Không gian Besov
Cho 0 < p ≤ ∞ và D là miền trong R d, ký hiệu chuẩn trong L p (D) là k.k p,D Định nghĩa 1.1 nêu rằng, với f ∈ L p (I d) và l ∈ N, toán tử sai phân cấp l được định nghĩa như sau.
(−1) l − j l j f(x+jh). Định nghĩa 1.2 Nếu f ∈ L p ( I d )thì ω l (f,t) p := sup
( lh ) được gọi là modul trơn cấpl của f, ở đâyI d (lh):=nx : x, x+lh ∈ I d o
Các Định nghĩa 1.1, 1.2 có thể xem trong [5].
Cho hàm sốΩ : R + → R + thỏa mãn các điều kiện
Chú ý rằng điều kiện (iii) chỉ cần thỏa mãn với một số γ > 1 cố định, ví dụ như γ = 2 Định nghĩa 1.3: Không gian Besov B Ω p,θ được xác định cho 0 < p, θ ≤ ∞ là tập hợp các hàm f thuộc L p (I d) sao cho chuẩn Besov của f là hữu hạn.
B Ω p,θ := kfk p +|f| B Ω p ,θ , ở đây|f| B Ω p,θ là nửa chuẩn Besov, xác định bởi
Trong Định nghĩa 1.2, modul trơn cấp l được định nghĩa là hàm một biến với t, được gọi là modul trơn đẳng hướng, dẫn đến không gian Besov B Ω p,θ, là không gian của các hàm số có độ trơn đẳng hướng Kí hiệu U p,θ Ω là hình cầu đơn vị trong không gian B Ω p,θ Định nghĩa 1.4 mô tả hàm số tuần hoàn trên R d có chu kỳ 2π theo từng biến, được định nghĩa như hàm số trên hình xuyến d chiều T d := [0, 2π] d với các điểm mút đồng nhất Định nghĩa 1.5 cho biết, với f là hàm số tuần hoàn thuộc không gian L q (T d) và e là tập con bất kỳ của [d]:={1, 2, ,d}, toán tử sai phân bậc (l,e) của hàm số nhiều biến xác định trên T d được kí hiệu là ∆ l,e h.
Toán tử sai phân ∆ l h i tương ứng với hàm số f khi xem nó là hàm một biến theo biến x i, trong khi các biến khác được giữ cố định Đặt ω e l (f,t) p là giá trị lớn nhất của hàm số này.
∆ l,e h f p, t ∈ T d , là modun trơn hỗn hợp bậc(l,e)của f Đặc biệt,ω l ỉ (f,t) p = kfk p
Cho 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤ ∞, a = (a 1 ,a 2 , ,a d ) ∈ R d + Chúng ta xây dựng nửa chuẩn|f| B a,e p,θ của hàm số f ∈ L p ( T d )như sau:
B a,ỉ p,θ = kfk p , l là một số tự nhiờn thỏa món l > max
Định nghĩa nửa chuẩn không phụ thuộc vào l và các giá trị khác nhau của l xác định các nửa chuẩn tương đương Không gian B a p,θ bao gồm tất cả các hàm số f thuộc L p (T d) sao cho chuẩn Besov kfk B a p,θ là hữu hạn, được tính bằng tổng trên các tập con e thuộc [d].
Trong luận án này, chúng ta luôn giả định rằng A là một tập con hữu hạn của R d + Ký hiệu B p,θ A đại diện cho không gian Besov của tất cả các hàm trên T d, với chuẩn Besov được định nghĩa bởi kfk B A p,θ := ∑ a ∈ A kfk B a p ,θ.
Không gian Besov B A p,θ là không gian các hàm có độ trơn hỗn hợp (không đẳng hướng), trong đó modul trơn hỗn hợp bậc (l,e) là hàm nhiều biến theo t 1 ,t 2 , ,t d Hình cầu đơn vị của B A p,θ được ký hiệu là U p,θ A Định nghĩa này có thể tham khảo trong [18].
Ví dụ 1.1 Chúng ta có thể lấy các ví dụ về hàm số thuộc không gian Besov như sau: f(x) = 0, ∀x ∈ I ; g(x) = x, ∀x ∈ I ; h(x) = sinx, ∀x ∈ T.
Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu
Định nghĩa 1.6 Ký hiệu N r là B-spline chuẩn tắc bậcr với các nút tại các điểm
0, 1, ,rđược xác định như sau:N 1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng[0, 1); với r≥ 2, N r được định nghĩa bởi tích chập
M r (x) := N r (x+r/2)được gọi làB-spline trung tâm bậcr. Định nghĩa 1.6 có thể xem trong các tài liệu [3, 5].
Cho một số nguyên dươngr, gọi M là một B - spline trung tâm bậc2rvới giá [−r,r]và các nốt là các điểm nguyên −r, , 0, ,r Định nghĩa d-biến B-spline như sau
M(x i ), x = (x 1 ,x 2 , ,x d ), (1.1) và định nghĩa B - spline sóng nhỏ
M k,s (x) được định nghĩa là M(2 k x−s) với k là số không âm và s ∈ Z d Ký hiệu M đại diện cho tập hợp tất cả các M k,s không triệt tiêu trên I d Cho λ = {λ(j)} với j ∈ P d ( à ) là một dãy chẵn hữu hạn, tức là λ(j) = λ(−j), trong đó P d ( à ) được xác định bởi nj = (j 1 , ,j d ) ∈ Z d với điều kiện |j i | ≤ à cho i = 1, , d và à ≥ r−1 Toán tử tuyến tính Q tác động lên hàm f xác định trên R d được định nghĩa như sau.
Khi đó, từ định nghĩa củaB-spline suy ra toán tửQbị chặn trênC( R d )và
Ký hiệu P 2r − 1 biểu thị tập hợp các đa thức đại số có bậc tối đa là 2r−1 Toán tử Q, được xác định từ (1.2−1.3), được gọi là toán tử giả nội suy trong C(R^d)^n nếu nó có khả năng tái tạo lại P 2r − 1.
Ví dụ 1.2 Chúng ta có thể lấy một số ví dụ về toán tử giả nội suy như sau:
(i) Nếu M làB-spline có giá[−1, 1]thì
(ii) Nếu Mlà B-spline có giá[−2, 2]thì
Giả sử Qlà một toán tử giả nội suy từ(1.2−1.3), choh >0và một hàm f xác định trênR d , chúng ta xác định toán tửQ(.;h)bởi
Q(f;h) := σ h ◦Q◦ σ 1/h (f), ở đâyσ h (f,x) = f(x/h) Từ định nghĩa củaQ(f;h), ta có
Toán tử Q(.;h)có các tính chất tương tự như toán tử Q, cũng được gọi là một toán tử giả nội suy trênC( R d ) NhưngQ(.;h)không được định nghĩa cho f trên
GS.TSKH Đinh Dũng đã đề xuất một phương pháp xây dựng toán tử giả nội suy cho hàm số trên I d bằng cách mở rộng nó thông qua các đa thức nội suy Lagrange, nhằm khắc phục vấn đề không thể khôi phục hàm số f với các điểm lấy mẫu trong I d.
Cho một số nguyên không âm k, định nghĩa x j = j² − k với j ∈ Z Hàm số f trên đoạn I được ký hiệu với các đa thức nội suy Lagrange U k (f) và V k (f), lần lượt tương ứng với 2r điểm bên trái 0 (x 1, , x 2r − 1) và 2r điểm bên phải (x 2k − 2r + 1, x 2k − 2r + 3, , x 2k).
Ký hiệu f k là hàm số mở rộng của f trênRvà được xác định bởi: f k (x)
Nếu f liên tục trên I thì f k liên tục trên R Giả sử Q là một toán tử giả nội suy (1.2−1.3)trênC( R ) Xây dựng toán tửQ k xác định bởi
, x ∈ I , với hàm f xác định trênI Khi đó,
Chúng ta nhận thấyQ k cũng là toán tử giả nội suy trênC( I ).
Cho f là hàm số trênI d Giả sửQlà một toán tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3) xác định trênC( R d ) Xây dựng toán tử nhiều biếnQ k được xác định bởi
J(k) là tập hợp các giá trị của s sao cho M k,s không đồng nhất bằng 0 trên I d, với ns ∈ Z d và điều kiện −r < s i < 2 k + k 0 + r cho i = 1, 2, Cần lưu ý rằng a k,s (f) được xác định qua công thức a k,s 1 ((a k,s 2 ( a k,s d (f))) và các hàm hệ số a k,s i được áp dụng tương tự như khi f được xem là hàm số một biến x i với các biến còn lại được cố định.
Tương tự như toán tử Q và Q(.;h), thì toán tử Q k là tuyến tính bị chặn trên
C( I d )và tái tạo P 2r − 1 Đặc biệt, ta có:
C ( R d ) ≤ CkΛkkfk C ( R d ), (1.5) với mỗi f ∈ C( I d ), với hằng sốCkhông phụ thuộckvà
Q k ( ϕ ∗) = ϕ, ∀ ϕ ∈ P 2r − 1 , ở đây ϕ∗là hạn chế của ϕ trênI d Toán tử nhiều biến Q k được gọi là toán tử giả nội suy trênC( I d ).
Chok∈ Z + , đặtq k := Q k −Q k − 1 với quy ước Q − 1 (f) = 0, ta có
Bổ đề 1.1 Giả sử f ∈ C( I d ) Khi đó, ta có kf −Q k (f)k ∞ ≤Cω 2r (f, 2 − k ) ∞ (1.6)
Chứng minh Bất đẳng thức(1.6)được suy ra từ (2.29)-(2.31) trong [16] và bất đẳng thức(1.5)
Cho bất kỳ hàm f ∈ C( I d ), hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi f = ∑ k ∈ Z + q k (f), với q k (f) = ∑ s ∈ J ( k ) c k,s (f)M k,s Chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L ∞ ( I d ), trong đó c k,s là các phiếm hàm hệ số của f, được xác định như sau Đầu tiên, chúng ta xác định c k,s cho hàm số một biến (d = 1).
Trong trường hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định các hệ số c k,s tương tự như cách xác định trong (1.4), với công thức c k,s (f) = c k,s 1 ((c k,s 2 ( c k,s d (f))) Các hàm hệ số c k,s i được áp dụng cho hàm số một biến f, khi f được xem như là hàm số với biến x i, trong khi các biến còn lại được giữ cố định.
Ký hiệu A n (f) B n (f) nếu A n (f) ≤ C.B n (f) ở đây C là hằng số độc lập vớinvà f ∈ W; A n (f) B n (f) nếu A n (f) B n (f) và B n (f) A n (f).
Chok ∈ Z + , ký hiệuΣ(k) là không gian sinh bởi các B-splines M k,s , s∈ J(k). Nếu 0< p ≤∞thì g∈ Σ(k)được biểu diễn bởi g = ∑ s ∈ J ( k ) a s M k,s và đẳng thức sau (xem [16]) kgk p 2 − dk/p
, với vế phải thay bằng supremum khi p= ∞.
Từ (1.9), với hàm số liên tục f trênI d , các nửa chuẩn sau đây tương đương với nhau
Bổ đề sau đây đã được chứng minh cho trường hợp hàm số tuần hoàn thuộc không gian Besov B ω p,θ (xem [14]).
Bổ đề 1.2 Cho 0 < p,θ ≤∞, ta có:
Chứng minh Theo định nghĩa của nửa chuẩn Besov, ta có
Sử dụng các tính chất (i)-(iii) của hàm sốΩ(t)với 2 − k − 1 ≤ t ≤2 − k , ta có
Rõ ràng rằng từ các tính chất của modulus thì ta có ω 2r (f,t) p ≤ ω 2r (f, 2 − k ) p , t ∈ [2 − k − 1 , 2 − k ], ω 2r (f, 2 − k ) p ≤ ω 2r (f, 2t) p ≤2 2r ω 2r (f,t) p , t ∈ [2 − k − 1 , 2 − k ].
Từ (1.10), (1.11), chúng ta nhận được
Cho 0 < p,θ ≤ ∞ và ψ : Z + → R Giả sử {a k } k ∈ Z + là một dãy số dương, chúng ta định nghĩa chuẩnk{a k }k b ψ θ như sau: k{a k }k b θ ψ := ∑ k ≥ 0
Chúng ta cần bất đẳng thức về chuẩn trong L p (D) như sau: Nếuτ là số thỏa mãn0< τ ≤ min(p, 1)thì với dãy hàm bất kỳ{f k } ⊂ L p (D)thỏa mãn bất đẳng thức
∑ k ∈ Z + f k τ p,D ≤ ∑ k ∈ Z + f k τ p,D (1.12) Định lý 1.1 Cho 0 < p,θ ≤ ∞ và hàm số Ω sao cho tồn tại cỏc hằng số à,ρ > 0và
Khi đó, chúng ta có
(i) Nếu à > d p vàρ < 2rthỡ một hàm số f ∈ B Ω p,θ cú thể biểu diễn thành chuỗi (1.8) và
(ii) Nếuρ d p và ρ < min(2r, 2r−1+ 1 p )thỡ một hàm số f xỏc định trờn I d thuộc
B Ω p,θ khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuỗi có dạng(1.8)thỏa mãn điều kiện
(1.15) Hơn nữa, chuẩnkfk B Ω p,θ là tương đương với chuẩn B 2 (f)
Chứng minh.Đặtφ(x) = log 2 [1/Ω(2 − x )] Từ (1.13), (1.14) ta suy ra được φ(x)−àx ≤ φ (x 0 )−àx 0 +log 2 C 1 ; x ≤ x 0 , x,x 0 ∈ R + , (1.16) φ(x)−ρx ≥ φ (x 0 )−ρx 0 +log 2 C 2 ; x ≤ x 0 , x,x 0 ∈ R + (1.17)
(i)Từ (1.16), chỳng ta cúàk ≤ φ (k) +C, k ∈ Z + Hơn nữa, theo Bổ đề 1.2 ta cú
Từ bất đẳng thức cuối cựng suy raB Ω p,θ ⊂ B à p,θ Do à > d/pnờn chỳng ta dễ thấy rằng B à p,θ nhỳng compact vào C
Do đó, B Ω p,θ ⊂ C I d Mọi hàm f ∈ B Ω p,θ đều có thể được xem như một phần tử trong C(I d) Theo Bổ đề 1.1, hàm f có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi (1.8) bằng các B-spline, với công thức f = ∑ ∞ k = 0 q k (f) = ∑ ∞ k = 0 ∑ s ∈ J (k) c k,s (f)M k,s Chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L ∞.
Cố định τ ≤ min(p, 1) Nếuk ≥ 1thì từ Bổ đề 2.4 trong [16], chúng ta nhận được kq k (f)k p kf −Q k (f)k p +kf −Q k − 1 (f)k p
, ∀ k ≥1 (1.18) Nếuk =0 thìkq 0 (f)k p kfk p +kf −Q 0 (f)k p Bởi Bổ đề 2.4 trong [16], ta có kf −Q 0 (f)k p ∑ k ∈ Z + n
Do đó, kq 0 (f)k p kfk p + ∑ k ∈ Z + n2 dk/p ω 2r (f, 2 − k ) p o τ
Lấyk ∈ Z + , xác định các dãy {a k },{b k }như sau
a 0 := kfk p +ω 2r (f, 1) p a k :=2 dk / p ω 2r (f, 2 − k ) p , k>1, và b k :=2 dk/p kq k (f)k p , k ≥0 Từ (1.18) và (1.19) suy ra rằng b k ∑ s ≥ k a τ s
, ∀ k∈ Z + (1.20) Đặtψ(k) = φ(k)−dk/p, k ∈ Z + Từ bất đẳng thứcà > d/pvà (1.16), dễ dàng nhận thấy rằng ψ(k)−εk ≤ ψ k 0
Khi τ càng nhỏ, giá trị ở vế phải của (1.20) sẽ càng lớn, do đó có thể giả định rằng τ < θ Chúng ta chọn các số ε₀ và θ₀ sao cho 0 < ε₀ < ε và 1/θ + 1/θ₀ = 1/τ Áp dụng bất đẳng thức Hölder, ta có bₖ ∑ s ≥ k a τₛ.
Tiếp tục biến đổi (1.22), ta có k{b k }k θ b ψ θ ∑ s ≥ 0
Do đó, ta nhận được k{b k }k θ b θ ψ ∑ s ≥ 0
Từ Bổ đề 1.2 và (1.25), ta thấy rằng k{a k }k b θ ψ kfk p +|f| B Ω p,θ kfk B Ω p,θ (1.26)
Từ (1.23), (1.24) và (1.26), chúng ta suy raB 2 (f) kfk B Ω p,θ
Cố địnhτ ≤min(p, 1) Từ (1.12) suy ra
Chú ý rằng bất kỳx ∈ I d , số lượng các B-splines khác không trong (1.27) là một hằng số chỉ phụ thuộc vàor,d Như vậy, dễ dàng nhận thấy rằng
Ta nhắc lại bất đẳng thức được chứng minh trong [29, Định lý 4.8] như sau:
∆ 2r h (M k,s ) p dx 2 − kd 2 − δp (− log | h |− k ) + , ở đâyδ =min(2r, 2r−1+1/p) Do đó,
Từ (1.28) và (1.29), ta nhận được
(1.30) Định nghĩa các dãy{a k } k ∈ Z + ,{b k } k ∈ Z + như sau
Từ (1.12) và (1.30) suy ra rằng kgk p =k ∑ s ≥ 0 g s k p ≤ ∑ s ≥ 0 kg s k τ p
Từ (1.31) và (1.32) chúng ta dễ thấy rằng b k ∑ s ≥ 0 n
Tiếp tục ước lượng (1.33) như sau b k ∑ s ≥ k a τ s
Lấy cỏc sốε, β, θ 0 thỏa món0< ε < à, ρ < β< δvà1/θ+1/θ 0 =1/τ Áp dụng bất đẳng thức H ¨older, ta có c k ≤ ∑ s ≥ k
Từ bất đẳng thức này và (1.37) ta có k{c k }k θ b φ θ ∑ s ∈ Z +
2 θ ( φ ( s )− ε.s )+ θ ( à − ε )( k − s ) k{a k }k θ b φ θ (1.38) Tương tự, từ (1.36) suy ra k{d k }k θ b φ θ ∑ k ∈ Z +
Sử dụng (1.17), chúng ta có φ(k)−βk ≤ φ (s)−βs+ ( ρ − β ) (k−s)−log 2 c 2
Do đó, từ bất đẳng thức cuối cùng và (1.39) ta được k{d k }k θ b φ θ ∑ s ∈ Z +
(iii)Được suy ra từ(i)và(ii)
Ví dụ 1.3 Ngoài hàm sốΩ(t) = t α , α > 0, thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1, chúng ta có thể lấy các hàm số sau đây:
Hệ quả 1.1 Cho 0 < p,θ ≤ ∞ , Ω được định nghĩa trong Mục 1.1 và thỏa mãn giả thuyết ý (ii) của Định lý 1.1 Khi đó, với bất kỳk ∈ Z + , ta có kgk B Ω p,θ g k p
Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu
Trong phần này, chúng ta sẽ biểu diễn một hàm số tuần hoàn có độ trơn hỗn hợp trong không gian Besov B p,θ A dưới dạng chuỗi các đa thức lượng giác và chứng minh đẳng thức tương đương chuẩn Định nghĩa 1.7 cho biết rằng với 0 < p ≤ ∞, l m p là không gian của dãy số thực x = {x k } m k = 1 với chuẩn k {x k } k l m p = kxk l m p : ∑ m k = 1.
Ký hiệu B m p là hình cầu đơn vị trongl m p vàE = {e k } m k = 1 là một cơ sở chính tắc trongl m p
Cho f ∈ L p ( T d ), như đã biết, fb(k)là hệ số Fourier thứkcủa f với1 ≤ p ≤ ∞. Chok ∈ Z d + Đặt P k := {s ∈ Z d : b2 k j − 1 c ≤ |s j | < 2 k j ,j = 1, ,d}, ở đâybac là phần nguyên củaa ∈ R + Chok ∈ Z d + , ta định nghĩa toán tửδ k như sau δ k (f) := ∑ s ∈ P k bf(s)e i ( s, ã)
Từ định lý Littlewood-Paley (xem [32]) với1< p< ∞, ta có đẳng thức kfk p
Chúng ta nhắc lại tương đương chuẩn sau đây (xem [8]): Cho 1 < p < ∞ và θ ≤ ∞, khi đó kfk B A p,θ ∑ k ∈ Z + n
, (1.41) trường hợpθ = ∞thì vế phải đẳng thức trên được thay bằng supremum.
Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin V m bậc m được xác định như sau:
| k |≤ m e ikt là nhân Dirichlet một biến bậcm ĐặtV 0 =1.
Cho hàm số một biến f ∈ L p ( T ) Chúng ta định nghĩa hàm sốU m (f)bởi
T f(t)V m (ã −t)dt, và hàm sốV m (f)bởi
V m (f) := ∑ k ∈ P m f(hk)V m (ã −hk), (1.42) ở đâyh = 2π/3mvà P m := {k ∈ Z : 0 ≤ k < 3m} Nếum ∈ Z d + , toán tửV m của hàm số nhiều biến f ∈ L p ( T d )được xác định bởi
Toán tử một biến \( V_{m}^{j}(f) \) được áp dụng khi xem \( f \) như một hàm số của biến \( x_{j} \) với các biến khác cố định Lưu ý rằng \( V_{m}(f) \) là một đa thức lượng giác bậc không vượt quá \( 2m_{j} - 1 \) cho mỗi biến \( x_{j} \).
V m (f,hk) = f(hk), k ∈ P m d , (1.43) ở đâyh = (2π/3)(m − 1 1 , ,m − d 1 ), P m d := {k ∈ Z d : 0 ≤ k j < 3m j , j = 1, ,d}. Đẳng thức sau đây(xem [9]) thỏa mãn: kV m (f)k p
∏ d j = 1 m − j 1/p k{f(hk)}k l ν p , 1≤ p ≤ ∞, (1.44) ở đây ν = |P m d | = 3 d ∏ d j = 1m j Ký hiệu T m là không gian các đa thức lượng giác bậc không vượt quám j với mỗi biếnx j , j = 1, ,d Dễ dàng kiểm tra được
V m (f) = f, ∀f ∈ T m (1.45) Tiếp theo, với hàm số một biến f ∈ L p ( T ), ta định nghĩa v 0 (f) := V 1 (f), v k (f):=V 2 k(f)−V 2 k − 1(f), k= 1, 2,
Cho k ∈ Z d + , định nghĩa toán tử v k cho hàm nhiều biến trong L p ( T d ) tương tự như toán tửV m Toán tửu k , k ∈ Z d + là tương tự khi thayV m (f)bởiU m (f).
Chú ý v k (f) và u k (f) là các đa thức lượng giác bậc không vượt quá 2 k j + 1 − 1 với biến x j, j = 1, , d Đặc biệt, bất đẳng thức kV m (V n (f)k p ≤Ckfk p (n/m) 1/p, n ≥ m đã được chứng minh cho f ∈ L p (T) (xem Bổ đề 6.2 trong [36]).
Chúng ta sử dụng các ký hiệu:2 k := (2 k 1 , , 2 k d ) với k ∈ Z d , 1 := (1, , 1) ∈
R d Chok, k 0 ∈ Z d , bất đẳng thứck ≥k 0 có nghĩa là k j ≥ k 0 j ,j =1, ,d. Định lý 1.2 Cho1 < p < ∞ ,0< θ ≤ ∞ và α(A) >1/p, ta có kfk B A p,θ
, với vế phải được thay bằng supremum cho trường hợpθ =∞
Chúng ta sẽ chứng minh định lý cho 0 < θ < ∞, trong khi trường hợp θ = ∞ có thể được chứng minh tương tự với một sửa đổi nhỏ Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp A = {a} và chứng minh bất đẳng thức liên quan.
Chúng ta bắt đầu với chuỗi f = ∑ k ∈ Z d + δ k (f) Do δ k (f) ∈ T 2 k − 1 , cho k ≤ k 0 − 1 chúng ta cóδ k (f) ∈ T 2 k 0− 1 Từ (1.45) suy ra rằng
Từ bất đẳng thức (1.46), ta có kv k 0 ( δ k (f))k p 2 (| k | 1 −| k 0 | 1 ) /p k δ k (f)k p , kết hợp với (1.48) nhận được kv k 0 (f)k p ∑ k ≥ k 0
Nếuθ > 1, lấy θ 0 sao cho1/θ+1/θ 0 = 1 Từ định nghĩa của α({a}) ta có a 0 :min l ∈[ d ]a l >1/p Áp dụng bất đẳng thức H ¨older, ta nhận được
Từ bất đẳng thức suy ra rằng
Từ (1.41), (1.50) chúng ta nhận được (1.47) choθ >1.
Nếuθ ≤1thì từ (1.49) ta có kv k 0(f)k θ p ∑ k ≥ k 0
Từ (1.41), (1.51) suy ra được (1.47) choθ ≤1 Bất đẳng thức (1.47) hoàn toàn được chứng minh.
Thay đổi vai trò củaδ k (f)vàv k (f)trong chứng minh của bất đẳng thức (1.47) chúng ta chứng minh được bất đẳng thức ngược chiều:
Như vậy định lý được chứng minh cho trường hợpA = {a}.
Bây giờ ta chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát của A Chúng ta có kfk θ
(1.52) Phân tíchZ d + thành các tập con Z d + (a), a∈ A, sao cho Z d + = ∪ a ∈ A Z d + (a)và
2 θ max a ∈ A ( a,k ) kv k (f)k θ p Điều này và (1.52) cho ta chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát của A. Đặt ϕ k,s := V m k(ã −sh k ), và
Dựa vào Định lý 1.2 và các công thức (1.42)-(1.45), chúng ta có thể biểu diễn hàm f ∈ B A p,θ bằng chuỗi f = ∑ k ∈ Z d + ∑ s ∈ Q k f k,s ϕ k,s, với điều kiện 1≤ p ≤∞, 0< θ ≤ ∞, và α > 0 Chuỗi này cho thấy sự tương đương chuẩn kfk B A p,θ = ∑ k ∈ Z +, giúp khẳng định tính chính xác trong không gian B A p,θ.
Không gian Besov với độ trơn hỗn hợp có thể được mở rộng cho một tập hợp hữu hạn A ⊂ R d và với 0 < p, θ ≤ ∞, bao gồm tất cả các hàm f xác định trên T d có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi (1.53) Điều kiện cần là nửa chuẩn rời rạc ở vế phải của (1.54) phải hữu hạn Ký hiệu B p,θ = B A p,θ với A = {(0, , 0)}.
1< q< ∞, ta có bất đẳng thức sau đây (có thể xem trong [13]) kfk B q,max { q,2 } ≤ kfk q ≤ kfk B q,min { q,2 } (1.55)
KHÔI PHỤC HÀM SỐ KHÔNG TUẦN HOÀN CÓ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG 37
Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số
Bài toán khôi phục xấp xỉ hàm số xác định trên miền I d = [0, 1] d được nghiên cứu với hàm số thuộc tập hợp W ⊂ L q ( I d ), trong đó 0 < q ≤ ∞ Không gian L q ( I d ) là không gian định chuẩn của các hàm xác định trên I d với chuẩn tích phân, áp dụng cho trường hợp 0 < q < ∞ Đồng thời, không gian định chuẩn C( I d ) bao gồm các hàm liên tục trên miền này.
Định nghĩa 2.1: Cho X n = {x j } n j = 1 là n điểm trong không gian I d, và Φ n = ϕ j n j = 1 là một họ hàm số thuộc không gian L q (I d) Việc khôi phục hàm số f xác định trên I d từ các giá trị lấy mẫu f(x 1 ), , f(x n ) được thực hiện thông qua phương pháp tuyến tính theo công thức đã nêu.
ChoW ⊂ L q ( I d ) Chúng ta nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) để khôi phục hàm số f ∈ W từngiá trị lấy mẫu trên bằng đại lượng sau
X n và Φ n là các yếu tố liên quan đến không gian W kf, với k q là chuẩn L n (X n ,Φ n, f) Định nghĩa 2.1 có thể tham khảo trong tài liệu [17] Định nghĩa 2.2 (xem [16]) đề cập đến việc cho B là một tập hợp con trong L q (I d), từ đó chúng ta sẽ xây dựng phương pháp khôi phục thích nghi nhằm phục hồi từng hàm f thuộc W.
Dựa trên giá trị lấy mẫu, đối với mỗi hàm f ∈ W, chúng ta chọn n điểm x1, , xn Từ thông tin về giá trị lấy mẫu f(x1), , f(xn), ta sử dụng hàm g = SnB(f) để khôi phục hàm f Phương pháp khôi phục này, S n B, là một phương pháp thích nghi.
Toán tử S n B (f) được định nghĩa như sau: I n là tập hợp các tập hợp con ξ trong I d có số phần tử không quán V n là tập hợp mà mỗi phần tử là một bộ các số thực a ξ = {a(x)} với x ∈ ξ, ξ ∈ I n, a(x) ∈ R I n là ánh xạ từ W đến I n và P là ánh xạ từ V n đến B Cặp (I n, P) xác định một ánh xạ.
S B n từW đến Bcho bởi công thức
Chúng ta cần chọn một phương pháp khôi phục lấy mẫu S B n sao cho sai số khôi phục kf − S n B (f)k q được tối thiểu Việc lựa chọn hiệu quả cần phải thích nghi với từng hàm số f, và thường thì phương pháp khôi phục hàm số thích nghi thuộc loại phi tuyến Định nghĩa 2.3 nêu rõ rằng, cho một tập hợp B các hàm số xác định trên tập Ω, giả chiều của B, ký hiệu là dim p (B), được xác định là số nguyên lớn nhất n, sao cho tồn tại các điểm a 1, a 2, , a n trong Ω và b ∈ R n, để số phần tử của tập hợp nsgn(y): y = f(a 1) + b 1, f(a 2) + b 2, , f(a n) + b n.
, f ∈ Bo là 2 n , ở đây sgn(x) = 1 với x > 0, sgn(x) = −1 với x ≤ 0 và nếu x ∈
Trong không gian R^n, hàm sgn(x) được định nghĩa là (sgn(x₁), sgn(x₂), , sgn(xn)) Định nghĩa này có thể tham khảo trong các tài liệu [23, 29] Khái niệm giả chiều được mở rộng từ số chiều Vapnik-Chervonekis (xem [39]) Định nghĩa 2.4 (xem [16]) chỉ ra rằng, cho B là một họ các tập con B trong L^q, sai số của phương pháp khôi phục thích nghi tối ưu được đo bằng một đại lượng cụ thể.
S B n sup f ∈ W kf −S B n (f)k q , (2.3) trong đóS B n là tất cả các ánh xạ được định nghĩa ở (2.2).
Ký hiệu R n (W,B) q được định nghĩa là n (W) q nếu B là tập hợp tất cả các tập con B trong L q với |B| ≤ 2 n Nó được ký hiệu là r n (W) q nếu B là tập hợp tất cả các tập con B trong L q có giả chiều không quán Theo định nghĩa 2.5 (xem [16]), giả sử B và W là các tập hợp con của L q, các phần tử trong W được xấp xỉ từ B.
E(W,B,L q ) := sup f ∈ W inf ϕ ∈ Bkf − ϕ k q Cho họB các tập con trongL q , ta xét xấp xỉ tốt nhất củaB ∈ Bqua đại lượng sau d(W,B,L q ):= inf
B ∈BE(W,B,L q ) (2.4) Nếu B trong (2.4) là họ tất cả các tập con B của L q thỏa mãn |B| ≤ 2 n , thì d(W,B,L q )ký hiệu là e n (W,L q ) NếuB trong (2.4) là họ tất cả các tập con Bcủa
L q sao chodim p (B) ≤ n, thì d(W,B,L q ) kí hiệu là ρ n (W,L q ) Chúng ta sử dụng các ký hiệu viết tắt sau đâyρ n(W) q = ρ n (W,L q ( I )), e n(W) q = e n (W,L q ( I )).
Giả chiều của một tập hợp B có lực lượng ≤ 2^n không vượt quá n, từ đó suy ra rằng dim p (B) ≤ log|B| Điều này dẫn đến các bất đẳng thức e_n(W) q ≥ r_n(W) q và e_n(W) q ≥ ρ_n(W) q.
Ngoài ra theo Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.5, ta có các bất đẳng thức sau r n (W) q ≥ ρ n (W) q , e n (W) q ≥ e n (W) q (2.6)
Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính
Cho số nguyên không âmm, đặtK(m):={(k,s): k ∈ Z + , k≤ m, s ∈ I d (k)}, ở đây I d (k) = {s ∈ Z d + : 0 ≤ s i ≤ 2 k , i = 1, ,d} và ký hiệu M(m) là tập hợp gồm các B-splines M k,s , k ≤ m, s ∈ J(k) Định nghĩa toán tử R m của các hàm số f ∈ B Ω p,θ bởi
R m (f) := ∑ k ≤ m q k (f) = ∑ k ≤ m ∑ s ∈ J ( k ) c k,s (f)M k,s , và lướiG(m)của các điểm trongI d ,
Lưới Smolyak được định nghĩa đầu tiên bởi nhà toán học S.A Smolyak (xem [32]).
Bổ đề sau đây được chứng minh tương tự như Bổ đề 3.1 trong [17].
Bổ đề 2.1 Toán tử R m xác định một phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) trên lưới
(2 k +1) d , vàψ k,s được xác định là tổ hợp tuyến tính của không quá N B-splines M k,s ∈ M(m)với
N độc lập vớik,j,m và f. Định lý 2.1 Cho 0 < p, q, θ ≤ ∞ Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1 và à > d/p, ρ < min(2r, 2r−1+1/p) Giả sử với mỗin ∈ Z + , m là số lớn nhất thỏa mãn
Khi đó,R m xác định phương pháp tuyến tính lấy mẫu tối ưu cho$ n :=$ n (U Ω p,θ ,L q )như sau
( k,s )∈ K ( m ) f(2 − k s)ψ k,s , (2.8) ở đâyX ∗ n := G(m) ={2 − k s: (k,s) ∈ K(m)},Φ ∗ n := ψ k,s ( k,s )∈ K ( m ) ,và chúng ta có đánh giá tiệm cận sau đây sup f ∈ U Ω p,θ kf −R m (f)k q $ n Ω(n − 1/d )n ( 1/p − 1/q ) + (2.9)
Chứng minh Đánh giá cận trên Chúng ta dễ thấy rằng
Do đó, từ (2.7) suy ra
Trong trường hợp p ≥ q, bắt nguồn từ bất đẳng thức kfk q ≤ kfk p, ta tiến hành chứng minh cho trường hợp q = p Do B Ω p,θ ⊂ B Ω p,∞, chỉ cần chứng minh cận trên của (2.9) cho θ = ∞ Chọn m ∈ Z + tùy ý, ta có sup f ∈ U p,∞ Ω kf − Q m (f)k q Ω(2 − m).
Lấy bất kỳ f ∈ U Ω p,∞ Đặt τ = min(p, 1), sử dụng Định lý 1.1 và (1.12), chúng ta nhận được kf −Q m (f)k τ p ∑ k > m kq k (f)k τ p sup k ∈ Z + kq k (f)k p /Ω(2 − k ) τ ∑ k > m
Từ(1.13)chỳng ta suy ra rằngΩ(2 − k ) Ω(2 − m )2 − à ( k − m ) cho bất kỳ k> m Do đó, tiếp tục đánh giá (2.12) như sau kf −Q m (f)k τ p ∑ k > m
{2 −( k − m ) à } τ Ω(2 − m ) τ Điều này đồng nghĩa với việc chứng minh bất đẳng thức (2.11) Chú ý rằng số giá trị lấy mẫu trongQ m (f)là |G(m)| Xác địnhR m (f) = Q m (f) Bởi (2.10), ta có sup f ∈ U kf −Q m (f)k q Ω(n − 1/d ).
Trường hợp p < q Đầu tiên chúng ta xem xét trường hợp p < q < ∞ Cho f ∈ B Ω p,θ , bởi [17, Bổ đề 5.3] ta có kf −R m (f)k q q ∑ k > m
Theo bất đẳng thức đã nêu, ta có Ω(2 − k )² (d/p − d/q)ⁱ Ω(2 − m )² (d/p − d/q)ⁱ cho k > m Từ đó, suy ra rằng kf − Rm(f)k q Ω(2 − m )² (d/p − d/q)ⁱ Hơn nữa, kết hợp với bất đẳng thức (2.10), ta có kf − Rm(f)k q Ω(n − 1/d)ⁱ (1/p − 1/q) Cuối cùng, việc đánh giá cận trên của ρn cho trường hợp θ ≤ q đã được chứng minh.
Hơn nữa, có một số q ∗ thỏa mãn 1/q = 1/θ+1/q ∗ Áp dụng bất đẳng thức
Sử dụng (2.14) chúng ta tiếp tục ước lượng (2.16) như sau kf −R m (f)k q Ω(2 − m )2 ( d/p − d/q ) m ∑ k > m
Từ (2.17) và (2.10) suy ra (2.15) Đánh giá cận trên củaρ n được chứng minh cho p< q < ∞.
Trong trường hợp p< q =∞, chứng minh tương tự như trường hợp p < q m
2 dk/p kq k (f)k p Đánh giá cận dưới NếuW ⊂ L q ( I d )thì từ định nghĩa của ρ n (W,L q ( I d ))chúng ta có ρ n (W,L q ( I d )) inf
Cố định một sốr = 2 m với số nguyên không âm m sao cho ρ < min(r,r−1+ 1/p).
Cho một số nguyênη > m Xem xét hình hộp J(s) ⊂ I d
Z( η ) := {s∈ Z d + : 0 ≤s j ≤2 η − m −1, j =1, ,d}. Với mỗincho trước, chúng ta tìm đượcη thỏa mãn n 2 d ( η − m ) =|Z(η)| ≥ 2n (2.19) ĐặtX n = {x j } n j = 1 là một tập con tùy ý gồmnđiểm trongI d Do J(s)∩ J(s 0 ) = ∅ vớis 6= s 0 , và|Z( η )| ≥2n, có Z ∗ ( η )⊂ Z( η )thỏa mãn|Z ∗ ( η )| ≥ nvà
X n ∩ {∪ s ∈ Z ∗ ( η )J(s)} =∅ (2.20) Trường hợp p ≤q Xem xét hàm số g ∗ ∈ Σ(η)xác định bởi g ∗ := λΩ(2 − η )2 dη/p M η,rs + r/2 , s∈ Z ∗ ( η ), ở đây M η,rs + r/2 là B-splines có bậcr Từ (1.9) suy ra kg ∗ k q λΩ(2 − η )2 ( d/p − d/q ) η , (2.21) và kg ∗ k p λΩ(2 − η ).
Do đó, từ Hệ quả 1.1 cóλ > 0độc lập vớiη và nsao cho g ∗ ∈ U Ω p,θ Chú ý rằng
M η,rs + r/2 (x), x ∈/ J(s), cho bất kỳ s ∈ Z ∗ ( η ), và do đó, từ (2.20) g ∗ (x j ) = 0,j 1, ,n Từ (2.18), (2.21) và (2.19) ta nhận được
Chúng ta chứng minh xong đánh giá cận dưới của$ n cho trường hợp p ≤ q. Trường hợp p >q xét hàm sốg ∗ ∈ Σ( η )xác định bởi g ∗ := λΩ(2 − η ) ∑ s ∈ Z ∗ ( η )
Từ (1.9) ta thấy rằng kg ∗ k q λΩ(2 − η ), (2.22) và kg ∗ k p λΩ(2 − η ).
Do đó, từ Hệ quả 1.1 tồn tại λ > 0độc lập với η và nsao cho g ∗ ∈ U Ω p,θ Chú ý rằngg ∗ (x j ) = 0,j = 1, ,n Từ (2.18), (2.19) và (2.22) suy ra
$ n kg ∗ k q Ω(n − 1/d ). Đánh giá cận dưới của$ n cho trường hợp p >qđược chứng minh.
Khôi phục hàm số không tuần hoàn bằng phương pháp thích nghi 45
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp thích nghi để xấp xỉ và khôi phục hàm số không tuần hoàn trong không gian Besov B Ω p,θ Phương pháp này sử dụng các B-spline với modul trơn đẳng hướng, nhằm đạt được độ chính xác cao trong việc tái tạo hàm số.
2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.6 (Xem [13]) Cho 0 < p,θ ≤ ∞ và N = {N k } k ∈ Q là một dãy các số tự nhiên, với Q là một tập hợp chỉ số hữu hạn Ký hiệu b N p,θ là không gian tất cả các dãy x = {x k } k ∈ Q = {{x k j } N j = k 1 } k ∈ Q sao cho nửa chuẩn hỗn hợp k{{x k j }}k b N p,θ = kxk b N p,θ là hữu hạn Ở đây nửa chuẩn hỗn hợp k.k b N p,θ được xác định như sau kxk b N p,θ := ∑ k ∈ Q kx k k θ l p Nk
Khi θ hữu hạn, tổng được thay bằng supremum khi θ = ∞ Ký hiệu S N p,θ là hình cầu đơn vị trong b N p,θ Định nghĩa hàm số [P] e (t) cho e > 0, t ∈ R như sau: [P] e (t) = e[t/e] sgn (t) Đối với x ∈ l m p, ta có x = ∑ m k = 1 x k e k, và toán tử [P] e (x) được định nghĩa là {[P] e (x k )} m k = 1.
Ta có x= {x k } m k = 1 ∈ l m p , xác định dãy k j m j = 1 sao cho
|x j 1 | ≥ |x j 2 | ≥ ≥ |x j m |. Khi đó choe > 0, n≤ m chúng ta định nghĩa toán tử
Định nghĩa 2.8 (Xem [16]) đề cập đến việc chia đoạn I = [0, 1] thành các đoạn nhỏ, ký hiệu các cách chia này là ζ và |ζ| là số đoạn trong ζ E m là tập hợp tất cả các cách chia ζ của đoạn [0, 1] với |ζ| ≤ m Q(ζ) là tập hợp tất cả các hàm f trên I sao cho trên mỗi đoạn của ζ, f là một đa thức có bậc không quá 2r−1 Q m là hợp của các Q(ζ) với ζ thuộc E m.
2.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi Đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp xấp xỉ và khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số một biến (d = 1) thuộc không gian Besov
B-spline được định nghĩa bởi B Ω p,θ Chúng ta đánh giá tốc độ hội tụ tiệm cận của phương pháp xấp xỉ tốt nhất thông qua các đại lượng n và r n Tiếp theo, chúng ta mở rộng cho trường hợp nhiều biến bằng cách áp dụng kỹ thuật tương tự.
Bổ đề 2.2 Chok, k ∗ là các số nguyên không âm với k≤ k ∗ , và {n k } k k ∗ = k + 1 là dãy các số nguyên không âm vớin k ≤ |J(k)|, k= k+1, ,k ∗ Blà tập tất cả các hàm f có dạng f = ∑ s ∈ J ( k ) a s M k,s + k ∗
Bổ đề 2.3 Cho 0 < p, q ≤ ∞, n ≥ m Khi đó, tồn tại hằng số C = C(p) thỏa mãn
Bổ đề 2.4 Cho 0 < p ≤ q ≤ ∞, n ≤ m.Khi đó, tồn tại hằng sốC = C(p) thỏa mãn
[S] n,e G (B m p ) ≤ 2 n ( m n )và sup x ∈ B m p x−[S] G n,e (x) q ≤ C.n 1 q − 1 p , ở đây e =C.n 1 q − 1 p Xem chứng minh các Bổ đề 2.2, 2.3, 2.4 trong [16]. Định lý 2.2 Cho 0 < p,q,θ ≤ ∞ và Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1, ρ< min(2r, 2r−1+1/p) Khi đó, ta có e n
Chứng minh.DoU ∞,θ Ω ⊂ βU Ω p,θ , với một hằng số nhân β, điều đó có nghĩa chỉ cần chứng minh cho trường hợp p= ∞ Từ Hệ quả 1.1 chúng ta có kfk B Ω
∞,θ kfk ∞ Ω(2 − k ), với bất kỳk ∈ Z + , f ∈ Σ(k) Sử dụng bất đẳng thức này và chứng minh tương tự như Định lý 5.3 trong [16] ta nhận được ρ n (U Ω p,θ ) q Ω(1/n).
Hơn nữa, nếu tập hợp B có lực lượng không quá 2 n thì giả chiều của nó không vượt quán Do đó e n
Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu về việc xấp xỉ và khôi phục hàm số thông qua phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu, và đã thu được những kết quả chính Định lý 2.3 chỉ ra rằng với các tham số 0 < p, q, θ ≤ ∞ và Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1, nếu à > 1/p và ρ < min(2r, 2r−1 + 1/p), thì r n (U Ω p,θ ) q Ω(1/n).
Ngoài ra, chúng ta xây dựng được tập hợpBtrongΣn(M)sao chodim p (B) ≤nvà một phương phápS B n thỏa mãn sup f ∈ U Ω p,θ kf −S n B (f)k q Ω(1/n) (2.24)
Cận trên Do B Ω p,θ ⊂ B Ω p,∞ nên ta chỉ cần chứng minh(2.24)choU :=U Ω p,∞ Chúng ta cần khẳng định sau đây: Tồn tạiC =C(r)thỏa mãn dim p (Q m )≤ Cm (2.25)
Đầu tiên, chúng ta xem xét trường hợp p ≥ q Bởi vì bất đẳng thức kfk q ≤ kfk p, nên chỉ cần chứng minh cho trường hợp q = p Với bất kỳ k ∈ Z +, ta có sup f ∈ U kf −Q k (f)k q Ω(2 − ¯ k ).
Lấy bất kỳ f ∈ U Đặt τ = min(p, 1), từ Định lý 1.1 và (1.12) suy ra kf −Q k (f)k τ p ∑ k > k ¯ kq k (f)k τ p sup k ∈ Z + kq k (f)k p /Ω(2 − k ) τ ∑ k > k ¯
Bởi tính chất (ii) trang 12 của hàm sốΩ, ta nhận thấy rằngΩ(2 − k ) Ω(2 − k )khi k > k Từ¯ (1.13), chỳng ta suy ra Ω(2 − k ) Ω(2 − k )2 − à ( k − k ) khi k > k Do đú,¯ tiếp tục ước lượng (2.27) như sau kf −Q k (f)k τ p ∑ k > k
Chúng ta chứng minh được bất đẳng thức (2.26).
Từ Bổ đề 2.2 chúng ta có kết quả sau: Đặt k, k ∗ là các số nguyên không âm sao chok ≤ k ∗ , và {n k } k k ∗ = k + 1 là một dãy các số nguyên không âm thỏa mãnn k ≤
|J(k)|, k= k+1, ,k ∗ Đặt Blà tập hợp tất cả các hàm số f có dạng f = ∑ s ∈ J ( k ) a s M k,s + k ∗
Q m , ở đây m = 2 k Ta códim p (Q m ) ≤ C.m, Clà một hằng số Chú ý rằng số giá trị lấy mẫu trongQ k (f)là 2 k +1 Cho trước một sốn ∈ Z + xác địnhkthỏa mãn
Từ1/n 2 − k và các tính chất (ii)–(iii) củaΩ suy ra
Xác địnhS B n (f) = Q k (f)với B = Q m Từ (2.26) và(2.29), suy ra sup f ∈ U kf −S B n (f)k q Ω(1/n).
Do đó, ta được cận trên củar n (U Ω p,θ ) q
Tiếp theo, ta xét trường hợp p k ∗ thì chúng ta có kq k (f)k q =2 − k/q
Xem xét ánh xạGtừU đến Bxác định bởi(2.30) Đặt B là tập hợp của B-splines có dạng (2.28) Khi đó G(f) ∈ B Theo Bổ đề 2.2, ta có B ⊂ Q m với m 2 k +2r k
∑ k = k + 1 n k (k−k) Dodim p (Q m ) ≤ C.m nên ta nhận được dim p (B) ≤ C.m. Chúng ta xác địnhk, k ∗ , và một dãy{n k } vớin k ≤m k như sau.
– k xác định bởi C 1 2 k ≤ n < C 2 2 k , ở đâyC 1 , C 2 là các giá trị hằng số được chọn dưới đây.
– Số lượng các giá trị lấy mẫu trong G(f)không vượt quá m 0 = (2 k +1) + (2à+2r) k ∗
– Cố định một số e sao cho0 < e < ( à − δ )/δ, chỳng ta chọnk ∗ và một dóy {n k } k ∗ k = k + 1 với k ∗ = b e − 1 log(λn)c+k+1, và n k = bλn.2 − e ( k − k ) c, k = k+1, , k ∗ , λlà một hằng số dương.
Do đó, phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu S n B (f) = G(f) có dạng (2.2) và dim p (B) ≤n Chúng ta ước lượngkf −S B n (f)k q Cố định τ với0< τ 0, từ (2.33) chỳng ta nhận được kf −S B n (f)k q Ω(1/n) +2 δk ∗ Ω(2 − k ∗ ) (2.34) Hơn nữa, từ2 δk ∗ n ( 1 + 1/e ) δ và (1.13)suy ra rằng
2 δk ∗ Ω(2 − k ∗ ) n ( 1 + 1/e ) δ n − à/e Ω(1/n) n ( eδ − à + δ ) /e Ω(1/n) Ω(1/n). Ước lượng này và (2.34) cho ta cận trên củar n (U Ω p,θ ) q trong trường hợp p < q.
Theo Định lý 2.2 và (2.6), ta có cận dưới cho r n (U p,θ Ω ) q ≥Ω(1/n) Điều này cho phép chúng ta xác định cận dưới của r n (U Ω p,θ ) q Định lý 2.4 chỉ ra rằng với 0 < p, q, θ ≤ ∞ và Ω thỏa mãn điều kiện của Định lý 1.1, nếu à >1/p và ρ < min(2r, 2r−1+1/p), thì chúng ta có e n.
U p,θ Ω q Ω(1/n) (2.35) Đặc biệt, chúng ta xây dựng được tập hợpB trongΣn( M ) có |B| ≤ 2 n và một phương phápS n B dạng (2.2) sao cho sup f ∈ U Ω p ,θ f −S B n (f) q Ω(1/n) (2.36)
Để chứng minh (2.35), trước tiên cần chứng minh (2.36) Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.3, chỉ cần xem xét trường hợp U := U p,∞ Ω là đủ Theo Định lý 1.1, bất kỳ hàm số f ∈ U có thể được biểu diễn dưới dạng f = ∑ ∞ k = 0 q k (f) = ∑ s ∈ J (k) c k,s (f)M k,s.
Hơn nữa, từ (1.15) của Định lý1.1ta nhận được q k (f) p 2 − k/p k c k,s k p,k Ω(2 − k ), ∀k ≥0 (2.37)
Dựa trên biểu diễn này, chúng tôi sẽ xây dựng một tập hợp con B với kích thước |B| ≤ 2^n, cùng với một phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu S_B^n của (2.2) nhằm thỏa mãn đẳng thức (2.36).
Trường hợp p< q Cho một số nguyên dương n, chúng ta lấyk =k(n)thỏa mãn
C 1 2 k ≤n ≤C 2 2 k , (2.38) ở đâyC 1 , C 2 là các hằng số sẽ được chọn sau. Đặtδ =1/p−1/q,ta cú0< δ < à Chỳng ta chọn sốecố định thỏa món
0< e 0 với k ≤ k(1 + e)/e - k_0, trong đó k_0 = k_0(e) là một hằng số dương Do (1 + e)/e > a/(a - δ), chúng ta cố định một số γ sao cho (1 + e)/e > γ > a/(a - δ) Đặt k* = bγkc và cho k đủ lớn, ta có n_k > 0, ∀k ≤ k* Nếu 0 ≤ k ≤ k, thì n_k ≥ m_k Theo Bổ đề 2.3, có một hằng số C = C(p) sao cho
[P] e k (B m p k ) ≤ 2 n k và x−[P] e k(x) l mk q ≤ C.m − k δ 2 − n k /m k kxk l mk p , (2.41) ở đâye k = c.m − k δ 2 − n k /m k Chúng ta xác định một tập hợp con B k của L q và một ánh xạS k :U → B k như sau: Xem c k,s (f) s ∈ J ( k ) như là một phần tử củal m q k và
|B k | ≤ [P] e k(B m p k ) ≤ 2 n k , và do bởi (2.37), (2.41), cho mỗi f ∈ U, kq k (f)−S k (f)k q Ω(2 − k ).2 − n k /m k
Do đó, từ (2.40) ta nhận được kq k (f)−S k (f)k q Ω(2 − k ).2 − 2 ( 1 − e )( k − k ) (2.42) Đặtk < k ≤ k ∗ , thì n k < m k Theo Bổ đề 2.4 có một hằng số C = C(p) sao cho
|[S] G n k ,e k (B m p k )| ≤ 2 n k ( m n k k)và kx−[S] G n k ,e k (x)k l mk q ≤ C.n − k δ kxk l mk p , (2.43) ở đâye k = C.n − k δ Tương tự trường hợp0≤ k ≤k, chúng ta xác định một tập con
B k của L q và một ánh xạS k :U → B k như sau
2 n k ( m n k k)và do bởi (2.37), (2.40), (2.43), cho mỗi f ∈ U kq k (f)−S k (f)k q Ω(2 − k ).2 δ ( 1 + e )( k − k ) (2.44)
Từ (1.13), chỳng ta thấy rằng Ω(2 − k ) Ω(2 − k )2 − à ( k − k ) với k > k Do đú, từ¯ (2.44) suy ra được kq k (f)−S k (f)k q Ω(2 − k ).2 − β ( k − k ) , (2.45) ở đõyβ =à−δ(1+e)> 0.
Cuối cùng, đặtk > k ∗ , từ (1.9) và (2.37) cho mỗi f ∈ U, thì kq k (f)k q Ω(2 − k ).2 δk , k =k ∗ , k ∗ +1, (2.46) Để xấp xỉ hàm số f ∈ U chúng ta xác định ánh xạ S := k
Cố định 0< τ ≤ min(q, 1) Do (2.42), (2.45), (2.46) và (1.12), ta suy ra kf −S k (f)k τ q ≤ k ∗ k ∑ = 0 kq k (f)−S k (f)k τ q +
Vì vậy, từ (2.48), (2.49), ta tiếp tục ước lượng (2.47) như sau kf −S k (f)k τ q Ω τ (2 − k ) ∑
Mặt khác, chúng ta có 2 τρ ( k − k ) 2 τ2 ( 1 − e )( k − k ) , k ≤k và k ∗ = bγkc, à−( à − δ ) γ 0 Khi đó tồn tại các hằng số dươngC 1 vàC 2 sao cho
(ii) Cho một số cố định λ > rlog 2 C 1 /C 2 , đặt { ξ j } ∞ j = 1 là một dãy số dương bất kỳ thỏa mãnξ j + 1 − ξ j ≥ λ, j ≥1 Khi đó ta có k ∈ G ξ ∑ j +
Chứng minh (i) Kết quả này được suy ra từ Bổ đề 3.1.
(ii) Từ (3.1), chúng ta có k ∈ G ξ ∑ j + 1 \ G ξ j
Chứng minh được hoàn thành
Bổ đề 3.3 khẳng định rằng, với 0 < p ≤ 1 và một số nguyên dương m, cho bất kỳ số nguyên dương n ≥ m, ta có thể xây dựng một tập hợp con M của l ∞ m có số lượng không vượt quá 2^n Hơn nữa, tồn tại một ánh xạ S từ l ∞ m đến M sao cho sup x ∈ B m p kx−S(x)k l ∞ m ≤ C(p)m − 1/ρ 2 − n/m.
Bổ đề 3.4 Cho0 < p,θ,τ ≤ ∞ Với bất kỳ số nguyên dương n< m = ∑ k ∈ Q
N k , chúng ta có thể xây dựng một tập hợp conM ⊂ b ∞,τ N có lực lượng không quá2 n ( m n )và một ánh xạS :b N p,θ → Mthỏa mãn sup x ∈ S N p ,θ kx−S(x)k b N
Bổ đề 3.3 và Bổ đề 3.4 đã được chứng minh trong [13].
Các kết quả chính về phương pháp xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian BesovB a p,θ được trình bày qua các định lý Theo Định lý 3.1, với các điều kiện 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p, ta có e n (U a p,θ ,L q ) ≤ e n (U a p,θ ,L q ) (n/ log s n) − r (logn) s ( 1/2 − 1/θ ).
Ngoài ra, xây dựng được một tập con hữu hạn V ∗ của V , một tập hợp con B trong
M n (V ∗ )có|B| ≤ 2 n , và một ánh xạS B n :U p,θ a → Bcó dạng (2.2) thỏa mãn
E(U p,θ a ,B,L q )≤ sup f ∈ U a p,θ kf −S n B (f)k q (n/ log s n) − r (logn) s ( 1/2 − 1/θ ) Định lý 3.1 được suy ra từ định lý: Định lý 3.2 Cho0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ vàr> 1/p Ta có e n (U a p,θ , B q,τ )≤ e n (U p,θ a , B q,τ ) E θ,τ (n), (3.4) ở đâyE θ,τ (n) = (n/ log s n) − r (logn) s ( 1/τ − 1/θ )
Ngoài ra, xây dựng được một tập hợp con V ∗ trong V , một tập hợp con B trong
M n (V ∗ )có|B| ≤ 2 n và một ánh xạS B n :U p,θ a → Bcó dạng (2.2) thỏa mãn
Chứng minh.Ta thấy rằng (3.4) suy ra từ (3.5), và do đó, nó đủ để chứng minh
Z +, i = s+2, ,d } Cố định một dãy con Λ 0 := { ν 2,j } ∞ j = 1 ⊂ Λ thỏa mãn ν 2,j − ν 2,j − 1 >max{a d , λ}(số λđược xác định trong Bổ đề 3.2). Đặt G ν 2,j := {(k s + 2 , ,k d ) : ∑ d i = s + 2 a i k i ≤ ν 2,j }, D ν 0
Từ (1.53), (1.54) suy ra rằng bất kỳ f ∈ B a p,θ là biểu diễn được thành chuỗi f = ∑ ν =( ν 1 ,ν 2 ) f ν , (3.6) hội tụ theo chuẩn trongB q,τ , với bất kỳν = ( ν 1 , ν 2 )∈ Z + ×Λ và f ν = ∑ k ∈ D ν s ∈ ∑ Q k f k,s ϕ k,s , (3.7) ở đây D ν := D ν 00 ∩ D ν 0
2,j, D 00 ν := {(k 1 ,k 2 , ,k s + 1 ) : k 1 +k 2 +ã ã ã+k s + 1 = ν 1 }. Ngoài ra, có các tương đương chuẩn kf ν k B a p,θ 2 rν 1 + ν 2 k{{2 −| k | 1 /p f k,s }}k b N ν p,θ , kf ν k B q,τ k{{2 −| k | 1 /q f k,s }}k b N ν q,τ , N ν :={N k } k ∈ D ν = {|Q k |} k ∈ D ν
Các biểu diễn (3.6) – (3.7) cùng với các tương đương chuẩn (3.8) đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh định lý Đặc biệt, trong trường hợp độ mịn hỗn hợp đồng nhất, cần sử dụng một biểu diễn đơn giản hơn (xem [13]).
Dễ thấy,D ν ∩D ν 0 =ỉnếuν 6= ν 0 và Z d + = ∪ ν ∈ Z + ì Λ D ν Chỳng ta cú
|D ν | =|D ν 0 ||D 00 ν | ν 1 s ν 2 d − s − 2 Đặtr 0 =a s + 2 = = a s + s 0 + 2 < a s + s 0 + 3 ≤ ≤ a d Từ (3.2) ta nhận được m ν =3 d ∑ k ∈ D ν
|Q k | Cho một số nguyên dương n, chúng ta lấy một số nguyên dươngξ = ξ (n)thỏa mãn điều kiện
C2 ξ ξ s ≤ n 2 ξ ξ s , (3.10) ở đâyClà một hằng số được chọn sau cho phù hợp.
Chú ý rằng chúng ta có bất đẳng thức kfk B q,τ ≤ kfk B ∞,τ và bao hàm U a p,θ ⊂
Để chứng minh định lý cho trường hợp p ≤ θ và q = ∞, ta chỉ cần chọn các số δ, α, ε sao cho 0 < δ < min{1, p(r−1/p)}, max{r, (1+ δ)r₀/pr} < α < r₀, và (1+ δ)/pr < ε < α/r₀ Tiếp theo, định nghĩa dãy số {nν}∞ν=0 được xác định bởi nν.
Dễ dàng kiểm tra rằng ν > 0 cho ν1 + ν2/α ≤ ξ (1+δ)/(1+δ−ε) − ν0, với ν0 = ν0(δ, d) là một hằng số dương Do (1+δ)/(1+δ−ε) > r/(r−1/p), ta có thể chọn một số γ sao cho r/(r−1/p) < γ < (1+δ)/(1+δ−ε) Đặt ξ* = bγξ và cho ξ đủ lớn, ta có nν > 0, ∀ ν1 + ν2/α ≤ ξ* Với 0 ≤ ν1 + ν2/α ≤ ξ, ta có nν ≥ mν Chọn một số ρ sao cho 0 < ρ ≤ min{1, p, θ} và N_k = 2|k|1 ≤ 2ν1 2ν2/r0 := N0, ∀k ∈ Dν Từ bất đẳng thức kãk b Nν ρ, ρ ≤ |Dν|1/ρ − 1/θ N0 1/ρ − 1/p kãk b Nν p, θ và kãk b Nν.
∞,∞, với bất kỳ tập hợp con M ν ⊂ b N ∞,τ ν và ánh xạ G ν : b N p,θ ν → M ν ta có sup x ∈ S N p,θ ν kx−G ν (x)k b N ∞,τ ν ≤ |D ν | 1/ρ − 1/θ + 1/τ N 0 1/ρ − 1/p sup x ∈ S N ρ,ρ ν kx−G ν (x)k b ∞,∞ N ν
Xem xét không gian l^p và l^∞, chúng ta áp dụng Bổ đề 3.3 để xây dựng một tập hợp con M của l^∞ với số lượng không quá 2^n cho n ≥ m Chúng ta định nghĩa một ánh xạ S từ l^p vào M, đảm bảo rằng sup x ∈ B^m_p ||x - S(x)||_{l^∞} ≤ C(p) m^{-1/ρ} 2^{-n/m}.
Do đó, tồn tại một tập hợp M ν ⊂ b N ∞,τ ν có lực lượng không vượt quá2 n ν và một ánh xạG ν :b N p,θ ν → M ν thỏa mãn sup x ∈ S N p,θ ν kx−G ν (x)k b N ν
∞,τ ≤ |D ν | 1/ρ − 1/θ + 1/τ N 0 1/ρ − 1/p m − ν 1/ρ 2 − n ν /m ν Xác định một tập hợp conB ν củaB ∞,τ và ánh xạS ν : B a p,θ → B ν như sau Từ (1.54), kfk B a p,θ = ∑ k ∈ Z +
, suy rakf ν k B a p,θ ≤ kfk B a p,θ Do đó, nếu f ∈ B a p,θ thì f ν ∈ B a p,θ , và do đó{{f k,s } s ∈ Q k } k ∈ D ν nằm trongb N p,θ ν Đặt
S ν (f) = ∑ k ∈ D ν ∑ s ∈ Q k f k,s ∗ ϕ k,s và B ν = S ν (M ν ), ở đây {{f k,s ∗ } s ∈ Q k } k ∈ D ν = G ν ({{f k,s } s ∈ Q k } k ∈ D ν ) Dễ thấy rằng
Do đó kf ν −S ν (f)k B ∞,τ A(ν)kf ν k B a p,θ , (3.12) ở đây A(ν) = ξ s ( 1/τ − 1/θ ) 2 − rξ 2 r ( ξ − ν 1 − ν 2 /α ) 2 − 2 ( 1 − δ )( ξ − ν 1 − ν 2/ α ) Đặt ξ < ν 1 +ν 2 /α ≤ ξ ∗ Khi đó n ν < m ν Áp dụng Bổ đề 3.4 như sau: Cho
0 < p,θ,τ ≤ ∞, với bất kỳ số nguyên dương n < m = ∑ k ∈ Q
N k , xây dựng được một tập hợp conM ⊂b N ∞,τ có lực lượng không quá2 n ( m n )và ánh xạS : b N p,θ → M thỏa mãn sup x ∈ S N p,θ kx−S(x)k b N
Do đó, ta có thể xây dựng một tập hợp conB ν của B ∞,τ có lực lượng không vượt quá2 n ν ( m n ν ν ), cũng như một ánh xạS ν : B a p,θ → B ν sao cho kf ν −S ν (f)k B ∞,τ k{{f k,s − f k,s ∗ }}k b N ν
∞,τ n ν − 1/p |D ν | 1/τ +( 1/p − 1/θ ) + k{{f k,s }}k b N p,θ ν (3.13) Chúng ta có|k| 1 ≤ ν 1 + ν 2 /r 0 , do đó kf ν k B a p,θ 2 rν 1 + ν 2 k{{2 −| k | 1 /p f k,s }}k b N ν p ,θ
2 − rν 1 − ν 2 2 ν 1 /p 2 ν 2 / pr 0 kf ν k B a p,θ Tiếp tục đánh giá (3.13), kf ν −S ν (f)k B ∞,τ k{{f k,s − f k,s ∗ }}k b N ∞,τ ν n ν − 1/p |D ν | 1/τ +( 1/p − 1/θ ) + k{{f k,s }}k b N ν p,θ
C( ν )kf ν k B a p,θ , ở đõy C( ν ) = 2 − rξ ν 1 s ( 1/τ − 1/θ ) 2 − β ( ν 1 + ν 2 /α − ξ ) , β = r−(1+ δ )/p > 0, à 1 = ξ − ν 1 − ν 2 /α, à 2 =1/τ+1/p−1/θ Dễ dàng kiểm tra rằng
Cuối cựng, với ν 1 + ν 2 /α > ξ ∗ Đặt à = r−1/p, từ (3.8) và bất đẳng thức
H ¨older, ta suy ra kf ν k B ∞,τ 2 −( rν 1 + ν 2 ) 2 ν 1 /p 2 ν 2 /pr 0 kf ν k B a p,τ
Cho một hàm số f ∈ U a p,θ , chúng ta xác định ánh xạSbởi
Do đó, từ (3.12), (3.13)–(3.14) và bất đẳng thức kf ν k B a p ,θ kfk B a p ,θ suy ra ước lượng sau đây cho bất kỳ f ∈ U p,θ a kf −S(f)k B ∞,τ ≤ ξ ∗
2 − rξ ξ s ( 1/τ − 1/θ ) E θ,τ (n). Điều này có nghĩa rằng sup f ∈ U p,θ a f −S(f) E θ,τ (n) (3.15)
Chú ý rằng S là ánh xạ từ U a p,θ đến B : ξ ∗
B ν Hơn nữa, từ (3.9), (3.11) chúng ta có log|B| ≤ ξ ∗
Áp dụng công thức Stirling, ta có log m ν n ν
≤2 − δ ( ν 1 + ν 2 /α − ξ ) 2 ξ ξ s ( ν 1 + ν 2 /α − ξ ) s 2 − ν 2 ( 1/α − 1/r 0 ) ν 2 s 0 (b+ (1δ )( ν 1 + ν 2 /α − ξ )), vớiblà một hằng số Do đó, log|B| ≤ C 0 2 ξ ξ s
2 − δt t s , ở đâyC 0 là một hằng số không phụ thuộc LậpC 00 := C 0 ∑ ∞ s = 0
Trong bài viết này, chúng ta xem xét rằng với điều kiện 2 − δt t s, ta có log|B| ≤ n, dẫn đến |B| ≤ 2 n Đặt V ∗ = ∪ ν V ∗ ˚, trong đó V ∗ ˚ = {ϕ k,s} với s ∈ Q k và k ∈ D ν Qua cách xây dựng, ta nhận thấy rằng V ∗ là một tập con hữu hạn của V, và B là một tập hợp con của M n (V ∗).
Tóm lại, chúng ta đã xây dựng một tập hợp con B trong M n (V ∗ ) với số lượng không vượt quá 2 n Phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu S n B := S có dạng (2.2) và thỏa mãn bất đẳng thức (3.15), từ đó cung cấp cận trên cho các bất đẳng thức (3.4) và (3.5).
Chứng minh của Định lý 3.1 Chú ý rằng k.k q 1 k.k q 2 , q 1 ≤q 2 (3.16)
Từ (3.16), ta chỉ cần chứng minh (3.3) cho q > 2 là đủ Theo (1.55), chúng ta dễ dàng kiểm tra được rằng e n (U p,θ a , L q ) e n (U a p,θ , B q,min { q,2 } ).
Sử dụng bất đẳng thức này và Định lý 3.6, ta nhận được cận trên củae n (U a p,θ ,L q ).
Cận dưới củaρ(U p,θ a ,L q )nhận được từ định lý sau đây. Định lý 3.3 Cho1 < p, q< ∞ ,0< θ ≤∞ vàr >1/p Chúng ta có ρ(U p,θ a ,L q ) (n/ log s n) − r (logn) s ( 1/2 − 1/θ )
Chứng minh.Ký hiệuU p,θ a ∗ ( T s + 1 )là hình cầu đơn vị trong không gianB a p,θ ∗ ( T s + 1 )
⊂ L q ( T s + 1 ), ở đây a ∗ := (a 1 ,a 2 , ,a s + 1 ) = (r,r, ,r) ∈ R s + + 1 Trong [13] đã chứng minh được ρ n(U a p,θ ∗ ( T s + 1 ),B q,τ ( T s + 1 )) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ )
Chú ý rằng cho bất kỳ hàm số f ∈ L q ( T s + 1 ), thì hàm số g : T d → R được xác định bởig(x 1 ,x 2 , ,x d ) = f(x 1 , ,x s + 1 ), nằm trongL q ( T d ) Ngoài ra, nếu f ∈ U p,θ a ∗ ( T s + 1 )thì g ∈ U a p,θ ( T d ) Do đó, ta suy ra ρ n (U a p,θ ( T d ),B q,τ ( T d )) ≥ ρ n (U a p,θ ∗ ( T s + 1 ),B q,τ ( T s + 1 )).
Chứng minh được hoàn thành
Dựa trên các đánh giá cận trong các định lý đã nêu, chúng ta có thể ước lượng sai số tiệm cận của phương pháp khôi phục Cụ thể, theo Định lý 3.4, với điều kiện 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và r > 1/p, ta có công thức e n (U a p,θ ,L q ) ρ n (U p,θ a ,L q ) n − r (logn) s (r + 1/2 − 1/θ).
Hơn nữa, chúng ta cũng đánh giá tiệm cận của phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu e n (U p,θ a ,L q ) r n (U p,θ a ,L q ) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ )
Chứng minh.Từ Định lý 3.1, Định lý 3.3 và (2.5), ta có e n (U p,θ a ,L q )≥ ρ n (U p,θ a ,L q ) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ ) và ρ n (U p,θ a ,L q ) ≤ e n (U a p,θ ,L q ) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ )
Sử dụng Định lý 3.1 và (2.5), chúng ta nhận được r n (U a p,θ ,L q )≤ e n (U p,θ a ,L q ) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ )
Do Định lý 3.7 và (2.6) nên ta suy ra r n (U a p,θ ,L q ) ≥ ρ n (U p,θ a ,L q ) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ )
Từ hai bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta có e n (U p,θ a ,L q ) r n (U p,θ a ,L q ) n − r (logn) s ( r + 1/2 − 1/θ )
Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian B A p,θ
Trong nghiên cứu này, chúng tôi tập trung vào việc xấp xỉ và khôi phục hàm số thông qua phương pháp phi tuyến trong không gian Besov tổng quát B p,θ A, với A là một tập con hữu hạn trong R d + Không gian này có thể được xem như là giao của các không gian khác nhau, mở ra những hướng đi mới trong việc phân tích và xử lý hàm số.
Chúng tôi đã phát triển các phương pháp phi tuyến thích nghi và đánh giá tốc độ hội tụ thông qua các đại lượng e-entropy e n (U p,θ A ,L q) và độ dày phi tuyến ρ n (U p,θ A ,L q) Đồng thời, chúng tôi cũng đã xác định tiệm cận tốc độ hội tụ của phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu qua các đại lượng e n (U p,θ A ,L q) và r n (U p,θ A ,L q) Những kết quả này được trình bày trong bài báo [CT4], đã được chấp nhận đăng trên tạp chí Southeast Asian Bulletin of Mathematics Định lý 3.5 chỉ ra rằng với 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α (A) > 1/p, s = s(A), ta có e n (U p,θ A ,L q) ≤ e n (U p,θ A ,L q) (n/ log s n) − α (log n) s (1/2 − 1/θ).
Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V ∗ của V , một tập conBtrong M n (V ∗ )có|B| ≤2 n , và một ánh xạS n B : U p,θ A → Bcó dạng (2.2) sao cho
Định lý 3.6 chỉ ra rằng với các tham số 0 < p, q, θ ≤ ∞, 0 < τ ≤ θ và α = α (A) > 1/p, s = s(A), ta có thể khẳng định rằng e n(U p,θ A , B q,τ ) ≤ e n (U p,θ A , B q,τ ) E θ,τ (n), trong đó E θ,τ (n) được xác định bởi công thức (n/ log s n) − α (logn) s ( 1/τ − 1/θ ) Điều này dẫn đến kết luận rằng E(U p,θ A ,B,L q ) ≤ sup f ∈ U p,θ A kf − S n B (f)k q E(n), trong đó E(n) là ký hiệu cho vế phải của (3.17).
Ngoài ra, chúng ta có thể xây dựng tường minh một tập con hữu hạn V ∗ của V , một tập con B trong M n (V ∗ ) có|B| ≤ 2 n , và một ánh xạ S B n : U p,θ A → B có dạng (2.2) sao cho
E(U p,θ A ,B,B q,τ ) ≤ sup f ∈ U p,θ A kf −S B n (f)k B q,τ E θ,τ (n) (3.19) Để chứng minh Định lý 3.6, ta cần bổ đề:
Bổ đề 3.5 Ký hiệu 1 := (1, 1, , 1) ∈ R d , A 0 := A−1/p = {a−1/p : a ∈ A}, α = α (A),α 0 = α −1/p, B := α 0 α A = { α 0 α a : a ∈ A}, D ξ := {k ∈ Z d + : S(A 0 ,k) ≤ ξ}, D ξ 0 := {k ∈ Z d + : S(B,k) ≤ ξ } Khi đó tồn tại một sốC > 0sao cho với một số cố địnhλ >Cα 0 điều kiện sau thỏa mãn k ∈ D ∑ ξ + λ \ D 0 ξ
Chứng minh Với α 0 = α (A 0 ) = α (B) Áp dụng Bổ đề 3.1 tồn tại các số thực dươngC 1 vàC 2 sao choC 1 Cα 0 , ta có2 λ/α 0 C 1 −C 2 > 0 Do đó, k ∈ D ∑ ξ + λ \ D ξ 0
Từ hai bất đẳng thức cuối suy ra k ∈ D ∑ ξ + λ \ D 0 ξ
Chứng minh bổ đề được hoàn thành
Để chứng minh Định lý 3.6, cần lưu ý rằng các bất đẳng thức kfk B q,τ ≤ kfk B ∞,τ và U p,θ A ⊂ U p,max A { p,θ } đều đúng Do đó, chỉ cần chứng minh trong trường hợp p ≤ θ và q = ∞ Rõ ràng, (3.18) được suy ra từ (3.19), vì vậy chúng ta sẽ tập trung vào việc chứng minh (3.19).
Cho f ∈ U p,θ A và một số ξ >0 Từ (1.53) suy ra f = ∑ k ∈ Z d + ∑ s ∈ Q k f k,s ϕ k,s = ∑
S ( B,k )> ξ s ∈ ∑ Q k f k,s ϕ k,s =: f 1 + f 2 Để xấp xỉ hàm f, chúng ta xấp xỉ từng hàm f 1 và f 2
Cho trước một số nguyên dươngn, ta lấy một số nguyên dương ξ = ξ (n) thỏa mãn điều kiện
C2 ξ/α 0 ξ s ≤ n 2 ξ/α 0 ξ s , (3.20) trong đóClà một hằng số dương sẽ được chọn sau.
Chúng ta bắt đầu bằng cách xấp xỉ hàm f 1 Xét dãy số dương cố định {λ j} ∞ j = 1 sao cho λ j + 1 − λ j ≥ λ với j ≥ 1 và λ 1 = 0 (λ > 0 được định nghĩa trong Bổ đề 3.5) Với ν 1, ν 2 thuộc {λ j} ∞ j = 1, tồn tại i sao cho ν 1 = λ i và ν 2 = λ j.
∆ ν 2 := {k∈ Z d + : ξ− λ j + 1 α 0 log 2 (C 4 +C 5 )/C 3 , ta có k ∈ ∑ D à
Từ (3.25), (3.26) chỳng ta nhận đượcm ν 2 ( ξ + à ) /α 0 ( ξ + à ) s Đặt n à = bm à 2 −( 1 + δ ) /α 0 à c Khi đún à > 0chỉ cần với à ≤ à ∗ = bξ/δc Chọn
S D à (f). Xấp xỉ hàm f 2 bằngS 2 (f), ta nhận được kf 2 −S 2 (f)k B ∞,τ ≤ à ∗
Giả sử0 ≤ à ≤ à ∗,n à < m à Áp dụng Bổ đề 3.4: Cho0 < p,θ,τ ≤∞, khi đú với mỗi số dươngn à < m à = ∑ k ∈ D à
N k , ta xõy dựng được một tập con M à ⊂ b N ∞,τ à cú lực lượng lớn nhất bằng2 n à ( m n à à )và một ỏnh xạG à : b N p,θ à → M à sao cho sup x ∈ S N p,θ à kx−G à (x)k b ∞,τ N à ≤ C(p)n à − 1/p |D à | 1/τ +( 1/p − 1/θ ) +
Ký hiệuB à :=S D à (M ν ), cú thể thấy rằng|B ν | ≤ |M ν | ≤ 2 n à ( m n à à ) Do đú từ (3.21), ta có kf D à −S D à (f)k B ∞,τ = k{{f k,s − f k,s ∗ }}k b ∞,τ N à n à − 1/p |D à | 1/τ +( 1/p − 1/θ ) + k{{f k,s }}k b N p,θ à
(3.28) Nếuà > à ∗thỡ ta cú kf D à k B ∞,τ 2 − ξ − à |D à | 1/τ − 1/θ kf D à k B A p ,θ
Từ (3.28), (3.29) chúng ta tiếp tục đánh giá (3.27) kf 2 −S 2 (f)k B ∞,τ 2 − α/α 0 ξ ξ s ( 1/τ − 1/θ ) (3.30) Với mỗi xấp xỉ của f ∈ U p,θ A , ta định nghĩa
Chú ý rằngSlà một ánh xạ từU p,θ A vào B:= ∑ ν ∈ J ( ξ )
Do đó, từ (3.24), (3.30) và (3.20) suy ra đánh giá sau kf −S(f)k B ∞,τ ≤ kf 1 −S 1 (f)k B ∞,τ +kf 2 −S 2 (f)k B ∞,τ
Mặt khác, theo công thức Stirling ta có à ∗
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một biểu thức toán học có dạng 2 ξ/α 0 ξ s 2 − δà/α 0 (c + (1 + δ)/α 0 à) n, trong đó c là một hằng số không âm Kết quả cho thấy log|B| n dẫn đến |B| ≤ 2 n Đặt V ∗ = (∪ ν ∈ J V ∗ ˚ )∪(∪ 0 ≤ à ≤ à ∗ V ∗ ¯ ), với V ∗ ˚ = { ϕ k,s } s ∈ Q k , k ∈ ∆ ν và V ∗ ¯ = { ϕ k,s } s ∈ Q k , k ∈ D à Qua đó, ta có thể suy ra rằng V ∗ là một tập con hữu hạn của V và B là một tập con của M n (V ∗ ).
Tóm lại, chúng ta đã xây dựng được một tập conBtrongM n (V ∗ )có lực lượng
≤ 2 n và một phương pháp phục hồi xấp xỉ S n B := S có dạng (2.2) thỏa mãn bất đẳng thức (3.31) và do đó, nhận được cận trên của (3.19)
Chứng minh Định lý 3.5 Chú ý rằng k.k q 1 k.k q 2 , q 1 ≤q 2 (3.32)
Do đó, ta chỉ cần chứng minh (3.17) khiq ≥ 2 Từ (1.55) suy ra e n (U p,θ A , L q ) e n (U A p,θ , B q,min { q,2 } ).
Sử dụng bất đẳng thức và Định lý 3.6, chúng ta có thể đánh giá cận trên của n (U p,θ A ,L q ) theo Định lý 3.7 Đối với các giá trị 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p, ta nhận được ρ(U p,θ A ,L q ) (n/ log s n) − α (logn) s ( 1/2 − 1/θ ) Định lý này sẽ được chứng minh dựa trên Định lý 3.8, trong đó với 0 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α > 1/p, ta có ρ(U p,θ A ,B q,τ ) (n/ log s n) − α (logn) s ( 1/τ − 1/θ ).
Chứng minh Sử dụng kỹ thuật trong [31] và [13] Vì U ∞,θ A ⊂ U p,θ A nên ta chỉ cần chứng minh trường hợpp = ∞. Đặt Ξ := { ξ ≥ 0 : ∃k, S(A,k) = ξ} Với ξ ∈ Ξ, ký hiệu ∆(ξ) := {k ∈ Z d + :
S(A, k) = ξ, với |k| 1 = b ξ /α c+1 và α = α (A) Đặt B(ξ) là không gian chứa tất cả các hàm f có dạng f = ∑ k ∈ ∆ (ξ) ∑ s ∈ Q k f k,s ϕ k,s Đối với 0 < ζ, η ≤ ∞, ta định nghĩa B(ξ) ζ,η là không gian con của B ζ,η bao gồm tất cả f ∈ B(ξ) Từ định nghĩa của ϕ k,s và tính chất nội suy (1.43), ta suy ra rằng với mọi f ∈ B(ξ), có thể biểu diễn f dưới dạng f = ∑ k ∈ ∆ (ξ) ∑ s ∈ Q k f(sh k)ϕ k,s.
∞,θ =2 ξ kfk B ∞,θ ≤2 ξ |∆(ξ)| 1/θ kfk B ∞,∞ với mỗi f ∈ B( ξ ) ∞,θ Điều này kéo theo 2 − ξ |∆( ξ )| − 1/θ SB( ξ ) ∞,∞ ⊂ SB ∞,θ A , trong đó SB( ξ ) ∞,∞ là hình cầu đơn vị trong B( ξ ) ∞,∞ Do đó với mỗi M ⊂ B q,τ , chúng ta nhận được
Xét lưới Γ := {sh k } s ∈ Q k , k ∈ ∆ (ξ) như một tập con của T d Ký hiệu f ∗ là hạn chế của f trên Γ, và đặt W ∗ := {f ∗ : f ∈ W} Không gian B(ξ) ∗ ζ,η bao gồm tất cả các hàm f ∗ với chuẩn được xác định bởi vế phải của (1.54) khi A = {0} Nếu dim p (M) ≤ n, thì suy ra radim p (M ∗ ) ≤ n.
Lấy một số cố định ρ sao cho 0 < ρ ≤ min{1,q,τ} Từ hệ thức |∆(ξ)| ξ s dễ dàng kiểm tra được rằng k ã k B ( ξ ) ∗ q,τ ξ s ( 1/τ − 1/ρ ) k ã k B ( ξ ) ∗ ρ,ρ
Do đó, bằng định nghĩa nửa chuẩn củaB( ξ ) ∗ ζ,η chúng ta có
Do đó, từ (3.34) và (3.35), ta nhận được
E(SB ∞,θ A ,M,B q,τ ) 2 − ξ ξ s ( 1/τ − 1/θ − 1/ρ ) E(SB(ξ) ∗ ∞,∞ ,M ∗ ,B(ξ) ∗ ρ,ρ ) (3.36) Chúng ta định nghĩa ánh xạF : B( ξ ) ρ,ρ → SB( ξ ) ∞,∞ như sau Nếu f = ∑ k ∈ ∆ ξ ∑ s ∈ Q k f k,s ϕ k,s , thì
F(f) = ∑ k ∈ ∆ ξ ∑ s ∈ Q k f k,s 0 ϕ k,s , trong đó f k,s 0 = sgn(f k,s )min{1,|f k,s |} Ánh xạFsinh ra một ánh xạF ∗ : B( ξ ) ∗ ρ,ρ →
SB(ξ) ∗ ∞,∞ được xác định bởi công thức F ∗ (f ∗ ) = (F(f)) ∗, trong đó F(f) = f với mọi f ∈ SB(ξ) ∞,∞ Từ bất đẳng thức kF ∗ (f ∗ )k B(ξ) ∗ ρ,ρ ≤ kf ∗ k B(ξ) ∗ ρ,ρ, ta suy ra rằng với mỗi f ∗ ∈ SB(ξ) ∗ ρ,ρ và g ∗ ∈ M ∗, có thể khẳng định rằng kf ∗ − F ∗ (g ∗ )k B(ξ) ∗ ρ,ρ ≤ kf ∗ − g ∗ k B(ξ) ∗ ρ,ρ.
E(SB( ξ ) ∗ ∞,∞ ,M ∗ ,B( ξ ) ∗ ρ,ρ )≥ E(SB( ξ ) ∗ ∞,∞ ,M 0 ,B( ξ ) ∗ ρ,ρ ), (3.37) trong đó M 0 = F ∗ (M ∗ ) Hơn nữa, từ định nghĩa của giả chiều dễ dàng suy ra rằngdim p (M 0 )≤ dim p (M ∗ ) ≤ n.
Ký hiệu k ã k = k ã k B ( ξ ) ∗ ρ,ρ Chú ý rằng, từ định nghĩa của nửa chuẩn trong
B(ξ) ∗ ζ,η chúng ta có thể tìm được một độ đo xác suấtω sao cho
Trong không gian nửa chuẩn tuyến tính X, với mỗi tập con M, H ε (M,X) đại diện cho số lượng tập con cực đại Mε-tách được Một tập A được coi là ε-tách được nếu khoảng cách giữa bất kỳ hai phần tử f và f 0 trong A thỏa mãn điều kiện kf − f 0 k X > ε, với f và f 0 phải khác nhau.
Do đó, từ [13, Bổ đề 5] suy ra rằng
Từ [13, Bổ đề 2], tồn tại một tập conU ⊂ SB(ξ) ∗ ∞,∞ có lực lượng lớn nhất2 u/16 sao cho với mỗi f ∗ , g ∗ ∈ U, f ∗ 6= g ∗ , ta có kf ∗ −g ∗ k ≥2 − ξ/ ( αρ ) (u/2) 1/ρ ≥ C|∆ ξ | − 1/ρ , (3.39) trong đóu:=dimB( ξ ) = 3 d 2 ξ/α |∆ ξ | Rõ ràng,
E(SB(ξ) ∗ ∞,∞ ,M 0 ,B(ξ) ∗ ρ,ρ )≥ E(U,M 0 ,B(ξ) ∗ ρ,ρ ) (3.40) Choδ > 0bất kỳ, chúng ta đặt σ = E(U,M 0 ,B( ξ ) ∗ ρ,ρ ) +δ.
Bằng định nghĩa, tồn tại một ánh xạG :U → M 0 sao cho với mỗi f ∗ ∈ U, ta có kf ∗ −G(f ∗ )k ≤ σ.
Sử dụng (3.39), với mỗi f ∗ ,g ∗ ∈ U, ta có kG(f ∗ )−G(g ∗ )k ≥ kf ∗ −g ∗ k − kf ∗ −G(f ∗ )k − kg ∗ −G(g ∗ )k ≥2ε 0 −2σ, trong đó2ε 0 = C|∆ ξ | 1/ρ Giả sử rằngσ ≤ ε 0 /2 Khi đó với mỗi f ∗ ,g ∗ ∈ V = G(U), ta nhận đượckf ∗ −g ∗ k ≥ ε 0 Điều này có nghĩa rằng|V| =|U| >2 u/16 và
H ε 0 (V,B( ξ ) ∗ ρ,ρ )> 2 u/16 Mặt khác, từ (3.38) suy ra
Với một số tùy ý đủ lớn, ta có u < 16n(2 + log(e/C)) Đặt ξ = ξ(n), từ điều kiện n^2 ξ/α ξ s = u > 16n(2 + log(e/C)), ta suy ra bất đẳng thức u > 16n(2 + log(e/C)) Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó σ > ε/2 với ξ = ξ(n) và δ > 0 tùy ý.
Kết hợp đánh giá cuối cùng với (3.36), (3.37) và (3.40) suy ra rằng với tập Mtùy ý có giả chiều lớn nhấtn, chúng ta có
Chứng minh Định lý 3.7 Từ (3.32), ta chỉ cần chứng minh (3.33) vớiq < 2 Có thể kiểm tra, từ (1.55) rằng ρ n (U p,θ A , B q,max { q,2 } ) ρ n (U p,θ A , L q ).
Khi đó cận dưới của ρ n (U p,θ A ,L q ) có thể được chứng minh bằng bất đẳng thức cuối cùng và Định lý 3.8
Theo các Định lý 3.1, 3.7 và (2.5), (2.6), chúng ta có kết quả quan trọng sau: Định lý 3.9 khẳng định rằng với điều kiện 1 < p, q < ∞, 0 < θ ≤ ∞ và α = α(A) > 1/p, s = s(A), nếu γ n là một trong các đại lượng n, r n, e n và ρ n, thì ước lượng tiệm cận γ n (U p,θ A ,L q ) n − α (logn) s ( α + 1/2 − 1/θ ) được thỏa mãn.
Kết luận
Chương này giới thiệu những phát hiện mới về khôi phục hàm số tuần hoàn trong không gian Besov với độ trơn hỗn hợp thông qua phương pháp phi tuyến thích nghi Đối với hàm số có độ trơn đẳng hướng, các phương pháp khôi phục thường có nhiều đặc điểm chung, nhưng với hàm số có độ trơn hỗn hợp, cần xây dựng phương pháp cho từng trường hợp cụ thể Các kết quả chính bao gồm các Định lý 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.7, và 3.9 Đặc biệt, trong không gian Besov B a p,θ, chúng tôi đã trình bày một cách chứng minh đơn giản hơn so với trường hợp tổng quát, mặc dù đây là sự tổng quát từ kết quả trong tài liệu [13] Việc áp dụng cho véc tơ bất kỳ gặp nhiều khó khăn, nên chúng tôi đã sử dụng kỹ thuật biến đổi và nhiều bổ đề để đưa về cách chứng minh thông thường Cuối cùng, chúng tôi mở rộng cho không gian Besov B p,θ A với A là tập con hữu hạn của R d +, yêu cầu sử dụng các kỹ thuật phức tạp hơn và chia miền biến số một cách hợp lý để phân tích các chỉ số đặc trưng của tập hợp A.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Các kết quả chính của luận án bao gồm:
1 Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn qua giá trị lấy mẫu bởi các B-spline hoặc đa thức lượng giác trong không gian Besov.
2 Xây dựng được các phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu trong không gian BesovB Ω p,θ và đánh giá được tốc độ hội tụ của các phương pháp đó qua các đại lượng đặc trưng.
Bài viết tập trung vào việc xây dựng phương pháp tuyến tính và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp này Nghiên cứu cũng đề cập đến thuật toán tham lam, từ đó phát triển các phương pháp khôi phục thích nghi và ước lượng tiệm cận sai số của phương pháp.
3 Xây dựng được phương pháp phi tuyến để xấp xỉ và khôi phục hàm số, đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp trong không gian Besov B p,θ A Đặc biệt, trong trường hợpA = {a}đưa ra được cách chứng minh đơn giản hơn so với trường hợp tổng quát.
Có thể phát triển các kết quả của luận án như sau:
1 Nghiên cứu các vấn đề trên đối với các không gian Besov B p,θ A với Alà một tập compact trongR d +
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
VÀ ĐỒNG TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
[CT1] Cuong N.M., Thao M.X (2017), "Adaptive sampling recovery of func- tions with bounded modulus of smoothness",Acta Math Vietnamica, 42, pp 113-
[CT2] Cuong N.M., Thao M.X (2018), "Quasi-interpolation representation and sampling recovery of multivariate functions",Acta Math Vietnamica, 43, pp.
[CT3] Cuong N.M (2019), "Nonlinear approximations of functions having mixed smoothness",Journal of Computer Science and Cybernetics, 35, pp 119-134.
[CT4] Cuong N.M., "Adaptive sampling recovery and nonlinear approxima- tions of multivariate functions in Besov-type spaces", Southeast Asian Bulletin ofMathematics, accepted 30-4-2019.
[1] Byrenheid G., Dung D., Sickel W and Ullrich T (2016), "Sampling on energy- norm based sparse grids for the optimal recovery of Sobolev type functions in H γ ",J Approx Theory, 207, pp 207-231.
[2] Chui C.K., Diamond H (1987), "A natural formulation of quasi-interpolation by multivariate splines",Proc Amer Math Soc, 99, pp 643-646.
[3] Chui C.K (1992), "An Introduction to Wavelets",Academic Press,New York.
[4] De Boor C., Fix G.J (1973), "Spline approximation by quasiinterpolants", J. Approx Theory, 8, pp 19-45.
[5] DeVore R.A., Lorentz G.G (1993), "Constructive Approximation", Springer, Berlin.
[6] DeVore R.A (1998), "Nonlinear approximation",Acta Numerica, 7, pp 51-150.
[7] DeVore R.A., Popov V.A (1988), "Interpolation of Besov spaces",Trans Amer. Math Soc, 305, pp 397–413.
[8] Dung D (1988), "Approximation by Trigonometric Polynomials of Functions of Several Variables on the Torus", Mathematics Sbornik, 59, pp 247-267.
[9] Dung D (1991), "On optimal recovery of multivariate periodic functions",
In: Harmonic Analysis (Satellite Conference Proceedings, Ed S Igary), Springer, Berlin, pp 96-105.
[10] Dung D (1991), "On interpolation recovery for periodic functions",In: Func- tional Analysis and Related Topics (Ed S Koshi), World Scientific, Singapore, pp.
[11] Dung D (1992), "Optimal recovery of functions of a certain mixed smooth- ness",Vietnam J Math., 20, No2, pp 18-32.
[12] Dung D (2000), "Continous algorithms in n-term approximation and non- linear widths",J Approx Theory, 102, pp 217-242.
[13] Dung D (2001), "Non-linear approximations using sets of finite cardinality or finite pseudo-dimension",J Complexity., 17, pp 467-492.
[14] Dung D., Thao M.X (2002), "Approximate recovery of periodic functions using wavelet decompositions", Acta Math Vietnamica, 27, pp 185-195.
[15] Dung D (2009), "Non-linear sampling recovery based on quasi-interpolant wavelet representations",Adv Comput Math., 30, pp 375 -401.
[16] Dung D (2011), "Optimal adaptive sampling recovery",Adv Comput Math.,
[17] Dung D (2011), "B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness", J Complexity., 27, pp 541-
[18] Dung D (2016), "Sampling and cubature on sparse grids based on a B-spline quasi-interpolation",Found Comp Math., 16, pp 1193-1240.
[19] Dung D (2018), "B-Spline Quasi-Interpolation Sampling Representation and Sampling Recovery in Sobolev Spaces of Mixed Smoothness", Acta Math. Vietnamica, 43, pp 83-110.
[20] Dung D., Temlyakov V N and Ullrich T (2018), "Hyperbolic Cross Approx- imation", Advanced Courses in Mathematics – CRM Barcelona, Birkh¨auser.
[21] Galeev E.M (1990), "Kolmogorov widths of classes of periodic functions of one and several variables", Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat., 54:2, pp 418–430.
[22] Galeev E.M (1996), "Linear widths of H ¨older-Nikol’skii classes of periodic functions of several variables",Mat Zametki, 59, pp 189-199.
[23] Haussler D (1982), "Decision theoretic generalization of the PAC model for neural net and other learning applications",Inform Comput., 100, pp 78-150.
[24] Kolmogorov A N., Tikhomirov V.M (1959), "e-entropy and e-capacity of sets in function space",Uspekhi Mat Nauk, 14, pp 3-86; English transl in Amer. Math Soc Transl, 17(1961).
[25] Kydryatsev S.N (1998), "The best accuracy of reconstruction of finitely smooth functions from their values at a given number of points",Izv Math.,
[26] Nikol’skii S (1975), "Approximation of Functions of Several Variables and Embedding Theorems",Springer, Berlin.
[27] Novak E (1988), "Deterministic and Stochastic Error Bounds in Numerical Analysis", Lecture Notes in Mathematics 1349, Springer, Berlin.
[28] Novak E., Triebel H (2006), "Function spaces in Lipschitz domains and op- timal rates of convergence for sampling",Constr Approx., 23, pp 325-350.
[29] Pollard D (1989) , "Empirical processes: theory and applications, NSF-CBMS Regional Conference Series in Probability and Statistics",Inst Math., Stat and Ann Stat Assoc., Providence, RI,vol 2.
[30] Ratsaby J., Maiorov V (1998), "The degree of approximation of sets in Eu- clidean space using sets with bounded Vapnik–Chervonekis dimension",
[31] Ratsaby J., Maiorov V (1999), "On the degree of approximation by manifolds of finite pseudo-dimension",Constr Approx., 15, pp 291-300.
[32] Smolyak, S.A (1963), "Quadrature and interpolation formulas for tensor products of certain classes of functions", Dokl Akad Nauk SSSR, 148, pp.
[33] Temlyakov V (1985), "Approximation recovery of periodic functions of sev- eral variables",Mat Sb., 128, pp 256-268.