NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB
Trong chương II: “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” của SGV Hình học 11 CB, VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày trong bài 2, bao gồm các khái niệm về “Hai đường thẳng chéo nhau” và “Hai đường thẳng song song”, sau khi đã giới thiệu các kiến thức cơ bản trong bài 1: “Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng”.
- Biết khái niệm hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau trong không gian
Định lý quan trọng trong hình học không gian cho biết rằng nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau, thì giao tuyến của chúng sẽ song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó Điều này có ý nghĩa sâu sắc trong việc xác định mối quan hệ giữa các mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.
- Xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng
- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song
- Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản
Thời gian dành cho nội dung trong chương này là 2/16 tiết, bao gồm cả lý thuyết và bài tập SGV nhấn mạnh rằng việc sử dụng hình ảnh trực quan trước khi đưa ra định nghĩa chính thức là rất quan trọng.
Trước khi tìm hiểu về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, học sinh cần quan sát hình ảnh trong sách giáo khoa và tham gia hoạt động 1 Hoạt động này giúp học sinh khám phá hình ảnh thực tế của đường thẳng và vị trí tương đối của chúng, từ đó nhận diện cụ thể hai đường thẳng song song và chéo nhau trong không gian.
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau Tuy nhiên, trong không gian, hai đường thẳng còn có thể có mối quan hệ "chéo nhau".
Do đó, SGV nhấn mạnh, trang 61 – 62:
Khái niệm về hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm khó đối với học sinh Để giúp học sinh hiểu rõ hơn, cần giới thiệu những hình ảnh cụ thể xung quanh chúng ta hoặc sử dụng giáo cụ trực quan để minh họa Sau đó, giáo viên nên trình bày một số hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau, như a và b, để học sinh có thể dễ dàng bắt chước và vẽ theo.
Cuối cùng, học sinh có thể phân biệt rõ ràng giữa hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau, từ đó củng cố những khái niệm đã học.
Một trong những khó khăn lớn của học sinh trong việc học Hình học không gian (HHKG), đặc biệt là Vật lý thể dục giữa hai đường thẳng, là khả năng biểu diễn các hình không gian đơn giản trên mặt phẳng và đọc hiểu các hình biểu diễn đó để hình dung các hình thực trong không gian Chương trình học và sách giáo viên yêu cầu cần kết hợp việc sử dụng các mô hình cụ thể như giấy, tre, nhựa với việc rèn luyện trí tưởng tượng không gian, nhằm chuyển từ tư duy trực quan sang tư duy logic trừu tượng Điều này rất quan trọng vì các quan hệ trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó.
Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB
Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương II của SGK Hình học 11 CB qua bảng sau:
Bảng 2.1 Các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
KNV Nhóm T gồm các KNV liên quan trực tiếp (cấp độ 1) đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
Số lượng hoạt động, bài tập SGK
T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất 1
T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn 1
T3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 1
T4 Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau 1
T5 Chứng minh hai đường thẳng song song 2
KNV Nhóm T’ gồm các KNV liên quan gián tiếp (cấp độ 2) đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10
T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 14
T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 3
Các kiến thức nền tảng (KNV) liên quan trực tiếp đến vận tốc truyền động (VTTĐ) giữa hai đường thẳng (nhóm T) không nhiều và thường chỉ có một nhiệm vụ cụ thể được sách giáo khoa (SGK) nêu rõ Ngược lại, các KNV liên quan gián tiếp (nhóm T’) lại chiếm số lượng lớn, trong đó KNV T’1 và T’2 là hai KNV phổ biến nhất Những KNV này được SGK chú trọng vì chúng giúp giải quyết nhiều vấn đề khác như dựng thiết diện, chứng minh ba điểm thẳng hàng và xác định góc giữa hai mặt phẳng.
2.2.1 Phân tích chi tiết nhóm T
Khi xem xét các KNV ở nhóm T, chúng tôi chia chúng làm 2 loại:
L 1 : Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất hoặc hình biểu diễn (gồm T1, T2)
L 2 : Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn (gồm T3, T4, T5)
Kỹ thuật để giải quyết L2 rất rõ ràng và tường minh:
Bảng 2.2 Kỹ thuật – công nghệ của loại L 2
KNV Kỹ thuật Công nghệ
Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Giả sử hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng rồi rút ra mâu thuẫn
- Tính chất thừa nhận 1, định nghĩa tứ diện, định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau
- Các quy tắc phản chứng
Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau
Giả sử hai đường thẳng đã cho cắt nhau Từ đó, chứng minh dẫn đến mâu thuẫn
- Định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau
- Quy tắc phản chứng ở trên
Chứng minh hai đường thẳng song song
: Chứng minh a, b đồng phẳng và sử dụng các phương pháp đã biết trong HHP như:
- Chứng minh a, b là hai cạnh một hình bình hành, hình thang,…
- Chứng minh a là đường trung bình của tam giác, hình thang
: Chứng minh hai đường thẳng cùng song song v ới đường thẳng thứ ba
- Định lý Talet đảo, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, tính chất hình bình hành,…
- Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song
Kỹ thuật giải quyết L1 thường khó diễn đạt và chủ yếu dựa vào quan sát Một trong những nhiệm vụ cụ thể là tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất.
(Hoạt động 1 trong bài 2, trang 55 SGK)
Trong lớp học, các cạnh tường tạo thành hình ảnh của đường thẳng Có thể chỉ ra một số cặp đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng, ví dụ như đường thẳng đứng và đường thẳng nằm ngang trên các bức tường khác nhau Những cặp đường thẳng này không giao nhau và không nằm trong cùng một mặt phẳng, thể hiện rõ sự khác biệt trong không gian.
Nhận xét: Khái niệm này được xây dựng dựa trên quan sát và các đặc điểm không gian của vật chất Học sinh sẽ hình thành biểu tượng không gian ban đầu về hai đường thẳng chéo nhau, từ đó giúp các em rèn luyện kỹ năng tư duy không gian hiệu quả.
TTTKG có rất ít bài tập (chỉ 1 bài), điều này khiến chúng tôi băn khoăn liệu học sinh đã đủ khả năng hình thành BTKG của VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian hay chưa Ngoài ra, nhiệm vụ T2 yêu cầu tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn.
(Hoạt động 2 trong bài 2, trang 56 SGK)
Cho tứ diện ABCD Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau của tứ diện này (h.2.29)
Nhận xét về KNV này, SGV chỉ dẫn rằng “Hoạt động 2 nhằm giúp học sinh áp dụng phương pháp phản chứng để chứng minh một bài toán hóa học.”
SGV chỉ tập trung vào việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau qua kỹ thuật phản chứng, mà không cung cấp phương pháp tìm kiếm chúng Đồng thời, SGV nhận định rằng khái niệm hai đường thẳng chéo nhau là phức tạp, vì vậy giáo viên nên sử dụng mô hình trực quan để học sinh dễ dàng quan sát và hiểu.
2.2.2 Phân tích chi tiết nhóm T’ a) Kiểu nhiệm vụ T’ 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Bảng 2.3 Kỹ thuật – công nghệ (thứ nhất) của KNV T’ 1
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng
- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Một đường thẳng nằm trong mặt phẳng nếu nó đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng đó Điều này có nghĩa là tất cả các điểm trên đường thẳng đều thuộc về mặt phẳng.
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm
𝑁𝐶 = 2 Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với
Trong mặt phẳng (ABC), vì 𝐴𝑀
𝑁𝐶 nên đường thẳng MN và
BC cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là E Vì D, E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (𝐷𝑀𝑁) ∩ (𝐵𝐶𝐷) = 𝐷𝐸
Để xác định điểm chung của hai mặt phẳng, ngoài việc sử dụng điểm chung đã có, ta cần tìm hai đường thẳng cắt nhau trong hai mặt phẳng đó Giao điểm của hai đường thẳng này sẽ trở thành điểm chung của hai mặt phẳng Kỹ thuật giải quyết sẽ tạo ra khái niệm mới T’’1: Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.
Chúng tôi bổ sung KNV T’’1 vào L1 của nhóm T
Kỹ thuật giải quyết bài toán KNV này không được đề cập trong sách giáo khoa hay sách giáo viên, mà hai đường thẳng cần tìm thường xuất hiện một cách đột ngột trong lời giải của sách.
Bảng 2.4 Các bài tập của T’ 1 - 𝝉′ 𝟏.𝟏 trong SGK
Bài tập điểm chung đã có sẵn
Bài tập điểm chung có được nhờ thực hiện KNV T’’1
7b/trang 54 10b/trang 54 2c/trang 71 1a/trang 77 3a/trang 77
Trong bảng 2.4, mặc dù KNV T’’1 không được đề cập trực tiếp, nhưng số lượng bài tập liên quan đến nó lại khá lớn Qua việc phân tích các bài tập trong sách giáo khoa, chúng tôi phát hiện rằng các đường thẳng cần tìm thường đã được thể hiện ngay trong tên của mặt phẳng.
Hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD, với AB là đáy lớn M và N là trung điểm của các cạnh SB và SC Cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Để xác định điểm chung thứ hai giữa hai đường thẳng AD và BC, chúng ta cần xem xét các điểm đã có sẵn trong mặt phẳng.
Trong trường hợp tên mặt phẳng chưa có ngay đường thẳng cần tìm (bài
10b/trang 77) thì SGK đã chuẩn bị câu a để học sinh dễ dàng tìm ra hai đường thẳng:
Trong hình chóp S.ABCD với AB và CD không song song, hãy xác định điểm M nằm trong tam giác SCD Đầu tiên, tìm giao điểm N giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM) Tiếp theo, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Nhờ câu a) mặt phẳng (SBM) trùng với (SBN) và hai đường thẳng cần tìm ở câu b) là BN và AC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng
Chúng tôi dự đoán rằng đối với học sinh, các tam giác sẽ có các đỉnh nằm trong tên mặt phẳng Để xác định điểm chung của hai mặt phẳng, học sinh sẽ kéo dài các cạnh của tam giác cho đến khi chúng cắt nhau.
Bảng 2.5 Kỹ thuật – công nghệ (thứ hai) của KNV T’ 1
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Tìm phương của giao tuyến (tức là tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng)
- Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng
Kết luận chương 2
Sau khi phân tích các tổ chức toán học, ngoài các KNV thuộc L2 (T3, T4, T5):
Chúng tôi đã chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn bằng kỹ thuật rõ ràng mà không cần sử dụng mô hình vật lý Qua việc thống kê các hoạt động và bài tập trong SGK Hình học 11 CB, chúng tôi tập trung vào các KNV của L1 (T1, T2, nhóm T’’) với mục tiêu "Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất và hình biểu diễn".
Bảng 2.10 iii Số lượng hoạt động, bài tập của loại L 1
Nhóm T’’ phát sinh từ kỹ thuật của nhóm T’
T 1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất
T 2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
𝝉′ 𝟏.𝟏 T’’ 1 Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn
𝝉′ 𝟏.𝟐 T’’ 2 Tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn
T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
𝝉′ 𝟐 T’’ 3 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn
T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
𝝉′ 𝟑 T’’ 4 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn
Những ô gạch chéo đại diện cho các nhiệm vụ kỹ thuật không được mô tả rõ ràng trong sách giáo khoa, mà dựa vào việc quan sát trên mô hình hoặc hình biểu diễn.
Theo bảng 2.10, ngoại trừ KNV T1 được xây dựng trên đối tượng vật chất, kỹ thuật chủ yếu dựa vào quan sát trực quan thông qua hình ảnh thực tế hoặc mô hình.
Trong SGK Hình học 11 CB, các kiến thức mới (KNV) còn lại của L1 chủ yếu được thực hiện trên hình biểu diễn Cụ thể, chỉ có một kiến thức mới (T1) yêu cầu sử dụng giáo cụ trực quan, trong khi bảy kiến thức mới còn lại thuộc hai nhóm T và T’ không cần đến mô hình.
Trong các kiến thức về hình học không gian (KNV) của lớp 1, chỉ có kỹ thuật của KNV T’’3 được mô tả rõ ràng trong sách giáo khoa (SGK) và sách giáo viên (SGV), trong khi các KNV khác lại không được nêu cụ thể Kỹ thuật 𝝉′′ 𝟑.𝟏 của KNV T’’3 có thể dễ dàng thực hiện qua hình vẽ, nhưng kỹ thuật 𝝉′′ 𝟑.𝟐 lại cần phải quy về KNV T’1, yêu cầu thực hiện các bài tập liên quan đến KNV T’’1 (6 bài) hoặc T’’2 (1 bài) Số lượng bài tập có kỹ thuật không được mô tả trong SGK và SGV khá lớn, với 17 bài, trong đó có 11 bài liên quan đến KNV T’’1 Phân tích cho thấy SGK đã chọn những trường hợp mà đường thẳng cần tìm dễ nhận diện, với 10/11 bài có đường thẳng có sẵn trong tên mặt phẳng Từ đó, chúng tôi đề xuất giả thuyết nghiên cứu về quy tắc hành động của học sinh trong việc xác định vị trí giao tuyến giữa hai mặt phẳng trong bài toán “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng” (T’1).
Khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng", học sinh cần xác định điểm chung của hai mặt phẳng được tạo thành từ hai tam giác Điều này được thực hiện bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh của tam giác.
Chẳng hạn, điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) sẽ được học sinh xác định theo sơ đồ sau:
Hình 2.1 Ví dụ về giả thuyết H 1
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH
Giới thiệu thực nghiệm 1
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh đã học xong chương “Quan hệ song song” trong chương trình HHKG bằng một câu hỏi điều tra
Học sinh làm việc cá nhân và có 15 phút để trả lời bài toán sau:
Trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh song song, M và E lần lượt là trung điểm của SD và AB Nhiệm vụ là xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAE) và mặt phẳng (MBC).
Phân tích tiên nghiệm
3.2.1 Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm
Lựa chọn đầu tiên của thực nghiệm là tạo ra các điều kiện để kiểm chứng giả thuyết
Chúng tôi chọn kiểu nhiệm vụ T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” vì giả thuyết H1 được xây dựng dựa trên kiến thức này Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi sẽ phân tích hệ thống các biến liên quan.
Mặt phẳng có thể được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó Để phù hợp với tiêu đề H1, chúng tôi chọn cách gọi mặt phẳng dựa trên ba điểm không thẳng hàng.
Kỹ thuật giải quyết KNV T’ 1 (𝝉′ 𝟏.𝟏, 𝝉′ 𝟏.𝟐) được lựa chọn là 𝝉′ 𝟏.𝟏, nhằm dẫn đến KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.” Trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã đảm bảo không xuất hiện các cặp đường thẳng song song trong đề bài và hình vẽ.
Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá đặc điểm của các đường thẳng trên hai mặt phẳng chéo nhau Chúng tôi sẽ cung cấp hình biểu diễn có hai cặp đường thẳng, như SA và MC, SB và MC, có thể kéo dài và cắt nhau trong hình vẽ Ngược lại, cặp đường thẳng SA và MB không thể cắt nhau trong hình Việc sử dụng hình biểu diễn này giúp học sinh tiết kiệm thời gian vẽ và tránh việc có nhiều lời giải khác nhau do cách vẽ khác nhau Tất cả học sinh sẽ cùng quan sát một hình duy nhất, từ đó cùng đối diện với tình huống các đường thẳng cắt nhau trong hình nhưng không cắt nhau trong thực tế.
- V 4 : Hai mặt phẳng có điểm chung có sẵn hay chưa
Hai mặt phẳng có hai điểm chung có sẵn trong tên mặt phẳng hoặc trên hình biểu diễn sẽ không kiểm chứng được giả thuyết
Bài tập 7/SGK trang 54 yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) với bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng, trong đó I và K là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC Ngoài ra, bài tập cũng yêu cầu xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN) khi M và N là hai điểm lấy trên các đoạn thẳng AB và AC.
Trong SGV, câu a chỉ ra rằng điểm chung I, K đã có sẵn trong tên mặt phẳng, trong khi câu b cho thấy điểm chung E, F cũng đã có sẵn trên hình biểu diễn Điều này không đủ để kiểm chứng giả thuyết, vì các điểm chung đã nằm trên các cạnh của tam giác có trong tên mặt phẳng.
Hai mặt phẳng có một điểm chung trong tên gọi sẽ ảnh hưởng đến tính tổng quát của giả thuyết, vì điều này hạn chế số lượng đường thẳng mà học sinh có thể lựa chọn Khi đã có một điểm chung, học sinh chỉ có thể tìm kiếm điểm chung còn lại trên hai đường thẳng không đi qua điểm chung đã có.
Hai mặt phẳng không có điểm chung sẽ thuận lợi cho việc kiểm chứng giả thuyết, nhưng nếu hai mặt phẳng có một điểm chung dễ tìm, như điểm B, sẽ tiết kiệm thời gian và không làm mất đi ý nghĩa của thực nghiệm Điều này cũng tạo động lực cho học sinh bằng cách giảm bớt số lượng đường thẳng cần lựa chọn.
Chiến lược 1 (S 1 ) : Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn
Học sinh sẽ kéo dài các cạnh của hai tam giác trong tên mặt phẳng Học sinh có thể nối
AE và BC để tìm ra điểm B hoặc học sinh sẽ kéo dài các cặp cạnh khác cho cắt nhau
Giao tuyến giữa các điểm SE với MB, SA với MC, và SE với MC sẽ là một đường thẳng nối hai giao điểm Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào các trường hợp giao điểm khác ngoài B, vì giao điểm B không làm rõ giả thuyết H1.
Hình 3.1 Các cách thể hiện của chiến lược 1
Việc học sinh kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn có nhiều nguyên nhân Theo Lê Thị Thùy Trang (2010), việc thể hiện các đối tượng hình học ba chiều bằng hình vẽ trên giấy hai chiều dẫn đến mất mát thông tin Điều này làm cho việc tiếp cận vận dụng toán học giữa hai đường thẳng trong không gian trở nên khó khăn hơn, không còn dựa vào sự hiển nhiên như trong hình học phẳng.
Từ đó, chúng tôi trình bày mối quan hệ đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ trong dạy học bằng sơ đồ dưới đây:
Hình 3.2 Mối quan hệ giữa đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ
Trong dạy học HHP, đối tượng HHP được thể hiện qua hình vẽ mô hình, trong đó hai đoạn thẳng đại diện cho hai đường thẳng Khi hai đoạn thẳng này cắt nhau trong hình vẽ, điều đó có nghĩa là hai đường thẳng thực sự cắt nhau.
Trong dạy học hình học không gian, đối tượng được thể hiện qua hình vẽ hoặc mô hình Hai đoạn thẳng trong hình vẽ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, thể hiện mối quan hệ giữa các đường thẳng trong không gian.
Dẫn đến, để giải thích cho cách làm của học sinh ở chiến lược này, chúng tôi đề xuất giả thuyết H2 như sau:
“Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”
Trong hình học không gian, hai đường thẳng cắt nhau được thể hiện bằng hai đoạn thẳng có điểm chung trên hình vẽ, giúp học sinh dễ dàng nhận diện và hiểu rõ mối quan hệ giữa chúng.
Chiến lược này sẽ cho phép chúng tôi hợp thức được giả thuyết H1
Chiến lược 2 (S 2 ): Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng
Học sinh nối AE và BC để xác định điểm chung B, cùng với điểm giao của hai đường thẳng đồng phẳng không đi qua B nằm trên hai mặt phẳng Do tam giác trong tên hai mặt phẳng không còn cặp cạnh nào đồng phẳng, học sinh sẽ giữ lại một đường trong mặt phẳng này và mở rộng tam giác trong mặt phẳng kia để tìm đường thẳng đồng phẳng với đường thẳng đó Cụ thể, học sinh có thể tìm đường thẳng trong mặt phẳng (MBC) đồng phẳng với đường thẳng SA của (SAB) bằng cách kéo dài AD và BC cắt nhau tại N, từ đó tạo ra (𝑀𝐵𝐶) ≡ (𝑀𝑁𝐶) Điểm chung cần tìm là giao điểm F của MN và SA Để thực hiện chiến lược này, học sinh cần nhận diện hình vẽ như một mô hình không gian, từ đó nhận ra VTTĐ giữa các đường thẳng trên hình Khi quan sát mặt phẳng (SAE) hay (MBC), học sinh không bị bó buộc vào hai tam giác SAE và MBC, mà có thể mở rộng chúng khi cần để tìm kiếm hai đường thẳng đồng phẳng.
Phân tích hậu nghiệm
Do thời điểm thực nghiệm, chúng tôi đã tiến hành trên 126 học sinh lớp 12 vào đầu năm học, bao gồm 43 học sinh lớp 12B5 tại trường THPT Châu Thành, Bà Rịa – Vũng Tàu và 41 học sinh lớp 12A1, 42 học sinh lớp 12A15 tại trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận Chúng tôi tin rằng sự thay đổi này không ảnh hưởng đến kết quả, vì kiến thức của học sinh về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian vẫn không thay đổi.
Từ đó, chúng tôi thu được bảng thống kê số lượng các lời giải được sử dụng như sau:
Bảng 3.1 Số lượng các lời giải của học sinh
Các lời giải 12B5 12A1 12A15 Số lượng
S1: Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn
S2: Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng
K3: Kẻ đường thẳng song song 3 1 2 6
Chỉ tìm ra được điểm B 5 4 4 13
Chưa đi đến kết quả
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Trong nghiên cứu, 63 trên 126 học sinh (chiếm một nửa) đã áp dụng chiến lược S1, điều này hỗ trợ cho giả thuyết H1 rằng khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng", học sinh sẽ xác định điểm chung của hai mặt phẳng được tạo ra bởi hai tam giác thông qua việc tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.
Chỉ có 3/126 học sinh sử dụng chiến lược S2 có nghĩa là rất ít học sinh có thể giải quyết được bài toán này
Trong bài phân tích này, chúng tôi sẽ xem xét số lượng lời giải khác (25/126) và các trường hợp chưa đạt kết quả (30/126) một cách chi tiết Đối với những học sinh bỏ trống (5/126) hoặc chỉ đạt điểm B mà chưa có kết quả (13/126), chúng tôi nhận thấy rằng việc học giao tuyến của hai mặt phẳng kéo dài đã khiến nhiều em quên đi định nghĩa và phương pháp giải, đây là một hạn chế đáng tiếc trong quá trình thực nghiệm.
Dưới đây chúng tôi phân tích chi tiết các lời giải của học sinh
3.3.1 Lời giải theo chiến lược S 1
Sau khi xác định giao điểm đầu tiên của (SAE) và (MBC) là B, học sinh đã áp dụng nhiều phương pháp để kéo dài các cạnh của tam giác trong mặt phẳng.
- Kéo dài cạnh SA và CM:
Hình 3.4 Bài làm của học sinh A15-04
- Kéo dài cạnh SE và MC:
Hình 3.5 Bài làm của học sinh A15-09
- Kéo dài cạnh AE và MC:
Hình 3.6 Bài làm của học sinh A15-14
- Kéo dài cạnh SE và MB:
Hình 3.7 Bài làm của học sinh B5-12
- Kéo dài cạnh SE và BC:
Hình 3.8 Bài làm của học sinh A1-12
- Kéo dài SA và BC:
Hình 3.9 Bài làm của học sinh A1-15
Có nhiều học sinh khi có được giao điểm B thì (SAE) sẽ trở thành (SAB) nên học sinh kéo dài cạnh SB và MC
Hình 3.10 Bài làm của học sinh B5-14
Một số học sinh khác không quan tâm đến điểm B và các em kéo dài cả hai cặp cạnh:
Học sinh A15-08 đã cho thấy rằng khi giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, nhiều em thường xác định điểm chung bằng cách cho hai đường thẳng chứa cạnh tam giác trong tên gọi của mặt phẳng cắt nhau, mà không chú ý đến vị trí tương đối thực tế giữa chúng Thậm chí, một số học sinh còn nhầm lẫn rằng mặt phẳng được xác định bởi ba điểm là đồng nhất với tam giác được tạo ra từ ba điểm đó.
Hình 3.12 Bài làm của học sinh B5-13
Lời giải của học sinh trong chiến lược này đã chứng minh giả thuyết H2, khi học sinh nhìn nhận hình biểu diễn như một đối tượng 2D, cho thấy rằng họ đồng nhất hình vẽ.
- mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (Sơ đồ Hình 3.2, trang 30)
3.3.2 Lời giải theo chiến lược S 2
Chỉ có 3 trong số 126 học sinh có thể bác bỏ giả thuyết H1 sau khi quan sát hình ảnh dưới dạng 3D Khi hai tam giác trong mặt phẳng không tìm được các đường thẳng đồng phẳng, học sinh đã mở rộng tam giác bằng cách kéo dài các cạnh Cụ thể, 2 học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng bằng cách kéo dài cạnh AD và BC.
Hình 3.13 Bài làm của học sinh B5-40
Sau khi xác định được điểm chung đầu tiên là B, học sinh B5-40 gặp khó khăn trong việc tìm điểm chung thứ hai Để giải quyết vấn đề, học sinh đã vẽ thêm đường thẳng d đi qua M và song song với BC Tuy nhiên, do không xác định được giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (SAE), học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng bằng cách kéo dài các đoạn AD và BC để chúng cắt nhau tại điểm K.
MK cắt SA tại I I là giao điểm thứ hai cần tìm
Học sinh A1-36 cũng mở rộng tam giác nhưng theo một cách khác:
Hình 3.14 Bài làm của học sinh A1-36
Học sinh A1-36 cho hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Lúc này, SO và
Trong mặt phẳng MB, điểm I được xác định là giao điểm của SO và MB Học sinh tiến hành mở rộng tam giác MBC bằng cách kéo dài đoạn CI cho đến khi cắt SA tại điểm K K chính là giao điểm thứ hai mà chúng ta cần tìm.
Hình 3.15 Bài làm của học sinh B5-31
Học sinh xem (MBC) trong (SBC) cho thấy rằng điểm chung giữa (MBC) và (SAE) là sự nhìn nhận hình biểu diễn như một đối tượng 2D Mặc dù chiến lược này không xác thực giả thuyết H1, nhưng nó bổ sung cho khẳng định của chiến lược S1.
Hình 3.16 Bài làm của học sinh B5-25
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc hiểu giao tuyến của hai mặt phẳng, mà thực chất là một đường thẳng nằm giữa chúng Sự nhầm lẫn này có thể xuất phát từ việc giáo viên sử dụng ví dụ về cạnh của quyển sách mở để minh họa, dẫn đến việc học sinh không nắm rõ bản chất của giao tuyến.
- K3: Kẻ đường thẳng song song
Một số học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng (MBC) bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua điểm M và song song với cạnh BC, sau đó xác định điểm giao của đường thẳng này với đoạn thẳng SA.
Hình 3.17 Bài làm của học sinh A1-41
Học sinh thể hiện sự đồng nhất giữa hình vẽ mô hình của đối tượng HHKG và HHP khi hai đường thẳng cắt nhau, qua đó cho thấy sự hiện diện của giả thuyết H2.
3.3.4 Lời giải chưa đi đến kết quả
- Có 13/126 học sinh chỉ tìm được điểm B
Những lời giải này chưa cho phép chúng tôi có kết luận cụ thể, vì không biết học sinh đang định đi theo chiến lược nào
Hình 3.18 Bài làm của học sinh B5-27
Mặc dù một số lời giải không tìm thấy điểm chung giữa hai mặt phẳng, chúng vẫn mang đến nhiều thông tin thú vị và đáng chú ý.
- Có 12/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Ví dụ: học sinh A15-22 viết AD cắt MB tại O, học sinh A1-23 viết K là giao điểm của SB và ME,
- Có 5/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Học sinh A15-24 đã viết MB//SA, trong khi học sinh A1-26 mở rộng tam giác trên mặt phẳng bằng cách kéo dài AD và CD để chúng cắt nhau tại F Mặc dù CM và SF có vẻ song song, học sinh này không đưa ra kết luận do thiếu dữ kiện Khi được hỏi về việc nối SF, em cho rằng SF và MC song song nhưng không biết cách chứng minh điều đó.
Kết luận chương 3
Kết quả từ thực nghiệm đã xác nhận giả thuyết về việc tìm điểm chung trong bài toán giao tuyến của hai mặt phẳng.
H1: "Khi giải bài toán 'Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng', học sinh cần xác định điểm chung giữa hai mặt phẳng được hình thành bởi hai tam giác thông qua giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác Đối với phần lớn học sinh (105/126 theo chiến lược S1 và các chiến lược khác như giao tuyến là SB), hình biểu diễn chỉ là mô hình 2D, chưa phản ánh đầy đủ mô hình 3D Đặc biệt, có 96 trường hợp cho thấy sự tồn tại của quan niệm rằng học sinh đồng nhất hình vẽ mô hình của đối tượng hình học không gian với hình vẽ mô hình của đối tượng hình học phẳng trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau."
Thực nghiệm này đã chỉ ra một khó khăn lớn mà học sinh gặp phải khi nghiên cứu vị trí thẳng đứng (VTTĐ) giữa hai đường thẳng trong hình biểu diễn Cụ thể, trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, nhiều học sinh không thể hình dung rõ ràng về VTTĐ giữa hai đường thẳng chỉ dựa vào hình vẽ.
Để học sinh phân biệt hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và HHP, chúng tôi đề xuất giả thuyết rằng MHTQ có thể hỗ trợ trong việc này Điều này dựa trên yêu cầu của SGV về việc sử dụng MHTQ trong dạy học HHKG nói chung, đặc biệt là trong VTTĐ giữa hai đường thẳng Từ đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi: liệu MHTQ thực sự có thể giúp học sinh nhận diện sự khác biệt giữa hai loại hình vẽ - mô hình này hay không?
Trong Q3, giáo viên đã áp dụng MHTQ để giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng Để cải thiện việc giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, chúng tôi đề xuất thay thế KNV T’’1 bằng KNV mới T’’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ”, nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học.
Khi đó, chúng tôi cần giải quyết câu hỏi:
Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’ 1 : “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?
DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN
Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên
Tìm hiểu việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng của giáo viên
4.1.2 Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn
Chúng tôi tiến hành điều tra bằng bảng câu hỏi trên các giáo viên đã giảng dạy lớp
11 ở các lớp đã làm thực nghiệm 1 (ở chương 3) về việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian
Phiếu 1: Khi dạy học “Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian”
Trong bài 2, với chủ đề hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song, các thầy cô thường sử dụng các phương tiện trực quan như hình vẽ, mô hình 3D hoặc phần mềm đồ họa để minh họa vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Những công cụ này giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng trong không gian.
Các thầy cô được yêu cầu đánh dấu X vào các lựa chọn mà họ cho là phù hợp, với khả năng chọn nhiều lựa chọn khác nhau Các lựa chọn bao gồm: a) Hình biểu diễn phẳng như trên bảng hay sách giáo khoa; b) Đồ vật và hình ảnh thực tế; c) Mô hình các khối hình không gian như tứ diện, lăng trụ, hình hộp chữ nhật; d) Hình biểu diễn 3 chiều từ các phần mềm hình học động; và e) Các lựa chọn khác.
Sau khi thu từng phiếu, chúng tôi sẽ căn cứ trên từng lựa chọn của giáo viên để tiến hành phỏng vấn trực tiếp
Phiếu 2: Câu hỏi phỏng vấn
Sử dụng các phiếu phỏng vấn tương ứng theo sơ đồ sau:
Phiếu 2.1: Thầy/ cô sử dụng đồ vật, mô hình, hình ảnh thực tế gì để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Phiếu 2.2: Thầy/ cô sử dụng phần mềm hình học động nào để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Lựa chọn 1bLựa chọn 1cPhiếu 2.2 Lựa chọn 1dPhiếu 2.3 Lựa chọn 1e
Phiếu 2.3: Thầy/cô biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau) như thế nào?
Phiếu 3: Câu hỏi phỏng vấn
Thầy/ cô hướng dẫn học sinh bài tập sau như thế nào?
Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi với các cạnh không song song Gọi M và E lần lượt là trung điểm của cạnh SD và cạnh AB Bài toán yêu cầu tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAE) và mặt phẳng (MBC).
Thầy/ cô có sử dụng PTTQ đã dùng ở trên khi hướng dẫn bài tập này không? Vì sao?
Mục đích phiếu 1: Tìm hiểu loại MHTQ được giáo viên sử dụng khi dạy
VTTĐ giữa hai đường thẳng
Chúng tôi mô hình hóa các lựa chọn vào trong sơ đồ PTTQ trong dạy HHKG qua hình 4.1:
Hình 4.1: Vị trí của các lựa chọn trong PTTQ
Theo hình 4.1, lựa chọn a không phải là MHTQ, vì vậy chúng tôi đưa ra lựa chọn này nhằm hạn chế việc giáo viên ghi mục này vào phần e) Khác:… Chúng tôi dự đoán rằng đây sẽ là mục mà tất cả giáo viên sẽ chọn, do hình vẽ luôn là lựa chọn sư phạm quen thuộc khi biểu diễn đối tượng HHKG.
Lựa chọn b và c được gợi ý bởi SGV với nội dung “hình ảnh thực tế/mô hình”, tuy nhiên chúng tôi tách riêng hai lựa chọn này để tăng tính phong phú và tránh hiểu nhầm cho giáo viên Dự đoán rằng lựa chọn b sẽ được nhiều giáo viên ưu tiên hơn nhờ vào việc sử dụng các vật thật có sẵn trong lớp học như cạnh tường, bút, thước,… trong khi lựa chọn c có thể ít được lựa chọn do thiếu sự đa dạng và cồng kềnh trong di chuyển và sử dụng.
Trong những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã khuyến khích và đẩy mạnh việc sử dụng công nghệ thông tin trong dạy học, đặc biệt là việc áp dụng phần mềm hình học động trong giảng dạy Hóa học và Khoa học tự nhiên Sự quan tâm từ giới nghiên cứu và giáo viên đối với công nghệ này ngày càng gia tăng, dẫn đến nhiều sáng kiến kinh nghiệm, luận văn, luận án và tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm trong giảng dạy được phát triển.
Bộ sách "Khám phá Hình học 10, 11, 12 với The Geometer’s Sketchpad" do Trần Vui chủ biên (2007-2009) cung cấp nhiều hoạt động khám phá Hình học cho học sinh THPT thông qua phần mềm Geometer’s Sketchpad Theo Bùi Minh Đức (2018), đây là nguồn tài liệu được dự đoán sẽ được giáo viên ưa chuộng trong giảng dạy.
Lựa chọn e chủ yếu để chúng tôi có thể biết thêm những MHTQ khác mà chúng tôi chưa tìm hiểu hết
Mục đích của phiếu 2 là nghiên cứu phương thức biểu diễn vận tốc thời gian giữa hai đường thẳng mà giáo viên áp dụng cho từng môn học Qua đó, chúng ta có thể nhận biết những ưu tiên sư phạm khi sử dụng các môn học trong giảng dạy.
Phiếu 2.1 nhằm tìm hiểu cách giáo viên sử dụng các vật thật trong lớp học, dự đoán rằng họ sẽ sử dụng những vật có sẵn như cạnh tường, bút và thước để minh họa cho VTTĐ của hai đường thẳng Khi cần biểu diễn VTTĐ trên hình khối, giáo viên thường chọn hình phẳng thay vì mô hình hình khối do sự cồng kềnh và kích thước cố định của chúng Tuy nhiên, học sinh lại thường xuyên làm việc với các hình khối như khối chóp, lăng trụ, và hình hộp Điều này đặt ra câu hỏi liệu học sinh có thể liên hệ VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế với VTTĐ trên hình khối hay không.
Phiếu 2.2 giúp chúng tôi khảo sát các phần mềm hình học động mà giáo viên sử dụng Mặc dù có nhiều phần mềm, chúng tôi nhận thấy rằng ngoài khả năng biểu diễn hình phẳng 2D, các tính năng tạo hình 3D như xoay và “trải” khối đa diện lên mặt phẳng được giáo viên ưu tiên Đặc biệt, tính năng xoay hình cho phép học sinh quan sát vị trí tương đối của hai đường thẳng từ nhiều góc độ khác nhau Điều này giúp học sinh hình thành hiểu biết đúng đắn về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và hình dung chúng trong thực tế thông qua các hình biểu diễn.
Phiếu 2.3 với mục đích tìm hiểu sâu hơn những MHTQ mà chúng tôi chưa biết
Mục đích của phiếu 3 là khám phá cách thức mà giáo viên sẽ sử dụng các phương pháp biểu diễn bài toán Hóa học không gian (HHKG) trong thực nghiệm với học sinh, mà không cung cấp hình ảnh sẵn có Chúng tôi dự đoán rằng giáo viên sẽ áp dụng ba chiến lược khác nhau để biểu diễn bài toán này, tương ứng với các phương tiện trực quan đã được đề cập trong phiếu 1.
Chiến lược 1: Dùng hình biểu diễn phẳng
Giáo viên sẽ dùng những hình vẽ trên bảng hoặc hình biểu diễn 2 chiều trên máy chiếu để hướng dẫn học sinh
Hình 4.2 Hình biểu diễn phẳng
Chúng tôi dự đoán rằng chiến lược này sẽ được phần lớn giáo viên lựa chọn, vì hình biểu diễn phẳng là yêu cầu bắt buộc trong thể chế khi giải quyết bài toán HHKG.
Chiến lược 2: Dùng vật thật
Chúng tôi dự đoán chiến lược này sẽ không xảy ra vì khó tìm được vật thật tương ứng cho bài toán
Chiến lược 3: Dùng hình biểu diễn ba chiều
Thực nghiệm 2
4.2.1 Mục đích thực nghiệm Để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, chúng tôi thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra” nhằm hỗ trợ cho những học sinh không thực hiện được KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”
Chúng tôi thực hiện thí nghiệm với 40 học sinh lớp 12A1 tại trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận, trong đó học sinh A1-36 không tham gia thí nghiệm 2 do đã hoàn thành nhiệm vụ ở thí nghiệm 1 Thí nghiệm bao gồm việc phát phiếu thực nghiệm kèm theo kính 3D và sử dụng phần mềm Geogebra để biểu diễn hình nổi.
Hình 4.5 Biểu diễn hình nổi
Thực nghiệm được chia làm 2 pha
Pha 1: Làm quen với kính 3D và hình nổi Anaglyph
Học sinh có 10 phút làm việc cá nhân trên phiếu A
Phiếu A: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Học sinh đeo kính 3D, nhìn vào màn hình có sẵn file hình và đánh dấu X vào vị trí tương đối giữa các đường thẳng sau:
STT Hai đường thẳng Vị trí tương đối
Song song Cắt nhau Chéo nhau
Sau đó, chúng tôi thu phiếu A và tiếp tục thực hiện pha 2
Pha 2: Giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” với sự trợ giúp của hình nổi trong GeoGebra
Chia lớp thành 10 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh, và cung cấp cho mỗi nhóm một máy tính cài đặt phần mềm GeoGebra Phần mềm này chỉ được thiết lập với chức năng vẽ đường thẳng qua hai điểm, kèm theo file hình chóp (hình 4.6) đã có sẵn.
Hình 4.6 Biểu diễn hình chóp trong chế độ hình nổi trên GeoGebra
Pha 2.1: Thực hiện KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra”
Học sinh sử dụng kính 3D để quan sát hình chóp trong chế độ hình nổi Giáo viên yêu cầu học sinh xác định hai đường thẳng cắt nhau trên hai mặt phẳng (SAE) và (MBC), mỗi đường nằm trên một mặt phẳng riêng Ví dụ, cặp đường thẳng có thể là AE và BC hoặc AE và MB Sau đó, học sinh cần tìm cặp đường thẳng không đi qua điểm B, nằm trên từng mặt phẳng (SAE) và (MBC) sao cho chúng cắt nhau Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ đường thẳng bằng phần mềm GeoGebra.
Học sinh có 10 phút để làm việc nhóm, thao tác trên phần mềm và trình bày kết quả vào phiếu B
Phiếu B: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Hãy tìm hai đường thẳng cắt nhau (không đi qua B) nằm trong hai mặt phẳng (SAE) và (MBC)
Chúng tôi thu phiếu B và yêu cầu học sinh tắt màn hình máy tính để thực hiện pha 2.2
Pha 2.2: Thực hiện KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” trong môi trường giấy – bút
Học sinh làm việc cá nhân trong 5 phút để thực hiện phiếu C
Phiếu C: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Vẽ giao tuyến của (SAE) và (MBC) trên hình bên dưới
Sau thời gian chờ đợi, chúng tôi đã thu bài từ những học sinh hoàn thành nhiệm vụ Đối với những học sinh chưa thực hiện được, chúng tôi cho phép họ mở màn hình máy tính để quan sát file hình chóp bằng kính 3D của nhóm mình và thực hiện trong vòng 5 phút.
Mục đích của pha 1 là kiểm tra khả năng "nhìn thấy" mối quan hệ giữa các đối tượng trên hình nổi của học sinh thông qua hình thức làm việc cá nhân Chúng tôi đã lựa chọn những cặp đường thẳng mà học sinh mắc sai lầm trong thực nghiệm 1, nhằm xác định xem những sai lầm này có còn xuất hiện khi học sinh quan sát trên hình nổi hay không.
Bảng 4.2 Lời giải đúng của phiếu A
STT Hai đường thẳng Vị trí tương đối
Song song Cắt nhau Chéo nhau
Mục đích pha 2: Kiểm tra xem học sinh có thể giải quyết được KNV T’1:
“Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” được hay không?
Chúng tôi chia pha này thành hai phần nhỏ, trong đó pha 2.1 nhằm giải quyết bài toán KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra.” Để thực hiện điều này, chúng tôi đã xây dựng một tùy chọn trên thanh công cụ trong môi trường GeoGebra.
Nút (Vẽ đường thẳng) cho phép học sinh vẽ đường thẳng đi qua hai điểm trong môi trường hình 3D Học sinh sử dụng kính 3D để quan sát hình chóp và thao tác vẽ trên phần mềm, tạo ra trải nghiệm gần gũi với thực tế Chúng tôi đã khóa hầu hết các chức năng hiển thị 3D trong GeoGebra để học sinh chỉ có thể "mở rộng" mặt phẳng bằng cách kéo dài các cạnh của tam giác Hình thức làm việc nhóm được chọn để học sinh hỗ trợ và khắc phục sai lầm của nhau Việc hai đường thẳng không đi qua điểm B của (SAE) và (MBC) dẫn đến sự chéo nhau giữa SA và MC, yêu cầu học sinh mở rộng tam giác trong mặt phẳng Chúng tôi dự đoán học sinh sẽ mở rộng tam giác theo nhiều cách khác nhau.
- Dựng đường thẳng AD và BC:
Trong hình chóp, đường thẳng AD và BC được dựng, với F là giao điểm của chúng Hai đường thẳng cần tìm giao nhau là MF và SA.
- Dựng đường thẳng AB và CD:
Trong hình chóp, đường thẳng AB và CD được dựng, với điểm F là giao điểm của hai đường thẳng này Do hai đường thẳng SF và MC gần như song song, học sinh cần thay đổi để dựng một đường thẳng khác.
- Dựng đường thẳng AC và BD
Trong hình chóp, ta dựng hai đường thẳng AC và BD, với O là giao điểm của chúng Gọi I là giao điểm của SO và BM Hai đường thẳng cần tìm là CI và SA, cắt nhau tại điểm I.
Pha 2.2: Sau khi học sinh làm xong pha 2.1 Chúng tôi sẽ yêu cầu học sinh tắt màn hình và làm việc cá nhân để hoàn thành phiếu C trong môi trường giấy bút Mục đích của pha này là để kiểm tra sau khi có sự hỗ trợ của hình nổi trong pha 2.1 học sinh có thể giải quyết được vấn đề trong môi trường giấy bút quen thuộc hay không? Chúng tôi dự đoán nếu học sinh thực hiện được pha 2.1 thì sẽ thực hiện được pha 2.2
Hình 4.10 Một cách giải của phiếu C
Chúng tôi đã tiến hành so sánh câu trả lời của 40 học sinh lớp 12A1 trong thực nghiệm 1 và phiếu A, như thể hiện trong bảng 4.3 Đặc biệt, học sinh A1-36 không gặp khó khăn trong thực nghiệm 1, vì vậy em đã không tham gia vào thực nghiệm 2.
Bảng 4.3 Kết quả về VTTĐ giữa các đường thẳng qua hình biểu diễn phẳng và hình nổi
Trong thực nghiệm 2 với phiếu A, chúng tôi đã chọn các trường hợp đường thẳng chéo nhau Kết quả từ bảng 4.3 cho thấy hầu hết học sinh xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng chéo bằng kính 3D trên hình nổi, với 374/400 câu trả lời chính xác Đặc biệt, có 29/40 học sinh đã trả lời đúng tất cả các câu hỏi.
Một số học sinh đã mắc lỗi trong bài kiểm tra với A1-03 và A1-31 sai 4 câu, A1-15 và A1-16 sai 3 câu, và A1-04, A1-09, A1-22, A1-27, A1-32 sai 2 câu Đặc biệt, câu số 5 có tỷ lệ sai cao nhất với SE và BC (5/40), tiếp theo là câu số 7 với SA và BC (6/40), câu số 8 với SA và MB (5/40), và câu số 10 với ME và SB (3/10) Điều này cho thấy việc sử dụng kính 3D để quan sát hình nổi vẫn chưa giúp học sinh xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng một cách hiệu quả Tuy nhiên, có sự tiến bộ đáng kể khi học sinh A1-03 không mắc lại sai lầm ở thực nghiệm 1.