Phương trình vi phân đại số
Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số
Phương trình vi phân đại số dạng tổng quát là phương trình
F(t, x,x 0 ) = 0, (1.1.1) trong đót ∈ I = [0,T],F :I× R m × R m → R n ,m,n ∈ N , nếu ma trận Jacobi ∂x ∂F 0 suy biến.
Ta thấy rằng, ma trận Jacobi là ma trận suy biến với bất cứ giá trị nào của x x 1 x 2
Do đó, hệ (1.1.2)là một PTVPĐS.
Trong ví dụ 1.1.1, đạo hàm x₀₂ không được đề cập Giải phương trình đầu tiên trong (1.1.2) cho kết quả x₀₁ = x₁ + 1 Khi thay x₀₁ vào phương trình thứ hai, phương trình (1.1.2) được viết lại thành x₁₀ = x₁ + 1, với biểu thức (x₁ + 1)x₂ + 2 = 0.
Phương trình đầu tiên trong (1.1.3) là một phương trình vi phân, trong khi phương trình thứ hai là một phương trình đại số Điều này có nghĩa là một PTVPĐS bao gồm các phương trình vi phân kết hợp với các ràng buộc đại số Để thảo luận về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm trong PTVPĐS, chúng ta xem xét bài toán giá trị ban đầu (BTGTBĐ) (1.1.1) với điều kiện x(t₀) = x₀, t₀ ∈ I, x₀ ∈ R^m.
Cho C k ( I, C n )là một không gian véc tơ tất cả các hàm khả vi, liên tụck lần từ một đoạn I vào không gian véc tơ phức C n
1 Một hàm x ∈ C 1 ( I, C n ) được gọi là một nghiệm của (1.1.1) nếu nó thỏa mãn
2 Một nghiệmxcủa PTVPĐS(1.1.1)thỏa mãn điều kiện ban đầu được gọi là nghiệm của BTGTBĐ.
3 Một điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 được gọi là tương thích với PTVPĐS (1.1.1) nếu bài toán(1.1.1)kết hợp với điều kiện ban đầu có ít nhất một nghiệm Khi đó,bài toán(1.1.1)với điều kiện x(t 0 ) = x 0 gọi là giải được.
Các PTVPĐS (phương trình vi phân riêng) thường có cấu trúc toán học đa dạng, phù hợp với từng phạm vi ứng dụng cụ thể Điều này dẫn đến sự phân loại thành các hệ PTVPĐS phi tuyến, PTVPĐS tuyến tính, PTVPĐS nửa hiện và PTVPĐS ẩn hoàn toàn.
1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến.
Trong PTVPĐS (1.1.1), nếu hàm F là phi tuyến đối với bất kì các biến t,x, hoặcx 0 thì nó được gọi là PTVPĐS phi tuyến.
2 Phương trình vi phân đại số tuyến tính.
PTVPĐS có dạng A(t)x 0 +B(t)x(t) = q(t) Ở đây, A(t)và B(t)là ma trận n×n, tuyến tính Nếu A(t) ≡ A và B(t) ≡ B thì ta sẽ có PTVPĐS tuyến tính với hệ số hằng.
3 Phương trình vi phân đại số ẩn hoàn toàn.
PTVPĐS dạng (1.1.1) thuộc dạng ẩn hoàn toàn.
Chỉ số của phương trình vi phân đại số
Một cách phân loại khác của phương trình vi phân đại số (PTVPĐS) dựa vào độ phức tạp của bài toán là phân loại theo chỉ số (index) Trong lý thuyết PTVPĐS, có nhiều loại chỉ số, nhưng luận văn này chỉ tập trung vào chỉ số vi phân (differentiation index) và chỉ số lạ (strangeness index) Định nghĩa 1.1.2 nêu rõ rằng phương trình vi phân đại số f(t,x(t),x'(t)) = 0 có chỉ số là nêu nếu là số lần lấy vi phân tối thiểu, tức là f(t,x(t),x'(t)) = 0, d f(t,x(t),x'(t))/dt = 0, , d^n f(t,x(t),x'(t))/dt^n = 0, sao cho các phương trình này có thể rút ra một PTVPT x'(t) = g(t,x(t)).
Chỉ số vi phân là thước đo khoảng cách giữa PTVPĐS và PTVPT thông qua đạo hàm, nhưng không phản ánh chính xác bản chất của PTVPĐS do chỉ tập trung vào tính chất vi phân mà bỏ qua các ràng buộc đại số Những ràng buộc này có thể làm cho bài toán phức tạp hơn hoặc đơn giản hơn Khái niệm chỉ số lạ do P Kunkel và V Mehrmann đề xuất giúp phản ánh cả tính chất vi phân và đặc trưng đại số của PTVPĐS Để định nghĩa chỉ số lạ, chúng ta sẽ xem xét hệ thống liên quan.
, và định nghĩa các ma trận Jacobi
Giả thiết 1.1.1 ([5]) Tồn tại cỏc số nguyờnà,a,dsao cho tập nghiệm
L à = {(t, x,x 0 , ,x (à+1) )∈ R (à+2)n+1 |F à (t, x,x 0 , ,x (à+1) ) =0} (1.1.6) khỏc rỗng và mỗi(t 0 ,x 0 ,x 0 0 , ,x (à+1) 0 ) ∈ L à đều tồn tại một lõn cận đủ nhỏ sao cho trong lân cận đó các tính chất sau được thỏa mãn
1 Chỳng ta cú rankM à (t, x,x 0 , ,x ( à +1) ) = (à+1)n−atrờn L à sao cho tồn tại một hàm ma trận trơnZ 2 cú cỡ(à+1)nìacú hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mónZ 2 T M à =0
2 Chỳng ta cú rankAˆ 2 (t,x,x 0 , ,x (à+1) ) = a, trong đú Aˆ 2 = Z 2 T N à [I n 0 0] sao cho tồn tại một hàm ma trận trơnT 2 có cỡn×d, d = n−a, có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mãn Aˆ 2 T 2 = 0
3 Chỳng ta cú rankF x 0 (t, x,x 0 )T 2 (t, x,x 0 , ,x (à+1) ) = d sao cho tồn tại một hàm ma trận trơn Z 1 có cỡ n× d và có hạng lớn nhất theo từng điểm, thỏa mãn rankEˆ 1 T 2 = d, trong đóEˆ 1 = Z 1 T F x 0 Định nghĩa 1.1.3 Xột PTVPĐS dạng(1.1.1), giỏ trị nhỏ nhất à ∈ N sao cho F thỏa món giả thiết(1.1.1)được gọi là chỉ số lạ của(1.1.1) Nếuà = 0 thỡ PTVPĐS (1.1.1) được gọi là không có tính lạ (strangeness-free).
Chỉ số vi phân chủ yếu nhằm xác định khoảng cách cần thiết để chuyển đổi PTVPĐS thành PTVPT Tuy nhiên, nghiệm thu được sau quá trình biến đổi thường không khớp với nghiệm của bài toán gốc.
2 Mục đích chính của chỉ số lạ là đưa ra khoảng cách biến đổi bài toán PTVPĐS trở thành một PTVPĐS có cùng nghiệm nhưng có tính chất giải tích tốt hơn Tính chất đó có thể tách biệt được phần ràng buộc vi phân và phần ràng buộc đại số cho các biến Từ đó ta có thể thu được PTVPT bằng việc giải biến đại số từ các ràng buộc và thế vào các phương trình còn lại.
Lý thuyết về chỉ số lạ cho PTVPĐS phi tuyến tổng quát đã được nghiên cứu, với thuật toán biến đổi từ dạng (1.1.1) sang dạng không có tính lạ Khi đề cập đến chỉ số của PTVPĐS, chúng ta mặc định đó là chỉ số vi phân của bài toán Từ đó, chúng tôi giới thiệu lớp PTVPĐS thường gặp có dạng.
1 PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1 (Hessenberg chỉ số 1), xem ([3]) x 0 = f(t, x,z)
Ma trận hàm Jacobi g z được giả thiết là không suy biến với mọi t Theo định lý hàm ẩn từ phương trình thứ hai của (1.1.7), ta có thể giải ra z = φ(t, x) Khi thế vào phương trình thứ nhất, ta thu được phương trình vi phân đối với x là x' = f(t, x, φ(t, x)).
Như vậy, chúng ta có thể thấy PTVPĐS (1.1.7) có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng có chỉ số lạ bằng 0 hay dạng không có tính lạ.
2 PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 2 (Hessenberg chỉ số 2), xem ([3]) x 0 = f(t, x,z)
Giả sử ma trận Jacobi g x f z không suy biến với mọi t Biến đại số z không xuất hiện trong phương trình thứ hai của (1.1.8) Từ phương trình thứ hai của (1.1.8), ta có thể lấy đạo hàm theo biến theta để tiếp tục phân tích.
0 = g t (t,x) +g x (t,x)f(t,x,z), tiếp tục lấy đạo hàm theot, ta được:
Từ giả thiết, ma trận Jacobig x f z không suy biến với mọit Suy ra, z 0 = −(g x (t,x)f z (t, x,z)) −1 (g tt (t,x) +g tx (t,x)f(t, x,z) + f(t, x,z)(g xt (t,x)
Ta cần 2 bước lấy đạo hàm để mô tảz 0 nên PTVPĐS(1.1.8)có chỉ số 2.
Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thường
Phương pháp Runge-Kutta tổng quát
Tổng quát, phương pháp RK s nấc cho PTVPTy 0 = f(t,y) có thể được viết dưới dạng
∑ s i=1 b i f(t n−1 +c i h n ,Y i ), (1.2.2) trong đó, h n = t n+ 1 −t n , Y i ≈ y(t n−1 +c i h n ) là nghiệm xấp xỉ tại điểm nấc
T i = t n−1 +c i h n , i = 1, 2, ,s Các hệ số của phương pháp RK thường được cho dưới bảng Butcher c A b T , (1.2.3) với A = [a ij ] s×s ,b = (b 1 , b 2 , b s ) T ,c = (c 1 , c 2 , c s ) T , chúng ta sẽ luôn chọn c i ∑ s j=1 a ij , i =1, 2, s (1.2.4)
Phương pháp RK là hiện nếua ij = 0 với j ≥ i, các trường hợp còn lại là phương pháp RK ẩn Một số ví dụ về phương pháp RK hiện:
• Phương pháp có cấp chính xác 2:
=1 ta có công thức hình thang hiện, nếuα = 1 2 ta có công thức trung điểm hiện.
• Công thức RK 4 nấc cổ điển:
Phương pháp RKs nấc còn có thể viết lại dưới dạng:
Sự hội tụ và tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta 20
Phương pháp Runge-Kutta (RK) có thể được diễn đạt dưới dạng một bước như sau: y_n = y_{n-1} + h_n Ψ(t_{n-1}, y_{n-1}, h_n), với điều kiện rằng hàm Ψ thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y Điều này dẫn đến việc phương pháp RK 0 ổn định, tham khảo thêm trong tài liệu [3].
Việc xác định cấp chính xác cho các phương pháp Runge-Kutta (RK) nấc với s > 2 là một thách thức không nhỏ Đã có kết quả về cấp chính xác và sự hội tụ của các phương pháp RK Theo Định lý 1.2.1 ([5], Định lý 5.9), nếu các hệ số a_ij, b_i, c_i của phương pháp RK đáp ứng các điều kiện nhất định, thì sẽ có những kết quả quan trọng liên quan đến độ chính xác và sự hội tụ của phương pháp này.
Đối với các phương pháp Runge-Kutta (RK), khi p ≤ q+r+1 và p ≤ 2q+2, phương pháp RK là tương thích và có cấp hội tụ p Để xác định miền ổn định của các phương pháp RK hiện tại, ta cần xem xét giá trị z = h n λ, trong đó |y n | ≤ |y n−1 | khi áp dụng cho phương trình thử y' = λy Kết quả thu được là công thức y n = R(z)yn−1 = h 1 + zb T (I−zA) −1 1 yn−1 Hàm ổn định của phương pháp RK tổng quát được biểu diễn bởi R(z) = 1 + zb T (I−zA) −1 1, và miền ổn định của phương pháp RK được xác định từ hàm này.
Đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng
Ý tưởng của phương pháp nhúng RK
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá các phương pháp ước lượng sai số và điều chỉnh bước lướih = h n = t n −t n−1 Đối với mỗi thành phần jcủa hệ thống (1≤ j ≤m), chúng ta áp dụng sai số tương đối (RTOL) hoặc sai số tuyệt đối (ATOL j) Mục tiêu là chọn lựa cho mỗi j (1 ≤ j ≤ m) để tối ưu hóa kết quả.
Để đảm bảo tính chính xác của các nghiệm xấp xỉ, phương pháp nhúng sử dụng sai số địa phương l j, 1≤ j ≤m, với điều kiện |(l j ) n | ≤ frac[ATOL j +|(y j ) n |RTOL], trong đó frac là hệ số an toàn (frac=0.8 hoặc 0.9) Ý tưởng chính là tính toán hai nghiệm xấp xỉ y n và ˆ y n tại t n, sao cho sai số giữa chúng |yˆ n −y n | được ước lượng Nếu bất đẳng thức |yˆ n −y n | ≤ TOL không thỏa mãn, bước lưới sẽ bị loại và bước lưới khác sẽ được chọn thay thế Nếu phương pháp tìm y n có cấp chính xác p, thì l n (h˜) ≈ ch˜ p+ 1, từ đó cho phép lựa chọn h˜ thỏa mãn h˜ h p+1.
Để đạt được độ chính xác mong muốn, ta cần lặp lại quá trình cho đến khi tìm được một bước lưới chấp nhận được, với điều kiện |yˆ n −y n | ≈ f racTOL Khi bước lưới được chấp nhận, có thể sử dụng công thức tương tự để ước lượng một bước lưới lớn hơn cho lần lặp tiếp theo, ký hiệu là h˜.
Phương pháp nhúng RK
Để áp dụng phương pháp, chúng ta cần hai nghiệm xấp xỉ y_n và ŷ_n tại t_n cho bài toán 0 = f(t,y) Một cặp phương pháp Runge-Kutta (RK) có cấp p và p+1 sẽ giúp thực hiện điều này hiệu quả Các phương pháp nhúng cho phép tính toán trên cùng một nấc với cặp phương pháp RK, từ đó, chúng ta có thể bắt đầu từ công thức nấc cấp p+1, trong đó chứa công thức cấp p được nhúng.
Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu kết hợp cho một phương pháp nhúng: c A b T bˆ T
• Ví dụ đơn giản nhất là phương pháp Euler hiện được nhúng trong phương pháp hình thang:
• Phương pháp nhúng Fehlberg 4(5) có 6 nấc sử dụng phương pháp RK cấp
4 được nhúng trong phương pháp RK cấp 5 Phương pháp nhúng Fehlberg 4(5) có hệ số sai số của nghiệmy n có cấp chính xác4là nhỏ nhất.
Phương pháp nhúng Dormand-Prince có 7 nấc, sử dụng phương pháp RK cấp 4 được nhúng trong phương pháp RK cấp 5, với hệ số sai số của nghiệm yˆ n có cấp chính xác 5 là nhỏ nhất Trong quá trình tính toán, nghiệm có giá trị chính xác cao hơn thường được chọn thay thế cho y n−1 Đặc biệt, bộ hệ số của b T trùng với hệ số tại nấc thứ 7, cho thấy phương pháp này thực hiện tương tự như phương pháp RK có 6 nấc Do đó, phương pháp nhúng Dormand-Prince mang lại độ chính xác tốt hơn so với phương pháp nhúng Fehlberg.
Hình 1.2: Cặp Dormand-Prince 4(5) Dựa vào ý tưởng và bảng kết hợp của phương pháp nhúng RK ta có thuật toán:
Thuật toán 1.3.1 Chúng ta giải phương trình y 0 = f(t,y) trên đoạn [t 0 , t f ] , với sai số cho trước làTOLvà điều kiện ban đầuy(t 0 ) = y 0
1 Vớiy n−1 đã biết, bước lướih = h 0 đã cho, biến đếmk = 1, ta tính y n vàyˆ n
2 Ta so sánh, nếu|yˆ n −y n | ≤ TOL,
• Ta chấp nhận bước đih,
• Ta tính lạiy n và yˆ n với y n−1 trong bước thứ nhất đã biết được thay thế bằng nghiệm của phương pháp RK có cấp chính xác cao hơnyˆ n ,
• Tăng giá trị củak, (k → k+1) và t =t+h,
3 Nếu bất đẳng thức|yˆ n −y n | ≤ TOLkhông thỏa mãn thì bước đihbị thay thế bởi bước đi mới h˜ =h f racTOL
Tiếp tục quy trình tính toán cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng Lúc này, chúng ta có thể in ra nghiệm chính xác cùng với sai số giữa hai nghiệm xấp xỉ, sai số thực tế của nghiệm số và nghiệm chính xác, đồng thời vẽ đồ thị so sánh giữa nghiệm chính xác và nghiệm số.
Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện giải phương trình vi phân đại số
Trong chương này, tôi sẽ trình bày chi tiết các phương pháp Runge-Kutta nửa hiện cho ba trường hợp: PTVPĐS dạng nửa hiện, PTVPĐS không có tính lạ, và PTVPĐS không có tính lạ với cấu trúc Các kết quả chính của chương này được dựa trên tài liệu [7] và [8].
Trường hợp phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện chỉ số 1 25
Các phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu dạng nửa hiện chỉ số 1 đã được nghiên cứu và phát triển vào cuối thế kỷ 20 Hướng nghiên cứu này mở rộng các phương pháp số của bài toán điều khiển tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu dạng nửa hiện chỉ số Trong phần này, tôi sẽ trình bày về việc rời rạc hóa bài toán điều khiển tối ưu dạng nửa hiện chỉ số.
Các PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1 là PTVPĐS đơn giản nhất có dạng y 0 (t) = F(t,y(t),z(t)),
(2.1.1) trong đoạnI = [t 0 , T] Giá trị ban đầu G(t 0 , y 0 , z 0 ) là tương thích Giả sử, các hàmF :I× R m 1 × R m 2 → R m 1 vàG :I× R m 1 × R m 2 → R m 2 là các hàm đủ trơn. Hơn nữa, ta giả sử ma trận Jacobi
Hàm G z (t, y(t), z(t)), (2.1.2) không suy biến trong lân cận của nghiệm chính xác Để xây dựng nghiệm số, chúng ta sử dụng lưới 0 < t1 < < tN với bước lưới h Tất cả các kết quả áp dụng cho bước lưới đều vẫn đúng khi áp dụng cho bước đi thay đổi h Giả sử, các hệ số của phương pháp RK bậc p được trình bày trong bảng Butcher c A b T với A = [aij] s×s, b = [b1 b1 bs] T, c = [c1 c1 cs] T.
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp Runge-Kutta (RK) ban đầu, sử dụng phương pháp hiện thì rời rạc hóa, cụ thể là phương pháp nửa hiện Trên đoạn thời gian [t_n, t_{n+1}], giả sử rằng chúng ta đã có các xấp xỉ y_n ≈ y(t_n) và z_n ≈ z(t_n) Đặt Y_i ≈ y(t_n + c_i h) và Z_i ≈ z(t_n + c_i h) là các xấp xỉ tại các điểm nấc Lược đồ RK cho bài toán phương trình vi phân đạo số (PTVPĐS) được trình bày dưới dạng cụ thể.
Theo điều kiện (2.1.2) và định lý hàm ẩn, từ phương trình thứ hai của (2.1.1), ta có thể giải ra z = φ(t, y) trong một lân cận của nghiệm Do đó, phương trình (2.1.1) có thể được viết lại dưới dạng y₀(t) = H(t, y), với H(t, y) = F(t, y, φ(t, y)).
Giải Z i từ phương trình thứ 2 của (2.1.3) và thế vào phương trình thứ nhất và thứ ba của (2.1.3) ta thu được sơ đồ RK cho (2.1.3) sẽ có dạng
Chúng ta xác định được z n+1 = φ (t n+1 , y n+1 ) từ phương trình thứ 4 của (2.1.3) Các thành phần của nghiệm số y trong (2.1.3) tương đồng với nghiệm số của phương pháp RK áp dụng cho PTVPT (2.1.4), dẫn đến kết quả về sự hội tụ cho sơ đồ RK (2.1.3) Định lý 2.1.1 khẳng định rằng (2.1.2) thỏa mãn trong lân cận của nghiệm (y(t), z(t)) của (2.1.1) với các giá trị ban đầu tương thích.
RK(2.1.3)áp dụng cho PTVPĐS(2.1.1)hội tụ cấp p, nghĩa là, ky n −y(t n )k = O(h p ), kz n −z(t n )k= O(h p ), với t n −t 0 = nh≤ const.
Phương pháp RK ban đầu ở dạng hiện tại có thể được chuyển đổi thành phương pháp RK dạng nửa hiện, với việc cài đặt cho (2.1.3) khá đơn giản Để thực hiện, chúng ta xác định giá trị nấc Y i hiện và giải phương trình đại số cho Z i với i = 1, 2, , s Sau đó, chúng ta tính y n+1 và giải phương trình đại số cho z n+1 Các phương trình đại số này có thể được giải hiệu quả bằng phương pháp lặp Newton.
Trường hợp phương trình vi phân đại số không có tính lạ
Phân tích bài toán
Trong nghiên cứu giải tích của phương pháp số, chúng ta giả định rằng BTGTBĐ (2.2.1) có nghiệm duy nhất x∗(t) đủ trơn và các đạo hàm riêng bị chặn trên miền I Hơn nữa, f và g cũng được giả định đủ trơn với các đạo hàm riêng bị chặn gần nghiệm x∗(t), t ∈ I Để phục vụ cho mục đích giải tích, giả sử các thành phần của x trong (2.2.1) có thể sắp xếp và phân hoạch thành x = [xT1, x2T]T, trong đó x1: I → R^d và x2: I → R^a, nhằm đảm bảo ma trận Jacobi gx2 của g ứng với biến x2 (hoặc fx0).
Phương trình 1 của g ứng với biến x 0 1) có khả năng nghịch trong lân cận của nghiệm Nếu x 2 không suy biến, phương trình (2.2.1) có thể được biến đổi thành dạng x 0 1 = L(t, x 1), x 2 = R(t, x 1) Chúng ta xem xét phương trình vi phân đạo số tổng quát dạng ẩn, phi tuyến với chỉ số 1.
Theo quá trình biến đổi được chỉ ra trong [mục 4.1, [5]], phương trình (2.2.4) sẽ được thu gọn thành PTVPĐS có chỉ số lạ dạng
PTVPĐS không có tính lạ dạng (2.2.1) có chỉ số vi phân bằng 1 Khi tuyến tính hóa (2.2.1) theo nghiệm chính xác x ∗, ta nhận được PTVPĐS tuyến tính với các hệ số là hàm số, như được trình bày trong Mục 5.1, [5].
Ta sẽ sử dụng tính tuyến tính này trong việc nghiên cứu tính giải tích của phương pháp RK nửa hiện: tính tương thích, ổn định và hội tụ.
PTVPĐS dạng (2.2.1) tổng quát hơn PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1, đó là trường hợp đặc biệt khi f x 0
Ràng buộc đại số trong phương trình 2 = 0, x 0 2 có thể được khai thác khi xây dựng phương pháp số cho PTVPĐS (2.2.1) Mối quan hệ giữa PTVPĐS (2.2.1) và PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 2 cũng được xác lập Giả sử các thành phần của x được sắp xếp lại và phân hoạch để đạt được điều kiện f(x) = 0.
1 không suy biến, đặt y 1 = x 1 , x 2 =y 2 , z = x 0 2 và PT (2.2.1) trở thành
, γ(t, y(t)) = g(t, y(t)). Tính đạo hàm củaφtheoy 0 φ y 0 f y 0
Ma trận không suy biến 1 dẫn đến ma trận không suy biến φ y 0 Theo định lý hàm ẩn, tồn tại hàm ϕ sao cho phương trình y 0 (t) có thể được diễn đạt lại dưới dạng y 0 (t) = ϕ(t, y(t), z(t)).
(2.2.7) Mặt khác, ta lại có ma trận γ y( φ y 0) −1 φ z (t,y(t),z(t),y 0 (t)) = [ g x 1 g x 2 ] f x 0
2−g x 2 Theo giả thiết (2.2.2), ma trận f x 0
1 không suy biến, từ lý thuyết đại số tuyến tính ta suy ra g x 2 −g x 1 f −1 x 0 1 f x 0
2 là ma trận không suy biến Do đó,γ y ( φ y 0) −1 φ z (t,y(t),z(t),y 0 (t)) = [ γ y ϕ z ](t,y(t),z(t),y 0 (t))là ma trận không suy biến Như vậy, phương trình (2.2.7) là PTVPĐS dạng nửa hiện có chỉ số 2.
Phương pháp số cho PTVPĐS với chỉ số nhỏ hơn hoặc bằng 2 bao gồm dạng nửa hiện, đặc biệt là PTVPĐS không có tính lạ dạng (2.2.1) Đây là lớp các phương pháp ẩn, như phương pháp trùng khớp RK và phương pháp BDF, có sự hội tụ và cấp chính xác tương tự như PTVPT.
Trong phần này, tôi sẽ trình bày phương pháp RK nửa hiện (HERK) để giải
PT (2.2.1) xuất phát từ phương pháp số giải một lớp đặc biệt các PTVPĐS ma trận nửa tuyến tính có dạng
(2.2.8) trong đóE 1 : I→ R d×n , A 2 : I→ R a×n là các ma trận hàm liên tục vàX : I→
R n×l (1 ≤ l ≤ d) và F : I× R n×l → R d×l là các ma trận hàm không tuyến tính Việc giải số các PTVPĐS dạng (2.2.8) với ma trận E¯(t) = E 1 (t) T A 2 (t) T không suy biến là cần thiết trong phân tích sự ổn định của PTVPĐS thông qua xấp xỉ số mũ Lyapunov hoặc khoảng phổ Sacker-Sell Các bài toán này yêu cầu khoảng tích phân dài, do đó, phương pháp nửa hiện sẽ mang lại hiệu quả tốt trong quá trình giải quyết.
Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện
Xét phương pháp RK hiệnsnấc được cho trong bảng vớic 1 =0.
Giả sử rằng a i+1,i khác 0 với i = 1, 2, , s−1 và b s = 0 Xét khoảng [t n−1, t n] với xấp xỉ x n−1 ≈ x(t n−1) Đặt U i ≈ x(t n−1 + c i h) là xấp xỉ của nghiệm tại nấc thứ i và K i ≈ U i 0 là xấp xỉ của đạo hàm của U i, với i = 1, , s Sơ đồ RK hiện tại được trình bày trong bảng trên.
Chúng tôi đề xuất phương pháp RK nửa hiện (HERK) dựa trên (2.2.9) để giải bài toán PTVPĐS (2.2.1) Ở bước đầu tiên, giá trị U1 được xác định là xn−1 Tại bước i+1, giá trị xấp xỉ cho U i+1 được giải từ hệ phương trình đại số.
Cuối cùng, nghiệm sốx n tại thời điểmt n được xác định bởi hệ
Từ phương trình thứ 2 của (2.2.9), ta có
(2.2.13) Áp dụng phương pháp này cho hệ đặc biệt PTVPĐS ma trận dạng (2.2.8), ta có hệ phương trình tuyến tính dưới dạng ma trận
Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra phương pháp HERK (2.2.10)-(2.2.11) là phương pháp HERK áp dụng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 2 dạng (2.2.7) Giả sử, f x 0
Ma trận không suy biến được định nghĩa với U i = (U i,1 T , U i,2 T ) T và K i = (K i,1 T , K i,2 T ) T, tương ứng với việc sắp xếp và phân hoạch x = [x T 1 , x 2 T ] T Chúng ta cũng giả sử rằng xấp xỉ y n−1 ≈ y(t n−1 ) trong (2.2.7) tương tự như x n−1 Với các biến mới Y i = U i và Z i = K i,2, chúng ta có thể tiếp tục phân tích.
Y 1 = U 1 = x n−1 = y n−1 Xét hệ (2.2.10) vớii = 1 cho nấc tiếp theo U 2 và được viết lại với việc sử dụng biến mới như sau: f(t n−1 , Y 1,1 , Y 1,2 , K 1,1 , Z 1 ) = 0,
Theo định nghĩa hàmϕvàγ trong (2.2.7), chúng ta có hệ
0= γ (t n−1 +c 2 h, Y 2 ). Tương tự như vậy, hệ (2.2.10) vớii = 2 choU 3 được viết lại f(t n−1 +c 2 h, Y 2,1 ,Y 2,2 , K 2,1 , Z 2 ) =0,
Sử dụng định nghĩa củaK 2 trong (2.2.12) và thay giá trị củaK 1 = ϕ (t n−1 , Y 1 , Z 1 ), ta được
Theo quy nạp, ta có
(2.2.14) vớii = 1, ã ã ã , s−1 Cuối cựng, nghiệm sốy n tại bướct = t n được giải bởi hệ
Trong sơ đồ (2.2.14)-(2.2.15) với cấp chính xác p ≤ 2, điều kiện về cấp chính xác tương tự như trường hợp PTVPT Kết quả về sự hội tụ của phương pháp Euler nửa hiện và phương pháp RK nửa hiện 2 nấc được trình bày Theo định lý 2.2.1, giả sử phương pháp RK được mô tả bởi bảng Butcher với s = 2, thỏa mãn các điều kiện c2 = a21, b1 + b2 = 1, và c2b2 = 1.
Nếu điều kiện ban đầux 0 là tương thích, thì phương pháp HERK (2.2.10)-(2.2.11) cho PTVPĐS(2.2.1)sẽ hội tụ với cấp chính xác là 2.
Chứng minh rằng sơ đồ (2.2.10)-(2.2.11) tương đương với phương pháp HERK (2.2.14)-(2.2.15) Dựa vào điều kiện (2.2.16) về cấp chính xác cho p = 2, kết quả này được rút ra trực tiếp từ ([4], Định lý 3).
Chú ý rằng PTVPĐS không có tính lạ có thể được biểu diễn dưới dạng PTVPĐS nửa hiện chỉ số 2 thông qua phép đổi biến số Khi áp dụng phương pháp Runge-Kutta nửa hiện ban đầu với cấp chính xác p > 2, có khả năng xảy ra hiện tượng giảm cấp chính xác Để minh chứng cho hiện tượng này, hãy tham khảo phần thử nghiệm số trong tài liệu [7].
Phương pháp RK nửa hiện cho bài toán (2.2.1) được xem như một tổng quát hóa của phương pháp RK nửa hiện cho PTVPĐS chỉ số 1, nhưng có sự khác biệt rõ rệt về cài đặt và kết quả hội tụ Trong PTVPĐS nửa hiện, phần vi phân và phần đại số được tách biệt, với đạo hàm của các thành phần vi phân cũng ở dạng hiện, điều này không giống như trường hợp (2.2.1) Các thành phần vi phân được tính toán trước, trong khi các thành phần đại số được xác định bằng cách giải hệ phương trình đại số Việc xấp xỉ tại tất cả các nấc cần phải thực hiện ngay lập tức qua việc giải một hệ phương trình đại số lớn hơn Đặc biệt, trong trường hợp nửa hiện, ma trận Jacobi có dạng tam giác khối dưới với ma trận đơn vị ở khối trên bên trái, điều này giúp đơn giản hóa việc áp dụng phương pháp RK nửa hiện cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1.
Trường hợp phương trình vi phân đại số không có tính lạ và có cấu trúc
Phân tích cấu trúc của bài toán
Chúng ta phân tích cấu trúc bài toán để phát triển phương pháp số, nhằm đảm bảo độ chính xác và tính ổn định cho trường hợp PTVPT Sự biến đổi trong chương này hỗ trợ nghiên cứu tính giải tích của phương pháp số cần được áp dụng.
Theo cấu trúc đặc biệt, PTVPĐS (2.3.1) được viết lại dưới dạng (2.3.3) trên đoạnI = [t 0 , T].
Bổ đề 2.3.1 Xét PTVPĐS(2.3.1)với điều kiện(2.3.2)được thỏa mãn Khi đó, ta có i E(t)có hạng đủ và tồn tại một hàm ma trận khả nghịchQ ∈ C 1 ( I, R m, m ) sao cho
E(t)Q= [I m 1 0] ii Các ma trận f v , g u Q (2) và h E g u i không suy biến, trong đóQ= [Q (1) Q (2) ] với
Chứng minh rằng từ giả thiết các hàm f và g đủ trơn với các đạo hàm riêng bị chặn và thỏa mãn điều kiện (2.3.2), ta suy ra rằng E(t) là một hàm ma trận có kích thước m1 × m (với m1 ≤ m) và có hạng đủ, tức là rank(E(t)) = m1 cho mọi t thuộc khoảng I.
Dựa trên phân tích QR trơn, tồn tại một hàm ma trận trực giao Q˜ với đặc điểm Q˜ T Q˜ = I m và EQ˜ = [E 11 0], trong đó E 11 là một ma trận tam giác dưới khả nghịch kích thước 1 × m 1 Chúng ta sẽ định nghĩa hàm ma trận này.
Trong đó I m 2 là ma trận đơn vị cỡm 2 ×m 2 Bằng việc thực hiện phép nhân ma trận, ta suy raEQ = [I m 0].
Từ giả thiết của ma trậnQvà điều kiện (2.3.2), suy ra h f v E g u i
, không suy biến dọc theo nghiệm x(t) Trong đó Q = [Q (1) Q (2) ] với Q (1) ∈
C 1 ( I, R m 1 , m ), Q (2) ∈ C 1 ( I, R m 2 , m ) Từ đây, suy ra f v và g u Q (2) là các ma trận không suy biến.
Hơn nữa, ta lại có h E g u i f v −1 0
Từ đây suy ra ma trậnh E g u i không suy biến.
Sử dụng phép đổi biếnx = Qy,ycó thể được phân hoạch thànhy = [y T 1 , y T 2 ] T , trong đóy 1 ∈C 1 ( I, R m 1 ),y 2 ∈ C 1 ( I, R m 2 ) Ta có
(Ex) 0 (t) = (EQy) 0 (t) = ([I m 1 0]y) 0 (t) = y 0 1 (t). Như vậy, PTVPĐS (2.3.1) có thể được viết lại thành f(t, Qy, y 0 1 −E 0 Qy) = 0, g(t, Qy) = 0.
Theo định lý hàm ẩn, với ma trận không suy biến f v, tồn tại một hàm số f˜ sao cho phương trình đầu tiên của (2.3.5) có thể rút gọn thành 1 0 −E 0 Qy = f˜(t, Qy) Chúng ta định nghĩa các hàm F(t,y 1 ,y 2 ,y 0 1 ) = f˜(t, Qy) + E 0 Qy và G(t,y 1 ,y 2 ) = g(t,Qy) Do đó, phương trình vi phân riêng (2.3.5) trở thành y 0 1 = F(t,y 1 ,y 2 ).
Ma trận JacobiG y 2 = g u Q (2) là ma trận không suy biến, và PTVPĐS (2.3.6) là một dạng PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1 PTVPĐS (2.3.1) có thể được giải hiệu quả bằng phương pháp RK sau khi biến đổi về dạng (2.3.6) Tuy nhiên, việc nhận ra phép biến đổi này trong quá trình tính toán là rất khó khăn Chúng ta sẽ chứng minh rằng có thể áp dụng sơ đồ RK trực tiếp tới dạng biến đổi (2.3.5) và chứng minh rằng phép rời rạc và phép biến đổi là giao hoán với nhau Điều này có nghĩa là phương pháp RK sẽ được áp dụng cho dạng biến đổi.
(2.3.6) Phép thay thế rất đơn giảnEx 0 = (Ex) 0 −E 0 xta thu được PTVPĐS không có tính lạ có cùng nghiệm nhưng tương đương với PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1.
Phương pháp RK áp dụng cho dạng (2.3.5) sẽ đạt cùng cấp chính xác và tính ổn định như khi áp dụng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1, đây là chìa khóa quan trọng để xây dựng phương pháp số trong phần tiếp theo.
Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu
Chúng ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu cho phương trình vi phân riêng phần tuyến tính (PTVPĐS) dạng (2.3.1) và nhận thấy rằng nó khác biệt hoàn toàn khi xem xét dạng biến đổi (2.3.3) thay vì (2.3.1) Đặc biệt, việc phân tích PTVPĐS dạng tuyến tính sẽ giúp làm rõ những khía cạnh quan trọng trong sự phụ thuộc này.
(2.3.7) trong đó E ij , A ij ∈ C( I, R m i , m j ), q i ∈ C( I, R m i ), i, j = 1, 2, m 1 +m 2 = m. Điều kiện về không có tính lạ (2.3.2) cho ta ma trận h E 11 E 12
A 21 A 22 i là không suy biến với mọit∈ I (2.3.8)
Bằng cách sắp xếp lại các biến một cách hợp lí, ta có thể giả sử rằng ma trận
Tại thời điểm 22, không có sự suy biến xảy ra Từ phương trình thứ hai trong (2.3.7), ta có thể biểu diễn x2 dưới dạng x2 = -A^(-1)22 A21 x1 - A^(-1)22 q2 Khi lấy đạo hàm hai vế của phương trình này, ta nhận được x'2 = -A^(-1)22 A21 x'1 - (A^(-1)22 A21)' x1 - (A^(-1)22 q2)' Thay thế các phương trình (2.3.9) và (2.3.10) vào phương trình đầu tiên trong (2.3.7) sẽ dẫn đến kết quả mong muốn.
Theo (2.3.8) và giả thiết A 22 là ma trận không suy biến, từ lý thuyết đại số tuyến tính, ta có E¯ 11 = E 11 − E 12 A −1 22 A 21 cũng là ma trận không suy biến Do đó, chúng ta thu được PTVPT x 0 1 = B 1 x 1 + r 1 Ở đây, B 1 và r 1 được định nghĩa như sau:
Theo phân tích này, các phương trình trên cho thấy nghiệm phụ thuộc vào đạo hàm của A −1 22 q 2, nhưng điều này không chính xác như phân tích sẽ chỉ ra Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng biến đổi.
A 2 = [A 21 A 22 ] Theo cách biến đổi đã được giới thiệu x(t) = Q(t)y(t) Q(t)[y T 1 , y T 2 ] T vớiQđược định nghĩa bởi (2.3.4), chúng ta đi đến hệ y 0 1 (t) = A˜ 11 (t)y 1 (t) +A˜ 12 (t)y 2 (t) +q 1 (t),
(2.3.12) trong đó [A˜ 11 A˜ 12 ] = (A 1 +E 0 1 )Q,[A˜ 21 A˜ 22 ] = A 2 Q Từ điều kiện (2.3.8) suy ra ma trận A˜ 22 không suy biến Như vậy, từ phương trình thứ hai của (2.3.12) dẫn đến y 2 = −A ˜ −1 22 A ˜ 21 y 1 −A ˜ −1 22 q 2 (2.3.13)
Thế (2.3.13) vào phương trình thứ nhất của (2.3.12) thu được PTVPT căn bản y 1 0 = (A˜ 11 −A˜ 12 A˜ −1 22 A˜ 21 )y 1 +q 1 −A˜ 12 A˜ −1 22 q 2
Cả y và x = Qy không phụ thuộc vào đạo hàm của bất kỳ biểu diễn nào có chứa q2 So sánh này cho thấy rằng việc xem xét dạng biến đổi (2.3.3) là hợp lý hơn so với (2.3.1).
Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta nửa hiện
Phương pháp HERK cho PTVPĐS dạng biến đổi (2.3.3) được trình bày như sau: Chúng ta sử dụng một phương pháp RK bất kỳ với ma trận hệ số A = [a_ij] là ma trận tam giác dưới chặt Trên đoạn con [t_n, t_n+1], với bước lưới đều h = t_n+1 - t_n và giả sử xấp xỉ x_n ≈ x(t_n) đã được cho Đặt T_i = t_n + c_i h và xấp xỉ tại các nấc U_i ≈ x(T_i), K_i ≈ (Ex)_0(T_i) với i = 1, 2, , s Thêm vào đó, các giá trị hàm E_i = E(T_i) và E'_i = E'_0(T_i) đã được xác định Sơ đồ HERK nấc cho PTVPĐS (2.3.3) được viết dựa trên các giả định này.
Để xác định tính khả thi của sơ đồ HERK, chúng ta xem xét hệ phi tuyến được biểu diễn bởi các phương trình (2.3.14b), (2.3.14c), và (2.3.14d) Tại nấc thứ i, điều kiện H i (U i ,K i−1 ) = 0 được áp dụng, với giả định rằng các giá trị trước đó U j và K j−1, trong khoảng 1 ≤ j ≤ i−1, đã được xác định và xấp xỉ giá trị chính xác với độ chính xác O(h).
Xét một lân cận của nghiệm chính xácxvà đạo hàm củaExđịnh nghĩa bởi
Trong miền Ω(h), với hằng số dương C, ta có điều kiện kU i − x(T i)k ≤ Ch và kK i−1 − (Ex) 0 (T i−1)k ≤ Ch Theo giả thiết (2.3.2) và bổ đề (2.3.1), các ma trận f v và h E g u i không suy biến dọc theo nghiệm chính xác Điều này dẫn đến việc ma trận Jacobi của H i là nghịch đảo bị chặn với h đủ nhỏ trong miền Ω(h) Nghiệm chính xác thỏa mãn các điều kiện đã nêu.
Theo định lý hàm ẩn, hệ cho bởi (2.3.14b), (2.3.14c), (2.3.14d) có nghiệm duy nhất địa phương(U i ∗ , K i−1 ∗ )thỏa mãn kU i ∗ −x(T i )k= O(h), kK ∗ i−1 −(Ex) 0 (T i−1 )k= O(h).
Một cách tương tự, hệ cho bởi (2.3.14e), (2.3.14f), (2.3.14g) có nghiệm duy nhất địa phương(x ∗ n+1 , K ∗ s )thỏa mãn kx ∗ n+1 −x(t n+ 1 )k= O(h), kK ∗ s −(Ex) 0 (T s )k = O(h).
Các hệ phi tuyến này có thể được giải một cách xấp xỉ bằng phương pháp lặp Newton.
Giả sử rằng a i,i−1 6= 0 với i = 2, , s và b s 6= 0, chi phí tính toán cho hệ (2.3.14b)-(2.3.14g) có thể được giảm bằng cách giải hiện cho K i, với i = 1, 2, , s, từ đó thu được một hệ phi tuyến có kích thước nhỏ hơn.
Tại nấc thứ i (i = 2, , s), xấp xỉ U i có thể được xác định từ hệ phi tuyến
(2.3.16) Ở đây, chúng ta giả sử rằngU 1 , U 2 , , U i−1 , K 1 , K 2 , , K i−2 đã được xác định đủ gần tới các giá trị chính xác Ma trận Jacobi củaF i tương ứng vớiU i là
Theo giả thiết, ma trận Jacobi ∂ ∂U F i i không suy biến Khi h đủ nhỏ, hệ (2.3.16) có nghiệm duy nhất địa phương U i ∗, có thể xấp xỉ bằng phương pháp lặp Newton Nghiệm xấp xỉ K i−1 được thu được từ hệ (2.3.15a) và (2.3.15b).
Cuối cùng, nghiệm duy nhấtx n+1 tại thời giant = t n+1 được xác định bởi hệ G(x n+1 ) = 0, được viết dưới dạng
(2.3.18) trong đóU 1 , U 2 , , U s , K 1 , K 2 , , K s−1 đã được xác định Ma trận Jacobi
, (2.3.19) là nghịch đảo bị chặn với h đủ nhỏ Nghiệm duy nhất địa phương x ∗ n+1 có thể được xấp xỉ bằng phương pháp lặp Newton.
Trong nhận xét 2.3.1, chúng ta thấy rằng việc nhân phương trình thứ nhất của (2.3.16) và (2.3.18) với h là cần thiết Nếu không thực hiện phép nhân này, các hàng khối đầu tiên của ma trận Jacobi (2.3.17) và (2.3.19) sẽ phải nhân với 1/h, dẫn đến việc gia tăng số điều kiện của ma trận Jacobi, đặc biệt khi bước đi rất nhỏ Hơn nữa, việc nhân với h cũng là một bước tự nhiên, giúp cân bằng yếu tố 1/h trong phương trình thứ nhất của (2.3.16) và (2.3.18), như đã được áp dụng trong PTVPT.
Phương pháp RK cho PTVPT tương thích với công thức (2.3.18), do đó chúng tôi đề xuất nhân thêm h vào phương trình thứ nhất của các phương trình.
Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta nửa hiện
Chúng tôi phân tích sự hội tụ của phương pháp HERK cho PTVPĐS dạng biến đổi (2.3.3) Để đạt được kết quả hội tụ cho sơ đồ rời rạc đã trình bày, chúng tôi bắt đầu với bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.2 Dạng thu gọn (2.3.3) tới dạng (2.3.6) và rời rạc hóa bằng phương pháp HERK là giao hoán với nhau, nghĩa là biểu đồ sau là giao hoán:
Chứng minh xét PTVPĐS (2.3.6) trên đoạn [t_n, t_{n+1}] với giả sử y_{1,n} và y_{2,n} là các xấp xỉ tương ứng của y_1(t_n) và y_2(t_n) Xấp xỉ tại các nấc được định nghĩa bởi [V_i, H_i]^T ≈ y(T_i) = y(t_n + c_i h) = [y_{1,T}(T_i), y_{2,T}(T_i)]^T Sơ đồ RK (2.1.3) áp dụng cho PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1 (2.3.6) được viết như sau.
(2.3.20) Đặt P i = F(T i , V i , H i ) là xấp xỉ của đạo hàm y 0 1 (T i ), i = 1, 2, , s Theo định nghĩa của F và G được cho trong (2.3.6), ta thu được một hệ tương đương
(2.3.21) trong đóQ i = Q(T i ) Mặt khác, chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương pháp RK (2.3.14) cho PTVPĐS (2.3.3) cũng dẫn đến sơ đồ (2.3.21) bằng cách đổi biếnx n = Q(t n )y n
Ta định nghĩa[M i T N i T ] T = Q −1 i U i Ở đây việc phân hoạch được thực hiện theo số chiều của các biếny 1 và y 2 Theo định nghĩa của ma trậnQtrong (2.3.4), ta có
Như vậy, sơ đồ RK (2.3.14) có thể viết lại thành
Rõ ràng, sơ đồ (2.3.21) và (2.3.22) là trùng nhau.
Tính hội tụ của sơ đồ HERK (2.3.14) được xác định qua Định lý 2.3.1, áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu (BTGTBĐ) của phương trình vi phân riêng (PTVPĐS) với điều kiện ban đầu tương thích g(t₀, x₀) = 0 Giả sử điều kiện (2.3.2) được thỏa mãn trong lân cận của nghiệm chính xác x(t) Nếu phương pháp Runge-Kutta (RK) có cấp chính xác p đối với PTVPT, thì sơ đồ HERK (2.3.14) áp dụng cho PTVPĐS biến đổi dạng (2.3.3) sẽ hội tụ với cấp p, tức là kxₙ − x(tₙ)k = O(hᵖ) khi h → 0.
(tn ∈ [t 0 ,T]là cố định vớit n −t 0 = nh)
Theo bổ đề (2.3.2), sơ đồ (2.3.14) áp dụng cho PTVPĐS (2.3.1) dẫn đến sơ đồ (2.3.21) cho bài toán (2.3.6), cho thấy điều kiện x_n = Q(t_n)y_n được thỏa mãn Dựa vào định lý (2.1.1), ta có ky_n − y(t_n)k = O(h^p) Kết quả này dẫn đến kx_n − x(t_n)k = kQ(t_n)y_n − Q(t_n)y(t_n)k ≤ kQ(t_n)kk y_n − y(t_n)k = O(h^p).
2.3.5 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta nửa hiện
Sau khi phân tích tính hội tụ, chúng ta chuyển sang đánh giá tính ổn định tuyệt đối của phương pháp số Đối với phương trình vi phân riêng phần (PTVPT), chúng ta áp dụng phương trình thử nghiệm 0 = λy với điều kiện Re(λ) ≤ 0, theo tài liệu ([3]) Trong bối cảnh này, chúng ta sẽ xem xét tính ổn định tuyệt đối của sơ đồ Runge-Kutta (RK) (2.3.14) dựa trên phương trình thử cho PTVPĐS, như đã được trình bày trong ([6]) Đặc biệt, chúng ta tập trung vào PTVPĐS tuyến tính h 1 − ωt.
Hệ phương trình (2.3.23) mô tả một bài toán vi phân với tham số phức, trong đó ω và λ là các tham số quan trọng, và x = [x1, x2]T Bài toán này không có tính lạ và có cấu trúc tương tự như dạng (2.3.1), với E(t) = [1 - ωt] Khi áp dụng các giá trị ban đầu x1(0) = 1 và x2(0) = 1, hệ phương trình (2.3.23) cho ra nghiệm x = e^(λt)(1 + ωt)e^(λt).
Trong nghiên cứu của Dahlquist, khái niệm hàm ổn định đã được mở rộng cho phương trình vi phân phi tuyến phần hai (PTVPĐS) thông qua hàm ổn định R(z,w) được xác định cho phương trình thử PTVPĐS (2.3.23) Bằng cách áp dụng phương pháp Euler nửa hiện, chúng ta có thể giải quyết phương trình thử PTVPĐS (2.3.23) một cách hiệu quả.
Trong hệ phương trình (2.3.24), ta có các biểu thức E(t) = [1 − ωt], A1(t) = [λω(1−λt)], và A2(t) = [−1 1+ωt] Bằng cách biến đổi phương trình đầu tiên, ta thu được x1,n+1 − ωt n x2,n+1 = (1+hλ)x1,n + [− ωt n + hω(1− λt n)]x2,n (2.3.25), với x n+1 = (x1,n+1, x2,n+1) T Từ phương trình thứ hai và thứ ba, ta có x1,n+1 = (1+ωt n+1)x2,n+1 và x1,n = (1+ωt n)x2,n (2.3.26) Khi thay thế (2.3.26) vào (2.3.25), ta nhận được x2,n+1(1+hω) = (1+hλ+hω)x2, dẫn đến x2,n+1 = 1+hλ+hω.
1+hω x 2 Như vậy, hàm ổn định của PTVPĐS (2.3.23)
Tiếp theo chúng ta xét hàm ổn định PTVPĐS cho phương pháp HERK được trình bày trong chương này Hệ (2.3.23) được biến đổi thành h 1 −ωt
−1 1+ωt i h x 1 x 2 i (2.3.27) Áp dụng phương pháp Euler nửa hiện và sau một số bước biến đổi ta có x 1,n −ωt n x 2,n = x 1,n−1 −ωt n−1 x 2,n−1 +hλ(x 1,n−1 −ωt n−1 x 2,n−1 ), (2.3.28a) x 1,n = (1+ωt n )x 2,n , (2.3.28b) x 1,n−1 = (1+ωt n−1 )x 2,n−1 (2.3.28c)
Thay(2.3.28b)và (2.3.28c)vào(2.3.28a)dẫn đến x 2,n = (1+hλ)x 2,n−1
Hàm ổn định PTVPĐS là R(z,w) = 1+z, trong đóz = hλ Chú ý rằng các hàm ổn định này chính xác là các hàm ổn định của phương pháp Euler áp dụng cho PTVPT.
Bây giờ chúng ta sẽ xác định hàm ổn định PTVPĐS R(z,w)trong trường hợp tổng quát Áp dụng sơ đồ (2.3.14) cho bài toán (2.3.23) dẫn đến
0= −x 1,n+1 + (1+ωt n+1 )x 2,n+1 , (2.3.29e) trong đóy 1,n = x 1,n −ωt n x 2,n ,M i = U 1,i −ωT i U 2,i ,i =1, 2, , s Chúng ta đặt
Phương trình(2.3.29b)dẫn tớiK i = λ M i , i =1, 2, , s, từ đó suy ra
Hơn nữa, từ phương trình(2.3.29a)cho ta M = 1y 1,n +hAK ThayK từ (2.3.30), dễ dàng ta có
Từ phương trình(2.3.29d)−(2.3.29e), ta nhận được y 1,n+1 = y 1,n +hb T K, x 2,n+1 = x 1,n+1 −ωt n+1 x 2,n+1 = y 1,n+1 , x 1,n+1 = (1+ωt n+1 )x 2,n+1
Thay thế (2.3.30) và (2.3.31) vào phương trình đầu tiên của (2.3.32), đặt z = hλ, ta có y 1,n+1 = (1+zb T (I−zA) −1 1)y 1,n
Phương trình thứ hai của (2.3.32) dẫn đếny 1,n = x 2,n Bởi vậy, ta thu được x 2,n+1 = (1+zb T (I−zA) −1 1)x 2,n , x 1,n+1 = (1+ωt n+1 )x 2,n+1
Từ phương trình đầu tiên của (2.3.33), ta có hàm ổn định cho PTVPĐS của sơ đồ (2.3.14) là
Phương pháp (2.3.14) áp dụng cho PTVPĐS thử dạng biến đổi (2.3.27) giữ vững tính chất ổn định của phương pháp RK hiện tại cho PTVPT Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc xấp xỉ khoảng phổ Lyapunov và Sacker-Sell.
Phương pháp Runge-Kutta với bước lưới thay đổi giải phương trình vi phân đại số
Khi áp dụng phương pháp Runge-Kutta với bước lưới h đều, chúng ta có thể đánh giá sai số thực tế của nghiệm nếu biết nghiệm chính xác, đồng thời xác định cấp hội tụ của phương pháp Tuy nhiên, trong thực tế, chúng ta thường không có nghiệm chính xác để so sánh Hơn nữa, việc sử dụng bước lưới đều trong tính toán có thể dẫn đến việc nghiệm thay đổi nhanh chóng trong một khoảng thời gian nhất định, trong khi ở những khoảng thời gian khác, sự thay đổi lại diễn ra chậm chạp.
Chúng ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta với bước lưới h thay đổi, kết hợp với phương pháp HERK từ chương 2, để giải quyết các bài toán PTVPĐS không có tính lạ và có cấu trúc Mục tiêu là đánh giá sai số và xác định bước lưới phù hợp với giới hạn sai số cho phép Trong chương cuối, phần đầu sẽ trình bày chi tiết về phương pháp nhúng Runge-Kutta, trong khi phần thứ hai sẽ cung cấp các thử nghiệm số minh họa cho phương pháp này.
Phương pháp nhúng
Phương trình vi phân đại số không có tính lạ
Giải bài toán PTVPĐS f(t, x(t),x 0 (t)) =0 g(t, x(t)) = 0, trong đoạnI= [t 0 , t f ], với điều kiện ban đầux(t 0 ) = x 0
1 Giả sử a i+1,i 6= 0 với i = 1, 2, , s−1 và b s 6= 0 Xét đoạn [t n−1 ,t n ], x n−1 ≈ x(t n−1 ) Tại nấc thứ i:U i ≈ x(t n−1 +c i h)và K i ≈ U i 0 ,i = 1, , s,
T(i) = t n−1 +c(i)h Cài đặt các giá trị cho trước U 1 = x n−1 , t n−1 = t, h = h 0 , sai sốTOL và biến đếmk =1.
Ta tỡm cỏc nghiệmU i+1 ,K i ,i = 1,ã ã ã ,s−1 được giải từ hệ phương trỡnh đại số f tn−1+c(i)h,U i , 1 a i+1,i
Việc tớnh toỏn tỡm cỏc nghiệmU i+1 ,K i ,i = 1,ã ã ã ,s−1cho 2 phương phỏp nhúng RK đều được thực hiện chung tại các nấci =1, , s.
3 Cuối cùng, ta tìm nghiệm x n :x n = x n−1 +h∑ i=1 s b i K i , được giải từ hệ f t n−1 +c s h, U i , 1 b s
= 0, g(t n , x n ) = 0. và nghiệmy n :y n = xn−1+h∑ s i= 1d i K i , được giải từ hệ f t n−1 +c s h, U i , 1 d s
5 Nếu bất đẳng thức đúng thì ta sẽ giữ bước lướih, tính lạix n ,y n vớix n−1 → y n , tăngk → k+1,t = t+h.
7 Nếu bất đẳng thức trên không thỏa mãn thì bước đi h được thay thế bằng bước đi mớih:˜ h˜ =h f racTOL
8 Tiếp tục quá trình tính toán cho đến khi dừng lại, ta có thể in ra thời gian tính toán, số bước đik, sai số tính toán nghiệm giữa 2 phương pháp, sai số thực so với nghiệm chính xác, vẽ đồ thì bước lướih theo thời gian v.v.
Phương trình vi phân đại số không có tính lạ và có cấu trúc 51
Xét PTVPĐS dưới dạng biến đổi f(t, x(t), (Ex) 0 (t)−E 0 (t)x(t)) = 0, g(t, x(t)) = 0,
Xét trên đoạn con [t n ,t n+1 ], với t n = t và x n ≈ x(t n ), h = h 0, ta đặt T(i) = t n + c i h và xấp xỉ tại các nấc U i ≈ x(T(i)), K i ≈ (Ex) 0 (T(i)), với i = 1, 2, , s Giả sử rằng các giá trị của hàm E i = E(T(i)) và E 0 i = E 0 (T(i)) đã được xác định Cài đặt giá trị ban đầu U 1 = x n, với sai số cho trước là TOL, và biến đổi k = 1.
E i U i = E(t n )U 1 +h i−1 ∑ j=1 a ij K j , xấp xỉU i ,K i−1 ,i = 2, ,s, được xác định từ hệ phương trình đại số:
Các nghiệm xấp xỉU i , K i−1 , i = 2, , s của cặp phương pháp nhúng RK đều được tính trên cùng một nấc.
2 Cuối cùng, ta xác định nghiệm x n+1 :E(t n+1 )x n+1 = E(t n )U 1 +h∑ s i=1 b i K i , dựa vào hệ:
# và nghiệmy n+1 :E(t n+1 )y n+1 = E(t n )U 1 +h∑ s i=1 d i K i được xác định từ hệ phương trình đại số
4 Nếu bất đẳng thức đúng thì ta sẽ giữ bước lưới h, tính lại x n+1 ,y n+1 với x n → y n+1 , tăngk → k+1,t = t+h.
6 Nếu bất đẳng thức trên không thỏa mãn thì bước đi h được thay thế bằng bước đi mớih:˜ h˜ = h f racTOL
7 Tiếp tục quá trình tính toán cho đến khi dừng lại, ta có thể in ra thời gian tính toán, số bước đik, sai số tính toán nghiệm giữa 2 phương pháp, sai số của nghiệm thực so với nghiệm chính xác, vẽ đồ thì bước lưới h theo thời gian v.v.
PTVPĐS không có tính lạ và có cấu trúc biến đổi, có thể chuyển đổi qua phép đổi biến x(t) = Q(t)y(t) về dạng PTVPĐS nửa hiện chỉ số 1 Khi áp dụng phương pháp nhúng RK cấp p trong phương pháp RK cấp p+1, tính ổn định và hội tụ được bảo toàn, dẫn đến một hệ quả quan trọng.
Mệnh đề 3.1.1 trình bày phương pháp nhúng sử dụng cặp phương pháp Runge-Kutta cấp p và cấp p+1, kết hợp với phương pháp Runge-Kutta nửa hiện (HERK) để giải bài toán vi phân riêng phần không có tính lạ và có cấu trúc với cấp hội tụ đạt được là p.
Chứng minh Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ các Định lí 2.1.1, Định lí 2.3.1 và
Thử nghiệm số
Ví dụ 3.2.1 Xét BTGTBĐ cho phương trình thử PTVPĐS h 1 −ωt
−1 1+ωt x, với một số các giá trị tham số đặc biệtλ vàωtrên đoạn[0, 5]
PTVPĐS trên không có tính lạ và có cấu trúc, cho các giá trị ban đầu x 1 (0) 1, x 2 (0) =1, nghiệm chính xác x e λt (1+ωt) e λt
Phương pháp nhúng kết hợp với phương pháp HERK được áp dụng cho phương trình thử PTVPĐS dưới dạng không có tính lạ, sử dụng cặp Fehlberg4(5) để đạt được kết quả chính xác và hiệu quả.
Cặp phương pháp Runge-Kutta (RK) Fehlberg có cấp chính xác 4 và 5 có thể dẫn đến hiện tượng giảm cấp chính xác Qua thử nghiệm số với phương pháp HERK cho phương trình PTVPĐS với bước lưới đều h, chúng ta nhận thấy rằng tốc độ hội tụ của các giá trị x1 và x2 thay đổi theo các bước lưới khác nhau Cụ thể, với h=0.025, tốc độ hội tụ lần lượt là 4.0171e−01 tại h/2, 2.2101 tại h/4, 1.3406 tại h/8, 1.1606 tại h/16, 1.0875 tại h/32, 1.0488 tại h/64, và 1.0278 tại h/128 cho x1; trong khi đó, tốc độ hội tụ cho x2 là 1.1433 tại h/2, 2.0416 tại h/4, 1.3125 tại h/8, 1.1533 tại h/16, 1.0871 tại h/32, 1.0513 tại h/64, và 1.0316 tại h/128.
Bảng 3.1: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKF4 vớiλ=−1,ω 0 h=0.025 Tốc độ hội tụ củax1 Tốc độ hội tụ củax2 h/2 1.6026 2.0151 h/4 2.6948 2.6266 h/8 2.1067 2.0966 h/16 2.0345 2.0322 h/32 2.0195 2.0189 h/64 2.0116 2.0115 h/128 2.0065 2.0064
Bảng 3.2: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKF5 vớiλ=−1,ω 0
Phương pháp RK Fehlberg cấp 4 và 5 bị giảm xuống còn cấp 1 và 2, dẫn đến việc áp dụng phương pháp này không còn hiệu quả do chi phí tính toán cao mà kết quả không tốt hơn so với phương pháp HERK với bước lưới đều Thay vào đó, nên sử dụng phương pháp nhúng với cặp Dormand-Prince4(5) để đạt hiệu quả tốt hơn.
Kiểm tra bằng thử nghiệm số với phương pháp HERK cấp 4 và cấp 5 cho phương trình thử PTVPĐS với bước lưới đều đã được thực hiện Phương pháp RK Dormand-Prince cấp 4 và cấp 5 được ký hiệu lần lượt là RKDP4 và RKDP5 Qua thử nghiệm, cặp phương pháp RK Dormand cho thấy tốc độ hội tụ đáng chú ý với các giá trị h khác nhau Cụ thể, với h=0.025, tốc độ hội tụ của x1 và x2 tại các bước lưới h/2, h/4, h/8, h/16, h/32, h/64, và h/128 lần lượt là 1.4762, 1.9411, 2.0457, 2.0467, 2.0298, 2.0166, và 2.0087 cho x1; và 1.4809, 1.9431, 2.0463, 2.0468, 2.0299, 2.0166, và 2.0087 cho x2.
Bảng 3.3: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKDP4 vớiλ=−1,ω 0 h=0.025 Tốc độ hội tụ củax1 Tốc độ hội tụ củax2 h/2 9.2868e−01 9.2864e−01 h/4 2.2381 2.2381 h/8 2.8635 2.8635 h/16 3.0300 3.0300 h/32 3.0546 3.0545 h/64 3.0402 3.0417 h/128 3.0151 3.0082
Bảng 3.4: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKDP5 vớiλ=−1,ω 0
Prince có cấp 4 và cấp 5 bị giảm cấp chính xác xuống còn cấp 2 và cấp 3 tương ứng.
Phương pháp nhúng sử dụng cặp Dormand-Prince4(5) được ký hiệu là sHERKDP4(5) Sai số đánh giá của các nghiệm x i (i = 1, 2) được tính toán dựa trên sai số giữa hai nghiệm xấp xỉ khi sử dụng bước h=0.02 Bảng 3.6 trình bày kết quả thử nghiệm số với phương pháp sHERK4, trong đó λ = -1 và ω 0, cho thấy sự thay đổi của sai số theo từng giá trị h, từ h/2 đến h/128, với các kết quả cụ thể cho từng bước tính toán.
Phương pháp nhúng kết hợp với phương pháp HERK được áp dụng cho phương trình thử PTVPĐS dưới dạng không có tính lạ và có cấu trúc, với bước đi ban đầu h = 0.1 và sai số tương đối tol = 10^(-7) Phương pháp nhúng với cặp Fehlberg 4(5) được ký hiệu là HERKF4(5), trong khi phương pháp nhúng với cặp Dormand-Prince 4(5) được ký hiệu là HERKDP4(5) Bảng so sánh giữa hai phương pháp này được trình bày với h = 0.1 cho cả HERKF4(5) và HERKDP4(5).
Sai số đánh giá củax1 7.5731e−08 7.3105e−10 Sai số đánh giá củax2 1.5116e−10 1.4592e−12 Sai số thực tế củax 1 1.1480e−06 6.1345e−07 Sai số thực tế củax 2 7.5692e−09 4.0076e−09 Bảng 3.7: So sánh phương pháp HERKF4(5) và HERKDP4(5)
Việc sử dụng phương pháp nhúng với cặp Dormand-Prince4(5) cho thấy số bước đi ít hơn so với phương pháp nhúng sử dụng cặp Fehlberg 4(5) Phân tích cho thấy sai số thực tế của các nghiệm và sai số đánh giá giữa các nghiệm xấp xỉ của hai phương pháp Runge-Kutta (RK) trong phương pháp nhúng là nhỏ hơn Mặc dù sự khác biệt giữa hai phương pháp không lớn, cả hai đều có cấp hội tụ là 4 và đều mang lại kết quả tốt.
Phương pháp HERK được áp dụng với bước lưới đều, bắt đầu từ phương pháp RK cổ điển 4 nấc, ký hiệu là HERK4 Trong bảng 3.8, các kết quả thử nghiệm số cho thấy sự thay đổi của SS thực tế và tốc độ của x1 và x2 qua các bước lưới khác nhau, với h=0.1 và λ=-1, ω=0 Các giá trị SS thực tế và tốc độ được trình bày cho các bước lưới h/2, h/4, h/8, h/16, h/32, cho thấy sự hội tụ của phương pháp khi số lượng bước lưới tăng lên.
Dựa vào thử nghiệm trong bảng (3.8), phương pháp HERK4 vẫn duy trì cấp chính xác là 4 Với sai số tol = 10^(-7), phương pháp HERK4 cần 200 bước đi với bước lưới đều h = 0.025, trong khi phương pháp HERKF4(5) chỉ cần 44 bước và phương pháp HERKDP4(5) cần 41 bước Kết quả cho thấy phương pháp HERKF4(5) và HERKDP4(5) hiệu quả hơn so với HERK4 khi giữ nguyên sai số cho trước.
Ví dụ 3.2.2 Chúng ta xét PTVPĐS phi tuyến x 1 (x 1 0 +tx 0 2 ) = x 1 x 2 e t +e 2t +tcoste t −e 2t sint,
(3.2.1) vớit ∈[0, 5]với điều kiện ban đầux(0) = [1 0] T
Dễ dàng ta có thể kiểm tra rằng(3.2.1)là PTVPĐS không có tính lạ Thật vậy, ma trận Jacobi h f v E g u i x 1 tx 1 e −t −1
, có định thức bằng x 1 (−1−te t ) 6= 0 với mọi t ∈ [0, 5] và điều kiện ban đầu x(0) = [1 0] T PTVPĐS(3.2.1)có nghiệm duy nhấtx 1 = e t , x 2 = sin t.
Sử dụng phương pháp nhúng kết hợp với phương pháp HERK cho bài toán PTVPĐS, được trình bày mà không có tính lạ, cho thấy hiệu quả rõ rệt Cụ thể, khi áp dụng phương pháp nhúng với cặp Fehlberg4(5) và bước h=0.1, tốc độ hội tụ của x1 và x2 lần lượt là 1.1099 và 0.88301 Khi giảm bước h xuống còn h/2, h/4, h/8, h/16 và h/32, tốc độ hội tụ của x1 và x2 có xu hướng cải thiện, với các giá trị tương ứng là 1.0607, 1.0321, 1.0165 và 1.0084 cho x1, và 0.94079, 0.97068, 0.98541, 0.99273 cho x2.
Bảng 3.9: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKF4 h=0.1 Tốc độ hội tụ củax1 Tốc độ hội tụ củax2 h/2 1.9521 1.9483 h/4 1.9762 1.9744 h/8 1.9882 1.9873 h/16 1.9941 1.9937 h/32 1.9971 1.9968
Bảng 3.10: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKF5
Cặp phương pháp RK Fehlberg cấp 4 và cấp 5 bị giảm cấp chính xác xuống còn cấp 1 và cấp 2, dẫn đến việc áp dụng phương pháp này trở nên không hiệu quả do chi phí tính toán lớn mà không mang lại kết quả tốt hơn so với phương pháp HERK với bước lưới đều Thay vào đó, nên sử dụng phương pháp nhúng với cặp Dormand-Prince4(5) để đạt được hiệu quả tối ưu hơn.
Kiểm tra bằng thử nghiệm số với phương pháp HERK cấp 4 và cấp 5 cho phương trình thử PTVPĐS với bước lưới đều cho thấy cặp phương pháp RK Dormand-Prince bị giảm cấp chính xác xuống còn cấp 2 và cấp 3 tương ứng Tốc độ hội tụ của x1 và x2 được ghi nhận tại các bước lưới khác nhau: h=0.1, h/2, h/4, h/8, h/16, h/32 với các giá trị lần lượt là 1.8678, 1.9360, 1.9686, 1.9845, 1.9923 cho x1 và 1.8622, 1.9330, 1.9670, 1.9836, 1.9918 cho x2.
Bảng 3.11: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKDP4 h=0.025 Tốc độ hội tụ củax 1 Tốc độ hội tụ củax 2 h/2 2.9001 2.9031 h/4 2.9529 2.9537 h/8 2.9771 2.9773 h/16 2.9887 2.9888 h/32 2.9934 2.9935
Bảng 3.12: Kiểm tra cấp chính xác của phương pháp RKDP5
Phương pháp nhúng với cặp Dormand-Prince4(5) đã được áp dụng với số bước đi (N) là 69 Kết quả cho thấy sai số đánh giá của x1 là 2.0796e−09 và của x2 là 1.4012e−11 Sai số thực tế cho x1 là 6.9627e−06, trong khi đó, sai số thực tế cho x2 là 6.1979e−08 Bảng 3.13 trình bày kết quả của phương pháp sHERKDP4(5) với tol = 7 và bước lưới ban đầu h = 0.1.
Trong luận văn, tôi đã áp dụng phương pháp Runge-Kutta nửa hiện cho lớp các phương trình vi phân riêng dạng nửa hiện, không có tính lạ và có cấu trúc Bài viết trình bày phương pháp nhúng cho phương pháp HERK, kèm theo các thử nghiệm số để đánh giá sai số, số bước đi và bước lướihđ, từ đó rút ra một số kết quả quan trọng.
Khi áp dụng phương pháp nhúng cho PTVPĐS không có tính lạ, phương pháp RK với cấp p > 2 dẫn đến hiện tượng giảm cấp chính xác Thử nghiệm cho thấy, sử dụng cặp Fehlberg cấp 4 và 5 làm giảm cấp chính xác xuống còn 1 và 2 Do đó, không nên sử dụng cặp Fehlberg4(5) trong trường hợp này Trong khi đó, phương pháp nhúng với cặp Dormand-Prince cấp 4 và 5 cũng bị giảm cấp chính xác xuống còn 2 và 3, nhưng vẫn cho số bước đi ít hơn so với phương pháp sHERK4 với bước lướihđều và sai số tương tự.