NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB
Trong chương II: "Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song" của SGV Hình học 11 CB, nội dung về VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày trong bài 2, bao gồm các khái niệm về "Hai đường thẳng chéo nhau" và "Hai đường thẳng song song", tiếp nối từ bài 1: "Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng".
- Biết khái niệm hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau trong không gian
Theo định lý không chứng minh, nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau, thì giao tuyến của chúng sẽ song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng
- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song
- Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản
Trong chương này, thời gian dành cho nội dung là 2/16 tiết, bao gồm cả lý thuyết và bài tập Sách giáo viên (SGV) nhấn mạnh rằng việc sử dụng hình ảnh trực quan trước khi đưa ra định nghĩa chính thức là rất quan trọng.
Trước khi nghiên cứu về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, học sinh cần quan sát hình ảnh trong sách giáo khoa và tham gia Hoạt động 1 Qua đó, các em sẽ tìm hiểu về hình ảnh của đường thẳng và vị trí tương đối của chúng trong thực tế, đồng thời nhận diện được hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng song song và cắt nhau trong không gian.
Trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể có nhiều mối quan hệ hơn so với mặt phẳng, bao gồm việc cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau.
Do đó, SGV nhấn mạnh, trang 61 – 62:
Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau thường gây khó khăn cho học sinh Để giúp học sinh hiểu rõ hơn, trước tiên cần giới thiệu những hình ảnh cụ thể về hai đường thẳng chéo nhau trong thực tế hoặc sử dụng giáo cụ trực quan để minh họa Sau đó, giáo viên có thể trình bày một số hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau, như a và b, để học sinh có thể dễ dàng bắt chước vẽ theo.
Cuối cùng, học sinh có thể phân biệt được hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau, giúp khắc sâu các khái niệm vừa được học.
Một trong những khó khăn mà học sinh gặp phải khi học Hình học không gian (HHKG), đặc biệt là Vectơ và Tọa độ giữa hai đường thẳng, là khả năng biểu diễn các hình không gian đơn giản trên mặt phẳng và đọc hiểu các hình biểu diễn đó để hình dung thực tế trong không gian Chương trình giảng dạy yêu cầu cần kết hợp sử dụng các mô hình cụ thể (bằng giấy, tre, nhựa, v.v.) với việc rèn luyện trí tưởng tượng không gian, nhằm chuyển đổi từ tư duy trực quan sang tư duy logic trừu tượng Điều này quan trọng vì các mối quan hệ trên hình có thể không phản ánh chính xác tính chất hình học của nó.
Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB
Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương II của SGK Hình học 11 CB qua bảng sau:
Bảng 2.1 Các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
KNV Nhóm T gồm các KNV liên quan trực tiếp (cấp độ 1) đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
Số lượng hoạt động, bài tập SGK
T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất 1
T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn 1
T3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 1
T4 Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau 1
T5 Chứng minh hai đường thẳng song song 2
KNV Nhóm T’ gồm các KNV liên quan gián tiếp (cấp độ 2) đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10
T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 14
T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 3
Các kiến thức liên quan trực tiếp đến vận tốc truyền động giữa hai đường thẳng (nhóm T) không nhiều, chủ yếu chỉ có một nhiệm vụ cụ thể được sách giáo khoa nêu rõ Ngược lại, các kiến thức liên quan gián tiếp (nhóm T’) lại chiếm số lượng lớn, trong đó hai kiến thức phổ biến nhất là T’1 và T’2 Những kiến thức này được sách giáo khoa chú trọng vì chúng hỗ trợ giải quyết nhiều vấn đề khác như dựng thiết diện, chứng minh ba điểm thẳng hàng, và xác định góc giữa hai mặt phẳng.
2.2.1 Phân tích chi tiết nhóm T
Khi xem xét các KNV ở nhóm T, chúng tôi chia chúng làm 2 loại:
L 1 : Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất hoặc hình biểu diễn (gồm T1, T2)
L 2 : Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn (gồm T3, T4, T5)
Kỹ thuật để giải quyết L2 rất rõ ràng và tường minh:
Bảng 2.2 Kỹ thuật – công nghệ của loại L 2
KNV Kỹ thuật Công nghệ
Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Giả sử hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng rồi rút ra mâu thuẫn
- Tính chất thừa nhận 1, định nghĩa tứ diện, định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau
- Các quy tắc phản chứng
Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau
Giả sử hai đường thẳng đã cho cắt nhau Từ đó, chứng minh dẫn đến mâu thuẫn
- Định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau
- Quy tắc phản chứng ở trên
Chứng minh hai đường thẳng song song
: Chứng minh a, b đồng phẳng và sử dụng các phương pháp đã biết trong HHP như:
- Chứng minh a, b là hai cạnh một hình bình hành, hình thang,…
- Chứng minh a là đường trung bình của tam giác, hình thang
: Chứng minh hai đường thẳng cùng song song v ới đường thẳng thứ ba
- Định lý Talet đảo, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, tính chất hình bình hành,…
- Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song
Kỹ thuật giải quyết L1 gặp khó khăn trong việc diễn đạt và chủ yếu dựa vào quan sát Một ví dụ điển hình là nhiệm vụ T1, trong đó yêu cầu người thực hiện tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất.
(Hoạt động 1 trong bài 2, trang 55 SGK)
Quan sát các cạnh tường trong lớp học, ta nhận thấy rằng chúng tạo thành hình ảnh của các đường thẳng Một số cặp đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng có thể được chỉ ra từ các góc khác nhau của lớp học, chẳng hạn như đường thẳng của tường bên trái và đường thẳng của trần nhà.
Nhận xét về KNV này cho thấy rằng việc giải quyết dựa vào quan sát và các tính chất không gian của đối tượng vật chất là rất quan trọng Học sinh sẽ hình thành biểu tượng không gian ban đầu về hai đường thẳng chéo nhau, từ đó loại bài tập này sẽ hỗ trợ rèn luyện khả năng tư duy không gian cho học sinh.
TTTKG có số lượng bài tập hạn chế (chỉ 1 bài), khiến chúng tôi băn khoăn liệu học sinh đã đủ khả năng hình thành BTKG của VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian hay chưa Bên cạnh đó, kiểu nhiệm vụ T2 yêu cầu học sinh tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn.
(Hoạt động 2 trong bài 2, trang 56 SGK)
Cho tứ diện ABCD Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau của tứ diện này (h.2.29)
Nhận xét về KNV này, SGV chỉ đạo rằng "Hoạt động 2 nhằm giúp học sinh áp dụng phương pháp phản chứng để chứng minh một bài toán HHKG."
SGV tập trung vào việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau qua kỹ thuật phản chứng, nhưng chưa cung cấp phương pháp để xác định chúng Ngoài ra, SGV nhận định rằng khái niệm hai đường thẳng chéo nhau khá khó hiểu, vì vậy giáo viên nên sử dụng mô hình để giúp học sinh dễ dàng quan sát và hiểu rõ hơn.
2.2.2 Phân tích chi tiết nhóm T’ a) Kiểu nhiệm vụ T’ 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Bảng 2.3 Kỹ thuật – công nghệ (thứ nhất) của KNV T’ 1
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng
- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Dấu hiệu nhận biết rằng một đường thẳng nằm trong mặt phẳng là khi đường thẳng đó đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng, thì tất cả các điểm trên đường thẳng đều thuộc về mặt phẳng đó.
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm
𝑁𝐶 = 2 Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với
Trong mặt phẳng (ABC), vì 𝐴𝑀
𝑁𝐶 nên đường thẳng MN và
BC cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là E Vì D, E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (𝐷𝑀𝑁) ∩ (𝐵𝐶𝐷) = 𝐷𝐸
Để xác định điểm chung của hai mặt phẳng, ngoài việc sử dụng điểm chung đã có, ta cần tìm hai đường thẳng cắt nhau trong hai mặt phẳng đó Giao điểm của hai đường thẳng này sẽ là điểm chung của hai mặt phẳng Kỹ thuật này giúp hình thành khái niệm mới T’’1, liên quan đến việc tìm kiếm hai đường thẳng cắt nhau trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn.
Chúng tôi bổ sung KNV T’’1 vào L1 của nhóm T
Kỹ thuật giải quyết bài toán này không được đề cập trong sách giáo khoa hay sách giáo viên, và hai đường thẳng cần tìm thường xuất hiện một cách bất ngờ trong lời giải của sách.
Bảng 2.4 Các bài tập của T’ 1 - 𝝉′ 𝟏.𝟏 trong SGK
Bài tập điểm chung đã có sẵn
Bài tập điểm chung có được nhờ thực hiện KNV T’’1
7b/trang 54 10b/trang 54 2c/trang 71 1a/trang 77 3a/trang 77
Trong bảng 2.4, KNV T’’1 không được nêu rõ, nhưng số lượng bài tập liên quan đến nó khá lớn Qua phân tích các bài tập trong sách giáo khoa, chúng tôi nhận thấy rằng các đường thẳng cần tìm thường đã được đề cập trong tên của mặt phẳng.
Bài tập 3a/ trang 77 yêu cầu xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) trong hình chóp đỉnh S với đáy là hình thang ABCD, trong đó AB là đáy lớn Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC.
Để xác định điểm chung thứ hai giữa hai đường thẳng AD và BC, chúng ta cần xem xét các đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng, ngoài điểm chung S đã có sẵn.
Trong trường hợp tên mặt phẳng chưa có ngay đường thẳng cần tìm (bài
10b/trang 77) thì SGK đã chuẩn bị câu a để học sinh dễ dàng tìm ra hai đường thẳng:
Trong hình chóp S.ABCD với AB và CD không song song, điểm M nằm trong tam giác SCD Cần xác định giao điểm N giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM) Đồng thời, cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Nhờ câu a) mặt phẳng (SBM) trùng với (SBN) và hai đường thẳng cần tìm ở câu b) là BN và AC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng
Chúng tôi dự đoán rằng đối với học sinh, mặt phẳng sẽ được hình thành từ các tam giác có các đỉnh nằm trong tên mặt phẳng Để tìm điểm chung giữa hai mặt phẳng, học sinh sẽ kéo dài các cạnh của tam giác cho đến khi chúng cắt nhau.
Bảng 2.5 Kỹ thuật – công nghệ (thứ hai) của KNV T’ 1
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Tìm phương của giao tuyến (tức là tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng)
- Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng
Kết luận chương 2
Sau khi phân tích các tổ chức toán học, ngoài các KNV thuộc L2 (T3, T4, T5):
Để chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn mà không cần sử dụng mô hình, chúng tôi đã thống kê các hoạt động và bài tập trong sách giáo khoa Hình học 11 CB của các kiến thức nền tảng L1 (T1, T2, nhóm T’’) Cụ thể, nhiệm vụ là "Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất và hình biểu diễn", từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm và ứng dụng của VTTĐ trong thực tiễn.
Bảng 2.10 iii Số lượng hoạt động, bài tập của loại L 1
Nhóm T’’ phát sinh từ kỹ thuật của nhóm T’
T 1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất
T 2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
𝝉′ 𝟏.𝟏 T’’ 1 Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn
𝝉′ 𝟏.𝟐 T’’ 2 Tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn
T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
𝝉′ 𝟐 T’’ 3 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn
T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
𝝉′ 𝟑 T’’ 4 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn
Những ô gạch chéo đại diện cho các nhiệm vụ kỹ thuật không được mô tả chi tiết trong sách giáo khoa, mà thay vào đó, dựa vào việc quan sát các mô hình hoặc hình biểu diễn.
Theo bảng 2.10, chỉ có KNV T1 được xây dựng trên đối tượng vật chất, trong khi các kỹ thuật khác chủ yếu dựa vào quan sát trực quan qua hình ảnh thực tế hoặc mô hình.
Trong SGK Hình học 11 CB, chỉ có một kiến thức mới (T1) yêu cầu sử dụng giáo cụ trực quan, trong khi 7 kiến thức mới còn lại của cả hai nhóm T và T’ đều không cần đến mô hình hình biểu diễn.
Trong các kỹ năng vận dụng (KNV) của L1, chỉ có kỹ thuật KNV T’’3 được mô tả rõ ràng trong sách giáo khoa (SGK) và sách giáo viên (SGV), trong khi các kỹ thuật khác không được nêu cụ thể Đặc biệt, kỹ thuật 𝝉′′ 𝟑.𝟏 có thể thực hiện dễ dàng qua hình ảnh, trong khi kỹ thuật 𝝉′′ 𝟑.𝟐 lại phải liên hệ với KNV T’1, yêu cầu thực hiện KNV T’’1 (6 bài) hoặc T’’2 (1 bài) Số lượng bài tập có kỹ thuật không được mô tả là khá nhiều (17 bài), trong đó KNV T’’1 chiếm ưu thế với 11 bài Phân tích cho thấy SGK thường gợi mở những trường hợp mà đường thẳng cần tìm rất dễ nhận diện trên hình, với 10 trong 11 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T’’1 có đường thẳng sẵn có trong tên mặt phẳng Điều này dẫn đến giả thuyết về quy tắc hành động của học sinh trong việc xác định vị trí giao tuyến giữa hai mặt phẳng khi giải bài toán “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng” (T’1).
Khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng", học sinh cần xác định điểm chung của hai mặt phẳng được tạo bởi hai tam giác Điều này được thực hiện bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh của tam giác.
Chẳng hạn, điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) sẽ được học sinh xác định theo sơ đồ sau:
Hình 2.1 Ví dụ về giả thuyết H 1
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH
Giới thiệu thực nghiệm 1
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh đã học xong chương “Quan hệ song song” trong chương trình HHKG bằng một câu hỏi điều tra
Học sinh làm việc cá nhân và có 15 phút để trả lời bài toán sau:
Trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song, M và E lần lượt là trung điểm của SD và AB Để tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAE) và mặt phẳng (MBC), cần xác định vị trí và phương trình của các mặt phẳng này Giao tuyến sẽ là đường thẳng nằm trong không gian, tạo thành từ sự giao nhau của hai mặt phẳng đã nêu.
Phân tích tiên nghiệm
3.2.1 Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm
Lựa chọn đầu tiên của thực nghiệm là tạo ra các điều kiện để kiểm chứng giả thuyết
Chúng tôi đã chọn kiểu nhiệm vụ T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” vì giả thuyết H1 được xây dựng dựa trên kiến thức này Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi sẽ phân tích hệ thống các biến liên quan để thu thập dữ liệu chính xác.
Mặt phẳng có thể được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó Để phù hợp với tiêu đề H1, chúng tôi chọn mặt phẳng được đặt tên theo ba điểm không thẳng hàng.
Kỹ thuật V 2 được áp dụng để giải quyết bài toán KNV T’ 1 (𝝉′ 𝟏.𝟏, 𝝉′ 𝟏.𝟐) Chúng tôi đã chọn kỹ thuật 𝝉′ 𝟏.𝟏 nhằm tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn Điều này được thực hiện bằng cách loại trừ các cặp đường thẳng song song trong đề bài và hình vẽ.
Trong thực nghiệm này, chúng tôi sẽ trình bày đặc điểm của các đường thẳng trên hai mặt phẳng chéo nhau thông qua hình biểu diễn có hai cặp đường thẳng cắt nhau, như SA và MC, SB và MC Ngược lại, cặp đường thẳng SA và MB không thể cắt nhau trong hình vẽ Việc sử dụng hình biểu diễn giúp học sinh tiết kiệm thời gian vẽ và đồng thời tạo ra một tình huống học tập đồng nhất, khi tất cả học sinh cùng quan sát một hình duy nhất, nhận thấy các đường thẳng cắt nhau trên hình nhưng không cắt nhau trong thực tế.
- V 4 : Hai mặt phẳng có điểm chung có sẵn hay chưa
Hai mặt phẳng có hai điểm chung có sẵn trong tên mặt phẳng hoặc trên hình biểu diễn sẽ không kiểm chứng được giả thuyết
Bài tập 7 trong sách giáo khoa trang 54 yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) với bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng, trong đó I và K là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC Ngoài ra, bài tập cũng yêu cầu xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN) khi M và N là hai điểm trên các đoạn thẳng AB và AC.
Trong SGV, câu a cho thấy điểm chung I, K đã có sẵn trong tên mặt phẳng, trong khi ở câu b, điểm chung E, F có sẵn trên hình biểu diễn Tuy nhiên, cả hai trường hợp này không đủ để kiểm chứng giả thuyết vì điểm chung đã nằm trên các cạnh của tam giác trong tên mặt phẳng.
Hai mặt phẳng có một điểm chung trong tên gọi sẽ ảnh hưởng đến tính tổng quát của giả thuyết, vì việc này giới hạn số lượng đường thẳng mà học sinh có thể lựa chọn Điều này dẫn đến việc điểm chung chỉ có thể được xác định trên hai đường thẳng không đi qua điểm chung đã có.
Hai mặt phẳng không có điểm chung sẽ tạo điều kiện tốt để kiểm chứng giả thuyết Tuy nhiên, khi hai mặt phẳng có một điểm chung dễ tìm, như điểm B, sẽ tiết kiệm thời gian mà vẫn giữ nguyên ý nghĩa của thực nghiệm Điều này cũng giúp giảm bớt số lượng đường thẳng mà học sinh phải lựa chọn, từ đó tạo động lực cho các em trong quá trình học tập.
Chiến lược 1 (S 1 ) : Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn
Học sinh sẽ kéo dài các cạnh của hai tam giác trong tên mặt phẳng Học sinh có thể nối
AE và BC để tìm ra điểm B hoặc học sinh sẽ kéo dài các cặp cạnh khác cho cắt nhau
Trong ví dụ này, các cặp giao điểm như SE với MB, SA với MC, và SE với MC sẽ tạo thành một đường thẳng nối liền hai giao điểm Tuy nhiên, chúng tôi chỉ tập trung vào những trường hợp mà các giao điểm khác ngoài B, vì giao điểm B không làm rõ giả thuyết H1.
Hình 3.1 Các cách thể hiện của chiến lược 1
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn do nhiều nguyên nhân khác nhau Theo Lê Thị Thùy Trang (2010), việc chuyển đổi các đối tượng hình học ba chiều thành hình vẽ trên giấy hai chiều dẫn đến tình trạng mất mát thông tin Điều này làm cho việc tiếp cận và hình dung vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian trở nên khó khăn hơn, không còn trực quan như khi làm việc với hình học phẳng.
Từ đó, chúng tôi trình bày mối quan hệ đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ trong dạy học bằng sơ đồ dưới đây:
Hình 3.2 Mối quan hệ giữa đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ
Trong dạy học hình học, đối tượng hình học được thể hiện qua hình vẽ mô hình, trong đó hai đoạn thẳng biểu thị cho hai đường thẳng sẽ cắt nhau nếu chúng giao nhau trong hình vẽ.
Trong dạy học hình học không gian (HHKG), đối tượng HHKG thường được thể hiện qua hình vẽ hoặc mô hình Khi hai đoạn thẳng cắt nhau trong hình vẽ, điều này cho thấy rằng chúng có thể giao nhau hoặc chéo nhau.
Dẫn đến, để giải thích cho cách làm của học sinh ở chiến lược này, chúng tôi đề xuất giả thuyết H2 như sau:
“Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”
Trong hình học không gian, hai đường thẳng chéo nhau được thể hiện qua hai đoạn thẳng có điểm chung trên hình vẽ Học sinh sẽ nhận diện hai đoạn thẳng này như hai đường thẳng cắt nhau trong hình học phẳng.
Chiến lược này sẽ cho phép chúng tôi hợp thức được giả thuyết H1
Chiến lược 2 (S 2 ): Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng
Học sinh cần nối AE và BC để xác định điểm chung B, cùng với điểm giao của hai đường thẳng không đi qua B nhưng nằm trên hai mặt phẳng Trong tam giác có trong tên hai mặt phẳng, không còn cặp cạnh nào đồng phẳng, do đó, học sinh giữ lại một đường trong mặt phẳng này và mở rộng tam giác trong mặt phẳng kia để tìm đường thẳng đồng phẳng Cụ thể, học sinh sẽ mở rộng tam giác trong mặt phẳng (MBC) để tìm đường thẳng đồng phẳng với đường thẳng SA của (SAB) bằng cách kéo dài AD và BC cho đến khi chúng cắt nhau tại N, từ đó có (𝑀𝐵𝐶) ≡ (𝑀𝑁𝐶) Điểm cần tìm là giao điểm F của MN và SA Để thực hiện chiến lược này, học sinh cần hình dung mô hình không gian và nhận diện VTTĐ giữa các đường thẳng Khi quan sát mặt phẳng (SAE) hay (MBC), học sinh không bị giới hạn bởi hai tam giác SAE và MBC, mà có thể mở rộng hai tam giác để tìm kiếm các đường thẳng đồng phẳng.
Phân tích hậu nghiệm
Do thời điểm thực nghiệm, học sinh lớp 11 chưa hoàn thành chương II, chúng tôi đã tiến hành thí nghiệm trên 126 học sinh lớp 12 vào đầu năm học Cụ thể, có 43 học sinh lớp 12B5 từ trường THPT Châu Thành, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, và 41 học sinh lớp 12A1 cùng 42 học sinh lớp 12A15 từ trường THPT Chu Văn An, tỉnh Ninh Thuận Chúng tôi tin rằng sự thay đổi này không ảnh hưởng đến kết quả, vì kiến thức của học sinh về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian vẫn không thay đổi.
Từ đó, chúng tôi thu được bảng thống kê số lượng các lời giải được sử dụng như sau:
Bảng 3.1 Số lượng các lời giải của học sinh
Các lời giải 12B5 12A1 12A15 Số lượng
S1: Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn
S2: Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng
K3: Kẻ đường thẳng song song 3 1 2 6
Chỉ tìm ra được điểm B 5 4 4 13
Chưa đi đến kết quả
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Một nửa học sinh (63/126) áp dụng chiến lược S1, từ đó xác nhận giả thuyết H1 rằng khi giải bài toán “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh sẽ tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách xác định giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.
Chỉ có 3/126 học sinh sử dụng chiến lược S2 có nghĩa là rất ít học sinh có thể giải quyết được bài toán này
Trong số lượng bài giải, có 25 bài (chiếm 126) có lời giải khác và 30 bài chưa đạt kết quả Chúng tôi sẽ phân tích chi tiết về các trường hợp này ở phần dưới Đối với những học sinh để trống bài (5/126) hoặc chỉ đạt điểm B mà chưa có kết quả (13/126), nguyên nhân có thể là do các em đã học về giao tuyến của hai mặt phẳng quá lâu, dẫn đến việc quên định nghĩa và phương pháp giải Đây là một hạn chế đáng tiếc trong quá trình thực nghiệm.
Dưới đây chúng tôi phân tích chi tiết các lời giải của học sinh
3.3.1 Lời giải theo chiến lược S 1
Sau khi xác định giao điểm đầu tiên giữa (SAE) và (MBC) là B, học sinh đã áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để kéo dài các cạnh của tam giác trong mặt phẳng.
- Kéo dài cạnh SA và CM:
Hình 3.4 Bài làm của học sinh A15-04
- Kéo dài cạnh SE và MC:
Hình 3.5 Bài làm của học sinh A15-09
- Kéo dài cạnh AE và MC:
Hình 3.6 Bài làm của học sinh A15-14
- Kéo dài cạnh SE và MB:
Hình 3.7 Bài làm của học sinh B5-12
- Kéo dài cạnh SE và BC:
Hình 3.8 Bài làm của học sinh A1-12
- Kéo dài SA và BC:
Hình 3.9 Bài làm của học sinh A1-15
Có nhiều học sinh khi có được giao điểm B thì (SAE) sẽ trở thành (SAB) nên học sinh kéo dài cạnh SB và MC
Hình 3.10 Bài làm của học sinh B5-14
Một số học sinh khác không quan tâm đến điểm B và các em kéo dài cả hai cặp cạnh:
Học sinh A15-08 đã chứng minh rằng khi giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, họ thường xác định điểm chung bằng cách cho hai đường thẳng chứa cạnh tam giác trong tên gọi của mặt phẳng cắt nhau, mà không xem xét vị trí tương đối thực sự giữa chúng Một số học sinh còn nhầm lẫn rằng mặt phẳng được xác định bởi ba điểm là đồng nhất với tam giác được tạo bởi ba điểm đó.
Hình 3.12 Bài làm của học sinh B5-13
Lời giải của học sinh trong chiến lược này chứng minh giả thuyết H2, khi học sinh nhận diện hình biểu diễn như một đối tượng 2D, thể hiện sự đồng nhất trong việc hiểu và phân tích hình vẽ.
- mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (Sơ đồ Hình 3.2, trang 30)
3.3.2 Lời giải theo chiến lược S 2
Chỉ có 3 trong số 126 học sinh bác bỏ giả thuyết H1 sau khi xem hình ảnh dưới dạng 3D Khi hai tam giác trong mặt phẳng không tìm được các đường thẳng đồng phẳng, học sinh đã áp dụng phương pháp mở rộng tam giác bằng cách kéo dài các cạnh Cụ thể, 2 học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng bằng cách kéo dài cạnh AD và BC.
Hình 3.13 Bài làm của học sinh B5-40
Sau khi xác định điểm chung đầu tiên là B, học sinh B5-40 gặp khó khăn trong việc tìm điểm chung thứ hai Để giải quyết vấn đề này, học sinh đã vẽ thêm đường thẳng d đi qua M và song song với BC Tuy nhiên, do không xác định được giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (SAE), học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng bằng cách kéo dài các đường AD và BC để chúng cắt nhau tại điểm K.
MK cắt SA tại I I là giao điểm thứ hai cần tìm
Học sinh A1-36 cũng mở rộng tam giác nhưng theo một cách khác:
Hình 3.14 Bài làm của học sinh A1-36
Học sinh A1-36 cho hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Lúc này, SO và
Gọi I là giao điểm của đường thẳng SO và mặt phẳng MB Học sinh mở rộng tam giác MBC bằng cách kéo dài đoạn CI để cắt đường thẳng SA tại điểm K K là giao điểm thứ hai cần xác định.
Hình 3.15 Bài làm của học sinh B5-31
Học sinh xem (MBC) trong (SBC) và (S) là điểm chung giữa (MBC) và (SAE) Mặc dù chiến lược này không xác thực giả thuyết H1, nhưng nó hỗ trợ khẳng định trong chiến lược S1 rằng một số học sinh nhìn hình biểu diễn như một đối tượng 2D.
Hình 3.16 Bài làm của học sinh B5-25
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc hiểu giao tuyến của hai mặt phẳng, mà cụ thể là đường thẳng nằm giữa hai mặt phẳng Nguyên nhân có thể xuất phát từ việc giáo viên sử dụng ví dụ về cạnh của quyển sách mở để minh họa, điều này có thể gây nhầm lẫn cho học sinh trong việc hình dung khái niệm này.
- K3: Kẻ đường thẳng song song
Một số học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng MBC bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua điểm M và song song với cạnh BC, sau đó xác định điểm cắt của đường thẳng này với đoạn thẳng SA.
Hình 3.17 Bài làm của học sinh A1-41
Học sinh thể hiện sự đồng nhất giữa hình vẽ - mô hình của đối tượng Hàng hóa Kinh doanh (HHKG) và hình vẽ - mô hình của đối tượng Hàng hóa Phân phối (HHP) khi hai đường thẳng cắt nhau, điều này giúp chúng tôi nhận diện rõ ràng giả thuyết H2.
3.3.4 Lời giải chưa đi đến kết quả
- Có 13/126 học sinh chỉ tìm được điểm B
Những lời giải này chưa cho phép chúng tôi có kết luận cụ thể, vì không biết học sinh đang định đi theo chiến lược nào
Hình 3.18 Bài làm của học sinh B5-27
Một số lời giải vẫn chưa đạt được kết quả, mặc dù không tìm ra điểm chung giữa hai mặt phẳng, nhưng vẫn mang lại nhiều thông tin thú vị và đáng chú ý.
- Có 12/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Ví dụ: học sinh A15-22 viết AD cắt MB tại O, học sinh A1-23 viết K là giao điểm của SB và ME,
- Có 5/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Học sinh A15-24 đã viết MB//SA, trong khi học sinh A1-26 mở rộng tam giác trên mặt phẳng bằng cách kéo dài AD và CD để cắt nhau tại F Khi đó, CM và SF có vẻ song song, nhưng do thiếu dữ kiện, học sinh này không đưa ra kết luận Khi được hỏi về việc nối SF, em cho rằng SF và MC song song nhưng không biết cách chứng minh.
Kết luận chương 3
Kết quả từ các thí nghiệm đã xác thực giả thuyết về việc tìm điểm chung trong bài toán giao tuyến của hai mặt phẳng.
Khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng", học sinh cần xác định điểm chung của hai mặt phẳng qua hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác Tuy nhiên, đa số học sinh (105/126) chỉ xem hình biểu diễn như một mô hình 2D, chưa nhận thức được đây là mô hình của đối tượng 3D Đặc biệt, có 96 trường hợp cho thấy học sinh thường đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng hình học không gian với hình vẽ - mô hình của đối tượng hình học phẳng khi hai đường thẳng cắt nhau.
Thực nghiệm này chỉ ra rằng học sinh gặp khó khăn trong việc nghiên cứu vận tốc và thời gian di chuyển (VTTĐ) giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn Cụ thể, trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, nhiều học sinh không thể hình dung được VTTĐ giữa hai đường thẳng chỉ dựa vào hình vẽ.
Để giúp học sinh phân biệt giữa hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, dựa trên yêu cầu của SGV về việc sử dụng MHTQ trong dạy học HHKG, chúng tôi đề xuất giả thuyết rằng “MHTQ có thể hỗ trợ học sinh trong việc phân biệt hai loại hình vẽ - mô hình này.” Từ đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu liên quan.
Giáo viên đã áp dụng MHTQ trong việc giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng, đồng thời đề xuất giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” Thay vì chỉ làm trên KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”, chúng tôi khuyến nghị tăng cường KNV mới T’’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ”.
Khi đó, chúng tôi cần giải quyết câu hỏi:
Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’ 1 : “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?
DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN
Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên
Tìm hiểu việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng của giáo viên
4.1.2 Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn
Chúng tôi tiến hành điều tra bằng bảng câu hỏi trên các giáo viên đã giảng dạy lớp
11 ở các lớp đã làm thực nghiệm 1 (ở chương 3) về việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian
Phiếu 1: Khi dạy học “Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian”
Trong bài 2, khi nghiên cứu về hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song, các thầy cô thường sử dụng các phương tiện trực quan như hình vẽ hoặc mô hình 3D để biểu diễn vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Việc sử dụng các công cụ trực quan này giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng trong không gian.
Các thầy cô có thể lựa chọn nhiều phương án để đánh dấu X, bao gồm: a) Hình biểu diễn phẳng như trên bảng hoặc sách giáo khoa; b) Đồ vật và hình ảnh thực tế; c) Mô hình các khối hình không gian như tứ diện, lăng trụ, và hình hộp chữ nhật; d) Hình biểu diễn 3 chiều từ các phần mềm hình học động; và e) Các lựa chọn khác.
Sau khi thu từng phiếu, chúng tôi sẽ căn cứ trên từng lựa chọn của giáo viên để tiến hành phỏng vấn trực tiếp
Phiếu 2: Câu hỏi phỏng vấn
Sử dụng các phiếu phỏng vấn tương ứng theo sơ đồ sau:
Phiếu 2.1: Thầy/ cô sử dụng đồ vật, mô hình, hình ảnh thực tế gì để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Phiếu 2.2: Thầy/ cô sử dụng phần mềm hình học động nào để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Lựa chọn 1bLựa chọn 1cPhiếu 2.2 Lựa chọn 1dPhiếu 2.3 Lựa chọn 1e
Phiếu 2.3: Thầy/cô biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau) như thế nào?
Phiếu 3: Câu hỏi phỏng vấn
Thầy/ cô hướng dẫn học sinh bài tập sau như thế nào?
Trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh song song, M và E là trung điểm của SD và AB tương ứng Nhiệm vụ là xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAE) và mặt phẳng (MBC).
Thầy/ cô có sử dụng PTTQ đã dùng ở trên khi hướng dẫn bài tập này không? Vì sao?
Mục đích phiếu 1: Tìm hiểu loại MHTQ được giáo viên sử dụng khi dạy
VTTĐ giữa hai đường thẳng
Chúng tôi mô hình hóa các lựa chọn vào trong sơ đồ PTTQ trong dạy HHKG qua hình 4.1:
Hình 4.1: Vị trí của các lựa chọn trong PTTQ
Theo hình 4.1, lựa chọn a không phải là MHTQ, vì vậy chúng tôi đưa ra lựa chọn này để hạn chế việc giáo viên ghi mục này vào phần e) Khác Chúng tôi dự đoán rằng đây sẽ là mục mà tất cả giáo viên đều chọn, vì hình vẽ là phương pháp quen thuộc trong việc biểu diễn đối tượng HHKG.
Lựa chọn b và c được gợi ý bởi SGV, với b là "hình ảnh thực tế" và c là "mô hình" Mặc dù chúng tôi tách riêng hai lựa chọn này để tăng tính phong phú và tránh nhầm lẫn cho giáo viên, chúng tôi dự đoán rằng lựa chọn b sẽ được nhiều giáo viên ưu tiên do sự thuận tiện khi sử dụng các vật thật có sẵn trong lớp học như cạnh tường, bút, thước, trong khi lựa chọn c có thể ít được chọn hơn do sự thiếu đa dạng và cồng kềnh trong việc di chuyển và sử dụng.
Trong những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã khuyến khích và đẩy mạnh việc sử dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong giảng dạy, dẫn đến sự quan tâm đáng kể từ giới nghiên cứu và giáo viên đối với phần mềm hình học động trong dạy học Hóa học Nhiều sáng kiến kinh nghiệm, luận văn, luận án và tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm đã được phát triển nhằm hỗ trợ giáo viên trong quá trình giảng dạy.
Bộ sách "Khám phá Hình học 10, 11, 12 với The Geometer’s Sketchpad" do Trần Vui chủ biên (2007-2009) đã giới thiệu nhiều hoạt động khám phá Hình học cho học sinh THPT thông qua phần mềm Geometer’s Sketchpad Theo Bùi Minh Đức (2018), đây là tài liệu mà giáo viên có thể lựa chọn để nâng cao hiệu quả giảng dạy Hình học.
Lựa chọn e chủ yếu để chúng tôi có thể biết thêm những MHTQ khác mà chúng tôi chưa tìm hiểu hết
Mục đích của phiếu 2 là để tìm hiểu cách thức biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng mà giáo viên áp dụng cho từng MHTQ Qua đó, chúng ta có thể nhận diện những ưu tiên sư phạm khi sử dụng MHTQ trong quá trình giảng dạy.
Phiếu 2.1 nhằm mục đích tìm hiểu cách giáo viên sử dụng các vật thật trong lớp học Chúng tôi dự đoán rằng giáo viên sẽ sử dụng những vật dụng có sẵn như cạnh tường, bút, và thước để minh họa cho VTTĐ của hai đường thẳng Khi cần biểu diễn các VTTĐ này trên các hình khối, giáo viên thường chọn hình biểu diễn phẳng thay vì mô hình hình khối không gian do kích thước cố định và sự cồng kềnh của chúng Trong khi đó, học sinh lại thường xuyên làm việc với các hình khối như khối chóp, lăng trụ, và hình hộp Điều này đặt ra câu hỏi liệu học sinh có thể liên hệ VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế với VTTĐ của chúng trên hình khối hay không.
Phiếu 2.2 giúp chúng tôi khám phá các phần mềm hình học động mà giáo viên sử dụng, với dự đoán rằng ngoài tính năng biểu diễn hình phẳng 2D, các tính năng 3D như xoay và “trải” khối đa diện lên mặt phẳng sẽ được ưu tiên Đặc biệt, tính năng xoay hình được giáo viên lựa chọn để học sinh có thể quan sát VTTĐ của hai đường thẳng từ nhiều góc độ khác nhau Nhờ đó, học sinh sẽ hình thành BTKG chính xác về VTTĐ giữa hai đường thẳng và có thể hình dung VTTĐ trong thực tế thông qua hình biểu diễn.
Phiếu 2.3 với mục đích tìm hiểu sâu hơn những MHTQ mà chúng tôi chưa biết
Mục đích của phiếu 3 là khám phá cách giáo viên lựa chọn phương thức biểu diễn bài toán HHKG mà không cung cấp hình ảnh sẵn có Chúng tôi dự đoán rằng, tương ứng với các phương tiện trực quan trong phiếu 1, giáo viên sẽ áp dụng ba chiến lược khác nhau để biểu diễn bài toán này.
Chiến lược 1: Dùng hình biểu diễn phẳng
Giáo viên sẽ dùng những hình vẽ trên bảng hoặc hình biểu diễn 2 chiều trên máy chiếu để hướng dẫn học sinh
Hình 4.2 Hình biểu diễn phẳng
Chúng tôi dự đoán rằng chiến lược này sẽ được phần lớn giáo viên ưa chuộng, bởi vì việc sử dụng hình biểu diễn phẳng là một yêu cầu thiết yếu trong thể chế khi giải quyết bài toán HHKG.
Chiến lược 2: Dùng vật thật
Chúng tôi dự đoán chiến lược này sẽ không xảy ra vì khó tìm được vật thật tương ứng cho bài toán
Chiến lược 3: Dùng hình biểu diễn ba chiều
Thực nghiệm 2
4.2.1 Mục đích thực nghiệm Để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, chúng tôi thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra” nhằm hỗ trợ cho những học sinh không thực hiện được KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”
Chúng tôi đã thực hiện thí nghiệm với 40 học sinh lớp 12A1 tại trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận, trong đó học sinh A1-36 không tham gia thí nghiệm lần 2 do đã hoàn thành nhiệm vụ ở thí nghiệm lần 1 Trong quá trình thí nghiệm, chúng tôi phát phiếu thực nghiệm kết hợp với kính 3D và sử dụng phần mềm Geogebra để biểu diễn hình nổi.
Hình 4.5 Biểu diễn hình nổi
Thực nghiệm được chia làm 2 pha
Pha 1: Làm quen với kính 3D và hình nổi Anaglyph
Học sinh có 10 phút làm việc cá nhân trên phiếu A
Phiếu A: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Học sinh đeo kính 3D, nhìn vào màn hình có sẵn file hình và đánh dấu X vào vị trí tương đối giữa các đường thẳng sau:
STT Hai đường thẳng Vị trí tương đối
Song song Cắt nhau Chéo nhau
Sau đó, chúng tôi thu phiếu A và tiếp tục thực hiện pha 2
Pha 2: Giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” với sự trợ giúp của hình nổi trong GeoGebra
Chia lớp thành 10 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh, được trang bị một máy tính có phần mềm GeoGebra Phần mềm này chỉ được thiết lập với nút "Vẽ đường thẳng qua hai điểm" và có sẵn file hình chóp (hình 4.6) để hỗ trợ học tập.
Hình 4.6 Biểu diễn hình chóp trong chế độ hình nổi trên GeoGebra
Pha 2.1: Thực hiện KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra”
Học sinh sử dụng kính 3D để quan sát hình chóp trong chế độ hình nổi Giáo viên hướng dẫn học sinh chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau trên hai mặt phẳng SAE và MBC, ví dụ như cặp đường thẳng AE và BC hoặc AE và MB Tiếp theo, học sinh được yêu cầu tìm cặp đường thẳng không đi qua điểm B, nằm trên từng mặt phẳng SAE và MBC, sao cho chúng cắt nhau Cuối cùng, giáo viên hỗ trợ học sinh vẽ đường thẳng trên phần mềm GeoGebra.
Học sinh có 10 phút để làm việc nhóm, thao tác trên phần mềm và trình bày kết quả vào phiếu B
Phiếu B: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Hãy tìm hai đường thẳng cắt nhau (không đi qua B) nằm trong hai mặt phẳng (SAE) và (MBC)
Chúng tôi thu phiếu B và yêu cầu học sinh tắt màn hình máy tính để thực hiện pha 2.2
Pha 2.2: Thực hiện KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” trong môi trường giấy – bút
Học sinh làm việc cá nhân trong 5 phút để thực hiện phiếu C
Phiếu C: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Vẽ giao tuyến của (SAE) và (MBC) trên hình bên dưới
Sau thời gian làm việc, chúng tôi thu bài của những học sinh đã hoàn thành Đối với những học sinh chưa thực hiện được, chúng tôi cho phép các em mở màn hình máy tính để quan sát file hình chóp bằng kính 3D của nhóm mình và làm trong vòng 5 phút.
Mục đích pha 1 là kiểm tra khả năng nhận thức của học sinh về mối quan hệ giữa các đối tượng trên hình nổi thông qua hình thức làm việc cá nhân Chúng tôi đã chọn những cặp đường thẳng mà học sinh mắc sai lầm trong thực nghiệm 1 để đánh giá xem những sai lầm này có còn xuất hiện khi học sinh quan sát hình nổi hay không.
Bảng 4.2 Lời giải đúng của phiếu A
STT Hai đường thẳng Vị trí tương đối
Song song Cắt nhau Chéo nhau
Mục đích pha 2: Kiểm tra xem học sinh có thể giải quyết được KNV T’1:
“Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” được hay không?
Chúng tôi chia pha này thành hai phần nhỏ, trong đó pha 2.1 tập trung vào việc giải quyết bài toán KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra.” Để thực hiện điều này, chúng tôi đã xây dựng một tùy chọn trên thanh công cụ trong môi trường GeoGebra.
Nút (Vẽ đường thẳng) cho phép học sinh vẽ đường thẳng đi qua hai điểm, sử dụng kính 3D để quan sát hình chóp nổi và thao tác trên phần mềm Môi trường hình nổi giúp học sinh dễ dàng quan sát, trong khi việc khóa các chức năng hiển thị 3D trong GeoGebra tạo ra trải nghiệm gần gũi với việc sử dụng giấy bút Hình thức làm việc nhóm khuyến khích học sinh hỗ trợ nhau và khắc phục sai lầm Việc hai đường thẳng không đi qua điểm B của (SAE) và (MBC) dẫn đến việc học sinh cần mở rộng tam giác trong mặt phẳng, và chúng tôi dự đoán rằng học sinh sẽ mở rộng tam giác theo nhiều cách khác nhau.
- Dựng đường thẳng AD và BC:
Trong hình chóp, đường thẳng AD và BC được dựng lên, với F là giao điểm của hai đường thẳng này Hai đường thẳng cần xác định là MF và SA, chúng cắt nhau tại điểm F.
- Dựng đường thẳng AB và CD:
Trong hình chóp, đường thẳng AB và CD được dựng lên, với F là giao điểm của chúng Do hai đường thẳng SF và MC gần như song song, học sinh cần thay đổi để dựng một đường thẳng khác.
- Dựng đường thẳng AC và BD
Trong hình chóp, đường thẳng AC và BD được dựng, với O là giao điểm của chúng Giao điểm của SO và BM được ký hiệu là I Hai đường thẳng cần tìm là CI và SA, chúng cắt nhau tại điểm I.
Pha 2.2: Sau khi học sinh làm xong pha 2.1 Chúng tôi sẽ yêu cầu học sinh tắt màn hình và làm việc cá nhân để hoàn thành phiếu C trong môi trường giấy bút Mục đích của pha này là để kiểm tra sau khi có sự hỗ trợ của hình nổi trong pha 2.1 học sinh có thể giải quyết được vấn đề trong môi trường giấy bút quen thuộc hay không? Chúng tôi dự đoán nếu học sinh thực hiện được pha 2.1 thì sẽ thực hiện được pha 2.2
Hình 4.10 Một cách giải của phiếu C
Chúng tôi đã tiến hành so sánh câu trả lời của 40 học sinh lớp 12A1 trong thực nghiệm 1 và phiếu A, như thể hiện trong bảng 4.3 Đặc biệt, học sinh A1-36 không gặp khó khăn trong thực nghiệm 1, vì vậy em đã không tham gia vào thực nghiệm 2.
Bảng 4.3 Kết quả về VTTĐ giữa các đường thẳng qua hình biểu diễn phẳng và hình nổi
Trong thực nghiệm 2 với phiếu A, chúng tôi đã chọn các trường hợp là những đường thẳng chéo nhau Theo bảng 4.3, đa số học sinh (374/400 câu trả lời chính xác) đã xác định đúng vị trí giao nhau giữa hai đường thẳng chéo bằng kính 3D trên hình nổi, trong đó có 29/40 học sinh trả lời đúng tất cả các câu hỏi.
Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc trả lời câu hỏi, với A1-03 và A1-31 sai 4 câu, A1-15 và A1-16 sai 3 câu, trong khi A1-04, A1-09, A1-22, A1-27 và A1-32 sai 2 câu Các câu hỏi khó nhất là câu số 5 (SE và BC) với 5/40 sai, câu số 7 (SA và BC) với 6/40 sai, câu số 8 (SA và MB) với 5/40 sai, và câu số 10 (ME và SB) với 3/10 sai Điều này cho thấy việc sử dụng kính 3D để quan sát hình nổi chưa hoàn toàn hiệu quả trong việc giúp học sinh xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng Tuy nhiên, có sự tiến bộ nhất định, như trường hợp học sinh A1-03 không mắc lại sai lầm ở thực nghiệm 1.
