1 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Chu thị nhung Một số vấn đề về Iđêan Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán ====Vinh, 2005=== 2 Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Một số vấn đề về iđêan Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: Pgs. TS. Ngô sỹ tùng Sinh viên thực hiện: Chu thị nhung Lớp: 42A 1 - khoa Toán ====Vinh, 2005=== Lời nói đầu Iđêan là khái niệm quan trọng để nghiên cứu cấu trúc của vành, nó đóng vài trò nh nhóm con chuẩn tắc trong lý thuyết nhóm. Chẳng hạn dùng khái niệm này có thể trả lời trọn vẹn đợc vấn đề đặc trng hạt nhân của một đồng cấu vành. Trong khoá luận này chúng tôi đã nghiên cứu một cách tổng quát một số vấn đề về iđêan: iđêan hữu hạn sinh, iđêan cực đại, căn của iđêan của một vành giao hoán có đơn vị. Từ đó xét các mối quan hệ giữa các iđêan với nhau. Khoá luận đợc chia làm 4 phần: Đ1: Iđêanvà vành thơng Đ2: Iđêan hữu hạn sinh Đ3: Một số iđêan đặc biệt Đ4: Căn của iđêan Khoá luận này đợc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh. Trong quá trình làm khoá luận tác giả đợc sự hớng dẫn,sự giúp đỡ nhiệt tình cho nội dung và cách trình bày trong khoá luận, của PGS. TS Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin trân trọng gửi đến PGS. TS Ngô Sỹ Tùng lời cảm ơn sâu sắc nhất. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo ở tổ Đại số và khoa Toán đã giúp đỡ chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học dới mái trờng Đại học Vinh. Mặc dù, đã hết sức cố gắng khóa luận cũng không tránh khỏi thiếu sót.Tác giả hy vọng nhận đợc sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để có thể hoàn thiện nội dung của khoá luận. Vinh, tháng 4 năm 2005. Tác giả. Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét vành giao hoán có đơn vị 10 3 Đ1. Iđêan và vành thơng 1.1. Định nghĩa Cho R là một vành. Tập con I ứ của R đợc gọi là iđêan nếu thỏa mãn hai điều kiện: (i) Với mọi a,b I, a-b I. (ii) Với mọi a I và r R, ra I. Nếu I là iđêan thì : - a = (-1)a I với mọi a I. Do đó có thể nói iđêan là nhóm con của nhóm cộng R. Và là vành con theo định nghĩa rộng (tức không cần điều kiện chứa 1) nhng nói chung không là vành con theo quy ớc trong khoá luận này (định nghĩa vành con: Một tập con S R đóng đối với phép cộng và phép nhân của R đợc gọi là vành con nếu nó chứa phần tử đơn vị của R và bản thân nó cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một vành). Ví dụ i (i) Mọi vành R đều chứa iđêan tầm thờng I = 0 và chính nó I = R. (ii) Tập n = { nk / k } là iđêan của vành , với mỗi số tự nhiên nN. Thật vậy: - n . - Tồn tại 0 sao cho: n - 0 = 0 n suy ra n ứ. - nk, nl n ta có: nl nk = n( l- k ) n vì (l-k) . - nk n ; r ta có: r(nk) = n.(rk) n vì (rk) . Vậy n là một iđêan của . (đpcm) Nếu I R ta nói nó là iđêan thực sự Chú ý rằng I = R khi và chỉ khi 1 I và tơng đơng I = R khi và chỉ khi I chứa phần tử khả nghịch của R. Kết quả sau đây cho phép xây dựng nhiều iđêan. 1.2. Bổ đề Cho đồng cấu vành : R S với S 0. Khi đó ker là iđêan của R. 4 Chứng minh Ta có: ker = {x R / f(x) = 0} . Trớc hết ta chứng minh ker ứ. Do là đồng cấu vành nên tồn tại 0 R sao cho (0) = 0 suy ra ker ứ. Giả sử : x,y ker suy ra (x) = 0 và (y) = 0 Do f là đồng cấu vành nên: (-y) = -(y) và 0 = (x) - (y) = (x) +(-y) = (x -y) suy ra x - y ker (1) Mặt khác x ker suy ra (x) = 0. và với mọi r R ta có: (r.x) =(r)(x) do f là đồng cấu vành. suy ra (rx) = (r)(x) = (r)0 = 0 nên rx ker. (2) Từ (1) và (2) suy ra ker là iđêan của R. (đpcm) 1.3. Xây dựng vành thơng Cho I là iđêan của vành R. Nh trên đã nói I là nhóm con của nhóm giao hoán R. Nh vậy tập các lớp kề : r = r + I = { r + x / x I} , trong đó r R lập thành một phân hoạch của R, nghĩa là hai lớp kề: r + I và s + I hoặc trùng nhau hoặc có giao bằng rỗng, và R là hợp của các lớp kề. Kí hiệu R/I là tập các lớp kề: R/I = { r + I / r R} Trên R/I ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nh sau: (r + I) +(s + I) = (r + s) + I (r + I) . (s +I) = (r.s) + I Các định nghĩa này không phụ thuộc vào phép chọn phần tử đại diện của lớp kề. Cụ thể: Nếu r, s R sao cho : r + I = r +I và s+I = s + I thì r - r I, s - s I Từ đó ta có (r + s) (r + s) = (r - r) + (s - s) I 5 Do vậy: (r + s) + I = (r + s) + I Và: rs - r s = r (s - s) + s (r - r) I suy ra (r.s) + I = (r.s) + I * R/I cùng với phép toán đã định nghĩa trên lập thành một vành giao hoán có đơn vị. Thật vậy: R cũng là vành nên (R,+) là nhóm aben suy ra nhóm thơng R/I với phép cộng nh trên cũng là nhóm aben. Phép nhân xác định nh trên cũng là phép toán đại số 2 ngôi trên R/I vì: Nếu có : r +I = r + I và s + I = s + I suy ra r - r I ; s - s I . tồn tại hai phần tử a, b I sao cho: r - r = a; s - s = b Từ đó ta có r = r + a; s = s + b nên r.s = (r + a)( s + b) = r s + r b + sa + ab. suy ra rs + I = r s + I Vậy (r + I) (s + I) = (r + I)( s + I) (đpcm) Phép nhân có tính chất kết hợp vì: Với mọi (r + I) ; (s + I); (p + I) R/I ta có: [(r + I).(s + I)] .(p + I) = [rs + I].(p + I) = (rs)p + I = r(sp) + I = (r + I)[ (s + I)(p + I)] . Phép nhân phân phối đối với phép cộng vì : Với mọi (r + I) ; (s + I); (p + I) R/I ta có: (r + I)[(s + I) + (p + I)] = (r + I)[(s + p) + I] = r(s + p) + I = (rs + I) + (rp + I) = (r + I)(s + I) + (p + I)(r + I) . và: [(s + I) + (p + I)](r + I) = [(s + p) + I](r + I) 6 = (s + p)r + I = (sr + I) + (pr + I) = (s + I)(r + I) + (p +I)(r + I). Phép nhân có tính chất giao hoán vì: Với mọi (r + I) và (r + I) R/I ta có: (r + I)(r + I)b = rr + I = r r + I = (r + I)(r + I) Phần tử không là lớp kề 0 = 0 + I vì : Với mọi (r + I) R/I ta có: (r + I) + (0 + I) = (r + 0) + I = r + I Phần tử đơn vị là lớp kề 1 = 1 +I vì với mọi (r + I) R/I ta có: (r + I) . (1 + I) = (r .1) + I = r + I Phần tử đối của r = r + I là - r = - r + I vì với mọi (r + I) R/I ta có: (r + I) + (-r + I) = (r + (-r)) + I = 0 + I = 0. Chú ý: r + I = s + I khi và chỉ khi r s I. 1.4. Định nghĩa Cho I là iđêan của vành R. Vành R/I đợc gọi là vành thơng của vành R theo iđêan I. Ví dụ Cho n 2 là số tự nhiên. Các bội số của n lập thành iđêan n của . Với mỗi r , lớp kề r + n chính là lớp thặng d của r theo môđun n. Vành thặng d /n chính là vành thặng d theo môđun n. 1.5. Bổ đề Cho I là iđêan của vành R. Khi đó ánh xạ : R R/I xác định bởi : (r) = r + I là một toàn cấu vành. Hơn nữa ker = I ánh xạ này thờng đợc gọi là đồng cấu chính tắc, hoặc đồng cấu tự nhiên từ R vào R/I. 7 Chứng minh Từ cách xây dựng R/I ta thấy ngay với mọi s,r R thì : Ta có: (s + r) = (r + s) + I = (r + I) + (s + I) = (r) + (s) Và (rs) = (rs) + I = (r + I).(s + I) = (r). (s) Mặt khác (1) = 1 + I = 1 Vậy ta có là đồng cấu vành. Ngoài ra, là toàn ánh vì : với mọi (r + I) R/I suy ra tồn tại r R sao cho (r) = r +I Vậy là toàn cấu vành. Hơn nữa : (r) = 0 khi và chỉ khi r + I = I hay tơng đơng r I hay ker = I (đpcm) 1.6. Hệ qủa Cho I là tập con của vành R. Khi đó I là iđêan của R nếu và chỉ nếu tồn tại đồng cấu từ R vào một vành nào đó sao cho ker = I. Chứng minh Từ các bổ đề 1.2 và bổ đề 1.5 ta có đpcm. Từ một đồng cấu vành tuỳ ý có thể xây dựng đẳng cấu vành nh sau: 1.7. Định lí. (Định lí đẳng cấu vành) Cho : R S là đồng cấu vành. Khi đó cảm sinh một đẳng cấu vành. f : R / ker Im, xác định bởi : f ( r ) = (r) với mọi rR. Chứng minh Đặt K = ker. Trớc hết ta chứng tỏ ánh xạ f là hoàn toàn xác định nghĩa là cần chứng tỏ với mọi r,s R, nếu r + K = s + K thì (r) = (s). 8 Thật vậy từ r + K = s + K suy ra r s K = ker. Do đó (r) - (s) = (r - s) = 0 s và (r) = (s) Từ định nghĩa R/K ta có thể kiểm tra ngay f là toàn cấu . Hơn nữa r ker f khi và chỉ khi f ( r ) = 0 tơng đơng (r) = 0 hay r K, tức là r = 0 khi và chi khi ker f = 0 suy ra f đơn cấu . Vậy f là đẳng cấu (đpcm) Giả sử I J là hai iđêan của R. Kí hiệu J/I là tập các lớp kề { a / a J} của R/I Bổ đề sau đây mô tả iđêan trong vành thơng thông qua vành ban đầu. 1.8. Bổ đề Cho R là vành và I là iđêan của R . Khi đó có tơng ứng 1-1 giữa các iđêan chứa I trong R và các iđêan trong vành thơng R/I. Cụ thể đó là tơng ứng J J/I, trong đó J là iđêan của R và chứa I. Chứng minh Trớc hết ta kiểm tra nếu I J là hai iđêan của vành R thì J/I là iđêan của R/I. Thật vậy: Giả sử x 1 +I ; x 2 + I J/I. Trong đó x 1 , x 2 J. Ta có: (x 1 + I) (x 2 + I) = (x 1 + I) + (-(x 2 + I)) = (x 1 + I) + (-x 2 +I) = (x 1 - x 2 ) + I J/I (vì J là iđêan suy ra (x 1 x 2 ) J) (1) Mặt khác nếu: x + I J/I, trong đó x J và: x+ I R/I, trong đó x R. Vì J là iđêan của R nên xx J Từ đây ta có: (x + I)( x + I ) = xx + I J/I (2) Từ (1) và (2) suy ra J/I là iđêan của R/I. Mặt khác giả sử có iđêan I J sao cho : J/I = J/I. 9 Với mọi a J ta tìm đợc a J sao cho: a + I = a + I. Suy ra a - a I J và a a + J J Vậy: J J. Tơng tự ta cũng có J J Do đó: J = J. Nên tơng ứng trên là đơn ánh. Để chứng minh nó là toàn ánh. Giả sử K R/I là iđêan. Kí hiệu là đồng cấu tự nhiên từ R vào R/I (xem bổ đề 1.5). Đặt J = -1 (K). Với mọi a I, vì (a) = 0 K nên a J, tức là I J. Cho a,b J. Khi đó (a+b) = (a) + (b) K, nên a + b J. Nếu r R thì (ra) = (r) (a) K , nên cũng có ra J. Vậy J là iđêan của R. Hơn nữa với mọi a J, (a) = a J/I nên K = J/I (đpcm) 1.9. Định lí. (Định lí đẳng cấu thứ hai) Giả sử I J là hai iđêan của R. Khi đó R/J (R/I)/(J/I). Chứng minh Theo bổ đề 1.8, J/I là iđêan của R/I. Xét ánh xạ: : R (R/I)/(J/I) a (a+I) + J/I Đây là ánh xạ hợp thành của các đồng cấu tự nhiên 1 : R R/I và 2 : R/I (R/I)/(J/I), nên là toàn cấu. Theo định lí 1.7 chỉ cần chứng tỏ Ker = J. Ta có a Ker khi và chỉ khi (a + I) + J/I = J/I. Điều đó tơng đơng với a + I J/I, hay a J. Vậy Ker = J và định lí đợc chứng minh. 10