Một số khái niệm về hàm số
Định nghĩa 1.1 (a) Hàm số f : D → R được gọi là đồng biến (tăng) trên D, nếu với mọi x, y ∈ D sao cho x < y thì ta có f(x) < f(y).
(b) Tương tự, một hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên D, nếu với bất kỳ x < y thì f(x) < f(y).
(c) Hàm số f được gọi là đơn điệu trên D nếu nó tăng hoặc giảm trên
D. Định nghĩa 1.2 (a) Hàm số f : D → R được gọi là bị chặn trên tồn tại một số thực M sao cho f(x) ≤M,∀x ∈ D.
(b) Hàm số f : D → R được gọi là bị chặn dưới tồn tại một số thực m sao cho f(x) ≥ m,∀x ∈ D.
(c) f được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên
D, tức là tồn tại các số thực m, M sao cho
M ≥f(x) ≥ m, ∀x ∈ D. Điều này tương đương với việc tồn tại K > 0 sao cho |f(x)| ≤
K, ∀x ∈ D. Định lý 1.3 (Điều kiện cần để hàm số đơn điệu) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I ⊂R Khi đó,
(i) Nếu f đồng biến trên I thì f 0 (x) ≥0, ∀ x ∈ I.
(ii) Nếu f nghịch biến trên I thì f 0 (x) ≤ 0, ∀ x ∈ I. Định lý 1.4 (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm số đơn điệu ) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I ⊂R Khi đó,
(i) Nếu f 0 (x) > 0, ∀ x ∈ I thì f đồng biến trên I.
(ii) Nếu f 0 (x) < 0, ∀ x ∈ I thì f nghịch biến trên I. Định lý 1.5 (Điều kiện đủ thứ hai để hàm số đơn điệu ) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I ⊂R Khi đó,
(i) Nếu f 0 (x) ≥ 0, ∀ x ∈ I và f 0 (x) = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm trên I thì f đồng biến trên I.
(ii) Nếu f 0 (x) ≤ 0, ∀ x ∈ I và f 0 (x) = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm trên I thì f nghịch biến trên I.
Bất đẳng thức AM-GM và Bất đẳng thức Bunhiacopski
Bất đẳng thức AM-GM khẳng định rằng trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng Đặc biệt, hai giá trị này chỉ bằng nhau khi tất cả n số đó đều bằng nhau Đây là một trong những bất đẳng thức quan trọng thường được áp dụng trong giải toán ở bậc THPT.
• Với 2 số thực dương a và b, ta có a+b
Dấu ”=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
• Với n số dương x 1 , x 2 , , x n , ta có x 1 +x 2 +ã ã ã+x n n ≥ √ n x 1 ãx 2 ã ã ã ã ãx n
Dấu ”=" xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ã ã ã = x n Định lý 1.7(Bất đẳng thức Bunhiacopski) Cho hai bộ số thựca 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n gồm n số Khi đó,
(a 1 b 1 + a 2 b 2 +ã ã ã+a n b n ) 2 ≤ (a 2 1 +a 2 2 +ã ã ãa 2 n )(b 2 1 +b 2 2 +ã ã ã+b 2 n ). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 b 1 = a2 b 2 = ã ã ã = an b n Quy ước: Mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.
Các công thức thể tích, diện tích của các khối đa diện
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhắc lại các công thức quan trọng liên quan đến việc tính thể tích của khối trụ, khối cầu và diện tích xung quanh Những công thức này sẽ được áp dụng trong các bài toán ở các phần tiếp theo.
(i) Công thức tính thể tích khối chóp V = 1
3Bh,trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.
(ii) Công thức tính thể tích khối lăng trụ V = Bh, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.
(iii) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc, với a, b, c là ba kích thước của nó.
(iv) Thể tích khối lập phương V = a 3 , với a là độ dài cạnh của khối lập phương.
3πR 3 (vi) Diện tích mặt cầu S = 4πR 2
(vii) Công thức tính thể tích khối trụ (hình trụ) V = B.h = πr 2 h.
Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2π.rh.
Diện tích toàn phần của hình trụ S tp = 2π.rh+ 2π.r 2
(viii) Công thức tính thể tích khối nón (hình nón) V = 1 3 Bh = 1 3 πr 2 h.
Diện tích xung quanh hình nón S xq = π.rl.
Diện tích toàn phần của hình trụ S tp = π.rl+ π.r 2
Cực trị của hàm số
Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích bài toán cực trị, cụ thể là tìm giá trị cực tiểu hoặc cực đại của hàm số f(x) xác định trên khoảng I ⊂ R Chúng tôi sẽ xem xét các câu hỏi quan trọng như: điều kiện nào đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán, cách mô tả nghiệm trong trường hợp bài toán bị nhiễu, tính duy nhất của nghiệm, và phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán này.
Các nội dung sẽ trình bày bên dưới về cực trị của hàm số được tham khảo từ các tài liệu [6], [8], [10], và [13].
Điều kiện cần cực trị
Cực trị địa phương của hàm số f : I ⊂ R → R được định nghĩa như sau: hàm f đạt cực đại địa phương tại x₀ ∈ I nếu tồn tại δ > 0 sao cho f(x) ≤ f(x₀) với mọi x trong khoảng I ∩ (x₀ - δ, x₀ + δ) Ngược lại, f đạt cực tiểu địa phương tại x₀ nếu f(x) ≥ f(x₀) trong cùng khoảng Nếu f đạt một trong hai điều kiện trên, nó được coi là có cực trị địa phương tại x₀ Đối với cực trị địa phương ngặt, hàm f đạt cực đại địa phương ngặt tại x₀ nếu tồn tại δ > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x trong I ∩ (x₀ - δ, x₀ + δ) ngoại trừ x₀ Tương tự, f đạt cực tiểu địa phương ngặt tại x₀ nếu f(x) > f(x₀) trong khoảng đó Nếu f thỏa mãn một trong các điều kiện này, nó được xem là có cực trị địa phương ngặt tại x₀.
Hàm số f: I ⊂ R → R được gọi là đạt cực đại toàn cục tại x0 ∈ I nếu f(x) ≤ f(x0) với mọi x ∈ I, và đạt cực tiểu toàn cục tại x0 nếu f(x) ≥ f(x0) với mọi x ∈ I Nếu f đạt một trong hai điều kiện trên tại x0, nó được xem là đạt cực trị toàn cục tại điểm đó Theo Định lý Fermat (1636), nếu hàm f khả vi tại x0 ∈ (a, b) và đạt cực trị địa phương tại x0, thì đạo hàm f'(x0) phải bằng 0.
Để chứng minh rằng hàm số f đạt cực tiểu địa phương tại điểm x₀, ta cần xem xét đạo hàm f'(x₀) Từ định nghĩa, ta có f'(x₀) = lim (x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) ≤ 0 và f'(x₀) = lim (x→x₀⁺) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀) ≥ 0 Từ đó, ta suy ra f'(x₀) = 0, chứng minh rằng x₀ là điểm cực tiểu Theo định nghĩa, nghiệm của phương trình f'(x) = 0 được gọi là điểm dừng của hàm f trên khoảng (a, b) Ngoài ra, điểm c được coi là điểm tới hạn của f nếu f'(c) = 0 hoặc f'(c) không tồn tại.
Nhận xét 2.7 Nói chung, một điểm dừng không phải là một điểm cực trị địa phương của hàm f.
Mệnh đề 2.8 Cho hàm số f : R → R và A là tập hợp các số thực sao cho tại đó f đạt cực đại địa phương Khi đó f(A) không quá đếm được.
Hình 2.2: Minh họa định nghĩa điểm dừng
Điều kiện đủ cực trị
Điều kiện đủ cực trị cấp một
Định lý 2.11 cung cấp điều kiện cần thiết để xác định khi nào hàm số đạt cực trị cấp một tại điểm dừng Cụ thể, nếu hàm số y = f(x) liên tục trong một lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó (ngoại trừ tại x = x0), và x0 là điểm tới hạn của hàm số, thì có thể xác định cực trị cấp một tại điểm này.
(i) Nếu f 0 (x 0 ) đổi dấu khi qua điểm x 0 thì hàm số có cực trị địa phương tại điểm đó.
Hơn nữa, nếu f 0 (x) > 0 với x < x 0 và f 0 (x 0 ) < 0 với x > x 0 thì y = f(x) có cực đại địa phương tại x = x 0 Nếu f 0 (x) < 0 với x < x 0 và f 0 (x) > 0 với x > x0 thì y = f(x) có cực tiểu địa phương tại x0.
(ii) Nếu f 0 (x) > 0 (hoặc f 0 (x) < 0) khi x > x0 và x < x0 thì hàm số y = f(x) không có cực trị địa phương.
Trong khoảng lân cận (x0 - δ, x0 + δ) của điểm tới hạn x0, hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) Cụ thể, f'(x) > 0 khi x nằm trong khoảng (x0 - δ, x0) và f'(x) < 0 khi x nằm trong khoảng (x0, x0 + δ) Điều này cho thấy hàm số f(x) tăng trong khoảng (x0 - δ, x0] và giảm trong khoảng [x0, x0 + δ) Do đó, giá trị f(x0) là cực đại địa phương của hàm số f(x) trong khoảng (x0 - δ, x0 + δ).
Tương tự, nếu f 0 (x) < 0 khi x 0 − δ < x < x 0 và f 0 (x) > 0 khi x 0 < x < x 0 +δ thì f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x 0
(ii) Giả sử f(x) > 0 trong (x 0 −δ, x 0 ) và (x 0 , x 0 + δ) Vì vậy hàm số tăng trong các khoảng đó, cho nên nó không có cực trị địa phương tại điểm này.
Theo định lý 2.12, để xác định điều kiện đủ cho cực trị toàn cục của hàm số f trên khoảng (a, b), hàm f cần phải liên tục trên khoảng này và khả vi trên (a, b) với điều kiện f'(x0) = 0 tại một điểm x0 nào đó Nếu hàm f khả vi trên (a, b) nhưng có thể loại trừ điểm x0, điều kiện này vẫn đảm bảo tính chất cực trị toàn cục.
(i) nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (a, x 0 ) và f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (x 0 , b) thì f đạt giá trị nhỏ nhất tại x 0
(ii) nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (a, x 0 ) và f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x 0 , b) thì f đạt giá trị lớn nhất tại x 0
Điều kiện đủ cực trị cấp cao
Khi điều kiện cấp một không đủ để xác định cực trị của hàm số, thông tin từ đạo hàm cấp cao sẽ hỗ trợ trong việc xác định điểm cực trị Định lý 2.13 (Điều kiện cực trị cấp cao) nêu rằng, với hàm số khả vi f : (a, b) → R liên tục n lần xung quanh x0 ∈ (a, b) và thỏa mãn các điều kiện f'(x0) = f''(x0) = = f^(n-1)(x0) = 0 cùng với f^(n)(x0) ≠ 0, ta có thể xác định được điểm cực trị của hàm số.
Nếu n là số chẵn, hàm f sẽ đạt cực trị tại điểm x0; cụ thể, nếu đạo hàm bậc n của f tại x0 (f^(n)(x0)) nhỏ hơn 0, thì f có cực đại tại x0, ngược lại, nếu f^(n)(x0) lớn hơn 0, f có cực tiểu tại x0 Ngược lại, nếu n là số lẻ, hàm f sẽ không đạt cực trị tại x0.
Để xác định hàm số có đạt cực trị tại điểm x0 hay không, ta cần xem xét dấu hiệu của f(x)−f(x0) với x nằm trong một lân cận đủ nhỏ của x0 Khi đó, nếu các đạo hàm bậc một đến bậc n−1 tại x0 đều bằng 0 và đạo hàm bậc n tại x0 khác 0, ta có thể khai triển Taylor của hàm số trong lân cận x0 Kết quả là: f(x)−f(x0) = f(n)(x0) / n! * (x−x0)^n + o[(x−x0)^n].
Khi x tiến gần đến x₀, số hạng thứ hai trở nên rất nhỏ so với số hạng thứ nhất Do đó, với x đủ gần x₀, dấu của vế thứ hai trong công thức sẽ tương đồng với dấu của số hạng thứ nhất: f(n)(x₀) n! (x−x₀)ⁿ.
Ta xét từng trường hợp:
Khi n là số lẻ, biểu thức (x − x₀)ⁿ sẽ thay đổi dấu khi x − x₀ đổi dấu, dẫn đến việc f(x) − f(x₀) cũng đổi dấu trong trường hợp này Điều này cho thấy rằng hàm số y = f(x) không có cực trị địa phương tại điểm x₀.
(ii) Khinchẵn thì (x−x 0 ) n > 0cho nên f(x)−f(x 0 ) > 0nếuf (n) (x 0 ) >
Vậy nếu f (n) (x0) > 0thì hàm số đạt cực tiểu tạix0, và nếu f (n) (x0) 0, và giảm nếu f (n) (x 0 ) < 0.
Lấy n= 2 trong định lý trên ta được hệ quả sau:
Hệ quả 2.14 (Điều kiện cấp hai) Cho f : (a, b) → R là hàm số khả vi (liên tục) 2 lần trong lân cận của x 0 ∈ (a, b) và thỏa mãn điều kiện f 0 (x0) = 0, f 00 (x0) 6= 0 Khi đó,
(i) Nếu f 00 (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
(ii) Nếu f 00 (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0
Một số ví dụ
Sử dụng các tiêu chí cực trị ở trên, ta có thể tìm cực trị địa phương và toàn cục của các hàm số đơn giản sau.
Ví dụ 2.2.1 Tìm cực trị của hàm số y = x 4 −8x 3 + 432.
• Dùng điều kiện cấp 1, lập bảng biến thiên ta được f đạt cực tiểu tại x 0 = 6 và không đạt cực trị tai x 0 = 0.
•Dựng điều kiện cấp cao.Tạix 0 = 6ta thấyf 00 (6) = 12ã6−48ã6 = 144 > 0 nên f đạt cực tiểu tại x0 = 6 Tạix0 = 0, ta thấyf 00 (0) = 0 và f 000 (0) 6= 0, nên f không đạt cực trị tai x0 = 0.
Ví dụ 2.2.2.[Đề thi THPTQG 2018] Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = x 8 + (m−4)x 5 −(m 2 −16)x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0. Lời giải. y 0 = 8x 7 + 5(m −4)x 4 −4(m 2 −16)x 3 y 00 = 56x 6 + 20(m −4)x 3 −12(m 2 −16)x 2 y (3) = 168x 5 + 60(m−4)x 2 −24(m 2 −16)x y (4) = 840x 4 + 120(m −4)x−24(m 2 −16)
Với m = 4 ⇒ y 0 = 8x 7 Suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Với m = −4 ⇒y 0 = 8x 4 (x 3 −5) Suy ra x = 0 không là điểm cực trị của hàm số.
• Trường hợp 2: Nếu y (4) (0) 6= 0⇔ m 6= ±4, khi đó áp dụng Định lí 2.13 để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì y (4) (0)> 0⇔ −24(m 2 −16) > 0 ⇔ −4 < m < 4
Kết hợp hai trường hợp ta được −4< m ≤ 4.
Vậy có 8 giá trị nguyên của thham số m thỏa mãn.
Ví dụ 2.2.3.[Sách Bài tập Giải tích 12 cơ bản] Chứng minh rằng hàm số y = x 3 +mx 2 −(n 2 + 1)x−5(m+n) luôn luôn có cực trị với mọi giá trị của m và n.
Ta có y 0 = 3x 2 −2mx −(n 2 + 1) Xét phương trình y 0 = 0 Ta có
∆ 0 = m 2 + 3(1 + n 2 ) > 0, do đó phương trình này có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 y 0 đổi dấu khi đi qua hai nghiệm này Ta có bảng biến thiên x y 0 y
Vậy hàm số đã cho luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Ví dụ 2.2.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = √
√25−x 2 , với x ∈ (−5,5); y 0 = 0, x ∈ (−5,5) khi và chỉ khi x = 0.
Các giá trị f(−5) = f(5) = 0 và f(0) = 5 Từ đó ta có x∈[−5,5]min f(x) =f(−5) = f(5) = 0, max x∈[−5,5]f(x) =f(0) = 5.
Ví dụ 2.2.5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x x 2 + 1 trên R.
Từ BBT ta có maxf = f(1) = 1
Cực trị của hàm lồi
Phần này trình bày về cực trị của hàm lồi và điều kiện tồn tại duy nhất điểm cực trị của các hàm Đặc điểm nổi bật của hàm lồi là cực tiểu địa phương cũng chính là cực tiểu toàn cục, và hàm lồi ngặt chỉ có một điểm cực tiểu toàn cục duy nhất Theo định nghĩa, hàm f: I → R được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ I và λ ∈ [0,1], ta có f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) Ngược lại, hàm f được gọi là hàm lõm nếu -f là hàm lồi Bên cạnh đó, hàm f được coi là lồi ngặt nếu với mọi x, y ∈ I (x ≠ y) và λ ∈ [0,1], thỏa mãn f(λx + (1−λ)y) < λf(x) + (1−λ)f(y), trong khi hàm lõm ngặt là -f là hàm lồi ngặt.
(a) Các hàm affine là các hàm vừa lồi vừa lõm.
(b) Hàm f : R → R, f(x) = x 2 là lồi. Định lý 2.17 (Đặc trưng của hàm lồi) Cho f : (a, b) → R khả vi cấp hai Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
(iv) f 0 tăng trên (a, b). Định lý 2.18 (Cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục) Chof : (a, b) →
Hàm lồi có tính chất quan trọng là nếu x0 là điểm cực tiểu địa phương của hàm f, thì nó cũng đồng thời là điểm cực tiểu toàn cục Theo định lý 2.19, đối với hàm lồi f xác định trên khoảng [a, b], giá trị của hàm tại bất kỳ điểm x trong khoảng này luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất giữa f(a) và f(b).
Trường hợp đặc biệt khi f là hàm affine thì x∈[a,b]max f(x) = max{f(a), f(b)}, min x∈[a,b]f(x) = min{f(a), f(b)}.
Trong các kết quả nghiên cứu, điểm cực trị có thể tồn tại nhiều, dẫn đến câu hỏi khi nào hàm f chỉ có duy nhất một điểm cực trị Định lý 2.20 chỉ ra rằng với hàm f khả vi cấp hai trên đoạn [a, b], nếu f'(a) < 0, f'(b) > 0 và f''(x) > 0 cho a < x < b, thì hàm f(x) sẽ có duy nhất một điểm cực tiểu toàn cục Tương tự, Định lý 2.21 khẳng định rằng đối với hàm lồi ngặt f trên khoảng (a, b), nếu hàm này có cực tiểu, thì đó sẽ là cực tiểu duy nhất.
Chứng minh các kết quả trong phần này, người đọc quan tâm có thể tham khảo trong cuốn sách [10].
Mô hình hóa toán học và các bài toán tối ưu thực tế trong chương trình toán phổ thông
Trong chương trình toán THPT hiện nay, bài toán thực tế ngày càng phổ biến, liên quan đến nhiều vấn đề trong cuộc sống và các lĩnh vực khoa học khác Học sinh thường gặp hai loại bài toán: một loại đã có mô hình sẵn, dễ dàng giải quyết bằng kiến thức đã học; loại còn lại là bài toán chưa có mô hình, yêu cầu học sinh phải mô hình hóa từ thực tế thành toán học, điều này gây khó khăn cho cả học sinh lẫn giáo viên Học sinh có thể gặp khó khăn trong việc hiểu vấn đề, xây dựng giả thuyết và xác định các biến số quan trọng để tạo ra mô hình toán học Họ cũng bị giới hạn bởi kiến thức toán học và khả năng lựa chọn phương pháp giải quyết phù hợp Đối với giáo viên, việc dạy và hướng dẫn học sinh trong những bài toán này cũng đầy thách thức, đặc biệt khi phải xử lý những dữ kiện phức tạp Với mong muốn hỗ trợ học sinh và giáo viên bậc phổ thông, tôi đã tìm hiểu và chia sẻ những kiến thức về mô hình hóa toán học, tham khảo nhiều tài liệu liên quan.
Mô hình hóa toán học
Toán học có nguồn gốc từ thực tế và phát triển mạnh mẽ nhờ nhu cầu của cuộc sống Thực tiễn không chỉ là cơ sở cho sự hình thành và hoàn thiện lý thuyết toán học, mà còn là động lực thúc đẩy toán học trở thành công cụ hữu ích trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn Sự tương tác giữa toán học và thực tiễn tạo ra một vòng luân chuyển, nơi toán học không chỉ phát triển từ thực tế mà còn góp phần làm phong phú thêm cuộc sống.
Toán học đóng vai trò quan trọng trong chương trình giáo dục toàn cầu nhờ vào ứng dụng thực tiễn của nó trong nhiều lĩnh vực như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí và kỹ thuật Việc dạy toán không chỉ cung cấp kiến thức và kỹ năng cơ bản mà còn giúp học sinh phát triển khả năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết vấn đề thực tiễn Mô hình toán học và quá trình hóa toán học là những công cụ thiết yếu để áp dụng toán học vào các tình huống thực tế Mô hình toán học được định nghĩa là một cấu trúc toán học phản ánh các đặc điểm quan trọng của một tình huống, có thể biểu hiện dưới dạng phương trình, đồ thị, bảng hoặc các công cụ toán học khác Việc học mô hình hóa toán học là cần thiết cho học sinh vì nó giúp họ áp dụng lý thuyết vào thực tiễn.
Mô hình hóa toán học giúp học sinh nhận thức rõ ràng mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống xung quanh và các môn khoa học khác, từ đó làm cho việc học toán trở nên ý nghĩa và thú vị hơn.
Mô hình hóa toán học giúp học sinh phát triển khả năng sử dụng toán học như một công cụ giải quyết vấn đề trong các tình huống thực tế Qua đó, học sinh nhận thấy tính hữu ích của toán học trong cuộc sống hàng ngày Tuy nhiên, việc áp dụng toán học vào những tình huống ngoài toán không chỉ đơn thuần là kết quả của sự thành thạo mà còn cần sự chuẩn bị và rèn luyện kỹ lưỡng.
Mô hình hóa toán học không chỉ tạo ra một cái nhìn toàn diện về môn toán mà còn giúp học sinh nhận thức được vai trò của toán học trong lịch sử văn hóa nhân loại.
Các nội dung toán học có thể được củng cố và hình thành thông qua những ví dụ thực tiễn, giúp học sinh hiểu sâu và ghi nhớ lâu hơn các chủ đề Điều này không chỉ phát triển thái độ tích cực của học sinh đối với môn toán mà còn tạo động lực mạnh mẽ cho việc học tập toán học.
Mô hình hóa toán học là công cụ hiệu quả giúp phát triển năng lực toán học của học sinh, bao gồm khả năng suy luận, khám phá, sáng tạo và giải quyết vấn đề.
Mô hình hóa toán học là quá trình sử dụng công cụ toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn, và định nghĩa này có thể khác nhau tùy theo quan điểm của từng tác giả trong lĩnh vực giáo dục toán học Theo định nghĩa từ Singapore, mô hình hóa toán học được hiểu là việc thành lập và cải thiện một mô hình toán học nhằm biểu diễn và giải quyết các vấn đề trong thế giới thực.
Mô hình toán học là quá trình kiểm tra một tình huống hoặc vấn đề thực tế, sau đó phát triển thành phương trình, công thức, bảng hoặc biểu đồ nhằm thể hiện chính xác các đặc điểm chính của tình huống đó.
Thông qua mô hình hóa toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng các kiểu dữ liệu, phương pháp và công cụ toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn Việc xử lý dữ liệu thực tế và sử dụng công cụ toán học để phân tích nên được tích hợp vào chương trình học toán ở tất cả các cấp.
Mô hình hóa toán học là quá trình phức tạp, yêu cầu sự chuyển đổi linh hoạt giữa toán học và thực tế Để thực hiện tốt, học sinh cần phát triển nhiều kỹ năng toán học và kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế cần phân tích.
Dựa trên các tài liệu tham khảo [14], [11], ta thấy các yếu tố của quá trình mô hình hóa toán học như sau:
Giải pháp chấp nhận được không?
Cụ thể, để có thể mô hình hóa toán học từ một bài toán cụ thể theo quá trình trên, ta cần thực hiện theo các bước sau:
- Tạo giả thiết để đơn giản vấn đề.
- Biễu diễn vấn đề bằng các công cụ toán học.
• Làm việc với toán học:
- Giải quyết các vấn đề toán học bằng các phương pháp và công cụ thích hợp, kể cả kết hợp với công nghệ thông tin.
Giải thích lời giải toán học dựa trên bản chất của vấn đề giúp kết nối các giải pháp toán học với thực tiễn, từ đó làm cho những lời giải này trở nên có ý nghĩa trong bối cảnh thực tế.
- Xem xét các giả định và hạn chế của mô hình toán học.
- Xem xét các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng.
- Cải tiến mô hình toán học.
Ví dụ sau minh họa quá trình mô hình một bài toán thực tế cụ thể :
Trong một thị trấn mới, có công viên và bãi đất trống, nơi mọi người có thể đạp xe và sau đó đi bộ đến ga tàu điện ngầm Để nâng cao an toàn cho công viên, hội đồng thị trấn dự định xây dựng đường đi xe đạp và bãi đỗ xe cho hành khách Nhóm của bạn hãy chuẩn bị đề xuất gửi đến hội đồng thành phố để xem xét.
1 Để hiểu được vấn đề, học sinh có thể sử dụng một sơ đồ hoặc vẽ một bản phác thảo để biểu diễn cho tình huống.
2 Học sinh cần phải thực hiện một số giả thiết và thu thập thông tin như
• Kích thước của công viên và lô đất;
• Tốc độ đi bộ trung bình và tốc độ đi xe đạp;
• Giới hạn tốc độ khi đi xe đạp trong công viên;
• Mục tiêu thiết kế (ví dụ: con đường ngắn nhất, thời gian tối thiểu, vv.)
Trước khi xây dựng các mô hình toán học, họ cần xác định các khái niệm liên quan, đặc biệt là những vấn đề về khoảng cách, tốc độ và thời gian.
Việc xây dựng mô hình toán học phụ thuộc vào các giả thiết được đặt ra Chẳng hạn, nếu học sinh đặt mục tiêu thiết kế là sử dụng thời gian tối thiểu, biểu thức cho thời gian sẽ được xác định theo cách cụ thể.
Hình 3.1: Phác họa cho bài toán thực tiễn
Tổng thời gian đi được
T = Quãng đường đi trong công viên
Tốc độ xe đạp +Quãng đường đi trong công viên
Hình 3.1 cho thấy một bức phác họa có thể tượng trưng cho các sơ đồ với các giả định sau đây:
- Hình dạng cho công viên và lô đất là hình chữ nhật.
- Kích thước và tốc độ được dựa trên thông tin từ internet.
- Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu.
B Làm việc với toán học.
Một số bài toán tối ưu thực tế trong chương trình toán phổ thông
Các bài toán liên quan đến việc cắt - ghép các hình, khối hình
Các bài toán cắt - ghép khối hình trong chương trình toán phổ thông hiện nay chủ yếu dựa vào nguyên tắc của bài toán đẳng chu Những ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều này.
Trong bài toán 1 của sách giáo khoa Giải tích 12, chúng ta cần tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm Kết quả cho thấy hình vuông với cạnh dài 4 cm là hình có diện tích lớn nhất, đạt giá trị maxS = 16 cm².
Bài toán 2 Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m 2 , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải Hình vuông có cạnh bằng 4√
3(m) là hình có chu vi nhỏ nhất và min = 16√
3(m). Bài toán 3 Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải Kí hiệu chiều cao, bán kính và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V Khi đó, V = πr 2 h.
4 ồ Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Từ BBT ta có h∈(0,2R)max V = V Å2R
Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng √ 2R
3 và thể tích lớn nhất bằng 4πR 3
3 Bài toán 4 (Trích đề thi THPTQG 2018) Ông A dự định sử dụng hết
Để làm một bể cá bằng kính hình hộp chữ nhật không nắp, bạn cần sử dụng 6,5m2 kính, với chiều dài gấp đôi chiều rộng Các mối ghép có kích thước không đáng kể, giúp đảm bảo tính thẩm mỹ và độ bền cho bể cá.
Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Giả sử bể cá có kích thước như hình vẽ Ta có
Để tối ưu hóa diện tích khu đất rào, với 8 mét hàng rào và một bờ giậu có sẵn làm cạnh, cần xác định kích thước phù hợp Diện tích lớn nhất có thể đạt được là 54 mét vuông, tương đương với chiều dài 1,50 mét Việc sử dụng bờ giậu sẽ giúp tiết kiệm vật liệu và tối đa hóa không gian sử dụng.
Gọi x là độ dài cạnh song song với bờ giậu và y là độ dài cạnh vuông góc với bờ giậu.
Theo bài ra ta có x+ 2y = 8 và diện tích của miếng đất đã rào là
S = xy = y(8−2y). Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có:
Suy ra S ≤8 Dấu “=” xảy ra ⇔ 2y = 8−2y ⇔y = 2 ⇔ x = 4.
Diện tích lớn nhất của mảnh đất có thể rào bằng 8.
Bài toán 6 trong đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia 2017 yêu cầu tìm giá trị x để tối đa hóa thể tích của một hộp không nắp được tạo ra từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh 12cm Sau khi cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc với cạnh x (cm) và gập tấm nhôm lại, chúng ta cần xác định giá trị x tối ưu để hộp đạt thể tích lớn nhất.
Lời giải Gọi x (cm) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt với 0 < x < 6. Thể tích khối hộp tạo thành
V = x(12−2x) 2 (cm 3 ). Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM ta được x(12−2x) 2 = 2ã2x(6−x)(6−x)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x = 6−x ⇔x = 2.
Bài toán 7 yêu cầu tìm tổng a+h để tối ưu thể tích của một hộp chữ nhật được tạo ra từ một tấm bìa carton có diện tích 3m² Hộp có đáy là hình vuông với cạnh a (cm) và chiều cao h (cm) Việc gấp tấm bìa theo đường nét đứt sẽ tạo thành hình hộp, và mục tiêu là xác định giá trị của a và h sao cho thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải Theo đề ra, diện tích mảnh bìa là
2 Thể tích hình hộp chữ nhật:
Từ đó tìm được maxV = maxf(a) =f Ç√ 2 2 ồ
2.Bài toán 8 Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2019, trường THPT VõLai có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A đã dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều đài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?
Lời giải Xem khoảng không gian là một hình lăng trụ đứng.
Khi đó thể tích hình lăng trụ được tính bởi:
2. Bài toán 9 Một đoạn kênh mương dài 100m, được thiết kế theo dạng hình máng có tiết diện là hình thang cân (như hình bên dưới) Cạnh đáy nhỏ và cạnh bên của hình thang cân có chiều dài cố định Hỏi góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng bao nhiêu để thể tích là lớn nhất?
Kênh mương thẳng có thể được hình dung như một hình lăng trụ đứng với đáy là hình thang cân Để tối đa hóa thể tích của lăng trụ, diện tích của hình thang cân cần phải đạt giá trị lớn nhất Gọi m là tổng chiều dài của hai cạnh bên và đáy nhỏ của hình thang cân, trong khi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Gọi x là chiều rộng của mặt bên, y là chiều rộng của đáy nhỏ và z được ký hiệu như hình vẽ Khi đó, m = 2x+y.
Diện tích của thiết diện bằng:
Bài toán 10 trong sách bài tập 12 nâng cao yêu cầu một học sinh cắt một tờ giấy hình tròn bán kính R thành một phần giấy hình quạt để làm thành cái nón chú hề Gọi x là chiều dài dây cung tròn của phần giấy được sử dụng, h là chiều cao và r là bán kính của cái nón Nếu x = kR, câu hỏi đặt ra là giá trị của k xấp xỉ bằng bao nhiêu để tối đa hóa thể tích của hình nón.
Chu vi hình tròn đáy của cái nón chú hề bằng
Ta có bán kính R của hình tròn chính là đường sinh của khối nón và vòng tròn đáy của khối nón có độ đài là x do đó: h = pR 2 −r 2
4π 2 Khi đó, thể tích cái nón là:
4π 2 ồ. Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta được
27 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2 8π 2 = R 2 − x 2
Bài toán 11 yêu cầu tính diện tích nửa hình tròn có đường kính d, trong đó một học sinh vẽ hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn với một cạnh trùng với đường kính Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính Để tính diện tích nửa hình tròn theo x, cần lưu ý rằng diện tích hình chữ nhật đã cho là lớn nhất.
Ta có x là độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính hình tròn Khi đó, độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là:
−x 2 Diện tích hình chữ nhật bằng
(Theo BĐT AM-GM) Dấu “ xảy ra khi x Åd 2 ã2
Diện tích nửa hình tròn bằng
Công ty mỹ phẩm vừa ra mắt sản phẩm dưỡng trắng da chống lão hóa mới mang tên Sakura, với thiết kế độc đáo hình khối cầu lớn Bên trong khối cầu này có một khối trụ chứa kem dưỡng da, và nhà sản xuất dự định khối cầu sẽ có bán kính R = 2√.
6(cm) Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (nhằm thu hút khách hàng).
Lời giải Các ký hiệu như hình vẽ
Thể tích khối trụ bằng:
V = πr 2 h = π(24−h 2 )h. Để thể tích V lớn nhất ⇔f(h) = 24−h 2 )h lớn nhất.
2 (Theo BĐT AM-GM). Dấu “=” xảy ra khi
Bài toán 13 yêu cầu tìm chiều cao h và bán kính đáy r của một hộp trang sức hình nón (N) bọc ngoài một hạt ngọc trai hình cầu (S) có bán kính R không đổi, sao cho thể tích của hộp trang sức là nhỏ nhất Để đạt được điều này, cần xác định mối quan hệ giữa h và r nhằm tối ưu hóa thể tích của hình nón.
+ Đặt SI = x, x > R Khi đó, ta có SO = x+R.
√x 2 −R 2 Suy ra, thể tích V của hình nón (N) bằng:
Bảng biến thiên của hàm số f trên khoảng (R; +∞): x f 0 (x) f(x)
Từ đó suy ra V(x) đạt GTNN bằng 8πr 3
Bài toán 14 yêu cầu tìm tỷ số giữa khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt trên của hình trụ chứa nước hoa và chiều cao của hình nón, nhằm tối ưu hóa thể tích chứa nước hoa trong thiết kế vỏ dạng nón của thương hiệu Bourjois Hình trụ chứa dung dịch nước hoa được nội tiếp trong hình nón có thể tích V không đổi.
Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và vuông góc với đáy, với các điểm và kích thước được ký hiệu như trong hình vẽ Giả sử BE = x và BD = h, ta có các mối quan hệ giữa các kích thước này.
Thể tích hình trụ chứa nước hoa là:
Các bài toán về lãi suất ngân hàng, giá cả, lợi nhuận 46
Bài toán 17 đề cập đến việc xác định giá tối ưu cho một chiếc ô tô mà bạn muốn bán với giá trị 9000 euro Bạn không biết mức giá mà người mua sẽ đưa ra, nhưng giả định rằng giá sẽ nằm trong khoảng từ 1000 đến 1500 euro, với sự phân bố đồng đều Để tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng, bạn cần xác định mức giá phù hợp để yêu cầu từ người mua.
Lời giải Giả sử bạn dự định yêu cầu một giá x (đơn vị 1000 euro) Bạn có thể giả sử rằng 10 ≤x ≤ 15 Khả năng mà giá này được chấp nhận là
5 và lợi nhuận của bạn là x−9 Do đó lợi nhuận mong đợi của bạn là tích f(x) = (x−9)(15−x)/5.
Và lợi nhuận cao nhất khi f(x) = (x−9)(15−x)/5→ max, 10 ≤ x ≤15.
Tính toán đơn giản, ta được max x∈[10,15] f(x) = f(12) Do đó, giá chiếc ôtô để lợi nhuận cao nhất là 12000 euro.
Bài toán 18 (Câu 42 đề tham khảo tốt nghiệp THPT 2020) đề cập đến một công ty muốn quảng bá sản phẩm A thông qua quảng cáo truyền hình Nghiên cứu cho thấy rằng sau n lần phát sóng quảng cáo, tỷ lệ người xem quyết định mua sản phẩm sẽ tăng lên.
1 + 49e −0,015n Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30%? Hướng dẫn:
Theo giả thiết ta có
Vậy có ít nhất 203 lần quảng cáo.
Trong bài toán 19 của đề thi THPTQG 2018, một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% mỗi năm Nếu không rút tiền, lãi suất sẽ được cộng dồn vào vốn hàng năm Câu hỏi đặt ra là sau bao nhiêu năm số tiền gửi ban đầu và lãi suất sẽ gấp đôi số tiền gửi ban đầu Giả định rằng lãi suất không thay đổi và người gửi không rút tiền trong suốt thời gian này.
Lời giải Gọi X là số tiền gửi ban đầu.
Theo giả thiết ta có:
Vậy sau ít nhất 12 năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu.
Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với hình thức lãi kép Từ tháng thứ hai, lãi suất được tính dựa trên tổng số tiền của tháng trước, bao gồm cả lãi Câu hỏi đặt ra là sau ít nhất bao lâu số tiền cả vốn lẫn lãi sẽ vượt quá 125 triệu đồng.
Lời giải Áp dụng công thức lãi kép gửi một lần:
A = X(1 +i) t với A= 10 8 và i = 0,5%, Theo đề bài ta cần tìm số nguyên dương t bé nhất sao cho:
Vậy sau ít nhất 45 tháng người đó có cả vốn lẫn lãi nhiều hơn 125 triệu.
Để tối đa hóa thu nhập, công ty bất động sản với 50 căn hộ cần xác định giá cho thuê hợp lý Nếu giá thuê mỗi căn hộ là 2.000.000 đồng, tất cả các căn hộ sẽ được cho thuê Tuy nhiên, mỗi khi giá thuê tăng thêm 100.000 đồng, sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống Do đó, công ty cần tính toán mức giá tối ưu để đảm bảo số lượng căn hộ cho thuê và thu nhập cao nhất.
Gọi x (đồng) là số tiền tăng thêm Khi đó, số căn hộ bị bỏ trống là 2x
Thu nhập trong một tháng là:
Dấu “=“ xảy ra khi 2500000−x = 2000000 +x ⇔x = 250000. Vậy muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá 2250000 (đồng).
Nam vừa đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà Nội sau kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019 Gia đình gặp khó khăn trong việc đóng học phí cho Nam, đặc biệt là kỳ II sắp tới Để lo cho việc học của Nam, gia đình quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50m Mảnh đất còn lại sẽ là một hình vuông với cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất ban đầu Tính số tiền lớn nhất mà gia đình Nam có thể nhận được khi bán đất, với giá 1m² là 1.500.000 VN đồng.
Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là x, y (m),(x, y > 0).
Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m Khi đó,
Theo bài ra ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x√
8 Như vậy, diện tích đất được bán ra lớn nhất là 78,125m 2 Khi đó, số tiền lớn nhất mà gia đỡnh Nam nhận được khi bỏn đất là78,125ã1500000 117187500 (đồng).
Các bài toán tối ưu chi phí sản xuất
Bài toán 23 trong sách giáo khoa 12 nâng cao đề cập đến việc một tạp chí được bán với giá 20.000 đồng mỗi cuốn Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí, bao gồm lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, và các khoản chi phí khác, được mô tả bằng một công thức cụ thể.
C(x) = 0,0001x 2 −0,2x+ 10000, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng.
(a) (i) Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.
Tỉ số M(x) = T(x) x đại diện cho chi phí trung bình để xuất bản x cuốn tạp chí Để tối ưu hóa chi phí này, cần tính toán M(x) theo x và xác định số lượng tạp chí cần xuất bản nhằm đạt được chi phí trung bình thấp nhất.
Các khoản thu từ việc bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được từ quảng cáo cùng sự hỗ trợ cho báo chí sẽ được tính toán Giả sử tất cả các cuốn tạp chí in ra đều được tiêu thụ hết.
(i) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là L(x) −0,0001x 2 + 1,8x−1000.
(ii) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?
(iii) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó.
(a) (i) Tổng chi phí cho x cuốn tạp chí là
Ta xét hàm số y = M(x) trên khoảng (0; +∞) và tìm x > 0 sao cho hàm số M đạt giá trị nhỏ nhất trên (0; +∞) Ta có:
Từ BBT, suy ramin (0;+∞) M(x) = M(10000) = 2,2 Vậy chi phí trung bình cho x cuốn tạp chí thấp nhất khi x = 10000 (cuốn).Chi phí cho mỗi cuốn khi đó là 2,2 vạn đồng = 22000 (đồng).
(b) (i) Tổng số tiền thu được khi bán x cuốn tạp chí (x nguyên dương) là 2x+ 9000 (vạn đồng).
Số tiền lãi khi bán x cuốn là: L(x) = 2x + 9000 − T(x) −0,0001x 2 + 1,8x−1000.
(ii) Có lãi khi L(x) > 0, tức là:
−0,0001x 2 + 1,8x−1000 > 0. Điều này tương đương với
(iii) Ta xét hàm số: L(x) = −0,0001x 2 + 1,8x−1000;x ∈ (0; +∞).
Ta cần tìm x 0 ∈ (0; +∞) sao cho max x∈(0;+∞) = L(x 0 ).
Từ BBT ta suy ra max x∈(0;+∞) L(x) = L(9000) = 7100 Vậy muốn lãi nhiều nhất thì phải in 9000 cuốn Khi đó tiền lãi thu được là: 7100 vạn đồng = 71000000 (đồng).
Bài toán 24 trong sách giáo khoa 12 nâng cao đề cập đến việc nuôi cá trong hồ, với n là số con cá trên mỗi đơn vị diện tích Trọng lượng trung bình của mỗi con cá sau một vụ được tính bằng công thức p(n) = 480 - 20n (gam) Mục tiêu là xác định số lượng cá thả trên mỗi đơn vị diện tích để tối đa hóa sản lượng thu hoạch sau một vụ.
Trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ, nếu có n con cá, thì sau một vụ, số cá trung bình trên mỗi đơn vị diện tích sẽ có trọng lượng f(n) = nP(n) = 480n - 20n² (gam).
Xét hàm số f(x)−480x−20x 2 ;x ∈ (0; +∞) (Biến số n lấy các giá trị nguyên dương được thay thế bởi biến số x lấy các giá trị trên khoảng (0; +∞).
Từ BBT ta được hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 12 Từ đó, f(n) đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12.
Bài toán yêu cầu tìm diện tích lớn nhất của khu đất hình chữ E mà một bác nông dân có thể rào với chi phí 60.000.000 đồng Chi phí nguyên vật liệu cho hàng rào song song với bờ sông là 50.000 đồng/mét, trong khi ba mặt hàng rào còn lại có chi phí 40.000 đồng/mét Cần tính toán để xác định kích thước tối ưu của khu đất để tối đa hóa diện tích trồng cà chua.
Lời giải. Đặt các kích thước như hình vẽ.
Theo đề ra ta có:
Diện tích của khu đất rào được là:
Lập bảng biến thiên ta tìm được max (0;500) f(x) = f(250) = 150000. Vậy diện tích lớn nhất của đất có thể rào được là 150000(m 2 ).
Chủ nhà hàng cần xây dựng một hàng rào bao quanh 600m² đất để làm bãi đỗ xe, với ba cạnh sử dụng thép có chi phí 14.000 đồng/m² và một cạnh tiếp giáp với nhà hàng sử dụng gạch xi măng có chi phí 28.000 đồng/m² Mục tiêu là tìm chu vi tối ưu của khu đất để giảm thiểu chi phí nguyên liệu.
Theo giả thiết ta có xy = 600 hayy = 600 x Chi phí nguyên liệu được tính bằng công thức f(x) x−5 + 2ã 600 x ã14000 + 28000x
= 42000x+ 16800000 x −70000 với x > 5. Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM với hai số thực dương, ta được f(x) ≥ 2
Dấu bằng xảy ra khi
Vậy chu vi của khu đất là:
Để xây dựng một hồ chứa nước hình hộp chữ nhật không nắp với thể tích 500 m³, đáy hồ có chiều dài gấp đôi chiều rộng Chi phí thuê nhân công xây hồ là 500.000 đồng/m² Nhiệm vụ là xác định kích thước tối ưu của hồ để giảm thiểu chi phí thuê nhân công.
Lời giải. Đặt chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là 2x, x, h (đơn vị m).
Theo đề ra ta có
3x 2 (m). Để chỉ phí nhỏ nhất thì diện tích xung quanh (khối hộp chữ nhật không nắp) phải nhỏ nhất, hay S = 2x 2 + 6xh nhỏ nhất.
Theo Bất đẳng thức AM-GM, ta được
Vậy chi phớ thuờ nhõn cụng thấp nhất bằng 150ã500000 = 75000000 đồng = 75 triệu đồng.
Ông A đã tặng vợ một món quà đặc biệt trong ngày Quốc tế Phụ nữ 8/3 năm 2019, đặt trong một chiếc hộp chữ nhật không nắp với thể tích 32 (đvtt) và đáy hình vuông Để giảm thiểu lượng vàng mạ trên hộp, ông cần xác định chiều cao (h) và cạnh đáy (x) sao cho chúng đạt giá trị tối ưu.
Ta có thể tích khối hộpV = x 2 h = 32 (đvdt) với x > 0,h > 0vàh 32 x 2 Phần mạ vàng của chiếc hộp được tính bởi công thức S = 2x 2 + 8xh.
Theo Bất đẳng thức AM-GM ta được
Để giải bài toán xây dựng hố ga hình hộp chữ nhật với thể tích V(m³) và hệ số k (tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy), ta cần xác định các kích thước x, y, h > 0, trong đó x là chiều rộng, y là chiều dài, và h là chiều cao Dấu "=" xuất hiện khi 2x² = 128x, dẫn đến x = 4 và h = 2 Mục tiêu là tối ưu hóa kích thước để tiết kiệm nguyên vật liệu.
Gọi x, y, h(x, y, h > 0) lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.
Nên diện tích toàn phần của hố ga là:
S = xy + 2yh+ 2xh = (2k + 1)V kx + 2kx 2 Dùng phương pháp biến thiên hàm số ta có hàm S đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 3
Để tối ưu hóa chi phí nguyên liệu trong sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế cần giảm thiểu diện tích toàn phần của hình trụ Với yêu cầu thể tích khối trụ bằng 1 dm³, để đạt được diện tích toàn phần nhỏ nhất, bán kính đáy của hình trụ cần được xác định chính xác.
Lời giải Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bò hình trụ lần lượt là r, h (đơn vị dm).
Theo đề ra ta có: hπr 2 = l ⇔h = 1 πr 2 (dm).
Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất khi: S = 2πr 2 + 2πrh nhỏ nhất.
Từ Bất đẳng thức AM-GM ta có ước lượng sau
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Công ty mỹ phẩm ở Pháp vừa ra mắt sản phẩm mới, thỏi son Bourjois có hình trụ với thể tích 20,25 cm³ Chi phí sản xuất cho mỗi thỏi son được tính theo công thức T = 60000r² + 20000rh Để tối ưu hóa chi phí sản xuất, cần xác định tổng r + h là bao nhiêu cm.
Thể tích mỗi thỏi son là V = πr 2 h = 20,25π Khi đó, h = 20,25 r 2 Chi phí sản xuất mỗi thỏi son
T = 60000r 2 + 20000rh = 60000r 2 + 40500 r Áp dụng BĐT AM-GM ta được
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Các bài toán di chuyển - quãng đường đi
Các bài toán thuộc loại này được giải quyết chủ yếu dựa trên hai khái niệm của giải tích là đạo hàm và tích phân.
Bài toán 32 yêu cầu xác định độ cao tối đa mà một mũi tên có thể đạt được khi được bắn thẳng đứng lên không trung với vận tốc ban đầu là v0 m/s Để giải bài toán này, cần áp dụng các công thức vật lý liên quan đến chuyển động thẳng đều và lực hấp dẫn.
Chiều cao của mũi tên sau t giây được ký hiệu là s(t), với vận tốc tại thời điểm t là s'(t) Giả sử rằng chiều cao của người bắn tên và lực cản của không khí được bỏ qua, ta có s(0) = 0 Khi mũi tên bay lên, vận tốc của nó giảm dần và tại điểm cao nhất, vận tốc s'(t) bằng 0 Áp dụng Định luật bảo toàn năng lượng, ta nhận thấy có hai loại năng lượng quan trọng: động năng (1/2 ms'(t)²) và thế năng (mgs(t)), trong đó m là khối lượng mũi tên và g là hằng số trọng trường Tổng năng lượng (1/2 ms'(t)² + mgs(t)) giữ nguyên giá trị ở mọi thời điểm.
Tại thời điểm t = 0, chỉ có động năng 1 2 mv 0 2 và tại thời điểm t = t, chỉ có thế năng mgs(t) Do đó,
Vì vậy độ cao cực đại của mũi tên là s(t) = v 0 2
Để giải bài toán 33, chiến sĩ cần bơi qua một con sông rộng 100m và mục tiêu nằm cách anh ta 1km theo đường chim bay Vận tốc bơi của chiến sĩ chỉ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ Để đạt được thời gian bơi nhanh nhất, chiến sĩ cần xác định khoảng cách bơi tối ưu Giải pháp là tính toán sao cho tổng thời gian bơi và chạy đến mục tiêu là ngắn nhất.
Trong hình vẽ, A và B đại diện cho vị trí của người chiến sĩ (CS) và mục tiêu tấn công H, K, được sắp xếp sao cho AHBK tạo thành một hình chữ nhật Điểm M nằm trên bờ HB, là nơi người chiến sĩ cần bơi đến trước khi chạy bộ.
11(m). Đặt HM = x (đơn vị là m) với x ∈ (0; 300√
11). Gọi v (m/s) là vận tốc chạy bộ của người chiến sĩ.
Khi đó, người chiến sĩ phải bơi một đoạn bằng
Thời gian người chiến sĩ bơi là: t b = AM vb
Sau khi bơi, người chiến sĩ cần chạy bộ một đoạn
Thời gian người chiến sĩ chạy bộ là t c = M B vc
Tổng thời gian người chiến sĩ tấn công mục tiêu:
11) Để T nhỏ nhất thì f(x) phải nhỏ nhất.
Từ đây ta suy ra được min x∈(0;300 √
Vậy người chiến sĩ phải bơi một đoạn bằng
√3 (m) để đến mục tiêu nhanh nhất.
Bài toán 34 trong sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao yêu cầu tính vận tốc trung bình của xe ôtô khi vào đường hầm để đạt được lưu lượng xe tối đa Lưu lượng xe được mô tả bằng công thức f(v) = 0,36v² + 209,4v + 13,2v + 264 (xe/giây), trong đó v là vận tốc trung bình tính bằng km/h Mục tiêu là xác định giá trị vận tốc v sao cho lưu lượng f(v) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị tối đa đó.
Lời giải Theo giả thiết ta có: f 0 (v) = 290,4 −0,36v 2 + 264
0,6 f đạt giá trị lớn nhất khiv √264
Bài toán 35 yêu cầu tìm điểm S trên bờ, cách A một khoảng nào đó, để tối ưu hóa chi phí lắp đặt dây điện từ nhà máy ở A đến hòn đảo C qua S Khoảng cách từ C đến B là 1km và từ B đến A là 4km Chi phí lắp đặt dây điện dưới nước là 5000 USD/km, trong khi chi phí dưới đất chỉ là 3000 USD/km Mục tiêu là xác định vị trí S sao cho tổng chi phí lắp đặt dây điện là thấp nhất.
Lời giải. Đặt BS = x, (0 < x < 4) Khi đó,
SA = 4−x. Chi phí bỏ ra là f(x) = 5000√
Ta cần tìm x ∈ (0; 4) sao cho f(x) nhỏ nhất.
Xét hàm số y = f(x) trên (0; 4) Ta có f 0 (x) = 5000x
Suy ra x = 3 4 Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 16000 tại 3
Vậy điểm S trên bờ cần tìm cách A một khoảng 4− 3
Bài toán 36 yêu cầu tính đoạn đường ngắn nhất mà một người có thể đi từ vị trí A đến bờ sông và sau đó đến vị trí B Hai vị trí A và B cách nhau 615m, với khoảng cách từ A đến bờ sông là 118m và từ B đến bờ sông là 487m Để giải bài toán này, cần xác định lộ trình tối ưu để tiết kiệm thời gian và khoảng cách.
Lời giải Gọi S là điểm trên bờ sông DC.
Ta có khoảng cách DC = 492(m). Đặt SD = x (m) Khi đó, SC = 492−x (m) với 0< x < 492.
Hình 3.23: Đoạn đường người đó cần đi để hoàn thành công việc là f(x) = √
Sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski 1.7, ta đạt được ước lượng f(x) ≥ ằ(118 + 487) 2 + (x+ 492−x) 2 ≈ 779,8.
Vậy đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 779,8 m.
Bài toán 37 (Toán học tuổi trẻ lần 8) Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB = 25km, BC = 20km và M, n lần lượt là trung điểm của
Một người cưỡi ngựa bắt đầu từ A và di chuyển đến C qua điểm X nằm trên đoạn MN Vận tốc của ngựa trên đoạn ABMN là 15 km/h, trong khi vận tốc trên đoạn MNCD là 30 km/h Để tính thời gian ít nhất cho hành trình từ A đến C, cần xác định khoảng cách và vận tốc trên từng đoạn đường.
Quãng đường AX = √ x 2 + 10 2 Khi đó, thời gian tương ứng
30 với x ∈ [0; 25] Bài toán của ta quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [0; 25] Ta có f 0 (x) = x
Vậy hàm số f đạt GTNN bằng 2√
Để giải bài toán 38 trong sách bài tập Giải tích 12, ta cần tìm thời điểm t (giây) mà vận tốc v (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất Chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = 6t² - t³.
Theo giả thiết, ta có s(t) = 6t 2 −t 3 , t ∈ (0; +∞).
Vận tốc của chuyển động là v(t) =s 0 (t) = 12t−3t 2
Dựa vào BBT, ta có max
(0;+∞)v(t) = v(2) = 12(m/s) Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2(s).
Bài toán 39 (Đề minh họa lần 2 năm 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s = −1
Trong bài toán này, công thức mô tả quãng đường s (mét) của vật theo thời gian t (giây) là s = 2t³ + 9t² Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, ta cần xác định đạo hàm của hàm số quãng đường để tính vận tốc và tìm giá trị lớn nhất trong khoảng thời gian này.
Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s 0 (t) = −3
Do vận tốc lớn nhất của vật đạt được khi v 0 (t) =−3t+ 18 = 0 ⇔ t= 6.
Theo phương pháp biến thiên hàm số, vận tốc lớn nhất của vật là v max = v(6) = 36(m/s).
Cá hồi Thái Bình Dương vào mùa sinh sản bơi từ biển lên thượng nguồn sông để đẻ trứng trên sỏi đá và sau đó chết Nghiên cứu về cá hồi trong quá trình sinh sản cho thấy quy luật chuyển động của chúng trong nước yên lặng được mô tả bằng hàm s(t) = -t^2.
Con cá hồi có thời gian di chuyển là 10 + 4t (giờ) và quãng đường bơi là s (km) Khi được thả vào dòng sông với vận tốc nước chảy 2 km/h, ta cần tính khoảng cách xa nhất mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng để đến nơi đẻ trứng.
Vận tốc khi con cá bơi lúc nước yên lặng là v(t) =s 0 (t) = −t
Gọi vận tốc và quãng đường con cá bơi ngược dòng là V(t) và S(t).
Với t = 0 thì S(0) = 0 nên C = 0 Suy ra S(t) = − 10 t 2 + 2t và
S 0 (t) = V(t) = 0 Bằng phương pháp biến thiên hàm số ta có max t>0 S(t) = S(10).
Vậy khoảng cách xa nhất con cá bơi được là
Bài toán 41 trong sách giáo khoa 12 nâng cao đề cập đến việc một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt qua khoảng cách 400km đến nơi sinh sản, với vận tốc dòng nước là 6km/h Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h, năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được tính bằng công thức E(v) = cv^3 t, với c là hằng số cho trước và E được tính bằng Joule Câu hỏi đặt ra là vận tốc bơi tối thiểu của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao đạt giá trị tối thiểu là bao nhiêu.
Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là v −6, (v > 6) (km/h).
Suy ra thời gian để bơi là t = 300 v−6 (h), suy ra E = cv 3 300 v −6 (J), suy ra E đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi Å v 3 300 v −6 ã đạt giá trị nhỏ nhất.
(v −6) 2 v đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi f 0 (v) = 0 ⇔ 2v 3 −18v 2
3.2.5 Các bài toán tăng trưởng
Bài toán 42 trong sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao đề cập đến một bệnh dịch, trong đó các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh theo hàm số f(t) = 45t² - t³, với t nằm trong khoảng từ 0 đến 25 Hàm số f được xác định trên đoạn [0; 25], và đạo hàm f'(t) thể hiện tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.
(a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5.
(b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó. (c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600.
Số người nhiễm bệnh từ khi ghi nhận ca đầu tiên đến ngày thứ t được mô tả bởi hàm số f(t) = 45t² - t³, với t nằm trong khoảng [0; 25] Để phân tích tốc độ lây lan của bệnh, chúng ta cần xem xét hàm số f trong đoạn thời gian này.
(a) f 0 (t) = 90t−3t 2 = 3t(30−t) Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm là f 0 (5) = 375 (người/ngày).
Từ BBT, tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào ngày thứ 15 Tốc độ đó là f 0 (15) = 675 (người/ngày).
Từ ngày 11 đến ngày thứ19, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn 600người mỗi ngày.