ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHƠNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2020 Thái Nguyên, năm 2018 Lời cảm ơn Để thực tốt luận văn này, cố gắng nỗ lực thân, nhận quan tâm, giúp đỡ từ thầy cơ, bạn bè gia đình Nhân xin gửi lời cảm ơn Trước hết xin gửi lời cảm ơn quý Thầy Cô khoa toán trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Ngun q Thầy Cơ viện tốn học Việt Nam truyền thụ giảng dạy kiến thức bổ ích, làm tảng cho tơi q trình nghiên cứu luận văn Và hết, xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Nguyễn Văn Hồng, người tận tình hướng dẫn, dạy bảo phương pháp nghiên cứu khoa học tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian xem xét, chỉnh sửa đưa nhận xét quý báu để luận văn tơi hồn thiện Bên cạnh dạy thầy cô, nhận quan tâm gia đình bạn bè Xin chân thành cảm ơn người Thái Nguyên, tháng năm 2020 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập Ass, Supp môđun 1.2 Môđun Ext 1.3 Độ sâu, chiều hệ tham số môđun 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 1.5 Vành môđun Cohen-Macaulay 12 1.6 Môđun I -cofinite 13 Về tính chất cofinite tính chất không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương 14 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương vành đầy đủ 14 2.2 Môđun đối đồng điều địa phương vành địa phương Noether 18 2.3 Môđun đối đồng điều địa phương iđêan sinh phần hệ tham số 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 32 iii MỞ ĐẦU Như giả thiết, vành R vành giao hốn Noether có phần tử đơn vị khác với phần tử không Với iđêan I R R-môđun M , khái niệm môđun đối đồng điều địa phương thứ i M giá I định nghĩa công thức i n HIi (M ) = lim Ext (R/I , M ) R −→ n Những kiến thức chi tiết lớp mơđun đối đồng điều địa phương trình bày tài liệu [5], [7] Trong báo [9], C Huneke nêu câu hỏi sơ khai sau: Cho W = {depth(Mp ) + ht(I + p)/p : I p ∈ Supp M } Khi phát biểu sau liệu có hay khơng: ≤ n ∈ / W HIn (M ) R-môđun hữu hạn sinh? Liên quan đến câu hỏi sơ khai này, ta xem thêm báo [12] Năm 2014, Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami [3] chứng minh kết tương tự cho câu hỏi nêu trường hợp R vành địa phương đầy đủ I iđêan cực đại R Năm 1969, Grothendieck nêu giả thuyết rằng, I iđêan R M R-mơđun hữu hạn sinh, R-mơđun HomR (R/I, HIi (M )) hữu hạn sinh với i ≥ R Hartshorne xây dựng phản ví dụ cho giả thuyết [8]; đồng thời, ông định nghĩa môđun T I -cofinite Supp T ⊆ Var(I) ExtiR (R/I, T ) hữu hạn sinh với i ≥ 0, ông hỏi câu hỏi sau Với vành R iđêan I mơđun HIi (M ) I -cofinite với i môđun hữu hạn sinh M ? Hartshorne chứng minh rằng, I iđêan vành địa phương quy đầy đủ R M R-mơđun hữu hạn sinh, HIi (M ) I -cofinite hai trường hợp sau đây: • (i) I iđêan (xem [8, Hệ 6.3]), • (ii) I iđêan nguyên tố với dim R/I = (xem [8, Hệ 7.7]) Chủ đề tiếp tục nghiên cứu nhiều tác giả khác sau (xem [1], [4], [6], [10], [14], [20]) Trong báo [3], Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami chứng minh số kết liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương cofinite tính triệt tiêu số mơđun đối đồng điều địa phương Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại kết trình bày báo [3], số kiến thức bổ trợ Chương tham khảo sách [5] [15], số kiến thức bổ sung cần thiết khác dùng Chương tham khảo tài liệu lại Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm trình bày số kiến thức sở tảng để người đọc dễ theo dõi kiến thức trình bày Chương Chương trình bày vắn tắt tập Ass, Supp, môđun Ext, độ sâu, chiều, hệ tham số, môđun đối đồng điều địa phương, vành môđun Cohen - Macaulay Ta giả thiết chung R vành giao hốn Noether có đơn vị khác phần tử không Những kiến thức chương chủ yếu tham khảo từ sách: “Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications” M P Brodmann - R Y Sharp (1998) (xem [5]) “Commutative ring theory” H Matsumura (1986) (xem [15]), mục cuối chương nhắc lại số kiến thức tính chất cofinite mơđun (trích số báo [18], [2], [8]) 1.1 Tập Ass, Supp môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun Iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M cho annR (x) = p (để ý rằng, p = R nên x = 0) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) (hoặc Ass M ) gọi tập iđêan nguyên tố liên kết M Định nghĩa 1.1.2 Cho M R-mơđun Tập giá mơđun M kí hiệu Supp(M ), xác định công thức Supp M = {p ∈ Spec(R) : Mp = 0} Nhận xét 1.1.3 Cho I iđêan R Ta đặt Var(I) = {p ∈ Spec(R) : p ⊇ I} Nếu M R−mơđun hữu hạn sinh Supp M = Var(ann(M )), ann(M ) = (0 :R M ) Rõ ràng ta có Supp(R/I) = Var(I) Mệnh đề 1.1.4 Giả sử M R-môđun khác p phần tử tối đại tập iđêan linh hóa tử phần tử = x ∈ M Khi p iđêan nguyên tố Do p ∈ Ass M Hệ 1.1.5 Nếu R vành Noether M R-mơđun khác 0, tồn iđêan ngun tố liên kết M Do trường hợp Ass M = ∅ M = Hệ 1.1.6 Nếu R vành Noether M R-môđun Noether khác Khi tồn chuỗi mơđun = Mr ⊆ Mr−1 ⊆ ⊆ M2 ⊆ M1 = M cho môđun thương Mi /Mi+1 đẳng cấu với R/pi pi iđêan nguyên tố R Định nghĩa 1.1.7 Cho M R-môđun Phần tử x ∈ R gọi ước không M tồn = m ∈ M cho xm = Tập tất ước khơng M kí hiệu ZdvR (M ) Mệnh đề 1.1.8 Cho R vành Noether, M R-mơđun khác Khi tập ước không M hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M Nói cách khác, ta có ZdvR (M ) = p p∈Ass M Mệnh đề 1.1.9 Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh, N R-mơđun Khi AssR (HomR (M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M ) (iv) ⇒ (i) Vì R Noether I ⊆ J , nên tồn phần tử x1 , , xn ∈ R cho J = I + Rx1 + + Rxn với n ≥ Ta sử dụng phép quy nạp theo n để chứng minh Khi n = 0, ta có I = J ta khơng cần chứng minh Bây giờ, giả sử ta quy nạp n ≥ kết chứng minh cho n − Tức là, có giả thiết Supp HIi (M ) ⊆ Var(J) với i ≤ t, J = I + Rx1 + + Rxn−1 , HIi (M ) ∼ = HJi (M ) với i ≤ t Bây ta xét giả thiết (iv) Supp HIi (M ) ⊆ V (J) với i ≤ t, J = I + Rx1 + + Rxn−1 + Rxn Vì, với i ≤ t, ta có Supp HIi (M ) ⊆ V (J) ⊆ V (Rxn ), nên HIi (M ) Rxn -xoắn (thật vậy, lấy tùy ý ω ∈ HIi (M ) Rω môđun hữu hạn sinh HIi (M ) Do Var(0 : Rω) = Supp(Rω) ⊆ Supp(HIi (M )) ⊆ Var(Rxn ) Vì √ ann(Rω) ⊇ Rxn ⊇ Rxn Do tồn k > để (Rxn )k ⊆ ann(Rω), i tức (Rxn )k ω = 0) Mặt khác ta có HIi (M ) ∼ (M ), nên = HI+Rx + +Rxn−1 i suy HI+Rx (M ) Rxn -xoắn với i ≤ t Do + +Rxn−1 i−1 HRx (HI+Rx (M )) = với i − ≤ t n + +Rxn−1 i i HRx (HI+Rx (M )) ∼ (M ) = HI+Rx n + +Rxn−1 + +Rxn−1 ∼ = HIi (M ) với ≤ t Từ cách xét dãy khớp i−1 → HRx (HI+Rx (M )) n + +Rxn−1 i → HI+Rx (M ) + +Rxn i → HRx (HI+Rx (M )) → n + +Rxn−1 (theo [19, Hệ 3.5]), ta suy rằng, với i ≤ t, i HJi (M ) = HI+Rx (M ) + +Rxn i ∼ (HI+Rx (M )) = HRx n + +Rxn−1 ∼ = HIi (M ), điều kết thúc chứng minh mệnh đề ta 19 Mệnh đề 2.2.2 Cho (R, m) vành địa phương Noether Cohen-Macaulay có chiều ≥ p iđêan nguyên tố R Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Hm1 (R/p) không hữu hạn sinh, (ii) dim R/p = Chứng minh (ii) ⇒ (i) hiển nhiên (theo [7, Hệ 7.3.3]) (i) ⇒ (ii) Vì Hm1 (R/p) khơng hữu hạn sinh, nên suy dim R/p ≥ Nếu dim R/p ≥ 2, p chứa R-dãy quy x1 , , xn có độ dài n = ht(p) Ta có depth(R/(x1 , , xn )) = dim R − n = dim R − ht(p) = dim(R/p) ≥ Hm1 (R/(x1 , , xn )) = Vì ht(x1 , , xn ) = n = ht(p) (x1 , , xn ) ⊆ p, nên suy p iđêan nguyên tố tối tiểu (x1 , , xn ), đó, p ∈ AssR (R/(x1 , , xn )) Bởi vậy, tồn dãy khớp → R/p → R/(x1 , , xn ) → T → T R-mơđun hữu hạn sinh Dãy khớp dẫn đến dãy khớp sau Hm0 (R/(x1 , , xn ) → Hm0 (T ) → Hm1 (R/p) → Hm1 (R/(x1 , , xn )) hai mơđun hai bên khơng; Hm1 (R/p) ∼ = Hm0 (T ) Vì T hữu hạn sinh, nên Hm1 (R/p) hữu hạn sinh, điều mâu thuẫn Chú ý 2.2.3 Cho (R, m) vành Noether địa phương, I iđêan thực R M R-môđun hữu hạn sinh cho Supp M/IM Var(m) Cho r số nguyên không âm cho HIi (M ) Artin với i < r HIr (M ) không Artin Theo [16, Định lý 3.1] [11, Định lý 3.10], r độ sâu lọc, f-depth(I, M ), M I , tức độ dài dãy lọc quy cực đại M I Nhắc lại rằng, ta nói dãy x1 , , xn phần tử I vành Noether địa phương (R, m) dãy lọc quy R-mơđun hữu hạn sinh M , xi ∈ / p, với p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) \ {m} với i = 1, , r 20 Định lý 2.2.4 Cho (R, m)là vành Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ ≤ t ≤ d − số nguyên Khi mệnh đề sau tương đương: (i) Hmt (M ) = (ii) m ∈ / AssR (HIt (M )), với iđêan I R với dim M/IM ≤ Chứng minh i) ⇒ ii) Cho I iđêan R với dim M/IM ≤ Nếu t dim M/IM = 0, HIt (M ) = HI+ann (M ) ∼ = Hmt (M ) = ta khơng RM có để chứng minh Tiếp theo, cho dim M/IM = 1, tồn phần tử x ∈ m cho dim M/(I + Rx)M = 0, theo [19, Hệ 3.5] ta có dãy khớp t 0 → HRx (HIt−1 (M )) → HI+Rx (M ) → HRx (HIt (M )) → Nhưng dim M/(I + Rx)(M ) = 0, nên ta suy iđêan J = annR (M ) + I + Rx m-nguyên sơ Do đó, sử dụng [5, Định lý 4.2.1], ta suy t t HI+Rx (M ) ∼ (M ) = Hmt / annR M (M ) = H(I+Rx+ann R M )/ annR M ∼ = Hmt (M ) = Tuy nhiên, dãy khớp trên, ta kết luận Hmt (M ) = / AssR (HIt (M )) Hm0 (HIt (M )) = Điều cho ta thấy m ∈ ii) ⇒ i) Với trường hợp t = ln Vì vậy, khơng tính tổng qt, giả sử ≤ t ≤ d − Khi đó, ta có d ≥ Vì dim(M ) = d ≥ 2, nên ta sử dụng định lí tránh nguyên tố, ta tìm phần tử x1 , , xd−1 ∈ m cho x1 , , xd−1 dãy lọc quy M Khi x1 , , xd−1 phần hệ tham số M (và dim M/(x1 , , xd−1 )M = 1) Khi R-môđun d−2 H(x (M ), H(x (M ), , H(x (M ) , ,xd−1 ) , ,xd−1 ) , ,xd−1 ) Artin Nhưng, có phần tử xd ∈ m cho x1 , , xd hệ tham số M Mặt khác, theo [19, Hệ 3.5], ta có dãy khớp t−1 t → HRx (H(x (M )) → H (M ) (x , ,x ) d , ,xd ) d−1 t → HRx (H(x (M )) → d , ,xd−1 ) 21 t−1 Bây giờ, H(x (M ) Artin, nên từ Định lí triệt tiêu Grothendieck , ,xd−1 ) ta suy t−1 HRx (H(x (M )) = d , ,xd−1 ) Ngồi ra, iđêan (x1 , , xd ) + annR M m-nguyên sơ, nên suy t H(x (M ) ∼ = Hmt (M ) , ,xd ) Vì dim M/(x1 , , xd−1 )M = 1, nên theo giả thiết (ii), ta có t m∈ / AssR (H(x (M )), , ,xd−1 ) t (M )) = Ta lại có Hm0 (H(x , ,xd−1 ) t t (H(x (M )) HRx (H(x (M )) ∼ = H(x d , ,xd−1 ,xd ) , ,xd−1 ) , ,xd−1 ) t ∼ (H(x (M )) = H(x , ,xd−1 ,xd )+annR M , ,xd−1 ) t ∼ (M )) = Hm0 (H(x , ,xd−1 ) Do đó, kết hợp với dãy khớp trên, ta suy Hmt (M ) = 0, điều cần chứng minh Định lý 2.2.5 Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ Cho ≤ t ≤ d−1 số nguyên cho Hmt (M ) R-môđun hữu hạn sinh khác khơng Khi đó, với iđêan I R mà dim M/IM ≤ 1, ta có m ∈ AssR (HIt (M )) Đặc biệt, ta suy HIt (M ) = Chứng minh Cho I iđêan R với dim M/IM ≤ Nếu dim M/IM = 0, HIt (M ) ∼ = Hmt (M ), ta chứng minh trường hợp Bây giờ, ta giả sử dim M/IM = Khi có phần tử x m cho dim M/(I + Rx)M = 0, theo [19, Hệ 3.5] ta có dãy khớp t 0 → HRx (HIt−1 (M )) → HI+Rx (M ) → HRx (HIt (M )) → (2.1) Theo lập luận chứng minh từ Định lý 2.2.4, ta có ∼ = Hmt (M ) Do đó, theo dãy khớp trên, ta kết luận R-mơđun HRx (HIt−1 (M )) hữu hạn sinh Nhưng theo [5, Định lý 2.2.4], ta có dãy khớp t HI+Rx (M ) HIt−1 (M ) → DRx (HIt−1 (M )) → HRx (HIt−1 (M )) → 0, 22 (2.2) và, theo [5, Định lý 2.2.16], ta có DRx (HIt−1 (M )) ∼ = (HIt−1 (M ))x từ suy DRx (HIt−1 (M )) = xDRx (HIt−1 (M )) Do đó, từ dãy khớp (2.2), ta 1 thấy HRx (HIt−1 (M )) = xHRx (HIt−1 (M )) Bây từ bổ đề Nakayama, ta có HRx (HIt−1 (M )) = Bởi vậy, theo dãy khớp (2.1), ta có (HIt (M )) = 0, Hm0 (HIt (M )) ∼ = HRx điều kéo theo m ∈ AssR (HIt (M )), điều phải chứng minh Bây ta biểu diễn chứng minh ngắn cho định lí khơng triệt tiêu Grothendieck Trong phần chứng minh định lí ta không cần thu gọn trường hợp vành địa phương đầy đủ Định lý 2.2.6 Cho (R, m) vành địa phương Noether, cho M Rmôđun hữu hạn sinh khác khơng, có chiều n Khi Hmn (M ) = Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo dim M = n Khi n = 0, ta có Hm0 (M ) ∼ = M = Giả sử n > trường hợp n − đẫ chứng minh Khi có phần tử p ∈ Supp M cho dimRp Mp = n − dim M/pM = Tiếp đến, theo giả thiết quy nạp, ta có Hpn−1 Rp (Mp ) = 0, n theo Bổ đề 1.6.3, ta có Hm (M ) khơng p-cofinite; Hmn (M ) khơng R-mơđun hữu hạn sinh Do vậy, Hmn (M ) = Chú ý 2.2.7 Bây ta nhắc lại với R-môđun M , số nguyên j ≥ 0, iđêan nguyên tố p R, số Bass thứ j M p định nghĩa công thức µj (p, M ) = dimk(p) ExtjRp (k(p), Mp ) k(p) = Rp /pRp Chú ý µj (p, M ) số lần xuất thành phần nội xạ khơng phân tích E(R/p) R-mơđun nội xạ E j , → M → E → E → → E j → E j+1 → giải nội xạ tối tiểu M (xem [15, Trang 150]) Trước trình bày kết tiếp theo, ý rằng, [14, Định lí 3.4] họ (R, m) vành địa phương Noether, I iđêan R với dim R/I = M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều d, µj (p, HIi (M )) hữu hạn với i, j tất trừ số hữu hạn iđêan nguyên tố p Các kết rằng, vài trường hợp 23 đặc biệt, tất số Bass môđun đối đồng điều địa phương HId−1 (M ) hữu hạn Định lý 2.2.8 Cho (R, m) vành địa phương Noether, I iđêan R với dim R/I = 2, M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ cho Supp HId−2 (M ) ⊆ {m} Khi đó, với iđêan J R mà I ⊆ J ⊆ m dim R/J ≤ 1, ta ln có R-mơđun ExtjR (R/J, HId−1 (M )) hữu hạn sinh với j ≥ Chứng minh Vì dim R/J ≤ 1, nên tồn phần tử x ∈ J cho dim R/(I + Rx) = Tiếp theo, ta đặt L = I + Rx Khi đó, theo [19, Hệ 3.5], ta có dãy khớp sau → HRx (HId−2 (M )) → HLd−1 (M ) → HRx (HId−1 (M )) (2.3) → 0, 0 → HRx (HId−1 (M )) → HLd (M ) → HRx (HId (M )) → (2.4) Tuy nhiên, theo giả thiết, ta có Supp HId−2 (M ) ⊆ {m}, R-mơđun HId−2 (M ) Rx-xoắn Điều kéo theo HRx (HId−2 (M )) = Vì vậy, từ dãy khớp (2.3), ta có đẳng cấu sau HLd−1 (M ) = HRx (HId−1 (M )) Bây giờ, dim R/L = 1, nên theo kết [6], theo [4, Hệ 2.7], ta thấy R-mơđun HLd−1 (M ) L-cofinite Vì R-môđun HRx (HId−1 (M )) = HL0 (HId−1 (M )), L-cofinite Mặt khác, theo [5, Bài tập 2.1.9], ta có HRx (HId−1 (M )) = HL1 (HId−1 (M )) Hơn nữa, theo [18, Mệnh đề 5.1], R-mơđun HLd (M ) Artin L−cofinite Vì vậy, áp dụng [18, Hệ 4.4], ta suy từ dãy khớp (2.4) Rmôđun HRx (HId−1 (M )) = HL1 (HId−1 (M )) 24 L-cofinite Vì R-mơđun HL0 (HId−1 (M )) HL1 (HId−1 (M )) Lcofinite Nhưng, [13, Hệ 2.5], ta có Supp HId−1 (M ) tập hữu hạn dim HId−1 (M ) ≤ Vì vậy, từ định lí khơng triệt tiêu Grothendieck, ta có HLj (HId−1 (M )) = với j ≥ Do đó, theo [18, Mệnh đề 3.9], với j ≥ 0, ta thấy Rmôđun ExtjR (R/L, HId−1 (M )) hữu hạn sinh Vì L ⊆ J , nên từ [6, Hệ 1] [18, Hệ 2.5] ta thấy rằng, với j ≥ 0, R-mơđun ExtjR (R/J, HId−1 (M )) hữu hạn sinh, điều phải chứng minh Hệ 2.2.9 Cho (R/m) vành địa phương Noether, I iđêan R, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ cho Supp HId−2 (M ) ⊆ {m} Khi số Bass R-mơđun HId−1 (M ) hữu hạn Chứng minh Do [13, Hệ 2.5], có Supp HId−1 (M ) tập hữu hạn dim HId−1 (M ) ≤ Khi đó, với p ∈ Supp HId−1 (M ), ta có I ⊆ p ⊆ m dim R/p ≤ Tuy nhiên, theo Định lý 2.2.8, R-môđun ExtjR (R/p, HId−1 (M )) hữu hạn sinh với j ≥ Định lý 2.2.10 Cho (R/m) vành địa phương Noether, I iđêan R với dim R/I = M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ 2, cho dim HId−2 (M ) ≤ Khi R-mơđun ExtjR (R/m, HId−1 (M )) hữu hạn sinh với j ≥ Đặc biệt, số Bass R-môđun HId−1 (M ) hữu hạn Chứng minh Theo Định lí 2.2.8, ta giả sử dim HId−2 (M ) = Vì dim R/I = 2, nên từ [4, Hệ 3.3] ta suy AssR HId−2 (M ) tập hữu hạn Tiếp theo, ta giả sử AssR HId−2 (M )\{m} = {p1 , , ps }, AsshR (R/I) = {q1 , , qt } Bây giờ, theo định lí tránh nguyên tố, tồn phần tử x ∈ m, cho x ∈ / ∪si=1 pi x ∈ / ∪ti=1 qi Khi dim R/(I + Rx) = Supp HRx (HId−2 (M )) ⊆ {m} Đặt L = I + Rx Khi đó, [19, Hệ 3.5], ta có dãy khớp 0 → HRx (HId−1 (M )) → HLd−1 (M ) → HRx (HId−1 (M )) → 0, 25 (2.5) 0 → HRx (HId−1 (M )) → HLd (M ) → HRx (HId (M )) → (2.6) Áp dụng phương pháp dùng chứng minh Định lí 2.2.8, ta có HRx (HId−2 (M )) = HL0 (HId−1 (M )), HRx (HId−1 (M )) = HL1 (HId−1 (M )), HLj (HId−1 (M )) = 0, với j ≥ Mặt khác, theo [4, Hệ 2.7], R-môđun HLd−1 (M ) L-cofinite Do đó, từ dãy khớp (2.5), ta suy R-mơđun HomR (R/L, HRx (HId−2 (M ))) hữu hạn sinh Nhưng, có Supp HRx (HId−2 (M )) ⊆ {m}, suy R-mơđun HomR (R/L, HRx (HId−2 (M ))), có tập giá chứa Var(m) Vì vậy, ta kết luận R-mơđun HomR (R/L, HRx (HId−2 (M ))) có độ dài hữu hạn Từ đó, theo [18, Mệnh đề 4.1] ta suy R-môđun (HId−2 (M )) Artin L-cofinite Như vậy, R-môđun HL0 (HId−1 (M )) HRx L-cofinite Mặt khác, áp dụng phương pháp dùng để chứng minh Định lí2.2.8, ta thấy R-mơđun HL1 (HId−1 (M )) Lcofinite Bây giờ, theo [18, Mệnh đề 3.9], với j ≥ 0, ta có R-mơđun ExtjR (R/L, HId−1 (M )) hữu hạn sinh Vì thế, theo chứng minh Định lí 2.2.8, L ⊆ m, nên với j ≥ 0, ta có R-mơđun ExtjR (R/m, HId−1 (M )) hữu hạn sinh Mặt khác, m = p ∈ Supp(HId−1 (M )), dim((M/IM )p ) ≤ 1, nên số Bass R-môđun HId−1 (M ) p hữu hạn (theo [4, Hệ 2.10]) 2.3 Môđun đối đồng điều địa phương iđêan sinh phần hệ tham số Ta nhắc lại kết bổ trợ sau trình bày [14], họ chứng minh kết cách sử dụng kiến thức dãy phổ 26 Bổ đề 2.3.1 Cho R vành Noether, I iđêan R M R-môđun hữu hạn sinh Cho s số nguyên không âm cho R-môđun HIi (R) I -cofinite với i = s Khi HIs (R) I -cofinite Chứng minh Xem [14, Mệnh đề 2.5] Bổ đề 2.3.2 Cho (R, m) vành địa phương Noether có chiều d ≥ I iđêan R cho dim R/I = d Cho a1 , , ad ∈ m hệ tham số R-môđun R/I Khi đó, có phần tử b1 , , bd ∈ I cho phần tử c1 = a1 + b1 , , cd = ad + bd tạo thành hệ tham số cho R Chứng minh Vì dim(R/(I + Ra1 )) = d − 1, nên I + Ra1 ∪p∈Assh R p Vì vậy, từ [15, Bài tập 16.8], suy tồn b1 ∈ I cho b1 + a1 ∈ / ∪p∈Assh R p Ta thấy c1 = a1 + b1 phần hệ tham số R Theo quy nạp, ta giả sử phần tử c1 = a1 + b1 , , ck = ak + bk lập thành phần hệ tham số R, ≤ k ≤ d − {b1 , , bk } ⊆ I Khi ta có I + Ra1 + + Rak = I + Rc1 + + Rck dim(R(I + Ra1 + + Rak + Rak+1 )) = d − (k + 1) Vì (I +Rc1 + .+Rck +Rak+1 ) ∪p∈AsshR (R/(c1 , ,ck )) p Vì (c1 , , ck ) ⊆ ∩p∈AsshR (R/(c1 , ,ck )) p, nên I + Rak+1 ∪p∈AsshR (R/(c1 , ,ck )) p Vì vậy, [15, Bài tập 16.8], tồn bk+1 ∈ I cho ak+1 + bk+1 ∈ / ∪p∈AsshR (R/(c1 , ,ck )) p Đặt ck+1 = ak+1 + bk+1 Khi đó, dễ dàng thấy (c1 , , ck+1 ) phần hệ tham số R Bổ đề 2.3.3 Cho (R, m) vành địa phương Noether có chiều d = x1 , x2 , x3 hệ tham số R Đặt I1 = (x1 ), I2 = (x1 , x2 ), I3 = (x1 , x2 , x3 ) Khi đó, với n ∈ {1, 2, 3}, ta thấy R-môđun HIin (R) In -cofinite với i ≥ Chứng minh Nếu n = 1, iđêan In iđêan kết theo kết Kawasaki Trường hợp n = 2, suy từ kết [6] Định lý 2.3.4 Cho (R, m) miền địa phương Noether có chiều d ≤ 4, R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Cho ≤ n ≤ x1 , , xn phần hệ tham số R Khi đó, với i ≥ 0, R-mơđun HIi (R) I -cofinite, I = (x1 , , xn ) 27 Chứng minh Cho (R, m) ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay (S, n) với dim S = d1 Khi d1 ≥ d Ta giả sử R = S/J với J iđêan S Khi ta có ht J = d1 − d, tồn R-dãy quy y1 , , yd1 −d chứa J Bây giờ, ta thay vành S vành Cohen-Macaulay địa phương T = S/(y1 , , yd1 −d ) Vì vậy, ta giả sử n = (vì trường hợp n ∈ {1, 3, 4} suy dễ dàng từ kết biết Nếu n = I iđêan chính; Nếu n = n = dim R/I ≤ 1, kết suy từ [6]) Vì R miền nguyên dim R = dim S , nên tồn p ∈ AsshS (S) cho R = S/p, ta có dãy khớp sau → R → S → K, (2.7) K S -mơđun hữu hạn sinh Vì x1 , x2 ∈ m = n/p, nên x1 = t1 + p x2 = t2 + p, t1 , t2 ∈ n Bây giờ, theo Bổ đề 2.3.2, tồn y1 , y2 ∈ p cho z1 = t1 + y1 , z2 = t2 +y2 phần hệ tham số S Vì thế, S vành Cohen-Macaulay, nên z1 , z2 S -dãy quy, từ [5, Định lý 6.2.7] ta có H(z (S) = = H(z (S) ,z2 ) ,z2 ) Vì thế, từ dãy khớp (2.7), ta nhận đẳng cấu 1 H(z (T ) ∼ (R) = H(z ,z2 ) ,z2 ) Nhưng, sử dụng [5, Định lý 4.2.1], ta có 1 H(z (R) = H(z (R) = H(t1 ,t2 )+p/p (R) = H(x (R) ,z2 ) ,z2 )+p/p ,x2 ) (T ) S -môđun hữu hạn sinh, nên H(x (R) S -mơđun hữu Vì H(z ,x2 ) ,z2 ) hạn sinh, H(x (R) R-môđun hữu hạn sinh Đặc biệt, ta ,x2 ) suy H(x (R) (x1 , x2 )-cofinite Mặt khác, [5, Định lý 3.3.1], nên ,x2 ) i với i ≥ 3, ta có H(x (R) = Bây giờ, theo [14, Mệnh đề 2.5], ta thấy ,x2 ) R-môđun H(x (R) (x1 , x2 )-cofinite ,x2 ) Định lý 2.3.5 Cho (R, m) vành địa phương Noether có số chiều d x1 , , xn phần hệ tham số R Khi t Hmd−t (H(x (R)) = , ,xn ) t Đặc biệt, ta suy µd−t (m, H(x (R)) = , ,xn ) 28 Chứng minh Cho x1 , , xt , , xn phần hệ tham số R Khi đó, dùng [19, Hệ 3.5] [5, Định lý 3.3.1], ta có điều sau t+1 t (R), HRx (H(x (R)) ∼ = H(x t+1 , ,xt ) , ,xt+1 ) t t+2 t+1 (H(x (R)) (R) ∼ HRx (H(x (R)) ∼ = H(x = H(x t+2 t+1 ,xt+2 ) , ,xt ) , ,xt+2 ) , ,xt+1 ) (H t (R)) (R) ∼ H (H d−1 (R)) ∼ = H d−t = Hd Rxd (x1 , ,xd ) (x1 , ,xd−1 ) (x1 , ,xt ) (xt+1 ,xt+2 , ,xd ) Nhưng theo định lý không triệt tiêu Grothendieck, ta có d H(x (R) = Hmd (R) = , ,xd ) Do đó, theo [5, Bài tập 2.1.9], ta suy d−t t t (H(x (R)) Hmd−t (H(x (R)) ∼ = H(x , ,xt ) , ,xt ) , ,xd ) ∼ (H t (R)) = = H d−t (xt+1 ,xt+2 , ,xd ) (x1 , ,xt ) t Như Hmd−t (H(x (R)) = Từ ta suy , ,xt ) t µd−t (m, H(x (R)) = , ,xt ) t (R)), trước tiên Thật vậy, theo tiến trình xây dựng mơđun Hmd−t (H(x , ,xt ) t ta lấy giải nội xạ tối tiểu R-môđun K = H(x (R), chẳng hạn , ,xt ) E • : → E d−t−1 → E d−t → E d−t+1 → , sau tác động hàm tử Γm (−) vào E • ; kết ta phức có dạng → Γm (E d−t−1 ) → Γm (E d−t ) → Γm (E d−t+1 ) → hay d−t−1 → E(R/m)µ (m,K) d−t → E(R/m)µ (m,K) d−t+1 → E(R/m)µ (m,K) → (2.8) Từ ta lấy đối đồng điều phức (2.8), ta Hmd−t (K) Vì µd−t (m, K) = dẫn đến Hmd−t (K) = 0, điều mâu thuẫn với t Hmd−t (H(x (R)) = Ta có điều phải chứng minh , ,xt ) 29 Kết luận Trước hết luận văn nhắc lại kiến thức chuẩn bị tập giá, iđêan nguyên tố liên kết, môđun Ext, độ sâu, hệ tham số, đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay Sau luận văn trình bày chứng minh chi tiết lại kết sau tính chất cofinite tính chất khơng triệt tiêu số môđun đối đồng điều địa phương: Chứng minh được: Cho (R, m) vành Noether địa phương đầy đủ I iđêan R Cho M R-môđun hữu hạn sinh cho dim M/IM > Khi inf{i ∈ N : Hmi (M ) không I -cofinite} = inf{1 + depth(Mp ) : p ∈ Supp M/IM dim R/p} < ∞ Chứng minh được: Cho R vành Noether M R-môđun Giả sử I ⊆ J iđêan thực R, cho t số ngun khơng âm Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) Với i ≤ t, ta có HIi (M ) ∼ = HJi (M ) (ii) Với i ≤ t, ta có AssR HIi (M ) = AssR HJi (M ) (iii) Với i ≤ t, ta có Supp HIi (M ) = Supp HJi (M ) (iv) Với i ≤ t, ta có Supp HIi (M ) ⊆ V (J) Chứng minh được: Cho (R, m)là vành Noether địa phương, M Rmơđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ ≤ t ≤ d − số nguyên Khi mệnh đề sau tương đương: (i) Hmt (M ) = 0; (ii) m ∈ / AssR (HIt (M )), với iđêan I R với dim M/IM ≤ Chứng minh được: Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ Cho ≤ t ≤ d − số nguyên 30 cho Hmt (M ) R-môđun hữu hạn sinh khác khơng Khi đó, với iđêan I R mà dim M/IM ≤ 1, ta có m ∈ AssR (HIt (M )) Đặc biệt, ta suy HIt (M ) = Chứng minh được: Cho (R, m) vành địa phương Noether, I iđêan R với dim R/I = 2, M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ cho Supp HId−2 (M ) ⊆ {m} Khi đó, với iđêan J R mà I ⊆ J ⊆ m dim R/J ≤ 1, ta ln có R-mơđun ExtjR (R/J, HId−1 (M )) hữu hạn sinh với j ≥ Chứng minh được: Cho (R/m) vành địa phương Noether, I iđêan R với dim R/I = M R-môđun hữu hạn sinh có chiều d ≥ 2, cho dim HId−2 (M ) ≤ Khi R-mơđun ExtjR (R/m, HId−1 (M )) hữu hạn sinh với j ≥ Đặc biệt, số Bass R-môđun HId−1 (M ) hữu hạn Chứng minh được: Cho (R, m) miền địa phương Noether có chiều d ≤ 4, R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương Cho ≤ n ≤ x1 , , xn phần hệ tham số R Khi đó, với i ≥ 0, R-mơđun HIi (R) I -cofinite, I = (x1 , , xn ) Chứng minh được: Cho (R, m) vành địa phương Noether có số chiều d x1 , , xn phần hệ tham số R Khi t t (R)) = (R)) = Đặc biệt, ta có µd−t (m, H(x Hmd−t (H(x , ,xn ) , ,xn ) 31 Tài liệu tham khảo [1] R Abazari and K Bahmanpour (2011), Cofiniteness of extension functors of confinite modules, J Algebra 330, pp 507-516 [2] I Bagheriyeh, J A’zami and K Bahmanpour (2012), Generalization of the Lichtenbaum-Hartshorne vanishing theorem, Com Algebra 40 , pp 134-137 [3] I Bagheriyeh, K Bahmanpour and J A’zami (2014), Cofiniteness and non-vanishing of local cohomology modules, Journal of Commutative Algebra, Vol (3), pp 305-321 [4] K Bahmanpour and R Naghipour (2009), Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension, J Algebra 321, pp 19972011 [5] M P Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, Cambridge [6] D Delfino and T Marley (1997), Cofinite modules and local cohomology, J Pure Appl Alg., Vol 121, pp 45-52 [7] A Grothendieck (1966), Local cohomology, Lect Notes Math 862, Springer, New York [8] R Hartshorne (1970), Affine duality anh confiniteness, Inv Math 9, pp 145-164 [9] C Huneke (1992), Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry, Res Notes Math , pp 93-108 [10] K I Kawasaki (1996), On the finiteness of Bass number of local cohomology modules, Proc Amer Math Soc 124, pp 3275-3279 [11] R Lu and Z Tang (2001), The f-depth of an ideal on a module, Proc Amer Math Soc 130 , pp 1905-1912 [12] T Marley (1995), Finitely graded local cohomology and depths of graded algebra, Proc Amer Soc 123, pp 3601-3067 [13] T Marley (2001), The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension, Manuscr Math 104 pp 519-525 [14] T Marley and J.C Vassilev (2002), Cofiniteness and associated primes of local cohomology modules, J Algebra 256, pp 180-193 [15] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, UK [16] L Melkersson (1990), On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the power of an ideal, Math Proc Cambr Phil Soc 107, pp 267-271 [17] L Melkersson (1990), Properties of confinite modules and application to local cohomology, Math Proc Cambr Phil Soc 125 , pp 417-423 [18] T Melkersson (2005), Module cofinite with respect to an ideal, J Algebra, Vol 285, pp 649-668 [19] P Schenzel (2003), Proregular sequences, local cohomology, and completion, Math Scand 92, pp 161-180 [20] K I Yoshida (1997), Cofiniteness of local cohomology modules for idealof dimension one, Nagoya Math J, 147, pp 179-191 33 ... I -cofinite 13 Về tính chất cofinite tính chất không triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương 14 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương vành đầy đủ 14 2.2 Môđun đối đồng. .. p -cofinite; (ii) Hmt−1 (M ) Artin; (iii) (Hpt−1 (M ))p = 13 Chương Về tính chất cofinite tính chất khơng triệt tiêu mơđun đối đồng điều địa phương Chương trình bày tính chất cofinite mơđun đối. .. lại mục tài liệu tham khảo 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương vành đầy đủ Trong mục này, ta nghiên cứu tính chất hữu hạn mơđun đối đồng điều địa phương vành địa phương Noether đầy đủ Trước tiên