Phụ lục TRƢỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MƠN TỐN CAO CẤP A2 GV biên soạn: TRẦN THIỆN KHẢI Trà Vinh, tháng 02-2013 Lƣu hành nội MỤC LỤC Nội dung Trang CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN BÀI 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Khái niệm hàm nhiều biến n 1.1.1 R tập 1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến 1.1.3 Các ví dụ: 1.2 Biểu diễn hình học hàm hai biến số 1.3 Giới hạn hàm nhiều biến số: Z = f(x; y) 11 1.3.1 Định nghĩa giới hạn 11 1.3.2 Các ví dụ: 12 1.3.3 Chú ý 12 1.4 Sự liên tục hàm số Z = f(x; y) 12 1.4.1 Định nghĩa 12 1.4.2 Định nghĩa 12 BÀI 2: ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 15 2.1 Đạo hàm riêng 15 2.1.1 Định nghĩa 15 2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao 18 2.2 Vi phân toàn phần 19 2.2.1 Định nghĩa 19 2.2.2 Điều kiện khả vi 20 2.2.3 Vi phân cấp cao 21 2.2.4 Ứng dụng để tính gần 22 2.3 Đạo hàm hàm hợp 24 2.4 Đạo hàm hàm ẩn 26 BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 30 3.1 Cực trị tự 30 3.2 Quy tắc tìm cực trị 30 3.3 Cực trị có điều kiện 32 3.3.1 Định nghĩa 32 3.3.2 Qui tắc 33 3.3.3 Phƣơng pháp nhân tử Lagrange 33 3.4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ miền đóng 35 CHƢƠNG 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 37 BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP 37 1.1 Khái niệm tích phân hai lớp 37 1.1.1 Bài tốn thể tích vật thể hình trụ cong 37 1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp 38 1.2 Cách tính tích phân hai lớp 39 1.2.1 Đƣa tích phân lặp 39 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 1.2.2 Đổi biến tích phân kép 40 BÀI 2: TÍCH PHÂN BA LỚP 43 2.1 Định nghĩa tính chất 43 2.1.1 Định nghĩa 43 2.1.2 Tính chất 43 2.2 Cách tính tích phân bội ba 44 2.2.1 Tích phân bội ba hệ tọa độ Descartes 44 2.2.2 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ trụ 46 2.2.3 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ cầu 47 BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP VÀ BA LỚP 49 3.1 Ứng dụng hình học 49 3.1.1 Tính diện tích hình phẳng 49 3.1.2 Tính thể tích vật thể V 49 3.1.3 Tính thể tích vật thể đƣợc giới hạn mặt 50 3.1.4 Tính diện tích mặt cong 50 3.2 Ứng dụng vật lý 52 3.2.1 Tính khối lƣợng vật thể 52 3.2.2 Tính tọa độ trọng tâm vật thể 53 CHƢƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG, TÍCH PHÂN MẶT VÀ ỨNG DỤNG 56 BÀI 1: TÍCH PHÂN ĐƢỜNG LOẠI I 56 1.1 Định nghĩa 56 1.2 Cách tính tích phân đƣờng loại I 57 BÀI : TÍCH PHÂN ĐƢỜNG LOẠI II 59 2.1 Bài tốn cơng lực biến thiên 59 2.2 Định nghĩa tích phân đƣờng loại II 60 2.3 Cách tính tích phân đƣờng loại II 61 2.4 Mối liên hệ hai loại tích phân đƣờng 63 2.5 Công thức Green 63 2.6 Điều kiện để tích phân đƣờng khơng phụ thuộc vào đƣờng lấy tích phân 65 BÀI 3: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 69 3.1 Định nghĩa 69 3.2 Cách tính tích phân mặt loại I 69 BÀI 4: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 71 4.1 Mặt cong hai phía 71 4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 71 4.3 Cách tính tích phân mặt loại II 73 4.4 Cơng thức OXTRƠGRATXKI 75 4.5 Cơng thức Xtốc 76 CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I, II VÀ ỨNG DỤNG 78 BÀI 1: TỔNG QUÁT VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 78 1.1 Các toán thực tế 78 1.1.1 Bài toán 1: 78 1.1.2 Bài toán 79 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 1.2 Định nghĩa phƣơng trình vi phân 79 BÀI 2: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 80 2.1 Tổng quát phƣơng trình vi phân cấp I 80 2.1.1 Định nghĩa 80 2.1.2 Định lý tồn nghiệm 80 2.1.3 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng phƣơng trình vi phân cấp 80 2.2 Phƣơng trình vi phân có biến phân ly 81 2.2.1 Định nghĩa 81 2.2.2 Cách giải 81 2.3 Phƣơng trình vi phân đẳng cấp 83 2.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp I 85 2.4.1 Định nghĩa 85 2.4.2 Cách giải 85 2.5 Phƣơng trình BECNOULLI 86 2.5.1 Định nghĩa 86 2.5.2 Cách giải 86 2.6 Phƣơng trinh vi phân toàn phần 88 2.6.1 Định nghĩa 88 2.6.2 Cách giải 88 BÀI 3: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 92 3.1 Tổng quát phƣơng trình vi phân cấp II 92 3.1.1 Định nghĩa 92 3.1.2 Định lý tồn phƣơng trình vi phân cấp hai 92 3.1.3 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng phƣơng trình vi phân cấp hai 92 3.2 Các phƣơng trình vi phân cấp hai giảm cấp đƣợc 93 3.2.1 Loại 1: Vế phải phƣơng trình khơng chứa y y’ 93 3.2.2 Loại 2: Khi vế phải phƣơng trình khơng chứa y 94 3.2.3 Loại 3: Vế phải không chứa x 94 3.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II 95 3.3.1 Định nghĩa 95 3.3.2 Phƣơng trình 95 3.3.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II khơng 98 3.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số số 99 3.4.1 Định nghĩa 99 3.4.2 Cách giải 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số mở rộng cách tự nhiên cần thiết phép tính vi phân hàm số biến số Các toán thực tế thƣờng xuất phụ thuộc biến số vào hai biến số nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T chất lỏng biến đổi theo độ sâu z thời gian t theo công thức T = e−tz, nhiệt lƣợng toả dây dẫn phụ thuộc vào điện trở dây, cƣờng độ dịng thời gian dẫn điện theo cơng thức Q = 0,24RI2t,… Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn Để học tốt nội dung này, việc nắm vững phép tính đạo hàm hàm biến số, sinh viên phải có kiến thức hình học không gian Trong nội dung này, yêu cầu sinh viên nắm vững nội dung nhƣ khái niệm chung khơng gian Rn (n chiều), phép tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần, ứng dụng đạo hàm, vi phân tính tốn cực trị BÀI 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM NHIỀU BIẾN  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, ngƣời học có thể: - Mơ tả đƣợc miền xác định đồ thị hàm hai biến - Tính đƣợc giới hạn liên tục hàm hai biến số 1.1 Khái niệm hàm nhiều biến 1.1.1 Rn tập Với n số nguyên dƣơng, ký hiệu Rn đƣợc dùng để tập hợp tất n số thực (x1, x2, …,xn) ta thƣờng gọi Rn không gian (thực) n chiều Khi số thực (x1, x2, …, xn) đƣợc đặt tên P ta viết là: P(x1, x2, …,xn) gọi điểm không gian Rn Cho điểm P(x1, x2, …,xn) Q(y1, y2, …,yn) Rn, khoảng cách hai điểm P Q, ký hiệu d(P, Q) đƣợc định nghĩa bởi: 2 d(P, Q) = ( x1  y1 )  ( x2  y2 )   ( xn  yn ) Khoảng cách thỏa bất đẳng thức tam giác sau đây: d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q), với điểm P, Q, R tùy ý Điểm P(x1, x2, …, xn) đƣợc viết gọn dƣới dạng x = (x1, x2, …, xn) với x=(x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn), khoảng cách x y đƣợc viết bởi: | x – y |= ( x1  y1 )  ( x2  y2 )   ( xn  yn ) Cho điểm P  Rn r số thực dƣơng, tập hợp B(P, r) = {Q  Rn| d(P, Q) < r} đƣợc gọi hình cầu mở tâm P bán kính r lân cận bán kính r P Tập hợp E Rn đƣợc gọi bị chặn có r > cho E  B(O,r) với O điểm O(0, 0, …, 0) * Cho Mo  Rn ε > Tập  ε(Mo) = {M  Rn: d(M,Mo) < ε} gọi ε - lân cận Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 lân cận bán kính ε Mo hình cầu mở tâm Mo bán kính ε (H.1a) * Cho E  Rn Điểm M  E gọi điểm E có  ε(M)  E (  ε > 0) Điểm N  Rn gọi điểm biên E  ε(M) chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E(  ε > 0) Tập E gọi mở điểm điểm trong, gọi đóng chứa điểm biên Tập điểm biên E kí hiệu ∂E Bao đóng E hay tập E đóng ký hiệu E có E = E  ∂E (H.1a) * Tập E gọi bị chặn hay giới nội nhƣ tồn số N cho E   N(0) * Tập E gọi liên thông cặp điểm M1, M2 E đƣợc nối với đƣờng cong liên tục nằm trọn E Tập liên thơng E gọi đơn liên bị giới hạn mặt kín (một đƣờng cong kín R2; mặt cong kín R3) (H.1a) Tập liên thơng E gọi đa liên bị giới hạn từ hai mặt kín trở lên rời đơi (H.1b) (Hình 1a) (Hình 1b) Ví dụ 1: Xét tập sau R2 A = {(x; y) : x2 + y2 < 4} B ={(1;2), (−1;0), (0;0)} R2 Giải: ∂A = {(x; y) : x2 + y2 = 4} - đƣờng tròn tâm O bán kính 2, A = {(x; y) : x2 + y2 ≤ 4}: hình trịn kể biên A, R2 tập liên thông, B không liên thông (gồm điểm rời rạc) A, B tập giới nội, R2 không giới nội (cả mặt phẳng Oxy) Cụ thể cho R2: Hình trịn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r > B(M0,r) = {M(x;y)  R2: d(M,M0) < r} = {(x;y)  R2: ( x  y )  ( x  y ) < r} Hình trịn mở gọi r-lân cận M0 tập R2 chứa r-lân cận M0 gọi lân cận M0 Xét điểm M0  R2 tập A  R2 Có thể xảy ba trƣờng hợp loại trừ sau đây: - Có lân cận M0 nằm trọn A, nghĩa chứa điểm A Khi M0 đƣợc gọi điểm tập A - Có lân cận M0 nằm trọn A, nghĩa hồn tồn khơng chứa điểm Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 A Khi M0 điểm phần bù A - Bất kỳ lân cận M0 có điểm A điểm khơng thuộc A Khi M0 điểm biên A Chú ý 1) Điểm A điểm thuộc A 2) Điểm biên A thuộc không thuộc A + Một tập hợp đƣợc gọi mở điểm thuộc điểm + Một tập hợp đƣợc gọi đóng điểm khơng thuộc điểm phần bù + Một tập hợp đóng phần bù mở + Một tập hợp mở khơng chứa điểm biên + Một tập hợp đóng chứa tất điểm biên + Điểm M0 đƣợc gọi điểm tụ A, lân cận M0 chứa vô số điểm A Chú ý 1) Điểm tụ thuộc A, khơng thuộc A 2) Có tập hợp khơng tập đóng, khơng tập mở Ví dụ 2: Xét tập hợp điểm mặt phẳng Cho tập hợp A A = {(x;y)  R2: x2 + y2 < 1} Tất điểm A: {(x;y)  R2: x2 + y2 < 1} Tất điểm biên A: {(x;y)  R2: x2 + y2 = 1} Tất điểm tụ A: {(x;y)  R2: x2 + y2 ≤ 1} Tập A tập mở Ví dụ 3: Xét tập hợp điểm mặt phẳng Cho A tập hợp điểm nằm hình trịn đơn vị mà tọa độ điểm số hữu tỉ A = {(x;y)  Q2: x2 + y2 < 1} A khơng có điểm Tập điểm biên điểm tụ nhau: {(x;y)  R2: x2 + y2 ≤ 1} A khơng đóng, khơng mở 1.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến Ví dụ 4: 1) Nhiệt độ T điểm bề mặt trái đất thời điểm t cho trƣớc phụ thuộc vào kinh độ x vĩ độ y điểm Chúng ta coi T hàm theo hai biến x y, ký hiệu: T = T(x,y) 2) Thể tích V bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r chiều cao h Thực tế ta biết V = πr2h Khi V hàm hai biến theo r h: V = πr2h Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 Một ánh xạ f từ tập D cặp số thực (x; y) vào tập R số thực đƣợc gọi hàm hai biến số độc lập x, y Ký hiệu: f = f(x; y) hay Z = f(x; y) Nghĩa cặp số thực (x; y)D đƣợc tƣơng ứng với số thực xác định f = f(x; y) Tập D đƣợc gọi miền xác định hàm hai biến số f = f(x; y) Tƣơng tự nhƣ vậy, với n biến số độc lập (x1;x2;…;xn) đƣợc tƣơng ứng với số thực u u đƣợc gọi hàm n biến số độc lập x1; x2;…;xn Ký hiệu: u = f(x1; x2; …; xn) (x;y)  M(x; y)  Oxy ngƣợc lại  Nếu với M(x;y)D đƣợc tƣơng ứng với số thực xác định f f đƣợc coi hàm điểm M(x;y): f = f(M) = f(x;y) * Chú ý 1: Cách gọi kí hiệu nhƣ gọn tiện lợi cho ta hình dung cách trực quan mối liên hệ biến số hàm số - Miền xác định D hàm f = f(x;y) tập hợp điểm phần mặt phẳng Oxy đƣợc giới hạn đƣờng cong kín - Đƣờng cong kín đƣợc gọi biến miền - Nếu điểm biên miền D thuộc miền xác định hàm miền xác định hàm miền đóng (kín) - Nếu điểm biên miền D khơng thuộc miền xác định hàm miền xác định hàm miền mở * Chú ý 2: Miền xác định hàm toàn mặt phẳng Oxy Miền giá trị f: E = {a R:  (x;y)  D: a = f(x;y)} 1.1.3 Các ví dụ: a) Z = x2 + y2 Miền xác định D1 hàm mặt phẳng Oxy 2 b) Z   x  y D2 (x; y): – x2 – y2   x2 + y2   D2 đƣờng trịn có bán kính  D2 đóng (kín) (Hình1.2a) a) Z = ln(x + y) D3 (x; y): x + y >  x > y  y > – x D3 nửa mặt phẳng nằm phía đƣờng phân giác góc phần tƣ thứ II, D3 mở (Hình1.2b) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 b) u  y  x2  y  z Miền xác định tập (x;y;z)  R3 thỏa x2 + y2 + z2 < Đó hình cầu tâm O, bán kính (Hình 1.2c) Hình cầu mở mơ tả hệ bất phƣơng trình:   x   2   x  y   x  2 2   x  y  z   x  y y D3 x O y=x Hình 1.2a Hình 1.2b Hình 1.2c 1.2 Biểu diễn hình học hàm hai biến số Gọi Z = f(x;y) hàm số đƣợc xác định miền D Ta vẽ hệ trục tọa độ Đềcac Oxyz không gian Từ điểm M ta kẻ đƣờng thẳng vng góc (Oxy) đƣờng thẳng lấy điểm P cho MP  Z  f (x; y) z  P(x;y;z)  Oxyz x O M D Hình 1.3 y - Khi điểm M biến thiên khắp miền D khơng gian Oxyz điểm P tƣơng ứng vẽ nên mặt cong mà hình chiếu mặt phẳng (Oxy) miền xác định hàm - Vậy biểu diễn hình học hàm Z = f(x; y) mặt cong S khơng gian Oxyz mà hình chiếu mặt phẳng (Oxy) miền xác định D Chú ý: Phƣơng trình tổng quát mặt bậc hai hệ tọa độ Descartes Oxyz là: Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Kz + L = Từ chƣơng trình Tốn cao cấp A2, để vẽ mặt bậc hai: 1) Đƣa dạng toàn phƣơng dạng tắc biến đổi trực giao 2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ 3) Vẽ hình Ví dụ 5: 1.) Z = x2 + y2 có biểu diễn hình học mặt parabolơit trịn xoay Hình 1.4 2.) Hàm Z  x  y có đồ thị mặt nón Hình 1.5 3.) Hàm Z = xy có đồ thị mặt yên ngựa Hình 1.6 4.) Z   x2  y2 có biểu diễn hình học nửa mặt cầu tâm O, bán kính x2 y2 z 5.)    có biễu diễn hình học Ellipsoid: a b c Hình 1.7 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 10  (2) phƣơng trình vi phân toàn phần  nghiệm tổng quát (1) là: u = (x;y) = C (x;y) đƣợc xác định bởi: x u(x;y) =  Pdx  Q(x , y)dy   x0 Gọi x0 = 0; y0 =  u(x;y) = x y  e (2  2x  0)dx +  (2ye x x )dy   y0 x0 x  u(x;y) =  e (1  x)dx – e x x0 x y  ydy   y0  u(x;y) = 2x e x – e x y2 +   2x e x – e x y2 =   Bài tập cố: 1) Giải phƣơng trình sau: 2 a) x(1 + y2)dx – y(1 + x2)dy = b) x  y dx  y  x dy  c) Tìm nghiệm riêng phƣơng trình: (1 + x2)dy = xydx, biết y(1) = d) (x2 + 2xy)dx + xydy = 2) a) Giải phƣơng trình sau: y’ + e) (x + y)dx + (2x + 2y + 1) = y = x b) Tìm nghiệm phƣơng trình y’ + ycotgx = 5.ecosx biết: y(  ) = – x c) Tìm nghiệm tổng quát phƣơng trình y’+ y = 3x tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 3) Giải phƣơng trình sau: a) y’ – y = xy5 b) y’ – y sin x =– y 2x 2x Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2 c) x dy  4y  x2 y dx 91 BÀI 3: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, ngƣời học có thể: Nắm đƣợc tính chất PTVP tuyến tính cấp hai: Từ tính chất PTVP tuyến tính tích phân đƣợc biết nghiệm PTVP tuyến tính tƣơng ứng, hai nghiệm riêng phƣơng trình khơng cho, đặc biệt khai thác ngun lí chồng chất nghiệm Giải đƣợc phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 3.1 Tổng quát phƣơng trình vi phân cấp II 3.1.1 Định nghĩa Phƣơng trình vi phân cấp hai phƣơng trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = (1) hay y’’ = f(x,y,y’) (2) Ví dụ 1: Phƣơng trình: x3y’’ + 2xy + exy + 3x = y’’ = 8ex y’ + y y’’ + 2y = phƣơng trình vi phân cấp hai 3.1.2 Định lý tồn phƣơng trình vi phân cấp hai Xét phƣơng trình y’’ = f(x, y, y’) Nếu f(x, y, y’) hàm liên tục miền có chứa điểm (x0, y, y0’) phƣơng trình vi phân cấp hai cho tồn nghiệm y = y0(x) thỏa mãn điều kiện: y(x0) = y0; y’(x0) = y0’ Ngoài f f liên tục miền nói y y ' nghiệm y = y(x) nghiệm Điều kiện để y(x0) = y0; y’(x0) = y0’ đƣợc gọi sơ kiện (điều kiện đầu) phƣơng trình vi phân cấp hai: y x x = y0; y' x x = y0’ 0 Về phƣơng diện hình học định lý khẳng định đƣợc f(x, y, y’) f f liên tục miền có chứa điểm (x0, y0, y’) tồn có nghiệm y y ' y = y(x) mà đồ thị ln ln qua điểm có tọa độ (x0; y0) tiếp tuyến đƣờng cong y = y(x) có hệ số góc y0’ 3.1.3 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng phƣơng trình vi phân cấp hai Gọi nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân cấp hai hàm số y=(x, C10 , C20 ) với C1, C2 số tuỳ ý thỏa mãn phƣơng trình vi phân cấp hai Gọi nghiệm riêng phƣơng trình vi phân cấp hai nghiệm y =(x, C10 , C20 ) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 92 có đƣợc từ nghiệm tổng quát ta cho C1 = C10 , C2 = C20 Điều chứng tỏ nghiệm riêng phƣơng trình vi phân cấp hai nói chung nghiệm tổng quát có đƣợc cách cho C1, C2 giá trị cụ thể Hệ thức (x, y, C1, C2) = (*) liên hệ hai biến số độc lập x nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân cấp hai đƣợc tích phân tổng qt phƣơng trình vi phân cấp hai Hệ thức (x; y; C10 ; C20 ) = có đƣợc từ (*) cách cho C1 = C10 ; C2 = C20 giá trị cụ thể đƣợc gọi tích phân riêng phƣơng trình vi phân cấp hai Về phƣơng diện hình học tích phân tổng qt phƣơng trình vi phân cấp hai xác định cho ta họ đƣờng cong mặt phẳng tọa độ phụ thuộc vào hai tham số C1, C2 Mỗi đƣờng cong họ đƣợc gọi đƣờng cong tích phân riêng 3.2 Các phƣơng trình vi phân cấp hai giảm cấp đƣợc Xét y’’ = f(x, y, y’) giảm cấp đƣợc để đƣa phƣơng trình vi phân cấp để giải 3.2.1 Loại 1: Vế phải phƣơng trình khơng chứa y y’ y’’ = f(x) (1) Do y’’ = (y’)’  y’ = nghiệm tổng quát (1): y =  f (x)dx + C1 lấy tích phân lần ta nhận đƣợc  [ f (x)dx  C ]  C  y =  [ f (x)dx]dx  C1x  C2 Ví dụ 2: Tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình: y’’ = sin x Tìm nghiệm riêng thỏa mãn sơ kiện y x  = 0; y' x 0 = Từ y’’ = sin x (*)  y’ =  sin xdx + C1 = -cos x + C1  y = –  cos xdx + C1x + C2 = – sin x + C1x + C2  nghiệm tổng quát (*) là: y = – sin x + C1x + C2 * Tìm nghiệm riêng: Vì y' x 0 =  – sin + C1 + C2 =  C2 = Vì y' x 0 =  – cos + C1 =  C1 = Vậy nghiệm riêng thỏa sơ kiện: y = – sin x + 2x Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 93 3.2.2 Loại 2: Khi vế phải phƣơng trình khơng chứa y y’’= f(x, y’) (2) Đặt y’ = p(x)  y’’ = p’(x) Thay vào (2): p’(x) = f(x, p) phƣơng trình vi phân cấp p = p(x) hàm số phải tìm Giải phƣơng trình ta nhận đƣợc nghiệm tổng quát hàm p = (x, C1) với C1 số tùy ý  (x, C1) = y’  y =  (x, C1 )dx + C2 Ví dụ 3: Giải phƣơng trình y’’ = x – y' x Đặt y’ = p(x)  y’’ = p’(x)  p’(x) = x – p 1  p’ + = x  p’ = x – p x x x x C1 x C1 x3 p= + hay y’ = + y= + C1 ln x + C2 x x 3 3.2.3 Loại 3: Vế phải không chứa x y’’ = f(y, y’) (3) Đặt y’ = p(y) hàm y  y’’ = dp dy dp dp =p p = f(y, p(y)) phƣơng trình vi phân cấp dy dx dy dy p = p(y) hàm phải tìm P = (y, C1) hay y’ = (y, C1)  dy dy dy = (y, C1)  = dx   = x + C2 dx (y, C1 ) (y, C1 ) Ví dụ 4: Giải phƣơng trình: 2yy’’ + y’2 = Đặt y = p(y)  p  0() dp dy dp dp  y’’ = =p 2.y.p + p2 =   dp 2y  p  0() dy dx dy dy  dy ()  2y dp dy dp ln y + ln C1 = – p hay =–  ln p = – p 2y dy  ln p = ln  C1 C C dy  p = hay = dx y y y y dy = C1 dx Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 94  ydy = C1  dx + C2  y3  = C1 x + C  y = C1 x + C 3  y = 1x + 2  y = (1x  2 ) 2 3.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II 3.3.1 Định nghĩa Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai phƣơng trình có dạng: y’’ + a1y’ + a2y = f(x) (1) a1, a2 số biến x  Nếu f(x) = (1) cịn đƣợc gọi phƣơng trình  Nếu f(x)  (1) cịn đƣợc gọi phƣơng trình khơng Và đặc biệt a1, a2 số (1) cịn đƣợc gọi phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số số Ví dụ 5: y’’ + x y’ + exy = 0: phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai 1 x y’’ + cos y’ + (sinx) y = ex tgx y’’ + 3y’ + 2y = exsinx 3.3.2 Phƣơng trình Xét phƣơng trình y’’ + a1y’ + a2y = (2) a1 = a1 (x); a2 = a2(x) Định lý 1: Nếu y1 = y1(x); y2 = y2(x) hai nghiệm (2) y = C1y1 + C2y2 C1, C2 số tùy ý nghiệm (2) Chứng minh: Vì y1, y2 hai nghiệm (2) nên ta có: y1 ' 'a1y1 'a2 y1  (*)  '' ' y  a y  a y   2 2 thay y = C1y1 + C2y2 vào (2): y’’ + a1y’ + a2y = (C1y1 + C2y2)’’ + a1(C1y1 + C2y2)’ + a2(C1y1 + C2y2) = C1y1’’ + C2y2’’ + a1C1y1’ + a1C2y2’ + a2C1y1 + a2C2y2 = C1(y1’’ + a1y1’ + a2y1) + C2(y2’’ + a1y2’ + a2 y2) theo (*) :  C1(y1’’ + a1y1’ + a2y1) + C2(y2’’ + a1y2’ + a2 y2) = Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 95 Vậy: y = C1y1 + C2y2 C1, C2 số nghiệm hai Nhận xét: Qua định lý 1, y1(x), y2(x) hai nghiệm phƣơng trình (2) phƣơng trình (2) có vơ số nghiệm số y = C1y1 + C2y2 nghiệm tổng quát (2) hay chƣa chƣa xác định đƣợc Nêu khái niệm độc lập tuyến tính hai hàm y1(x) y2(x) Hàm y1(x) y2(x) đƣợc gọi độc lập tuyến tính tỉ số chúng khác với số y1 ( x ) khác ngƣợc lại gọi phụ thuộc tuyến tính y (x ) Từ suy y1 y2 độc lập tuyến tính ta khơng thể biểu diễn hàm qua hàm đƣợc cịn trƣờng hợp độc lập tuyến tính ta biểu diễn hàm qua hàm đƣợc e2 x Ví dụ 6: e e hai hàm độc lập tuyến tính  x = e3 x  const e 2x -x ex 2e e hai hàm phƣơng trình tuyến tính = = const x 2e x x Định lý 2: Nếu y1(x) y2(x)là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính (2) hàm y= C1y1 + C2y2 C1, C2 số tùy ý nghiệm tổng quát phƣơng trình (2) Chứng minh: Trƣớc hết theo định lý hàm = C1y1 + C2y2 C1, C2 số nghiệm (2) Vì y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính y1 ( x )  K.const y (x ) Cho nên y = = C1y1 + C2y2 thật có hai số tùy ý phải nghiệm tổng quát Nhận xét: a.) Trong định lý hai phải ý đến điều kiện độc lập tuyến tính y1 y2 bỏ qua điều kiện định lý hai khơng cịn Thật vậy: giả sử y1, y2 phƣơng trình tuyến tính: y1 = k – const  y1 = k.y2 y2 y = C1y1 + C2y2 = C1.k.y2 + C2 y2 = (C1k + C2)y2 b.) Qua định lý hai muốn tìm nghiệm tổng quát (2) ta có hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính ta có nghiệm tổng quát Định lý ba sau cho ta biết cách tìm nghiệm tổng quát biết nghiệm riêng phƣơng trình Định lý 3: Nếu y1(x) nghiệm riêng phƣơng trình (2) ta tìm đƣợc riêng y2(x) phƣơng trình (2) độc lập tuyến tính với y1(x) cách đặt Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 96 y2(x)=y1(x).u(x;y) Chứng minh: Theo giả thiết y1 thỏa mãn phƣơng trình (2) tức là: y’’ + a1y1’ + a2y1 = Đặt y2 = y1.u ta cần xác định hàm u để y2 thỏa mãn tức y2’’ + a1y2’ + a2y = y2 = y1 u  y2’ = y’u + u’y1  y2’’ = y1’’u + u’y1’ + u’’y1 + y1’u’  y’’ = y1’’u + 2u’y1’ + u’’y1 thay vào (2) y1’’u + 2u’y1’ + u’’y1 + a1(y1’u + y1u’) + a2y1u =  u’’y1 + (2y1’ + a1y1)u’ = phƣơng trình vi phân cấp hai giảm cấp đƣợc u loại vế phải khơng có chứa biến u Giải phƣơng trình ta nhận đƣợc u = u(x)  y1 = u(x)  nghiệm tổng quát y = C1y1 + C2y2 y2 Ví dụ 7: Tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình y’’ + nghiệm riêng y1(x) = x 2x 2x – y = biết 1 x  x2 Giải Đặt y2 = y1 u(x) = x u(x)  y2’ = u + x.u’  y2’’ = u’ + u’ + xu’’ = 2u’ + xu’’ thay y2 vào phƣơng trình: 2u’ + xu’’ + 2x 2x (u + xu’) – x.u =  x2  x2 2x 2x 2x u'  2u’ + xu’’ + – + =0 2 1 x  x  x2 x2  u’’.x + 2u’(1+ )=0  x2  u’’.x + 2u’ =0  x2  u’’.x(1 – x2) + 2u’ = đặt u’ = p  u’’ = p’ Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2 97  p’x(1 – x2) + 2p =  dp x(1 – x2) = – 2p dx  dp 2dx = p x(x  1)  ln p =  dx + ln C1 x(x  1)  ln p =2[  dx xdx –  + ln C1 x (x  1)  ln p =  d(x  1) – ln x + ln C1 (x  1)  ln p = ln x  – lnx2 + ln C1 (x  1) p= C  p = C (1 – ) 1 x2 x2 Cho C1 =  u’ = – x2  u =  (1  u=x+ )dx + C2 x2 + C2 x Cho C2 =  u = x + 1  y2 = x(x + ) = x2 + x x  y = C1x + C2(x2 + 1) * Chú ý: Ta tìm nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với y1 3.3.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II khơng Xét phƣơng trình y’’ – a1y’ + a2y = f(x) (1) a1 = a1(x); a2 = a2(x) cịn f(x)  Phƣơng trình y’’– a1y’ + a2y = (2) gọi phƣơng trình tƣơng ứng (1)  Định lý 1: Nghiệm tổng quát phƣơng trình (1) nghiệm tổng quát phƣơng trình tƣơng ứng (2) cộng với nghiệm riêng Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 98 phƣơng trình (1)  Định lý 2: Xét phƣơng trình y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) + f2(x) (3) Nếu Y1 nghiệm riêng phƣơng trình y’’ – a1y’ + a2y = f1(x) (1) Nếu Y1 nghiệm riêng phƣơng trình y’’ – a1y’ + a2y = f2(x) (2) hàm Y = Y1 + Y2 nghiệm riêng phƣơng trình (3) * Phƣơng pháp biến thiên số Lagrange: Xét phƣơng trình y’’ + a1y’ + a2y = f(x) (1) a1 = a1(x); a2 = a2(x) cịn f(x)  Giả sử ta tìm đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình tƣơng ứng phƣơng trình (1) hàm y = C1y1 + C2y2 (2) (C1, C2 số tùy ý) Hãy tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình khơng (1) ta tìm đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình (1) dƣới dạng (2) C1 = C1(x); C2 = C2(x) Từ (2) ta có: y’ = C1’y1 + C1y1’ + C2y2’ + C2’y2 ta chọn C1, C2 cho C1’y1 + C2’y2 =  y’ = C1y1’ + C2y2’  y’’= C1y1’’ + C2y2’’+ C2’y2’+C1’y1’ Thay y, y’, y’’ vào phƣơng trình (1) ta đƣợc: C1’y1’ + C2’y2’ = f(x) Điều chứng tỏ hàm y = C1y1 + C2y2 nghiệm phƣơng trình C1 ' y1  C'2 y  (1) C1 C2 phải thỏa mãn hệ sau:  ' ' ' C1y1  C'2 y  f (x) (3) Ngƣời ta chứng minh y1 y2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính phƣơng trình tƣơng ứng phƣơng trình (1) với x y1 y y1' y'2  giải hệ (3) ta đƣợc C1’ ; C2’ 3.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số số 3.4.1 Định nghĩa Phƣơng trình vi phân cấp hai phƣơng trình có dạng y ''  ay '  by  f ( x) (1) a1, a2 số '' '  Khi f(x) = 0, ta có: y  ay  by  (2) đƣợc gọi phƣơng trình tuyến tính cấp hai  Khi f(x)  0: phƣơng trình (1) đƣợc gọi phƣơng trình tuyến tính cấp hai khơng Ví dụ 8: Các phƣơng trình sau phƣơng trình vi phân cấp hai y’’ + 4y’ + 4y = y’’ + 3y’ + 2y = exsinx Tài liệu giảng dạy môn Tốn cao cấp A2 99 3.4.2 Cách giải  Tìm nghiệm tổng quát phƣơng trình (2): y  ay  by  '' ' Xét phƣơng trình bậc 2: k2 + ak + b = (đƣợc gọi phƣơng trình đặc trƣng (1) (2)) + Nếu phƣơng trình đặc trƣng có hai nghiệm phân biệt k = k1, k = k2 nghiệm tổng quát (2) là: y  C1e k x  C2 e k x + Nếu phƣơng trình đặc trƣng có nghiệm kép k = k0 nghiệm tổng quát (2) là: y  (C1  C2 x)e k x + Nếu phƣơng trình đặc trƣng khơng có nghiệm thực nghiệm tổng qt (2) là: y  (C1 cos x  C2 sin x)e x a với    ;   4b  a Ví dụ 9: Giải phƣơng trình sau: '' ' 1/ y  y  y  2/ y  y  y  '' ' '' ' 3/ y  y  y  Giải 1/ Phƣơng trình đặc trƣng: k2 + 2k – =  k1 = 1, k2 = –  Nghiệm tổng quát phƣơng trình: y  C1e x  C2 e 3 x 2/ Phƣơng trình đặc trƣng: k2 – 4k + =  k =  Nghiệm tổng quát phƣơng trình: y  (C1  C2 x)e x 3/ Phƣơng trình đặc trƣng: k2 + k + = khơng có nghiệm thực,   ;   Nghiệm tổng quát phƣơng trình: y  (C1 cos  x 3 x  C sin x )e 2  Tìm nghiệm tổng quát phƣơng trình (1): y  ay  by  f ( x) '' ' x * Trường hợp 1: f ( x)  e P( x);   R , P(x) đa thức: + Nếu  nghiệm kép phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng (1) có x dạng: y  x e Q( x) + Nếu  nghiệm đơn phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng (1) có Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 100 x dạng: y  xe Q( x) + Nếu  khơng nghiệm phƣơng trình đặc trƣng nghiệm riêng (1) x có dạng: y  e Q( x) Trong Q(x) đa thức bậc với đa thức P(x) Ví dụ 10: Tìm nghiệm riêng phƣơng trình sau: 1/ y ''  y '  y  xe x 2/ y ''  y '  y  3  x e x 3/ y ''  y '  y  x  2e x Giải 1/ Ta có f ( x)  xe x Vì   nghiệm kép phƣơng trình đặc trƣng k2 – 4k + = nên nghiệm riêng phƣơng trình có dạng: y  x e ( Ax  B)  e ( Ax  Bx ) 2x  4 Ax 2x   y '  e x Ax  3 A  2B x  2Bx  y ''  e x   12 A  4Bx  (6 A  8B) x  2B Thay vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc: e x 6 Ax  2B   xe x  A   B  Cân hệ số hai đa thức ta đƣợc:  Vậy nghiệm riêng phƣơng trình là: y  x3 2x e 2/ Ta có f ( x)  (3  x)e x Vì   nghiệm đơn phƣơng trình đặc trƣng k2 – 3k + = nên nghiệm riêng phƣơng trình có dạng: y  xe ( Ax  B)  e ( Ax  Bx ) x   e Ax x   y '  e x Ax  2 A  B x  B  y '' x   4 A  B x  A  2B Thay vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc: e x  Ax  A  B  (3  x)e x A  B  Cân hệ số hai đa thức ta đƣợc:  Vậy nghiệm riêng phƣơng trình là: y  2 x  x e x Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 101 3/ Ta có f ( x)  ( x  2)e x Vì   khơng nghiệm phƣơng trình đặc trƣng k2 + 4k + = nên nghiệm riêng phƣơng trình có dạng: y  e ( Ax  B) 2x  y '  e x 2 Ax  A  2B   y ''  e x 4 Ax  A  4B  Thay vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc: e x 17 Ax  A  17 B  ( x  2)e x   A  17 Cân hệ số hai đa thức ta đƣợc:   B  26  289 26  x  x  e  17 289  Vậy nghiệm riêng phƣơng trình là: y   x * Trường hợp 2: f ( x)  e M ( x) cos x  N ( x) sin x;  ,   R M(x), N(x) đa thức:    + Nếu  nghiệm riêng (1) có dạng:    y  xe  x M1 ( x) cos x  N1 ( x) sin x    + Nếu  nghiệm riêng (1) có dạng:    y  e x M ( x) cos x  N1 ( x) sin x Trong M1(x), N1(x) hai đa thức bậc với hai đa thức M(x), N(x) Ví dụ 11: Tìm nghiệm riêng phƣơng trình sau: '' 1/ y  y  cos x '' ' 2x 2/ y  y  3e cos x Giải 1/ Ta có f ( x)  cos x a      Vì  nên nghiệm riêng phƣơng trình có dạng:    4b  a  y  x( A cos x  B sin x) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 102  y '  ( A cos x  B sin x)  x(2 A cos x  2B sin x)  y ''  (4 Asin x  4B cos x)  x(4 A cos x  2B sin x) Thay vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc:  Asin x  4B cos x  cos x A   Cân hệ số hai đa thức ta đƣợc:   B  Vậy nghiệm riêng phƣơng trình là: y  x sin x 2x 2/ Ta có f ( x)  3e cos x Vì     a nên nghiệm riêng phƣơng trình có dạng: y  e x ( A cos x  B sin x)  y '  e x (2 A  B) cos x  ( A  2B) sin x)  y ''  e x (3 A  4B) cos x  (4 A  3B) sin x Thay vào phƣơng trình ta đƣợc: ( A  3B) cos x  (3 A  B) sin x  3cos x   A  10  A  3B  Cân hệ số hai đa thức ta đƣợc:    A  B   B   10 3  cos x  sin x  10  10  Vậy nghiệm riêng phƣơng trình là: y  e  2x Định lý: Nếu y* nghiệm tổng quát phƣơng trình (2) y nghiệm riêng phƣơng trình (1) nghiệm tổng quát phƣơng trình (1) là: y  y*  y Định lý: Nếu phƣơng trình y ''  ay '  by  f1 ( x) có nghiệm riêng y1(x) phƣơng trình y ''  ay '  by  f ( x) có nghiệm riêng y2(x) phƣơng trình y ''  ay '  by  f1 ( x)  f ( x) có nghiệm riêng y(x) = y1(x) + y2(x) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 103  Bài tập cố: 1) Giải phƣơng trình: 2y’’ – (y’)2 + = 0; y’’ = x 2) Tìm nghiệm riêng phƣơng trình y ' ' y' x y' = x(x – 1) biết y(2) = 1; y’(2) = – x 1 3) Giải phƣơng trình: y’’ = y’ + (y’)3;2yy’’ + y’2 = 4) Giải phƣơng trình vi phân cấp tuyến tính có hệ số a) y’’ – 5y’ + 6y = b) y’’ + y’ – 2y = c) y’’ + 2y’ + y = d) y’’ – 4y’ + 4y = e) y’’ + 4y = f) y’’ + 2y’ + 5y = 5) Dạng đặc biệt phƣơng trình vi phân cấp tuyến tính có hệ số a) y’’ – 2y’ + y = x + e) y’’ – 2y’ – 3y = e-x b) y’’ – 8y’ + 16y = e4x f) y’’ + y’ – 2y = cosx – 3sinx c) y’’ + y = 4x.sinx g) y’’ – 4y’ + 3y = 10e-2x d) y’’ – 7y’ + 6y = (1 – x)ex h) y’’ – y = e3x cosx Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A2 104 * So Đổi Điểm Matrận Giải sánh dòng cột đến: 1- Xét matrận Định tập: thức: vấn với dòng cột 22 đềĐịnh + + Tích vềthức hai định matrận; nghĩa; +Matrận + Hạngphép Các matrận; toán; Định thức TÀI LIỆU THAM KHẢO + Các + Matrận tính nghịch đảo; chất + Phƣơng  TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MƠN HỌC trình A.X = [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Tốn cao cấp Tập III Nhà xuất giáo B dục,1999 [2] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục, 1997 [3] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi phân tập 2, NXB Giáo dục, 1997 [4] Nguyễn Viết Đông-Lê Thị Thiên Hƣơng-Nguyễn Anh Tuấn-Lê Anh Vũ, Bài tập toán cao cấp, tập - NXB Giáo Dục [5] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997  TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Tốn cao cấp Tập Nhà xuất giáo dục,1999 [2] Nguyễn Thị Thanh Thủy - Hƣớng dẫn giải tập giải tích – Tập 2, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Hữu Khánh - Toán cao cấp 2, Đại học Cần Thơ, 2002 [4] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi phân tập 2, NXB Giáo dục, 1997 [5] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục, 1997 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2 105 ... Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2 17 Hàm biến: hàm liên tục x0 hàm có đạo hàm cấp x0 Hàm nhiều biến: Tồn hàm có đạo hàm riêng cấp (x 0,y0) nhƣng không liên tục điểm 2.1.2 Đạo hàm riêng cấp. .. z2 ) u y ;  y (x  y2  z2 ) Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A2 u z  z (x  y2  z2 ) 20  du   xdx  ydy  zdz ( x2  y  z ) 2.2.3 Vi phân cấp cao Xét Z = f(x;y), giả sử tồn dZ... PHÂN CẤP I, II VÀ ỨNG DỤNG 78 BÀI 1: TỔNG QUÁT VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 78 1.1 Các toán thực tế 78 1.1.1 Bài toán 1: 78 1.1.2 Bài toán 79 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp