Đại số Banach
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm, ví dụ và những tính chất cơ bản của Đại số Banach Hầu hết các kết quả được trình bày trong mục này được trích dẫn từ tài liệu [1].
1.2.1 Định nghĩa ([1]) Mộtđại số BanachA là một đại số trên trường
K thoả mãn các điều kiện:
1) A là một không gian Banach với chuẩn k.k nào đó cho trước;
3) Tồn tại e∈ A sao cho ex = xe = x, với mọi x ∈ A;
Do đó, phần tử e được gọi là đơn vị của A Nếu phép nhân trong trên
A là giao hoán thì ta gọi A là đại số Banach giao hoán.
1.2.2 Chú ý Trong định nghĩa trên nếu A là không gian định chuẩn thì
A được gọi là đại số định chuẩn, và trong nhiều trường hợp, có thể bỏ qua điều kiện 3) và 4) nếu A không có đơn vị Trong luận văn này, các đại số Banach sẽ được xem xét là đại số có chứa đơn vị nếu không có điều kiện nào khác.
Phần tử x ∈ A được gọi là khả nghịch trong A nếu tồn tại phần tử y := x −1 ∈ A, thỏa mãn x −1 x = xx −1 = e Khi đó, y được gọi là phần tử nghịch đảo của x Nếu phần tử khả nghịch tồn tại, thì nó là duy nhất Tập hợp các phần tử nghịch đảo của A được ký hiệu là G(A).
1.2.3 Nhận xét 1) Phần tử đơn vị của đại số Banach là duy nhất.
2) Phép nhân trong là liên tục phải và liên tục trái Thật vậy, giả sử dãy {x n } ⊂ A và x n → x ∈ A khi n → ∞ Khi đó, với mỗi y ∈ A ta có
06 kx ny −xyk6 kx n −xkkyk → 0 khi n → ∞ Nghĩa là x n y → xy, hay phép nhân là liên tục trái Hoàn toàn tương tự, phép nhân liên tục phải.
Đại số Banach A là một không gian toán học, trong đó không gian con đóng B ⊂ A chứa đơn vị của A và khép kín với phép nhân trong của A được định nghĩa là một đại số con của A.
1.2.5 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclide thông thường là đại số Banach giao hoán có đơn vị là phần tử 1.
Tổng quát hơn, không gian C n được định nghĩa là tập hợp các vector z = (z 1, , z n) với z i ∈ C Các phép toán trong không gian này bao gồm phép cộng z + w = (z 1 + w 1, , z n + w n), phép nhân với số vô hướng λz = (λz 1, , λz n) và phép nhân giữa hai vector zw = (z 1 w 1, , z n w n) Với mọi z, w ∈ C n và λ ∈ C, không gian C n được coi là một đại số phức có đơn vị e = (1, , 1) Hơn nữa, với chuẩn được xác định bởi kzk = max{|z 1|, , |z n|}, C n là một đại số Banach giao hoán.
Đại số C 0 được định nghĩa là tập hợp các dãy z = (z n ) thuộc C, trong đó z n tiến tới 0 Với phép cộng và nhân vô hướng của các dãy thông thường, phép nhân được xác định bởi xy = (x n y n ) cho mọi x = (x n ), y = (y n ) thuộc C 0 Do đó, C 0 là một đại số Banach với chuẩn được tính bằng sup n.
|z n |, ∀ z = (z n ) ∈ C 0 Để ý rằng C 0 không chứa phần tử đơn vị Bởi vì, nếu e= (e n ) là phần tử đơn vị, từ ex = xe = x với mọi x ∈ C 0 ta nhận được e n = 1 với mọi n.Mâu thuẫn với e ∈ C 0
1.2.7 Ví dụ Vớip > 1, ta xét đại sốl p = {z = (z n ) ⊂C : P∞ n=1|z n | p 1, ta xét đại số các họ số l p (I) = {z = (z i ) i∈I ⊂
Không gian l p được định nghĩa là tập hợp các dãy số x = (x i ) sao cho tổng các giá trị tuyệt đối của chúng có lẽ hữu hạn, tức là C : P i∈I|z i | p < ∞ Trong không gian này, phép cộng và nhân vô hướng được thực hiện như các dãy thông thường, trong khi phép nhân giữa hai dãy x và y được xác định bởi xy = (x i y i ) i∈I Với các phép toán này, l p trở thành một đại số Banach với chuẩn được tính bằng kzk = X i∈I.
1 p, ∀ z = (z i ) ∈ l p l p (I) không chứa phần tử đơn vị.
1) Cho E là không gian Banach và B(E) ={Toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân trong
(f g)(x) = (f ◦g)(x) =f(g(x)), với mọi f, g ∈ B(E), với mọi x ∈ E và chuẩn kfk = sup x∈E
Khi đó, B(E) là đại số Banach không giao hoán có đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên E.
2) Trường hợp E = K n là không gian hữu hạn chiều thì B(E) đồng nhất với đại số các ma trận vuông cỡ n×n.
1) Cho X là không gian tôpô compact và C(X) là không gian Banach các hàm phức liên tục với chuẩn hội tụ đều kfk = sup x∈X
|f(x)|, với mọi f ∈ C(X) Khi đó, C(X) là đại số Banach giao hoán có đơn vị là hàm đồng nhất bằng 1 trên X, với phép nhân theo điểm, tức là
Tập compact K trong C n được ký hiệu là P(K), R(K) và A(K), tương ứng với tập hợp các hàm f ∈ C(K) được xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức, các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K, và các hàm chỉnh hình trên phần trong của K, đồng thời liên tục trên K Các đại số P(K), R(K) và A(K) là các đại số Banach con của C(K) với các phép toán cảm sinh từ C(K) Thêm vào đó, luôn tồn tại bao hàm thức cho các tập hợp này.
1.2.12 Định nghĩa ([1]) Cho A,B là các đại số Banach.
1) ánh xạ tuyến tính h : A → B được gọi là một đồng cấu, nếu h(xy) = h(x)h(y) với mọi x, y ∈ A;
2) Phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C không đồng nhất bằng 0 được gọi là một đồng cấu phức trên A nếu ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y), với mọi x, y ∈ A.
Tập hợp các đồng cấu phức của đại số A ký hiệu là ∆ A
1.2.13 Ví dụ Dễ dàng kiểm tra được ϕ k :k = 1,2, , n với ϕ k (z 1 , , z n ) =z k là đồng cấu phức của đại số C n
Mệnh đề sau đây được trình bày những tính chất đặc trưng của đồng cấu phức.
1.2.14 Mệnh đề [1] Giả sử ϕ là một đồng cấu phức trên đại số phức
A có đơn vị e Khi đó
2) ϕ(x) 6= 0 nếu x là phần tử khả nghịch.
Chứng minh 1) Giả sử ϕ :A → C là một đồng cấu phức Khi đó tồn tại x ∈ A sao cho ϕ(x) 6= 0 Vì ϕ(x) =ϕ(xe) = ϕ(x)ϕ(e) nên suy ra ϕ(e) = 1.
2) Nếu x là phần tử khả nghịch trong A thì từ đẳng thức
1.2.15 Định lý [1] Cho A là một đại số Banach và x ∈ Avới kxk < 1. Khi đó
1) e−x là phần tử khả nghịch trong A;
3) |ϕ(x)| < 1 với mọi đồng cấu phức ϕ trên A.
X n=0 x n , trong đó ta quy ước x 0 = e Vì kx n k 6 kxk n và kxk < 1 nên
Vì e−x n+1 = (e−x)S n = S n (e−x), lim n→∞S n = s và lim n→∞x n = 0 nên từ tính liên tục của phép nhân trong A ta nhận được e= (e−x)s = s(e−x).
2) Từ chứng minh trên ta có k(e−x) −1 −e−xk 6 ks − (e − x)k = kx 2 + x 3 + + x n + k
3) Ta sẽ chỉ ra được với mọi λ ∈ C mà |λ| > 1 thì ϕ(x) 6= λ Thật vậy, vì |λ| > 1 nên |λ −1 x| < 1 Do đó e−λ −1 x khả nghịch trong A Bởi vậy theo Mệnh đề 1.1.13 ta có ϕ(e−λ −1 x) 6= 0 ⇔ ϕ(e)−λ −1 ϕ(x) 6= 0 ⇔ ϕ(x) 6= λ.
1.2.16 Nhận xét Mọi đồng cấu phức ϕ trên đại số Banach A đều là phiếm hàm tuyến tính liên tục và kϕk= 1 Thật vậy, từ Định lý 1.1.14 ta có
|λ|kxk < 1, với mọi |λ| > 1, với mọix ∈ A, x 6= 0.
Do đó ϕ liên tục và kλk 6 1 Mặt khác kϕk = sup
Mệnh đề 1.2.17 cho biết rằng tập hợp các phần tử nghịch đảo G(A) của đại số Banach A là một nhóm với phép nhân trong A Hơn nữa, G(A) được xác định là tập mở của A, và ánh xạ từ x tới x −1 là phép đồng phôi từ G(A) lên chính nó.
1.2.18 Định nghĩa ([1]) Cho A là một đại số Banach.
Phổ của x ∈ A được ký hiệu là σ(x), là tập hợp tất cả λ ∈ C sao cho λe−x không khả nghịch trong A, tức là λe−x /∈ G(A).
Tập hợp C\ σ(x) được gọi là giải (giải thức) của x ∈ A.
Số thực ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của x.
1.2.19 Định lý [1] Giả sử A là một đại số Banach và x ∈ A Khi đó
1) Phổ σ(x) của x là tập compact khác rỗng của C.
2) Bán kính phổ được xác định bởi công thức ρ(x) = lim n→∞kx n k n 1 = inf n > 1kx n k n 1
Từ định lý trên chúng tôi rút ra được một kết quả quan trọng.
1.2.20 Hệ quả [1] (Gelfand-Mazur) Nếu đại số Banach A mà mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch thì nó đẳng cấu, đẳng cự với C.
Giả sử x ∈ A, ta chứng minh rằng trong C tồn tại duy nhất một λ sao cho λe−x = 0 Nếu không tồn tại λ ∈ C với λe−x ≠ 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết σ(x) ≠ ∅ Hơn nữa, nếu tồn tại hai λ₁ và λ₂ sao cho λ₁e−x = λ₂e = 0, thì từ đó suy ra (λ₁ − λ₂)e = 0, dẫn đến λ₁ = λ₂.
Dựa trên chứng minh, với mỗi x ∈ A tồn tại duy nhất một λ x sao cho x = λ x e Ta có thể thiết lập một tương ứng từ x ∈ A đến λ x ∈ C, và tương ứng này là một đẳng cấu đại số từ A lên C Hơn nữa, từ kxk = kλ x ek = |λ x |, đối với mọi x ∈ A.
Vậy tương ứng trên là một đẳng cấu, đẳng cự từ A vào C.
Đại số Banach giao hoán A có thể được định nghĩa qua các ideal cực đại, và tập hợp tất cả những ideal này được gọi là căn của đại số A, ký hiệu là radA Nếu radA = {0}, thì đại số Banach A được xem là nửa đơn.
1.2.22 Định nghĩa ([1]) Cho A là đại số Banach Phần tử a ∈ A được gọi là tựa lũy linh nếu bán kính phổ của nó bằng 0.
1.2.23 Nhận xét Phần tử x ∈ radAnếu và chỉ nếu ρ(x) = lim n→∞ kx n k n 1 0.
Chứng minh Giả sử lim n→∞ kx n k n 1 = 0 Khi đó ρ(x) = lim n→∞kx n k n 1 = sup{|ˆx(ϕ)| : ϕ ∈ M A }= 0.
Suy ra x(ϕ) =ˆ ϕ(x) = 0, với mọi ϕ ∈ M A Vậy x ∈ radA.
Ngược lại, nếu x ∈ radA Khi đó ˆ x(ϕ) = ϕ(x) = 0 với mọi ϕ ∈ M A Do đó ρ(x) = lim n→∞kx n k n 1 = sup{|ˆx(ϕ)| : ϕ ∈ M A }= 0.
Trong đại số Banach giao hoán A, một tập con J ⊂ A được định nghĩa là một ideal nếu J là không gian con của A và thỏa mãn điều kiện rằng với mọi phần tử f thuộc J và mọi phần tử g thuộc A, tích fg cũng thuộc J.
Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J 6= A và J không nằm trong bất kỳ một ideal thực sự nào của A.
1.2.25 Bổ đề ([1]) 1) Mỗi ideal thực sự của A được chứa trong một ideal cực đại của A;
2) Ideal J là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường.
1.2.26 Định lý 1) Mỗi ideal cực đại là một tập đóng;
2) Nếu J là một ideal cực đại thì không gian thương A/J đẳng cấu, đẳng cự với trường số phức C.
Sự tồn tại ước tôpô của phần tử không trong một số lớp đại số
Mục này nghiên cứu sự tồn tại ước tôpô của phần tử không trong một số lớp đại số Banach.
2.2.1 Định nghĩa ([4]) Đại số Banach A được gọi là có cơ sở trực chuẩn nếu tồn tại dãy (e n ) ∞ n=1 sao cho với mọi x ∈ A thì x ∞
X n=1 α n e n và e n e m = δ mn e n với mọi m, n ∈ N, trong đó δ mn 1 nếu m 6= n
2.2.2 Định lý ([4]) Nếu A là đại số Banach vô hạn chiều và có cơ sở trực chuẩn thì mọi phần tử của A là ước tôpô.
Chứng minh Gọi (e n ) là cơ sở trực chuẩn trong A Với mỗi x∈ A ta có x ∞
Từ e n e m = δ mn e n suy ra ke k k= ke 2 k k 6 ke kk 2 và vì thế ke k k > 1 với mọi k = 1,2 Ta có xe k ∞
X n=1 α n e n e k = α k e k →0 khi k → ∞ Bây giờ, với mỗi k = 1,2, ta đặt b k = e k ke k k Khi đó kb k k = 1 với mọi k và
0 6 kb kxk = kxe k k → 0 khi k → ∞ Vì vậy x là ước tôpô của 0.
2.2.3 Ví dụ ([4]) Xét đại số C 0 = {z = (z n ) ⊂ C : z n →0} với chuẩn. kzk = sup n
Không gian C 0 có cơ sở trực chuẩn (e n ), trong đó mỗi e n = (e n 1 , e n 2 , , e n k , ) với e n k = 0 cho mọi k khác n và e n n = 1 Điều này dẫn đến việc với mỗi z = (z n ) thuộc C 0, ta có giới hạn lim n→∞ |z n | = 0, từ đó suy ra lim k→∞ sup n > k |z n | = 0 Đối với mỗi k = 1, 2, , ta định nghĩa z k = z 1 e 1 + z 2 e 2 + + z k e k = (z 1 , , z k , 0, 0, ).
Khi đó kz k −zk = sup n > k+1
|z n | và vì thế k→∞lim kz k −zk= lim k→∞ sup n > k+1
Ta có z = lim k→∞ z k = P∞ n=1z n e n Dễ dàng kiểm tra rằng e m e n = δ mn e n với mọi m, n ∈ N, cho thấy (e n) là cơ sở trực chuẩn của C 0 Do đó, mọi phần tử của C 0 đều là ước tôpô.
2.2.4 Ví dụ ([4]) Với p > 1, ta xét đại số l p = {z = (z n ) ⊂ C :
Ta xem xét không gian l p với cơ sở trực chuẩn (e n ) Đối với mỗi n = 1, 2, , ta định nghĩa e n = (e n 1 , e n 2 , , e n k , ) trong đó e n k = 0 với mọi k ≠ n và e n n = 1 Với mỗi z = (z n ) thuộc l p, ta có P∞ n=1|z n | p < ∞, dẫn đến lim k→∞ P∞ n=k+1|z n | p = 0 Đối với mỗi k = 1, 2, , ta đặt z k = z 1 e 1 + z 2 e 2 + + z k e k = (z 1 , , z k , 0, 0, ).
|z n | p và vì thế k→∞lim kz k −zk p = lim k→∞
Ta có z = lim k→∞ z k = P∞ n=1z n e n Dễ dàng kiểm tra rằng e m e n = δ mn e n với mọi m, n ∈ N Do đó, (e n) là cơ sở trực chuẩn của l 0, từ đó suy ra mọi phần tử của l 0 là ước tôpô của không.
2.2.5 Định nghĩa ([8]) Cho A là đại số Banach không có đơn vị. Một dãy suy rộng (e i ) i∈I được gọi là xấp xỉ của đơn vị nếu lim i xe i lim i e i x = x với mọi x ∈ A.
2.2.6 Định lý ([8]) Nếu A là đại số Banach không có phần tử đơn vị và A có xấp xỉ đơn vị thì mọi phần tử của A là ước tôpô của không.
Chứng minh Đầu tiên từ giả thiết A không chứa phần tử đơn vị suy ra (e i ) i∈I không hội tụ Do đó, với mọi ε > 0 và mỗi i 0 ∈ I tồn tại i 1 , i 2 > i 0 sao cho ke i 1 −e i 2 k> ε (2.1)
Với mỗi x thuộc A, ta định nghĩa B(x, δ) là hình cầu mở có tâm tại x và bán kính δ Từ chuỗi hội tụ (xe i ) đến x, ta có thể xác định một chỉ số i n thuộc I cho mỗi n = 1, 2, sao cho xe i nằm trong B(0, 1/n) với i lớn hơn i n Hơn nữa, từ lập luận trong (2.1), ta cũng có thể tìm được các chỉ số j n và k n thuộc I sao cho j n lớn hơn i n, k n lớn hơn i n và khoảng cách ke j n − e k n k lớn hơn ε.
Bây giờ, với mỗi n= 1,2, ta đặt y n = e j n −e k n ke j n −e k n k.
Khi đó ky n k = 1 với mọi n Hơn nữa, từ
06 ke j n −e k n y n xk = k e j n −e k n y n xk = ke j n x−x+x−e k n y n xk
6 ke j nx−xk+kx−e k n y n xk < 2 n suy ra y n x → 0 Lập luận tương tự ta có xy n →0 Vì vậy, x là ước tô pô của không.
Các mệnh đề tiếp sau đây đưa ra một lớp đại số thỏa mãn Định lý 2.2.6.
Mọi phần tử của đại số C 0 (I) đều là ước tôpô của không Để chứng minh điều này, với mỗi J thuộc F(I), ta định nghĩa e J = (e J i) với e J i = 1 nếu i thuộc J và e J i = 0 nếu i không thuộc J Ta chỉ ra rằng (e J) với J thuộc F(I) là xấp xỉ của đơn vị trong C 0 (I).
C 0 (I) ta có lim i |z i | = 0 Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại J 0 ∈ F(I) sao cho sup i∈I \J 0 |z i | < ε Với mỗi J ∈ F(I) đặt z J = ze J Khi đó, với mọi J > J 0 (tức là J 0 ⊂ J ta có kz J −zk = sup i∈I \J
|z i |< e và vì thế z = lim J z J = lim J ze J Ta nhận được (e J ) J ∈F(I) là dãy suy rộng xấp xỉ của đơn vị Nhờ Định lý 2.2.6 ta có mọi phần tử của đại số
C 0 (I) là ước tôpô của không.
2.2.8 Mệnh đề Mọi phần tử của đại số l p (I)(p > 1) là ước tôpô của không.
Chứng minh Với mọi z = (z i ) i∈I ∈ l p (I) ta có P i∈I |z i | p < +∞ Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại J 0 ∈ F(I) sao cho
Với mỗi J ∈ F(I), ta định nghĩa e J = (e J i ) i∈I, trong đó e J i = 1 nếu i ∈ J và e J i = 0 nếu i ∈ I \ J Ta chứng minh rằng (e J ) J ∈F(I) là xấp xỉ của đơn vị trong không gian l p (I) Cụ thể, với mỗi z = (z i ) ∈ l p (I) và J ∈ F(I), ta đặt z J = z e J Khi đó, với mọi J > J 0 (tức là J 0 ⊂ J), ta có kz J − z k p = X i∈I \J.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét giới hạn z với điều kiện p < e, dẫn đến z = lim J z J = lim J ze J Nhờ vào định lý 2.2.6, ta có thể khẳng định rằng mọi phần tử của đại số l p (I) đều là ước tôpô của không, và dãy (e J ) J ∈F(I) được coi là dãy suy rộng xấp xỉ của đơn vị.