TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SIÊU DIỆN THỰC ĐỒNG NHẤT AFFINE TRONG KHƠNG GIAN C2 Chun ngành: Cử Nhân Tốn Tin Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Thùy Dương Sinh viên thực hiện: Phan Thị Trang Lớp: 10CTT2 ĐÀ NẴNG, 5/2014 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 LỜI CẢM ƠN! Tôi xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Thùy Dương hướng dẫn nhiệt tình,chỉ bảo,giúp đỡ tơi hồn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn tạo điều kiện thuận lợi,đóng góp ý kiến để tơi hồn thành tốt khóa luận Tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè động viên,ủng hộ ,tạo điều kiện cho thời gian thực khóa luận Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót , mong bảo quý thầy cô bạn Đà Nẵng,tháng năm 2014 Sinh viên thực Phan Thị Trang Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU: Chương I:CƠ SỞ LÝ THUYẾT: 2.1.Phép biến đổi không gian Affine 2.1.1.Đẳng cấu Affine 2.1.2.Phép biến đổi Affine .5 2.2 Đại số Lie 2.3 Định lý hàm số ẩn 2.4 Bao tuyến tính 2.5 Đường cong đồng Affine .10 2.6 Toán tử vi phân 14 2.7 Đinh nghĩa khái niệm bản.Tính đồng đa tạp .15 2.8 Hàm giải tích 16 Chương II: Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 SIÊU DIỆN THỰC ĐỒNG NHẤT AFFINE TRONG C2 3.1 Phương trình tắc bề mặt .18 3.2 Đại số trường vector tuyến tính siêu diên thực 26 3.3 Kết luận số chiều đại số trường vector 34 KẾT LUẬN: 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO: .39 Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU Các đối tượng hình học chẳng hạn đường cong bề mặt biết cho phương trình (phương trình dạng tường minh phương trình dạng ẩn) Trong khóa luận nghiên cứu vấn đề liên quan đến tốn mơ tả siêu diện thực đồng Affine khơng gian phức C2 Bài tốn phức tạp chưa giải đầy đủ Bề mặt Re(zw) = |z|eBargz , B ∈ R ví dụ thuộc lớp siêu diện nghiên cứu Khóa luận tơi ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung gồm hai chương Chương I giới thiệu kiến thức liên quan đến nội dung nghiên cứu Chương II nghiên cứu vấn đề trình giải tốn ban đầu: viết phương trình tắc siêu diện thực đồng affine không gian phức C2 đánh giá số chiều đại số trường vector lên siêu diện Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2.1 Phép biến đổi không gian Affine 2.1.1 Đẳng cấu Affine a.Định nghĩa : Nếu ánh xạ Affine f:A → A song ánh f phép đẳng → − → − cấu Affine khơng gian Affine A’ Khi ϕ( A ) = A phép đẳng cấu tuyến tính hai khơng gian có số chiều 2.1.2 Phép biến đổi Affine a.Định nghĩa: Phép đẳng cấu Affine f : A → A khơng gian Affine A lên gọi phép biến đổi Affine f không gian Affine A gọi tắt → − → − phép Affine Khi ánh xạ tuyến tính liên kết ϕ : A → A f phép tự đẳng cấu tuyến tính cịn gọi phép biến đổi tuyến tính b.Định lý: Trong khơng gian Affine An cho hai hệ điểm độc lập Ao , A1 , , An A0 , A1 , , An Khi có phép biến đổi Affine f : An → An cho f (Ai ) = Ai với i = 0, 1, , n Chứng minh: −−−→ Vì n+1 điểm A0 , A1 , , An độc lập An nên hệ n vector A0 A1 , −−−→ −−−→ − → A0 A2 , , A0 An sở không gian vector An liên kết với An Khi có ánh xạ tuyến tính −−−−→ −−−→ − → − → ϕ : An → An cho ϕ(Ao Ai ) = (A0 Ai ) với i = 0, 1, , n ⇒ ϕ song ánh ⇒ ϕ đẳng cấu tuyến tính Mặt khác,Theo tính chất có phép Affine nhấtf : An → An Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 cho f (Ao ) = Ao (vì f có ánh xạ ϕ đẳng cấu tuyến tính) Như f (Ai ) = Ai f c.Định lý 2: Tích hai phép Affine phép Affine có phép biến đổi tuyến tính liên kết tích phép biến đổi tuyến tính liên kết hai phép Affine cho Đảo ngược phép Affine phép Affine có phép biến đổi tuyến tính liên kết đảo ngược phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Affine cho Chứng minh: Cho hai phép Affine f : A → A g : A → A có phép biến đổi → − → − → − → − tuyến tính liên kết ϕ : A → A Φ : A → A ∀M, N ∈ A M = f (M ), N = f (N ), M ” = g(M ) = go f (M ), N ” = g(N ) = go f (N ) −−−−→ −−−−→ −−−−→ Ta có:M ”N ” = Φ(M N ) = Φo ϕ(M N ) Như tích go f : A → A ánh xạ Affine có ánh xạ tuyến tính liên kết Φo ϕ Vì Φ ϕ phép biến đổi tuyến tính nên Φo ϕ phép biến đổi tuyến tính Do tích go f phép biến đổi Affine Đảo ngược phép Affine f phép Affine f −1 có phép biến đổi tuyến tính kết ϕ−1 d.Định lý 3: Phép biến đổi Affine biến m-phẳng thành mphẳng Chứng minh: Giả sử f : A → A phép Affine không gian Affine A.Gọi Am m-phẳng A Theo tính chất ánh xạ Affine Ta có f (Am ) phẳng l-chiều A mà l ≤ m ⇒ l = m(đpcm) Hệ quả: Phép Affine f : A → A biến đường thẳng thành Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp đường thẳng e.Định lý 4: Phép Affine f : A → A bảo tồn tỉ số đơn hệ ba đường thẳng nghĩa P = f (P ), R = f (R), Q = f (Q) P,Q,R thẳng hàng P’, Q’, R’ thẳng hàng (P QR) = (P Q R ) Chứng minh: Gọi ϕ phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép Affine f −−−→ −−−→ −−→ −→ −→ −→ Giả sử P Q = λP R P Q = ϕ(P Q) = λ(ϕP R) = λϕ(P R) = −−−−→ λ(P R ) Nếu P, Q, R thẳng hàng P , Q , R thẳng hàng (P QR) = (P Q R ) = λ 2.2.Đại số Lie Cho K trường L K - KGVT Ta nói L K - đại số Lie L trang bị thêm phép nhân gọi tích Lie (hay móc Lie) [., ] : L × L → L (x, y) → [x, y] gọi tích Lie x với y thỏa mãn tiên đề sau: (i) (L1 ) : [., ] song tuyến tính (ii)(L2 ) : [., ] phản xứng : [x, x] = ∀x ∈ L (iii)(L3 ) : [., ] thỏa mãn đồng Jacobi: [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = - Trên K bất kì, L trang bị tích Lie tầm thường [x, y] = ∀x, y ∈ L để trở thành đại số Lie Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khi đó, ta gọi L đại số Lie giao hoán - Trên K - KGVT L ta trang bị nhiều hay vô số đại số Lie khác thay đổi tích Lie khác - Mỗi đại số Lie KGVT nên số chiều đại số Lie số chiều KGVT Ví dụ: Chứng minh rằng: R3 với tích Lie tích có hướng hình sơ cấp đại số Lie Chứng minh: i) (L1 ) : [., ] song tuyến tính ∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ) ∈ R3 α, β ∈ K Ta có: [αx + βy, z] = (αx + βy) × z = α(x × z) + β(y × z) = α[x, z] + β[y, z] [x, αy + βz] = x × (αy + βz) = α(x × y) + β(x × z) = α[x, y] + β[x, z] ii) (L2 ) : [., ] phản xứng Thật vậy, ∀x ∈ R3 [x, x] = x × x = iii) (L3 ) : [., ] thỏa mãn đồng Jacobi ∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), z = (z1 , z2 , z3 ) ∈ R3 Ta có: [x, [y, z]] = x × (y × z) [z, [x, y]] = z × (x × y) [y, [z, x]] = y × (z × x) Khi đó, [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = Vậy R3 với tích Lie đại số Lie Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 2.3 Định lý hàm số ẩn Định lý 2.6.1: Cho phương trình F (x, y) = (I) F:U−→ R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập hợp mở U ⊂ R2 Giả sử (x0 , y0 ) ∈ U, F (x0 , y0 ) = Nếu Fy (x0 , y0 ) = phương trình (I) xác định lân cận x0 hàm số ẩn y = f (x) nhất, hàm số có giá trị y0 x = x0 , liên tục có đạo hàm liên tục lân cận nói Chú ý: Nếu Fy (x0 , y0 ) = ,nhưng Fx (x0 , y0 ) = định lý 2.6.1 khẳng định pt(I) xác định lân cận y0 hàm số ẩn x = g(y), hàm số có giá trị x0 y = y0 , liên tục có đạo hàm liên tục lân cận nói Nếu Fy (x0 , y0 ) = Fx (x0 , y0 ) = khơng kết luận tồn hàm số ẩn xác định (I).Điểm (x0 , y0 ) Fx (x0 , y0 ) = Fy (x0 , y0 ) = gọi điểm kì dị phương trình (I) Định lý 2.6.2: Cho phương trình F (x, y, z) = (II) Trong đó:F : U −→ R hàm số, có đạo hàm riêng liên tục tập hợp mở U ⊂ R3 Giả sử (x0 , y0 , z0 ) ∈ U, F (x0 , y0 , z0 ) = Nếu Fz (x0 , y0 , z0 ) = phương trình (II) xác định lân cận điểm (x0 , y0 ) hàm số ẩn z = f (x, y), hàm số có giá trị z0 x = x0 , y = y0 ,liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận nói 2.4.Bao tuyến tính W ⊂ V gọi không gian V với hai phép tốn V,W khơng gian vector Điều kiện cần đủ để W ⊂ V không gian V khác rỗng đóng kín phép tốn V V khơng gian vector S = x1 , x2 , , xn ⊂ V họ vector V Biểu thức c1 x1 + c2 x2 + + cn xn , cj ∈ R vector thuộc V gọi tổ hợp tuyến tính họ S Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp (C.C) = F30 + F21 + F10 ∗ F30 = − iεA + 2iε2 A + f300 z ∗ F21 = iεA − 2iε2 A + f210 zz ∗ f210 = iεA−2iε2 A+f210 (9) ∗ F10 = A + 2εA + f101 zu ∗ f101 = (A + 2εA + f101 ), ∗ = điều kiện cần đủ f101 = −A−2 εA để f101 (10), ta phân biệt phần thực phần ảo phương trình (10) Ta đặt A1 = Re(A), Do A = A1 + iA2 , A2 = Im(A) (11) A = A1 − iA2 Hệ số f101 biểu diễn: f101 = m+in Bằng cách sử dụng đẳng thức (11) (12),ta có f101 = −A1 + iA2 − 2ε(A1 + iA2 ) (12) = −A1 + iA2 − 2εA1 − 2iεA2 m + in = −A1 − 2εA1 + iA2 − 2iεA2 = −A1 (1 + 2ε) + i(A2 − 2εA2 ) Phan Thị Trang ⇒ m = −A1 − 2εA1 n = A2 − 2εA2 ⇒ m = −A1 (1 + 2ε) n = A2 (1 − 2ε) 25 (13) Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp + Trường hợp ε = , giải phương trình liên quan đến A1 A2  −m   A =   + 2ε ⇒ (14)  n    A2 = − 2ε Do ,hệ số f101 thực triệt tiêu hoàn toàn + Trường hợp ε = ta thay vào (14) ta có: m A1 = − A2 = Ta chọn A1 để Re(f101 ) = Cách làm tương tự ta triệt tiêu phần thực hệ số f210 Kết bước thu định lý sau đây: Định lý 1: Phương trình siêu diện thực giải tích M khơng gian phức C2 đưa dạng sau phương pháp Affine: v = |z|2 +ε(z +z )+iα(z −z)u+(f300 z +f210 z z +f120 zz +f030 z )+ k+l+2m≥4 FK (z, z, u), với ε ∈ R+ + Khi < ε = + Khi ε = Phan Thị Trang :α = :α ∈ R, 26 if210 ∈ R Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 Đại số trường vector tuyến tính siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Định Nghĩa Trường vector tuyến tính khơng gian C2 (z, w) gọi tốn tử vi phân có dạng   ∂       (A1 z + A2 w + p) ∂z +   Z=       +(B1 z + B2 w + q) ∂   ∂w Bằng trường vi phân hàm ,và trường hợp riêng vi phân hàm xác định bề mặt Chúng ta xem trường vector tuyến tính tiếp xúc với bề mặt nghiên cứu đồng ,cho bề mặt cho phương trình tắc Như biêt trường vector tiếp xúc với bề mặt M tạo thành đại số Lie Chúng ta ký hiệu g(M) Điều kiện tiếp xúc trường vector lên bề mặt có dạng sau: Re{z(Φ)} M =0 (15) Từ sau ,chúng ta gọi điều kiện (15) đẳng thức Cho phương trình tắc bề mặt v = |z|2 + ε(z + z ) + iα(z − z)u + (f300 z + f210 z z + f120 zz + f030 z + k+l+2m≥4 FK (z, z, u) với Φ = −Im(w) + F = −v + F (z, z, u)- hàm xác định bề mặt Phan Thị Trang 27 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp Ta có : Z(Φ) = Z(−v + F ) =  ∂F   A z + A (u + iF ) + p +   ∂z          + B1 z + B2 (u + iF ) + q i + ∂F ∂u     ∂ ∂ ∂ (Φ) = ( − i )(Φ) ∂w ∂u ∂v ∂ ∂ = −i −v+F ∂u ∂v ∂F = − i(−1) + ∂u ∂F = +i ∂u Ta có Viết phương trình tắc dạng trọng lượng: v = F2 + F3 + F4 + · · · có: Z(Φ) =  ∂F2 ∂F3 ∂F4  + + + +    ∂z ∂z ∂z   ∂F2 ∂F3   + B1 z + B2 u + i(F2 + F3 + F4 + ) + q i+ + + ∂u ∂u      A1 z + A2 u + i(F2 + F3 + F4 + ) + p     Xét thành phần có trọng lượng nhỏ điều kiện tiếp xúc (15) Trọng lượng 0: Trọng lượng 1: + ∂F2 ∂z Phan Thị Trang q =0 ⇒q∈R ∂F2 1 ∂F3 Re p + B1 iz+ q =0 ∂z 2 ∂u Re i (16) (17) ∂ |z|2 + ε(z + z ) = ∂z ∂(zz + εz + εz ) = ∂z 28 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp = z + 2εz + ∂F3 ∂u ∂ iα(z − z)u + f300 z + f210 z z + f120 zz + f030 z = ∂u = iαz − iαz = iα(z − z) Từ phương trình (17) ta thu : 1 Re p(z + 2εz) + iB1 z + iqα(z − z) = 2 1 Re pz + 2εpz + iB1 z + iqαz − iqαz = 2 Khi phận thực biểu thức liên hợp nhau, có: 1 Re pz + 2εpz + iB1 z + iαqz + iαqz = 2 Re pz + 2εpz + iB1 z + iαqz = Hay Re z(p+2εp+ iB1 +iαq) = (18) Ở sử dụng bổ đề bản: Bổ đề 1: Nếu Re Az ≡ 0, ∀z suy A = Thật : Với z = : Re(A) ≡ ⇐⇒ A1 = Với z = i : Re(iA) ≡ ⇐⇒ A2 = Bổ đề dễ dàng chứng minh: Từ phương trình (18) áp dụng bổ đề ta có : p+2εp+ iB1 +iαq = (19) Ta trình bày hệ số B1 Phan Thị Trang 29 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp Nhân hai vế (19) cho 2i ta : 2ip + 4iεp + 2i · iB1 + 2i2 αq = ⇐⇒ 2ip + 4iεp + i2 B1 + 2i2 αq = ⇐⇒ 2ip + 4iεp − B1 − 2αq = Suy B1 = 4iεp + 2ip − 2αq Trọng lượng 2: Re p ∂F3 ∂F2 ∂F3 1 ∂F4 + A1 z + B1 z + iB2 u + iB2 iF2 + q ∂z ∂z ∂u 2 ∂u Re p ∂F3 ∂F2 ∂F3 1 ∂F4 +A1 z + B1 z + iB2 u− B2 F2 + q ∂z ∂z ∂u 2 ∂u + =0 =0 (20) ∂ α(z − z)u + f300 z + f210 z z + f120 zz + f030 z ∂F3 = ∂z ∂z ∂ iαz − iαzu + f300 z + f210 z z + f120 zz + f030 z = ∂z = iα + 3f300 z + 2f210 |z|2 + f120 z + ∂ iαzu − iαzu + f300 |z|2 + ε(z + z ) ∂F2 = ∂z ∂z ∂ zz + εz + εz = ∂z = z + 2εz + ∂ iα(z − z)u + f300 z + f210 z z + f120 zz + f030 z ∂F3 = ∂u ∂u Phan Thị Trang 30 Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 = iαz − iαz = iα(z − z) ∂ f111 zzu + f002 u2 + f201 z u + f021 z u + f220 z z + f310 z z + f130 zz ∂F4 + = ∂u ∂u = f111 |z|2 + 2f002 u + f201 z + f021 z Thay vào phương trình (20) ta được: Re p(iαu + 2f210 |z|2 + f120 z + 3f300 z ) + A1 z(z + 2εz) + iαzB1 1 ·(z−z)+ iB2 u− B2 |z|2 +ε(z +z ) + q(f111 zz+f201 z +f021 z 2 2 +2f002 u) = Hay Re piαu + 2pf210 |z|2 + pf120 z + 3pf300 z + A1 |z|2 + 2εA1 z 1 1 1 + iαB1 z − iαB1 |z|2 + iB2 u − B2 |z|2 − εB2 z − B2 εz 2 2 2 1 + qf111 |z|2 + qf201 z + qf021 z + qf002 u = 2 Mà Re{A} = Re{A} có được: Re piαu + 2pf210 |z|2 + pf210 z + 3pf300 z + A1 |z|2 + 2εA1 z + iαB1 z 2 1 1 1 − iαB1 |z|2 + iB2 u − B2 |z|2 − εB2 z − εB2 z + qf111 |z|2 2 2 2 1 + qf201 z + qf201 z + qf002 u = 2 Hay Re piαu + 2pf210 |z|2 + pf210 z + 3pf300 z + A1 |z|2 + 2εA1 z 1 1 1 + iαB1 z − iαB1 |z|2 + iB2 u − B2 |z|2 − εB2 z − εB2 z 2 2 2 Phan Thị Trang 31 Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 + qf111 |z|2 + qf201 z + qf002 u = Chúng ta tách thành phần có thành phần đơn thức trọng lượng u:Re u(piα + 21 iB2 + qf002 ) = hay Re u(−2pα − B2 + 2iqf002 ) = 1 |z|2 : Re |z|2 (2pf210 + A1 − iαB1 − B2 + qf111 ) = 2 hay Re |z|2 (4pf210 + 2A1 − iαB1 − B2 + qf111 ) = (*) 1 z : Re z (pf210 + 3pf300 + 2εA1 + iαB1 − B2 ε − εB2 + qf201 ) = 2 hay Re z (pf210 + 3pf300 + 2εA1 + iαB1 − εB21 + qf201 ) = Đẳng thức cuối kéo theo 1 pf210 + 3pf300 + 2εA1 + iαB1 − B2 ε − B2 ε + qf201 = 2 Với B1 = 4iεp + 2ip − 2αq thay vào ta được: 1 pf210 +3pf300 +2εA1 + iα(4iεp+2ip−2αq)− B2 ε− B2 ε+qf201 = 2 1 ⇐⇒ pf210 +3pf300 +2εA1 −2αεp−αp−iα2 q − B2 ε− εB2 +qf201 = 2 Nhân hai vế cho ta được: 2ε 1 1 pf210 + pf300 +A1 −αp− αp− iα2 q − B2 − B2 + qf201 = 2ε 2ε 2ε 2ε 4 2ε Hệ sốA1 hiểu là: 1 1 pf210 − pf300 + αp + αp + iα2 q + B2 + B2 − qf201 2ε 2ε 2ε 2ε 4 2ε Vì u |z|2 số thực nên Re{iαp + iB2 + qf002 } = A1 = − Phan Thị Trang 32 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Khóa luận tốt nghiệp Và Re 4pf210 + 2A1 + 4αεp + 2αp + 2iα2 q − B2 + qf111 = Do ta trình bày: Im B2 } = Re{2iqf002 − 2pα Re B2 } = Re{4pf210 + 2A1 + 4αεp + 2iα2 q + 2αp + qf111 Trong đó, hệ số phép biểu diễn trọng lượng số thực Xét trọng lượng 1:B1 = 4iεp + 2ip − 2αq phần ảo hệ số B2 :Im B2 } = Re{2iqf002 − 2pα Tương tự xét thành phần trọng lượng ta có : Trọng lượng 3: (3, 0, 0) : iε(2εA2 − A2 ) + f201 B1 + f300 (3A1 − B21 ) +(4f400 p + f310 p + f301 q) = (2, 1, 0) : i(3εA2 − (1 + 2ε2 )A2 ) + f210 (2A1 + A1 − B21 ) + (f111 B1 +f201 B1 )+(3f210 p+2f220 p+f211 q) = (1, 0, 1) : (2εA2 + A2 ) + f002 B1 + iαA1 + (2f201 p + f111 p +2f102 q) = Mệnh đề:Từ kết ta có dạng tổng quát sau: i Trọng lượng 0: (0, 0, 0) : Re q =0 Trọng luợng 1: (1, 0, 0) : iB1 + 2(2εp + p) + 2iαq = Trọng lượng 2: i (2, 0, 0) : ε(2A1 −B21 )+ αB1 +(3f300 p+f210 p+f201 q) = (1, 1, 0) : (2A11 − B21 ) + αB12 + (4f210 p + f111 q) = Phan Thị Trang 33 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp (0, 0, 1) : −B22 + 2f002 q + 2iαp = Trọng lượng 3: (3, 0, 0) : iε(2εA2 − A2 ) + f201 B1 + f300 (3A1 − B21 ) +(4f400 p + f310 p + f301 q) = (2, 1, 0) : i(3εA2 − (1 + 2ε2 )A2 ) + f210 (2A1 + A1 − B21 ) + (f111 B1 +f201 B1 )+(3f210 p+2f220 p+f211 q) = (1, 0, 1) : (2εA2 + A2 ) + f002 B1 + iαA1 + (2f201 p + f111 p +2f102 q) = 3.3 Kết luận số chiều đại số trường vector Để thuận tiện ,chúng ta viết trường vector Z dạng ma trận:   A1 A2 p Z =  B1 B2 q  0 (20) Với A1 = A11 + iA12 B2 = B21 + iB22 Thảo luận biểu thức 2,ta suy mệnh đề số chiều đại số g(M) Định lý 2: 1) Nếu ε = dimR g(M ) ≤ dimR g(M ) ≤ 3) Nếu < ε = dimR g(M ) ≤ 2) Nếu ε = Chứng minh: Phan Thị Trang 34 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Khóa luận tốt nghiệp 1) Nếu ε = dimR g(M ) ≤ q = ta suy q ∈ R Khi số chiều thực bao tuyến tính cột cuối ma trận (20)   A1 A2 p Z =  B1 B2 q  0 Từ phương trình (15) :Re i thành phần đại số Từ kết ε = 0, α = ta có đẳng thức sau: i Trọng lượng 0: (0, 0, 0) : Re q Trong lượng 1: (1, 0, 0) : iB1 + 2p = =0 Trọng lượng 2: (2, 0, 0) : 3f300 p + f210 p + f201 q = (1, 1, 0) : (2A11 − B21 ) + (4f210 p + f111 q) = (0, 0, 1) : −B22 + 2f002 q = Trọng lượng 3: (3, 0, 0) : f201 B1 + f300 (3A1 − B21 ) + (4f400 p +f310 p + f301 q) = (2, 1, 0) : −iA2 + f210 (2A1 + A1 − B21 ) + (f111 B1 +f201 B1 ) + (3f310 p + 2f220 p + f211 q) = (1, 0, 1) : A2 + f002 B1 + (2f201 p + f111 p + 2f102 q) = Xét trọng lượng 2:(2,0,0) ta có 3f300 p + f210 p + f201 q = Chú ý:Cho số phức A,B,C cho phương trình : Phan Thị Trang 35 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp Ap + Bp + Cq = thỏa mãn ∀p ∈ C, q ∈ R Khi ba hệ số A,B,C f300 = 0, f210 = 0, f201 = Vậy suy (1, 0, 0) : B1 = −2ip (1, 1, 0) : A11 = (B21 − f111 q) (0, 0, 1) : B22 = 2f002 q Bây hệ số A1 , B2 ma trận (20) có số chiều khơng q đơn vị Vì ta thu khẳng định dimR g(M ) ≤ dimR g(M ) ≤ i Trọng lượng 0: (0, 0, 0) : q = 2 Nếu ε = Trọng lượng 1: (1, 0, 0) : iB1 + 2(p + p) + 2iαq = 0, Trọng lượng 2: i (2, 0, 0) : A1 − B21 + αB1 + 3f300 p + f210 p + f201 q = 0, 2 (1, 1, 0) : 2A11 − B21 + αB12 + 4pf210 + f111 q = 0, (0, 0, 1) : −B22 + 2qf002 + 2iαp = 0, Trọng lượng 3: i (3, 0, 0) : (A2 − A2 ) + f201 B1 + f300 (3A1 − B21 ) 2 +(4f400 p + f310 p + f301 q) = 0, (2, 1, 0) : Phan Thị Trang 3i (A2 − A2 ) + f210 (2A1 + A1 − B21 ) + (f111 B1 2 36 Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Khóa luận tốt nghiệp +f021 B1 ) + (3f310 p + 2f220 p + f211 q = 0, (1, 0, 1) : (A2 + A2 ) + f002 B1 + iαA1 + (2f201 p + f111 p +2f102 q) = 0, Từ kết trước thu điều này: f300 = (4εf210 − f120 ), Ref201 = εf111 1 Thay ε = vào ta :f300 = (2f210 − f120 ), Ref201 = 2 1 ⇒ f300 = f210 − f120 , Ref201 = f111 3 Xét trọng lượng 2: Hay Hay Hay i (2, 0, 0) : (A1 − B21 ) + αB1 + 3f300 p + f210 p + f201 q = 2 i A1 − B21 + αB1 + 2f210 p − f120 p + f210 p + f111 q = 2 i A1 − B21 + αB1 + 2f210 p + f111 q = 2 2A11 − B21 − αB12 + 4f210 p + f111 q = (1, 0, 0) : B1 = 2i(p + p) − 2αq (1, 1, 0) : 2A11 − B21 + αB12 + 4pf210 + f111 q = (0, 0, 1) : B22 = 2qf002 + 2iαp Từ kết ta tìm dimR g(M ) ≤ Cách làm tượng tự ta tìm khẳng định thứ Phan Thị Trang 37 Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu,cùng với hướng dẫn nhiệt tình Nguyễn Thị Thùy Dương tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Tồn khóa luận tập trung nghiên cứu " siêu diện thực đồng Affine không gian C2 " Cụ thể nêu làm rõ khái niệm ,tính chất ,định lí ,mệnh đề hệ siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Trên sở áp dụng để giải vấn đề liên quan đến đại số trường vector tuyến tính không gian C2 ,và kết luận số chiều đại số trường vector Do thời gian nghiên cứu khóa luận có hạn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận dược góp ý thầy cơ,hội đồng đánh giá tồn thể bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng để khóa luận phát triển tốt Tơi xin chân thành cảm ơn ! Phan Thị Trang 38 Lớp 10CTT2 Khóa luận tốt nghiệp Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Loboda, AV Affine-homogeneous real hypersurfaces of 3-dimensional complex space / A.V.Loboda / / Herald of the Voronezh State University, Series "Physics Mathematics "2009 (2) Pp 70-91 Demin, AM Example 2-parameter family of affine-homogeneous real hypersurfaces S3/A.M.Demin, A.V.Loboda / / Mat Notes -2008.-T 84 No 5.-S 791-794 White, FA Real subalgebras of small dimensions of the matrix Lie algebra M (2, p) / F.A.Belyh, A.Yu.Borzakov, A.V.Loboda / / "News IHE Ser.matematika » -2007 - No 5.-S 13-24 Shirokov, PA Affine differential geometry / P.AShirokov, AP Shirokov / / Fizmatgiz - 1959 Shabat B.V Nhập mơn giải tích phức NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1979 Hình cao cấp - Nguyễn Mộng Huy(2000)-NXBGD Phan Thị Trang 39 Lớp 10CTT2 ... 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG SIÊU DIỆN THỰC ĐỒNG NHẤT ĐỒNG NHẤT AFFINE TRONG KHÔNG GIAN C2 3.1 Phương trình tắc siêu diện đồng Affine không gian C2 Trong. .. phương trình tắc siêu diện thực đồng affine không gian phức C2 đánh giá số chiều đại số trường vector lên siêu diện Phan Thị Trang Lớp 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Khóa luận tốt... 10CTT2 Siêu diện thực đồng Affine khơng gian C2 Khóa luận tốt nghiệp 3.2 Đại số trường vector tuyến tính siêu diện thực đồng Affine không gian C2 Định Nghĩa Trường vector tuyến tính khơng gian C2