Khái niệm vectơ Các phép toán đối với vectơ
Khái niệm vectơ
Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng hoặc trong không gian, cho hai điểm A và
B Đoạn thẳng AB được sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một vectơ hay một đoạn thẳng có hướng Một điểm được gọi là điểm đầu, điểm còn lại được gọi là điểm cuối Đường thẳng (AB) được gọi là giá của vectơ −→
Nếu A là điểm đầu, B là điểm cuối thì vectơ được kí hiệu là −→
AB Vectơ còn có thể kí hiệu là −→a ,−→ b ; ,−→x ,−→y , Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là độ dài hay module của −→
AB và kí hiệu độ dài của −→
AB| Suy ra hai vectơ −→
BA có độ dài bằng nhau. Định nghĩa 1.1.2 Hai vectơ −→
CD được gọi là hai vectơ cùng phương hay cộng tính nếu các đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau.
CDđược gọi làcùng hướng nếu xảy ra một trong hai trường hợp sau đây (xem Hình 1.1):
(i) Nếu hai đường thẳng AB và CD song song và hai điểm B và D nằm cùng phía đối với đường thẳng AC.
(ii) Nếu hai đường thẳng AB và CD trùng nhau và một trong hai tia AB (gốc A) và tia CD (gốc C) chứa tia kia.
Hình 1.1: Hai vectơ cùng hướng.
Hai vectơ cùng phương nhưng không cùng hướng được gọi là hai vectơ ngược hướng Hai vectơ −→a và −→b được xem là bằng nhau, ký hiệu −→a = −→b, nếu chúng có cùng hướng và độ dài giống nhau.
Vectơ đối của vectơ −→a, được ký hiệu là −−→a, là vectơ có hướng ngược lại với −→a và có độ dài tương đương với độ dài của −→a Đặc biệt, vectơ này có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
M M, được gọi là vectơ-không, kí hiệu −→
0 Độ dài của vectơ-không bằng 0.
Quy ước: vectơ-không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ Từ đó suy ra mọi vectơ-không đều bằng nhau.
Các phép toán đối với vectơ
Cộng và trừ vectơ Định nghĩa 1.1.4 Tổng của hai vectơ −→a và −→ b là một vectơ được xác định như sau: từ một điểm O tùy ý trong không gian, dựng vectơ −→
OA = −→a, rồi từ A dựng vectơ −→
OB được gọi là vectơ tổng của hai vectơ −→a và −→ b Kí hiệu −→c =−→a +−→ b Tương tự, ta có thể định nghĩa tổng của n vectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−→a n
Từ định nghĩa suy ra phép cộng vectơ có các tính chất sau.
Mệnh đề 1.1.5 (i) Giao hoán: −→a +−→ b =−→ b +−→a. (ii) Kết hợp: (−→a +−→ b) +−→c =−→a + (−→ b +−→c ).
BC = −→a xem Hình 1.3 Khi đó, OACB là hình bình hành và theo định nghĩa tổng của hai vectơ, ta có
=⇒ −→a +−→ b =−→ b +−→a Chứng minh của các phần (ii), (iii), (iv) là hoàn toàn tương tự với chứng minh trên.
Vectơ tổng −→a +−→ b được xác định là vectơ đường chéo của hình bình hành, do đó phép cộng hai vectơ được thực hiện theo quy tắc hình bình hành Định nghĩa này phù hợp với quy tắc hợp hai lực đồng quy trong cơ học Hiệu của hai vectơ −→a và −→ b, ký hiệu là −→a −−→ b, là vectơ −→x sao cho −→ b +−→x = −→a, và vectơ −→x được gọi là vectơ hiệu, được viết là −→x = −→a −−→ b.
Tích của một số k với một vectơ −→a, ký hiệu là k−→a, tạo ra một vectơ mới có độ dài bằng |k|.|−→a| Nếu k > 0, vectơ này cùng hướng với −→a; ngược lại, nếu k < 0, vectơ sẽ có hướng ngược lại với −→a.
Hình 1.4: Nhân một số với vectơ.
Phép nhân một số với một vectơ có các tính chất cơ bản sau đây Các chứng minh được xem như bài tập.
Mệnh đề 1.1.9 Với mọi vectơ −→a, −→ b và mọi số thực k, l tùy ý, ta có (i) 1.−→a =−→a.
Vectơ và các phép toán liên quan được định nghĩa trong bài viết này giúp hình thành mặt phẳng và không gian thành một không gian vectơ trừu tượng theo lý thuyết Đại số tuyến tính Tuy nhiên, vì mục tiêu của chúng tôi là cung cấp tài liệu tham khảo phù hợp cho học sinh phổ thông, các khái niệm và phép toán sẽ được trình bày một cách đơn giản và dễ hiểu.
Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính
Định nghĩa 1.1.10 Chomvectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−a→ m và msốk 1 , k 2 , , k m Vectơ k 1 −→a 1 + k 2 −→a 2 + +k m −a→ m được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−a→ m với các hệ số k 1 , k 2 , , k m
Các vectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−a→ m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số k 1 , k 2 , , k m không đồng thời bằng không sao cho k 1 −→a 1 +k 2 −→a 2 + +k m −a→ m =−→
0. Ngược lại, các vectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−a→ m được gọi là độc lập tuyến tính 1
Hệ vectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−→a m (với m > 1) được coi là phụ thuộc tuyến tính nếu có ít nhất một vectơ trong số đó có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Chứng minh ⇒ / Giả sử m vectơ −→a 1 ,−→a 2 , ,−a→ m phụ thuộc tuyến tính Khi đó, có m số k1, k2, , km không đồng thời bằng không sao cho k 1 −→a 1 +k 2 −→a 2 + +k m −a→ m =−→
0. Không mất tính tổng quát, giả sử k 1 6= 0 Suy ra
−→ a m hay −→a 1 là tổ hợp tuyến tính của −→a 2 , ,−a→ m
⇐ / Không mất tính tổng quát, giả sử −a→ m là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
→a 1 , ,−−→a m−1 Khi đó, có m−1 số x 1 , x 2 , , x m−1 sao cho
Từ định lí 1.1.11 hệ quả trực tiếp sau đây.
Hệ quả 1.1.12 (i) Điều kiện cần và đủ để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính là chúng cùng phương.
(ii) Hệ hai vectơ độc lập tuyến tính khi chúng không cùng phương.
Nếu một hệ vectơ chứa vectơ-không, thì hệ đó sẽ phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.13 chỉ ra rằng ba vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng Ngoài ra, bất kỳ bốn vectơ nào trong không gian R³ đều là phụ thuộc tuyến tính.
1 Hệ vectơ − → a 1 , − → a 2 , , − a → m độc lập tuyến tớnh khi và chỉ khi nếu k 1 − → a 1 + k 2 − → a 2 + ã ã ã + k m − a → m = − →
2 Cùng thuộc một mặt phẳng.
Chứng minh (i) Giả sử ba vectơ −→a ,−→ b và −→c phụ thuộc tuyến tính Khi đó, có ba số x, y, z không đồng thời bằng không sao cho x−→a +y−→ b +z−→c =−→
0 Không mất tính tổng quát, giả sửx6= 0 Suy ra −→a =−y x
→c Do đó,−→a cùng thuộc mặt phẳng chứa hai vectơ −→ b và −→c Hay ba vectơ −→a ,−→ b và −→c đồng phẳng.
Ngược lại, giả sử −→a ,−→ b và −→c đồng phẳng Khi đó, nếu −→a và −→ b phụ thuộc tuyến tính, tức là có hai số x, y trong R không đồng thời bằng không sao cho x−→a +y−→ b = −→
0 Do đó, −→a ,−→ b và −→c phụ thuộc tuyến tính.
Nếu −→a và −→ b độc lập tuyến tính, thì do tính đồng phẳng nên vectơ −→c có thể biểu thị tuyến tính qua −→a và −→ b , tức là có x, y trong R sao cho −→c = x−→a +y−→ b hayx−→a +y−→ b − −→c =−→
0. (ii) Xét hệ bốn vectơ trong không gian −→a ,−→ b ,−→c và −→ d Nếu trong bốn vectơ
→a ,−→ b ,−→c và −→ d có chứa vectơ-không thì định lí đúng, xem Hệ quả 1.1.12.
Giả sử −→a ,−→ b ,−→c và −→ d đều khác vectơ-không Khi đó,
* Nếu trong bốn vectơ trên có hệ ba vectơ phụ thuộc tuyến tính, chẳng hạn
→a ,−→ b và −→c phụ thuộc tuyến tính, thì có ba số x, y, z trong R không đồng thời bằng không sao cho x−→a +y−→ b +z−→c = −→
0 với x, y, z không đồng thời bằng không Vậy, hệ bốn vectơ −→a ,−→ b ,−→c và −→ d phụ thuộc tuyến tính.
* Xét trường hợp trong bốn vectơ trên có hệ ba vectơ độc lập tuyến tính, chẳng hạn −→a ,−→ b và −→c Khi đó, lấy một điểm O và đặt các vectơ −→a ,−→ b ,−→c và −→ d tại
O (xem Hình 1.5) Suy ra có bốn điểm A, B, C, D xác định sao cho −→
Hình hộp được dựng lên từ mặt phẳng không đồng nhất, với đường chéo OD và ba cạnh cơ sở tương ứng nằm trên các đường thẳng OA, OB và OC Theo các tính chất của hình hộp, ta có thể xác định các đặc điểm quan trọng của nó.
OD 1 và −→a cùng phương nên
Tương tự, có y, z ∈ R\ {0} sao cho
0. Vậy, hệ vectơ −→a ,−→ b ,−→c và −→ d phụ thuộc tuyến tính. Định lí 1.1.14 Cho hai vectơ −→a 1 và −→a 2 không cùng phương Bất kì một vectơ −→a nào đồng phẳng với −→a 1 và −→a 2 cũng có thể khai triển theo các vectơ ấy, tức là
→a =x−→a 1 +y−→a 2 , và sự khai triển ấy là duy nhất.
Ba vectơ −→a 1, −→a 2 và −→a đồng phẳng nên chúng phụ thuộc tuyến tính theo Định lý 1.1.13 Giả thiết rằng −→a 1 và −→a 2 độc lập tuyến tính dẫn đến sự tồn tại của x 1, y 1 thuộc R sao cho −→a = x 1 −→a 1 + y 1 −→a 2, theo Định lý 1.1.11.
Duy nhất Giả sử có x 2 , y 2 trong R sao cho −→a =x 2 −→a 1 +y 2 −→a 2 Khi đó, ta có
→0 =−→a − −→a = (x 1 −x 2 )−→a 1 + (y 1 −y 2 )−→a 2 Lại do giả thiết −→a 1 và −→a 2 độc lập tuyến tính nên suy ra
Trong không gian R³, với ba vectơ không đồng phẳng −→a 1, −→a 2 và −→a 3, bất kỳ vectơ nào −→a đều có thể được khai triển theo ba vectơ này.
→a =x−→a 1 +y−→a 2 +z−→a 3 , và sự khai triển ấy là duy nhất.
Chứng minh Chứng minh tương tự như chứng minh của Định lí 1.1.14.
Chiếu vectơ
Định nghĩa 1.1.16 Cho hai vectơ −→a và −→ b đều khác −→
OB =−→ b Khi đó, góc AOB[ được gọi là góc hợp bởi hai vectơ −→a và −→ b, kí hiệu (−→a ,−→ b ) Nếu một trong hai vectơ là −→
0 thì góc giữa chúng xem bằng bao nhiêu cũng được.
Hai vectơ −→a và −→b được gọi là trực giao (hay vuông góc) khi (−→a ,−→b) = 90° Một đường thẳng có một vectơ đơn vị 3 được gọi là một trục, và hướng của vectơ đơn vị này được xem là hướng của trục Đối với trục ∆ có vectơ đơn vị −→e và vectơ −→a khác vectơ không, góc giữa −→a và trục ∆ được xác định là góc giữa vectơ −→a và vectơ −→b cùng phương với vectơ −→e, với điều kiện 0° ≤ (−→a ,−→b) ≤ 90°.
Cho một trục ∆ với −→e là vectơ đơn vị, một mặt phẳng P không song song với
Trong không gian, điểm A có thể được tùy ý chọn Qua điểm A, mặt phẳng B được dựng song song với mặt phẳng P, cắt mặt phẳng ∆ tại hai điểm A1 và B1 Các điểm A1 và B1 được xác định là các điểm chiếu tương ứng của điểm A và B trên mặt phẳng ∆ theo phương P.
A 1 B 1 được gọi là vectơ chiếu (hay hình chiếu) của −→
AB trên ∆ theo phương P Kí hiệu pr P ∆ −→
A 1 B 1 và −→e ngược hướng Số p được gọi là độ dài hình chiếu của vectơ −→
AB trên trục ∆ theo phươngP và kí hiệu p= |pr P ∆ −→
Người ta còn gọi p là độ dài đại số của A 1 B 1 và kí hiệu p= A 1 B 1
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của phép chiếu vectơ mà chứng minh không được trình bày ở đây và có thể tìm thấy trong [?].
Mệnh đề 1.1.19 (i) Các vectơ bằng nhau có hình chiếu (trên cùng một trục, theo cùng một phương) bằng nhau, tức là
(ii) Hình chiếu của vectơ tổng bằng tổng các hình chiếu của các vectơ thành phần, nghĩa là pr P ∆ (−→a +−→ b ) = pr P ∆ −→a + pr P ∆ −→ b
Mệnh đề sau đây chỉ đúng trong trường hợp mặt phẳng P vuông góc với ∆ (phép chiếu vuông góc).
Mệnh đề 1.1.20 Độ dài của hình chiếu của một vectơ trên một trục bằng độ dài của vectơ nhân với cosin của góc giữa trục và vectơ.
Tích vô hướng của hai vectơ
Định nghĩa 1.1.21 Cho hai vectơ −→a và −→ b bất kì Tích vô hướng của hai vectơ
→a và −→ b , kớ hiệu −→a ã−→ b , là số thực |−→a||−→ b|cos(−→a ,−→ b).
Hai vectơ được coi là trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0 Ngoài ra, độ dài của vectơ −→a được tính bằng bình phương của nó, tức là −→a 2 = |−→a| 2 Dưới đây là một số tính chất cơ bản của tích vô hướng mà bạn cần biết.
3 Vectơ có độ dài bằng 1.
Mệnh đề 1.1.22 Cho ba vectơ −→a ,−→ b ,−→c bất kì và các số thực k, l tùy ý Ta có (i) Giao hoỏn: −→a ã−→ b =−→ b ã −→a. (ii) (k−→a)ã−→ b =k(−→a ã−→ b ).
(iii) Phõn phối với phộp cộng vectơ: −→a ã(−→ b +−→c ) =−→a ã−→ b +−→a ã −→c.
Chứng minh (i) Theo định nghĩa của góc giữa hai vectơ, ta có (−→a ,−→ b ) = (−→ b ,−→a).
→a ã−→ b =|−→a||−→ b|cos(−→a ,−→ b) =|−→ b ||−→a|cos(−→ b ,−→a) =−→ b ã −→a (ii) Ta có
* Nếu k ≥ 0, thì k−→a cùng hướng với −→a Do đó, (k−→a ,−→ b ) = (−→a ,−→ b ) Suy ra
* Nếu k 0 thì hai hệ tọa độ đã cho được gọi làcùng hướng; ngược lại, được gọi là ngược hướng.
Tính chất cùng hướng tạo ra một quan hệ tương đương giữa các mục tiêu affine trên mặt phẳng, chia chúng thành hai lớp: mục tiêu thuận (có hướng thuận) và mục tiêu nghịch (có hướng nghịch) Mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng định hướng, trong đó mục tiêu thuận được xác định khi góc giữa hai vectơ −→ i và −→ j là dương, trong khi mục tiêu nghịch có góc âm.
4 Công thức (1.1) có thể viết dưới dạng ma trận như sau ù x y ò
Hình 1.8: (a) Mục tiêu affine thuận, (b) Mục tiêu affine nghịch.
Ví dụ 1.2.5 (1) Trong mặt phẳng, hãy viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ) sang mục tiêu (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 biết
Theo giả thiết, ta có tọa độ của O 0 , −→ i 0 và −→ j 0 đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ) lần lượt là (2,−1), (1,−1) và (0,−2).
Do đó, công thức đổi mục tiêu cần tìm là
(2) Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho O(1,1), O 0 (0,1) và −→ i (1,1), −→ j = (1,2), −→ i 0 = (2,−1) và −→ j 0 = (1,−1).
(a) Chứng minh rằng (O;−→ i ,−→ j ) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) là hai mục tiêu.
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ).
(c) Hai mục tiêu trên có cùng hướng không?
(d) Hãy tìm điểm N và tọa độ của N đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ) khi biết
(e) Hãy tìm những điểm có cùng tọa độ đối với hai mục tiêu trên.
(a) Xét hệ vectơ {−→ i ,−→ j } Ta có x−→ i +y−→ j = −→
Suy ra −→ i và −→ j độc lập tuyến tính Vậy, (O;−→ i ,−→ j ) là mục tiêu.
Lập luận tương tự, ta cũng chứng minh được (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) là mục tiêu.
Lập luận tương tự, ta có
Do đó, công thức đổi mục tiêu cần tìm là
(c) Ma trận của phép đổi mục tiêu là
Do detA=−1< 0nên hai mục tiêu đã cho ngược hướng.
(O 0 ; − → i 0 , − → j 0 ) = (−1,1), ta thay x 0 =−1, y 0 = 1 vào công thức đổi mục tiêu, ta đượcx =−4, y = 2 Do đó, N
(e) Những điểm M cần tìm có tọa độ đối với hai mục tiêu trên là nghiệm hệ
→j Suy ra điểm thỏa yêu cầu bài toán là M(4/3,2/3) (xem câu (d)).
(3) Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho hai mục tiêu affine (O;−→ i ,−→ j ) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) biết O(1,1), O 0 (0,1) và −→ i = (1,1), −→ j = (1,2), −→ i 0 (2,−1) và −→ j 0
(a) Hãy tìm vectơ−→ j 0 nếu biết điểmA(1,2)có tọa độ đối với mục tiêu(O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) là (2,1).
(b) Hãy tìm vectơ −→ j 0 nếu biết điểm A có A
(c) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) nếu biết
Lập luận tương tự như câu (a), ta tính được −→ j 0 = (0,1).
(c) Cách 1 Áp dụng câu (b) có thể tìm được vectơ −→ j 0 Sau đó, viết công thức đổi mục tiêu như bình thường.
Cách 2 Dễ dàng tính được
(O; − → i , − → j ) = (a, b) Khi đó, công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) là
(O 0 ; − → i 0 , − → j 0 ) = (1,1) nên thay vào công thức đổi mục tiêu trên, ta được a= −5, b= 7.
Vậy, công thức cần tìm là
Phép tịnh tiến mục tiêu Đổi mục tiêu affine (O;−→ i ,−→ j ) thành(O 0 ;−→ i ,−→ j ) được gọi làphép tịnh tiến mục tiêu theo vectơ −→v =−−→
OO 0 = (a 0 , b 0 ) Khi đó, biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là
x= x 0 +a 0 y = y 0 +b 0 , (1.2) ma trận của phép tịnh tiến là
Ví dụ 1.2.6 Trong mặt phẳng, cho hai mục tiêu affine T = (O;−→ i ,−→ j ) và T 0 (O 0 ;−→ i ,−→ j ) và điểm A Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ T sang T 0 biết A
Do T và T 0 đều có cơ sở vectơ là {−→ i ,−→ j } nên phép đổi mục tiêu là phép tịnh tiến Do đó, công thức đổi mục tiêu có dạng
Theo giả thiết ta có A
Vậy, công thức cần tìm là
Tâm tỉ cự
Định nghĩa 1.2.7 Cho hệ m điểm A 1 , A 2 , , A m và cho m số k 1 , k 2 , , k m mà k 1 +k 2 +ã ã ã+k m 6= 0 Điểm Gđược gọi là tõm tỉ cự củam điểm A i , i= 1,2, , m, với m số tương ứng k i , i = 1,2, , m, nếu m X i=1 k i −−→
Trong trường hợp k 1 =k 2 =ã ã ã=k m 6= 0thỡ điểm G như thế được gọi làtrọng tâm của hệ điểm {A i } i=1,m Khi đó, ta có n X i=1
0. Đặc biệt, m = 2: G là trung điểm của hai điểm A 1 , A 2 ; m = 3 (không thẳng hàng): G là trọng tâm của tam giác A 1 A 2 A 3 theo nghĩa đã biết là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Nếu A i (x i , y i ), i= 1,2, , m, và G(x, y) thì (theo định nghĩa) ta có
x = k1x1+k2x2+ã ã ã+kmxm k 1 +k 2 +ã ã ã+k m m P i=1k i x i m P i=1k i y = k 1 y 1 +k 2 y 2 +ã ã ã+k m y m k 1 +k 2 +ã ã ã+k m m P i=1k i y i m P i=1 k i , trong đó P m i=1k i = k 1 +k 2 +ã ã ã+k m 6= 0. Định nghĩa 1.2.8 Cho ba điểm A, B và C thẳng hàng, A 6= C Số k được gọi là tỉ số đơn của bộ ba điểm thẳng hàng có thứ tự (A, B, C) nếu −→
AC (với k 6= 1) Khi đó, ta còn nói điểm B chia đoạn thẳng AC theo tỉ số k và kí hiệu (A, B, C) =k.
0, vậy B là tâm tỉ cự của hai điểm A, C với hai hệ số tương ứng 1,−k Từ đó nếu A(x 1 , y 1 ), C(x 2 , y 2 ), B(x, y) thì ta có công thức sau
Nếu k > 0, điểm B được xem là điểm chia ngoài đoạn thẳng AC theo tỉ số k; còn nếu k < 0, B là điểm chia trong đoạn thẳng AC theo tỉ số k Đặc biệt, khi k = -1, B trở thành trung điểm của đoạn thẳng AC.
Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng
Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1 Hệ tọa độ affine (O;−→ i ,−→ j ) có cơ sở vectơ {−→ i ,−→ j } gồm hai vectơ đơn vị trực giao với nhau 5 được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (xem Hình 1.9).
Hệ tọa độ trực chuẩn còn được gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc.
Hình 1.9: Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng.
Hệ tọa độ trực chuẩn chia sẻ nhiều tính chất với hệ tọa độ affine, nhưng cũng có những đặc điểm riêng mà không áp dụng cho mọi hệ tọa độ affine.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Mệnh đề 1.3.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ −→u = (x 1 , y 1 ) và −→v (x 2 , y 2 ) Khi đó, ta có
Từ Mệnh đề 1.3.2, ta có thể thu được một số công thức sau đây và chứng minh được xem như bài tập.
Mệnh đề 1.3.3 Trong mặt phẳng (Oxy), cho −→u = (x 1 , y 1 ) và −→v = (x 2 , y 2 ) Khi đó, ta có
Đổi hệ tọa độ trực chuẩn
Hệ tọa độ trực chuẩn là một trường hợp đặc biệt của hệ tọa độ affine, do đó có công thức chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ trực chuẩn (O; −→i, −→j) sang hệ tọa độ (O0; −→i0, −→j0) như sau.
OO 0 = (a 0 , b 0 ) đối với hệ tọa độ (O;−→ i ,−→ j ).
Do các hệ tọa độ là trực chuẩn nên −→ i 0 2 =−→ j 0 2 = 1 và −→ i 0 ã−→ j 0 = 0 Hay a 2 1 +b 2 1 = 1, a 2 2 +b 2 2 = 1 và a 1 a 2 +b 1 b 2 = 0.
Do vậy, ta có thể tìm được các góc α, β sao cho a 1 = cosα, b 1 = sinα và a 2 cosβ, b 2 = sinβ Suy ra (xem Hình 1.10) cos(β−α) = 0 (a 1 a 2 +b 1 b 2 = 0)⇔ β =α+ π
Do đó, công thức đổi tọa độ (1.3) trở thành
Do đó, công thức đổi tọa độ (1.3) trở thành
Chú ý Phép đổi tọa độ (1.4) bảo toàn hướng hệ tọa độ ban đầu, còn phép đổi tọa độ (1.5) sẽ làm đảo hướng.
Hình 1.10: Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng.
Ví dụ 1.3.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O;−→ i ,−→ j ) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) Biết
(a) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O;→− i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ). (b) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) sang (O;−→ i ,−→ j ). (c) Cho điểm M có M
(O; − → i , − → j ) = (1,1) Hãy tìm tọa độ của điểm M đối với mục tiêu (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ).
(a) Theo giả thiết, ta có
Do đó, công thức đổi tọa độ cần tìm là
(b) Cách 1 Từ công thức đổi mục tiêu ở câu (a), ta giải x 0 , y 0 theo x, y và thu được công thức đổi tọa độ cần tìm là
2 Cách 2 Theo giả thiết, ta có
Do đó, công thức đổi tọa độ cần tìm là
(O; − → i , − → j ) = (1,1), thay x=y = 1 vào công thức đổi hệ tọa độ trong câu (b), ta được
Phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ
Đổi hệ tọa độ trực chuẩn (O;−→ i ,−→ j ) sang hệ tọa độ mới (O;−→ i 0 ,−→ j 0 ) gọi là phép quay hệ tọa độ một góc α (xem Hình 1.11 (a)), ở đó α = (−→ i ,−→ i 0 ), β = (−→ i ,−→ j 0 ) với β =α+ π
2 + 2lπ. Áp dụng các công thức (1.4) và (1.5) với a 0 = b 0 = 0 ta thu được công thức của phép quay.
Do đó, công thức phép quay
Do đó, công thức phép quay
Ví dụ 1.3.5 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn(O;−→ i ,−→ j )sang hệ tọa trực chuẩn(O;−→ i 0 ,−→ j 0 ) với −→ i 0 =−→ i và −→ j 0 =−−→ j (xem Hình 1.11).
2 Do đó, ma trận của phép quay là
Vậy, công thức đổi hệ tọa độ cần tìm là
6 Có thể tìm công thức phép quay theo cách tìm công thức đổi hệ tọa độ trực chuẩn thông thường.
Hình 1.11: (a) Minh họa phép quay hệ tọa độ, (b) Các hệ tọa độ trong ví dụ về phép quay hệ tọa độ.
Mục tiêu affine trong không gian
Mục tiêu affine trong không gian Tọa độ
Trong không gian, một điểm O và ba vectơ không đồng phẳng −→i, −→j, −→k tạo thành một hệ tọa độ affine, được gọi là mục tiêu affine Điểm O là gốc tọa độ, trong khi bộ ba vectơ {−→i, −→j, −→k} được xem là cơ sở vectơ của mục tiêu.
Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tương ứng với các vectơ chỉ phương −→ i ,−→ j ,−→ k được ký hiệu là Oxyz Định nghĩa 1.4.2 nêu rằng cho một mục tiêu affine (O;−→ i ,−→ j ,−→ k), mỗi vectơ −→u trong không gian có thể được phân tích một cách duy nhất theo các vectơ −→ i ,−→ j ,−→ k, từ đó tạo ra một bộ ba số thực có thứ tự (x, y, z).
Khi đó, (x, y, z) được gọi là tọa độ affine của vectơ −→u đối với mục tiêu affine (O;−→ i ,−→ j ;−→ k) và kí hiệu là −→u
Có thể viết là −→u = (x, y, z) nếu không sợ nhầm lẫn về mục tiêu Ta có
→u = (x, y, z) ⇐⇒ −→u = x−→ i +y−→ j +z−→ k Định nghĩa 1.4.3 Với mỗi điểm M, tọa độ của vectơ −−→
OM được gọi là tọa độ affine của điểm M đối với mục tiêu affine đã cho Nếu điểmM có tọa độ là(x, y, z), ta viết M = (x, y, z) hay M(x, y, z).
Ta có các tính chất sau đây về mục tiêu affine và các chứng minh được xem như bài tập.
Mệnh đề 1.4.4 (i) Nếu M(x 1 , y 1 , z 1 ) và N(x 2 , y 2 , z 2 ) thì
→u +−→v = (x+x 0 , y+y 0 , z+z 0 ), k−→u = (kx, ky, kz), k ∈R. (iii) Nếu −→u = (x, y, z) 6= −→
0 cộng tuyến thì có k 6= 0 sao cho −→u =k−→v Do đó, các tọa độ của chúng tỉ lệ, tức là x: x 0 = y : y 0 =z : z 0 7
Đổi mục tiêu affine trong không gian
Cho hai hệ tọa độ affine (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ), cùng với một điểm M có tọa độ (x, y, z) trong hệ thứ nhất và (x 0 , y 0 , z 0) trong hệ thứ hai Mối liên hệ giữa hai hệ tọa độ này có thể được thiết lập thông qua các vectơ −→ i 0, −→ j 0, −→ k 0 với tọa độ lần lượt là (a 1 , b 1 , c 1), (a 2 , b 2 , c 2), (a 3 , b 3 , c 3) Việc tìm ra mối liên hệ này sẽ giúp hiểu rõ hơn về sự chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ trong không gian.
Công thức (1.10) được gọi là công thức đổi mục tiêu hay công thức đổi tọa độ affine trong không gian 8 Các hệ số trong (1.10) được viết thành ma trận
7 Nếu có một trong x 0 , y 0 , z 0 bằng 0 thì một trong x, y, z, tương ứng, cũng bằng 0.
8 Dạng ma trận của công thức (1.10) là
và được gọi là ma trận của phép đổi mục tiêu (1.10) Dễ thấy detA 6= 0, chứng minh xem như bài tập.
Nếu detA > 0, hai hệ tọa độ đã cho được gọi là cùng hướng Nếu detA < 0, hai hệ tọa độ đó được gọi là ngược hướng.
Trong không gian affine, các mục tiêu được phân chia thành hai lớp tương đương: mục tiêu thuận (có hướng thuận) và mục tiêu nghịch (có hướng nghịch) Không gian này được gọi là không gian định hướng, trong đó mục tiêu thuận và mục tiêu nghịch thường được sử dụng như các hệ tọa độ, như minh họa trong Hình 1.12.
Hình 1.12: (a) Mục tiêu thuận, (b) Mục tiêu nghịch trong không gian.
Ví dụ 1.4.5 (1) Hãy viết công thức đổi mục tiêu affine từ mục tiêu(O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang mục tiêu affine(O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) với O 0 (a 0 , b 0 , c 0 ),−→ i 0 =−→ i ,−→ j 0 =−→ j ,−→ k 0 =−→ k 9 Giải.
Theo giả thiết, đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ,−→ k), ta có
Do đó, ma trận đổi mục tiêu
Suy ra công thức tịnh tiến hệ mục tiêu affine trong không gian theo vectơ −−→
(2) Viết công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu affine (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang mục tiêu affine (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) với O 0 (0,0,0), −→ i 0 =λ−→ i ,−→ j 0 =λ−→ j ,−→ k 0 =λ−→ k , λ6= 0.
9 Phép đổi mục tiêu này được gọi là phép tịnh tiến mục tiêu theo vectơ −−→
Tương tự ví dụ (1), ta có ma trận đổi mục tiêu
Công thức đổi hệ mục tiêu affine cần viết là
(3) Trong không gian với mục tiêu affine đã chọn, cho O(1,1,1), O 0 (0,1,0) và −→ i = (1,1,1), −→ j = (1,1,0), −→ k = (1,0,0), −→ i 0 = (1,1,0), −→ j 0 = (1,0,1) và
(a) Chứng minh rằng (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là hai mục tiêu.
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) 10 (c) Hai mục tiêu trên có cùng hướng không?
(d) Hãy tìm điểm N và tọa độ của N đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) khi biết tọa độ của điểm N đối với mục tiêu (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là (1,−1,1).
(e) Hãy tìm những điểm có cùng tọa độ đối với hai mục tiêu trên.
(a) Xét hệ vectơ {−→ i ,−→ j ,−→ k} Ta có x−→ i +y−→ j +z−→ k =−→
Suy ra −→ i ,−→ j và −→ k độc lập tuyến tính 11 Vậy, (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) là mục tiêu.
Lập luận tương tự, ta cũng chứng minh được (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là mục tiêu. (b) Ta có −−→
10 Người đọc tự có thể tìm được công thức đổi tọa độ từ mục tiêu (O 0 ; − → i 0 , − → j 0 , − → k 0 ) sang mục tiêu (O; − → i , − → j , − → k ).
11 Có thể xét sự độc lập tuyến tính của hệ vectơ bằng cách sử dụng các phương pháp của Đại số tuyến tính.
Lập luận tương tự, ta có
Do đó, công thức đổi mục tiêu cần tìm là
(c) Ma trận của phép đổi mục tiêu là
Do detA= 2> 0nên hai mục tiêu đã cho cùng hướng.
O 0 N = (a, b−1, c) = (0,2,0) hay a= 0, b= 3 và c= 0 Vậy, N(0,3,0). Cũng theo giả thiết N
(O 0 ; − → i 0 , − → j 0 , − → k 0 ) = (1,−1,1), thay x 0 = 1, y 0 = −1 và z 0 = 1 vào công thức đổi mục tiêu, ta được x = −1, y = 3, z = −3 Vậy, N
(e) Những điểm M cần tìm có tọa độ đối với hai mục tiêu trên là nghiệm hệ 12
OM =−3−→ i −−→ j −−→ k Suy ra điểm thỏa yêu cầu bài toán là M(−4,−3,−2) (xem câu (d)).
Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian
Định nghĩa
Mục tiêu affine (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) được định nghĩa là có cơ sở vectơ {−→ i ,−→ j ,−→ k} bao gồm các vectơ đơn vị, đôi một trực giao với nhau Cụ thể, các điều kiện cần thỏa mãn là −→ i ² = −→ j ² = −→ k ² = 1 và −→ i · −→ j = −→ j · −→ k = −→ k · −→ i = 0 Khi đạt được các tiêu chí này, nó được gọi là mục tiêu trực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn, còn được biết đến với tên gọi hệ tọa độ Descartes vuông góc.
Các tính chất của mục tiêu affine trong không gian cũng áp dụng cho mọi hệ tọa độ trực chuẩn Tuy nhiên, hệ tọa độ trực chuẩn có những đặc điểm riêng mà không còn đúng trong một mục tiêu affine bất kỳ.
12 Thay (x 0 , y 0 , z 0 ) = (x, y, z) vào công thức đổi mục tiêu ở câu (b).
Đổi hệ tọa độ trực chuẩn
Trong không gian với hai hệ tọa độ trực chuẩn (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0), điểm M có tọa độ lần lượt là (x, y, z) và (x 0 , y 0 , z 0) Bài viết này sẽ khám phá mối liên hệ giữa hai tọa độ của điểm M trong hai hệ tọa độ khác nhau.
Giả sử đối với hệ tọa độ (O;−→ i ,−→ j ,−→ k), ta có O 0 (a 0 , b 0 , c 0 ), −→ i 0 = (a 1 , b 1 , c 1 ),
→j 0 = (a 2 , b 2 , c 2 ) và −→ k 0 = (a 3 , b 3 , c 3 ) Vì (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) cũng là mục tiêu affine nên ta có công thức đổi mục tiêu là
Ma trận của phép đổi hệ tọa độ (1.11) là
Do (O;−→ i ,−→ j ;−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là các hệ tọa độ trực chuẩn nên các điều kiện
→i 0 ã−→ j 0 =−→ j 0 ã−→ k 0 = −→ k 0 ã−→ i 0 = 0 tính theo tọa độ của −→ i 0 , −→ j 0 và −→ k 0 đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ;−→ k) tương đương với
=I 3 , trong đó A T ệa 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 è là ma trận chuyển vị của ma trận A, và I 3 ệ1 0 0
0 0 1 è là ma trận đơn vị.
Ví dụ 1.5.2 Trong không gian, cho hai hệ tọa độ trực chuẩn (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) Biết
(a) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ(O;−→ i ,−→ j ,−→ k)sang(O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ). (b) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ(O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 )sang(O;−→ i ,−→ j ,−→ k). (c) Cho điểm M có M
(O 0 ; − → i 0 , − → j 0 , − → k 0 ) = (1,0,0) Hãy tìm tọa độ của điểm M đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ,−→ k).
(a) Theo giả thiết, ta có
Do đó, công thức đổi mục tiêu cần tìm là
(b) Cách 1 Từ công thức đổi mục tiêu ở câu (a), ta giải x 0 , y 0 , z 0 theo x, y, z và thu được công thức đổi mục tiêu cần tìm là
Cách 2 Theo giả thiết, ta có
Do đó, công thức đổi mục tiêu cần tìm là
Công thức đổi hệ tọa độ trực chuẩn có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: [x] = A[x 0 ] + [a], trong đó A T = A −1 Để tìm công thức cần thiết, ta nhân A −1 vào phương trình ma trận đã nêu.
(O 0 ; − → i 0 , − → j 0 , − → k 0 ) = (1,0,0), thay x 0 = 1, y 0 = z 0 = 0 vào công thức đổi hệ tọa độ trong câu (a), ta được
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Mệnh đề 1.5.3 Trong không gian Oxyz, cho −→u = (x 1 , y 1 , z 1 ) và −→v = (x 2 , y 2 , z 2 ). Khi đó, ta có
Từ Mệnh đề 1.5.3, ta có thể thu được một số công thức sau đây.
Mệnh đề 1.5.4 Trong không gian Oxyz, cho −→u = (x 1 , y 1 , z 1 ) và −→v = (x 2 , y 2 , z 2 ). Khi đó, ta có
Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa 1.5.5 Cho hai vectơ −→a và −→ b bất kì trong không gian Oxyz Tích có hướng của hai vectơ −→a và −→ b , kí hiệu −→a ∧−→ b , là một vectơ được xác định như sau
* Bộ ba (−→a ,−→ b ,−→a ∧−→ b ) cùng hướng với bộ ba vectơ cơ sở của hệ tọa độ Oxyz.
Ví dụ 1.5.6 Trong mục tiêu trực chuẩn (O;−→ i ,−→ j ,−→ k), theo định nghĩa của tích có hướng, ta có
→i ∧−→ j =−→ k ,−→ j ∧−→ k =−→ i ,−→ k ∧−→ i =−→ j Dưới đây là một số tính chất của tích có hướng của hai vectơ.
Mệnh đề 1.5.7 (i) −→a ∧−→ b =−−→ b ∧ −→a. (ii) (k−→a)∧−→ b =k(−→a ∧−→ b ) với mọi k ∈R. (iii) Phân phối với phép cộng vectơ: −→a ∧(−→ b +−→c ) =−→a ∧−→ b +−→a ∧ −→c
Chứng minh Hai tính chất (i) và (ii) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Để xây dựng vectơ −→a ∧−→b khi |−→a|= 1, trước tiên, chúng ta cần xác định mặt phẳng P vuông góc với vectơ −→a Tiếp theo, ta gọi −→b 0 là hình chiếu vuông góc của vectơ −→b lên mặt phẳng P Cuối cùng, thực hiện quay vectơ −→b 0 một góc 90 độ hoặc -90 độ trên mặt phẳng P để hoàn thiện quá trình.
P được vectơ −→u sao cho bộ ba (−→a ,−→ b ,−→u) cùng hướng với bộ ba (−→ i ,−→ j ,−→ k) Khi đó, −→u =−→a ∧−→ b Thật vậy, vectơ −→u trực giao với hai vectơ −→a và −→ b và
= |−→ b |sin(−→a ,−→ b) =|−→a||−→ b|sin(−→a ,−→ b ) do Mệnh đề 1.1.20 và (−→a ,−→ b ) + (−→ b ,−→ b 0 ) = 90 0 Bây giờ ta sẽ chứng minh công thức
Trong trường hợp |−→a| = 1, ta có công thức a ∧(−→ b +−→c ) =−→a ∧−→ b +−→a ∧ −→c Gọi mặt phẳng P vuông góc với vectơ −→a, và định nghĩa −→ b 0 và −→ c 0 là hình chiếu vuông góc của −→ b và −→c lên mặt phẳng P Khi đó, vectơ −→ b 0 +−→ c 0 chính là hình chiếu vuông góc của vectơ −→ b +−→c lên mặt phẳng P theo Mệnh đề 1.1.19 Nếu quay các vectơ −→ b 0, −→ c 0 và −→ b 0 +−→ c 0 trên P cùng một góc 90 độ hoặc −90 độ, ta sẽ nhận được các vectơ →−u, −→v và −→w tương ứng.
Và hiển nhiên là −→w = −→u +−→v Do đó,
Nếu vectơ −→a không phải là vectơ đơn vị thì đặt−→ a 0 −
|−→a| Khi đó, ta có|−→ a 0 | = 1 và −→a =|−→a|−→ a 0 nên áp dụng công thức trên, ta được
Trong không gian Oxyz, hai vectơ −→a = (a1, a2, a3) và −→b = (b1, b2, b3) có thể được biểu diễn bằng biểu thức tọa độ của tích có hướng Mệnh đề 1.5.8 trình bày rõ ràng mối quan hệ này giữa hai vectơ.
13 Có thể ghi nhớ theo lược đồ − → a ∧ − → b = a 1 b 1
→ k bằng cách khai triển giả-định thức này theo cột thứ ba.
Chứng minh Ta có −→a = a 1 −→ i +a 2 −→ j +a 3 −→ k và −→ b = b 1 −→ i +b 2 −→ j +b 3 −→ k Do đó, theo Mệnh đề 1.5.7 và ví dụ 1.5.6, ta có
Mệnh đề 1.5.9 (i) −→a ∧(−→ b ∧ −→c ) = (−→a ã −→c )−→ b −(−→a ã−→ b )−→c (ii) Hằng đẳng thức Lagrange: |−→a ∧−→ b | 2 + (−→a ã−→ b ) 2 = |−→a| 2 |−→ b | 2 (iii) |−→a ∧−→ b | bằng diện tích hình bình hành dựng trên −→a và −→ b.Chứng minh Xem như bài tập.
Tích hỗn hợp của ba vectơ
Định nghĩa 1.5.10 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a ,−→ b và −→c Tích hỗn hợp của bộ ba vectơ có thứ tự −→a ,−→ b ,−→c , kí hiệu [−→a ,−→ b ,−→c], là tích vô hướng (−→a ∧−→ b)ã −→c của vectơ −→a ∧−→ b với −→c
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau đây của tích hỗn hợp và chứng minh được xem như bài tập.
Mệnh đề 1.5.11 (i) [−→a ,−→ b ,−→c] = [−→ b ,−→c ,−→a] = [−→c ,−→a ,−→ b ] (tính chất hoán vị vòng quanh).
(v) |[−→a ,−→ b ,−→c ]| bằng thể tích của hình hộp dựng trên −→a ,−→ b và −→c
Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp
Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ
Phương trình của đường và mặt
Phương trình của đường trong mặt phẳng
Phương trình tổng quát của một đường trong mặt phẳng Oxy được định nghĩa là F(x, y) = 0, trong đó điểm M(x, y) thuộc đường (C) nếu và chỉ nếu tọa độ (x, y) thỏa mãn phương trình này.
M thỏa mãn F(x, y) = 0 Nếu phương trình F(x, y) = 0 còn được viết dưới dạng tương đương y =f(x) thì f(x) được gọi là phương trình dạng hiển của đường (C).
Ví dụ 1.6.2 Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R (R > 0) (xem Hình 1.13), có phương trình
Hình 1.13: Đường tròn trong mặt phẳng.
Phương trình tham số của đường trong mặt phẳng
Cho đường (C) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Nếu điểm M(x, y) thuộc đường (C) khi và chỉ khi có một giá trị t để x=f(t), y =g(t), thì
x=f(t) y =g(t) được gọi là phương trình tham số của đường (C), với t là tham số, trong đó f(t) và g(t) là các hàm số của t.
Ví dụ 1.6.3 Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R (>0), có phương trình tham số trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy là
Trong đót là góc giữa hai vectơ −→ i và −−→
Trong hệ tọa độ cực, mỗi điểm M(x, y) trong mặt phẳng Euclide được xác định bởi cặp số (r, ϕ), trong đó r là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ O và ϕ là góc giữa trục hoành và đoạn thẳng nối gốc tọa độ với điểm M Công thức tính r là r = √(x² + y²).
OM (0≤ ϕ 0), có phương trình trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz là
(2) Trong hệ tọa độ Oxyz cho phương trình F(x, y) = 0, đó là phương trình của một mặt trụ sinh ra bởi các đường thẳng (được gọi là đường sinh) di động
Hình 1.17: Mặt cầu. luôn song song với trụcOz và tựa trên một đường cong có phương trình trong mặt phẳng Oxy là F(x, y) = 0.
Phương trình tham số của mặt trong không gian Định nghĩa 1.6.9 Cho mặt (S) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Nếu điểm
M(x, y, z) thuộc mặt (S) khi và chỉ khi có cặp số (u, v) để x =f(u, v), y =g(u, v) và z = h(u, v) thì hệ phương trình
x=f(u, v) y = g(u, v) z =h(u, v) được gọi là phương trình tham số của mặt (S), với các tham số là u và v, trong đó f(u, v), g(u, v) và h(u, v) là các hàm số của hai biến u, v.
Ví dụ 1.6.10 Mặt cầu tâm O, bán kínhR có phương trình tham số với các tham số u, v như sau
Thật vậy, nếu điểm M(x, y, z) có tọa độ thỏa mãn phương trình tham số trên thì ta có
= R 2 sin 2 vcos 2 u+R 2 sin 2 vsin 2 u+R 2 cos 2 v
Vậy, M thuộc mặt cầu tâmO bán kính R.
Ngược lại, nếu M thuộc mặt cầu tâm(O;R), gọiM 1 là hình chiếu củaM xuống mặt phẳng Oxy, ta đặt v = (−→ k ,−−→
OM 1 ) thì được phương trình tham số nói trên.
Trong không gian Euclide 15 với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, mỗi điểm M(x, y, z) được xác định bởi bộ ba số (r, ϕ, z), trong đó r = √(x² + y²) và ϕ là góc lượng giác (ϕ ∈ [0, 2π]) giữa vectơ −→i và −−→.
(0 ≤ ϕ < 2π), với M 0 là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng Oxy, thì (r, ϕ, z) được gọi là tọa độ trụ của điểm M.
Ta có liên hệ gữa tọa độ trực chuẩn của M và tọa độ trụ của nó như sau.
Trong tọa độ trụ, một điểm M(r, ϕ, z) thuộc mặt (S) khi và chỉ khi thỏa mãn phương trình F(r, ϕ, z) = 0 Phương trình này định nghĩa mối quan hệ giữa các tọa độ r, ϕ và z, trong đó x = rcosϕ, y = rsinϕ và z = z.
Ta có thể thay F(r, ϕ, z) = 0 bởi dạng hiển z = f(r, ϕ) nếu hai phương trình đó tương đương.
Trong không gian Euclide với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, mỗi điểm M(x, y, z) được xác định bởi bộ ba số có thứ tự (r, ϕ, θ), trong đó r là khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ, ϕ là góc giữa trục z và đoạn thẳng nối gốc với điểm, và θ là góc giữa trục x và hình chiếu của đoạn thẳng đó lên mặt phẳng xy.
OM 0 ) với M 0 là hình chiếu vuông góc của Mxuống mặt phẳng Oxy.
OM). thì (r, ϕ, θ) được gọi là tọa độ cầu của điểm M.
Chú ý Các góc ϕ và θ đều là góc lượng giác, với ϕ ∈[0,2π), θ ∈ [0, π].
Ta có mối liên hệ giữa tọa độ trực chuẩn và tọa độ cầu như sau. x= rsinθcosϕ, y =rsinθsinϕ, z =rcosθ.
Phương trình Γ(r, ϕ, θ) = 0 biểu thị mặt (S) trong tọa độ cầu Một điểm M thuộc mặt (S) nếu và chỉ nếu tọa độ cầu (r, ϕ, θ) của nó thỏa mãn phương trình này.
Ta cũng có thể gặp phương trình viết dưới dạng hiển r =f(ϕ, θ).
15 Không gian Euclide là không gian được trang bị thêm tích vô hướng trên đó.
Đường trong không gian
Định nghĩa 1.6.14 Cho một đường (C) trong không gian Oxyz Giả sử (C) là giao của hai mặt (S 1 ) và (S 2 ) nào đó với phương trình tổng quát tương ứng là
F 1 (x, y, z) = 0và F 2 (x, y, z) = 0 Khi đó, điểm M thuộc (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn cả hai phương trình trên Suy ra hệ phương trình
F 2 (x, y, z) = 0 là phương trình của (C) và được gọi là phương trình tổng quát của (C).
Ví dụ 1.6.15 Cho đường tròn (C) là giao của mặt cầu (S) có phương trình x 2 +y 2 +z 2 −R 2 = 0 và mặt phẳng (P) có phương trình x+y +z = 0, thì (C) có phương trình tổng quát là
Hệ phương trình trên tương đương với hệ
Phương trình thứ hai của hệ trên là phương trình của mặt cầu(S 0 ) có tâmI(1,1,1) và bán kính là √
Đường tròn (C) trong không gian Oxyz được xác định là giao tuyến của hai mặt cầu (S) và (S') Nếu tồn tại các hàm số một biến f(t), g(t), h(t), thì điểm trên đường tròn (C) có thể được biểu diễn thông qua các hàm này.
M(x, y, z) thuộc (C) khi và chỉ khi có một số t ∈R sao cho x =f(t), y =g(t), z h(t), thì hệ phương trình
x= f(t) y =g(t) z =h(t) được gọi là phương trình tham số của đường (C), trong đó f(t), g(t) và h(t) là các hàm số của t.
Ví dụ 1.6.17 Đường xoáy đinh ốc có phương trình tham số là
x= 2 cost y = 2 sint z = h2πt(h được gọi là bước của đường xoáy đinh ốc).
Hai bài toán thường gặp trong Hình học giải tích
Trong hệ tọa độ, mỗi điểm được gán một bộ số duy nhất, cho phép lập phương trình cho các đường trong mặt phẳng cũng như các đường và mặt trong không gian Nhờ đó, kiến thức đại số có thể được áp dụng để nghiên cứu hình học, dẫn đến hai bài toán quan trọng mà chúng ta thường gặp.
Bài toán 1 yêu cầu xác định phương trình của một hình H, có thể là đường hoặc mặt, dựa trên một tập hợp điểm thỏa mãn tính chất hình học (α) nhất định Việc này cần thực hiện đối với một hệ tọa độ cụ thể.
Để giải bài toán 1, cần chứng minh rằng điểm M có tính chất (α) khi và chỉ khi tọa độ của M thỏa mãn hệ thức (F) nhất định, ví dụ như trong mặt phẳng, hệ thức (F) thường có dạng F(x, y) = 0.
Cho a > 0 và điểm O nằm trên đường tròn tâm I với bán kính R Đường thẳng (d) đi qua O cắt đường tròn tại điểm P Quỹ tích các điểm M trên (d) mà cách điểm P một khoảng bằng a được gọi là đương ốc sên Pascal Cần tìm phương trình của đường này.
Để giải bài toán xác định tính chất hình học của một phương trình hoặc hệ hai phương trình, ta cần phân tích các đặc điểm của chúng để nhận diện hình dạng tương ứng Việc này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học mà còn hỗ trợ trong việc ứng dụng các kiến thức toán học vào thực tiễn.
Ví dụ 1.6.19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ affine cho phương trình
Ax 2 + 2Bxy+Cy 2 + 2Dx+ 2Ey+F = 0 với A 2 +B 2 +C 2 6= 0.
Hãy xác định đó là phương trình của những đường nào? Bài toán này sẽ được giải trong chương về đường bậc hai.
BÀI TẬP
Các bài tập với hệ tọa độ trực chuẩn
1.1 Các vectơ −→a và −→ b tạo nên một góc bằng 60 0 Biết |−→a| = 5,|−→ b | = 8 Tính
1.3 Chứng minh rằng nếu đa giác đều A 1 A 2 A n có tâm là O thì:
Hướng dẫn tính tổng các giá trị của căn bậc n của một số phức bất kỳ bằng không Trong tam giác ABC, chúng ta sẽ dựng đường phân giác trong AD của góc A Hãy biểu diễn vectơ −−→.
AD dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vectơ −→
1.5 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 Hãy tính giá trị của biểu thức
1.6 Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp trong đường tròn (O, R) và M là một điểm bất kì trên đường tròn ngoại tiếp ngũ giác Chứng minh rằng
Và tính M A 2 +M B 2 +M C 2 +M D 2 +M E 2 theo bán kính R.
1.7 (1) Hình thang cân ABCD có đáy dưới AB, đáy trên CD và góc A = π
3. Hãy biểu diễn các vectơ −−→
BD dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của hai vectơ −→a =−→
(2) Chứng minh rằng với bốn điểm A, B, C, D bất kì, ta luôn có
Từ đó hãy suy ra
(a) Ba đường cao trong tam giác đồng quy.
(b) Nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc.
1.8 Chứng minh rằng nếu ba vectơ −→a ,−→ b ,−→c không cùng phương thì từ đẳng thức−→a ∧−→ b =−→ b ∧ −→c =−→c ∧ −→a, trong đó −→a ∧−→ b là kí hiệu tích có hướng của hai vectơ −→a và −→ b , ta suy ra −→a +−→ b +−→c = −→
1.9 Chứng minh rằng −→a ∧(−→ b +l−→a) = (−→a +m−→ b) ∧−→ b = −→a ∧−→ b , trong đó l, m là hai số tùy ý.
→a ,−→ b ,−→c đồng phẳng Điều ngược lại có đúng không?
1.11 Cho (ABC) =k Tính (ACB),(BAC),(BCA).(CAB),(CBA).
1.12 Cho (ABP) =l,(ABQ) =m Tìm (P QA),(P QB).
1.13 Chứng minh rằng với bất kì ba vectơ −→a ,−→ b ,−→c và bất kì ba số l, m, n ta cũng có ba vectơ l−→a −m−→ b , n−→ b −l−→c , m−→c −n−→a đồng phẳng.
1.14 Cho ba vectơ−→a = (2,4),−→ b = (−3,1),−→c = (5,−2) Tìm tọa độ các vectơ sau
(a) 2−→a + 3−→ b −5−→c ; (b) −→a −24−→ b + 14−→c 1.15 Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a = (5,7,2),−→ b = (3,0,4),−→c (−6,1,−1) Tìm tọa độ của các vectơ sau:
Ba lực cùng có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, với cường độ lần lượt là 1N, 2N, và 3N, đồng thời cùng hướng với các vectơ đường chéo của các mặt đi qua đỉnh đó Để tìm cường độ của hợp lực, cần tổng hợp các lực này theo quy tắc hình bình hành.
1.17 Cho hai vectơ −→a = (5,2),−→ b = (7,−3) Tìm vectơ −→x thỏa mãn đồng thời hai phương trình
1.18 Cho ba vectơ −→a = (3,−2,4),−→ b = (5,1,6),−→c = (−3,0,2) Tìm vectơ −→x thỏa mãn đồng thời ba phương trình
1.19 Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ −→a = (8,4,1),−→ b (2,−2,1).
0 Từ đó có thể suy ra −→a = −→ b hay không? 1.21Gọiα, β, γ là ba góc tạo bởi một vectơ tùy ý−→a với ba vectơ cơ sở−→ i ;−→ j ;−→ k. Chứng minh rằng cos 2 α+ cos 2 β+ cos 2 γ = 1.
1.22 Trong hệ tọa độ cực , viết phương trình đường thẳng song song với trục
Ox và cách trục đó một khoảng bằng h.
1.23 Trong hệ tọa độ cực viết phương trình của đường tròn (O, R).
Điểm có tọa độ (4,−1) và (1,−4) tương ứng với hai hệ tọa độ Oxy và O'xy', trong đó O'xy' là ảnh của Oxy qua phép tịnh tiến Cần xác định tọa độ của vectơ tịnh tiến.
OO 0 1.25 Một điểm có tọa độ (2,3) và ẹ2−3√
3 2 é ứng với hai hệ tọa độ trực chuẩnOxy và Ox 0 y 0 Cho biết hệOx 0 y 0 là ảnh của hệOxy qua một phép quay. Hãy tìm góc quay.
1.26 Trong mặt phẳngOxy, cho đường Lxác định bởi phương trìnhx 2 + 3xy− y −4 = 0 và điểm S Ç1
Người ta tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy theo vectơ
−→OS và được hệ trục tọa độ mới Sx 0 y 0 Tìm phương trình của đường L ứng với hệ
Đường L có phương trình y = kx trong hệ tọa độ Oxy Để tìm phương trình của đường L trong hệ tọa độ Ox'0y'0, cần lưu ý rằng góc giữa trục Ox và Ox'0 là π.
4 và góc tạo bởi trục Ox và Oy 0 bằng 3π
Trong mặt phẳng với hai hệ tọa độ Oxy và O'X'Y', điểm O có tọa độ (2,1) trong hệ O'X'Y' Đường phân giác của góc tọa độ I trong hệ O'X'Y' cắt trục hoành Ox tại điểm N có tọa độ (5,5) trong hệ O.
O 0 x 0 y 0 và hai hệ tọa độ này cùng hướng Viết công thức phép biến đổi tọa độ.
1.29 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ −→
OB = (3,1,3). Xét hệ tọa độ trực chuẩn (thuận) Ox 0 y 0 z 0 có hai vectơ cơ sở −→ i 0 ,−→ j 0 cùng hướng với hai vectơ −→
OB Viết công thức phép biến đổi tọa độ từ hệ Oxyz sang hệ
1.30 (a) Trong mặt phẳng cho điểm A có tọa độ cực là Ç
Tìm các tọa độ trực chuẩn tương ứng của điểm A.
(b) Trong không gian Oxyz cho điểm M ẹ
Tìm các tọa độ cầu, tọa độ trụ củaM.
(c) Hãy tính thể tích của hình hộp có ba cạnh được dựng trên ba vectơ −→a (1,1,2), −→ b = (1,2,1) và −→c = (2,1,1).
1.31 Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho O = (1,1,0),
(a) Hãy viết công thức đổi tọa độ từ hệ tọa độ(O;−→ i ,−→ j ,−→ k)sang(O 0 ;−→ i ,−→ j ,−→ k). (b) Cho điểm M
2,3,12 ọ Hóy tỡm M và tọa độ của điểm M đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ,−→ k).
Các bài tập về hệ mục tiêu affine
1.32 Tìm tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 6= 1 nếu biết tọa độ hai điểm A và B.
1.33 Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD biết
1.34 Viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) trong các trường hợp sau
(a) −→ i 0 = −→ i ,−→ j 0 = −−→ j (b) −→ i 0 = −→ i +−→ j ,−→ j 0 =−→ i −−→ j (c) −→ i 0 = 2−→ i + 5−→ j ,−→ j 0 = 3−→ i −2−→ j 1.35 Trong các phép đổi mục tiêu affine dưới đây, hãy tìm những điểm có tọa độ như nhau đối với hai mục tiêu.
1.36 Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho O(1,1), O 0 (0,1) và
(a) Chứng minh rằng (O;−→ i ,−→ j ) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) là hai mục tiêu.
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) và ngược lại.
(c) Hai mục tiêu trên có cùng hướng không?
(d) Hãy tìm điểm N và tọa độ của N đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ) khi biết
(e) Hãy tìm những điểm có cùng tọa độ đối với hai mục tiêu trên.
1.37 Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho O(0,1), O 0 (−1,1) và
(a) Chứng minh rằng (O;−→ i ,−→ j ) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) là hai mục tiêu.
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) và ngược lại.
(c) Hai mục tiêu trên có cùng hướng không?
(d) Hãy tìm điểm N và tọa độ của N đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ) khi biết
(e) Hãy tìm những điểm có cùng tọa độ đối với hai mục tiêu trên.
1.38 Trong không gian với mục tiêu affine đã chọn, cho O(1,−1,1), O 0 (0,1,0) và −→ i = (1,1,1), −→ j = (1,1,0), −→ k = (1,0,0), −→ i 0 = (1,1,3), −→ j 0 = (1,3,1) và
(a) Chứng minh rằng (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là hai mục tiêu.
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) 16 (c) Hai mục tiêu trên có cùng hướng không?
(d) Hãy tìm điểm N và tọa độ của N đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) khi biết tọa độ của điểm N đối với mục tiêu (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là (1,−1,1).
(e) Hãy tìm những điểm có cùng tọa độ đối với hai mục tiêu trên.
1.39 Trong không gian với mục tiêu affine đã chọn, cho O(0,1,1), O 0 (0,1,0) và −→ i = (1,0,1), −→ j = (1,1,0), −→ k = (0,1,1), −→ i 0 = (1,1,0), −→ j 0 = (1,1,1) và
(a) Chứng minh rằng (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là hai mục tiêu.
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ). (c) Hai mục tiêu trên có cùng hướng không?
(d) Hãy tìm điểm N và tọa độ của N đối với mục tiêu (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) khi biết tọa độ của điểm N đối với mục tiêu (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) là (1,0,1).
(e) Hãy tìm những điểm có cùng tọa độ đối với hai mục tiêu trên.
1.40 Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho hai mục tiêu T (O;−→ i ,−→ j ) và T 0 = (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) với O(1,−1), O 0 (1,0) và −→ i = (1,−1), −→ j = (1,2), và −→ i 0 = (2,1).
(a) Tìm vectơ −→ j 0 khi biết điểm A(1,2)có tọa độ đối với mục tiêu T 0 là (−1,3). (b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ).
1.41 Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho hai mục tiêu T (O;−→ i ,−→ j ) và T 0 = (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ) với O(1,−1), O 0 (1,0) và −→ i = (1,−1), −→ j = (1,2), và −→ i 0 = (2,1).
(a) Tìm vectơ −→ j 0 khi biết điểm A có A
16 Người đọc tự có thể tìm được công thức đổi tọa độ từ mục tiêu (O 0 ; − → i 0 , − → j 0 , − → k 0 ) sang mục tiêu (O; − → i , − → j , − → k ).
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ).
1.42 Trong không gian với mục tiêu affine đã chọn, cho hai mục tiêu T (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và T 0 = (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) với O(1,−1,0), O 0 (1,0,0), −→ i = (1,−1,1),
(a) Tìm vectơ −→ k 0 khi biết điểm A = (1,3,−1) và A
(b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ). 1.43 Trong mặt phẳng với mục tiêu affine đã chọn, cho hai mục tiêu T (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) và T 0 = (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ) với O(1,−1,1), O 0 (1,0,1), −→ i = (1,1,1),
(a) Tìm vectơ −→ k 0 khi biết điểm A có A
T 0 = (1,1,−1). (b) Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (O;−→ i ,−→ j ,−→ k) sang (O 0 ;−→ i 0 ,−→ j 0 ,−→ k 0 ).
Chương 2 ĐƯỜNG THẲNG-MẶT PHẲNG
Đường thẳng trong mặt phẳng
Phương trình đường thẳng trong mục tiêu affine
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá các vấn đề liên quan đến đường thẳng trong mặt phẳng, bao gồm phương trình của đường thẳng, vị trí tương đối giữa các đường thẳng, và chùm đường thẳng Tất cả những khái niệm này sẽ được xem xét trong bối cảnh một mặt phẳng với mục tiêu affine đã được xác định.
Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng được định nghĩa như sau: Một vectơ khác vectơ không được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu nó song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng l đi qua điểm M0(x0, y0) cho trước và nhận vectơ −→u = (a, b) 6= −→
0 làm vectơ chỉ phương Khi đó, điểm M(x, y) thuộc đường thẳngl nếu và chỉ nếu có số t sao cho −−−→
Hệ (2.1) là phương trình tham số của đường thẳng l với tham số t Khi cả hai số a và b trong (2.1) đều khác 0, ta có thể khử tham số t từ hai phương trình của hệ để thu được công thức x - x0 / a = y - y0 / b (2.2).
Phương trình (2.2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
Nếu a hoặc b bằng 0, ta vẫn có thể viết phương trình dưới dạng (2.2) với quy ước rằng nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng phải bằng 0 Ví dụ, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(0,1) và song song với trục Ox là x - 0.
Rõ ràng, quy ước như vậy là hợp lí.
Giả sử đường thẳng l cắt hai trụcOx và Oy tại hai điểm A(a,0)và B(0, b), với ab 6= 0 Ta xem l là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là −→
AB = (−a, b) thì phương trình chính tắc của l là x−a
−a = y−0 b hay x a+y b = 1, và phương trình đó được gọi là phương trình đoạn chắn của đường thẳng.
Phương trình của đường thẳng qua hai điểm
Gọi l là đường thẳng qua hai điểm phân biệt A(a1, a2) và B(b1, b2) Khi đó,
−→AB = (b 1 −a 1 , b 2 −a 2 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng l Vậy, l có phương trình chính tắc là x−a 1 b 1 −a 1 = y−a 2 b 2 −a 2 Phương trình trên có thể viết dưới dạng x−a 1 y−a 2 b 1 −a 1 b 2 −a 2
= 0. Điều kiện để ba điểm phân biệtA(a 1 , a 2 ), B(b 1 , b 2 ), C(c 1 , c 2 ) thẳng hàng là điểm
C thuộc đường thẳng AB, tức là c 1 −a 1 b 1 −a 1 = c 2 −a 2 b 2 −a 2 hay a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng l có phương trình chính tắc là x−x 0 a = y−y 0 b , a 2 +b 2 6= 0.
Nếu một trong hai số a và b bằng 0 thì phương trình của l có dạng: x−x 0 = 0 hoặc y−y 0 = 0.
Nếu cả hai số a và b đều khác 0 thì từ phương trình chính tắc (2.2), qua biến đổi tương đương, ta được phương trình bx−ay+ay 0 −bx 0 = 0.
Ta thấy trong tất cả các trường hợp, đường thẳng l có phương trình dạng
Ax+By+C = 0 với A 2 +B 2 6= 0 (2.3) Vậy, mọi đường thẳng đều có phương trình dạng bậc nhất hai biến
Ngược lại, ta chứng minh một phương trình bậc nhất hai biến dạng (2.3) là phương trình của một đường thẳng l nào đó.
Chúng ta có thể chọn một cặp tọa độ (x₀, y₀) thỏa mãn phương trình Ax₀ + By₀ + C = 0, với nhiều cặp tọa độ như vậy Nếu điểm M có tọa độ (x, y) cũng thỏa mãn phương trình này, tức là Ax + By + C = 0, thì điều này dẫn đến một kết luận quan trọng.
−A Đây là phương trình chính tắc của đường thẳng l đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ), có vectơ chỉ phương (B,−A).
• Nếu A = 0, B 6= 0, từ (2.4) ta cóy−y 0 = 0, là phương trình của đường thẳng l song song với Ox.
• Nếu A 6= 0, B = 0, từ (2.4) ta cóx−x 0 = 0, là phương trình của đường thẳng l song song với Oy.
Phương trình dạng Ax + By + C = 0, với A² + B² ≠ 0, mô tả một đường thẳng Đây là định nghĩa tổng quát của đường thẳng, trong đó vectơ chỉ phương được biểu diễn bằng −→u = (B, −A).
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng l và l 0 có phương trình tổng quát lần lượt là l: Ax+By+C = 0 và l 0 :A 0 x+B 0 y +C 0 = 0.
Giao điểm của hai đường thẳng đó có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất
• Hai đường thẳng l và l 0 cắt nhau nếu và chỉ nếu D 6= 0, tức là
B 0 Khi đó, tọa độ của giao điểm là ÇD x
• Hai đường thẳng l và l 0 song song nếu và chỉ nếuD = 0, D x 6= 0hoặc D y 6= 0, tức là
• Hai đường thẳng trùng nhau nếu và chỉ nếu D =D x =D y = 0, tức là
Cho ba đường thẳng l, l 0 và l 00 lần lượt có phương trình tổng quát là l: Ax+By+C = 0, l 0 : A 0 x+B 0 y+C = 0 và l 00 : A 00 x+B 00 y+C 00 = 0.
Giả sử hai đường thẳng l và l 0 cắt nhau, giao điểm I có tọa độ (x 0 , y 0 ) là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất
Khi đó, ba đường thẳng đồng quy nếu và chỉ nếu l 00 đi qua I, hay là tọa độ (x 0 , y 0 ) củaI thỏa mãn phương trình của l 00 , tức là
Vế trái là khai triển của một định thức cấp ba, nên ta có
Nếu hai đường thẳng l và l' cắt nhau, thì điều kiện để ba đường thẳng l, l', l'' đồng quy là định thức cấp ba của các hệ số trong ba phương trình của chúng phải bằng không.
Chùm đường thẳng
Chùm đường thẳng có tâm được định nghĩa là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua một điểm chung, được gọi là tâm của chùm Bên cạnh đó, chùm đường thẳng song song là tập hợp các đường thẳng không giao nhau và luôn song song với nhau.
Một chùm đường thẳng được xác định hoàn toàn khi biết tâm của chùm hoặc hai đường thẳng trong chùm Đối với chùm đường thẳng song song, việc xác định cũng hoàn toàn khi có một đường thẳng hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, được gọi là vectơ chỉ phương của chùm.
Nếu một chùm có tâm được xác định bởi hai đường thẳng l và l0 có phương trình lần lượt là l: Ax+By+C = 0 và l0: A0x+B0y+C0 = 0, thì đường thẳng l00 thuộc chùm nếu và chỉ nếu l00 có phương trình dạng k(Ax+By+C) + m(A0x+B0y+C0) = 0, với điều kiện k² + m² ≠ 0.
Để chứng minh, trước tiên ta nhận thấy rằng phương trình (2.5) là phương trình của đường thẳng Ta có thể viết lại phương trình (2.5) dưới dạng (kA+mA 0 )x + (kB+mB 0 )y + kC+mC 0 = 0, từ đó nhận thấy rằng hai hệ số của x và y không thể đồng thời bằng không Cụ thể, nếu kA+mA 0 = 0 và kB +mB 0 = 0, thì điều đó dẫn đến A.
B = −k m nếu m 6= 0, trái với giả thiết hai đường thẳng l, l 0 cắt nhau Do đó, phương trình (2.5) với k 2 +m 2 6= 0 là phương trình của một đường thẳng l 00 nào đó.
Để xác định đường thẳng l 00 đi qua giao điểm I(x 0, y 0) của hai đường thẳng l và l 0, ta thay tọa độ (x 0, y 0) vào phương trình (2.5) Ngược lại, nếu l 00 là một đường thẳng trong chùm, tức là đi qua giao điểm I của l và l 0, ta có thể chọn một điểm M(x M, y M) nằm trên l 00 và khác với I Đặt k = A 0 x M + B 0 y M + C 0 và m = −(Ax M + By M + C), ta nhận thấy rằng k và m không thể đồng thời bằng không, dẫn đến k(Ax + By + C) + m(A 0 x +
B 0 y+C 0 ) = 0 là phương trình đường thẳng đi qua I và M nên chính là phương trình của l 00
Ví dụ 2.1.5 Hãy viết phương trình của đường thẳng l thuộc chùm xác định bởi hai đường thẳng x−y+ 1 = 0, x+y−1 = 0 và đi qua A(1,3).
Cách 1 Đường thẳng l có phương trình dạng k(x−y+ 1) +m(x+y−1) = 0, với k 2 +m 2 6= 0.
Do l đi qua A nên −k + 3m = 0 hay k = 3m Chọn m = 1, được k = 3 Do đó, phương trình của đường thẳng l là 4x−2y+ 2 = 0 hay 2x−y+ 1 = 0.
Cách 2 Tâm của chùm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
Do đó, đường thẳng l đi qua tâm I(0,1) và điểm A(1,3) nên có phương trình là x
Nửa mặt phẳng
Cho đường thẳng l có phương trình Ax+By+C = 0, hai điểm M(x 1 , y 1 ) và
Điểm N(x2, y2) không nằm trên đường thẳng l, tức là Ax1 + By1 + C ≠ 0 và Ax2 + By2 + C ≠ 0 Để xác định điều kiện cần và đủ cho hai điểm M và N nằm ở hai phía của đường thẳng l, tức là đoạn thẳng MN có điểm chung với l, ta gọi điểm chung đó là I(x0, y0) như trong Hình 2.1 Điểm I sẽ nằm giữa M và N nếu và chỉ nếu tồn tại một số k < 0 sao cho đoạn thẳng nối giữa M và N cắt đường thẳng l.
Mà điểm I thuộc l nên Ax 0 +By 0 +C = 0 hay
⇔ (Ax 1 +By 1 +C)(Ax 2 +By 2 +C)