TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− PHAN THỊ THANH NGA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Cử Nhân Tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH Đà Nẵng, 5/2014 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số tuyến tính 1.2 1.3 7 Giải tích thực 1.2.1 Không gian metric 11 11 1.2.2 1.2.3 Không gian Banach Không gian Hilbert 12 13 1.2.4 1.2.5 Tốn tử tuyến tính Phiếm hàm tuyến tính 14 15 1.2.6 Toán tử liên hợp 15 1.2.7 1.2.8 Giải tích lồi Toán tử nửa nhóm liên tục 16 17 Phương trình vi phân 17 Tính điều khiển 26 2.1 2.2 Các khái niệm tính điều khiển Tiêu chuẩn hạng Kalman hệ tuyến tính dừng 26 28 2.3 2.4 Ma trận tích phân điều khiển hệ (2.1) Hệ điều khiển dừng có hạn chế 34 40 2.5 Các hệ điều khiển vô hạn chiều 42 Tính ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 45 3.1 3.2 Các khái niệm ổn định phương trình vi phân Bài toán ổn định Lyapunov 45 47 3.3 Ổn định hệ tựa tuyến tính 55 −2− 3.4 Phương pháp hàm Lyapunov 57 3.5 3.6 Khái niệm ổn định hóa hệ điều khiển Điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính ổn định hóa 61 62 3.7 3.8 Tính ổn định hóa mạnh hệ điều khiển tuyến tính Ổn định hóa hệ tựa tuyến tính 65 69 Tài liệu tham khảo 73 −3− LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Thành, người giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu tận tình giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến tồn thể thầy khoa Toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng cho em kiến thức tốn bổ ích suốt trình học tập trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, ngày 20 tháng năm 2014 Sinh viên Phan Thị Thanh Nga −4− LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng phát triển khoảng vài chục năm trở lại Cơng cụ lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp tốn học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Rất nhiều toán thực tiễn khoa học, công nghệ, kinh tế mô tả phương trình tốn học điều khiển túy cần đến cơng cụ tốn học tinh vi, tìm lời giải Một vấn đề quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống lý thuyết điều khiển được, nghĩa tìm chiến lược điều khiển cho chuyển hệ thống từ trạng thái sang trạng thái khác Bài toán điều khiển liên quan chặt chẽ đến toán khác toán ổn định ổn định hóa, tốn điều khiển tối ưu, Mục đích vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển tìm hàm điều khiển ngược cho hệ thống cho ứng với điều khiển trở thành hệ thống ổn định trạng thái cân Bố cục khóa luận bao gồm ba chương • Chương khóa luận trình bày định nghĩa, khái niệm định lý giải tích thực, đại số tuyến tính, giải tích hàm phương trình vi phân • Chương khóa luận đề cập đến kiến thức sở toán điều khiển hệ động lực với thời gian liên tục Các tiêu chuẩn điều kiện để hệ điều khiển có cấu trúc từ đơn giản đến phức tạp điều khiển • Chương khóa luận giới thiệu toán ổn định Lyapunov, phương pháp hàm Lyapunov tính ổn định hóa hệ điều khiển Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận −5− góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 20 tháng năm 2014 Sinh viên Phan Thị Thanh Nga −6− Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số tuyến tính Định nghĩa 1.1 Cho m, n hai số nguyên dương Một ma trận cấp (m × n) bảng số có dạng   a11 a12 · · · a1n    a21 a22 · · · a2n        am1 am2 · · · amn m×n  a11 a12   a21 a22    am1 am2  · · · a1n  · · · a2n     · · · amn m×n Trong aij ∈ R, ∀ i = 1, m, j = 1, n Người ta thường kí hiệu ma trận A = (aij )m×n Cho A = (aij )m×n Đặt A = (bij )n×m với aij = bij Khi A gọi ma trận chuyển vị A Định nghĩa 1.2 Cho ma trận A = (aij )m×n Lấy k số nguyên cho k ≤ min{m, n} Từ ma trận A lấy k hàng, k cột theo thứ tự từ nhỏ −7− đến lớn Phần giao k hàng, k cột lập thành ma trận vuông cấp k Định thức ma trận vng cấp k cịn gọi định thức cấp k ma trận A Định nghĩa 1.3 Hạng ma trận A cấp cao tất định thức khác khơng ma trận A, kí hiệu rank A Định nghĩa 1.4 (Xem [7]) Cho hệ n véc tơ a1 , a2 , · · · , an ∈ Rn Hệ {a1 , a2 , · · · , an } gọi độc lập tuyến tính có λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0, λi ∈ R ∀ i = 1, n (1.1) λ1 = λ2 = · · · = λn = Ngược lại tồn λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ R cho (1.1) thỏa mãn hệ gọi phụ thuộc tuyến tính Cho A ma trận cấp (m × n) Ma trận A gọi không suy biến detA = hay rankA = n Định nghĩa 1.5 (Xem [7]) Cho A ma trận cấp (m × n) Véc tơ v ∈ Rn \{0} gọi véc tơ riêng ma trận A tồn số λ ∈ R cho Av = λv Khi λ gọi trị riêng A ứng với véc tơ riêng v Các vectơ riêng A xác định nghiệm phương trình det(λI − A) = hay p(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an−1 λ + an Định lý 1.1 (Xem [7])(Cayley-Hamilton) Cho A ma trận cấp (n×n) Mọi ma trận A nghiệm đa thức đặc trưng p(A) = An + a1 An−1 + · · · + an−1 A + an I = −8− Định lý 1.2 (Xem [7])(Jordan) Cho A ma trận cấp (n × n) Mọi ma trận A đưa dạng Jordan sau phép biến đổi ma trận không suy biến P  j1 · · ·   j2 · · · A → P AP −1 =    0 ···   λk bk · · · 0    λk · · · 0    , Jk =  · · · · · · · · · · · ·      0 · · · λk bk  0 · · · λk   0    jn bk = Jk = [λk ], k = 1, 2, · · · , r [λk ] ma trận vng chéo với phần tử đường chéo λk λ1 , λ2 , · · · , λk giá trị riêng A Định nghĩa 1.6 (Xem [7]) Cho A ma trận cấp (n×n), A = [aij ], i, j = 1, 2, · · · , n Chuẩn ma trận A xác định n n |aij |2 A = i=1 j=1 Định nghĩa 1.7 (Xem [7]) Cho hàm số đa thức túy ý bậc n n ck λk f (λ) = (1.2) k=0 n = ∞ chuỗi giả thiết hội tụ Hàm ma trận A xác định n ck Ak f (A) = k=0 −9− Định lý 1.3 (Xem [7])(Công thức Sylvester) Cho A ma trận cấp (n × n)với trị riêng λ1 , λ2 , · · · , λn khác Cho f (λ) hàm đa thức bậc n dạng (1.2) Khi n Zk f (λk ) f (A) = k=1 Zk xác định (A − λ1 I)(A − λ2 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I) (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn ) n A − λj I = λ − λ k j j=1 Zk = j=k Định nghĩa 1.8 Cho hai véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) Khi đó, tích vơ hướng hai véc tơ x y , kí hiệu < x, y > xác định n < x, y >= xi yi i=1 Cho A ma trận cấp (n × n) Khi • A gọi ma trận xác định dương a < Ax, x > ≥ ∀ x ∈ Rn b < Ax, x > > 0, x = • Nếu A = A A gọi ma trận đối xứng • Nếu A khơng suy biến, nghĩa detA = 0, tồn ma trận ngược A−1 I = A−1 A = AA−1 Định lý 1.4 (Xem [7]) Các điều kiện sau tương đương a A ma trận xác định dương b Tồn c > 0, < Ax, x >≥ c x − 10 − ∀ x ∈ Rn Vì hàm V (x(t)) giảm theo t nên tồn giới hạn lim V (x(t)) = a, V (.) hàm xác định dương nên a ≥ Theo tính chất liên tục V (x) để chứng minh định lý, ta cần chứng minh a = đủ Giả sử a > Khi ta có ∃ a > 0, ∃ T > : x(t) ≥ a > ∀ t ≥ T Xét nghiệm x(t), x(T ) = x0 , từ bất đẳng thức (3.10), lấy tích phân hai vế từ T đến t, ta có V (x(t)) − V (x0 ) ≤ −ca(t − T ) ∀ t ≥ T hay V (x(t)) ≤ −ca(t − T ) + V (x0 ) ∀ t ≥ T Vì V (x(t)) ≥ ∀ t ≥ T , cho t → +∞ bất đẳng thức nghiệm ca(t − T ) ≤ V (x0 ) < +∞ Khi cho t tiến tới vơ vế trái tiến tới vô cùng, suy mâu thuẫn, định lý chứng minh Ví dụ 3.7 Xét hệ phương trình vi phân  x˙ = −x4 x x˙ = x4 x 2 Lấy V (x) = x41 + x42 ta có Df V (x) = 4x31 x˙ + 4x32 x˙ = 4x31 (−x42 x1 ) + 4x2 (x41 x2 ) = −4x41 x42 + 4x41 x42 = Suy hệ ổn định không ổn định tiệm cận − 59 − Ví dụ 3.8 Xét hệ phương trình vi phân  x˙ = x − x3 x˙ = −x − x3 2 Lấy V (x) = x21 + x22 ta có Df V (x) = 2x1 x˙ + 2x2 x˙ = 2x1 (x2 − x31 ) + 2x2 (−x1 − x32 ) = 2x1 x2 − 2x41 − 2x1 x2 − 2x42 = −2(x41 + x42 ) Do Df V (x) < −2 x < ∀x ∈ R+ \{0} Suy hệ cho ổn định tiệm cận Ví dụ 3.9 Xét hệ phương trình vi phân  x˙ = −x + 2x 1 x˙ = −2x − x 2 Lấy V (x) = x21 + x22 ta có Df V (x) = 2x1 x˙ + 2x2 x˙ = 2x1 (−x1 + 2x2 ) + 2x2 (−2x1 − x2 ) = −2x21 + 4x1 x2 − 4x1 x2 − 2x22 = −2(x21 + x22 ) Do Df V (x) < −2 x < ∀x ∈ R+ \{0} Suy hệ cho ổn định tiệm cận Ví dụ 3.10 Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân x˙ = Ax + f (x) A ma trận ổn định, f (x) < L x Vì A ma trận ổn định, với Y > 0, tồn X > cho XA + A X = −Y − 60 − Lấy hàm Lyapunov V (x) =< Xx, x >, ta có Df V (x) = < X x, ˙ x > + < Xx, x˙ > = < X(Ax + f ), x > + < Xx, Ax + f > = < XAx, x > + < Xx, Ax > + < Xf, x > + < Xx, f > = < XAx, x > + < A Xx, x > +2 < Xf, x > = < (XA + A X)x, x > +2 < Xf, x > = − < Y x, x > +2 < Xf, x > Ta có < Xf, x > ≤ Xf ≤ X x f x ≤ X L x x ≤ X L x Và Y > có số α > cho < Y x, x >≥ α x Do Df V (x(t)) ≤ −α x + X L x α Nếu lấy L ≤ X Df V (x(t)) < −c x ≤ (2 X L − α) x 2 < 0, hệ ổn định tiệm cận 3.5 Khái niệm ổn định hóa hệ điều khiển Xét hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân  x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm − 61 − (3.12) Định nghĩa 3.5 (Xem [7]) Hệ (3.12) gọi ổn định hóa tồn hàm h(x) : Rn → Rm cho với hàm điều khiển này, hệ phương trình vi phân x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ ổn định tiệm cận Hàm h(x) gọi hàm điều khiển ngược Trường hợp hệ (3.12) hệ tuyến tính x˙ = Ax + Bu hệ ổn định hóa tồn ma trận K cho ma trận (A + BK) ổn định 3.6 Điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính ổn định hóa Xét hệ điều khiển tuyến tính x(t) ˙ = Ax + Bu (3.13) Định lý 3.7 (Xem [7]) Hệ (3.13) ổn định hóa điều khiển hoàn toàn Chứng minh Giả sử hệ (3.13) GNC, (khơng tính tổng qt ta giả sử t0 = 0), theo Định nghĩa 2.4 tồn số T > cho ma trận T LT = e−At BB e−A t dt không suy biến Lấy T1 > T đặt T1 LT1 = (T1 − t)e−At BB e−A t dt đó, LT1 khơng suy biến, nghĩa là, tồn ma trận ngược L−1 T1 Đặt K = −T1 B L−1 T1 ta chứng minh K ma trận điều khiển ngược cần tìm Nghĩa là, với điều khiển ngược u(t) = −T1 B L−1 T1 x(t) − 62 − hệ (3.13) ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận (A + BK) ổn định Ta lấy hàm Lyapunov dạng V (x) = < L−1 T1 x, x > với nghiệm x(t), x(0) = x0 hệ x(t) ˙ = (A + BK)x(t) (3.14) Và điều khiển u = −T1 B L−1 T1 x ta có d V (x(t)) = < L−1 ˙ x > + < L−1 ˙> T1 x, T1 x, x dt −1 −1 = < (L−1 T1 A + A LT1 )x, x > +2 < Bu, LT1 x > Ta d V (x(t)) ≤ −T1 B y − < LT1 y, y > dt ≤ − < LT1 y, y > = < L−1 T1 x, x > Hơn nữa, L−1 T1 ma trận xác định dương nên có số C > cho < L−1 T1 x, x > ≥ C x Vậy Df V (x) ≥ −C x Theo định lý 3.5, hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh Ví dụ 3.11 Xét hệ điều khiển (3.13) với A= 0 ,B = −2 − 63 − Ta có A= 0 −2 Vì A có giá trị riêng λ = −2 nên x˙ = Ax ổn định, hệ ổn định hóa với K = Ta có rank[B, AB] = rank 0 = < −2 Suy hệ khơng GNC Ví dụ 3.12 Xét hệ điều khiển (3.13) với A= −3 ,B = −5 −1 Ta có A= −3 −5 Vì A có giá trị riêng λ1 = −3, λ2 = −5 nên x˙ = Ax ổn định, hệ ổn định hóa với K = Ta có −1 rank[B, AB] = rank = −5 Suy hệ GNC Ví dụ 3.13 Xét hệ điều khiển (3.13) với A= −4 ,B = −3 Ta có A= −4 −3 − 64 − Vì A có giá trị riêng λ = −4 nên x˙ = Ax ổn định, hệ ổn định hóa với K = Ta có −4 rank[B, AB] = rank = −3 Suy hệ GNC 3.7 Tính ổn định hóa mạnh hệ điều khiển tuyến tính Định nghĩa 3.6 (Xem [7]) Hệ (3.13) ổn định hóa mạnh ∀ δ > 0, tồn ma trận điều khiển ngược K cho nghiệm hệ (3.14) ổn định mũ theo số ổn định Lyapunov δ , nghĩa x(t, t0 ) ≤ M e−δ(t−t0 ) x0 ∀ t ≥ t0 , ∀ M > Tính ổn định hóa mạnh địi hỏi tính ổn định hóa mạnh hệ theo số Lyapunov δ > Định lý sau chứng tỏ hệ ổn định hóa mạnh điều khiển Định lý 3.8 (Xem [7]) Giả sử hệ (3.13) ổn định hóa mạnh Khi đó, hệ GNC Sự tương quan tính điều khiển tính ổn định hóa hệ tuyến tính (3.13) chứng minh định lý đói với trường hợp hệ hữu hạn chiều Đối với hệ vô hạn chiều, quan hệ mở rộng cho hệ mô tả hệ phương trình khơng gian vơ hạn chiều Dưới mở rộng định lý (3.6) không gian Hilbert Xét hệ thống điều khiển tuyến tính (3.13) x(t) ∈ H, u(t) ∈ H A tốn tử H sinh nửa nhóm S(t) Khi nghiệm x(t, t0 ) hệ với x(t0 ) = x0 cho T S(T − s)Bu(s) ds x(t, t0 ) = S(T )x0 + − 65 − Giả sử A toán tử sinh nửa nhóm S(t), xét tốn tử WT : UT → X xác định T WT (u) = S −1 (s)Bu(s) ds Theo định lý 2.5, 2.6 hệ (3.13) điều khiển sau thời gian T hai điều kiện sau thỏa mãn T −1 a Toán tử LT = S −1 SBB ∗ S ∗ (s) ds xác định dương b ∃c > : WT∗ x∗ ≥ c x , x∗ ∈ H Toán tử A : H → H gọi ổn định toán tử sinh nửa nhóm S(t) thỏa mãn điều kiện S(t) ≤ M e−δt ∀ t ≥ Bổ đề 3.1 (Xem [7]) Toán tử A : H → H ổn định có cặp tốn tử đối xứng xác định dương P, Q thỏa mãn phương trình tốn tử < QAx, x >= − < P x, x > ∀ x ∈ D(A) (3.15) Toán tử A gọi toán tử ổn định toán tử sinh S(t) A thỏa mãn điều kiện S(t) ≤ M e−δ(t−t0 ) ∀ t ≥ t0 với M số dương tùy ý Như vậy, hệ tuyến tính dừng ổn định tương đương với tính ổn định toán tử A Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn khác để toán tử A ổn định Bổ đề 3.2 (Xem [7]) Cho X khơng gian Banach Tốn tử A : X → X ổn định nghiệm x(t, x0 ) hệ thỏa mãn điều kiện ∞ x(s, x0 ) ds < ∞ Định lý sau khẳng định hệ điều khiển hồn tồn ổn định hóa hàm điều khiển ngược tuyến tính − 66 − Định lý 3.9 (Xem [7]) Xét hệ điều khiển (3.13) khơng gian Hilbert, A : H → H tốn tử tuyến tính sinh nửa nhóm S(t), hệ GNC hệ ổn định hóa Chứng minh Giả sử hệ (3.13) GNC, GNC sau thời gian T > Xác định tốn tử T ∗ Q1 (x ) = −1 S −1 SBB ∗ S ∗ (s)x∗ ds Do hệ GNC, Q1 : H → H toán tử tuyến tính liên tục xác định dương, đối xứng tồn toán tử ngược Q−1 : H → H Ta chứng minh hệ (3.13) ổn định hóa điều khiển ngược u(x) = −B ∗ Q−1 x nghĩa là, với ma trận điều khiển ngược K = −B ∗ Q−1 , hệ x(t) ˙ = (A + BK)x(t) ổn định tiệm cận, nói cách khác, ma trận (A + BK) ổn định Theo tính chất tốn tử nửa nhóm S(t), ta cần chứng minh A = (A + BK)∗ toán tử ổn định Áp dụng Bổ đề 3.2 cần chứng minh có cặp tốn tử P, Q thỏa mãn phương trình Lyapunov (3.15) hay dạng tương đương A∗ Qx∗ + QAx∗ = −P x∗ ∀x∗ ∈ X ∗ (3.16) Tương tự chứng minh Định lý 3.3, ta có đẳng thức T AQ∗1 + Q1 A∗ = − d −1 −1 S (t)BB ∗ S ∗ (t) dt −1 = BB ∗ − S −1 (T )BB ∗ S ∗ (T ) (3.17) Do ∗ −1 Q1 A + A∗ Q1 = Q1 (A − BB ∗ Q−1 ) + (A − BB Q1 )Q1 = Q1 A∗ + AQ − 2BB ∗ − 67 − (3.18) Kết hợp (3.16) (3.18) ta có Q1 A + A∗ Q1 = −P1 −1 P1 = BB ∗ + S −1 (T )BB ∗ S ∗ (T ) Từ suy Q1 , P1 tốn tử đối xứng thỏa mãn phương trình Lyapunov (3.15), (3.16) Vì Q1 xác định dương, nên ta cịn chứng minh P1 xác định dương Trong H, xét x∗ ∈ H ta có −1 < P1 x∗ , x∗ > = < BB ∗ x∗ , x∗ > + < S −1 (T )BB ∗ S ∗ (T )x∗ , x∗ > = B ∗x −1 + B ∗ S ∗ S ∗ (T )x∗ Vì −1 WT∗ x∗ (s) = B ∗ S ∗ (s)x∗ ∀s ∈ [0, T ], nên theo nhận xét P1 tốn tử xác định dương Định lý chứng minh Đối với trường hợp X, U không gian Banach tùy ý, để nhận kết tính ổn định hóa, ta phải mở rộng phương trình Lyapunov khơng gian Banach sau Cho X không gian Banach, A tốn tử tuyến tính sinh nử nhóm S(t) Cho P, Q ∈ L(X, X ∗ ) Ta nói P, Q cặp nghiệm phương trình (3.19) cịn gọi phương trình Lyapunov (LE) điều kiện sau thỏa mãn < QAx, x > + < Qx, Ax >= − < P x, x > ∀x ∈ D(A) Nếu A tốn tử giới nội phương trình có dạng A∗ Qx + QAx = −P x ∀x ∈ X nghĩa là, trở dạng cổ điển phương trình Lyapunov − 68 − (3.19) 3.8 Ổn định hóa hệ tựa tuyến tính Để nghiên cứu tính ổn định hóa hệ phi tuyến dạng  x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm (3.20) người ta dựa kết tính ổn định khơng có tham số điều khiển x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ Định lý 3.10 (Xem [7]) Xét hệ điều khiển phi tuyến x(t) ˙ = f (x, u), x ∈ X = Rn , u ∈ U = Rm Giả sử tồn hàm V (x) hàm véc tơ h(x) : Rn → Rm cho a V (x) xác định dương, ∂V b ∃ γ(.) ∈ K : f (x, h(x)) ≤ −γ( x ) ∀x ∈ Rn \{0} ∂x Khi hệ ổn định hóa với điều khiển ngược u(t) = h(x(t)) Xét tính ổn định hóa hệ điều khiển phi tuyến dạng  x(t) ˙ = Ax + Bu + f (x, u), x ∈ H, u ∈ H (3.21) H khơng gian Hilbert vô hạn chiều Giả sử hệ điều khiển tuyến tính x(t) ˙ = Ax + Bu điều khiển hồn tồn 0, theo Định lý 3.8 hệ ổn định hóa toán tử (A + BK) ổn định với K tốn tủ điều khiển ngược Theo Bổ đề 3.2, có tốn tử đối xứng xác định dương Q ∈ L(H, H) cho < QAx, x >≤ − x A = (A + BK) Gọi x(t) nghiệm tùy ý hệ x(t) ˙ = Ax + f (x, Kx), t ≥ Xét hàm Lyapunov hệ dạng V (x) =< Qx, x >, − 69 − ta có d V (x(t)) = < Qx, ˙ x > + < Qx, x˙ > dt = < Q(Ax + f (x, u), x) > + < Qx, Ax + f (x, u) > = < QAx, x > + < Qf (x, u), x > + < Qx, f (x, u) > =− x + < Qf (x, u), x >, u = Kx Bây ta giả sử hàm f (.) hệ (3.22) thỏa mãn điều kiện ∃a, b > : f (x, u) ≤ a x + b u ∀(x, u) ∈ (H × H), (3.22) ta có đánh giá đạo hàm hàm Lyapunov d V (x(t)) ≤ − x + Q (a x + b K x ) x dt ≤ [1 − Q (a + b K )] x Như vậy, chọn a > 0, b > cho a+b x < , Q (3.23) Df V (x) ≤ −δ x , δ = − Q (a + b K ) > Vậy theo định lý 3.5 hệ (3.21) ổn định tiệm cận Tính ổn định hóa hệ (3.20) chủ yếu dựa vào tính điều khiển hệ tuyến tính nhiễu phi tuyến đủ nhỏ (3.21) Trường hợp hệ điều khiển tuyến tính tương ứng khơng GNC, tốn tử A ổn định ta có định lý sau nghiệm Định lý 3.11 (Xem [7]) Xét hệ (3.21) không gian Hilbert Giả sử điều kiện (3.21) thỏa mãn toán tử A ổn định cho có cặp tốn tử đối − 70 − xứng xác định dương P, Q ∈ L(H, H) thỏa mãn phương trình Lyapunov (LE) số α > cho < P x, x > ≥ α x ∀x ∈ H Khi hệ ổn định hóa với hệ điều khiển ngược tuyến tính u(t) = −βB ∗ Qx(t) (3.24) số β > thỏa mãn điều kiện β< α − 2a Q 2b B Q (3.25) Chứng minh Xét x(t, x0 ) ngiệm tùy ý (3.21) với x(t0 ) = x0 Xác định hàm Lyapunov V (x) = < Qx, x > Khi ta có d V (x(t)) = < Qx, ˙ x > + < Qx, x˙ > dt = < QAx − βBB ∗ Qx + f (x, u), x > + < Qx, Ax − βBB ∗ Qx + f (x, u) > = − < P x, x > −β < QBB ∗ Qx, x > −β < Qx, BB ∗ Qx > + < Qf (x, u), x > + < Qx, f (x, u) > = − < P x, x > −2β < B ∗ Qx, B ∗ Qx > +2 < Qx, f (x, u) > Do β > thỏa mãn điều kiện (3.25) Df V (x) ≤ −δ x δ = α − 2bβ Q B − 2a Q > Theo Định lý 3.5 hệ ổn định tiệm cận Định lý chứng minh − 71 − KẾT LUẬN Khóa luận nêu khái niệm hệ động lực điều khiển được, giới thiệu tiêu chuẩn hạng Kalman hệ tuyến tính dừng ma trận tích phân điều khiển hệ x˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ Đồng thời chương em có tổng hợp khái niệm tính ổn định ổn định hóa hệ điều khiển, giới thiệu phương pháp hàm Lyapunov, nêu điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính ổn định hóa đưa số ví dụ minh họa − 72 − Tài liệu tham khảo [1] Sontag, Mathematical Control Theory, Springer, 1998 [2] Rudin, Functional analysis, McGraw Hill Education, 1973 [3] Zabczyk, Classical Control Theory, Trieste (Lectures given at the Summer school on Mathematical Control Theory), 2001 [4] Nguyễn Hữu Điển, LaTeX với gói lệnh phần mềm công cụ, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [5] Nguyễn Thế Hồn, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [6] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, 1994 [7] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển Tốn học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội, 2001 [8] Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Hệ phi tuyến, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 1999 [9] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [10] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 − 73 − ... Khái niệm ổn định hóa hệ điều khiển Điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính ổn định hóa 61 62 3.7 3.8 Tính ổn định hóa mạnh hệ điều khiển tuyến tính Ổn định hóa hệ tựa tuyến tính ... khiển hệ (2.1) Hệ điều khiển dừng có hạn chế 34 40 2.5 Các hệ điều khiển vô hạn chiều 42 Tính ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 45 3.1 3.2 Các khái niệm ổn. .. hai điều kiện sau thỏa mãn a Toán tử CT xác định dương ∀ T > b ImS(T ) ⊆ ImCT2 , CT2 hàm khơng âm − 44 − Chương Tính ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính 3.1 Các khái niệm ổn định phương trình vi