Một số đặc trưng của không gian Hilbert
Ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng được kí hiệu là h., ivà chuẩn được kí hiệu là k.k.
Mệnh đề 1.1 Trong không gian Hilbert thực H ta luôn có đẳng thức sau kx−yk 2 +kx−zk 2 =ky−zk 2 + 2hx−y, x−zi, với mọi x, y, z ∈H.
Chứng minh Thật vậy, ta có ky−zk 2 + 2hx−y, x−zi=hy, yi+hz, zi+ 2hx, xi −2hx, zi −2hx, yi
= [hx, xi −2hx, yi+hy, yi]
+ [hx, xi −2hx, zi+hz, zi]
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Trong không gian Hilbert thực H, với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0,1], ta có công thức kλx + (1−λ)yk 2 = λkxk 2 + (1−λ)kyk 2 − λ(1−λ)kx−yk 2 Để chứng minh, ta phát triển biểu thức kλx + (1−λ)yk 2 thành λ^2 kxk 2 + 2λ(1−λ)hx, yi + (1−λ)^2 kyk 2.
=λkxk 2 + (1−λ)kyk 2 −λ(1−λ)(kxk 2 −2hx, yi+kyk 2 )
Ta được điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3 Cho H là một không gian Hilbert thực Khi đó, nếu với x, y ∈H thỏa mãn điều kiện
|hx, yi| =kxk.kyk, tức là bất đẳng thức Schwars xảy ra dấu bằng thì hai véc tơ x và y là phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh Giả sử ngược lại rằng x 6= λy với mọi λ ∈ R Khi đó, từ tính chất của tích vô hướng, ta có
Đối với mọi λ ∈ R, ta có bất đẳng thức 0 < kx - λyk² = λ² kyk² - 2λhx, yi + kxk² Nếu y = 0, x và y là phụ thuộc tuyến tính Ngược lại, khi y ≠ 0 và chọn λ = hx, yi / kyk², bất đẳng thức này sẽ được điều chỉnh.
|hx, yi| 0, với y = v và ε = kvk 2 /2 Do đó, có hy, zi < hy, xi - ε với mọi z ∈ C, đặc biệt là hy, x n i < hy, xi - ε với mọi n Khi n tiến tới vô cùng, ta có hy, xi ≤ hy, xi - ε, điều này dẫn đến mâu thuẫn Vì vậy, C phải là tập đóng yếu.
Chú ý 1.2 Nếu C là tập đóng yếu trong H thì hiển nhiên C là tập đóng.
Từ định lý Banach-Alaoglu, ta có mệnh đề dưới đây:
Mệnh đề 1.11 Mọi tập con bị chặn của H đều là tập compact tương đối yếu.
Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
Ánh xạ không giãn
Ánh xạ T : C −→ H được định nghĩa là một ánh xạ không giãn nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H, và với mọi x, y thuộc C, ta có kT x−T yk ≤ kx−yk.
Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ không giãnT là Fix(T), tức là Fix(T) {x∈C : T x=x}.
Mệnh đề dưới đây cho ta mô tả về tính chất của tập điểm bất động Fix(T).
Mệnh đề 1.12 khẳng định rằng nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, và T là một ánh xạ không giãn từ C đến H, thì tập Fix(T) sẽ là một tập lồi và đóng trong H.
Chứng minh Giả sử Fix(T) 6=∅.
Fix(T) là tập đóng vì T là ánh xạ không giãn và liên tục trên C Giả sử {x_n} là một dãy trong Fix(T) với x_n → x khi n → ∞ Do {x_n} ⊂ Fix(T), ta có kT x_n − x_n k = 0 với mọi n ≥ 1 Từ tính liên tục của chuẩn, khi n → ∞, ta suy ra kT x − x k = 0, tức là x ∈ Fix(T) Vì vậy, Fix(T) là tập đóng.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh tính lồi của tập Fix(T) Giả sử x, y ∈ Fix(T), nghĩa là T x = x và T y = y Đối với mọi λ ∈ [0,1], chúng ta cần chỉ ra rằng z = λx + (1−λ)y cũng thuộc Fix(T) Nếu x = y, thì rõ ràng z = x = y ∈ Fix(T) Trong trường hợp x ≠ y, ta có kT z − xk = kT z − T xk ≤ kx − zk = (1−λ)kx − yk và kT z − yk = kT z − T yk ≤ ky − zk = λkx − yk.
Từ đó, ta nhận được kx−yk ≤ kT z−xk+kT z−yk ≤ kx−yk.
Suy ra kx−yk=kT z−xk+kT z−yk, với kT z−xk= (1−λ)kx−yk và kT z−yk=λkx−yk Đặt a = T z−x và b = y−T z, ta có ka+bk= kak+kbk, tương đương với ha, bi= kak.kbk.
Theo Mệnh đề 1.3, tồn tại α ∈ R sao cho a =αb Vì x6= y, nên α 6=−1 Suy ra
T z là một tổ hợp affine của x và y, tức là
Từ (1.3) và (1.4), ta nhận được kx−T zk= (1−λ)kx−yk= (1−β)kx−yk.
Suy ra λ=β, tức là T z= z Do đó, z ∈Fix(T) Vậy Fix(T) là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh.
Chúng ta có thể chứng minh tính lồi của tập Fix(T) bằng cách khác Giả sử Fix(T) khác rỗng và x, y thuộc Fix(T) Đặt z = λx + (1−λ)y với λ trong khoảng [0,1] Từ Mệnh đề 1.2 và tính không giãn của T, ta có kT z−zk 2 = kλ(T z−x) + (1−λ)(T z−y)k 2.
Suy ra T z= z và do đó z ∈ Fix(T) Vậy Fix(T) là một tập lồi.
Mệnh đề dưới đây cho ta biết về tính nửa đóng của ánh xạ không giãn T.
Mệnh đề 1.13 (Nguyên lý nửa đóng) chỉ ra rằng nếu T là ánh xạ không giãn từ tập con lồi, đóng và khác rỗng C của không gian Hilbert thực H vào chính nó và T có điểm bất động, thì phép toán I −T là nửa đóng Cụ thể, nếu {x n } là dãy trong C hội tụ yếu về phần tử x∈C và dãy {(I −T)x n } hội tụ mạnh về phần tử y, thì ta có (I −T)x =y.
Chứng minh Giả sử x−T x6=y Vì x n * x, nênx n −y * x−y Do x−y 6=T x, nên từ Mệnh đề 1.4, ta có lim inf n→∞ kx n −xk