BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THANH CHƯƠNG CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Mã số : Đại số lí thuyết số 8460104 Người hướng dẫn TS NGUYỄN THÁI HÒA Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương cơng trình nghiên cứu khoa học riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa, nội dung khơng chép chưa cơng bố hình thức nào, kết riêng mà trích dẫn với nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Người thực Nguyễn Thị Thanh Chương Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Một số ký hiệu Spec(R) Tập tất iđêan nguyên tố vành R Max(R) Tập tất iđêan cực đại vành R Ann(M ) Linh hóa tử môđun M Ass(M ) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết môđun M Supp(M ) Giá môđun M PsuppiR (M ) Giả giá thứ i môđun M psdi (M ) Giả chiều thứ i môđun M lR (M ) Độ dài R-môđun M gr(R) Vành phân bậc liên kết vành R gr(M ) Môđun phân bậc liên kết môđun M d(M ) Bậc đa thức Hilbert-Samuel môđun M dim R Chiều Krull vành R dim M Chiều Krull môđun M ht(I) Chiều cao iđêan I idR (M ) Chiều nội xạ môđun M vành R depth M Độ sâu môđun M Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đầy đủ 1.2 Tôpô Zariski 1.3 Địa phương hóa 1.4 Sự phân tích nguyên sơ 10 1.5 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp 1.6 Đa thức Hilbert, chiều Krull môđun Cohen-Macaulay 13 1.7 Đồng cấu phẳng 22 1.8 Đối đồng điều địa phương 23 1.9 Đối ngẫu Matlis 29 12 1.10 Tính catenary vành vành Gorenstein 30 CHIỀU VÀ BỘI CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 33 2.1 Đa thức Hilbert, chiều bội môđun Artin 34 2.2 Công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương 38 KẾT LUẬN 52 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Cho M R-môđun hữu hạn sinh vành Noether giao hoán địa phương (R, m) với d = dim M ≥ q iđêan m-nguyên sơ R (tương đương q iđêan định nghĩa) Đa thức Hilbert M có dạng: Pq (M, n) = e0 n+d n+d−1 + e1 + + en , n ≥ 0, d d−1 e0 = e(q, M ) số bội môđun M ứng với iđêan q Khi ta có cơng thức bội liên kết môđun Noether M ứng với iđêan m-nguyên sơ q (xem [6]): e(q, M ) = lRp (Mp )e(q, R/p) p∈Supp(M ) dim R/p=d Năm 1973, D Kirby [11] với R-môđun Artin A, q iđêan R cho l(0 :A q) hữu hạn l(0 :A qn ) đa thức n đủ lớn Ông gọi đa thức đa thức Hilbert R-môđun Artin A Năm 1974, R N Roberts [18] đưa khái niệm chiều Noether cho môđun Artin A chứng tỏ bậc đa thức Hilbert-Samuel mơđun A Khi Pq (A, n) = gs n+s n+s−1 + es−1 + + g0 , n ≥ 0, s s−1 gs = e(q, A) số bội A ứng với iđêan q s = N − dim A chiều Noether môđun A Biết rằng, với số nguyên không âm i, môđun đối đồng điều thứ i Hmi (M ) M môđun Artin Năm 2002, M Brodmann R Y Sharp (xem [5]) đưa hai khái niệm giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ) giả chiều thứ i M , kí hiệu psdi (M ) : (i) Giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ), cho công thức i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R) | HpRp (Mp ) = 0} (ii) Giả chiều thứ i M , kí hiệu psdi (M ), xác định psdi (M ) = max{dim(R/p) | p ∈ PsuppiR (M )} thiết lập công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hmi (M ) hai trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương vành sở catenary phổ dụng địa phương mà tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Nếu Hmi (M ) = i−dim(R/p) e (q, Hmi (M )) = lRp (HpRp (Mp ))e(q, R/p) p∈Psuppi (M ) dim R/p=psdi (M ) Với mục đích tìm hiểu sâu đại số giao hốn, chúng tơi chọn đề tài: "Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương" Mục tiêu luận văn trình bày lại số kết liên quan đến chiều bội môđun đối đồng điều địa phương [3], [4], [5], [6], [8], [14], [19], Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức đầy đủ, địa phương hóa, phân tích nguyên sơ, biểu diễn thứ cấp, đa thức Hilbert-Samuel, chiều Krull, môđun Cohen-Macaulay, đối đồng điều địa phương, tôpô Zariski, đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, vành Gorenstein đồng cấu phẳng Chương 2: Chiều bội mơđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày số kết chiều bội môđun Artin; chiều bội môđun đối đồng điều địa phương hai trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương vành sở catenary phổ dụng địa phương mà tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện 42 Tiếp theo, chúng tơi trình bày cơng thức cho bội số e (q, Hmi (M )) cho Mệnh đề 2.2.3(v)với giả thiết vành địa phương R catenary phổ dụng mà tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Nhắc lại rằng, đồng cấu h : (R, m) −→ (B, n) gọi đồng cấu phẳng địa phương B R-môđun phẳng h(m) ⊂ n Ta nhắc lại khái niệm thớ hình thức tập ổn định với phép đặc biệt hóa • Cho p ∈ Spec(R) P ∈ Spec(R) cho P ∩ R = p Khi vành RP /pRP gọi thớ hình thức ứng với p P • Tập T Spec(R) gọi ổn định với phép đặc biệt hóa với iđêan p, q ; p ⊆ q mà p ∈ T q ∈ T Trước trình bày nội dung tiếp theo, nhắc khái niệm số tính chất dãy phổ Ghi 2.2.4 1) Một môđun song phân bậc họ R-mơđun M = (Mp,q )(p,q)∈Z×Z Nếu loại bỏ p q ta định nghĩa mơđun phân bậc đồng cấu phân bậc cách tương tự Cho M , N R-môđun song phân bậc, ta nói đồng cấu f : M → N có song cấp (a, b) ∈ Z × Z f (Mp,q ) ⊂ Np+a,q+b với cặp số (p, q) ∈ Z × Z Bậc f kí hiệu deg(f ) = (a, b) 43 Nếu ta có đồng cấu song phân bậc f : M → N với deg(f ) = (a, b) ta định nghĩa Imf = (Im fp−a,q−b ) ⊆ (Np,q ), Ker f = (Ker fp,q ) ⊆ (Mp,q ) 2) Một lọc R-môđun M họ (Mp )p∈Z môđun M cho với p ⊆ Mp−1 ⊆ Mp ⊆ Mp+1 ⊆ 3) Cho M R-môđun song phân bậc d đồng cấu song phân bậc có bậc (a, b) thỏa mãn dd = Khi mơđun đồng điều H(M, d) mơđun song phân bậc với H(M, d)p,q = Ker dp,q Im dp−a,q−b 4) Một dãy phổ dãy (E r , dr )r≥1 E r mơđun song phân bậc, thỏa mãn dr dr = E r+1 = H(E r ) với r ≥ Nếu (E r , dr )r≥1 dãy phổ, ta có E = H(E , d1 ) = Z /B , Z chu trình B bờ với B ⊆ Z ⊆ E Ta lại có E = (Z /B )/(B /B ) = H(Z /B , d2 ) với B ⊆ B ⊆ Z ⊆ Z ⊆ E Quy nạp theo r ta có E r = Z r /B r với B ⊆ B ⊆ ⊆ B r ⊆ Z r ⊆ ⊆ Z ⊆ Z ⊆ E (∗) Cho (E r , dr )r≥1 dãy phổ, họ (Z r , B r )r≥1 cho thỏa mãn (*), đặt Z ∞ = r≥1 Z r B ∞ = r≥1 B r Khi đó, giới hạn ∞ ∞ ∞ dãy phổ môđun song phân bậc E ∞ định nghĩa Ep,q = Zp,q /Bp,q 5) Cho lọc (F p C)p∈Z phức C thỏa mãn với p ⊆ F p−1 C ⊆ F p C ⊆ F p+1 C ⊆ ; 44 họ phép nhúng ip : F p → C cảm sinh ip∗ : H• (F p ) → H• (C) Ta định nghĩa lọc cảm sinh Hn (C) Φp Hn (C) = Imip∗ Nếu với n tồn s t cho Φs Hn = {0} Φt Hn = Hn ta nói lọc (Φp Hn ) bị chặn Một dãy phổ (E r , dr )r≥1 gọi hội tụ đến môđun phân bậc ⇒ Hp+q , có lọc bị chặn (Φp Hp+q ) H cho H , kí hiệu Ep,q ∞ ∼ p Ep,q = Φ Hp+q /Φp−1 Hp+q = {0} Dãy phổ (E r , dr )r≥1 gọi suy biến theo trục p Ep,q với q = Dãy phổ (E r , dr )r≥1 gọi suy biến theo trục q = {0} với p = Ep,q 6) Có bốn dãy phổ Grothendieck: hai dãy góc phần tư thứ (theo đồng diều) hai dãy góc phần tư thứ ba (theo đối đồng điều) Dãy phổ (Er , dr )r≥1 gọi dãy phổ góc phần tư thứ ba Erp,q = {0} với q > p > Cho dãy phổ (Er , dr )r≥1 góc phần tư thứ ba hội tụ E2p,q ⇒ H p+q Khi n,0 (i) Nếu dãy phổ suy biến theo trục p, ta có H n ∼ = E2 0,n (ii) Nếu dãy phổ suy biến theo trục q , ta có H n ∼ = E2 Định lý 2.2.5 Cho h : (R, m) −→ (B, n) đồng cấu phẳng vành địa phương cho B/mB Cohen-Macaulay có chiều d Khi đó, với R-mơđun N với j ∈ Z, ta có Hnd+j (N ⊗R B) ∼ = Hnd (Hmj (N ) ⊗R B) Hnd+j (N ⊗R B) = Hmj (N ) = 45 Chứng minh Xét dãy phổ i+j E2ij = Hni (Hmj B (N ⊗R B)) ⇒ E i+j = Hni+j +mB (N ⊗R B) = Hn (N ⊗R B) (∗) Mặt khác, theo Định lý 1.8.17 ta có đẳng cấu B -môđun Hmj B (N ⊗R B) ∼ = Hmj (N ) ⊗R B Do E2ij = Hni (Hmj (N ) ⊗R B) Ta cần chứng minh Hni (Hmj (N ) ⊗R B) = với i, j ∈ Z i = d Thật vậy, Cho L R-mơđun khác khơng có độ dài hữu hạn Khi B -mơđun L ⊗R B khác không dim(L ⊗R B) = depth(L ⊗R B) = d Do Hni (L ⊗R B) = với i = d Với môđun đối đồng điều Hmj (N ) khác khơng Hmj (N ) ⊗R B = Do Hni (Hmj (N ) ⊗R B) = với i, j ∈ Z i = d Từ suy dãy phổ (*) suy biến Hnd+j (N ⊗R B) ∼ = Hnd (Hmj (N ) ⊗R B) Lấy j ∈ N cho Hmj (N ) = Khi với ảnh đồng cấu G Hmj (N ) Hnd−1 (G ⊗R B) = Do đó, Hmj (N )có mơđun S Hnd (S ⊗R B) = Do Hnd (Hmj (N ) ⊗R B) = hay Hnd+j (N ⊗R B) = Tiếp theo sử dụng Định lý 2.2.5 để nghiên cứu tập giả giá R-môđun hữu hạn sinh Trước hết, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến tập iđêan nguyên tố gắn kết 46 Định lý 2.2.6 (Xem [19], Định lý 4.8) Giả sử M = p ∈ SuppR (M ) cho dim R/p = t Giả sử i số nguyên q iđêan nguyên tố với q ⊆ p cho qRp ∈ AttRp (HpiRp (Mp )) Khi q ∈ AttR (Hmi+t (M )) Hệ 2.2.7 (Xem [19]) Giả sử M = p ∈ AssR M với dim R/p = t Khi Hmt (M ) = p ∈ AttR Hmt (M ) Chúng tơi trình bày kết tập giả vành địa phương R catenary Bổ đề 2.2.8 Giả sử vành địa phương R catenary Cho i số ngun khơng âm, PsuppiR (M ) ổn định với phép đặc biệt hóa Chứng minh Cho p, q ∈ Spec(R) với q ⊆ p p ∈ PsuppiR (M ), i−dim R/p HpRp i−dim R/p (Mp ) = Theo Đinh lý 1.5.2 Rp -mơđun Artin HpRp i−dim R/p có iđêan nguyên tố gắn kết hay AttRp (HpRp (Mp ) (Mp )) = ∅ Vì R catenary, dim R/q = dim R/p − ht q/p Áp dụng Định lý i−dim R/p+ht q/p 2.2.6 vành địa phương Rq , ta có AttRp (HqRq i−dim R/p+ht q/p Do HqRq i−dim R/q (Mq ) = Từ suy HqRq (Mq )) = ∅ (Mq ) = q ∈ PsuppiR (M ) Mệnh đề 2.2.9 Cho i ∈ N, p ∈ Spec(R), P ∈ Spec(R) cho P ∩ R = p Cho h : Rp −→ RP đồng cấu phẳng địa phương cảm sinh từ đồng cấu R −→ R Giả sử thớ hình thức h iđêan cực đại pRp vành Rp vành Cohen-Macaulay, R catenary phổ dụng Khi P ∈ PsuppiR (M ⊗R R) p ∈ PsuppiR (M ) 47 Chứng minh Vì R catenary phổ dụng từ ([14], Định lý 31.7), ta có đẳng thức dim R/p + ht p = dim R/P + ht P Do đó, theo Bổ đề 1.7.3, thớ hình thức ứng với iđêan pRp P vành RP /pRp RP dim(RP /pRp RP ) = dim RP −dim Rp = ht P−ht p Áp dụng Định lý 2.2.5, i−dim R/p HpRp i−dim R/p+ht P−ht p (Mp ) = HPR P (Mp ⊗Rp RP ) = Từ Định lý 1.3.7, ta có đẳng cấu RP -môđun (M ⊗R R)P ∼ = (Mp ⊗Rp Rp )⊗R R ∼ = Mp ⊗Rp RP = Mp ⊗R R ∼ = Rp ⊗(M ⊗R R) ∼ Vậy nên P ∈ PsuppiR (M ⊗R R) p ∈ PsuppiR (M ) Định lý 2.2.10 Giả sử vành địa phương R catenary phổ dụng tất thớ hình thức Cohen-Macaulay Cho i ∈ Z, i = q iđêan m-nguyên sơ R (i) Cho p ∈ Spec(R) cho P iđêan nguyên tố nhỏ pR Khi đó, mệnh đề sau tương đương (a) p phần tử nhỏ PsuppiR (M ); (b) P phần tử nhỏ PsuppiR (M ⊗R R); i−dim R/p (c) lRp (HpRp (Mp )) khác không hữu hạn Hơn i−dim R/P lRP (HPR P i−dim R/p ((M ⊗R R)P )) = lRp (HpRp (ii) PsuppiR (M ) đóng psdiR (M ) = dimR Hmi (M ) (Mp ))lRP (RP /PRP ) 48 (iii) Giả sử Hmi (M ) = Khi i−dim(R/p) e (q, Hmi (M )) = lRp (HpRp (Mp ))e(q, R/p) i p∈Psupp (M ) dim R/p=psdi (M ) Chứng minh (i) Từ Mệnh đề 2.2.9, ta biết với P ∩ R = p, P ∈ PsuppiR (M ⊗R R) p ∈ PsuppiR (M ) Giả sử p ∈ Spec(R) phần tử nhỏ PsuppiR (M ) Khi tồn Q ∈ PsuppiR (M ⊗R R) cho Q ⊂ P Q ∩ R ∈ PsuppiR (M ) Mặt khác, P iđêan nguyên tố nhỏ pR nên Q ∩ R = p Q ∩ R p Điều mâu thuẫn với p ∈ Spec(R) phần tử nhỏ PsuppiR (M ) Do P ∈ Spec(R) phần tử nhỏ PsuppiR (M ⊗R R) Giả sử P ∈ Spec(R) phần tử nhỏ PsuppiR (M ⊗R R) Khi tồn q ∈ PsuppiR (M ) cho q ⊂ p Vì h : Rp −→ RP đồng cấu phẳng địa phương nên theo Mệnh đề 1.7.1, tồn Q ∈ Spec(R) cho Q ⊂ P Q ∩ R = q Vì q ⊂ p nên Q P Q ∈ PsuppiR (M ⊗R R) Điều mâu thuẫn với P phần tử nhỏ PsuppiR (M ⊗R R) Do p ∈ Spec(R) phần tử nhỏ PsuppiR (M ) Vì R vành đầy đủ nên R ảnh đồng cấu vành địa phương quy Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.3(iv), P ∈ Spec(R) phần tử nhỏ i−dim R/P PsuppiR (M ⊗R R) lRP (HPR P ((M ⊗R R)P )) khác không hữu hạn Từ Định lý Ratliff (xem [14], Định lý 31.7) dim R/P = dim R/p; ý pRp RP = PRP Theo Định lý 1.8.17 49 ta có đẳng cấu RP -mơđun i−dim R/P HPR i−dim R/P i−dim R/p (Mp ⊗Rp RP ) ∼ (Mp )⊗Rp RP ((M ⊗R R)P ) ∼ = HPR = HpRp P P i−dim R/P Vì h đồng cấu hồn tồn phẳng nên lRP (HPR i−dim R/p khơng hữu hạn lRp (HpRp P ((M ⊗R R)P )) khác (Mp )) khác không hữu hạn Do i−dim R/P lRP (HPR P i−dim R/p ((M ⊗R R)P )) = lRp (HpRp (Mp ))lRP (RP /PRP ) (ii) Vì PsuppiR (M ) ổn định với phép đặc biệt hóa, PsuppiR (M ) tập đóng, nghĩa chứa hữu hạn phần tử nhỏ Thật Cho p phần tử nhỏ PsuppiR (M ) P iđêan nguyên tố nhỏ pR (nên P ∩ R = p) Từ Định lý 2.2.10(i) ta P phần tử nhỏ PsuppiR (M ⊗R R) Vì R ảnh đồng cấu vành địa phương quy nên, theo Mệnh đề 2.2.3(iii) PsuppiR (M ⊗R R) tập đóng Spec(R), PsuppiR (M ⊗R R) chứa hữu hạn phần tử nhỏ Từ suy PsuppiR (M ) chứa hữu hạn phần tử nhỏ Tiếp theo ta chứng minh psdiR (M ) = dimR Hmi (M ) Từ Mệnh đề 2.2.9 ta có P ∈ PsuppiR (M ⊗R R) p ∈ PsuppiR (M ) Do psdiR (M ) = psdiR (M ⊗R R) Mặt khác, từ Mệnh đề 2.2.3(iii) ta có i psdiR (M ⊗R R) = dimR (KM ⊗ RR ) Giả sử m iđêan cực đại R Khi Hmi (M ) R-mơđun Hmi (M ) ∼ = Hmi (M ) ⊗R R ∼ = Hmi (M ⊗R R) Theo 50 Mệnh đề 2.2.3(i) suy ΘqH i (M ) = ΘqHRi (M ⊗ m m R R) qR = ΣK i ; M ⊗R R i Do dimR Hmi (M ) = dimR (Hmi (M ⊗R R)) = dimR (KM ⊗ R i ) = psd R (M ) R (iii) Ta biết rằng, N R-môđun phân bậc hữu hạn với n ∈ Z, n > 0, ta có lR (N/qn N ) = lR ((N/qn N ) ⊗R R) = lR ((N ⊗R R)/(qR)n (N ⊗R R) e(q, R/p) = e(qR, R/pR) với p ∈ Spec(R) Do theo ([6], 4.6.8) ta có cơng thức bội liên kết cho R/pR ứng với iđêan qR e(qR, R/pR) = lRP (RP /pRP )e(qR, R/P) P∈SuppR (R/pR) dim R/P=dim R/p Từ suy lRP (RP /pRP )e(qR, R/P) e(q, R/p) = P∈SuppR (R/pR) dim R/P=dim R/p Từ chứng minh Định lý 2.2.10(i) ta có ΘqH i (M ) = ΘqHRi (M ⊗ m m R R) Do e (q, Hmi (M )) = e (qR, Hmi (M ⊗R R)) Đặt psdiR (M ) = s Từ Định lý 2.2.10(ii) ta có psdiR (M ⊗R R) = s Vì vành đầy đủ R ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương nên theo Mệnh đề 2.2.3 ta có e (qR, Hmi (M ⊗R R) i−dim R/P = lRP (HPR P∈PsuppiR (M ⊗R R) dim R/P=s P ((M ⊗R R)P ))e(qR, R/P) 51 Với p ∈ PsuppiR (M ) thỏa mãn dim R/p = dimR Hmi (M ) = s, theo phần chứng minh (i) Mệnh đề 2.2.9, ta có lRP (HPi−s ((M ⊗R R)P ))e(qR, R/P) R P P∈PsuppiR (M ⊗R R) dim R/P=s,P∩R=p lRp (Hpi−s Rp (Mp ))lRP (RP /PRP )e(qR, R/P) = P∈PsuppiR (M ⊗R R) dim R/P=s,P∩R=p i−s = lRp (Hpi−s Rp (Mp ))e(qR, R/pR) = lRp (HpRp (Mp ))e(q, R/p) Khi i−dim(R/p) e (q, Hmi (M )) = lRp (HpRp i p∈Psupp (M ) dim R/p=psdi (M ) (Mp ))e(q, R/p) 52 KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tơi trình bày số kết chiều công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương theo [5] Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức đầy đủ, địa phương hóa, vành phân bậc môđun phân bậc, đa thức Hilbert, chiều Krull, phân tích nguyên sơ, biểu diễn thứ cấp, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, vành Gorenstein, đối ngẫu Matlis, vành catenary phổ dụng, đồng cấu phẳng tôpô Zariski Chương 2, chúng tơi trình bày kết chiều bội cho môđun Artin môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể • Trước hết, chúng tơi trình bày khái niệm đa thức Hilbert-Samuel, chiều Noether, hệ bội cho môđun Artin; mối liên hệ chiều Krull chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) điều kiện để chúng • Tiếp theo chúng tơi trình bày khái niệm tập giả giá, giả chiều môđun đối đồng điều địa phương chứng minh chi tiết công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) hai 53 trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương (trong Mệnh đề 2.2.3) vành sở catenary phổ dụng mà thớ hình thức Cohen-Macaulay (trong Định lý 2.2.10) 54 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atiyah, M F., Macdonald, I.G., (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading Mass [2] Brodmann, M (1978), A particular class of regular domains, J Algebra, 54, 366-373 [3] Brodmann, M and Rotthaus, C.(1982), Local domains with bad sets of formal prime divisors, J Algebra, 75 , 386-394 [4] Brodmann, M and Sharp, R Y (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [5] Brodmann, M and Sharp, R Y (2002), On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167, 217-233 [6] Bruns, W and Herzog, J (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [7] Cuong, N T., Nhan, L T (2002), On the Noetherian dimention of Artinan module, Vietnam J Math., 30(2), 121-130 55 [8] Cuong, N T., Nhan, L T and Nga, N T K (2010), On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generateg modules, J Algebra, 323, 3029-3038 [9] Gopalakrishman, N S., Commutative Algebra Dume, 1954 [10] Goto Shiro , Homological methods in commutative algebra, Institude of Mathematics Hanoi 2016 [11] Kirby, D (1973), Artinian modules and Hilbert polynomials, Quart J Math Oxford (2),24 , 47-57 [12] Macdonal, I G (1973), Secondary reprsentation of modules over a communicate ring, Symposia Mathematica, 11, 23-43 [13] Matsumura, H (1970), Commutative algebra, W A Benjamin, New York [14] Matsumura, H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [15] Melkersson, L and Schenzel, P.(1995), The co-localization of an Artinian module, Proc.Edinburgh Math Soc., 38 , 121-131 [16] Nagata, M (1962), Local rings, Interscience, New York [17] Nhan, L T and An, T N (2009), On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules,J Algebra, 321, 303-311 56 [18] Roberts, R N (1975), Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford (2), 26 , 269273 [19] Sharp, R Y (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc London Math Soc., 30, 177-195 ... dụng, vành Gorenstein đồng cấu phẳng Chương 2: Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày số kết chiều bội môđun Artin; chiều bội môđun đối đồng điều địa phương hai trường hợp vành... giao hốn, chúng tơi chọn đề tài: "Chiều bội môđun đối đồng điều địa phương" Mục tiêu luận văn trình bày lại số kết liên quan đến chiều bội môđun đối đồng điều địa phương [3], [4], [5], [6], [8],... thiết lập công thức bội liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hmi (M ) hai trường hợp vành sở ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương vành sở catenary phổ dụng địa phương mà tất thớ hình