THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHAN DƯƠNG CẨM VÂN BIỂU DIỄN TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HĨA DƯỚI DẠNG CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA KHƠNG GIAN ORLICZ Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tơi xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc Thầy PGS.TS Lê Hồn Hóa – Khoa Tốn – Tin học,Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM hướng dẫn , động viên giúp đỡ tơi tận tình suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy,Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc,chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm nhiệm Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, Thầy,Cơ tận tình tham gia giảng dạy tơi lớp cao học Giải Tích khóa 18 Phịng KHCN – SĐH Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, đồng nghiệp tổ mơn Tốn trường THPT Chun Lê Hồng Phong tạo điều kiện thuận lợi cho cơng tác để tơi tham gia đầy đủ khóa học hồn thành luận văn Tôi gởi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học khóa 18 Cuối , q trình viết luận văn , khó tránh khỏi thiếu sót , tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Mọi ý kiến đóng góp xin gởi email: phanduongcam_van@yahoo.com Xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài : Hiện , vấn đề nửa nhóm họ tiến hóa khơng gian Banach hướng nghiên cứu lớn toán học đại Nhiều nhà toán học giới tiếp tục nghiên cứu phát triển vấn đề theo nhiều hướng khác Đặc biệt số nhà toán học quan tâm nghiên cứu tính ổn định mũ họ tiến hóa khơng gian Orlicz Vì chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu Mục đích : Luận văn nghiên cứu tính ổn định mũ họ tiến hóa khơng gian Orlicz thơng qua nghiệm toán Cauchy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày lại kết báo “ A Characterizationof The Exponential Stability of Evolutionary Processes in Terms of The Admissbilty of Orlicz Space ” ba tác giả C.Chilarescu – A Pogan –C.Preda chứng minh chi tiết 4.Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn sở tiếp tục nghiên cứu tính chất khác nghiệm phương trình vi phân với tính ổn định mũ họ tiến hóa NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1: Trình bày kiến thức liên quan đến họ tiến hóa số phương trình vi phân Chương : Trình bày định nghĩa khơng gian Orlicz , tính chất kết có khơng gian Chương : Biểu diễn tính ổn định mũ họ tiến hóa dạng chấp nhận không gian Orlicz Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Định nghĩa 1.1.1: Cho X không gian Banach Họ tham số T(t) ,  t   toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X gọi nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X i) T(0) = I (I toán tử đồng X) ii) T(t+s) = T(t) T(s) với t, s  Một nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn T(t) gọi liên tục lim T  t   I  (1.1) t 0 Từ định nghĩa rõ ràng ta có : Nếu T(t) ,  t   , nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn lim T  s   T  t   (1.2) s t Định nghĩa 1.1.2 : Cho T  t t 0 nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn xác định X Với h > ta định nghĩa toán tử tuyến tính Ah xác định sau : Ah x  T  h x  x ,x X h (1.3) Kí hiệu D(A) tập tất x  X cho giới hạn lim Ah x tồn , ta xác định toán h 0 tử A D(A ) sau : Ax  lim Ah x , x  D( A) (1.4) h 0 Ta gọi toán tử A xác định toán tử sinh cực vi nửa nhóm T(t) D(A) tập xác định A Định lí 1.1.3: Một tốn tử tuyến tính A tốn tử sinh nứa nhóm liên tục A tốn tử tuyến tính bị chặn Chứng minh : Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn X đặt  tA T t  e    tA  n n (1.5) n! Vế phải (1.5) hội tụ theo chuẩn với t  xác định với t toán tử tuyến tính bị chặn T(t) Rõ ràng T    I với cách tính trực tiếp chuỗi lũy thừa ta thấy T  s  t   T  s  T  t  Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa ta có : T t  I  t A e t A T t   I  A  A T t   I t Từ suy T(t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn xác định X A toán tử sinh T(t) Mặt khác cho T(t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn xác định X Cố định   ,đủ nhỏ cho:  I  1  T  s  ds 1  Suy  1   T  s  ds khả nghịch  T  s  ds khả nghịch Bây     h  T  h   I   T  s  ds  h   T  s  h  ds   T  s  ds  0 0  1 1    h   h   T  s  ds   T  s  ds    1    h    Vì h  T  h   I   h   T  s  ds   T  s  ds    T  s  ds    0  1 1 1 (1.6) Cho h  (1.6) ta thấy h1  T  h   I  hội tụ theo chuẩn đủ mạnh để   tốn tử tuyến tính bị chặn  T     I    T  s  ds  0  1 toán tử sinh T(t) Vậy nửa nhóm T(t) có tóan tử sinh A có khơng ? Trả lới câu hỏi ta xem định lí sau: Định lí 1.4: Cho T(t) S(t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn Nếu T t   I S t   I  A  lim t 0 t 0 t t lim (1.7 ) T(t) = S(t) với t  Chứng minh : Cho T > , S  t   T  t  , với  t  T Cố định T > 0, t  T  t  vaø t  S  t  liên tục tồn số C cho : T  t  S  t   C với  t , s  T Từ (1.7) cho   , tồn số   cho : h 1 T  h   S  h    TC Cho  t  T chọn n  cho với  h   (1.8) t   , từ tính chất nửa nhóm (1.8) ta có : n  t  t T t  S t   T  n   S  n   n  n n 1 t   kt  t   k 1      T   n  k   S    T   n  k  1  S  t n  n  n  n    k 0 n 1 t  t t   T   n  k  1  T    S   n  n n k 0  Cn  t TC n  kt  S  n  Vậy S  t   T  t  , với  t  T Do hai định lí ta có kết sau:  T(t) nửa nhóm liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn ta có  Tồn số   cho T  t   et  Tồn tốn tử tuyến tính bị chặn A cho T  t   etA  Toán tử A phần b toán tử sinh T(t)  t  T  t  khả vi với chuẩn dT  t   AT  t   T  t  A dt 1.2 NỬA NHÓM LIÊN TỤC MẠNH CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Định nghĩa 1.2.1 Một nửa nhóm T(t)  t   tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào X gọi nửa nhóm liên tục mạnh nếu: lim T  t  x  x với x  X (1.9) t 0 Một nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn X gọi nửa nhóm lớp C0 hay gọi tắt nửa nhóm_C0 Định lí 1.2.2 : Cho T(t) nửa nhóm_C0 , tồn số   M  cho T  t   Met với  t   (1.10) Chứng minh : Trước tiên ta thấy có số   cho T  t  bị chặn  t   Thật điều sai ta có dãy tn  thỏa tn  , lim tn  n  vaø T  tn   n Khi áp dụng định lí bị chặn ta thấy tồn x  X cho T  tn  x không bị chặn, mâu thuẫn với ( 1.9) Vậy T  t   M với  t   Ta có T    1,M  Cho    1 logM  Cho t  Ta có t  n   , với     Áp dụng tính chất nửa nhóm ta có : t n T  t   T   T    M Hệ 1.2.3: n 1  M M  Met  (đpcm ) Cho T(t) nửa nhóm_C0 với x  X , t  T  t  x hàm liên tục từ (0 ; ) vào X Chứng minh : Cho t, h  ta có : T  t  h  x  T  t  x  T  t  T  h  x  x  Met T  h  x  x Và cho t  h  T  t  h  x  T  t  x  T  t  h  x  T  h  x  Met x  T  h  x Vậy t  T  t  x liên tục Định lí 1.2.4: Cho Cho T(t) nửa nhóm_C0 A tốn tử sinh Ta có a) Với x  X , lim h 0 h t h  T  s x ds  T  t  x (1.11) t b) Với x  X Ta có T  t  x  D  A   t  A   T  s x ds   T  t  x  x 0  (1.12) c) Cho x  D  A  Ta có T  t  x  D  A  d T  t  x  AT  t  x  T  t  Ax dt (1.13) d) Cho x  D  A  , ta có t t T  t  x  T  s  x   T  r  Ax dr   AT  r  x dr s (1.14) s Chứng minh : a) Phần suy trực tiếp từ tính liên tục t  T  t  x b) Cho x  X h > ta có t  T  h  I  t    T  s  x ds    T  h  s  x  T  s  x ds h h0  0  h th  t h T  s  xds   T  s  xds h0 h  vế phải tiến đến T  t  x  x , ta có điều phải chứng minh c) Cho x  D  A  , h > , ta có T  h  I  T  h  I T t  x  T  t  h h    x  T  t  Ax h   Vì T  t  x  D  A  vaø AT  t  x  T  t  Ax nên suy d T  t  x  AT  t  x  T  t  Ax dt Nghĩa đạo hàm bên phải T(t)x T(t)Ax.Chứng minh (1.13 ) ta phải thấy cho t >0, đạo hàm bên trái T(t) x tồn T(t)Ax  Tt x  Tt  hx  lim   T  t  Ax  h h    Th x  x   lim T  t  h    Ax   lim  T  t  h  Ax  T  t  Ax   h 0 h   h 0 Vì:  T hx  x  lim T  t  h    Ax  = x  D  A  vaø T  t  h  bị chặn  h  t h h   lim  T  t  h  Ax  T  t  Ax  = tính liên tục mạnh T(t) h d) Ta cần lấy tích phân từ s đến t hai vế (1.13) có điều phải chứng minh 1.3 NỬA NHĨM CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN CAUCHY Cho X khơng gian Banach cho A tốn tử tuyến tính từ D  A   X vào X Cho x  X , toán Cauchy A với giá trị đầu x :  du  t   Au(t)   dt u    x  t0 Nghiệm toán hàm u(t) thỏa :  có giá trị X  u(t) liên tục với t  , khả vi liên tục  u(t)  D  A  với mọt t > (1.15) Những kết tìm chương thể liên kết tính ổn định mũ cuả họ tiến hóa với tính chấp nhận khơng gian hàm , đặc biệt không gian Orlicz L 3.2 NHỮNG KẾT QUẢ CHÍNH Định lí 3.2  hàm Young khơng gian Orlicz L 1/ Ánh xạ a : *  *  1 t  a  t   t. 1   không giảm t t /  f  s  X ds  a  t  f  , t  , f  L Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh hàm số sau không giảm b : *  * u  b  u    u u Thật   u1  u2 ta có : b  u1     u1  u1 u u   u2  1     s  ds , b  u2      s  ds u1 u2 u2 0 u  ds  dv  u2 u  Đặt s  v   Khi ñoù u u2 v  s  u1 s   v   s  u1  v  u2 Áp dụng công thức đổi biến số tích phân ta có : u u u 1  u1  u1  u1   s ds   v dv    v  dv     u1 0 u1 0  u2  u2 u2 0  u2  u    v  dv u2 0 (  u1  u2  u1 u  1 v  v u2 u2 u     v     v   không giảm )  u2  Mà b  u2     u2  u2 u u 2   s  ds     v  dv  u2 0 u2 Vậy b  u1   b  u2  Suy b không giảm (3.3) Tiếp theo ta chứng minh a hàm không giảm Nghĩa :   t  t cần chứng minh a  t1   a  t  Ta có :   t1  t  1 1 1    1     1   (theo định nghĩa hàm  ta có  hàm t t1  t  t       đặt 2 đặt 1 khơng giảm ) Ta có b khơng giảm nên: b 2   b  1    2   1   2 1 1 1 t2 t1     1 1 1 1  1    1   t 2 1   t1 1    t2   t1   t2   t1  1 1  t1 1    t 2 1    a  t1   a  t   t1   t2  Suy a không giảm (đpcm) Chứng minh Xét f  L , theo định nghĩa f  1   Đặt A   k  : M  f   1 k    Khi   1    inf  k  : M  f   1  k    t 1  1  k  A  M  f       f  s   ds  k k     t 1      f  s   ds  t k t  1 t  1t 1  Mà    f  s  ds      f  s   ds   kt  t k   (do 2.2 ) Nên 1 t     f  s  ds    kt t    t f  s  ds  kt 0    t   f  s  ds  1    1   t 1  k t  1   t    a  t  t   f  s  ds   ka  t  k  A t   f  s   ds  a  t   k , k  A t   f  s   ds  a  t   f  f   inf A t     f  s  ds  f  a  t  , t  0 Hệ 3.2.2 : Chứng minh tương tự định lí ta có kết sau : t0 t  f  s ds  a  t  f  , t  0,t  , f  L (3.4) t0 Định nghĩa 3.2.3: Cặp không gian Orlicz (E , F ) gọi chấp nhận cho họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0 f  E  X  hàm x f xác định sau thuộc F(X) xf :    X t t  x f  t    U  t,s  f  s  ds (3.5) Bổ đề 3.2.4: Nếu cặp không gian Orlicz (E , F ) chấp nhận họ tiến hóa U= U  t,s t  s 0 tồn số k > cho x f F X   k f E X  Chứng minh : Ta xét hàm T định nghĩa sau : T : E  X  F  X f  T  f   Tf Với hàm Tf xác định sau : Tf:   X t t  Tf  t    U  t,s  f  s  ds Khi ta có : i) f,g  E  X  , t  , ta có t T  f  g  t    U  t,s  f  g  s  ds t t   U  t,s  f  s  ds   U  t,s  g  s  ds 0  Tf  t   Tg  t  Suy T  f  g   Tf  Tg (3.6) ii) f  E  X  ,   , t  t t T  f  t    U  t,s  f  s  ds    U  t,s  f  s  ds   Tf  t  0 Suy T  f    Tf (3.7) Từ (3.6) ,(3.7) ta có T tuyến tính Laáy g n nN  E  X  , g  E  X  g n  g E  X  Tgn  h F  X  vaø h  F  X  cho t Ta coù Tgn  t   Tg  t  X t  U  t,s g  s ds   U  t,s g  s ds  n 0 t   U  t,s  g n (s)  g  s  ds t   t0   Me gn (s)  g  s  ds t  g (s)  g  s ds  Me a  t  g  g    Me t n t n E X t  0, n   Khi h = Tg , áp dụng định lí đồ thị đóng ta có T liên tục , mà T tuyến tính nên bị chặn Vì ta có : xf F X   Tf F X   T f F X  f  E  X  (đpcm) (3.8) Bổ đề 3.2.5 Nếu L không gian Orlicz, h  L ,h  tồn số a,b cho r  t  ,r  t  Khi h  L h  r   ah  t   b Chứng minh : Với giả thiết h  r   ah  t   b h  n  1  ah  s   b r  t  ,r  t  , ta có n  ,s   n;n  1 Và từ lấy tích phân vế cuả (3.9) ta có : n 1 n 1 n 1  h  n  1 ds   ah  s ds   b ds n n n   n n 1  h  n  1  a  h  s  ds  b , n   n  h  n  1  a a 1 h L  b   , n   Suy h  n  1   n    c  sup h  n    n Tiếp tục sử dụng giả thiết lần ta có h  t   ah  n   b  h  t   a.c  b   t   n;n  1 , n  * t   n;n  1 , n  *  esssup h  t     h  L t  (3.9) Bồ đề 3.2.6 : Nếu cặp không gian Orlicz  L ,L  chấp nhận cho họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0 , với  hàm Young Khi có điều sau xảy : i) Với tất f  L tồn a,b > cho : x f  r   a xf  t   b r  t  0, r  t  (3.10) ii) Cặp không gian  L ,L  chấp nhận cho họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0 Chứng minh : r i) x f  r    U  r,s  f(s)ds t r   U  r,s  f(s)ds   U  r,s  f(s)ds t t r   U  r,t  U  t,s  f(s)ds   U  r,s  f(s)ds t t r  U  r,t   U  t,s  f(s)ds   U  r,s  f(s)ds t r  U  r,t  x f  t    U  r,s  f(s)ds t r Vaäy x f  r   U  r,t  x f  t    U  r,s  f(s) ds t r   rt   Me   r s  x f  t    Me f(s) ds t Ta có r  t   e  rt   e  M.e  rt   M.e M.e Tương tự:   r s   M.e r r   r s    M.e t f(s) ds   M.e f(s) ds t t 1    M.e t f(s) ds t  r  0,t  r  (3.11) t 1   M.e  f(s) ds  M.e  a 1 f L  X  (3.12) t Vậy từ ( 3.11) & (3.12) ta có :    x f  r   Me    x f  t   M.e a 1 f L  X     đặt a  r t r  t  0, t  r  đặt b Như ta có xf  r   a xf  t   b r  t  0,r  t  (đpcm) ii) Theo kết ta có: xf  r   a xf  t   b r  t  0,r  t  Áp dụng bổ đề 3.2.5 ta có hàm : t  x f (t) thuộc L Theo định nghĩa 3.2.3 ta có cặp khơng gian  L ,L  chấp nhận cho họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0 Bổ đề 3.2.7 : Cho g :  t,t   R t  t  0    hàm số cho thỏa điều kiện sau: 1/ g  t,t   g  t,s  g  s,t  t  s  t  (3.13) 2/Tồn M ,a >0 b   0;1 cho g  t,t   M g  t  a,t   b t  0, t   t ,t  a (3.14) t  (3.15) Khi tồn số N , v > cho : g  t,t   N.e  v t t  Chứng minh :  t  t0  Cho t  t  , đặt n   ta có n số nguyên thỏa  a  n na  t  t   n  1  t t  t0  n 1  a t  na  t  t Áp dụng giả thiết (3.13) với s  t  na ta có : g  t,t   g  t,t  na  g  t  na,t  Áp dụng (3.14) , (3.15) ta có : t  s  t  t  t  g  t  na,t   b n gt ,t  na   M Như ta có : g  t,t   g  t,t  na  g  t  na,t   M.bn t  s  t  Đặt v   ln b  av  ln b  e av  b  e  nav  b n a Suy g  t,t   M.e nav t  s  t  Khi xem N  Meav  M  N.e av Suy g  t,t   N.e av e  nav  N.e Maø  av n 1 t  t  (3.16 ) t  t0  n   t  t  a  n  1 a  v  t  t   va  n  1  e  v t  t  e  va n 1 (3.17) Nên từ (3.16) , (3.17 ) ta có : g  t,t   N.e  v t t  t  t  (đpcm) Định lí 3.2.8 : Họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0  L  X  ổn định mũ ( is uniformly exponentially stable : u.e.s) tồn không gian Orlicz L cho cặp  L ,L  chấp nhận cho họ U   Chứng minh : Chiều thuận : Họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0  L  X  là ổn định mũ ( is uniformly exponentially stable : u.e.s)  tồn không gian Orlicz L cho cặp  L ,L  chấp nhận cho họ U Ta có : U = U  t,s t  s   L  X  họ u.e.s tồn số dương N, v cho thỏa điều kiện sau : U  t,s   N.e  v t s  Ta cần chứng minh cặp  L ,L  chấp nhận cho họ U Thật laáy f tùy ý thuộc L Xét hàm x f :     t t  x f (t)   U  t,s  f  s  ds t Ta có : x f (t)  t  U  t,s  f  s  ds  Ne   Ne  v  t s  t f ds  Ne   vt Ne  vt e vs f   Ne vt f v f  e vs ds  t  f  s  ds t   v t s   vt e 1 v   1   vt    v  e  1 N f   (do vt   evt   vt  1)  v e  N f 1  e  vt  N f  v   Suy x f  L Theo định nghĩa 3.2.3 ta có cặp  L ,L  chấp nhận cho họ U Chiều đảo : Nếu tồn không gian Orlicz L cho cặp  L ,L  chấp nhận cho họ tiến hóa U = U  t,s t  s 0  L  X  họ U ổn định mũ Ta có cặp không gian  L ,L  chấp nhận   cho họ U theo bổ đề 3.2.6, cặp không gian  L ,L  chấp nhận cho họ U Với x  X, t  , ta xét hàm số sau : f :   X  U  t,t  x t  f t   0 t   t ,t  1 (3.18) t    \  t ,t  1 Ta dễ dàng kiểm tra f  L  X  f L  X  M.e  1 1 x i) Chứng minh f  L  X  : Ta có L  f :    X cho k  M  kf    Với k > 0, xét  kf  s     M  kf     kf  s  ds      a da ds   Mà U = U  t,s t t 1 k U  s;t x   a  da ds  t0 họ tiến hóa nên  số M,   cho  s 0   t s  U  t,s   Me t  s  Mặt khác U  t;s   L  X   U  t;s  x   U  t;s  L X  x X Do t 1 k U  s;t x M  kf      a  da ds  t0   s t  t 1 kMe      t0 ii) Chứng minh f   a  da ds    kMe x X  (đpcm )  M.e  L  X  X f  L  X  1   a  da ds, s   t ;t  1  t 1 kMe x Đặt K  M.e X  t0 Suy x 1  1 x Ta có f 1  x  1    inf  k  : M  f   1  inf A k    A 1  Chứng minh K  A , nghĩa M  f   K  1  Ta có M  f   K  U s;t x t 1 K    t 1    t0 1 t 1   a  da ds  M.e  1 1  t0 1     a da ds    1   1 t0 Me x  x  X   a  da ds 1  Suy M  f    f K   M.e L  X   1 1 x (đpcm) (3.19) Theo định nghĩa 3.2.3 ta lại có 0  x f  t    U  t,s  f  s  ds   t 1   U  t,s  U  s,t  xds  t0 t t 1 Mà  t  t t  t  t 1  U  t,s U  s,t  xds  t0  U  t,t  xds t0 t 1  U  t,t  x  ds  U  t,t  x t0 Suy 0 xf  t    U  t,t  x neáu  t  t neáu t  t  Như ta có : U  t,t  x  x f  t   x f  k f   k.Me x   L  X  1     L t  t  1,t  0, x  X Do tồn L > cho U  t,t   L Cho t  t  (3.20) t  ,  x  X vaø g :   X U  t,t  x t  gt   0 Khi g  L  X  g  L  X Điều kéo theo t x g  t    U  t,s  g  s  ds L x 1        t   t ,t    t    \  t ,t    (3.21) t   U  t,s  ds 0 t     U  t,s  U  s,t  xds t0  t   U  t,s  U  s,t  xds  t  0    t  t  U  t,t  x   U  t,t  x neáu t  [0,t ) neáu t   t ,t    neáu t   t   ,   t  [0,t ) t   t ,t    t t0   ,   t  Ta có t   s  t  U  t   ,t  ds  U  t   ,t    s  t  ds t0 t0  U  t   ,t   U  t   ,t  s  t0   t  t0 2 Như 2 t  U  t   ,t  x   s  t  U  t   ,t  ds t0 t   s  t  U  t    ,s  U  s,t  ds t0 t   s  t  U  t  0   ,s  U  s,t  ds t0 t    s  t  L U  s,t  ds ( 3.19) t0 t  L t    s  t  U  s,t  ds  L  0 t0 t0  L.a   x g  L.a    xg  s  ds L  X  k' g L  X ( hệ 3.2.2 ) (do bổ đề 3.2.4 )  L.a   k ' L x 1        1  L. 1   k' L x 1           k 'L2 x 2 Ta có U  t   ,t  x  U  t   ,t  x  U  t   ,t  (do (3.21)) 1 a     1     t  ,  , x  X    k'L2 x 2k 'L2  2k 'L2  t  ,  , x  X x t  ,   , x  X t  ,  Áp dụng bổ đề 3.2.7 hàm g  t , t0   U  t , t0  tồn số N , v > cho : U  t   ,t   N.e v t  0,  Như họ tiến hóa U = U  t,s t  s   L  X  ổn định mũ KẾT LUẬN Trong chương , giới thiệu kiến thức để xây dựng chương chương Trong chương , xây dựng giới thiệu không gian hàm đặc biệt , khơng gian Orlicz số kết có khơng gian Trong chương , chúng tơi trình bày kết có việc biểu diễn tính ổn định mũ họ tiến hóa dạng chấp nhận khơng gian Orlicz Q trình thực luận văn giúp bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học tiếp cận với hướng phát triển toán học đại , đồng thời dịp để vận dụng kiến thức Thầy Cơ truyền dạy vào tốn nghiên cứu cụ thể Tơi hy vọng có hội tiếp tục nghiên cứu phát triển tiếp kết từ luận văn tương lai TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.PAZY (1983) Semigroups of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations Springer – Verag , NewYord [2] PERRON O ,Die Stabilitatsfrage Bei Differentialgeihungen , Math.Z.32(1930), 703728 [3] C CHILARESCU-A.POGAN-C.PREDA , Rend.Sem.Mat Univer Pol.Torino – Vol 63,2 (2005) [4 ] MASSERA J.L AND SCH A FFER J.J.,Linear Differential Equations and Function Spaces , Academic Press , New York 1966 [5] N VAN MINH N,R A BIGER F.AND SCHNAUBELT R Exponential Sability ,Exponential Expansiveness and Exponential Dichotomy of Evolution Equations on The half-line , Int Eq Op Theory 32 (1998) , 332 – 353 [6] N VAN MINH,On The Proof of Charaterizations of The Exponential Dichotomy,Proc Amer Math.Soc 127 (1999), 779-782 [7] VAN NEERVEN J.,The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators,Operator Theory Ad-vances and Applications 88,Birkhausser Verlag, 1996 [8] ZAANEN A.C., Integration , North-Holland , Amsterdam 1967 ... có khơng gian Chương : Biểu diễn tính ổn định mũ họ tiến hóa dạng chấp nhận khơng gian Orlicz Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 NỬA NHĨM LIÊN TỤC ĐỀU CÁC TỐN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Định nghĩa... HĨA DƯỚI DẠNG CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA KHÔNG GIAN ORLICZ 3.1 GIỚI THIỆU Trong chương chứng minh chuỗi tiến hóa khơng gian Banach X ổn định mũ ( ) hàm f đo thuộc không gian Banach E(X) xác định hàm... chương thể liên kết tính ổn định mũ cuả họ tiến hóa với tính chấp nhận không gian hàm , đặc biệt khơng gian Orlicz L 3.2 NHỮNG KẾT QUẢ CHÍNH Định lí 3.2  hàm Young khơng gian Orlicz L 1/ Ánh