TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN LÊ THỊ ĐAN ANH SỰ TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG XOẮN ỐC LOGARIT TRONG KHƠNG GIAN C2 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Cử nhân Toán-Tin Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Đà Nẵng - 5/2014 Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi không gian Affine 1.1.1 Đẳng cấu Affine 1.1.2 Phép biến đổi Affine 1.2 Đường cong đồng Affine 1.3 Đại số Lie 1.4 Các khái niệm Tính đồng 1.5 Các đường xoắn ốc mà ta gặp: đa tạp 4 4 9 11 Sự tổng quát đường xoắn ốc logarit không gian C2 2.1 Đại số trường vectơ tiếp xúc với bề mặt đồng nhất: 2.2 Lấy tích phân đại số Lie (7) trường hợp r = 0: 2.3 Lấy tích phân đại số Lie (7) trường hợp r = 2.4 Các phép biến đổi affine mặt thuộc họ dạng (2): 12 12 16 28 38 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng hướng dẫn tận tình giáo - Nguyễn Thị Thùy Dương Em xin gửi đến lịng kính trọng biết ơn sâu sắc Trong q trình học tập làm khóa luận, thơng qua giảng, học, em nhận quan tâm, giúp đỡ ý kiến đóng góp thầy giáo, TS,ThS thuộc khoa Tốn Đại học Sư Phạm Đại học Đà Nẵng Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cô Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em suốt thời gian học tập làm khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tất người cổ vũ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn Đà Nẵng, tháng năm 2014 Lê Thị Đan Anh MỞ ĐẦU Được biết, đường xoắn ốc logarit : = |z|eB.argz , z = x + iy, B ∈ R (1) đường cong đồng affine mặt phẳng R2 có tọa độ x,y Khi phép biến đổi affine mặt phẳng di chuyển điểm đường xoắn ốc theo đường cong phép biến đổi affine theo nghĩa phức Viêc mô tả siêu diện thực đồng affine không gian C xuất cách tự nhiên tổng quát đường cong (1) Ví dụ, bề mặt ống: M = γ + iR2 ⊂ C2 đường cong đồng affine γ ∈ R2 ( γ đường xoắn ốc logarit) bề măt đồng affine C2 Trong khóa luận rằng, có tổng quát dạng khác Tôi xây dựng họ bề mặt đồng affine khơng gian C2 , phương trình chúng có dạng: Re(z.w) = |z|.eB.argz , B ∈ R (2) hệ tọa độ (z,w) không gian cách tự nhiên liên quan đến phương trình (1) Lưu ý rằng, việc mơ tả siêu diện thực đồng affine C2 chưa xác định đầy đủ Họ bề mặt có dạng (2) ví dụ đa tạp đồng Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Phép biến đổi không gian Affine Đẳng cấu Affine Định Nghĩa Nếu ánh xạ Affine f:A → A không gian Affine A song ánh gọi phép đẳng cấu Affine khơng gian Affine A lên không gian Affine A’ Định Nghĩa Không gian Affine A gọi đẳng cấu với không gian Affine A’ tồn đẳng cấu Affine f:A → A cho:f (A) = A Ký hiệu:A ∼ =A 1.1.2 Phép biến đổi Affine Định Nghĩa Phép đẳng cấu Affine f : A → A khơng gian Affine A lên gọi phép biến đổi Affine f không gian Affine A gọi tắt phép Affine Khi ánh xạ tuyến tính liên kết → − → − ϕ : A → A f phép tự đẳng cấu tuyến tính cịn gọi phép biến đổi tuyến tính 1.2 Đường cong đồng Affine Định Nghĩa Đường cong γ ∈ R2 gọi đường cong đồng Affine cho hai điểm đường cong tồn phép biến đổi Affine chuyển điểm sang điểm (cùng với lân cận nó) Những đường cong đồng Affine đường cong bảo toàn phép biến đổi Affine thích hợp Phép biến đổi tọa độ sau phép biến đổi Affine :    a1 b1  x = a1 x∗ + b1 y ∗ + c1  (1.1) , với ∆ =   a2 b2  = y = a2 x∗ + b2 y ∗ + c2 Trong : (x,y) - tọa độ gốc, (x∗ , y ∗ ) - tọa độ chuyển đổi Lưu ý : Phép biến đổi Affine (1.1) với điều kiện ∆ viết: x∗ = a1 x + b1 y + c1 y ∗ = a2 x + b2 y + c2 Bài tốn: Mơ tả đường cong đồng Affine mặt phẳng Lưu ý : Các đường cong đồng Affine mặt phẳng đường cong biến đổi thành phép biến đổi Affine Ví du Đường cong S = x2 + y = đường cong đồng Affine Thật vậy, phép quay mặt phẳng với góc ϕ : x∗ = xcosϕ − ysinϕ y ∗ = xsinϕ + ycosϕ phép biến đổi Affine bảo tồn đường trịn Chọn góc ϕ = ϕB − ϕA ta thu phép biến đổi cần tìm định nghĩa 1.9 Định lí Tất đường cong không suy biến cấp hai, : ellip, hyperbolic, parabolic đường cong đồng Affine Chứng minh: x2 y a) Xét đường Ellip : + = a b Được biết, đường ellip đường trịn bị "nén" Điều có nghĩa việc nén dọc theo trục tọa độ có phương trình: x∗ = cx y∗ = y (1.2) Thay (1.2) vào phương trình đường trịn x2 + y = R2 , ta nhận được: (x∗ )2 + (y ∗ )2 = R2 c (x∗ )2 (y ∗ )2 + = : phương trình Ellip (cR)2 R2 Tồn phép biến đổi Affine (tuyến tính) biến đường ellip thành đường tròn Điểm A B đến điểm A∗ B ∗ tương ứng Trong điểm nằm đường trịn thuộc đường tròn Mà đường tròn đường cong đồng Affine Vì vậy, tồn phép đổi affine, mà điểm A∗ di chuyển đến điểm A∗∗ = B ∗ Và điểm chuyển đến điểm đường tròn thuộc đường tròn Việc chuyển đổi ngược biến đường trịn thành ellip điểm A∗∗ di chuyển đến điểm A∗∗∗ = B Sự kết hợp phép biến đổi Affine biến điểm A thành điểm B Lưu ý : Giữa đường cong nghiên cứu đường cong đồng biết tồn song ánh Affine đường cong đường cong đồng Affine b) Xét đường Hyperbolic : x2 y − =1 a2 b2 Ta sử dụng phép biến đổi : x = x∗ a y = y∗b Để biến hyperbolic thành: (x∗ a)2 (y ∗ b)2 − = ⇔ x2 − y = (1.3) 2 a b Chúng ta sử dụng hàm hyperbolic (cht sht) Như ta biết, hàm sinϕ, cosϕ hàm lượng giác thỏa mãn: sin2 ϕ + cos2 ϕ = Các hàm hyperbolic : ch2 t − sh2 t = Xét phép biến đổi Affine (tuyến tính) gọi phép quay hyperbolic: x∗ x = A (1.4) y∗ y x y với A = cht sht sht cht x∗ y∗ = A−1 cht −sht −sht cht , A−1 = (1.5) = ch(−t) sh(−t) sh(−t) ch(−t) Phép biến đổi biến đổi hyperbolic (1.3) thành thực việc biến đổi điểm đường cong ảnh chúng: x y −1 =A x∗ y∗ = x∗ ch(−t) + y ∗ sh(−t) x∗ sh(−t) + y ∗ ch(−t) x2 − y = (x∗ )2 ch2 (−t) + (y ∗ )2 sh2 (−t) + 2x∗ y ∗ ch(−t)sh(−t) −(x∗ )2 sh2 (−t)−(y ∗ )2 ch2 (−t)−2x∗ y ∗ ch(−t)sh(−t) = ⇔ (x∗ )2 −(y ∗ )2 = Điểm x∗ y∗ ∈ Γ, chuyển thành điểm x y , nằm hyperbolic Chỉ rằng, phép biến đổi Affine (tuyến tính), điểm hyperbolic dịch sang điểm khác đường cong Để làm điều này, ta cho điểm M(1;0) thuộc hyperbolic giác Cho N (x0 ; y0 ) (với x0 = cht, y0 = sht), điểm chuyển đổi M qua phép biến đổi Affine x∗ y∗ =A = N (cht; sht) = cht sht et + e−t et − e−t , 2 Tại t = arcshy0 (hoặc t = arcchx0 ) điểm tìm Trên đường cong lấy thêm điểm K(x1 , y1 ) Dùng phép biến đổi (1.5) biến K → M ϕn N →K :M →N (ϕn )−1 : N → M ϕk :M →K Kết hợp phép biến đổi ϕm = ϕk (ϕn )−1 : N → K biến hyperbolic thành hyperbolic Vì vậy, đường cong đồng c) Xét đường parabolic : y = x2 Xét phép biến đổi Affine tùy ý : x = a1 x∗ + b1 y ∗ + c1 y = a2 x∗ + b2 y ∗ + c2 Và chọn hệ số để parabolic biến đơỉ thành a2 x∗ + b2 y ∗ + c2 = (a1 )2 (x∗ )2 + (b1 )2 (y ∗ )2 + (c1 )2 + 2a1 b1 x∗ y ∗ + 2a1 c1 x∗ + 2b1 c1 y ∗ Chọn a1 = 1, b1 = 0, b2 = Khi : a2 x∗ + y ∗ + c2 = (x∗ )2 + c21 + 2c1 x∗ , suy y ∗ y ∗ = (x∗ )2 +2c1 x∗ +c21 −c2 −a2 x∗ y ∗ = (x∗ )2 +2(c1 −a2 )x∗ +(c21 −c2 ) Ta có: 2c2 − a2 = a2 = 2c1 , c1 − c2 = c2 = c21 Khi đó, phép biến đổi Affine trở thành : x = x∗ + c y = 2cx∗ + y ∗ + c2 (1.6) parabolic bảo toàn, với c tùy ý Xét điểm M(1;1) parabolic Giả sử N (x0 ; y0 ) điểm nằm parabolic Ta sử dụng phép biến đổi Affine (1.6) cách phù hợp để biến điểm M thành điểm N (x0 ; y0 ) Điều có nghĩa rằng, cần phải giải hệ phương trình sau: = x0 + c = 2cx0 + y0 + c2 (1.7) Từ phương trình đầu ta có c = − x0 , ta giải phương trình thứ hai hệ phương trình (1.7) Tương tự với cách lập luận áp dụng cho đường hyperbolic ta chứng minh parabolic đường cong đồng 1.3 Đại số Lie Định Nghĩa Cho K trường L K - KGVT Ta nói L K - đại số Lie L trang bị thêm phép nhân gọi tích Lie (hay móc Lie) [., ] : L × L → L (x, y) → [x, y] gọi tích Lie x với y thỏa mãn tiên đề sau: (i) (L1 ) : [., ] song tuyến tính (ii)(L2 ) : [., ] phản xứng : [x, x] = ∀x ∈ L (iii)(L3 ) : [., ] thỏa mãn đồng Jacobi: [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = Nhận xét - Trên K bất kì, L trang bị tích Lie tầm thường [x, y] = ∀x, y ∈ L để trở thành đại số Lie Khi đó, ta gọi L đại số Lie giao hoán - Trên K - KGVT L ta trang bị nhiều hay vơ số đại số Lie khác thay đổi tích Lie khác - Mỗi đại số Lie KGVT nên số chiều đại số Lie số chiều KGVT 1.4 Các khái niệm Tính đồng đa tạp Trong khóa luận xét câu hỏi mà chúng xuất toán (tuy nhiên chưa giải quyết), mô tả siêu diện đồng Affine không gian phức liên quan đến phép lấy tích phân Dùng phép biến đổi affine sau: z∗ = z w∗ = −iw ⇒ −Im(z − iw) = |z|.eB.argz ta thấy vế phải khơng thay đổi, cịn vế trái bằng: −Im(z − iw) = −Im[(x + iy) − i(u − iv)] = −Im[(x+iy).(−iu−v)] = −Im[−xui−xv +yu−iyv] = −(−xu − vy) = xu + vy = Re(z.w) Vây, có phương trình bề mặt cần tìm: Re(z.w) = |z|.eB.argz 2.3 Lấy tích phân đại số Lie (7) trường hợp r=0 Trong trường hợp này, sở ban đầu E1 , E2 , E3 có dạng đơn giản sau:       −2i 0 2t i −4it −2i E1 =  4i 0  , E2 =  0  , E3 =  −2i  (12) 0 0 0 0 mối quan hệ giao hốn đại số (12) có dạng: [E1 , E2 ] = 2tE1 − 4E3 , [E1 , E2 ] = 0, Sau xét ma trận đồng dạng sau:    i  C= −t  0 28 [E1 , E2 ] = Suy ra:  C−1  −2it −2i = 0 0 Với ma trận đồng dạng ma trận sở có dạng đơn giản sau:   −2it −2it D∗1 = C −1 E1 C =  −2it , 0  2t 2t D∗2 = C −1 E2 C =  i i , 0   −2i −2i D∗3 = C −1 E3 C =  −2i  0  Chúng ta chuyển đổi ma trận sở sở D1 , D2 , D3 Mỗi ma trận Dk sở tổ hợp tuyến tính ( với hệ số thực) ma trận sở cũ: D1 = D1∗ − t.D3∗ D2 = D2∗ D3 = D3∗ đó: 29       0 2t 2t −2i −2i D1 =  1  , D2 =  i i  , D3 =  −2i  0 0 0 0 Khi ma trận D1 − D3 tương ứng với trường vectơ sau: ∂ , ∂w ∂ ∂ D2 = 2t(z + 1) + (iz + i) ∂z ∂w ∂ ∂ D3 = −2i(z + 1) − 2iw ∂z ∂w D1 = (z + 1) (14) Ta có hệ phương trình thõa mãn điều kiện tiếp xúc từ dạng (14):  ∂F   Re (x + iy + 1).( + i) =   ∂u        ∂F ∂F ∂F Re 2t(x + iy + 1)( −i ) + i(x + iy) + i( + i) =  ∂x ∂y ∂u        ∂F ∂F ∂F   −i ) − 2i(u + iF )( + i) =  Re − 2i(x + iy + 1)( ∂x ∂y ∂u Đơn giản hóa hệ, ta có:  ∂F   (x + 1) =y   ∂u       ∂F ∂F ∂F 2t(x + 1) + 2ty −y =x+1 ∂x ∂y ∂u        ∂F ∂F ∂F   y − (x + 1) +F = −u ∂x ∂y ∂u Từ phương trình (15): (x + 1) ∂F =y ∂u 30 (15) (13) ∂F y = ∂u x+1 du x + ⇒ = dF y y ⇒ dF = du x+1 y ⇒F = u + G(x, y) x+1 ⇒ Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u F = y + G(x, y) x+1 (16) G hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào hai biến Từ phương trình dạng (16), ta có đạo hàm riêng: ∗ ∗ ∗ ∂F y = ∂u x+1 ∂F −uy ∂G = + ∂x (x + 1)2 ∂x u ∂G ∂F = + ∂y x+1 ∂y Thay vào hệ phương trình (15), ta được: phương trình thứ hai: ∗ 2t(x + 1) ⇔ 2t(x + 1) ⇔ ∂F ∂F ∂F + 2ty −y =x+1 ∂x ∂y ∂u −uy ∂G u ∂G y + + =x+1 +2ty −y (x + 1)2 ∂x x+1 ∂y x+1 −2tuy ∂G 2tuy ∂G y2 + 2t(x + 1) + + 2ty − =x+1 x+1 ∂x x + ∂y x+1 31 ∂G y2 ∂G + 2ty =x+1+ ⇔ 2t(x + 1) ∂x ∂y x+1 ∂G ∂G (x + 1)2 + y ⇔ 2t(x + 1) + 2ty = ∂x ∂y x+1 phương trình thứ ba: ∂F ∂F ∂F − (x + 1) +F = −u ∂x ∂y ∂u ∗ y ⇔y ∂G ∂G −uy u yu −(x+1) + + + +G(x, y) (x + 1)2 ∂x x + ∂y x+1 −u y = x+1 −uy ∂G ∂G y2u y ⇔ + y − u − (x + 1) + + G(x, y) = −u (x + 1)2 ∂x ∂y (x + 1)2 x + ⇔y ∂G ∂G y − (x + 1) + G = ∂x ∂y x+1 Thay x+1=ζ vào hai phương trình trên, ta có hệ phương y=η trình mới:  ∂G ∂G ζ + η    2tζ + 2tη =   ∂ζ ∂η ζ   ∂G ∂G η   −ζ =− G η ∂ζ ∂η ζ Chuyển hệ tọa độ cực ζ, η ζ = ρ.cosϕ η = ρ.sinϕ ta có: 32 (∗)    ρ= ζ + η2 η    ϕ = arctan ζ mà ∗ ∂G ∂G ∂ρ ∂G ∂ϕ ∂G = + = ∂ζ ∂ρ ∂ζ ∂ϕ ∂ζ ∂ρ = ∗ ζ + η2 + ∂G −η ∂ϕ η ζ +1 ζ ∂G ζ ∂G −η + ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 ∂G ∂G ∂ρ ∂G ∂ϕ ∂G = + = ∂η ∂ρ ∂η ∂ϕ ∂η ∂ρ = ζ η ζ + η2 + ∂G 1 ∂ϕ η ζ ( 2) + ζ ∂G η ∂G ζ + ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 Thay vào phương trình thứ hệ (*) : ∗ 2tζ ∂G ∂G ζ + η + 2tη = ∂ζ ∂η ζ ⇔ 2tρ.cosϕ ∂G ζ ∂G −η ∂G η ∂G ζ + +2tρ.sinϕ + ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = ρ.cosϕ ⇔ 2tρ.cosϕ ∂G ρ.cosϕ ∂G −ρ.sinϕ ∂G ρ.sinϕ ∂G ρ.cosϕ + +2tρ.sinϕ + ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = ρ.cosϕ 33 ⇔ 2tρ.cos2 ϕ ∂G ∂G ∂G ∂G − 2tsinϕcosϕ + 2tρsin2 ϕ + 2tsinϕcosϕ ∂ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ = ρ.cosϕ ⇔ 2tρ ⇔ 2t ∂G ρ = ∂ρ cosϕ ∂G = ∂ρ cosϕ Thay vào phương trình thứ hai hệ (*) : ∂G ∂G η −ζ =− G ∂ζ ∂η ζ ∂G ζ ∂G −η ∂G η ∂G ζ η ⇔ ρ.sinϕ + −ρ.cosϕ + = − G ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ρ ζ ∗ η ⇔ ρ.sinϕ =− ∂G ρ.cosϕ ∂G −ρ.sinϕ ∂G ρ.sinϕ ∂G ρ.cosϕ + + −ρ.cosϕ ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 ∂ρ ρ ∂ϕ ρ2 ρsinϕ G ρcosϕ ⇔ ρcosϕsinϕ ⇔ ∂G ∂G ∂G ∂G ρsinϕ −sin2 ϕ −ρcosϕsinϕ −cos2 ϕ =− G ∂ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ϕ ρcosϕ ∂G = tanϕ.G ∂ϕ ta có hệ phương trình vi phân mới: 34  ∂G   2t =    ∂ρ cosϕ (17)   ∂G   = tanϕ.G  ∂ϕ Phương trình thứ hai (17): ∂G = tanϕ.G ∂ϕ ∂G ⇔ =G ∂tanϕϕ dG dρ ⇒ tanϕdϕ = = G dρ ∗ tanϕdϕ = ⇒ρ=C dG ∗ tanϕdϕ = G tích phân hai vế, ta được: −ln|cosϕ|dϕ = ln|G| + C ⇔ ln|cosϕ|dϕ + ln|G| = C ⇔ ln|cosϕ.G| = C ⇔ cosϕ.G = C = H(ρ) ⇔G= H(ρ) cosϕ Nghiệm tổng quát có dạng: G= H(ρ) cosϕ H hàm giải tích tùy ý phụ thuộc vào biến ρ (ρ bán kính cực) 35 suy đạo hàm riêng G theo biến ρ: ∂G = H (ρ) ∂ρ cosϕ Thay vào phương trình (17) có dạng: ∂G = 2t .H (ρ) ∂ρ cosϕ 2t ⇔ = H (ρ) cosϕ cosϕ ⇔ H (ρ) = 2t Từ H (ρ) = 2t Suy nghiệm phương trình vi phân hàm sau: ⇔ 2t H(ρ) = ρ + C 2t Ta có: ρ= ζ + η2 = (x + 1)2 + y ζ = ρ.cosϕ ⇒ cosϕ = ζ = ρ x+1 (x + 1)2 + y Trở tọa độ ban đầu ta xem xét thay mà ta làm: u y + G(x, y) x+1 u H(ρ) v= y + x+1 cosϕ v= ( (x + 1)2 + y + C) (x + 1)2 + y u v= y + x+1 2t.(x + 1) v= (x + 1)2 + y + C (x + 1)2 + y u y + x+1 2t.(x + 1) Dùng phép biến đổi affine sau: 36 z∗ = z + w∗ = w x2 + y + C (x)2 + y u ⇒ v = y + x 2t.x Để đơn giản hơn, ta có hàm sau: v= x2 + y + C (x)2 + y u y + x x Nhân hai vế cho x, ta được: v.x = x2 + y + C ⇔ v.x − u.y = x2 + y + C ⇔ −Im(z.w) = x2 + y + C (x)2 + y + u.y (x)2 + y (x)2 + y ⇔ −Im(z.w) = |z|2 + C.|z|, C − const Vậy: −Im(z.w) = |z|2 + |z| Ta dùng phép biến đổi affine sau: z∗ = z w∗ = −z − iw Khi đó, −Im(z.w) = |z|2 + |z| ⇔ −Im[z.(−i.z − i.w] = |z|2 + |z| ⇔ −Im[(x + iy).(−i.(x − iy) − i.(u − iv)] = |z|2 + |z| ⇔ −Im[−ix2 − ixu − xv − iy + uy − iyv] = |z|2 + |z| 37 ⇔ x2 + y + xu + yv = |z|2 + |z| ⇔ xu + yv = |z| ⇔ Re(z.w) = |z| Vậy: Re(z.w) = |z| tức nói đến (2) r=0 2.4 Các phép biến đổi affine mặt thuộc họ dạng (2): Để chứng minh tính đồng affine bề mặt thu được, cần có họ phép biến đổi affine tác dụng bắc cầu lên bề mặt Các phép biến đổi thu cách lấy etE1 , etE2 , etE3 trường sở đại số (7) ∗ Phép biến đổi ϕ1 = z ∗ = λ.z , mà λ = e−2sti , |λ| = ∗ 6sr w = e λ.w (18) thu esE1 , (s ∈ R số tùy ý), bảo toàn mặt: −3r.argz t Im(z.w) + |z|.e =0 (19) Thật vậy, thay thế: Im(z.w) → Im(λz.λe6rs w) = e6rs Im(z.w) tương tự vậy: 38 −3r.arg(λz) −3r(argz + argλ) −3r.argz t t t → |λz|.e = |z|.e |z|.e −3r.argz −3r.argz −3r.(−2st) t t t e = e6rs |z|.e = |z|.e −3r.argz t ⇒ e6rs Im(z.w) + e6rs |z|.e =0 ∗ Phép biến đổi: ϕ2 = z ∗ = es z w∗ = w (20) thu esE2 , (s ∈ R số tùy ý), bảo toàn mặt: Thật vậy, thay thế: Im(z.w) → Im(es z.w) = es Im(z.w) tương tự vậy: −3r.argz −3r.arg(es z) −3r(argz + arges ) t t t |z|.e → |es z|.e = |es z|.e −3r.argz −3r.argz −3r.arges t t t e = es |z|.e = |es z|.e −3r.argz t ⇒ es Im(z.w) + es |z|.e =0 ∗ Phép biến đổi: ϕ3 = z∗ = z w∗ = sz + w (21) thu esE3 , (s ∈ R số tùy ý), bảo toàn mặt: Thật vậy, thay thế: Im(z.w) → Im(z.sz + w) = es Im(z.(sz + w)) = Im(s.z.z + z.w) = Im(z.w) (vì s.z.z số thực) 39 tương tự vậy: −3r.argz −3r.argz t t |z|.e → |z|.e −3r.argz t ⇒ Im(z.w) + |z|.e =0 Rõ ràng phần dịch chuyển (cột thứ ba) ma trận sở (7) đại số tạo thành không gian thực ba chiều Điều tương ứng với tác động bắc cầu lên bề mặt ba chiều phép biến đổi (18),(20),(21) 40 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu, với hướng dẫn nhiệt tình giáo Nguyễn Thị Thùy Dương em hồn thành khóa luận tơt nghiệp Tồn khóa luận tập trung thảo luận vấn đề liên quan đến tốn mơ tả siêu diện thực đồng affine không gian C2 Lấy tích phân họ đại số Lie ma trận, mà ma trận tương ứng với lớp bề mặt đồng Phương trình bề mặt thu tống quát đường xoắn ốc logarit không gian C2 Trong trình làm, để kiểm tra độ xác tốn phức tạp, em sử dụng cơng cụ tốn học mathcap, maple Mặc dù có nhiều cố gắng, nổ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức cịn hạn chế thời gian khơng cho phép nên đề tài tránh khỏi sai sót Em mong nhận ý kiến đóng góp từ phía thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 41 Tài liệu tham khảo [1] Shirokov, AP Affine differential geometry / AP Shirokov / / PA Shirokov M Fizmatgtz - 1959 - 319s [2] Loboda AV, AS Khodarev On a family of affine-homogeneous real hypersurfaces of 3-dimensional complex space / / "News UW-Call Mathematics "2003, No 10 Pp 38-50 [3] Loboda AV Affine-homogeneous real hypersurfaces of 3-dimensional complex space AV Loboda / / Bulletin of VSU Ser "Physics Mathematics " 2009, vol Pp 71-91 [4] Nhập mơn giải tích phức Phần I // B.V SABAT "Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiêp" [5] Hình học cao cấp - Nguyễn Mộng Hy (2000)- Nhà xuất Giáo dục 42 ... ∗ Đường xoắn ốc Fermat (Fermat’s Spiral ) đựoc gọi đường xoắn ốc parabolic có phương trình: r = a2 θ Tất nhiên Fermat, vào năm 1636 11 Chương Sự tổng quát đường xoắn ốc logarit không gian C2. .. đồng affine không gian C xuất cách tự nhiên tổng quát đường cong (1) Ví dụ, bề mặt ống: M = γ + iR2 ⊂ C2 đường cong đồng affine γ ∈ R2 ( γ đường xoắn ốc logarit) bề măt đồng affine C2 Trong khóa... đường xoắn ốc có dạng ρ = f (ϕ) ta có f (ϕ + 2π) < f (ϕ) f (ϕ + 2π) > f (ϕ) với ϕ Các đường xoắn ốc quen thuộc đường xoắn ốc Acsimet, hypebôlic, lôgagic, parabôlic, Các đường xoắn ốc: ∗ Đường xoắn