TÀI LIỆU DẠY THÊM TOÁN 9 KÌ 1 - FULL LỜI GIẢI

Các dạng toán

Chú ý Rất nhiều học sinh nhầm lẫn công thức

Cần chú ý rằng√ a 2 =|a|, do đóp

Tính giá trị của các biểu thức sau

Ví dụ 3 Trong các sốp

3 2 số nào là căn bậc hai số học của9.

3 2 là căn bậc hai số học của9.

3. Vậy tập nghiệm của phương trình là

Vậy tập nghiệm của phương trình3 là

Trường THPT Nguy ễn Tất Thành – Gia Lai

Chúng ta đã tìm hiểu cách sử dụng khái niệm căn bậc hai để giải phương trình, đặc biệt là với dạng x² = a² Để áp dụng hiệu quả, có thể cần biến đổi phương trình hoặc sử dụng hằng đẳng thức, như trong ví dụ x² = 16.

Ví dụ tiếp theo sẽ nâng mức tiếp cận cho chúng ta.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

3© a) Đặtt = |2x−1| ≥ 0, ta có phương trình t 2 −t= 0 t(t−1) = 0 t= 0hoặct= 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Tìm giá trị củax, biết x 2 0.

Chú ý Vớia >0ta có x 2 < a 2 ⇔ −a < x < a. a) x 2 > a 2 ⇔ ủx > a x 4 2 ⇔x >4) hoặc thừa (x 2 0

⇔(3x+a) 2 >−8(luôn đúng). Vậy ta có điều chứng minh. d)

Baõi tờồp 5.Tỡm giỏ trị củax, biết x 2 ≥25;x 2 0 ⇔ x >−2 Vậy vớix > −2thì A có nghĩa. a) ĐểB có nghĩa, điều kiện là ®2x+ 1≥0 3x 2 −5x+ 26= 0 ⇔

Tìm các giá trị củaxđể biểu thức sau có nghĩa

Lời giải ĐểAcó nghĩa, điều kiện làx 2 −36≥0⇔x 2 ≥6 2 ⇔ |x| ≥6.

Vậy, với|x| ≥6thìAcó nghĩa. a) ĐểB có nghĩa, điều kiện là x 2 −4x+3≥0⇔x 2 −4x+4≥1⇔(x−2) 2 ≥1⇔ |x−2| ≥1⇔ ủx−2≥1 x−2≤ −1 ⇔ ủx≥3 x≤1. Vậy, vớix≥3hoặcx≤1thìB có nghĩa. b)

Trường THPT Nguy ễn Tất Thành – Gia Lai Để Ccó nghĩa, điều kiện là 2−x x−3 ≥0 Ta lập bảng xét dấu, dựa trên

Dạng 2.3 Sử dụng hằng đẳng thức √

Ví dụ 3 Chứng minh rằng ằ x+ 2√ x−1 + ằ x−2√ x−1 (2√ x−1nếux≥2

Vậy ta đã chứng minh đượcp x+ 2√ x−1 +p x−2√ x−1 (2√ x−1nếux≥2

Ví dụ 4 Cho biểu thức A√9x 2 −6x+ 1 9x 2 −1 Tìm tập xác định củaA. a) b) Rút gọn biểu thứcA.

Tính giá trị củaA tạix= 1. c) Tìm giá trị củaxđểA= 1

Lời giải Điều kiện để biểu thứcAcó nghĩa ®9x 2 −6x+ 1≥0 9x 2 −16= 0 ⇔ ®(3x−1) 2 ≥0 (3x−1)(3x+ 1)6= 0 ⇔x6=±1

3, ta có hai trường hợp:

Chú ý Ở câu này ta có thể làm cách khác nhanh hơn nhờ việc đánh giá được:|3x−1|>0(Tập xác định:x6=±1

Chứng minh bất đẳng thức√ a 2 +√ b 2 ≥p

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Xét bất đẳng thức, vì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được a 2 +b 2 + 2√ a 2 ã√ b 2 ≥(a+b) 2 ⇔2|ab| ≥2ab,luôn đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh và dấu “=” xảy ra khi ab≥ 0, tức là khi avàb cùng dấu. a)

Vậy ta được minA= 1, đạt được khi

Chú ý rằng trong câu a), chúng ta đã áp dụng phép bình phương để khử căn, từ đó dẫn đến một bất đẳng thức đúng Ngoài ra, có thể chứng minh điều này thông qua các biến đổi khác.

Ta thấy ngay đẳng thức trên luôn đúng (vì đã được chứng minh trong phần bất đẳng thức chứa dấu trị tuyệt đối).

Dạng 2.4 Giải phương trình - Bất phương trình

Ta biến đổi về dạng

" x= 8 nếux≥ −1 x=−10 nếux 0 ⇔ ủx >2 x 0(đúng∀x∈R) Vậy tập xác địnhD =R. d)

Baõi tờồp 12.Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:

Hướng dẫn giải Điều kiện xác định:x 2 −36= 0⇔x6=±√

Ta xét hai trường hợp:

Baõi tờồp 13.Giải cỏc phương trỡnh sau: px+ 2√ x+ 1 = 3; a) √

Biến đổi tương đương về dạng ằ x+ 2√ x+ 1 = 3⇔ |√ x+ 1|= 3 ⇔√ x+ 1 = 3⇔√ x= 2 ⇔x= 4.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 4. a)

Biến đổi tương đương về dạng ằ (2x−1) 2 = 1−2x⇔ |2x−1|= 1−2x⇔1−2x≤0⇔x≥ 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x≥ 1

Biến đổi tương đương về dạng q √ x−12

=√ x−1⇔ |√ x−1|=√ x−1⇔√ x−1≥0⇔√ x≥1⇔x≥1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x≥1. c)

Biến đổi tương đương về dạng

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x≥3. d)

Baõi tờồp 14.Cho biểu thứcA= 6x−1 +√ x 2 −4x+ 4.

Tính giá trị biểu thứcAvớix= 5; b)

Tìm giá trị củaxđể biểu thứcA= 1. c)

Hướng dẫn giải Điều kiện xác định:x 2 −4x+ 4≥0⇔(x−2) 2 ≥0(đúng ∀x∈R).

Ta xét hai trường hợp:

Vớix= 5, ta cúA = 7ã5−3 = 32. b) Để A= 1, ta có

TH2: Vớix 0, hai vế luôn dương nên bình phương hai vế của bất đẳng thức ta được

Baõi tờồp 27.Choa ≥1 Chứng minh rằng √ a−10luôn có:√ a−b > √ a−√ b. b)

Hai vế của bất đẳng thức không âm nên bình phương hai vế, ta được:

Cách tiếp cận bất đẳng thức trong ví dụ trên cho phép chúng ta hiểu rõ hơn trước khi tiến hành chứng minh Ngược lại, nếu chúng ta sử dụng bất đẳng thức để đưa ra đánh giá, điều này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc so sánh các giá trị liên quan.

√x−1 Tìm điều kiện để biểu thức Acó nghĩa. a)

Tính giá trị của biểu thứcAkhi x= 53

Lời giải Điều kiện để biểu thứcAcó nghĩa:

Vậy, tập xác định của Alàx >1. a)

Trước hết, ta đi đơn giản biểu thức với giá trị củax, bằng cách: x= 53

Trong lời giải câu b), ở bước biến đổi thứ hai, ta bỏ được dấu trị tuyệt đối do điều kiện x >1đã xác định ở câu a).

Để đạt được kết quả A = 7 trong lời giải câu c), chúng ta cần thực hiện hai bước quan trọng: đầu tiên, đơn giản hóa biểu thức giá trị của x bằng cách nhân cả tử và mẫu với 9 + 2√.

Phép nhân liên hợp là bản chất của việc làm này, và chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết trong chủ đề tiếp theo Để đơn giản hóa biểu thức giá trị của A, ta sẽ tách 8 + 2√.

7 + 1 để nhận được một nhị thức bình phương, từ đó khử được căn thức.

Ví dụ 7 Cho hai biểu thứcA…x−1 x−3 vàB √x−1

Với giá trị nào củaxthìA=B? c)

Với giá trị nào củaxthì chỉAcó nghĩa, cònB không có nghĩa? d)

Lời giải ĐểAcó nghĩa điều kiện là x−1 x−3 ≥0.

Ta lập bản xét dấu, dựa trên:x−1 = 0 ⇔x= 1;x−3 = 0⇔x= 3như sau: x x−1 x−3 x−1 x−3

Từ đó, suy ra: x−1 x−3 ≥0⇔x≤1hoặcx >3.

Vậy, vớix≤1hoặcx >3thìAcó nghĩa. a) ĐểB có nghĩa điều kiện là: ®x−1≥0 x−3>0 ⇔ ®x≥1 x >3 ⇔x >3.

Vậy, vớix >3thìB có nghĩa. b) Để cóA=B, tức là:

Ta có ngay vớix≤1thì chỉ cóAcó nghĩa, còn B không có nghĩa. d)

Bài tập tự luyện

Baõi tờồp 35.Thực hiện phộp tớnh:

Baõi tờồp 36.Rỳt gọn biểu thức:

Baõi tờồp 37.Rỳt gọn cỏc biểu thức

Baõi tờồp 38.Cho biểu thứcA =x 2 −x√

10 Tính giá trị biểu thứcAvớix…2

Baõi tờồp 39.Cho biểu thức:A ủÅ…a b −1 ã Ç…b a + 1 ồụ : Åa b − b a ã

Baõi tờồp 40.Cho biểu thức:A Å 1

Rút gọn biểu thứcA. a) TìmxđểA = 1

Baõi tờồp 41.Cho hai biểu thức:A… x−1 2x−3 vàB √x−1

Với giá trị nào củaxthì A=B? c)

Với giá trị nào củaxthì chỉ Acó nghĩa, cònB không có nghĩa? d)

Baõi tờồp 42.Cho biểu thức:A Çp√ x−1 p√x+ 1 + p√x+ 1 p√x−1 ồ : 1

Tính giá trị của biểu thức vớix= 19−8√

BÀI 5 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Các dạng toán

Dạng 5.1 Đưa một thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn

Viết gọn các biểu thức sau:

Do đó,(1) không thỏa mãn.

Vậy, không có giá trị nào của ađể vớib = 1thìA= 2. b)

Lê Quang X e - Ó 0967 003 131 ĐểAcó nghĩa điều kiện là x−1

2x−3 ≥0ta lập bảng xét dấu, dựa trên: x−1 = 0⇔x= 1;2x−3 = 0⇔x= 3

2 thìAcó nghĩa. a) ĐểB có nghĩa điều kiện là ®x−1≥0 2x−3>0 ⇔

2 thìB có nghĩa. b) Để cóA=B tức là

Ta có ngay, vớix≤1thì chỉAcó nghĩa, còn B không có nghĩa. d) ĐểAcó nghĩa điều kiện là

Rút gọn biểu thức sau:A= 2 a−2 ãp

Chú ý Như vậy, ở trong Acó thể đưa đượca 8 và(a−2) 2 ra ngoài dấu căn Tuy nhiên, ta thấy rằng:

√ a 8 ằ (a 4 ) 2 =a 4 , bởi a 4 ≥0với mọia. p(a−2) 2 =|a−2|, bởi ta chưa xác định được dấu củaa−2.

Chứng minh rẳng: a−b b 2 a 2 b 4 a 2 −2ab+b 2 =|a|, vớia > b.

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc đưa một thừa số vào trong dấu căn.

Vìa > bnên a−b b 2 >0, do đó: a−b b 2 a 2 b 4 a 2 −2qb+b 2 (a−b) 2 b 4 ã a 2 b 4 a 2 −2ab+b 2 =√ a 2 =|a|.

Cách 2: Sử dụng quy tắc đưa một thừa số ra ngoài dấu căn.

Phép biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn không chỉ giúp chứng minh các đẳng thức mà còn rất cần thiết trong các phép tính toán.

2≈ 1,41(sai chưa đến0,01) rồi nhân 3 thì sai số sẽ gấp3 lần sai số của giá trị gần đúng của√

Còn nếu ta thực hiện 3√

18, rồi dùng bảng tìm giá trị gần đúng của√

18thì sai số không bị nhân lên3lần như làm cách trên.

Ví dụ 4 Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần: 6√

Sử dụng quy tắc đưa một thừa số vào trong dấu căn, ta viết lại dãy số dưới dạng:

Do đó, ta có sắp xếp4√

Dạng 5.2 Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn-Phép nhân liên hợp

Ví dụ 1 Khử mẫu số của các biểu thức dưới dấu căn:

Ví dụ 2 Trục căn thức ở mẫu

=Ä√ a−√ bọ (a+b). hoặc có thể biến đổi: a 2 −b 2

√a+√ b = (a 2 −b 2 )Ä√ a−√ bọ Ä√a+√ bọ Ä√ a−√ bọ = (a 2 −b 2 )Ä√ a−√ bọ a−b (a+b)Ä√ a−√ bọ

Trong lời giải câu b), chúng ta phải đi trục căn thức hai lần Các em học sinh có thể thực hiện theo chiều ngược lại.

Choa,b,clà các số dương thỏa mãn a b = c d Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức:

Lời giải Đặtt= a b = c d, ta đượca=btvàc=dt.

Khi đó, biểu thức được viết lại dưới dạng:

√bt+√ b+√ dt+√ d = 1 Ä√ b+√ dọ √ t+ 1 Ä√b−√ dọ √ t−1 (b−d) (t−1) Ä√ b−√ dọÅ…a b −1 ã

(b−d)a b −1 √bÄ√ b−√ dọ Ä√ a−√ bọ (b−d) (a−b) Phân tích

Trong cuốn toán nâng cao 8 chúng ta đã từng thấy khẳng định của Pô-li-a rằng yếu tố

Lê Quang X e - Ó 0967 003 131 đóng vai trò như một nhịp cầu kết nối giữa bài toán cần giải và bài toán đã có phương pháp giải Việc đưa yếu tố phụ vào bài toán không chỉ giúp tìm ra cách giải mà còn giống như một chiếc đòn bẩy, làm cho quá trình giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn.

Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài toán rút gọn và chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1 Rút gọn biểu thức: A= 4

Nếu thực hiện theo phương pháp"quy đồng mẫu số", ta được:

3ọ. bài toán sẽ dừng lại ở đây.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng: a√ a+b√

√ b a+√ b −√ ab Ä√a+√ bọ Ä a−√ ab+bọ Ä√a+√ bọ −√ ab

Trong lời giải, chúng ta sử dụng hằng đẳng thức để phân tích tử số thành thừa số chung, giúp rút gọn căn thức ở mẫu Mặc dù có thể áp dụng phép nhân liên hợp, phương pháp này lại phức tạp hơn.

Thực hiện phép cộng theo vế và rút gọn, ta được:

Trong bài giải này, chúng ta áp dụng phép nhân liên hợp để loại bỏ căn thức ở mẫu cho từng phân số, đồng thời sử dụng phép biến đổi cục bộ để chứng minh đẳng thức.

1 Tìm điều kiện đểAcó nghĩa.

Vậy, điều kiện tồn tại củaAlà−1< x 0 ⇔

Vậy tập xác định của hàm số làD = (−∞; 2).

2 Hàm số xác định khi

Vậy tập xác định của hàm số làD Å 1;5 2 ò

1 Hàm số xác định khi ®x≥0 x|x| −1>0 ⇔ ®x≥0 xãx−1>0 ⇔ ®x≥0

Vậy tập xác định của hàm số làD = (1; +∞).

2 Hàm số xác định khi ®4−x 2 ≥0 x+ 16= 0 ⇔ ®(x−2)(x+ 2)≤0 x6=−1 ⇔ ®−2≤x≤2 x6=−1 Vậy tập xác định của hàm số làD = [−2; 2]\ {−1}.

1 Hàm số xác định khi ®x≥0

Vậy tập xác định của hàm số làD = (0; +∞)\ {1}.

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khix−2m+ 16= 0⇔x6= 2m−1.

Suy ra, hàm số xác định trên[0; 1) khi và chỉ khi

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi ®−x+ 2m−1≥0 2x−m >0 ⇔

2. Suy ra, hàm số xác định trên(1; 3) khi và chỉ khi m

1 Vìa= 2>0nên hàm số đồng biến trênR.

2 Vìa=−30,∀m nên hàm số đồng biến trênR.

4 Vớim >0, hàm số đồng biến trênR,m 0 \) mà không kết hợp với điều kiện (*) từ câu 1.

Cho hàm sốy =f(x) =ax, vớia6= 0.

1 Chứng minh rằngf(kx 1 ) =kf(x 1 )vàf(x 1 +x 2 ) = f(x 1 ) +f(x 2 ).

2 Các hệ thức trong câua)còn đúng với hàm sốy=g(x) = ax+b, vớib6= 0hay không?

1 Ta cóf(kx1) =a(kx1) = k(ax1) = kf(x1), đpcm. f(x 1 +x 2 ) = a(x 1 +x 2 ) = ax 1 +ax 2 =f(x 1 ) +f(x 2 ), đpcm.

Với hệ thức:g(kx 1 ) =kg(x 1 ).

⇔a(kx 1 ) +b =k(ax 1 +b)⇔akx 1 +b =akx 1 +bk⇔b(k−1) = 0⇔k 1(b 6= 0).

Vậy hệ thức chỉ đúng vớik= 1.

⇔a(x 1 +x 2 ) +b = (ax 1 +b) + (ax 2 +b)⇔ax 1 +ax 2 +b=ax 1 +ax 2 + 2b⇔ b= 0 Ta cób 6= 0, vậy hệ thức không đúng.

Cho hai hàm số f(x) = (m 2 + 1)x−4 và g(x) = mx + 2, với m 6= 0 Chứng minh rằng:

1 Các hàm sốf(x), f(x) +g(x), f(x)−g(x)là các hàm đồng biến.

2 Hàm số g(x)−f(x)là hàm nghịch biến.

Hàm sốf(x)có hệ số a=m 2 + 1>0do đó nó là hàm đồng biến.

Hàm sốf(x) +g(x) = (m 2 + 1)x−4 + (mx+ 2) = (m 2 +m+ 1)x−2, có hệ số: a=m 2 +m+ 1 Å m+ 1 2 ã2

4 >0, do đó nó là hàm đồng biến.

Hàm sốf(x)−g(x) = (m 2 + 1)x−4−(mx+ 2) = (m 2 −m+ 1)x−6, có hệ số: a=m 2 −m+ 1 Å m−1 2 ã2

4 >0, do đó nó là hàm đồng biến.

2 Hàm số:g(x)−f(x) = (mx+ 2)−[(m 2 + 1)x−4] = −(m 2 −m+ 1)x+ 6, có hệ số: a=−(m 2 −m+ 1) =− Å m−1 2 ã2

4 0, khi đó hàm số đồng biến, do đóf(x 0 −1)< f(x 0 )< f(x 0 + 1) Từ đó ta chọnm=x 0 −1, n=x 0 + 1.

Trường hợp 2: Vớia f(x0)> f(x 0 + 1) Từ đó ta chọnm=x 0 + 1, n =x 0 −1.

2 Giả sử trái lại hàm số có:

Giá trị lớn nhấtf(x 1 )ứng vớix 1

Giá trị nhỏ nhấtf(x 2 )ứng vớix 2

Theo kết quả câua., luôn tìm được hai sốmvàn sao cho: f(x 1 )< f(n)⇒f(x 1 )không phải là giá trị lớn nhất. f(x 2 )> f(m)⇒f(x 2 )không phải là giá trị nhỏ nhất.

Bài tập luyện tập

Xe buýt 88 khởi hành từ bến xe phía Nam, cách Hà Nội 5 km, với tốc độ 50 km/h và di chuyển về phía Nghệ An Sau một giờ khởi hành, xe sẽ cách Hà Nội bao xa?

Baõi tờồp 89.Cho cỏc hàm số

Trong các hàm số trên, hàm nào là hàm số bậc nhất? Xét sự biến thiên của các hàm số bậc nhất đó.

Baõi tờồp 90.Cho hàm sốy= (m−1)x+√ m.

1 Tìmmđể hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

2 Tìmmđể hàm số nghịch biến trên R.

Baõi tờồp 91.Tỡmmđể cỏc hàm số sau là hàm bậc nhất.

Baõi tờồp 92.Cho hai hàm sốf(x) = (m 2 + 5)x−3vàg(x) = 2mx+ 1, vớim 6= 0 Chứng minh rằng

1 Các hàmf(x),f(x) +g(x),f(x)−g(x)là các hàm đồng biến.

2 Hàm số g(x)−f(x)là hàm nghịch biến.

Baõi tờồp 93.Cho hàm số y= (m−1)x+ 2m−3.

1 Tìmmđể hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi.

2 Chứng tỏ rằng khi mthay đổi đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

BÀI 3 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT

Phương pháp giải toán

1 Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành Vẽ đồ thị hàm số.

2 GọiA vàB theo thứ tự là hai giao điểm nói trên Tính diện tích4OAB (O là gốc tọa độ).

3 Gọi α là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trụcOx Tính tanα, suy ra số đo gócα.

Khoảng cách từ ô tô đến Hà Nội sau x giờ được tính như sau: Khi xe chưa khởi hành, khoảng cách ban đầu là 5km do bến xe cách Hà Nội 5km Sau mỗi giờ di chuyển về phía Nghệ An, ô tô sẽ cách Hà Nội thêm 50km Do đó, khoảng cách từ ô tô đến Hà Nội sau khi khởi hành x giờ được biểu diễn bằng công thức y = 50x + 5.

3là hàm số bậc nhất và vì nó có a = 5> 0 nên nó là hàm số đồng biến.

5xlà hàm số bậc nhất và vì nó cóa = −√ 3

5< 0nên nó là hàm số nghịch biến.

2x+ 6là hàm số bậc nhất và vì nó có a=−1

2 0nên nó là hàm số đồng biến.

5 Hàm số đã cho không là hàm số bậc nhất vì không đúng dạngy=ax+b.

6 Hàm số đã cho không là hàm số bậc nhất vì không đúng dạngy=ax+b.

1 Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi ®m−16= 0 m ≥0 ⇔ ®m6= 1 m≥0 ⇔0≤m 6= 1 (*)

Vậy với0≤m 6= 1hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

2 Hàm số đã cho nghịch biến trênRkhi m−11. b Hàm số là nghịch biến khi và chỉ khi: m−1

Định dạng
Số trang	189
Dung lượng	1,61 MB