Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
2,34 MB
Nội dung
TrƯờng đại học vinh Khoa toán *********** MộtsốkháiniệmvàtínhchấtcơbảncủacácAR,ANR - Khônggian Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khóa LUậN: PGS.TS. Tạ Khắc C Sinh viên thực hiện: Bùi Thị Mai Lớp: 46B 1 Toán Vinh, tháng 05 năm 2009 Lời nói đầu Lý thuyết corút là một phần của Tôpô học, đợc bắt đầu xây dựng cách đây 60 năm, trong khoảng thời gian đó, lý thuyết corút đã tích luỹ đợc một nội dung hết sức phong phú. Kháiniệm corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối lần đầu tiên đợc nghiên cứu cho cáckhônggian mêtric compắc. Với việc nghiên cứu chi tiết corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối trên lớp cáckhônggian mêtric compắc giúp chúng ta hiểu biết sâu sắc hơn nhiều kiến thức về lý thuyết tập hợp và Tôpô đại số. Mục đích của khoá luận là tìm hớng nghiên cứu này. Trong trờng hợp , ,X Y Z là cáckhônggian Hausdorff, M - là họ tất cả cáckhônggian mêtric. Với mục đích đó dựa vào các tài liệu tham khảo, khoá luận đợc trình bày thành các mục 1. Các kiến thức chuẩn bị. Mục này trình bày mộtsốkháiniệmvà kết quả cơbản cần dùng trong khoá luận. 2. Mộtsốkháiniệmvàtínhchấtcơbảncủacác ,AR ANRkhông gian. Trong mục này chúng tôi trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối và corút lân cận tuyệt đối trên lớp cáckhônggian mêtric compắc, mộtsốtínhchất đặc trng của nó. Mối liên hệ giữa ,AR ANRkhônggian với đa diện hình học, mộtsố Định lý về thác triển ánh xạ, nhúng những cái compắc vào AR . 3. Kết luận 4. Tài liệu tham khảo Khoá luận đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Tạ Khắc C. Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Tạ Khắc C ngời thầy đã tận tình hớng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô trong Tổ Giải tích, Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy. Cuối cùng tác giả cảm ơn tất cả cácbạn bè, đặc biệt là cácbạn trong lớp 46B1-Toán đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng vì năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận đợc những lời chỉ bảo quý báu củacác thầy cô giáo và những góp ý củabạn đọc. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 1. Các kiến thức chuẩn bị Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày mộtsốkháiniệmvà kết quả cơbản cần dùng trong khoá luận. Trong suốt luận văn này chúng tôi giả thiết cáckhônggian , ,X Y Z là 2 T - khônggianvàcác ánh xạ liên tục. Định nghĩa 1.1. Cho ,X Y là cáckhônggian Hausdosff nghĩa là 2 T - không gian. ánh xạ YXf : đợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại nghịch phải XYg : sao cho YYfg : là ánh xạ đồng nhất. Định nghĩa 1.2. Giả sử Y là tập con của X . Khi đó, ánh xạ YXf : đợc gọi là ánh xạ corút (hay phép corút) nếu ánh xạ lồng XYi : là nghịch phải của f . Nghĩa là ( )f x x= với mọi điểm .Yx Định nghĩa 1.3. Tập con 0 X củakhônggian X đợc gọi là cái corút của X nếu tồn tại phép corút từ X lên 0 X . Định nghĩa 1.4. Tập con đóng 0 X củakhônggian X đợc gọi là cái corút lân cận của X , nếu 0 X là cái corút của tập con mở ,XU và . 0 UX Định nghĩa 1.5. Ta nói khônggian mêtric X là cái corút tuyệt đối với cáckhônggian mêtric MY ( M là họ tất cả cáckhônggian mêtric) nếu với mỗi đồng phôi )(: XhXh đóng Y thì ( )h X là cái corút của Y . Ta kí hiệu ).(MARX Định nghĩa 1.6. Ta nói khônggian mêtric X là cái corút lân cận tuyệt đối với mọi khônggian mêtric MY ( M là họ tất cả cáckhônggian mêtric) nếu với mỗi đồng phôi )(: XhXh đóng Y thì tồn tại lân cận mở U của YUXh )( và tồn tại )(: XhUr là ánh xạ corút. Ta kí hiệu ).(MANRX Định lý 1.7. (Định lý Kuratowski). Đối với mỗi khônggian mêtric ),( X tồn tại khônggian định chuẩn Z và đồng phôi ZXhXh )(: và ( )h X đóng trong bao lồi ( ( )).C h X Chứng minh. Ta có thể giả thiết ( , ) 1diam X < (với diam là đờng kính). Vì nếu diam 1),( > X thì đặt ),(1 ),( ),( yx yx yx + = là một mêtric và với ),( X ta có diam .1),( < X Đặt Z = {tất cả các hàm liên tục bị chặn trên X }. Đặt mêtric * trên ;,,)()(sup),(: 212121 * ZffxfxfffZ Xx = Khi đó )(sup xff = là chuẩn trên Z . Ta xây dựng đồng phôi ZXhXh )(: nh sau x X x f Z sao cho ( ) ( , ), . x f y x y y X = Khi đó đặt ( ) . x h x f= Ta chứng minh h là đồng phôi bằng cách chứng minh đẳng mêtric (tức * ( , ) ( , )). x y x y f f = Thật vậy 1 2 1 2 1 2 * ( , ) sup ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x X f f f x f x f x f x = = ),(),(),( 2121 xxxxxx = Suy ra 1 2 * 1 2 ( , ) ( , ). x x f f x x (1) Mặt khác, với mỗi Y X , ta có 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ). x x f y f y x y x y x x = Suy ra 1 2 1 2 sup ( ) ( ) ( , ). x x X f y f y x x (2) Từ (1) và (2) ta suy ra 1 2 * 1 2 ( , ) ( , ). x x x x f f = Vậy h là đồng phôi. Ta còn phải chứng minh ( )h X đóng trong bao lồi ( ( )).C h X Giả sử ( ( )).f C h X Ta đặt lim , ( ) n n x x n f f f h X = . Vì ( ( ))f C h X nên f là tổ hợp tuyến tính nào đó các phần tử từ ( )h X , nói rõ hơn, tồn tại các điểm 0 1 , , ., k a a a X vàcácsố dơng 0 1 , , ., k sao cho 0 i k i x i f f = = với 0 1. k i i = = Không mất tính tổng quát ta giả thiết các i khác nhau và tìm đợc 0 thoả mãn 0 1 . 1k + Khi đó * ( , ) ( ) ( ) ( ) n n x n x n n f f f x f x f x = 0 0 0 1 ( ) ( , ). 1 a n n f x a x k + Bởi vì lim n x n f f = , ta suy ra 0 lim n n x a = và kết luận 0 ( ) a f f h X= . Định lý đợc chứng minh. Định lý 1.8. (Định lý Dugundji). Giả sử A là tập con đóng củakhônggian mêtric ( , )X d , còn Y là khônggian lồi địa phơng. Khi đó mỗi ánh xạ :f A Y có thác triển liên tục : .f X Y % Hơn thế nữa tất cả các giá trị f % có thể lấy từ bao lồi ( ( ))C f A của )(Af . Định lý 1.9. (Tính chất đặc trng của AR(M)). Để khônggian mêtric X là ( )AR M điều kiện cần X là r - ảnh của tập con lồi trong khônggian tuyến tính định chuẩn Z nào đó và điều kiện đủ X là r - ảnh của tập con lồi trong khônggian tuyến tính lồi địa phơng. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử ( )X AR M ta chứng minh ( )X r Q= với Q là tập lồi nằm trong khônggian định chuẩn Z . Theo Định lý Kuratowski tồn tại Q lồi Z định chuẩn sao cho ánh xạ đồng phôi : ( )h X h X trong Q lồi Z . Theo giả thiết X AR nên tồn tại ánh xạ corút : ( )r Q h X . Vậy hợp thành 1 :h r Q X là r - ánh xạ. Điều kiện đủ. Giả sử X là r - ảnh của tập con lồi Q Z khônggian tuyến tính lồi địa phơng, :f Q X là r - ánh xạ có nghịch phải :g X Q . Giả sử đồng phôi : ( )h X h X đóng trong khônggian mêtric X . Khi đó hợp thành 1 : ( ) .gh h X Q = Theo Định lý Dugundji tồn tại thác triển liên tục : X Q lên toàn bộ khônggian X . Khi đó ta đặt ( ) ( ( ( )))r x h f x = với mọi x X . Ta nhận đợc : ( )r X h X là phép corút. Thật vậy, với ( ) ( )y h x h X= thì ( ) ( )( ) ( ) .r y hf h x h x y = = = Suy ra )(MARX . Định lý đợc chứng minh. Định lý 1.10. (Tính chất đặc trng của ANR(M)). Để khônggian mêtric X là ( )ANR M điều kiện cần X là r - ảnh củamột lân cận mở nằm trong tập lồi Q nằm trong khônggian tuyến tính định chuẩn Z . Điều kiện đủ X là r - ảnh của tập con mở nằm trong tập Q lồi củakhônggian tuyến tính lồi địa phơng nào đó. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử ( )X ANR M . áp dụng Định lý Kuratowski tồn tại đồng phôi : ( )h X h X đóng trong Q lồi Z định chuẩn, suy ra tồn tại : ( )r U h X là ánh xạ corút ( U là lân cận mở của ( )h X trong Q ). Do đó 1 :h r U X là r - ánh xạ. Điều kiện đủ. Giả sử X là r - ảnh của tập mở U Q lồi Z khônggian tuyến tính lồi địa phơng, :f U X là r - ánh xạ với nghịch phải :g X U . Xét đồng phôi : ( )h X h X X ( X là khônggian mêtric tuỳ ý). Khi đó ánh xạ 1 : ( ) .gh h X U Q = Theo Định lý Dugundji tồn tại thác triển : .X Q Kí hiệu 1 ( ).U U = U là lân cận của ( )h X trong X . Đặt ( ) ( ( ( )))r x h f x = với mọi x U . Ta nhận đợc ánh xạ r corút U lên ( )h X . Vậy )(MANRX . Định lý 1.11. Giả sử Y là khônggian mêtric, khi đó (i) Y là ( )AR M khônggian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X củakhônggian mêtric X , và mỗi ánh xạ :f X Y đều có thác triển liên tục : .f X Y (ii) Y là ( )ANR M khônggian khi và chỉ khi đối với mỗi tập con đóng X củakhônggian mêtric X , mỗi ánh xạ :f X Y đều có thác triển liên tục :f U Y là lân cận U của X vào X . Định lý 1.12. (Tính phân phối củacác AR(M), ANR(M) không gian). Giả sử khônggian mêtric X là hợp của hai tập con đóng 1 2 ,X X của nó và 0 1 2 X X X= I , khi đó (i) Nếu 0 1 2 , , ( )X X X AR M thì ( )X AR M (ii) Nếu 0 1 2 , , ( )X X X ANR M thì ( )X ANR M (iii) Nếu 0 , , ( )X X AR M thì 1 2 , ( )X X AR M (iv) Nếu 0 , ( )X X ANR M thì 1 2 , ( ).X X ANR M Chứng minh. Để chứng minh (i) ta cần chứng minh rằng nếu X là tập con đóng củakhônggian mêtric Z và 0 1 2 , , ( )X X X AR M , thì X là cái corút của Z . Đặt { } 0 1 2 : ( , ) ( , )Z z Z z X z X = = { } 1 1 2 : ( , ) ( , )Z z Z z X z X = < { } 2 1 2 : ( , ) ( , ) .Z z Z z X z X = > Rõ ràng ta nhận đợc 0 1 2 ,Z Z Z Z= U U tập 0 0 X Z đóng trong 0 Z và 0 0 ( 1, 2) i X Z X i= =I . Từ đó tồn tại phép corút 0 0 0 :r Z X . Ta lại có 0i X ZU đóng trong 0i Z ZU (i = 1,2), và từ Định lý 1.11 suy ra ánh xạ 0 : i i i r X Z XU đợc xác định bởi công thức , ( ) ( ), i z r z r z = có thác triển liên tục 0 : i i i f Z Z XU . Ta đặt ( ) ( ) i r z f z= với mọi 0 ( 1, 2) i z Z Z i =U ta sẽ nhận đợc phép corút :r Z X . Ta chứng minh (ii). Chúng ta cần chứng minh rằng nếu X đóng trong khônggian mêtric Z và 0 1 2 , , ( )X X X ANR M thì tồn tại trong Z lân cận U của tập X , sao cho X là cái corút của nó. Ta có 0 X đóng trong 0 Z , do đó suy ra tồn tại lân cận 0 W của 0 X trong khônggian 0 Z và đóng trong 0 Z , và phép corút 0 0 0 :r W X . Đặt 0 ( ), ( ) , i r z r z z = Ta nhận đợc phép corút i r từ tập 0 WX i lên tập i X , i = 1,2. Bởi vì ( ) i X ANR M , và nhờ Định lý 1.11, suy ra tồn tại thác triển liên tục : i i i r V X của ánh xạ i r từ lân cận i V của tập 0 WX i vào 0i Z ZU . Trong i V ta sẽ tìm đợc lân cận đóng i U của tập i X trong khônggian 0 i Z ZU sao cho 0 0i U Z WI . Bởi vì ,)()( 0012010121 WZUZZZZUUU = thì công thức ( ) ( ) i r z r z = với , 1, 2 i z U i = xác định phép corút r từ tập 1 2 U U U= U là lân cận của X trong Z , lên tập X . Nh vậy (ii) đợc chứng minh. Chứng minh tơng tự cho (iii) và (iv) ta suy ra Định lý đợc chứng minh. Định lý 1.13. Khônggian X là ( )AR M - khônggian khi và chỉ khi X là ( )ANR M - khônggianvà corút điểm. Chứng minh. Ta đã có, mỗi AR - khônggian là corút điểm vào ANR - không gian. Ta xem X là tập con đóng của tập lồi Q nằm trong khônggian định chuẩn Z nào đó. Vì X corút điểm nên tồn tại họ { } t f các hàm liên tục X t f X sao cho 0 f biến X vào một điểm a X , còn 1 f là ánh xạ đồng nhất. Đặt 0 ( )f x a = với mọi điểm x Q ta đợc thác triển liên tục 0 :f Q X của 0 f . p dụng Định lý (Định lý. Nếu X nếu i z X nếu 0 ,z Z nếu 0 z W nếu i z X . là tập con đóng củakhônggian mêtric X , và giả sử ( )Y ANR M . Xét họ ánh xạ { } t f , [ ] 0,1t với : t f X Y và giả thiết rằng 0 f có thác triển liên tục 0 :f X Y . Khi đó tồn tại họ ánh xạ liên tục { } t f với : t f X Y , [ ] 0,1t , t f là thác triển của t f ) ta nhận đợc họ thác triển liên tục { } t f với : t f Q X của t f . Nói riêng 1 :f Q X là thác triển của ánh xạ đơn vị t f và là ánh xạ corút. áp dụng Định lý 1.9 ta có điều phải chứng minh. Định lý 1.14. Tích đề các 1 n n X X = = là )(MANR - khônggian khi và chỉ khi mỗi ( ) n X ANR M và hầu hết ( ). n X AR M Định lý 1.15. (Định lý Hanner I). Mỗi tập con mở của )(MANR - khônggian là )(MANR - không gian. Định lý 1.16. (Định lý Hanner II). Nếu khônggian mêtric X là hợp đếm đ- ợc củacác tập con mở i G của ( 1, 2, .)X i = là cácANR - khônggian thì X là ANR - không gian. Bổ đề 1.17. Nếu X là tập con đóng củakhônggian Euclide n E và G là một trong những thành phần liên thông bị chặn của \ n E X , thì không tồn tại ánh xạ liên tục :f G X sao cho ( )f x x= với mỗi \x G G . Hệ quả 1.18. Mỗi r - ảnh của ( )AR M khônggian là ( )AR M không gian. Chứng minh. Bởi khônggian mêtric X là ( )AR M khônggian thì theo Định lý 1.9 X là r - ảnh củamột tập lồi Q Z với Z là khônggian định chuẩn. Nghĩa là tồn tại r - ánh xạ :f Q X và khi đó ta viết ( )X f Q= . Bây giờ kí hiệu g là r - ánh xạ : ( )g X g X . Khi đó ( ) ( )g X gf Q= . Vì gf là tích hai r - ánh xạ nên nó là r - ánh xạ. Vậy ( )g X là r -ảnh của tập lồi Q nằm trong khônggian định chuẩn Z . Theo điều kiện đủ của Định lý 1.9 thì ( )g X là ( )AR M không gian. 2. MộtsốkháiniệmvàtínhchấtcơbảncủacácAR,ANRkhônggian Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa ,AR ANRkhônggianvàmộtsốtínhchất riêng của ,AR ANR . . chất cơ bản của các AR, ANR không gian Trong mục này, ta trình bày Định nghĩa ,AR ANR không gian và một số tính chất riêng của ,AR ANR . Định nghĩa 2.1. Không. khoá luận. 2. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của các ,AR ANR không gian. Trong mục này chúng tôi trình bày Định nghĩa corút tuyệt đối và corút lân