Hằ hai ma trên ối xựng thỹc
Tẵnh SDC v tẵnh giao hoĂn cừa hằ hai ma trên èi xùng thüc
Mằnh ã 2.1 Cho A, B ∈ R nìn l hai ma trên ối xựng.
(i) Náu A = I n thẳ hằ {I n , B} luổn ch²o hõa ỗng thới ữủc.
Vợi A l ma trên ối xựng tũy ỵ, hằ {A, B} l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới (SDC) khi v ch¿ khi tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P ∈ R nìn sao cho P T AP v P T BP giao ho¡n nhau.
Chựng minh (i) Do B l ma trên ối xựng nản B ch²o hõa trỹc giao ữủc Tực l , tỗn tÔi ma trên trỹc giao P tực l P ∈ R nìn , P T P = I n sao cho P T BP = D = diag(d 1 , , d n ).
Vêy {I n , B} l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði ma trên P Theo giÊ thiát, A˜= P T AP và B˜ = P T BP, từ đó suy ra A˜B˜ = ˜BA˜ Vẳ A˜ l ma trên ối xựng nản tỗn tÔi ma trên trỹc giao U sao cho.
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ D A ˜ = diag(α 1 I n 1 , , α k I n k ) vợi α i 6 α j ∈ R,∀i 6= j v n 1 + +n k = n.
Do A˜B˜ = ˜BA˜ nản A˜˜ = U T AU˜ v B˜˜ = U T BU˜ giao hoĂn Thêt vêy, ˜˜
Suy ra B˜˜ = diag(B 1 , , B k ) theo Mằnh ã 1.1, trong õ B i = B i T ∈
Vợi mội i = 1, k, theo (i), hằ (In i , Bi) l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði mởt ma trên trỹc giao Q i ∈ R n i ìn i : Q i T Q i = I n i v B i Q i Λ i Q i T trong õ Λ i l ma trên ữớng ch²o °t Q = diag(Q 1 , , Q k ).
Q T BQ˜˜ = Q T U T BU Q˜ = Q T U T P T B(P U Q) = V T BV l cĂc ma trên ữớng ch²o Vêy hai ma trên A, B l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði ma trên V = P U Q.
Giá sỉ A, B cho hai họa tướng ông thới ửc Khi tồn tại ma trên khế nghạch P sao cho P T AP = DA và P T BP = DB thì hai ma trên ướng chào Do DADB = DBDA, nên DA và DB là giao hoán nhau Vậy P T AP và P T BP là giao hoán nhau.
2.1.2 Tẵnh SDC v tẵnh SDS cừa mởt hằ hai ma trên ối xựng thỹc
Mằnh ã 2.2 Cho 0 6= A, B ∈ R nìn l hai ma trên ối xựng cõ dim (kerA∩kerB) =k Khi â k < n Hìn núa,
(i) náu detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 2 thẳ {A, B} khổng l SDC.
(ii) náu tỗn tÔi λ ∈ R 2 sao cho detL(λ) 6= 0, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ detA 6= 0, thẳ {A, B} l SDC khi v ch¿ khi A −1 B l SDS.
(2) Vợi k > 1, khi õ tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho
, vợi A,˜ B˜ ∈ R (n−k)ì(n−k) ối xựng v dim ker ˜A∩ker ˜B = 0.
Hìn núa, A, B l SDC khi v ch¿ khi A,˜ B˜ l SDC.
Chùng minh Gi£ sû k = n Khi â dim (kerA∩kerB) =n Do dim (kerA∩kerB) 6 dim (kerA) = n−rankA nản rankA = 0 Do õ A = 0, mƠu thuăn Vêy k < n.
(i) GiÊ sỷ detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 2 v A, B l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho P T AP = DA v P T BP = DB l ma trên ữớng ch²o trong R nìn , vợi
D B = diag(β 1 , , β n ), trong â α i , β i ∈ R,∀i = 1, n Suy ra det (L(λ)) = det (λ 1 A+λ 2 B)
Do detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 2 nản a thực thỹc f(x 1 , x 2 ) n
Y i=1 qi(x1, x2), qi(x1, x2) = αix1 +βix2 ∈ R[x1, x2] l a thực khổng DoR[x 1 , x 2 ] l miãn nguyản nản tỗn tÔi i ∈ {1, , n} sao cho
Do â AP ~e i = 0; hay P ~e i ∈ kerA T÷ìng tü, P ~e i ∈ kerB Suy ra
P ~e i ∈ (kerA∩kerB), trong õ e~ i l cởt tồa ở cừa vec tỡ ỡn và thự i trong R n iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát 0 = k = dim (kerA∩kerB). Vêy A, B khổng SDC.
(⇒) GiÊ sỷ A, B l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho P T AP = D A v P T BP = D B l ma trên ữớng ch²o trong R nìn Suy ra
DB l ÷íng ch²o Do â A −1 B l SDS.
(⇐) GiÊ sỷ tỗn tÔi Q ∈ R nìn khÊ nghàch sao cho Q −1 A −1 BQ D ∈ R nìn l ma trên ữớng ch²o Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ
D = Q −1 A −1 BQ = Q −1 A −1 Q −T Q T BQ = Q T AQ −1 Q T BQ Suy ra
= D Q T AQ Theo Mằnh ã 1.1 ta cõ
Q T AQ = diag(A 1 , , A k ) vợi Ai ∈ R n i ìn i ối xựng, ∀i = 1, k Tứ õ,
Do A i = A i T ∀i = 1, k nản tỗn tÔi Q i ∈ R n i ìn i sao cho
Ai = Qi T ΛiQi, trong â Λi l ÷íng ch²o,vợi mồi i = 1, k Khi õ
Q˜ T Q T BQQ˜ = diag(α 1 Λ 1 , , α k Λ k ). Vêy A v B l SDC ữủc bði ma trên P = QQ˜.
(2) GiÊ sỷ (kerA∩kerB) = k > 0 Do R n l mởt khổng gian vec tỡ
Euclid nản ta cỡ thứ tự {~u1, , ~uk, ~uk+1, , ~un} mở một cỡ số trực chuẩn của R^n sao cho {~u1, , ~uk} là một cỡ số trực chuẩn của (kerA ∩ kerB) Đặt U = ([~u1]e, ,[~un]e) = (~u1, , ~un) là ma trận chuyển đổi từ cỡ số thứ tự (e) sang (u) Khi đó, U^T U = I_n, cho thấy tính chất của ma trận này.
> 0 thẳ tỗn tÔi 0 6= ~x˜ ∈ ker ˜A∩ker ˜B
Do â ~y ∈ (kerA∩kerB) Hìn núa, ∀j = 1, k, ta câ
Suy ra ~y ⊥ (kerA∩kerB) Tứ õ suy ra ~y = 0, mƠu thuăn Do õ dim ker ˜A∩ker ˜B = 0.
Dũng phƠn tẵch Polar ð Mằnh ã 1.7, ta cõ thảm mởt số iãu kiằn tữỡng ữỡng º mởt hồ hai ma trên ối xựng thỹc l SDC nhữ sau.
Mằnh ã 2.3 Cho A, B ∈ R nìn l hai ma trên ối xựng CĂc iãu kiằn sau l t÷ìng ÷ìng:
(i) {A, B} ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc.
(ii) Tỗn tÔi mởt ma trên xĂc ành dữỡng X sao cho
Trong trữớng hủp n y, náu chồn Q = √
X 0 nhữ trong Mằnh ã 1.8 thẳ mồi ma trên cõ dÔng P = U Q, vợi U l ma trên trỹc giao tũy ỵ, ãu l m ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới hai ma trên A v B.
Chứng minh rằng, theo Mằnh ã 2.1, A và B cho phép tồn tại một vector P thuộc R sao cho P^T AP và P^T BP giao hoán với nhau Điều này có thể được thực hiện thông qua việc sử dụng phân tách Polar cho P.
Khi õ X = Q 2 0 thọa mÂn iãu kiằn cừa Mằnh ã.
. p dửng Mằnh ã 2.2 ta kiºm tra sỹ tỗn tÔi cừa mởt ma trên X
Tứ hai phương trình Ưu suy ra x, z > 0 Kết hợp với phương trình cuối, ta có xz > y^2 = (−x−z)^2 = x^2 + z^2 + 2xz > 2xz, điều này chứng tỏ Vậy không thể tìm thấy mà trên xác định dưỡng n o thỏa mãn.
Theo Mằnh ã 2.2, hằ hai ma trên A v B Â cho khổng ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc. b) X²t A
Tẵnh SDC v tẵnh SDS cừa mởt hằ hai ma trên èi xùng thüc
x > 0, xt > y 2 ,detX >0, x = y = z = 0. iãu n y khổng thº xÊy ra Vêy A v B khổng SDC.
Hằ ba ma trên ối xựng thỹc
Tẵnh SDC v tẵnh giao hoĂn cừa hằ ba ma trên èi xùng thüc
Mằnh ã 2.4 Cho A, B, C ∈ R nìn l ba ma trên ối xựng.
(i) Náu A = I n thẳ hằ {I n , B, C} ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc khi v ch¿ khi tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho P T BP v P T CP giao ho¡n nhau.
Vợi A l ma trên ối xựng tũy ỵ, với {A, B, C} là các ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới (SDC) Điều kiện cần thiết là v ch¿ khi tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch, sao cho P T AP, P T BP, P T CP giao hoĂn vợi nhau tứng ổi mởt.
Chựng minh (i) Vợi A = I n , ta x²t hằ (I n , B, C).
(⇒) GiÊ sỷ hằ (I n , B, C) ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc Khi õ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P sao cho
P T I n P = I n , P T BP = D B v P T CP = D C l cĂc ma trên ữớng ch²o.
Do D B D C = D C D B nản D B v D C giao hoĂn nhau Hay P T BP v
Giá sỉ tồn tại trong khế nghịch P thể hiện mối quan hệ giữa P T BP và P T CP Theo Mành ã 2.1, B và C trao đổi hàng hóa tương ứng với nhau Do đó, tồn tại ma trên trục giao U để đảm bảo sự cân bằng trong giao dịch.
U T CU = D C , l cĂc ma trên ữớng ch²o Vêy hằ {I n , B, C} l SDC.
(ii) (⇒) °t A˜= P T AP, B˜ = P T BP, C˜ = P T CP Theo giÊ thiát, ta cõ A,˜ B,˜ C˜ ổi mởt giao hoĂn nhau Vẳ A˜ l ma trên ối xựng nản tỗn tÔi ma trên trỹc giao U sao cho
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ D A ˜ = diag(α 1 I n 1 , , α k I n k ) vợi α i 6 α j ∈ R,∀i 6= j v n 1 + +n k = n.
Do A˜B˜ = ˜BA˜ nản A˜˜ = U T AU˜ v B˜˜ = U T BU˜ giao hoĂn Thêt vêy, ˜˜
Tữỡng tỹ ta cụng cõ A˜C˜ = ˜CA˜ nản A˜˜ = U T AU˜ v C˜˜ = U T CU˜ giao ho¡n.
Theo Mằnh ã 1.1, suy raB˜˜ = diag(B 1 , , B k )v C˜˜ = diag(C 1 , , C k ) trong â B i = B i T ∈ R n i ×n i , C i = C i T ∈ R n i ×n i ,∀i = 1, k.
Hỡn nỳa, do B˜C˜ = ˜CB˜ nản B˜˜ v C˜˜ giao hoĂn nhau Do õ Bi v Ci giao ho¡n nhau ∀i = 1, k.
Vợi mội i = 1, k, theo (i), hằ (I n i , B i , C i ) l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði mởt ma trên trỹc giao Q i ∈ R n i ìn i : Q i T Q i = I n i , B i Q i Λ i Q i T v C i = Q i Γ i Q i T trong õ Λ i , Γ i l ma trên ữớng ch²o °t
Q = diag(Q 1 , , Q k ) Khi â Q T Q = diag(Q 1 T Q 1 , , Q k T Q k ) = I n Suy ra
Q T CQ˜˜ = Q T U T CU Q˜ = Q T U T P T C(P U Q) =V T CV l cĂc ma trên ữớng ch²o Vêy ba ma trên A, B, Cl ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði ma trên V = P U Q.
Tữỡng tỹ nhữ trữớng hủp hằ hai ma trên, dũng phƠn tẵch Polar cho ma trên khổng suy bián l m ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới hai ma trên, ta câ.
Mằnh ã 2.5 Ba ma trên ối xựng thỹc A, B, C ∈ R nìn l ch²o hõa ỗng thới ữủc khi v ch¿ khi tỗn tÔi mởt ma trên R nìn 3 X = X T 0 sao cho
AXB = BXA, BXC = CXB, CXA = AXC.
Chựng minh Theo Mằnh ã 2.4, {A, B, C} l SDC khi v ch¿ khi tỗn tÔi
P T AP, P T BP v P T CP (*) ổi mởt giao hoĂn nhau Gồi P = QU, U T U = I, Q T = Q 0, l mởt phƠn tẵch Polar cừa P Khi õ
P T AP = U T Q T AQU = U T (QAQ)U, v tữỡng tỹ cho cĂc ma trên P T BP, P T CP Tứ õ hằ ( * ) ổi mởt giao ho¡n nhau khi v ch¿ khi
QAQ, QBQ, QCQ ổi mởt giao hoĂn °t X = Q 2 = Q T Q Khi õ
AXB = BXA, AXC = CXA, BXC = CXB,
Tẵnh SDC v tẵnh SDS cừa mởt hằ ba ma trên ối xùng thüc
Mằnh ã 2.6 Cho A, B, C ∈ R nìn l ba ma trên ối xựng thọa mÂn dim (kerA∩ kerB ∩kerC) =k Khi â k < n Hìn núa,
(i) náu detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 3 thẳ A, B, C khổng SDC.
Để xác định ma trận L(λ) trong R^3, cần đảm bảo rằng detL(λ) khác 0 và không có tính tường quạt Nếu detA khác 0, thì tập hợp {A, B, C} là SDC khi và chỉ khi A^(-1)B và A^(-1)C là các chéo hạng tử trong R, đồng thời A^(-1)B và A^(-1)C cũng là SDS trong R^(n×n).
(2) Vợi k > 1, luổn tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho
,trong â A,˜ B,˜ C˜ ∈ R (n−k)×(n−k) l èi xùng v dim(ker ˜A ∩ ker ˜B ∩ ker ˜C) = 0.
Hìn núa, A, B, C l SDC khi v ch¿ khi A,˜ B,˜ C˜ l SDC.
Chùng minh Gi£ sû k = n Khi â dim (kerA∩kerB ∩kerC) = n Do dim (kerA∩kerB ∩kerC) 6 dim (kerA) = n−rankA. nản rankA = 0 Do õ A = 0, mƠu thuăn Vêy k 6 n−1.
(i) GiÊ sỷ thảm detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 3 v A, B, C l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho P T AP = D A , P T BP = D B v
D C = diag(γ 1 , , γ n ), trong â α i , β i , γ i ∈ R, ∀i = 1, n Suy ra detL(λ) = det(λ 1 A+ λ 2 B +λ 3 C)
Do detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 3 nản a thực thỹc sau Ơy l a thực khổng. f(x 1 , x 2 , x 3 ) n
Do R[x1, x2, x3] l miãn nguyản nản tỗn tÔi i sao cho
Hay (α i , β i , γ i ) = (0,0,0) Theo chứng minh Mình ở mục 2.3, ta có P ~e i ∈ (kerA∩kerB ∩kerC), trong đó e~ i là cơ sở tạo ở cửa vec tơ ớn và thực trong R n Điều này cho thấy 0 = k dim(kerA∩kerB∩kerC) Vậy A, B, C không SDC.
(⇒) GiÊ sỷ A, B, C l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên P khÊ nghàch sao cho P T AP = D A , P T BP = D B v P T CP = D C l cĂc ma trên ữớng ch²o.
P −1 A −1 CP = P −1 A −1 P −T P T CP = D A −1 D C l cĂc ma trên ữớng ch²o Do õ A −1 B v A −1 C l SDS Hỡn nỳa, hằ
(⇐) GiÊ sỷ tỗn tÔi Q khÊ nghàch sao choQ −1 A −1 BQ= D 1 ∈ R nìn v
Q −1 A −1 CQ = D 2 ∈ R nìn l cĂc ma trên ữớng ch²o Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ D 1 = diag(α 1 I n 1 , , α k I n k ) vợi α i 6= α j ∈ R,∀i 6= j v n1 + .+nk = n Khi â
= D 1 Q T AQ Theo Mằnh ã 1.1 ta cõ
Q T AQ = diag(A 1 , , A k ), vợi A k ∈ R n i ìn i ối xựng, ∀i = 1, k.
D 2 = Q −1 A −1 CQ = Q −1 A −1 Q −T Q T CQ = Q T AQ −1 Q T CQ Suy ra
Do õ theo Mằnh ã 1.1 ta cõ D 2 = diag (β 1 I n 1 , , β k I n k ) vợi β i 6 β j ,∀i 6= j v n 1 + +n k = n Suy ra
Do A i = A i T nản tỗn tÔi Q i ∈ R n i ìn i sao cho
Ai = Qi T ΛiQi, trong â Λi l ÷íng ch²o, vợi mồi i = 1, k Khi õ
Vêy A, B v C l SDC ữủc bợi ma trên P = QQ˜.
Giá sỉ (kerA∩kerB∩kerC) = k > 0 Trong không gian véc tơ Euclid R^n, tồn tại một cơ sở chuẩn {~u1, ~u2, , ~uk, ~uk+1, , ~un} với kích thước chuẩn, trong đó {~u1, ~u2, , ~uk} là một cơ sở chuẩn.
(kerA∩kerB ∩kerC) °t U = ([~u 1 ] e , ,[~u n ] e ) = (~u 1 , , ~u n ) l ma trên ời cỡ sð tứ (e) sang (u) Khi õ U T U = In Hỡn nỳa,
Náu dim ker ˜A∩ker ˜B ∩ker ˜C > 0 thẳ tỗn tÔi
Do â ~y ∈ (kerA∩kerB ∩kerC) Hìn núa ∀j = 1, k, ta câ
Suy ra ~y ⊥ (kerA∩kerB ∩kerC) Tứ õ suy ra ~y = 0, vổ lỵ Do õ dim ker ˜A∩ker ˜B ∩ker ˜C = 0.
Hỡn nỳa, A, B, C l SDC khi v ch¿ khi A,˜ B,˜ C˜ l SDC Thêt vƠy,
méi A˜ −1 B, A˜ −1 C l SDS trong R n×n , hằ nA˜ −1 B, A˜ −1 Co l SDS trong R nìn
P T AP −1 P T BP , P T AP −1 P T CP l SDS, hằ n P T AP −1 P T BP , P T AP −1 P T CP o l SDS.
P −1 A −1 BP, P −1 A −1 CP l SDS, hằ P −1 A −1 BP, P −1 A −1 CP l SDS.
méi A −1 B, A −1 C l SDS trong R n×n , hằ A −1 B, A −1 C l SDS trong R nìn
Hằ hai ma trên Hermit
3.1.1 Tẵnh SDC v tẵnh giao hoĂn cừa hằ hai ma trên Hermit
Mằnh ã 3.1 Cho A, B ∈ C nìn l hai ma trên Hermit.
(i) Náu A = I n thẳ hằ {I n , B} luổn ch²o hõa ỗng thới ữủc.
Với A và B trên Hermit, tồn tại một ma trận P thuộc C sao cho P nhân A và P nhân B giao hoán với nhau.
Chựng minh (i) DoB l ma trên Hermit nảnB ch²o hõa trỹc giao ữủc. Tực l , tỗn tÔi ma trên unita P sao cho
(ii) (⇐) °t A˜= P H AP , B˜ = P H BP Theo giÊ thiát, A˜B˜ = ˜BA˜. Vẳ A˜ l ma trên Hermit nản tỗn tÔi ma trên unita U sao cho
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ DA ˜ = diag(α 1 I n 1 , , α k I n k ) vợi α i 6 α j ,∀i 6= j v n 1 + .+n k = n
Do A˜B˜ = ˜BA˜ nản A˜˜ = U H AU˜ v B˜˜ = U H BU˜ giao hoĂn Thêt vêy, ta câ ˜˜
Suy ra B˜˜ = diag(B1, , Bk), với mỗi Bi = Bi H ∈ C n i ×n i cho mọi i = 1, k Đối với mỗi i = 1, k, tồn tại (In i , Bi) là một phép biến đổi tương ứng, trong đó Q i ∈ C n i có Q i H Q i = I n i và B i = Q i Λ i Q i H, với Λ i là ma trận chéo Do đó, Q = diag(Q 1 , , Q k ).
Vêy hai ma trên A, B l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði ma trên V = P U Q.
Giá sỉ A, B cho hỏa tưởng ông thống thuyết Khi tồn tại ma trên không gian P ∈ C, ta có P H AP = DA và P H BP = DB, hai ma trên hướng cho Do DA DB = DB DA, nên DA và DB là giao hoán Hay P H AP và P H BP là giao hoán Đối với ma trên Hermit, ta cũng có phân tách Polar tưởng tỹ như ma trên đối xứng thực Do đó, ta có kết quả sau đây.
Mằnh ã 3.2 Hai ma trên Hermit A, B ∈ H n l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc khi v ch¿ khi cõ mởt ma trên nỷa xĂc ành dữỡngX ∈ H n thọa mÂn
Chứng minh rằng theo Mành ã 3.1, A và B là hai yếu tố hòa tướng đồng thời với điều kiện khi có ma trận trên không suy biến P ∈ C sao cho P H AP và P H BP giao hoán với nhau Để thực hiện điều này, ta sử dụng phân tách Polar cho P.
Khi õ X = Q 2 0 thọa mÂn iãu kiằn cừa Mằnh ã.
3.1.2 Tẵnh SDC v tẵnh SDS cừa mởt hằ hai ma trên Hermit
Mằnh ã 3.3 Cho A, B ∈ C nìn l hai ma trên Hermit thọa mÂn dim(kerA∩ kerB) = k Khi â k < n Hìn núa,
(i) náu detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 2 thẳ A, B khổng SDC.
(ii) náu tỗn tÔi λ ∈ R 2 sao cho detL(λ) 6= 0, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ detA 6= 0, thẳ {A, B} l SDC khi v ch¿ khi A −1 B tữỡng ữỡng vợi ma trên ữớng ch²o thỹc.
(2) Vợi k > 1, khi õ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P ∈ C nìn sao cho
, vợi A,˜ B˜ ∈ R (n−k)ì(n−k) l Hermit v dim ker ˜A∩ker ˜B = 0.
Hìn núa, A, B l SDC khi v ch¿ khi A,˜ B˜ l SDC.
Chựng minh Tữỡng tỹ nhữ chựng minh Mằnh ã 2.2 ta cõ k < n.
(i) GiÊ sỷ detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 2 v A, B l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P ∈ C nìn sao cho P H AP = D A v P H BP = D B l ma trên ữớng ch²o, vợi
Chú ỵ rơng D A H = P H AP H = P H A H P = P H AP = D A , v tữỡng tỹ
D B H = D B nản α i , β i ∈ R,∀i = 1, n Suy ra det (L(λ)) = det (λ 1 A+λ 2 B)
(λ1αi+λ2βi) l mởt a thực vợi hằ số thỹc Hỡn nỳa, theo giÊ thiát, do detL(λ) 0,∀λ ∈ R 2 nản a thực f(x 1 , x 2 ) n
(x 1 α i +x 2 β i ) l a thực khổng Do R[x 1 , x 2 ] l miãn nguyản nản tỗn tÔi i sao cho q i (x 1 , x 2 ) := α i x 1 +β i x 2 l a thực khổng Nõi cĂch khĂc (αi, βi) = (0,0) Suy ra
Do â AP ~e i = 0; hay P ~e i ∈ kerA T÷ìng tü, P ~e i ∈ kerB Suy ra
P ~e i ∈ (kerA∩kerB), trong õ e~ i l cởt tồa ở cừa vec tỡ ỡn và thự i trong R n iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát 0 = k = dim (kerA∩kerB). Vêy A, B khổng SDC.
(⇒) GiÊ sỷA, B l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P ∈ C nìn sao cho P H AP = D A v P H BP = D B l ma trên ữớng ch²o Chú ỵ rơng D A v D B l cĂc ma trên thỹc Khi õ
P −1 A −1 BP = P −1 A −1 P −H P H BP = D A −1 D B l ma trên ữớng ch²o Do õ A −1 B l SDS v A −1 B l tữỡng ữỡng vợi ma trên ữớng ch²o thỹc D A −1 D B
(⇐) GiÊ sỷ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch Q sao cho Q −1 A −1 BQ D ∈ R nìn l ma trên ữớng ch²o Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ
= D Q H AQ Theo Mằnh ã 1.1 ta cõ
Q H AQ = diag(A 1 , , A k ) vợi A k ∈ C n i ìn i l Hermit, ∀i = 1, k Suy ra
Do A i = A i H nản tỗn tÔi Q i ∈ C n i ìn i sao cho
A i = Q i H Λ i Q i , trong â Λ i l ÷íng ch²o , vợi mồi i = 1, k Khi õ
Vêy A v B l SDC ữủc bði ma trên P = QQ˜.
Giá trị của không gian con (kerA ∩ kerB) là k > 0, cho phép chúng ta xác định một không gian vector Euclid R^n Trong không gian này, có thể chọn một cơ sở {~u1, , ~uk, ~uk+1, , ~un} sao cho {~u1, , ~uk} là một cơ sở của không gian con (kerA ∩ kerB) Biểu diễn của cơ sở này dưới dạng ma trận là U = ([~u1]e, , [~un]e) = (~u1, , ~un), cho thấy sự chuyển đổi từ cơ sở này sang cơ sở chuẩn (e).
Náu dim ker ˜A∩ker ˜B > 0 thẳ tỗn tÔi 0 6= ~x˜ ∈ ker ˜A∩ker ˜B ⊆
Do â ~y ∈ (kerA∩kerB) Hìn núa, ∀j = 1, k, ta câ
Suy ra ~y ⊥ (kerA∩kerB) Tứ õ suy ra ~y = 0, mƠu thuăn Do õ dim ker ˜A∩ker ˜B = 0.
Hằ ba ma trên Hermit
3.2.1 Tẵnh SDC v tẵnh giao hoĂn cừa mởt hằ ba ma trên Hermit
Mằnh ã 3.4 Cho A, B, C ∈ C nìn l ba ma trên Hermit.
(i) Náu A = In thẳ hằ {I n , B, C} ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc khi v ch¿ khi tỗn tÔi ma trên unita P sao cho P H BP v P H CP giao ho¡n nhau.
(ii) Vợi A l ma trên Hermit , hằ {A, B, C} l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc khi v ch¿ khi tỗn tÔi ma trên unita P sao cho P H AP,
P H BP, P H CP ổi mởt giao hoĂn nhau.
Chựng minh (i) Vợi A = I n , ta x²t hằ (I n , B, C).
(⇒) GiÊ sỷ hằ (In, B, C) ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc Khi õ tỗn tÔi ma trên unita P sao cho
P H I n P = I n , P H BP = D B v P H CP = D C l cĂc ma trên ữớng ch²o.
Do D B D C = D C D B nản D B v D C giao hoĂn nhau Hay P H BP v
Giá sỉ tồn tại ma trên unita P thể hiện mối quan hệ giao hoán giữa P H BP và P H CP Theo Mành ã 3.1, B và C cho thấy sự tương ứng rõ ràng với nhau Do đó, tồn tại ma trên unita U là điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính xác trong các phép toán.
U H CU = D C , l cĂc ma trên ữớng ch²o Vêy hằ {I n , B, C} l SDC.
(ii) (⇒) °t A˜ = P H AP, B˜ = P H BP, C˜ = P H CP Theo giÊ thiát, ta cõ A,˜ B,˜ C˜ ổi mởt giao hoĂn nhau Vẳ A˜ l ma trên Hermit nản tỗn tÔi ma trên unita U sao cho
Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ DA ˜ = diag(α 1 I n 1 , , α k I n k ) vợi α i 6 α j ∈ R,∀i 6= j v n 1 + +n k = n.
Do A˜B˜ = ˜BA˜ nản A˜˜ = U H AU˜ v B˜˜ = U H BU˜ giao hoĂn Thêt vêy, ˜˜
Tữỡng tỹ ta cụng cõ A˜C˜ = ˜CA˜ nản A˜˜ = U H AU˜ v C˜˜ = U H CU˜ giao ho¡n.
Theo Mằnh ã 1.1, suy raB˜˜ = diag(B 1 , , B k )v C˜˜ = diag(C 1 , , C k ) trong â Bi = Bi H ∈ R n i ×n i , Ci = Ci H ∈ R n i ×n i ,∀i = 1, k.
Hỡn nỳa, do B˜C˜ = ˜CB˜ nản B˜˜ v C˜˜ giao hoĂn nhau Do õ B i v C i giao ho¡n nhau ∀i = 1, k.
Vợi mội i = 1, k, theo (i), hằ (I n i , B i , C i ) l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði mởt ma trên trỹc giao Q i ∈ R n i ìn i : Q i H Q i = I n i , B i Q i Λ i Q i H v C i = Q i Γ i Q i H trong õ Λ i , Γ i l ma trên ữớng ch²o °t
Q H CQ˜˜ = Q H U H CU Q˜ = Q H U H P H C(P U Q) = V H CV l cĂc ma trên ữớng ch²o Vêy ba ma trên A, B, C l ch²o hõa tữỡng ¯ng ỗng thới ữủc bði ma trên V = P U Q.
3.2.2 Tẵnh SDC v tẵnh SDS cừa hằ ba ma trên Hermit
Mằnh ã 3.5 Cho A, B, C ∈ C nìn l ba ma trên Hermit thọa mÂn dim (kerA∩kerB ∩kerC) = k Khi â k < n Hìn núa,
(i) náu detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 3 thẳ A, B, C khổng SDC.
Để xác định tính đồng nhất của tập hợp {A, B, C} trong không gian R³, cần có điều kiện là định thức detL(λ) khác 0 và định thức detA cũng khác 0 Khi đó, A^{-1}B và A^{-1}C sẽ tương ứng với các ma trận mở rộng trên đường chéo, đồng thời A^{-1}B và A^{-1}C sẽ là các ma trận SDS trong không gian R^{n×n}.
(2) Vợi k > 1, khi õ tỗn tÔi ma trên unita P sao cho
, vợi A,˜ B,˜ C˜ ∈ C (n−k)ì(n−k) l Hermit v dim ker ˜A∩ker ˜B ∩ker ˜C
Hìn núa, A, B, C l SDC khi v ch¿ khi A,˜ B,˜ C˜ l SDC.
Chựng minh Tữỡng tỹ nhữ chựng minh Mằnh ã 2.6 ta cõ k < n.
(i) GiÊ sỷ thảm detL(λ) = 0,∀λ ∈ R 3 v A, B, C l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P ∈ C nìn sao cho P H AP = D A , P H BP = D B v P H CP = DC l ma trên ữớng ch²o, vợi
Chú ỵ rơng D A H = P H AP H = P H A H P = P H AP = D A , v tữỡng tỹ
D B H = D B , D C H = D C nản α i , β i , γ i ∈ R,∀i = 1, n Suy ra detL(λ) = det(λ 1 A+λ 2 B +λ 3 C)
(λ 1 α i + λ 2 β i +λ 3 γ i ) l mởt a thực vợi hằ số thỹc Hỡn nỳa, theo giÊ thiát, do detL(λ) 0,∀λ ∈ R 3 nản a thực f(x 1 , x 2 , x 3 ) n
Do R[x 1 , x 2 , x 3 ] l miãn nguyản nản tỗn tÔi i sao cho q i (x 1 , x 2 , x 3 ) := α i x 1 +β i x 2 +γ i x 3 l a thực khổng.
Hay(αi, βi, γi) = (0,0,0) Suy raP ~ei ∈ (kerA∩kerB ∩kerC), trong â
~ e i l cởt tồa ở cừa vec tỡ ỡn và thự i trong R n iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát 0 = k = dim (kerA∩kerB ∩kerC) Vêy A, B, C khổng SDC. (ii) Gi£ sû detA 6= 0.
(⇒) GiÊ sỷ A, B, C l SDC Khi õ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch P ∈
C nìn sao cho P H AP = D A , P H BP = D B v P H CP = D C l ma trên ữớng ch²o Chú ỵ rơng DA, DB v DC l cĂc ma trên thỹc Suy ra
P −1 A −1 CP = P −1 A −1 P −H P H CP = D A −1 D C l cĂc ma trên ữớng ch²o Do õ mội A −1 B, A −1 C l SDS v lƯn lữủt tữỡng ữỡng vợi ma trên ữớng ch²o thỹc D A −1 D B , D A −1 D C Hỡn nỳa, hằ A −1 B, A −1 C l SDS trong R nìn
(⇐) GiÊ sỷ tỗn tÔi ma trên khÊ nghàch Q sao cho Q −1 A −1 BQ= D 1 ∈
R nìn v Q −1 A −1 CQ = D 2 ∈ R nìn l ữớng ch²o Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ D 1 = diag(α 1 I n 1 , , α k I n k ) vợi α i 6= α j ∈ R,∀i 6= j v n1 + +nk = n Khi â
D 1 = Q −1 A −1 BQ= Q −1 A −1 Q −H Q H BQ= Q H AQ −1 Q H BQ Suy ra
= D 1 Q H AQ Theo Mằnh ã 1.1, ta cõ
Q H AQ = diag(A 1 , , A k ) vợi Ak ∈ C n i ìn i Hermit, ∀i = 1, k.
D 2 = Q −1 A −1 CQ = Q −1 A −1 Q −H Q H CQ = Q H AQ −1 Q H CQ Suy ra
Do õ theo Mằnh ã 1.1 ta cõ D 2 = diag (β 1 I n 1 , , β k I n k ) vợi β i 6 βj,∀i 6= j v n1 + +nk = n Suy ra
Do A i = A i H nản tỗn tÔi Q i ∈ C n i ìn i sao cho
A i = Q i H Λ i Q i , trong â Λ i l ÷íng ch²o, vợi mồi i = 1, k Khi õ
Vêy A, B v C l SDC ữủc bợi ma trên P = QQ˜.
Giá trị của giê sỷ (kerA∩kerB∩kerC) được xác định là k > 0 Trong không gian vectơ Euclid n, ta có tập hợp {~u 1, , ~u k, ~u k+1, , ~u n} là một cơ sở chuẩn của (kerA∩kerB∩kerC) Đặt U = ([~u 1] e, ,[~u n] e) = (~u 1, , ~u n) là ma trận chuyển đổi từ cơ sở chuẩn (e) sang (u) Khi đó, U H U = I n, cho thấy mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian này.
Náu dim ker ˜A∩ker ˜B ∩ker ˜C
Do â ~y ∈ (kerA∩kerB ∩kerC) Hìn núa, ∀j = 1, k, ta câ
Suy ra ~y ⊥ (kerA∩kerB ∩kerC) Tứ õ suy ra ~y = 0, mƠu thuăn Do â dim ker ˜A∩ker ˜B ∩ker ˜C = 0.
Hỡn nỳa, A, B, C l SDC khi v ch¿ khi A,˜ B,˜ C˜ l SDC Thêt vƠy,
méi A˜ −1 B, A˜ −1 C l SDS trong R n×n hằ nA˜ −1 B, A˜ −1 Co l SDS trong R nìn
P H AP −1 P H BP , P H AP −1 P H CP l SDS hằ n P H AP −1 P H BP , P H AP −1 P H CP o l SDS
P −1 A −1 BP, P −1 A −1 CP l SDS hằ P −1 A −1 BP, P −1 A −1 CP l SDS
méi A −1 B, A −1 C l SDS trong R n×n hằ A −1 B, A −1 C l SDS trong R nìn
Mằnh ã 3.6 Hằ ba ma trên Hermit A, B, C ∈ H n l SDC khi v ch¿ khi tỗn tÔi mởt ma trên xĂc ành dữỡng X thọa mÂn
AXB = BXA, BXC = CXB, CXA = AXC.
Chựng minh Theo Mằnh ã 3.2, {A, B, C} l SDC khi v ch¿ khi tỗn tÔi
P H AP, P H BP v P H CP (**) ổi mởt giao hoĂn nhau Gồi P = QU, U H U = I, Q H = Q 0, l mởt phƠn tẵch Polar cừa P Khi õ
P H AP = U H Q H AQU = U H (QAQ)U, v tữỡng tỹ cho cĂc ma trên P H BP, P H CP Tứ õ hằ ( ** ) ổi mởt giao ho¡n nhau khi v ch¿ khi
QAQ, QBQ, QCQ ổi mởt giao hoĂn nhau °t X = Q 2 = Q H Q Khi õ
AXB = BXA, AXC = CXA, BXC = CXB,
Trong luên vôn n y chúng tổi  Ôt ữủc mởt số kát quÊ sau:
Trình bày một số điều kiện cần để mở một hàm hai hoặc ba biến trên đối tượng thực là chào hóa tướng ứng đồng thời Cụ thể: (a) Điều kiện cần để mở một hàm hai biến trên đối tượng là chào hóa tướng ứng đồng thời thông qua điều kiện chào hóa tướng ứng (đồng dòng); (b) Điều kiện cần để mở một hàm hai biến trên đối tượng là chào hóa tướng ứng đồng thời thông qua thứ tự xác định; (c) Điều kiện cần để mở một hàm ba biến trên đối tượng là chào hóa tướng ứng đồng thời thông qua điều kiện chào hóa tướng ứng (đồng dòng); (d) Điều kiện cần để mở một hàm ba biến trên đối tượng là chào hóa tướng ứng đồng thời thông qua thứ tự xác định.
(2) Trẳnh b y kát quÊ tữỡng tỹ nhữ trản Ơy cho hằ hai (xem cĂc Mằnh ã 3.1, 3.2 v 3.3) v ba (xem cĂc Mằnh ã 3.4, 3.5 v 3.6) ma trênHermit.