Xây dựng chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ thông mới

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh khoa học và công nghệ phát triển nhanh chóng, việc phát triển năng lực và phẩm chất người học đã trở thành định hướng quan trọng mà nhiều quốc gia tiên tiến thực hiện từ đầu thế kỷ XXI Các quốc gia chú trọng hình thành năng lực học tập suốt đời gắn liền với cuộc sống hàng ngày Đảng và Nhà nước đã nhận định rõ ràng về tình hình và đưa ra định hướng đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI đã nhấn mạnh việc cần tiếp tục đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, khuyến khích tính tích cực, chủ động và sáng tạo của người học, đồng thời khắc phục lối truyền thụ một chiều Giáo dục phổ thông tại Việt Nam đang chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, tức là từ việc quan tâm đến nội dung kiến thức sang việc chú trọng khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

Toán học ngày nay có nhiều ứng dụng thiết thực trong cuộc sống, giúp con người giải quyết vấn đề một cách hệ thống và chính xác Môn Toán ở trường THPT không chỉ hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách học sinh mà còn trang bị kiến thức và kỹ năng then chốt Điều này tạo cơ hội cho học sinh trải nghiệm và áp dụng toán học vào thực tiễn, đồng thời xây dựng sự kết nối giữa Toán học với các môn học khác.

Trong chương trình Giải tích 11 và 12, cũng như các kỳ thi quốc gia, đạo hàm và ứng dụng của nó chiếm tỷ lệ lớn Việc hệ thống hóa các dạng bài tập liên quan đến ứng dụng đạo hàm giúp giáo viên và học sinh có cái nhìn tổng quát hơn Điều này không chỉ mang lại cách tiếp cận mới mà còn nâng cao phương pháp học và dạy, hướng tới phát triển năng lực cho học sinh.

Khóa luận tốt nghiệp Trang 6

Tôi đã quyết định nghiên cứu luận văn “Xây dựng chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế” nhằm phát triển năng lực học sinh trong chương trình phổ thông mới, với những lý do thuyết phục.

Nghiên cứu ứng dụng kiến thức đạo hàm trong giải quyết các bài toán thực tế giúp học sinh nhận thức rõ tầm quan trọng của đạo hàm không chỉ trong môn Toán mà còn trong các lĩnh vực khác và đời sống hàng ngày Qua đó, học sinh sẽ phát triển kỹ năng và năng lực ứng dụng đạo hàm vào thực tiễn.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục tiêu trên, tôi thấy luận văn này cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Khái niệm năng lực, năng lực chung, năng lục chuyên biệt

- Xác định các năng lực chung, năng lực chuyên biệt của môn Toán

- Phân loại một số ứng dụng của đạo hàm trong thực tế và một số ví dụ áp dụng

Nghiên cứu tài liệu lý luận liên quan đến chương trình phổ thông mới, triết học, giáo dục học, tâm lý học và lý luận dạy học bộ môn toán là rất quan trọng cho đề tài luận văn Việc này giúp tạo nền tảng vững chắc và cung cấp cái nhìn sâu sắc về các phương pháp giảng dạy và tiếp cận học sinh, từ đó nâng cao hiệu quả trong quá trình dạy học toán.

Nghiên cứu về sách giáo khoa, sách tham khảo và tạp chí toán học trong nước liên quan đến nội dung đạo hàm và ứng dụng của nó là rất quan trọng Việc áp dụng đạo hàm không chỉ giúp học sinh trung học phổ thông nâng cao năng lực giải toán mà còn phát triển tư duy phản biện và khả năng phân tích Tài liệu tham khảo phong phú sẽ hỗ trợ giáo viên trong việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh, từ đó cải thiện kết quả học tập môn Toán.

Luận văn gồm phần “Mở đầu”, “Kết luận” và hai chương

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Xây dựng một số chuyên đề về ứng dụng đạo hàm vào thực tế

Khóa luận tốt nghiệp Trang 7 theo định hướng phát triển NL của HS theo chương trình phổ mới

Cơ sở lý luận

Năng lực và phát triển năng lực của HS theo chương trình phổ thông mới

Các khái niệm khoa học thường mang nhiều định nghĩa khác nhau tùy thuộc vào cách tiếp cận và các phạm trù liên quan Trong bài viết này, tôi sẽ tiếp cận năng lượng (NL) từ góc độ NL hành động, nhấn mạnh vào cấu trúc và khả năng mô tả của nó.

Năng lực là khả năng thực hiện thành công các hoạt động trong bối cảnh cụ thể, dựa trên việc huy động tổng hợp kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân như hứng thú, niềm tin và ý chí Năng lực của cá nhân được đánh giá thông qua phương thức và kết quả hoạt động khi giải quyết vấn đề trong cuộc sống.

Năng lực chung là những năng lực cơ bản và thiết yếu mà mọi người cần để sống, học tập và làm việc hiệu quả Các hoạt động giáo dục, bao gồm cả các môn học và trải nghiệm sáng tạo, mặc dù có sự khác biệt về khả năng, nhưng đều nhằm mục tiêu hình thành và phát triển năng lực chung cho học sinh.

Năng lực đặc thù của một môn học là khả năng mà môn học đó có thể hình thành và phát triển, dựa trên những đặc điểm riêng biệt của nó Một năng lực có thể là đặc thù cho nhiều môn học khác nhau, thể hiện sự đa dạng trong việc phát triển năng lực học tập.

Dựa trên nghiên cứu và kinh nghiệm từ các quốc gia phát triển, cùng với việc đối chiếu với yêu cầu và điều kiện giáo dục trong nước trong những năm tới, chúng ta cần xác định rõ định hướng chuẩn đầu ra cho hệ thống giáo dục.

NL chung được các nhà khoa học Việt Nam đề xuất như sau:

Xác định mục tiêu học tập:

Xác định nhiệm vụ học tập cần dựa vào kết quả học tập trước đó và hướng tới mục tiêu phấn đấu tiếp theo Các mục tiêu học tập nên được đặt ra một cách chi tiết và cụ thể, đặc biệt chú trọng vào việc cải thiện những khía cạnh còn yếu kém.

Lập kế hoạch và thực hiện cách học:

Đánh giá và điều chỉnh kế hoạch học tập giúp hình thành phong cách học riêng, tìm kiếm tài liệu phù hợp với mục tiêu học tập Việc thành thạo sử dụng thư viện và lựa chọn tài liệu thích hợp cho từng chủ đề học tập là rất quan trọng Ghi chép thông tin một cách hiệu quả và thuận tiện sẽ hỗ trợ quá trình ghi nhớ và sử dụng sau này Cuối cùng, khả năng tự đặt ra vấn đề học tập cũng là một yếu tố quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả học tập.

Trong quá trình học tập, việc tự nhận diện và điều chỉnh những sai sót, hạn chế của bản thân là rất quan trọng Suy ngẫm về phương pháp học và đúc kết kinh nghiệm sẽ giúp bạn chia sẻ và áp dụng vào các tình huống khác Dựa trên các thông tin phản hồi, bạn cần lập kế hoạch điều chỉnh cách học nhằm nâng cao chất lượng học tập.

Năng lực giải quyết vấn đề:

Phát hiện và làm rõ vấn đề:

Trong quá trình học tập và cuộc sống, việc phân tích các tình huống là rất quan trọng để nhận diện những vấn đề cần giải quyết Chúng ta cần phát hiện và nêu rõ những tình huống có vấn đề trong học tập và cuộc sống, từ đó đề xuất và lựa chọn những giải pháp hiệu quả.

Thu thập và làm rõ thông tin liên quan đến vấn đề là bước đầu tiên quan trọng Tiếp theo, cần đề xuất và phân tích các giải pháp khả thi để giải quyết vấn đề Cuối cùng, việc lựa chọn giải pháp phù hợp nhất sẽ giúp đạt được hiệu quả cao trong việc xử lý tình huống.

Thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề:

Để giải quyết vấn đề hiệu quả, cần thực hiện và đánh giá các giải pháp đã áp dụng Đồng thời, việc suy ngẫm về phương pháp và quy trình giải quyết sẽ giúp điều chỉnh và ứng dụng những kinh nghiệm này trong các bối cảnh mới.

Đặt câu hỏi có giá trị giúp làm rõ các tình huống và ý tưởng trừu tượng, đồng thời xác định thông tin và ý tưởng mới từ nhiều nguồn khác nhau Việc phân tích các nguồn thông tin độc lập cho phép nhận diện khuynh hướng và đánh giá độ tin cậy của những ý tưởng mới.

Xem xét sự vật từ nhiều góc nhìn khác nhau giúp hình thành và kết nối các ý tưởng sáng tạo Việc nghiên cứu để điều chỉnh giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh là rất quan trọng, đồng thời cần đánh giá rủi ro và chuẩn bị các phương án dự phòng để ứng phó hiệu quả.

Quá trình suy nghĩ giúp nhận diện yếu tố sáng tạo trong các quan điểm trái chiều, đồng thời phát hiện những hạn chế trong chính quan điểm của bản thân Việc áp dụng những kiến thức đã có vào hoàn cảnh mới không chỉ mở rộng tầm nhìn mà còn thúc đẩy khả năng tư duy phản biện.

Sự say mê trong học tập và cuộc sống giúp chúng ta nảy ra nhiều ý tưởng mới mẻ Việc không sợ sai và suy nghĩ sáng tạo, không theo lối mòn, sẽ tạo ra những yếu tố độc đáo Bằng cách kết hợp các ý tưởng khác nhau, chúng ta có thể phát triển những giải pháp mới và thú vị.

Năng lực tự quản lí:

Xác định các năng lực chung, cốt lõi, chuyên biệt của môn Toán

1.2.1 Các năng lực chung cốt lõi mà môn Toán hình thành và phát triển

Toán học là một phần thiết yếu trong cuộc sống hàng ngày và có vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực xã hội Việc hiểu biết về toán không chỉ giúp con người tính toán và ước lượng, mà còn phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề Trong trường phổ thông, học toán cơ bản chủ yếu là hoạt động giải toán, yêu cầu kiên nhẫn và phương pháp làm việc khoa học Kiến thức toán học còn hỗ trợ cho việc học các môn khác như Vật lý, Hóa học và Sinh học, do đó, môn Toán được coi là môn học công cụ quan trọng trong giáo dục phổ thông.

Môn Toán ở trường phổ thông cung cấp nhiều cơ hội cho học sinh phát triển các năng lực quan trọng như năng lực tính toán, tư duy, giải quyết vấn đề, tự học, giao tiếp, hợp tác, làm chủ bản thân và sử dụng công nghệ thông tin.

1.2.2 Các năng lực chuyên biệt của Toán học

Năng lực tư duy và lập luận toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Thực hiện thành thạo các kỹ năng tư duy, đặc biệt là khả năng quan sát và nhận diện sự tương đồng cũng như khác biệt trong các tình huống phức tạp, đồng thời khẳng định kết quả từ những quan sát đó.

• Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề

• Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

Năng lực mô hình hoá toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Sử dụng các mô hình toán học như công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu và đồ thị giúp mô tả các tình huống trong bài toán thực tế Qua đó, chúng ta có thể đưa ra các phương pháp giải quyết vấn đề toán học dựa trên mô hình đã được thiết lập.

Biết đánh giá tính hợp lý và thực tiễn của các kết luận từ tính toán là rất quan trọng Cần có khả năng đơn giản hóa các yêu cầu thực tế như xấp xỉ, bổ sung giả thiết, và tổng quát hóa để thiết lập các bài toán có thể giải quyết Đồng thời, việc điều chỉnh các bài toán để phù hợp hơn với thực tế cũng là một yếu tố cần thiết.

Năng lực giải quyết vấn đề toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Nhận diện tình huống có vấn đề là bước đầu tiên quan trọng; sau đó, cần xác định và thu thập thông tin, sắp xếp và giải thích chúng một cách hợp lý Cuối cùng, đánh giá độ tin cậy của thông tin và chia sẻ sự hiểu biết về vấn đề với người khác là những bước cần thiết để đảm bảo thông tin được truyền đạt một cách chính xác và hiệu quả.

• Đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề

• Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

• Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hoá cho vấn đề tương tự

Năng lực giao tiếp toán học thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép thông tin toán học là kỹ năng quan trọng, giúp người học tiếp cận và xử lý các dữ liệu toán học được trình bày dưới dạng văn bản hoặc qua lời nói Kỹ năng này không chỉ cần thiết trong việc tiếp thu kiến thức mà còn hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán và áp dụng lý thuyết vào thực tiễn.

Trình bày và diễn đạt các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học một cách rõ ràng và chính xác là rất quan trọng trong quá trình tương tác với người khác Điều này không chỉ giúp người nghe hoặc người đọc dễ dàng tiếp nhận thông tin mà còn đảm bảo rằng các giải pháp được truyền đạt đầy đủ và hiệu quả.

Sử dụng ngôn ngữ toán học một cách hiệu quả, bao gồm chữ số, chữ cái, ký hiệu, biểu đồ và đồ thị, kết hợp với ngôn ngữ thông thường và động tác hình thể, là rất quan trọng trong việc trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học Điều này cần thiết trong các hoạt động tương tác như thảo luận và tranh luận với người khác.

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:

Để học toán hiệu quả, việc nắm rõ tác dụng và quy cách sử dụng các công cụ như bảng tổng kết hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, cùng với các mô hình hình khối và bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay là rất quan trọng Ngoài ra, cần lưu ý cách thức bảo quản các dụng cụ này để đảm bảo độ bền và hiệu quả trong quá trình học tập.

• Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên trên mạng Internet để giải quyết vấn đề toán học

• Biết đánh giá cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

• Biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.

Nội dung đạo hàm ở chương trình toán THPT

1.3.1 Vị trí chương đạo hàm và yêu cầu cần đạt trong dự thảo chương trình môn Toán cải cách

Chương “ ĐẠO HÀM” xuất hiện trong chương trình phần “ĐẠI SỐ VÀ MỘT

SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH” lớp 11 [2, tr.95,96], chia thành ba bài, cụ thể như sau:

Nội dung Yêu cầu cần đạt Đạo hàm Khái niệm đạo hàm Ý nghĩa + Nhận biết được các bài toán dẫn đến

Khóa luận tốt nghiệp Trang 18 hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm khái niệm đạo hàm như: vận tốc tức thời, cường độ tức thời

+ Biết được định nghĩa đạo hàm Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa

+ Nhận biết được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm là nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp xác định tốc độ thay đổi của hàm số Người học cần nắm vững cách tính đạo hàm cho các hàm số sơ cấp cơ bản như hàm đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm lôgarit, và hàm căn thức đơn giản Việc hiểu và áp dụng các quy tắc này sẽ hỗ trợ hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.

Hiểu rõ quy tắc tính đạo hàm và áp dụng các công thức tính đạo hàm cho tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số cũng như đạo hàm của hàm hợp là rất quan trọng Đạo hàm không chỉ giúp giải quyết các bài toán trong thực tiễn như xác định vận tốc tức thời và cường độ tức thời, mà còn mở rộng sang khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số, giúp người học nắm vững kiến thức toán học cần thiết.

+ Hiểu được ý nghĩa vật lí của đạo hàm cấp hai

+ Tính được đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản

+ Sử dụng được đạo hàm cấp hai để giải quyết được một số bài toán trong thực tiễn như: Xác định gia tốc tức thời

Khóa luận tốt nghiệp Trang 19 của một chuyển động

Chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” nằm trong phần “MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH” của chương trình lớp 12 Chương này được chia thành bốn bài học, giúp học sinh hiểu rõ cách sử dụng đạo hàm trong việc phân tích và biểu diễn đồ thị hàm số.

Nội dung Yêu cầu cần đạt Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm

+ Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó

+ Thể hiện được tính đơn điệu của hàm số trong bảng biến thiên

Nhận biết điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số có thể thực hiện qua bảng biến thiên hoặc hình ảnh đồ thị hàm số Việc này giúp xác định các điểm quan trọng trong hàm số, từ đó phân tích và hiểu rõ hơn về hành vi của nó.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

+ Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước

+ Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

+ Nhận biết được hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

+ Mô tả được sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều

Khóa luận tốt nghiệp Trang 20 biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị)

+ Khảo sát được tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

= + (a0,m0 và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

+ Nhận biết được tính đối xứng của đồ thị hàm số trên Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

+ Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Trong chương trình Toán lần này, một điểm mới đáng chú ý dành cho cấp trung học phổ thông là hệ thống chuyên đề học tập chuyên sâu, giúp học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng thực hành Nội dung chuyên đề lớp 12, theo [2, tr.113], bao gồm "Ứng dụng đạo hàm", nhằm giải quyết các vấn đề thực tiễn gắn liền với địa phương.

Chuyên đề Chủ đề Yêu cầu cần đạt Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu

Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn, đặc biệt trong kinh tế

– Vận dụng được các kiến thức về đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu xuất hiện trong thực tiễn như bài

Khóa luận tốt nghiệp trang 21 đề cập đến toán tối ưu liên quan đến khoảng cách và thời gian Bài viết nhấn mạnh việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu trong kinh tế, bao gồm tối ưu hóa chi phí sản xuất và tối ưu hóa lợi nhuận.

Chương trình phổ thông môn toán mới về "Đạo hàm" có sự khác biệt so với chương trình cũ, tập trung vào vai trò và ý nghĩa của đạo hàm không chỉ trong Toán học mà còn trong các lĩnh vực thực tiễn và các môn học khác Điều này giúp phát triển kỹ năng và năng lực toán học của học sinh, đồng thời khơi dậy niềm yêu thích đối với môn học này.

1.3.2 Nội dung cơ bản của chương đạo hàm trong chương trình Định nghĩa: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên khoảng (𝑎, 𝑏) và 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

− thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥 0 , kí hiệu là 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ( hoặc 𝑦′(𝑥 0 ))

Hiệu số ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥 0 chỉ lượng thay đổi giá trị của biến độc lập được gọi là số gia của đối số tại 𝑥 0

Hiệu số ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑓(𝑥 0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) chỉ lượng thay đổi giá trị tương ứng của y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số

Các quy tắc tính đạo hàm và bảng công thức tính đạo hàm và bảng công thức đạo hàm thường gặp:

Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) là các hàm số có đạo hàm tại điểm 𝑥 thuộc khoảng xác định Ta có:

• (ku) '=ku'với k là hằng số

Bảng công thức các đạo hàm thường gặp Đạo hàm của 𝑓(𝑥) với là 𝑥 là biến số Đạo hàm của 𝑓(𝑢) với 𝑢 là hàm số

' 0 k = với 𝑘 là hằng số (kx) '=k(với k là hằng số) (ku) '=ku'(với k là hằng số)

Vi phân Định nghĩa: Ta gọi tích f x '( )  x là vi phân của hàm số y= f x( )tại xứng với số gia x, kí hiệu là df x ( )hoặc dy , tức là:

( ) '( ) dy=df x = f x x Ứng dụng vi phân vào phéo tính gần đúng

Khái niệm: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n−1 (n2,n ℕ) là f ( n − 1) Nếu

( n 1) f − là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là f ( ) n Nói cách khác:

1.3.3 Phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực của HS

Theo tiếp cận phát triển năng lực của người học, phương pháp dạy học cần chú trọng không chỉ vào việc khuyến khích hoạt động học tập mà còn vào việc rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề thông qua các tình huống thực tiễn và hoạt động thực hành Việc tăng cường hoạt động nhóm và đổi mới mối quan hệ giữa giáo viên và học sinh theo hướng cộng tác sẽ góp phần phát triển năng lực cá nhân và xã hội Để chương trình giáo dục phổ thông mới có thể triển khai hiệu quả, cần có sự tham gia nghiên cứu về phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực học sinh, tập trung vào các yếu tố thiết yếu.

- Giáo viên tổ chức hoạt động, nhằm thúc đẩy việc học tích cực, chủ động của

- Tạo một môi trường hỗ trợ học tập

- Khuyến khích HS phản ánh tư tưởng và hành động, khuyên khích giao tiếp

- Tăng cường trách nhiệm học tập

- Tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, chia sẻ, trao đổi, tranh luận

- Kết nối để học tập

- Cung cấp đầy đủ cơ hội để HS tìm tòi, khám phá

- Giảng dạy như quá trình tìm tòi

1.3.4 Kiểm tra, đánh giá theo năng lực của HS:

Đánh giá là quá trình thu thập thông tin về chất lượng và hiệu quả giáo dục, đồng thời xác định nguyên nhân và khả năng của học sinh Quá trình này gắn liền với các mục tiêu và chuẩn giáo dục, tạo cơ sở để đưa ra những quyết định thích hợp nhằm cải thiện thực trạng và nâng cao chất lượng giáo dục.

Đánh giá trong giáo dục được hiểu là quá trình thu thập và phân tích thông tin một cách có hệ thống về chất lượng và hiệu quả giáo dục, dựa trên mục tiêu dạy học Quá trình này nhằm cung cấp cơ sở cho các quyết định và hành động giáo dục tiếp theo.

• Mục tiêu kiểm tra đánh giá theo hướng phát triển NL:

Kiểm tra đánh giá là một phần thiết yếu trong quá trình dạy học, nhằm thúc đẩy sự tiến bộ của học sinh Quá trình này cần cung cấp thông tin phản hồi rõ ràng, giúp học sinh nhận biết mức độ tiến bộ và những kỹ năng còn yếu để điều chỉnh Để đảm bảo sự tiến bộ, đánh giá cần diễn ra trong một môi trường không gây sợ hãi và tổn thương, khuyến khích học sinh nỗ lực hơn Đánh giá vì sự tiến bộ diễn ra liên tục trong suốt quá trình học tập, hỗ trợ học sinh nhận diện sự thay đổi và đạt được mục tiêu học tập cá nhân.

Công khai hóa nhận định về năng lực và kết quả học tập của học sinh không chỉ tạo cơ hội cho các em phát triển kỹ năng tự đánh giá mà còn giúp các em nhận ra sự tiến bộ của bản thân, từ đó động viên tinh thần học tập Đồng thời, việc này cũng hỗ trợ giáo viên trong việc nhận diện điểm mạnh và điểm yếu của học sinh, giúp họ tự hoàn thiện phương pháp dạy học và không ngừng phấn đấu nâng cao chất lượng giảng dạy.

Để xác định mục tiêu kiểm tra và đánh giá, cần dựa vào mục tiêu môn học, mục đích học tập, cũng như mối quan hệ giữa các mục tiêu này và hoạt động học tập của học sinh.

Tuyển chọn, phân loại đúng NL, trình độ

Xác định kết quả tiếp thu, vận dụng kiến thức – kĩ năng và thái độ cần có dựa theo mục tiêu đề ra

Thúc đẩy HS cố gắng khắc phục thiếu sót và phát huy NL Đối với GV:

Tạo điều kiện người dạy nắm vững tình hình học tập và rèn luyện của HS

Cung cấp thông tin phản hồi giúp họ giảng dạy và giáo dục tốt hơn

Tạo điều kiện cải tiến, điều chỉnh nội dung chương trình, PPGD nâng cao chất lượng và hiệu quả

Xây dựng một số chuyên đề về ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo định hướng phát triển NL HS của chương trình phổ thông mới

Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong kinh tế, trong đó ba ứng dụng chính bao gồm: phân tích chi phí và lợi ích, tối ưu hóa lợi nhuận và dự đoán xu hướng thị trường Những ứng dụng này giúp doanh nghiệp ra quyết định hiệu quả hơn và cải thiện hiệu suất kinh doanh.

- Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Trước khi đi vào nội dung chính cũng phần này, trước hết hãy cùng đến với các mô hình hàm số thường gặp trong kinh tế:

- Hàm cung và hàm cầu:

𝑄 𝑑 = 𝐷(𝑝) Trong đó: p là giá hàng hóa, 𝑄 𝑠 là lượng cung, 𝑄 𝑑 là lượng cầu

- Hàm sản xuất ngắn ngắn hạn:

𝑄 = 𝑓(𝐿) Trong đó: L là lượng lao động được sử dụng, Q là mức sản lượng tương ứng

- Hàm doanh thu, hàm chi phí, hàm lợi nhuận:

Trong đó 𝑇𝑅 𝑙à tổng doanh thu, 𝑇𝐶 là tổng chi phí sản xuất, 𝜋 là tổng lợi nhuận,

1 Khái niệm giá trị cận biên và các hàm cận biên trong kinh tế

Xét mô hình hàm số

Trong kinh tế học, hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) mô tả mối quan hệ giữa biến độc lập 𝑥 và biến phụ thuộc 𝑦, trong đó 𝑥 được coi là đầu vào và 𝑦 là đầu ra Các nhà kinh tế thường nghiên cứu sự thay đổi của biến phụ thuộc 𝑦 tại một điểm 𝑥₀ khi biến độc lập 𝑥 thay đổi một lượng nhỏ.

Theo định nghĩa của đạo hàm:

Khi ∆𝑥 có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có

Với ∆𝑥 = 1 ta có ∆𝑦 ≈ 𝑓′(𝑥 0 ) Như vậy đạo hàm 𝑓′(𝑥 0 ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến phụ thuộc 𝑦 khi biến độc lập 𝑥 tăng thêm một đơn vị

Trong mô hình 𝑦 = 𝑓(𝑥) thể hiện ảnh hưởng của biến số kinh tế 𝑥 đến biến số kinh tế 𝑦, giá trị cận biên 𝑓′(𝑥 0 ) tại điểm 𝑥 0 được các nhà kinh tế gọi là giá trị cận biên của 𝑥 Mỗi hàm kinh tế sẽ có những tên gọi cụ thể cho giá trị cận biên của nó.

Trong mô hình hàm sản xuất 𝑄 = 𝑓(𝐿), sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm 𝐿 0 được ký hiệu là 𝑀𝑃𝑃𝐿 và được tính bằng đạo hàm 𝑓′(𝐿 0).

𝑀𝑃𝑃 𝐿 = 𝑓′(𝐿) Tại mỗi điểm L, 𝑀𝑃𝑃 𝐿 cho biết xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động

- Đối với mô hình hàm doanh thu 𝑇𝑅 = 𝑇𝑅(𝑄) thì 𝑇𝑅′(𝑄 0 ) được gọi là doanh thu cận biên tạo điểm 𝑄 0 Doanh thu cận biên được ký hiệu là 𝑀𝑅:

Tại mỗi mức sản lượng Q, MR phản ánh doanh thu tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm Đối với thị trường cạnh tranh, MR được xác định rõ ràng.

𝑇𝑅 = 𝑝𝑄 ⇒ 𝑀𝑅 = 𝑝 (𝑝 là giá sản phẩm trên thị trường)

- Đối với mô hình hàm chi phí 𝑇𝐶 = 𝑇𝐶(𝑄) thì 𝑇𝐶 ′ (𝑄 0 ) được gọi là chi phí cận biên tạo điểm 𝑄 0 Chi phí cận biên được kí hiệu là MC:

Tại mỗi sản lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm

- Đối với hàm tiêu dùng 𝐶 = 𝐶(𝑌) thì 𝐶′(𝑌) được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên và được ký hiệu là 𝑀𝑃𝐶:

- Tại mỗi mức thu nhập 𝑌, 𝑀𝑃𝐶 là số đo xấp xỉ lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm 1$ thu nhập

- Đối với hàm tiết kiệm 𝑆 = 𝑆(𝑌) thì 𝑆′(𝑌) được gọi là xu hướng tiết kiệm cận biên và được ký hiệu là 𝑀𝑃𝑆:

Tại mỗi mức thu nhập 𝑌, 𝑀𝑃𝑆 là số đo xấp xỉ lượng tiết kiệm gia tăng khi người ta có thêm 1$ thu nhập

Ví dụ 1: (Sản phẩm hiện vật cận biên )

Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:

𝑄 = 5√𝐿 Ở mức sử dụng 𝐿 = 100 đơn vị lao động ( 100 công nhân), tính sản phẩm cận biên của lao động tại điểm 𝐿 = 100 và giải thích ý nghĩa

Sản phẩm cận biên của lao động tại điểm 𝐿 = 100

2√𝐿 = 0,25 Điều này có nghĩa là: Khi tăng mức sử dụng lao động từ 100 lên 101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm

Nhận xét rằng hàm số 𝑀𝑃𝑃 𝐿 là một hàm số giảm cho thấy, khi đạt đến một số lượng công nhân nhất định, việc tuyển thêm công nhân sẽ không mang lại hiệu quả cao, mà chỉ làm tăng chi phí.

Ví dụ 2: ( Doanh thu cận biên)

Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường với hàm cầu:

𝑄 = 1500 − 5𝑝 Hãy tính doanh thu cận biên tại mức sản lượng Qe0 và giải thích ý nghĩa

Că cứ theo hàm cầu, để tiêu thụ được Q sản phẩm, công ty phải bán giá:

5𝑄 2 Doanh thu cận biên của công ty là:

5𝑄 Tại mức sản lượng 𝑄 = 650, ta có:

5 650 = 40 Điều này có nghĩa là , tại mức sản lượng là 650, nếu tăng sản xuất thêm 1 sản phẩm thì tổng doanh thu của công ty sẽ tăng thêm 40$

1 Khái niệm hệ số co dãn

Một vấn đề quan trọng trong kinh tế là cách mà cung và cầu phản ứng với biến động giá cả trên thị trường Dưới giả thiết rằng các yếu tố khác không thay đổi, mối quan hệ giữa lượng cầu Q d và giá p được mô tả qua hàm cầu.

Trong mô hình hàm cầu, biến số p được đo bằng tiền tệ và biến số Q được đo bằng hiện vật Mức thay đổi lượng cầu (ΔQd) khi giá thay đổi một đơn vị phụ thuộc vào đơn vị đo Sự thay đổi giá thêm $1 có ý nghĩa khác nhau đối với các hàng hóa khác nhau; ví dụ, giá xe ô tô tăng $1 có thể không đáng kể, trong khi giá 1kg cà phê tăng $1 lại là một biến động lớn Để đánh giá độ nhạy cảm của cầu hàng hóa đối với biến động giá cả, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hệ số co dãn.

Hệ số co dãn của cầu theo giá (tính ở mỗi mức giá) là số đo lượng thay đổi thay đổi tính theo % của lượng cầu khi giá tăng thêm 1%

Tại mức giá p, khi giá thay đổi một lượng Δp, lượng cầu sẽ thay đổi tương ứng một lượng ΔQp Mức phần trăm thay đổi của lượng cầu được tính bình quân cho mỗi 1% thay đổi giá.

Chuyển qua giới hạn khi  →p 0 ta được công thức tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm p :

Ví dụ 1: Nếu hàm cầu Q00−p 2 thì hệ số co dãn tại mức giá p là:

Khi p ta có  = −0.8 Điều này có nghĩa là tại mức giá p , nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm đi 0,8%

Ví dụ 2: Nếu hàm cầu có dạng bậc nhất:

Q= −a bp ( ,a b0) Thì hệ số co dãn tại điểm p là:

Hệ số co dãn của cung theo giá phản ánh mức độ thay đổi phần trăm của lượng cung khi giá tăng 1% Để tính toán hệ số này, nếu biết hàm cung Q s = S p( ), ta có thể áp dụng công thức cụ thể để xác định giá trị của hệ số co dãn.

Nếu biến số y phụ thuộc vào biến x theo quy luật hàm số y = f(x), thì hệ số co dãn của y theo x có thể được tính bằng cách xác định lượng thay đổi tính bằng phần trăm của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tăng 1% tại một điểm x bất kỳ.

2.1.3 Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

1 Bài toán lựa chọn tối ưu

Trong lĩnh vực kinh tế, ra quyết định liên quan chặt chẽ đến việc tối ưu hóa hàm mục tiêu y = f(x) Mục tiêu chính là lựa chọn giá trị y sao cho đạt được giá trị lớn nhất.

Khóa luận tốt nghiệp Trang 32 giá trị nhỏ nhất Đối với một doanh nghiệp sản xuất, mục tiêu thường được đặt ra là tối ưu hóa lợi nhuận

Chọn mức sản lượng tối ưu:

Gủa sửa doanh nghiệp có hàm tổng chi phí TC Q( ) và hàm tổng doanh thu TR Q( ) Tổng lợi nhuận của doanh nghiệp là hàm số:

Bài toán đặt ra là: Chọn mức sản lượng Q 0 để thu lợi nhuận tối đa Điều kiện cần để 𝜋 đạt cực đại tại điểm Q 0 là:

' TR Q'( ) TC Q'( ) 0 TR Q'( ) TC Q'( ) MR MC

 = − =  =  Bằng ngôn ngữ của kinh tế học, điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là: Doanh thu cận biên bằng chi phí cận biên

Tại điểm mà MR=MC, điều kiện đủ để 𝜋 đạt cực đại là:

Ví dụ 1: Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí của nhà sản xuất như sau:

TR= Q− Q , TC=Q 3 −6Q 2 +140Q+750 Hãy chọn mức sản lượng tối ưu cho lợi nhuận tối đa

Hàm lợi nhuận của nhà sản xuất trong trường hợp này là:

 = − = − − + − Điều kiện cần để 𝜋 đạt cực đại là:

 = − − + =  + − Từ phương trình này ta xác định được Q ( loại Q= −21 do Q0) Tại thời điểm 20

Q= ta có ''= −6Q− = −3 1230, do đó Q là điểm cực đại Chú ý rằng trong

Khóa luận tốt nghiệp Trang 33 khoảng (0, ) hàm lợi nhuận chỉ có một điểm cực trị duy nhất, do đó mực sản lượng tối ưu của nhà sản xuất là Q

Ví dụ 2 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sản xuất độc quyền, cho biết:

Hàm chi phí cận biên MC=3Q 3 −6Q+132

Hàm cầu đối với sản phẩm: 148 2

Căn cứ theo cầu của thị trường, để tiêu thụ được Q sản phẩm, người sản xuất phải bán với giá:

Tổng doanh thu của nhà sản xuất tại mức sản lượng Q là:

TR= pQ= − Q Q Doanh thu cận biên là:

MR=TR = − Q Điều kiện cần để tổng lợi nhuân đạt cực đại là:

 − − Từ đây ta tìm được Q=6 ( loại Q= −5) Điều kiện đủ thõa mãn khi Q = 6 là

TC =MC Q = Q− = , TR"=MR Q'( )= − 3 TC"

Mức sản lượng tối ưu là Q=6

Một số bài toán về tìm GTLN, GTNN trong thực tế

2.2.1 Mô hình hóa toán học và các kết quả liên quan đến GTLN, GTNN

Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến dạng này có thể chia thành hai phần lớn:

- Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học

Để ứng dụng đạo hàm của hàm số trong các bài toán thực tế, trước tiên cần thiết lập hàm số phù hợp Quy trình mô hình hóa bắt đầu từ việc chuyển đổi các bài toán thực tế thành mô hình toán học.

Hình 1: Quy trình MHH trong dạy học Toán

Ta có thể cụ thể hóa ba bước của quá trình MHH như sau:

Để giải quyết vấn đề, bước đầu tiên là xây dựng mô hình toán học dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, nhằm diễn tả thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học Cần lưu ý rằng mỗi vấn đề có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau để phù hợp với các khía cạnh cụ thể của nó.

Bước 2: Sử dụng kiến thức từ các lĩnh vực thực tế như kinh tế, đời sống và các môn khoa học kỹ thuật như Hóa học và Sinh học, chúng ta sẽ thiết lập hàm số phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến một cách hoàn chỉnh.

Bước 3: Áp dụng công cụ đạo hàm của hàm số để phân tích và giải quyết bài toán đã hình thành ở bước 2 Cần chú ý đến các điều kiện ràng buộc của biến số và kiểm tra xem kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế hay không.

Cực trị của hàm số: Định nghĩa: Giải sử hàm số y=f (x) xác định trên tập hợp D, ( D  ) và x0D

❖ x được gọi là một điểm cực đại của hàm số 0 f (x) nếu tồn tại một khoảng ( ) a,b chứa x sao cho 0 ( ) a,b  D và f (x)f(x )0 với   x ( ) a,b và xx0

Khi đó f x( ) 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x ( )

❖ x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 f (x) nếu tồn tại một khoảng

Giá trị cực tiểu của hàm số f(x) được xác định khi tồn tại hai điểm a, b chứa x, với điều kiện 0 < a, b ⊂ D và f(x) > f(x₀) cho mọi x nằm trong khoảng (a, b) và x khác x₀ Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

❖ Định lý 1( điều kiện cần ): Giả sử hàm số f x đạt cực trị tại ( ) x 0 Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x thì 0 f ' x( ) 0 =0

Lưu ý: Điều ngược lại của định lý 1 không đúng Đạo hàm f ' có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm 0 x Ví dụ như hàm 0 y= x 3

Khóa luận tốt nghiệp Trang 36 hoặc hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm ví dụ như hàm y= x

❖ Định lý 2 ( Quy tắc 1 – Điều kiện đủ ): Giả sử hàm số f x liên tục trên ( ) khoảng ( )a,b chứa điểm x và có đạo hàm trên khoảng 0 (a, x0 ) và (x ,b Khi 0 ) đó

• Nếu f ' x đổi dấu từ ( ) ( ) + sang ( ) − tại x thì f đại cực đại tại 0 x 0

• Nếu f ' x đổi dấu từ ( ) ( ) − sang ( ) + tại x thì f đại cực tiểu tại 0 x 0

Chú ý: f ' x có thể tồn tại hoặc không tồn tại ( )

❖ Định lý 3 ( Quy tắc 2 – Điều kiện đủ ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( )a,b chứa điểm x 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x 0

• Nếu f ' x( ) 0 =0 và f '' x( ) 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

• Nếu f ' x( ) 0 =0 và f '' x( ) 0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa:

• Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f x( ) trên miền xác định K :

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f x( ) trên miền xác định K :

=  Định lý về sự tồn tại GTLN, GTNN: “Nếu hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b thi đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.”

Nếu hàm số f đồng biến trên [ , ]a b thì [ , ]

Nếu hàm số f nghịch biến trên [ , ]a b thì [ , ]

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)

Trường hợp 1: Tập K đã cho là 1 khoảng ( , )a b

(B2): Tìm các điểm x x 1 , 2 , K mà tại đó y'=0 hoặc y' không tồn tại Tính các giá trị f x( ), ( ) 1 f x 2 và tính lim ( ) x a

(B3): Lập bảng thiên của hàm số trên tập K Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của hàm số.

Trường hợp 2: Tập K đã cho là đoạn [a,b]

(B2): Tìm các điểm x x 1 , 2 , K mà tại đó y'=0 hoặc y' không tồn tại Tính các giá trị f x( ), ( ) 1 f x 2 và tính f a( ), f b( )

(B3): So sánh các giá trị f x( ), ( ) 1 f x 2 , f a( ), f b( ) Suy ra:

Trường hợp 3: Không cho biết trước tập 𝐾, tức là tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số:

(B1): Tìm tập xác định D của hàm số

(B2): Chuyển bài toán về trường hợp 1 hoặc 2

Ví dụ 1: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a b với a b Người ta cắt bỏ

Để tạo ra một hình hộp chữ nhật không có nắp từ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc, cần xác định chiều dài cạnh của hình vuông cần cắt đi để tối ưu hóa diện tích của hình hộp Việc điều chỉnh kích thước của hình vuông sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến diện tích tối đa mà hình hộp có thể đạt được.

Để giải bài toán, ta đặt 𝑥 là cạnh của hình vuông bị cắt Cần xác định điều kiện giới hạn cho biến 𝑥, vì khi cắt tấm nhôm, một cạnh sẽ trở thành 2 cạnh mới.

Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là b−2x0 Đến đây ta lập được công thức tính khối hộp V = x b ( − 2 )( x a − 2 ) x

Bài toán trở thành tìm

Gọi 𝑥 là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện là 0

Khi đó thể tích hình hộp là V =x b.( −2 )(x a−2 )x =4x 3 −2(a b x+ ) 2 +abx Đạo hàm V' 12= x 2 −4(a b x+ ) 2 +ab

Do đó ' 0V = luôn có hai nghiệm phân biệt:

Theo định lý Vi-et:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt GTLN khi

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

Khâu điều kiện cho biến cần đặt rất quan trọng; chúng ta không nên chỉ ghi x > 0 với ý nghĩa đơn thuần là một số dương trong đại số.

Để giải quyết bài toán thể tích khối hoopjxem, việc nắm vững công thức tính toán là rất quan trọng Người học cần vận dụng kiến thức đã tích lũy vào thực tiễn để có thể tìm ra lời giải chính xác.

Giải nhiệm từ phương trình V x'( )=0 và lập bảng biến thiên là một quá trình phức tạp, đòi hỏi người thực hiện phải có kỹ năng vững trong biến đổi đại số.

Để xác định chiều dài bé nhất của cái thang có thể tựa vào tường và mặt đất, cần tính toán cho thang vượt qua cột đỡ cao 4m, cách tường 0,5m và song song với cột đỡ.

Mô hình có thể được minh họa bằng hình vẽ, từ đó giúp xác định độ dài của AC Để phân tích độ dài AC, ta cần xem xét các hướng phân tích phù hợp Trong hình vẽ, mối quan hệ giữa các cạnh cho thấy một hướng phân tích hiệu quả là AC = √(AB² + BC²).

Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể đạt được HC = x 0 Để lập hàm số f(x) biểu diễn độ dài AC, ta chỉ cần tính AB theo 𝑥 Chúng ta sử dụng mối quan hệ tỉ lệ trong định lý Thales thuận.

Khi phân tích theo hướng thứ hai với HC = x 0, chúng ta có thể biểu diễn độ dài AC = P x ( ) + Q x ( ), tuy nhiên điều này không đơn giản Thay vào đó, chúng ta chuyển sang tìm mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác, và nhận thấy rằng  = MCH = AMK.

Khóa luận tốt nghiệp Trang 41 thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì khi đó MC=MHsin và cos

Cách 1: Đặt HC=  x 0 BC= +x 0, 5 Theo định lý Thales ta có:

+ Do đó ta có AB 4( x 0, 5) x

Do ABC vuông tại B nên

Lập bảng biến thiên ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Vậy chiều cao bé nhất của cái thang là 125 5,59

Khi đó ta có 1 4 cos sin 2 cos sin

Lập bảng biến thiên, ta suy ra min

Trong một thí nghiệm dinh dưỡng, 1000 vi khuẩn được cấy vào môi trường, và số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian theo quy luật xác định.

Tiêu đề	Xây Dựng Chuyên Đề Ứng Dụng Đạo Hàm Vào Thực Tế Theo Hướng Phát Triển Năng Lực Học Sinh Của Chương Trình Phổ Thông Mới
Tác giả	Phan Anh Thi
Người hướng dẫn	T.S Hoàng Nhật Quy
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2019
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	1,18 MB