) thỏa mãn các điều kiện nhất định Cụ thể, ánh xạ này giúp xác định một ánh xạ \(x \in E\) sang \(y \in F\), và nếu \(E\) và \(F\) thỏa mãn các điều kiện này, chúng sẽ tạo thành một cấu trúc đối ngẫu trong không gian vector.
D F q Vợi mồi u P F, Ănh xÔ x ịẹ xx, uy tuyán tẵnh trản E v xx, uy 0 vợi mồi u P F náu v ch¿ náu x 0.
D E q Vợi mồi u P E, Ănh xÔ u ịẹ xx, uy tuyán tẵnh trản F v u 0 náu v ch¿ náu xx, uy 0 vợi mồi u P E.
Hình ảnh 1.1.11 minh họa một cặp đối ngẫu giữa hai không gian con E và F Giả sử E và F là hai không gian con trong một không gian lớn hơn Khi F là một không gian con của E, thì E cũng là một không gian con của F, với hai tiêu chuẩn D E và D F Mỗi yếu tố P F xác định chuẩn p u cho không gian E, cùng với các điều kiện liên quan đến các tọa độ |xx, uy| trong E.
Tổpổ lỗi àa phữỡng trản E sinh bði hồ cĂc nỷa chuân p u, u P F ữủc kẵ hiằu l σpE, Fq Tổpổ yáu trản E cừa c°p ối ngău pE, Fq cõ mởt hằ cỡ bÊn cĂc lƠn cên cừa khổng cõ dÔng.
Upu 1 , , u n , ε 1 , , ε n q tx P E | u 1 pxq ε 1 , , u n pxq ε n u. ành lỵ 1.1.12 ([2]) Náu pE, Fq l c°p ối ngău thẳ σpE, Fq l tổpổ lỗi àa phữỡng Hausdorff yáu nhĐt trản E thọa mÂn rE, σpE, Fqs 1 F. ành lỵ 1.1.13 ([2], ành lỵ Mackey) Cho pE, Fq l mởt c°p ối ngău. Khi õ mồi tổpổ trản E tữỡng thẵch vợi pE, Fq cõ cũng cĂc têp bà ch°n.
Mởt số tẵnh chĐt trản khổng gian ối ngău cừa mởt khổng gian lỗi àa ph÷ìng.
Bờ ã 1.1.1 ([2]) đề cập đến hai nửa không gian vecto E, với p và q là các nửa chuân trản Nếu qpxq là một k²o theo ppxq Ô 1, thì thẳ ppxq Ô qpxq sẽ liên quan đến mồi x thuộc E Trong phần 1.1.14 ([2]), E được xác định là một không gian lỗi àa phữỡng, trong khi f là một dòng tuyán tẵnh liản tửc trản một không gian con M của E Khi đó, tồn tại f P E sao cho f| M f1.
Hằng quÊ 1.1.6 ([2]) cho E là một không gian lỗi ào phưỡng Khi a vợi mồi a P E, tồn tại f P E 1 sao cho fpaq 1 Định lý 1.1.15 ([2]) cho E là một không gian lỗi ào phưỡng, A E là tập con lỗi tuyệt đối và R A Khi a, tồn tại f P E 1 sao cho.
Hằ quÊ 1.1.7 ([2]) Cho E l mởt khổng gian lỗi àa phữỡng, A E l têp con lỗi tuyằt ối v a R A Khi õ, tỗn tÔi f P E 1 sao cho fpaq R fpaq.
Mởt số vĐn ã vã GiÊi tẵch phực
H m ch¿nh hẳnh v mởt số tẵnh chĐt
ành nghắa 1.2.1 ([1]) Cho h m số f xĂc ành trản Ω C X²t giợi hÔn
∆z, z, z ∆z P Ω náu tÔi iºm z giợi hÔn n y tỗn tÔi thẳ ữủc gồi l Ôo h m phực cừa f tÔi z v ữủc kẵ hiằu f 1 pzq H m f cõ Ôo h m phực tÔi z ữủc gồi l khÊ vi phùc hay C-kh£ vi t¤i z H m f xĂc ành trản Ω ữủc gồi l giÊi tẵch hay ch¿nh hẳnh tÔi z 0 P Ω náu tỗn tÔi r Ă 0 º h m f l C-khÊ vi tÔi mồi z P tz : |z z0| ru Ω Náu h m f ch¿nh hẳnh tÔi mồi iºm z0 P Ω thẳ ta nõi f ch¿nh hẳnh trản Ω Náu h m f ch¿nh hẳnh trản C thẳ ta nõi f l h m nguyản.
C là một hàm chính hình trên miền Ω Cho γ là một đường cong nằm sao cho phần hình phẳng giới hạn bởi γ nằm trong Ω Khi γ di chuyển, hàm f sẽ có giá trị dz 0 Theo định lý 1.2.2 trong tài liệu Cổng thực tẵch phần Cauchy, nếu f là hàm chính hình trên miền Ω và z là một điểm trong Ω, thì với mỗi đường cong γ nằm trong Ω, phần hình phẳng giới hạn bởi γ sẽ nằm trong Ω Khi đó, f có giá trị pz 0 q 1.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm chính hình trong miền Ω và các điều kiện liên quan đến chúng Nếu hai hàm chính hình f(z) và g(z) trong Ω trùng nhau tại một số điểm K, thì f(z) và g(z) sẽ bằng nhau với mọi z thuộc Ω Ngược lại, nếu một hàm chính hình f(z) trong Ω triệt tiêu tại K, thì f(z) sẽ bằng 0 với mọi z trong Ω Cuối cùng, nếu hàm f là chính hình và không phải là hàm hằng trong Ω, thì |f(z)| không đạt giá trị lớn nhất trong miền Ω.
Hằ quÊ 1.2.1 ([1]) Náu h m f ch¿nh hẳnh trản miãn bà ch°n Ω v liản tửc trản ΩY BΩ, thẳ giĂ trà lợn nhĐt cừa |fpzq| trản ΩY BΩ Ôt trản BΩ.
Chứng minh rằng theo giả thiết ΩY BΩ, tập compact nản |fpzq| có giá trị trà lợn nhất trản ΩY BΩ Giả sử tồn tại z P Ω sao cho |fpz 0 q| ≤ |fpzq| với mọi z P ΩY BΩ Khi đó, rõ ràng |fpz 0 q| cũng là giá trị trà lợn nhất của |fpzq| trản Ω Do đó, theo định nghĩa 1.2.4, hàm fpzq là hàm hướng trản Ω Định nghĩa 1.2.3 cho rằng các hàm xác định trản Ω được gọi là bà chọn đầu trản của các tập compact nếu z P K, f P Fu và với mọi tập compact K thuộc Ω Định nghĩa 1.2.4 mô tả một hàm f : ra, bs ε Rl bà chọn cách xa 0 trản ra, bs nếu tồn tại ε > 0 sao cho fpxq < ε với mọi x P ra, bs hoặc fpxq > ε với mọi x P ra, bs Định nghĩa 1.2.5 nêu rõ rằng các hàm xác định trản Ω được gọi là lồng liên tục trản các tập compact nếu với mọi tập compact K và mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho |fpzq - fpz 1 q| < ε với mọi z, z 1 P K thỏa mãn |z - z 1| < δ Mỗi hàm chính xác F xác định trản miền.
Trong bài viết này, chúng ta khám phá các khái niệm liên quan đến việc chọn lựa các tập compact và các hàm liên quan Đầu tiên, khi xem xét một không gian Ω, chúng ta nhận thấy rằng một hàm tf n u HpΩq có thể được sử dụng để xác định các tập compact
H m iãu hỏa dữợi
ành nghắa 1.2.6 ([1]) H m u : Ω ẹ r8,8s gồi l nỷa liản tửc trản náu lim δ ẹ 0 sup
Mởt cĂch tữỡng ữỡng, u 1 pr8, aqq l mð vợi mồi 8 a 8. ành nghắa 1.2.7 ([1]) H m u : Ω ẹ r8,8qữủc gồi l iãu hỏa dữợi náu
Vợi mồi z 0 P Ω tỗn tÔi 0 r dpz 0 ,BΩq sao cho náu h l h m iãu hỏa trản Bpz0, δq v liản tửc trản Bpz 0, δq vợi 0 δ Ô r m h Ơ u trản BBpz 0 , δq thẳ h Ơ u trản Bpz 0 , δq Náu h m u iãu hỏa dữợi trản miãn Ω v Ôt giĂ trà lợn nhĐt trong Ω thẳ u l h m hơng.
CĂc h m ch¿nh hẳnh trản khổng gian lỗi àa phữỡng 17
Trong không gian lỗi àa phưỡng, Ω C là tập con liển thống, với các yếu tố m, khĂc rộng cừa C Một hàm f: Ω ẹ E được gọi là chính hẳn nếu nó có thể biểu diễn trong một lân cận của bĐt kẳ iºm ω P Ω bði bằng chuỗi Taylor.
Cho E, F l cĂc khổng gian lỗi àa phữỡng, Ω l mởt miãn trong E. X²t h m f : Ω ẹ F
H m f ữủc gồi l G-ch¿nh hẳnh náu nõ ch¿nh hẳnh trản mồi ữớng th¯ng affine i qua Ω, tực l , náu C Q z ịíẹ fpa bzq l ch¿nh hẳnh tÔi 0 vợi mồi a P Ω v bP E.
H mf ữủc gồi l bà ch°n khuách Ôi (amply bounded) náuqf : Ω ẹ R bà ch°n àa phữỡng vợi mồi nỷa chuân liản tửc q trản F.
H mf ữủc gồi l ch¿nh hẳnh náu nõ l G-ch¿nh hẳnh v bà ch°n khuách ¤i.
Chạy ỵ rồng vợi E C N hoặc F là một không gian ngành chuẩn tánh và chọn khuách Hệ thống này giúp xác định các yếu tố chính yếu trong quá trình phát triển Mỗi yếu tố được đánh giá dựa trên các tiêu chí cụ thể, nhằm đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong việc áp dụng.
Hằ quÊ 1.2.2 ([14]) Mồi h m ch¿nh hẳnh yáu f : Ω ẹ E i tứ miãn
Ω C v o khổng gian Ưy ừ àa phữỡng E l ch¿nh hẳnh. ành nghắa 1.2.10 ([14]) Mởt têp con H cừa E 1 ữủc gồi l tĂch iºm
E (gồi tưt l tĂch iºm) náu vợi mồi phƯn tỷ xP E, x 0, tỗn tÔi x 1 n o õ thuởc H sao cho x 1 pxq 0 Ành lỵ 1.2.11 ([14], ành lỵ Wolff) cho thấy rằng K là tập con thực sự compact của C Kẵ hiằup H 0 pKq là không gian các mƯm ch¿nh hẳnh trản K triằt tiảu tÔi vổ cũng Khi õ vợi mồi h m g P H 0 pKq và vợi mồi lớn cên U của K tỗn tÔi mởt têp con compact tữỡng ối ám ữủc tλk: k P Nu cừa UzK sao cho gpzq á8 k 1 a k zλ k trong H 0 pKq vợi á8 k 1.
|a k | 8. ành lỵ 1.2.12 ([14]) Cho E l khổng gian Ưy ừ àa phữỡng v f :
Ω ẹ E l mởt h m trản miãn Ω trong C Náu
(i) x 1 f l ch¿nh hẳnh vợi mội phiám h m tuyán tẵnh liản tửc x 1 thuởc v o têp con tĂch iºm cừa E 1 ,
(ii) f l bà ch°n àa ph÷ìng, thẳ f l ch¿nh hẳnh.
Chựng minh Trữớng hủp khổng gian Banach: GiÊ sỷ E l mởt khổng gian Banach (ho°c tờng quĂt hỡn l khổng gian Ưy ừ bĐt kẳ) Cho h m f :
Ω ẹ E Bði ành lỵ Wolff, vợi mồi h m g P H0ppCzΩq cõ thº ữủc biºu diạn gpzq á8 k 1 ak zλ k trong H 0 ppCzΩq (1.2.1) vợi 8 á k 1
|a k | 8 v tλk : k P Nu Ω têp compact tữỡng ối Ta °t
Vẳ f bà ch°n àa phữỡng, tfpλ k qu bà ch°n trong E, v vẳ E l Ưy ừ àa phữỡng nản dÂy n y hởi tử trong E.
Bối cảnh hiện nay cho thấy tầm quan trọng của việc hiểu rõ nghĩa của các thuật ngữ trong lĩnh vực T Đặc biệt, phân tích tỷ lệ Ôi diằng (1.2.1) của g là rất cần thiết Để thực hiện điều này, chúng ta cần áp dụng một cách tiếp cận chính xác và hiệu quả, nhằm tối ưu hóa các yếu tố liên quan đến P H Việc này không chỉ giúp nâng cao hiểu biết mà còn hỗ trợ trong việc áp dụng các phương pháp phù hợp để đạt được kết quả tốt nhất.
F á 8 k 1 akx 1 pfpλkqq x 1 pT gq, (1.2.2) trong õ x,y kẵ hiằu dÔng song tuyán tẵnh trản H0ppCzΩq HpΩq Vẳ H l tĂch iºm nản T g khổng phử thuởc v o Ôi diằn (1.2.1) cừa g, v do õ
T : H 0 ppCzΩq ẹ E l Ănh xÔ Tứ (1.2.2) T l toĂn tỷ tuyán tẵnh vợi ỗ thà õng Theo ành lỵ ỗ thà õng suy ra T liản tửc.
BƠy giớ ta ành nghắa h m fp: Ω ẹ E bði fppzq T
LĐy ω P Ω Khi õ ta cõ vợi z P Ω vợi |zω| Ô ρ distpω,CpzΩq fppzq T
1 p ωq k 1 pz ωq k hởi tử ãu theo z Do õ, fpch¿nh hẳnh Tứ (1.2.2) suy ra rơng vợi λ P Ω v x 1 P H ta câ x 1 p pfpλqq x 1
Do õ fp f, vẳ vêy f l ch¿nh hẳnh trong Ω.
Trữớng hủp tờng quĂt: E l khổng gian Ưy ừ àa phữỡng bĐt kẳ Ta ch¿ cƯn chựng minh f l ch¿nh hẳnh trản mồi miãn con compact tữỡng ối
V cừa Ω Bði (ii), fpVq bà ch°n trongE v do õ nõ ữủc chựa v bà ch°n trong không gian Banach E B LĐy H l têp con tĂch cừa E 1 thọa mÂn iãu kiằn (i) Vẳ Ănh xÔ bao h m j: E B óẹ E liản tửc v cĂc phiám h m x 1 j, x 1 P H, tĂch cĂc phƯn tỷ cừa E B, do trữớng hủp thự nhĐt h m f: V ẹ E B l ch¿nh hẳnh Do õ, f: V ẹ E cụng ch¿nh hẳnh.
Hằ quÊ 1.2.3 ([14]) Cho E l mởt khổng gian Ưy ừ àa phữỡng, miãn
Ω C v têp compact K Ω Náu f : ΩzK ẹ E l mởt h m sao cho
(i) x 1 f cõ mởt thĂc triºn ch¿nh hẳnh án Ω vợi mồi x 1 thuởc v o têp con t¡ch iºm cõa E 1 ,
(ii) f bà ch°n àa ph÷ìng, thẳ f ch¿nh hẳnh trản ΩzK v cõ duy nhĐt mởt thĂc triºn ch¿nh hẳnh án
Chứng minh ưu tiên ta giới thiệu E l không gian Banach Để thực hiện, ta cần xem xét các yếu tố liên quan đến hàm chính hằng Thông thường, ta định nghĩa hàm chính hằng f trên bề mặt K Bằng cách này, ta có thể xây dựng hàm f trên không gian ΩzK cho những trường hợp mà hàm này có một thuộc tính chính hằng.
Trữớng hủp tờng quĂt cụng ữủc suy ra bði trữớng hủp tờng quĂt cừa chựng minh trản.
Ta thu ữủc khĂi quĂt hõa cừa ành lỵ 1.2.12. ành lỵ 1.2.13 ([14]) Cho E v F l cĂc khổng gian lỗi àa phữỡng vợi
F l Ưy ừ àa phữỡng, v cho Ω E l mởt miãn Náu f : Ω ẹ F l mởt h m thọa mÂn
(i) x 1 f l ch¿nh hẳnh vợi mồi x 1 thuởc v o têp con tĂch iºm cừa F 1 , (ii) f bà ch°n ¦y õ, thẳ f ch¿nh hẳnh.
Giá sỉ tràn M là các nửa chuẩn p K phức hợp, khi ta xét các tập K với M XK 0 Trong trường hợp này, ta nói M xác định hối tử ãu ở phưỡng trong HpGq Ảnh lỵ 1.2.14 cho E là không gian Fr²chet, miến Ω C.
M Ω l mởt têp xĂc ành hởi tử ãu àa phữỡng trong HpΩq Náu f : M ẹ E l mởt h m thọa mÂn
(i) x 1 f cõ mởt thĂc triºn ch¿nh hẳnh án Ω vợi mồi x 1 thuởc v o têp con t¡ch iºm cõa E 1 ,
(ii) f bà ch°n trản M XK vợi mồi têp con compact K cừa Ω, thẳ f cõ duy nhĐt mởt thĂc triºn ch¿nh hẳnh án Ω.
Mằnh ã 1.2.1 ([14]) Khổng gian lỗi àa phữỡng E l Ưy ừ àa phữỡng náu v ch¿ náu ° 8 k 1a k x k hởi tử trong E vợi mồi dÂy bà ch°n px k q trong
E v mồi dÂy vổ hữợng pa k q vợi ° 8
CĂc h m ch¿nh hẳnh trản khổng gian Ưy ừ
Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng trong không gian Fréchet, với miền C và M là một tập xác định, có thể áp dụng các phương pháp phân tích để xác định các đặc trưng của hàm Đặc biệt, nếu f: M → E là một hàm liên tục, thì M sẽ có một tập con compact.
Khi xây dựng một không gian sống hiện đại, việc kết hợp các yếu tố thiết kế và công năng là rất quan trọng Để tạo nên một ngôi nhà hoàn hảo, bạn cần chú ý đến sự hài hòa giữa các yếu tố trang trí và sự tiện nghi Một không gian sống lý tưởng không chỉ đáp ứng nhu cầu sử dụng mà còn phản ánh phong cách cá nhân của chủ nhân Hãy đảm bảo rằng mỗi chi tiết trong ngôi nhà đều có ý nghĩa và góp phần vào tổng thể, tạo nên một môi trường sống thoải mái và ấm cúng.
Chựng minh Ta Ăp dửng ành lỵ 1.2.14 vợi ty 1 j : y 1 P Y 1 u nhữ l têp con t¡ch iºm cõa E 1 trong (i).
Mởt phĂt biºu khĂc cừa ành lỵ 1.2.15 Cho f : Ω ẹ Y l ch¿nh hẳnh,
E Y l mởt khổng gian con tuyán tẵnh, tạo ra một tổpổ khổng gian Fr²chet trản E, mô hình hóa tổpổ sinh bði Y Nếu M Ω xĂc ành hởi tử ãu àa phữỡng trong HpΩq, thì fpΩq E v f: Ω ẹ E l τ-ch¿nh hẳnh.
Tứ ành lỵ 1.2.13 và 1.2.16 đề cập đến không gian lỗi và phương pháp lựa chọn khu vực trong không gian E và F Trong đó, Ω E và f là các miền mở, và Ω ẹ F là một h m bà ch°n khuách Ôi Nếu tồn tại một không gian lỗi trong phương pháp Y và một ỡn Ănh tuyán tẵnh liản tửc j, thì F ẹ Y sao cho j f là chính hẳn thẳ và là chính hẳn.
Têp lỗi a thực
ành nghắa 1.2.11 Têp con compact X cừa C N ữủc gồi l lỗi a thực náu vợi mội iºm p P C N thọa mÂn
|fppq| ¤ max x P X |fpxq|, vợi mồi a thực fpz 1 , , z N q. ành nghắa 1.2.12 Cho miãn G C N v K l têp con compact cừa G. Bao lỗi ch¿nh hẳnh cừa K trong G l têp
H co pKq : tz P G : |fpzq| ¤ sup
Khổng gian cõ trồng cĂc h m ch¿nh hẳnh
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm không gian Banach và ứng dụng của nó trong lý thuyết hình học Đặc biệt, chúng ta sẽ xem xét một tập con mở của không gian C(N, P(N)) và cách mà nó liên quan đến việc định nghĩa các hàm chính xác trong không gian G Hơn nữa, chúng ta sẽ thảo luận về vai trò của các trồng liản tửc và dữỡng thỹc sỹ trản G trong việc phát triển lý thuyết này.
H v pGq : tf P HpGq : }f} v : sup z P G vpzq|fpzq| 8u,
H v 0 pGq : tf P HpGq : v|f| triằt tiảu tÔi 8 trản Gu.
Nhưc lÔi h m g triằt tiảu tÔi vổ cũng trản G náu vợi mồi ε Ă 0 tỗn tÔi mởt têp con compact K cừa G sao cho |gpzq| ε vợi mồi z P GzK Dữợi Ơy, ta giÊ sỷ rơng chuân }δ z } cừa ở o Dirac l dữỡng thỹc sỹ é Ơy, ở o Dirac nhữ l mởt phƯn tỷ cừa H v pGq 1 xĂc ành bði δ z pfq : fpzq, z P G Náu G l mởt têp con liản thổng mð cừa C, iãu n y xÊy ra náu H v pGq t0u Náu G D v vpzq 1 vợi mội z P D, thẳ H v 0 pDq t0u Náu G C v vpzq |z| vợi mội z P C, thẳ H v 0 pCq ch¿ chựa cĂc hơng số Ngữủc lÔi, dạ d ng chựng minh rơng náu chiãu cừa.
Hv 0 pGq lợn hỡn ho°c bơng 2, thẳ Hv 0 pGq l tĂch iºm cừa G.
Náu v l mởt trồng (liản tửc v dữỡng thỹc sỹ) trản G, trồng liản kát cừa nõ ữủc ành nghắa bði r vpzq : 1
}δ z }H v p G q 1 Bði cĂc giÊ thiát ð trản, rvpzq hỳu hÔn vợi mồi z P G Hỡn nỳa v Ô rv trản
G, 1 r v liản tửc v iãu hỏa dữợi v khổng gian Banach H v pGq v H r v pGq trũng nhau theo nghắa ¯ng cỹ.
Mở trồng vườn gỗ l cỡ bên náu tốn tÔi C Ơ 1 nhằm tạo ra môi trường sống tự nhiên Tăng cường khả năng sinh trưởng của cây cối có thể suy ra từ các kết quả nghiên cứu sau đây.
Bờ ã 1.2.1 ([8]) Náu khổng gian lỗi àa phữỡng cừa cĂc h m ch¿nh hẳnh
E l mởt thũng vợi tổpổ mÔnh hỡn tổpổ hởi tử iºm, thẳ Ănh xÔ ∆ : G ẹ E b 1 ành nghắa bði ∆pzq : δ z l ch¿nh hẳnh, do õ liản tửc.
Mở tệp G trong C N ữủc gồi là cơn náu λz P G với mọi z P G Mởt trồng v trản têp G ữủc gồi là xuyản tƠm náu vpλzq vpzq GiÊ sỷ v l mởt trồng xuyản tƠm trản têp con G cừa C N Náu H v 0 pGq chứa các a thực, không gian H v 0 pGq có tính xĐp x¿ mảtric, các a thực trũ mêt trong nõ, và không gian HvpGq ¯ng cỹ với song ối ngău cừa H v 0 pGq Hơn nữa, không gian HpGq là mởt.
L 8 -không gian náu và ch¿ náu khổng gian H v 0 pGq là một L 8 -không gian náu và ch¿ náu H v 0 pGq, có liên quan đến không gian dÂy c 0 Cho một trồng xuyản tƠm khổng tông trản D sao cho lim r ẹ 1 vprq 0 GiÊ sỷ sup n vp12 n q vp12 n 1 q 8 Không gian H v 0 pGq có liên quan đến không gian c 0 náu và ch¿ náu vợi k P N lim sup n ẹ8 vp12 n k q vp12 n q 1 Một trồng xuyản tƠm và không tông v trản D thỏa mãn điều kiện () v () trong hình 1.2.18 nếu v¿ ch¿ náu nõ là một trồng chuẩn tắc GiÊ sỷ trồng xuyản tƠm khổng tông v trản D thỏa mãn điều kiện ().
(1) Náu v thọa mÂn iãu kiằn (), thẳ H v pDq ¯ng cĐu vợi l 8
Náu v khổng thọa mÂn iãu kiằn, thẳ H v pDq ¯ng cĐu vợi H 8 Cho G là một tệp con mởt têp của C N, N Ơ 1, và v là một trồng liản tửc v dữỡng thỹc sỹ trản G Khi õ khổng gian H v 0 pGq ¯ng cĐu vợi khổng gian con õng cừa c 0.
Hằ quÊ 1.2.4 ([8]) đề cập đến việc cho G l mởt têp con mð cừa C N, N Ơ 1, và v v l mởt trồng liản tửc v dữỡng thỹc sỹ trản G Trong không gian Hv 0 pGq, vổ hÔn chiãu, thẳ H v 0 pGq và H v pGq không phÊn xÔ.
Tẵnh Ưy ừ cừa khổng gian trồng: Tiáp cên bơng GiÊi tẵch h m
Hữu ích của các không gian vườn trồng và giữ gìn thực vật được xem là rất quan trọng Tuy nhiên, không phải tất cả các không gian trồng đều là không gian đạt chuẩn Vì vậy, trong bài viết này, chúng ta sẽ đề cập đến một số điều kiện cần thiết và một số tiêu chí để trồng và duy trì không gian vườn hiệu quả.
H v 8 pGq l khổng gian Banach dỹa trản mởt số kát quÊ cỡ bÊn cừa GiÊi tẵch h m.
2.1 Têp dữỡng cừa trồng v tẵnh Ưy ừ cừa khổng gian trồng ành nghắa 2.1.1 ([10]) GiÊ sỷ v l mởt trồng trản G, ta kẵ hiằu
Têp E v ữủc gồi là một phần quan trọng trong việc trồng và chăm sóc cây Để đạt được hiệu quả tối ưu, cần chú ý đến không gian trồng và sự phù hợp với từng loại cây Mặc dù có nhiều hy vọng về việc cây phát triển khỏe mạnh, nhưng điều này không phải lúc nào cũng được đảm bảo.
Mằnh ã 2.1.1 đề cập đến việc sử dụng Gẹ r0,8s để trồng trản trong môi trường G Khi không gian H và 8 pGq được xác định lành chuân náu và ch¿ náu E, điều này tạo ra một têp khổng rới rÔc, giúp nâng cao hiệu quả trồng trọt trong G.
Chứng minh rằng nếu E là một không gian metric và có một điểm mở trong E, thì tồn tại một chuẩn nửa chừng cho không gian đó Nếu z là một điểm trong E và sup z P E thì suy ra rằng P E là không rỗng Nếu z thuộc R E, thì bài toán duy nhất của hàm chính là f P E.
Ngữ cảnh lồi, giới hạn E và khổng có thể giúp giải quyết vấn đề Weierstrass Tồn tại một hàm f trong không gian P HpGq khác 0 sao cho f(z) = 0 với mọi z thuộc E Khi f' = 0 và f = 0, thì f không thể mở một chuẩn.
Chọn một không gian nửa chuẩn pX, pq, không gian ảnh chuẩn liên kết với ảnh nghĩa bậc p rX, prq: pX{kerppq, prq, và prpx kerppqq: ppxq là một chuẩn trần X{kerppq.
Mằnh ã 2.1.2 ([10]) GiÊ sỷ v : G ẹ r0,8s l mởt trồng trản miãn ph¯ng G Náu têp E v ữủc ành nghắa ð trản khổng cõ iºm giợi hÔn trong
G, thẳ khổng gian ành chuân liản kát vợi H v 8 pGq, ¯ng cĐu ¯ng cỹ vợi khổng gian Banach cõ trồng ` 8
Chựng minh GiÊ sỷ E v khổng cõ iºm giợi hÔn trong G Khi õ, nõ l mởt dÂy rới rÔc trongG Ta viátE v : tz n u n v ành nghắa wpnq : vpz n q, nP N, w : pwpnqq n v
Bài viết này đề cập đến việc áp dụng định lý Weierstrass trong không gian hàm, cụ thể là việc chứng minh tồn tại của các điểm cực trị trong các hàm liên tục Định lý này khẳng định rằng nếu một hàm liên tục trên một miền đóng và bị chặn, thì nó sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu Qua đó, chúng ta có thể áp dụng các khái niệm về không gian hàm để phân tích và giải quyết các bài toán trong toán học một cách hiệu quả hơn.
2.2 CĂc khổng gian Banach cõ trồng
Trong phần trước, chúng ta đã cấu trúc lới cho tình hình chuẩn của không gian trồng Ở phần này, chúng ta sẽ quan tâm đến án tẵnh ưy ừ cừa chúng Trước khi án kát quÊ chẵnh, ta cần bờ ã sau.
Bờ ã 2.2.1 ([10]) GiÊ sỷ v : G ẹ r0,8s l mởt trồng trản miãn ph¯ng
G Náu khổng gian H v 8 pGq l ành chuân, thẳ Ănh xÔ bao h m
J : H v 8 pGq ẹ pHpGq, τ co q cõ ỗ thà õng.