ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài: NHÓM CON SYLOW VÀ TÍCH BỆN CỦA HAI NHĨM Sinh viên thực : Thuộc nhóm ngành : Lớp : Giáo viên hướng dẫn : Phạm Thoại Vy Toán học 10ST TS Nguyễn Ngọc Châu Đà Nẵng – 2014 MỞ ĐẦU – Lý chọn đề tài Với hai nhóm G H cho trước, có nhiều cách xây dựng từ chúng nhóm thứ ba, chẳng hạn cách lấy tích trực tiếp, tích nửa trực tiếp, tích tâm, tích bện hai nhóm … Mỗi cách có ứng dụng hữu ích lý thuyết nhóm Nhằm tìm hiểu tích bện hai nhóm, tơi chọn đề tài cho luận văn : “Nhóm Sylow tích bện hai nhóm” – Bố cục luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm hai phần Phần : Cấu trúc nhóm p – nhóm Phần trình bày sơ lược khái niệm, kết cấu trúc nhóm p – nhóm để làm sở cho phần sau nội dung luận văn Phần : Nhóm Sylow tích bện hai nhóm Phần trình bày khái niệm p – nhóm Sylow tích bện hai nhóm thí dụ minh họa Mục cuối phần trình bày ứng dụng tích bện để xây dựng p – nhóm Sylow nhóm đối xứng hữu hạn Xin cảm ơn thầy, giáo thuộc khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng, giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện để tơi hồn thành đề tài PHẦN 1: CẤU TRÚC NHĨM VÀ p – NHĨM Phần trình bày sơ lược khái niệm, kết cấu trúc nhóm p – nhóm để làm sở cho phần sau Các chi tiết liên quan tìm xem tài liệu lý thuyết nhóm 1.1 Nhóm p - nhóm 1.1.1 Định nghĩa Một nhóm cặp ( G; * ) G tập hợp không rỗng * luật hợp thành G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: ( G1 ) Luật hợp thành kết hợp, tức là: (x * y) * z = x * (y * z), với x, y, z ∈ G ( G2 ) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất x*e = e*x = x, với x ∈ G ( G3 ) Với x ∈ G, có phần tử x’ ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho : x * x’ = x’ * x = e Nếu luật hợp thành * rõ ràng khơng sợ nhầm lẫn người ta nói G nhóm Mệnh đề sau hệ định nghĩa 1.1.2 Mệnh đề [ ] Giả sử ( G; * ) nhóm Khi đó, ( i ) Phần tử trung lập G ( ii ) Với x ∈ G, phần tử nghịch đảo x Chứng minh ( i ) Giả sử e1 , e2 phần tử trung lập G Khi e1 = e1 * e2 ( e2 trung lập ) = e2 ( e1 trung lập ) ( ii ) Giả sử x1 = x1 * e = x1 * ( x * x2 ) = ( x1 * x * x2 ) ( tính chất kết hợp * ) = e * x2 = x2 Nhận xét: Luật hợp thành nhóm thường kí hiệu dấu ,+,*… Khi luật hợp thành nhóm kí hiệu , hợp thành cặp phần tử ( x, y ) ∈ G × G kí hiệu x.y, hay đơn giản xy, gọi tích x y Phần tử trung lập nhóm gọi phần tử đơn vị, kí hiệu e Phần tử nghịch đảo x kí hiệu x-1 Khi luật hợp thành kí hiệu + , hợp thành hai phần tử x, y G kí hiệu x + y gọi tổng x y Phần tử nghịch đảo x gọi phần tử đối, kí hiệu ( -x ) Khi đó, điều kiện ( G1 ) – ( G2 ) định nghĩa nhóm viết thành (x + y) + z = x + (y + z) x + = + x = x x + (-x) = (-x) + x = 1.1.3 Định nghĩa Nhóm ( G, * ) gọi giao hoán ( hay abel ) x * y = y * x, với x, y ∈ G 1.1.4 Thí dụ Giả sử K trường n số nguyên dương, ký hiệu GL(n, K) tập gồm tất ma trận khả nghịch cấp n trường K Khi tập GL(n, K) với phép nhân hai ma trận nhóm ( nhóm khơng giao hoán n > ) 1.1.5 Định nghĩa Cấp nhóm G, kí hiệu |G|, số phần tử G G có hữu hạn phần tử, ∞ G có vơ hạn phần tử Nếu cấp nhóm G nhóm tầm thường 1.1.6 Định nghĩa Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S ⊂ G gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G ( tức xy ∈ S với x, y ∈ S ) khép kín phép lấy nghịch đảo G ( tức 𝑥 −1 ∈ S ) Kí hiệu : Ta dùng kí hiệu S ≤ G để S nhóm G Đối với nhóm G bất kì, { e } G ln ln nhóm G Các nhóm khác ( có ) gọi nhóm thực ( hay khơng tầm thường ) G 1.1.7 Hệ [ ] Giả sử A phận khác rỗng nhóm G Các điều kiện sau tương đương ( i ) A nhóm G ( ii ) Với x, y ∈ A, xy ∈ A 𝑥 −1 ∈ A ( iii ) Với x , y ∈ A, xy-1 ∈ A 1.1.8 Định nghĩa Nhóm có số hữu hạn phần tử, gọi nhóm hữu hạn 1.1.9 Định nghĩa Nhóm G gọi nhóm xyclic chứa phần tử a cho phần tử G lũy thừa nguyên a Phần tử a có tính chất gọi phần tử sinh nhóm xyclic G 1.1.10 Định nghĩa Giả sử G nhóm với đơn vị e a ∈ G Nếu 𝑎𝑚 ≠ e với m > ta nói a có cấp vơ hạn Nếu trái lại, số nguyên dương nhỏ m cho 𝑎𝑚 = e gọi cấp a Ta dùng kí hiệu ord ( a ) để cấp phần tử a Theo định nghĩa, ord ( e ) = ⇔ a = e 1.1.11 Định lí [ ] Nếu a phần tử sinh nhóm xyclic G cấp a xác định G xác tới đẳng cấu Nói rõ hơn, ( i ) Nếu cấp a vơ hạn, G đẳng cấu với Z ( ii ) Nếu cấp a số n hữu hạn, G đẳng cấu với Z / n 1.1.12 Hệ [ ] Hai phần tử sinh nhóm xyclic có cấp Cấp nhóm xyclic cấp phần tử sinh Hai nhóm xyclic đẳng cấu với chúng có cấp 1.1.13 Mệnh đề [ ] Giả sử T tập hợp Khi tập hợp S ( T ) tất song ánh T với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm Phần tử đơn vị S ( T ) ánh xạ đồng i𝑑 𝑇 T Phần tử nghịch đảo ∝ ∈ S ( T ) ánh xạ ngược ∝−1 1.1.14 Định nghĩa Nhóm S( T ) gọi nhóm đối xứng tập hợp T Mỗi nhóm S (T ) gọi nhóm phép T Đặc biệt, T = { 1, 2, 3…,n } nhóm S ( T ) kí hiệu đơn giản Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử 1.1.15 Mệnh đề [ ] Sn nhóm đối xứng hữu hạn | Sn | = n! Mỗi phép 𝛼 ∈ Sn biểu thị sau: 𝛼 = ( … 𝑛 ) 𝛼(1) 𝛼(2) … 𝛼(𝑛) 1.1.16 Định nghĩa ( i ) Giả sử x1,…, xk phần tử đôi khác { 1, 2,…, n } Ta kí hiệu ( x1, x2,…, xk ) phép giữ nguyên phần tử khác x1, x2,…, xk tác động x1,…, xk sau: x1 ↦ x2, x2 ↦ x3,…, xk – ↦ xk, xk ↦ x1 Nó gọi xích với độ dài k tập { x1, x2,…, xk } ( ii ) ( x1,…, xk ) gọi xích phép 𝛼 ∈ Sn 𝛼 tác động giống ( x1,…, xk ) phần tử x1, x2,…, xk ( 𝛼 tác động khơng tầm thường phần tử khác x1,…, xk ) 1.1.17 Định lí [ ] Mọi phép 𝛼 ∈ Sn tích tất xích khác Các tập xích tập rời tập { 1, 2,…, n } Thí dụ : Phép 𝛼 = (14 ) ∈ S6 viết thành tích xích 𝛼 = ( ) ( 3, ) ( 1, 4, ) 1.1.18 Quy ước [ ] Để cho gọn, viết phép thành tích xích ta bỏ qua xích với độ dài Chẳng hạn phép ví dụ viết thành 𝛼 = ( 3, ) ( 1, 4, ) Phép xem phần tử Sn với n ≥ 6, cố định i ∈ { 1,…,n } \ { 1, 2, 3, 4, } Cách quan niệm phù hợp với phép nhúng Sn ⊂ Sn + Khẳng định sau ứng dụng việc viết phép thành tích xích rời rạc 1.1.19 Định lí [ ] Cấp phép 𝛼 bội số chung nhỏ độ dài xích rời rạc 𝛼 1.1.20 Định nghĩa Giả sử p số nguyên tố ( i ) Nhóm H gọi p - nhóm cấp lũy thừa p ( ii ) Nhóm H gọi p - nhóm G H vừa nhóm G vừa p - nhóm 1.2 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 1.2.1 Định nghĩa Các phận xA gọi lớp kề trái nhóm A G Tương tự, lớp kề phải Ax A G phận mà phần tử có dạng ax , với a ∈ A 1.2.2 Hệ [ ] Giả sử x y hai phần tử tùy ý nhóm X, : ( i ) xA = yA x-1y ∈ A ( ii ) xA ∩ yA = ∅ x-1 ∉ A Tập hợp thương G quan hệ tương đương ~ gọi tập hợp thương nhóm G nhóm A , kí hiệu G / A Các phần tử G / A lớp kề trái xA 1.2.3 Định nghĩa Một nhóm A nhóm G gọi chuẩn tắc x-1ax ∈ A, với a ∈ A x ∈ G 1.2.4 Mệnh đề [ ] Giả sử A nhóm nhóm G Các điều kiện sau tương đương: (i) A chuẩn tắc ( ii ) xA = Ax, với x ∈ G Do mệnh đề trên, A nhóm chuẩn tắc lớp kề trái, lớp kề phải A, gọi lớp kề A 1.2.5 Mệnh đề [ ] Mọi nhóm nhóm abel nhóm chuẩn tắc nhóm 1.2.6 Định lí [ ] ( Định lí Lagrange ) Cấp nhóm G hữu hạn bội cấp nhóm Chứng minh Giả sử G nhóm có cấp n, A nhóm nó, có cấp m Trước hết ta chứng minh lớp trái xA, x ∈ G, có số phần tử m Muốn ta xét A = { x1, x2, …, xm } phần tử xx1, xx2, …, xxm Các phần tử phân biệt, có xx1 = xx2 chẳng hạn, x1 = x2 Đó tất phần tử lớp trái xA Như xA có m phần tử Vì G hữu hạn nên số lớp trái xA hữu hạn, gọi l số lớp trái xA Do lớp trái rời nên ta có n = ml Tương tự ta có l số lớp phải Ax Số l lớp trái xA ( hay lớp phải Ax ) gọi số nhóm A G, kí hiệu [ G : A ] 1.2.7 Hệ [ ] Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn G ước cấp G 1.2.8 Định lí [ ] Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm G, : ( i ) Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA ) lớp trái xyA ánh xạ từ G / A × G / A đến G / A ( ii ) G / A với phép tốn hai ngơi ( xA, yA ) ↦ xyA nhóm, gọi nhóm thương G A Chứng minh ( i ) Để chứng minh quy tắc ánh xạ ta phải chứng minh x1A = xA y1A = yA x1y1A = xyA, hay theo hệ quả, x-1x1 ∈ A y-1y1 ∈ A ( xy )-1 ( x1y1 ) = y-1x-1x1y1 ∈ A Đặt x-1x1 = a, ta có a ∈ A theo giả thiết Xét tích y-1x-1x1y1 = y-1ay1 Ta viết: y1ay1 = ( y-1ay ) ( y-1y1 ) Nhưng y-1ay ∈ A A chuẩn tắc, y-1y1 ∈ A theo giả thiết, 10 Bây ta tính cấp GLn Đồng ma trận A ∈ GLn với dãy có thứ tự vectơ hàng a1, a2,… , an ∈ (Z/p)n Rõ ràng A ∈ GLn hệ a1, …, an độc lập tuyến tính Gọi L(a1, …, ai) không gian vectơ sinh a1, …, Khi đó, để a1 độc lập tuyến tính, chọn tùy ý a1 từ pn – điểm (Z/p)n\{0} Giả sử có hệ a1, …, – độc lập tuyến tính Để cho hệ a1, …, – 1, độc lập tuyến tính, ta chọn tùy ý từ pn - pi – điểm (Z/p)n\ L(a1, …, - 1) Như thế, |GLn| = (pn – 1) (pn – p)… (pn – pn – 1) Lũy thừa cao p chia hết |GLn| |T| = p.p2 …pn – Vậy T p – nhóm Sylow GLn 2.1.4 Định nghĩa Hai nhóm S T nhóm G gọi liên hợp nhau, có phần tử g ∈ G cho g-1Sg = T ( g-1Sg = { g-1Sg / s ∈ S }) 2.1.5 Định lí Sylow thứ [ ] Cho G nhóm hữu hạn, p số nguyên tố chia hết cấp G Khi tồn p – nhóm Sylow G 2.1.6 Định lí Sylow thứ hai [ ] Nếu H nhóm nhóm hữu hạn G H p – nhóm, H chứa p – nhóm Sylow G 2.1.7 Định lí Sylow thứ ba [ ] Bất kì hai nhóm p – nhóm Sylow nhóm hữu hạn G liên hợp với Số sp p – nhóm Sylow phân biệt G đồng dư modun p sp chia hết | G | ( sp đồng dư modun p sp = + kp với k số nguyên ) Mệnh đề sau ứng dụng định lí Sylow 2.1.8 Mệnh đề [ ] Có nhóm cấp 15 Cụ thể sai khác đẳng cấu có nhóm cấp 15 nhóm xyclic cấp 15 16 Chứng minh Giả sử G nhóm cấp 15 theo định lí 2.1.5 G có nhóm cấp nhóm cấp Theo định lí 2.1.7 có s3 = + 3k nhóm cấp s3 | 15 Nhưng (1 + 3k) | 15 nghĩa k = Tóm lại G có nhóm cấp Tương tự vây G có nhóm cấp Những nhóm phải nhóm xyclic Cho H1 = { 1, 𝛼, 𝛼 } nhóm cấp H2 = { 1, b, b2, b3, b4 } nhóm cấp H1 ∩ H2 = { }, phần tử khác đơn vị khơng thể đồng thời có cấp Xét phần tử ab thuộc G mà bậc phải 1, 3, 15 Nếu ab có cấp ab = a = b-1 điều khơng thể xảy ra, H1 ∩ H2 = { } Nếu ab có cấp gp(ab) = H1, từ H1 Trong trường hợp ab = ( i = 0, ) b = ai-1 xảy Nếu ab có cấp 5, gp(ab) = H2 Do ab = bi ( i = 0, 1, 2, ) a = bi – khơng thể có Cuối ab có cấp 15 G nhóm xyclic cấp 15 sinh ab 2.2 Tích bện hai nhóm 2.2.1 Mệnh đề [ ] Giả sử G nhóm, n số nguyên dương, n > 1, H nhóm nhóm đối xứng Sn , Gn = G × × G (n lần) lũy thừa Đêcac bậc n tập G Xét tập hợp Gn × H = { (f ; ∝) = (f1,…,fn ; ∝) : fi ∈ G, ∝ ∈ H } Trên tập hợp Gn × H ta xác định phép tốn hai ngơi sau: (f1,…, fn ; ∝) (g1,…, gn ; 𝛽) = (f1 𝑔∝−1 (1),…, fn 𝑔∝−1(𝑛) ; ∝ 𝛽) Khi tập Gn × H với phép tốn lập thành nhóm Chứng minh 17 Với fi , gi , hi ∈ G ( i = 1, 2, 3…, n ) 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ H, ta có: [(f1,…,fn ; ∝).(g1,…,gn ; 𝛽)].(h1,…,hn ; 𝛾) = = (f1 𝑔∝−1 (1),…,fn𝑔∝−1(𝑛) ; ∝ 𝛽) (h1,…,hn ; 𝛾) = (f1 𝑔∝−1 (1) ℎ𝛽−1𝛼−1 (1) ,…, fn 𝑔∝−1 (n) ℎ𝛽−1𝛼−1 (n) ; 𝛼𝛽𝛾 ) = (f1,…,fn ; ∝).( g1 ℎ𝛽−1(1) ,…, gnℎ𝛽−1(𝑛) ; 𝛽𝛾) = (f1,…,fn ; ∝).[(g1,g2,…,gn ; 𝛽).(h1,h2,…,hn ; 𝛾)] Vậy phép tốn có tính chất kết hợp Xét phần tử e = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; 𝑒𝐻 ) ∈ Gn × H ,với , eG , eH đơn vị G H , ta có : ( f1,…,fn ; ∝ ).( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 ) = ( f1,…,fn ; ∝ ) ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 ) ( f1,…,fn ; ∝ ) = ( f1,…,fn ; ∝ ) Với fi ∈ G ( i = 1, 2, 3…, n ) 𝛼 ∈ H Vậy e = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; 𝑒𝐻 ) phần tử trung lập phép toán −1 −1 Phần tử nghịch đảo ( f1,f2,…,fn ; ∝) : ( 𝑓𝛼(1) ,…, 𝑓𝛼(𝑛) ; 𝛼 −1 ) −1 −1 Thật : ( f1,…,fn ; ∝ ) ( 𝑓𝛼(1) , … , 𝑓𝛼(𝑛) ; 𝛼 −1 ) = (𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 ) −1 −1 (f1 , … , fn ; ∝)−1 ( 𝑓𝛼(1) ,…, 𝑓𝛼(𝑛) ; 𝛼 −1 ) = (𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 , 𝑒𝐻 ) Vậy Gn × H nhóm Mệnh đề chứng minh 18 2.2.2 Định nghĩa tích bện Nhóm Gn × H xác định gọi tích bện nhóm G với nhóm H, kí hiệu G ∫ H Rõ ràng G nhóm hữu hạn G ∫ H Cụ thể | G ∫ H | = |Gn × H| = |Gn| |H| = |G|𝑛 |H| 2.2.3 Thí dụ Thí dụ Giả sử G nhóm xyclic cấp sinh phần tử a, H = S2 G = < a > = { e, a }, e phần tử đơn vị G S2 = { idG , 𝛼 }, với idG song ánh đồng tập { 1, }, 𝛼 song ánh 𝛼 = ( 2 ) Khi ta có: G ∫ H = G2 × H = {(e, e; 1), (e, a; 1), (a, e; 1), (a, a; 1), (e, a; ∝), (e, e; ∝), (a, e; ∝), (a, a; ∝)} Phần tử đơn vị nhóm e = ( eG , eG ; idG ) Đặt x = ( e, a; 𝛼 ) y = ( e, a; idG ) , ta dễ dàng kiểm tra Ord ( x ) = , y2 = e , xy = yx-1 Khi nhóm G ∫ H có biểu diễn sau G ∫ H = < x, y / x4 = e , y2 = e , xy = yx-1 > 19 Nhóm nhóm khơng giao hốn cấp 8, thường kí hiệu D4 , gọi nhóm dihedral Thí dụ Giả sử G nhóm xyclic cấp sinh phần tử a, H nhóm cấp nhóm đối xứng S3 , H = { idG , 𝛼 } với idG song ánh đồng tập { 1, 2, }, 𝛼 song ánh 𝛼 = ( 3 ) G = < a > = { e, a }, a phần tử đơn vị G G ∫ H = G3 × H = {(e, e, e; idG ), (e, e, a; idG), (e, a, e; idG), (a, e, e; idG), (a, a, a; idG), (a, a, e; idG), (a, e, a; idG), (e, a, a; idG), (e, e, e; ∝), (e, e, a; ∝ ), (e, a, e; ∝ ), (a, e, e; ∝), (a, a, a; ∝), (a, a, e; ∝ ), (a, e, a; ∝ ), (e, a, a; ∝ )} Phần tử đơn vị nhóm e = ( eG , eG , eG ; idG ) Đặt x = ( a , a , e ; 𝛼 ) , y = ( a , e , a ; idG ) z = ( a , a , e ; idG), ta dễ dàng kiểm tra : Ord ( x ) = , y2 = x2 = z2 = e , xy = yx , zy = yz zxz = x3 Khi nhóm G ∫ H có biểu diễn sau G ∫ H = < x , y , z / x4 = y2 = z2 = e , xy = yx , zy = yz , zxz = x3 > Nhóm G ∫ H nhóm khơng giao hốn cấp 16 Nhóm sinh hai phần tử x , z ∈ G ∫ H , nhóm D4 = < x , z / x4 = z2 = e , zxz = x3 > Gọi C2 = < y > , kiểm chứng G ∫ H ≅ D4 × C2 20 Thí dụ Giả sử G nhóm xyclic cấp , H nhóm cấp nhóm đối xứng S3 , H = { idG, 𝛼, 𝛼 } với idG song ánh đồng tập { 1, 2, }, 𝛼 song ánh 𝛼 = ( ) , 𝛼2 = ( 2 3 ) G = Z3 = { 0̅ , 1̅ , 2̅ }, 0̅ phần tử đơn vị G G ∫ H = G3 × H = {( 0̅, 0̅, 0̅ ; idG), (1̅, 0̅, 1̅ ; idG), (2̅, 0̅, 2̅; idG), (1̅, 2̅, 1̅; idG), (1̅, 1̅, 1̅ ; idG), ( 2̅, 1̅, 2̅; idG), (2̅, 2̅, 2̅; idG), (0̅, 2̅, 2̅; idG), ̅ 2̅, 1̅; idG), (1̅, 0̅, 2̅ ; idG), (2̅, 0̅, 1̅; idG), (0̅, 1̅, 1̅; idG), (1̅, 1̅, 2̅ ; idG ), (2, (1̅, 2̅, 0̅ ; idG), ( ̅0, 1̅, 2̅; idG), (0̅, 0̅, 1̅; idG), (0̅, 0̅, 2̅ ; idG), (0̅, 1̅, 0̅; idG), (0̅, 2̅, 0̅; idG), (1̅, 0̅, 0̅; idG), ( 2̅, 0̅ , 0̅; idG), (1̅, 1̅, 0̅; idG), (1̅, 2̅, 0̅; idG), ( 2̅, 2̅ , 0̅; idG), ( 2̅, 1̅, 0̅; idG), ( 2̅, 1̅ , 1̅; idG), ( 0̅, 2̅ , 1̅; idG), ( 0̅, 0̅, 0̅ ; 𝛼), (1̅, 0̅, 1̅ ; 𝛼), (2̅, 0̅, 2̅; 𝛼), (1̅, 2̅, 1̅; 𝛼), (1̅, 1̅, 1̅ ; 𝛼 ), ( 2̅, 1̅, 2̅; 𝛼 ), (2̅, 2̅, 2̅; 𝛼), ̅ 2̅, 1̅; 𝛼), (1̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼 ), (2̅, 0̅, 1̅; 𝛼), (0̅, 2̅, 2̅; 𝛼), (0̅, 1̅, 1̅; 𝛼 ), (1̅, 1̅, 2̅ ; 𝛼 ), (2, (1̅, 2̅, 0̅ ; 𝛼), (0̅, 1̅, 2̅; 𝛼 ), (0̅, 0̅, 1̅; 𝛼 ), (0̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼), (0̅, 1̅, 0̅; 𝛼), (0̅, 2̅, 0̅; 𝛼), (1̅, 0̅, 0̅; 𝛼), (2̅, 0̅ , 0̅; 𝛼),(1̅, 1̅, 0̅; 𝛼 ), (1̅, 2̅, 0̅; 𝛼), ( 2̅, 2̅ , 0̅; 𝛼), ( 2̅, 1̅ , 0̅; 𝛼), ( 2̅, 1̅ , 1̅; 𝛼), ( 0̅, 2̅ , 1̅; 𝛼), ( 0̅, 0̅, 0̅ ; 𝛼 ), (1̅, 0̅, 1̅ ;𝛼 ), (2̅, 0̅, 2̅; 𝛼 ), (1̅, 2̅, 1̅; 𝛼 ), (1̅, 1̅, 1̅ ; 𝛼 ), ( 2̅, 1̅, 2̅; 𝛼 ), (2̅, 2̅, 2̅; 𝛼 ), (0̅, 2̅, 2̅; 𝛼 ), (0̅, 1̅, 1̅; 𝛼 ), ̅ 2̅, 1̅; 𝛼 ), (1̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼 ), (2̅, 0̅, 1̅; 𝛼 ), (1̅, 2̅, 0̅ ; 𝛼 ), (1̅, 1̅, 2̅ ; 𝛼 ), (2, (0̅, 1̅, 2̅; 𝛼 ), (0̅, 0̅, 1̅; 𝛼 ), (0̅, 0̅, 2̅ ; 𝛼 ), (0̅, 1̅, 0̅; 𝛼 ), (0̅, 2̅, 0̅; 𝛼 ), (1̅, 0̅, 0̅; 𝛼 ), (2̅, 0̅ , 0̅; 𝛼 ), (1̅, 1̅, 0̅; 𝛼 ), (1̅, 2̅, 0̅; 𝛼 ), ( 2̅, 2̅ , 0̅; 𝛼 ), ( 2̅, 1̅ , 0̅; 𝛼 ), ( 2̅, 1̅ , 1̅; 𝛼 ), ( 0̅, 2̅ , 1̅; 𝛼 )} Phần tử đơn vị nhóm e = ( ̅0, 0̅, 0̅; idG ) Đặt x = ( 1̅, 0̅, 1̅ ; 𝛼 ), y = ( 0̅, 2̅ , 1̅ ; idG ), z = ( 2̅, 2̅, 1̅ ; idG ), t = (2̅, 2̅, 2̅; idG), ta dễ dàng kiểm tra : 21 Ord ( x ) = , x3 = t , y3 = t3 = z3 = , zy = yz , ty = yt , zt = tz , x-1yx = yt , x-1zx = yz , x-1tx = t Khi nhóm G ∫ H có biểu diễn sau G ∫ H = < x , y , z , t / x3 = t , y3 = t3 = z3 = , zy = yz , ty = yt , zt = tz , x-1yx = yt , x-1zx = yz , x-1tx = t > Nhóm G ∫ H nhóm khơng giao hốn cấp 81 2.3 Xây dựng p – nhóm Sylow nhóm đối xứng hữu hạn Nội dung mục tham khảo [ ] , chi tiết liên quan xem [ ] 2.3.1 Mệnh đề [ ] Giả sử G ∫ H tích bện nhóm G với nhóm H nhóm đối xứng Sn , Gn nhóm tích trực tiếp G × G × G … G ( n lần ) Khi ánh xạ sau 𝜑: Gn → G∫H x = ( f1, f2,…, fn ) ↦ 𝜑 ( x ) = ( f1, f2,…, fn ; eH ) Ψ: H → G∫H 𝛼 ↦ Ψ (𝛼 ) = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; 𝛼 ) đơn cấu nhóm Chứng minh ∀ x, y ∈ Gn , x = ( f1, f2,…, fn ) , y = ( g1, g2,…, gn )  xy = ( f1g1, f2g2, …, fngn ) ∈ Gn 22 𝜑 ( xy ) = ( f1g1, f2g2, …, fngn ; eH ) = ( f1, f2,…, fn ; eH ) ( g1, g2,…, gn ; eH ) = 𝜑 ( x ) 𝜑 ( y ) Suy 𝜑 đồng cấu Hơn x = ( f1, f2,…, fn ) ∈ Ker 𝜑 ↔ ( f1, f2,…, fn ; eH ) = = 𝑒G ∫ H = ( 𝑒𝐺 ,…, 𝑒𝐺 ; eH ) ⇔ fi = eG , ∀ i = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 ⇔ x = 𝑒𝐺 𝑛 Vậy 𝜑 đơn cấu Việc chứng minh Ψ đơn cấu hoàn toàn tương tự Mệnh đề chứng minh Hai đơn cấu mệnh đề cho phép ta đồng Gn với nhóm sau G ∫ H Gn ≡ { ( f1, f2,…, fn ) ; eH : fi ∈ G } ≤ G ∫ H đồng H với nhóm sau G ∫ H H ≅ {( eG,…,eG ; 𝛼 ) : 𝛼 ∈ H } ≤ G ∫ H 2.3.2 Mệnh đề [ ] i) Nhóm Gn nhóm chuẩn tắc G ∫ H ii) Ánh xạ sau 23 𝜋: G∫H → H ( f1, f2,…, fn ; ∝) ↦ 𝛼 đồng cấu nhóm, cảm sinh đẳng cấu nhóm (G ∫ H) / Gn ≅ H Xem Gn H hai nhóm G ∫ H , ta có G ∫ H = Gn H Gn ∩ H = {e} = {(eG,…, eG ; eH)} Những tính chất nói tích bện diễn đạt qua ngôn ngữ dãy khớp sau 2.3.3 Mệnh đề [ ] Dãy sau dãy khớp 𝑖 𝜋 → 𝐺 𝑛 → 𝐺 ∫ 𝐻 → 𝐻 → 1, i phép nhúng, 𝜋 phép chiếu mệnh đề 2.2.2, nhóm tầm thường 2.3.4 Mệnh đề [ ] Cho tích bện G ∫ 𝐻 Kí hiệu diag Gn tập { ( g, …, g ; 𝑒𝐻 ) / g ∈ 𝐺 } ⊂ G ∫ 𝐻 Khi i) diag 𝐺 𝑛 ≤ 𝐺 ∫ 𝐻 , diag 𝐺 𝑛 ≅ 𝐺 ii) ( diag 𝐺 𝑛 ) H = { ( g, …, g ; 𝛼 ) : g ∈ G , ∝ ∈ 𝐻 } ≤ 𝐺 ∫ 𝐻 ( diag 𝐺 𝑛 ) H ≅ 𝐺 × 𝐻 2.3.5 Mệnh đề [ ] Giả sử G ≤ Sm H ≤ Sn , ánh xạ sau đơn cấu 𝛹∶ 𝐺 ∫𝐻 → 𝑆𝑚𝑛 24 … ( j−1 )m + i … ( f1, …, fn ; ∝ ) ↦ ( ( α ( j )−1)m + f ) α(j)(i) ≤i ≤m ,1 ≤j ≤n Đơn cấu mệnh đề cho xem G ∫ H nhóm nhóm Smn G ≤ Sm H ≤ Sn Thí dụ Với G = H = S3 , phần tử ( f1, f2, f3 ; ∝ ) = ( (1,2) , (1,2,3) , (1,3) ; (2,3) ) ∈ S3 ∫ 𝑆3 , ánh xạ 𝛹 chuyển thành phép sau : 𝛹 ( f1, f2, f3 ; ∝ ) = 𝛹 ( f1, f2, f3 ; eH ) 𝛹 ( eG, eG, eG ; ∝ ) = (1, 2) (4, 5, 6) (7, 9) (4, 7) (5, 8) (6, 9) = (1, 2) (4, 9) (5, 8, 6, ) ∈ 𝑆9 Bây giờ, ta xét nhóm xyclic Cp cấp p , sinh phép ( 1, 2,…, p ) Sp Cp = < (1, 2,…, p ) > ≤ Sp Với phép nhúng 𝛹 xây dựng mệnh đề trên, ta có : Cp ∫ 𝐶𝑝 ≤ 𝑆𝑝2 , ( Cp ∫ 𝐶𝑝 ) ∫ 𝐶𝑝 ≤ 𝑆𝑝3 … Một cách tổng quát, ta kí hiệu Wn : = (… ⏟ ( 𝐶𝑝 ∫ 𝐶𝑝 ) … ) ∫ 𝐶𝑝 ≤ 𝑆𝑝𝑛 𝑛 𝑙ầ𝑛 2.3.6 Mệnh đề [ ] Nếu p số nguyên tố Wn p – nhóm Sylow Spn , với n Chứng minh 25 Gọi Vp(k) số v lớn cho pv chia hết cho số tự nhiên k Dễ dàng kiểm chứng quy nạp theo n : Vp ( |𝑆𝑝𝑛 | ) = Vp ( pn ! ) = + p + p2 +…+ pn-1 Mặt khác, quy nạp theo n , ta có : | Wn | = | Wn-1 |p p = 𝑝1+𝑝+⋯+𝑝 𝑛−1 Vậy Wn p – nhóm Sylow 𝑆𝑝𝑛 Mệnh đề chứng minh 2.3.7 Định nghĩa số nguyên p-adic chuỗi vô hạn hình thức có dạng a0 + a1p + a2p2 + a3p3 + … Với p số nguyên tố cho trước hệ số chuỗi thoả mãn ≤ < p Tổng quát hơn, ta xét chuỗi hình thức vơ hạn có dạng ∞ ∑ 𝑎𝑛 𝑝𝑛 = 𝑎−𝑚 𝑝−𝑚 + … + 𝑎−1 𝑝−1 + 𝑎0 + 𝑎1 𝑝 + 𝑎2 𝑝 + ⋯ 𝑛 = −𝑚 với m số nguyên giá trị hệ số nằm tập { 0, 1, 2, , p – } Một chuỗi hình thức có dạng người ta gọi số p-adic ∞ ∑ 𝑎𝑛 𝑝𝑛 = 𝑎−𝑚 𝑝−𝑚 + … + 𝑎−1 𝑝−1 + 𝑎0 + 𝑎1 𝑝 + 𝑎2 𝑝 + ⋯ 𝑛 = −𝑚 2.3.8 Mệnh đề [ ] Giả sử p số nguyên tố, n = a + a1 p + … + a t p t ( ≤ a i ≤ p ) khai triển p - adic n Khi nhóm đối xứng Sn có p - nhóm 26 Sylow : 𝑡 Pn = ∏( 𝑤 ⏟𝑖 × … × 𝑤𝑖 ) 𝑖=1 𝑎𝑖 𝑙ầ𝑛 27 KẾT LUẬN Luận văn “ Nhóm Sylow tích bện hai nhóm ” thực mục đích đề Cụ thể : 1) Tìm hiểu trình bày khái niệm tích bện hai nhóm ví dụ minh họa 2) Áp dụng tích bện để xây dựng p – nhóm Sylow nhóm đối xứng 𝑆𝑝𝑛 , với p số nguyên tố n số ngun dương Trong khn khổ luận văn bậc đại học nên kết luận văn hạn chế Hy vọng thời gian tới, nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện hơn, nhằm chứng tỏ tính hiệu tích bện lý thuyết nhóm 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) B Baumslag and B.Chandler (1968) , Group Theory, McGraw – Hill, book company 2) Garrett Birkhoff, Saunders maclance (1979), Tổng quan đại số đại, nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 3) Bùi Huy Hiền (2009), Bài tập đại số đại cương, nhà xuất giáo dục 4) Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập đại số số học, nhà xuất giáo dục, Hà Nội 5) Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, nhà xuất giáo dục, Hà Nội 6) Serge lang (1973), Đại số, nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 7) Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, nhà xuất giáo dục 8) Http://thichchemgio.wordpress.com/2010/09/17/s%E1%BB%91-p-adic-vahinh-h%E1%BB%8Dc-diophantine-ph%E1%BA%A7n-i/ 29 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU PHẦN 1: CẤU TRÚC NHÓM VÀ p – NHÓM 1.1 Nhóm p - nhóm 1.2 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 1.3 Đồng cấu nhóm 12 PHẦN 2: NHÓM CON SYLOW VÀ TÍCH BỆN CỦA HAI NHĨM 15 2.1 p – nhóm Sylow 15 2.2 Tích bện hai nhóm 17 2.3 Xây dựng p – nhóm Sylow nhóm đối xứng hữu hạn 22 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 30 ... TRÚC NHÓM VÀ p – NHÓM 1.1 Nhóm p - nhóm 1.2 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 1.3 Đồng cấu nhóm 12 PHẦN 2: NHĨM CON SYLOW VÀ TÍCH BỆN CỦA HAI NHĨM 15 2.1 p – nhóm. .. Khi tồn p – nhóm Sylow G 2.1.6 Định lí Sylow thứ hai [ ] Nếu H nhóm nhóm hữu hạn G H p – nhóm, H chứa p – nhóm Sylow G 2.1.7 Định lí Sylow thứ ba [ ] Bất kì hai nhóm p – nhóm Sylow nhóm hữu hạn... thuyết nhóm Nhằm tìm hiểu tích bện hai nhóm, tơi chọn đề tài cho luận văn : ? ?Nhóm Sylow tích bện hai nhóm? ?? – Bố cục luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm hai phần Phần : Cấu trúc nhóm