Mục đích đề tài
Bài viết đề cập đến các biện pháp rèn luyện tư duy cho học sinh, đặc biệt là hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp Những thao tác này được áp dụng để tìm lời giải cho phương trình lượng giác, phù hợp với chương trình Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao) Việc phát triển những kỹ năng này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu là một phương pháp quan trọng trong việc thu thập và phân tích thông tin liên quan đến đề tài Để đảm bảo tính chính xác và khoa học, cần tổng hợp và xử lý các nguồn tài liệu phù hợp với nội dung nghiên cứu.
Phương pháp phi thực nghiệm là cách thu thập thông tin thông qua việc quan sát các sự kiện hiện có và đã xảy ra Phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực lượng giác.
Nội dung
Trong đề tài này tôi sẽ nghiên cứu các nội dung sau:
1 Lý do chọn đề tài
Nội dung Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Thao tác tổng hợp
1.1.4 Tác dụng của thao tác tư duy phân tích và tổng hợp trong dạy học Toán
1.1.5 Một vài biện pháp thực hiện
1.2 Những kiến thức cơ bản để giải phương trình lượng giác trong
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành)
1.2.1 Các công thức lượng giác
1.2.2 Phương trình lượng giác cơ bản
1.2.3 Một số phương trình lượng giác đơn giản
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích và tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác
2.1 Tập cho học sinh nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã biết và cái cần tìm
2.2 Tập cho học sinh thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được một ý thì tổng hợp lại ta có thu được điều gì bổ ích hay không? Còn thiếu yếu tố nào nữa?
2.3 Tập cho học sinh tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau đó tổng hợp lại cho kết quả.
PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Phân tích là quá trình tách rời các bộ phận của sự vật hoặc hiện tượng, nhằm hiểu rõ các dấu hiệu, thuộc tính, cũng như mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định.
Quá trình này nhằm nghiên cứu sâu sắc và toàn diện các sự vật, hiện tượng, từ đó giúp chúng ta nhận thức đầy đủ hơn về chúng.
Phân tích luôn luôn là một việc làm có yêu cầu, diễn biến theo một phương hướng nhất định nào đó.
- Khi học sinh cầm nắm một đồ vật và quan sát để nhận dạng hình học của nó, đó là sự phân tích hành động thực tiễn.
- Khi quan sát một mô hình hình học, học sinh tách một bộ phận nào đó của hình để xem xét, đó là sự phân tích cảm tính.
Trong quá trình phân tích cảm tính, học sinh có thể áp dụng các biểu tượng và tri thức hình học đã học để xây dựng một bài toán hình học mới, từ đó tiến tới hoạt động phân tích trí tuệ.
Sự phân tích trong học sinh trung học bao gồm hành động thực tiễn, cảm tính và trí tuệ, với phân tích trí tuệ là chủ yếu Quá trình phát triển của sự phân tích diễn ra từ phiến diện đến toàn diện, bắt đầu với phân tích thử, sau đó là phân tích cục bộ, tiếp theo là phân tích thức hợp, và cuối cùng là sự phân tích có hệ thống.
Ví dụ 1: Khi dạy về “Điều kiện để hai mặt phẳng song song” ta có định lí:
“ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)” Định lý được tóm tắt như sau:
Khi dạy khái niệm “Hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀”, ta định nghĩa rằng hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x₀ thuộc (a,b) sẽ được coi là liên tục tại điểm x₀ nếu:
Khi dạy khái niệm này thì cần cho học sinh phân tích để hiểu sâu sắc hơn về thế nào là hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 , tức là:
Hàm số phải xác định tại x 0 tức là f x( ) 0
Nhờ đó mà học sinh thấy được mối quan hệ giữa giới hạn của hàm số tại điểm x 0 và giá trị của hàm số tại điểm x 0
Sau khi cho học sinh phân tích khái niệm đó thì giáo viên đặt câu hỏi:
“ Làm thế nào để xét một hàm số có liên tục hay không?”
Lúc đó học sinh sẽ tổng hợp lại các yếu tố vừa phân tích để có câu trả lời đúng nhất.
Thao tác tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh tư duy, trong đó trí óc kết hợp các phần của một tổng thể hoặc gộp lại những thuộc tính, khía cạnh khác nhau đã được tách ra từ tổng thể đó.
Tổng hợp là một quá trình diễn ra dưới nhiều hình thức và mức độ khác nhau, bắt đầu từ tiểu học với việc học sinh thực hiện tổng hợp thông qua các hành động thực tiễn Ví dụ, trẻ em có thể kết hợp các bộ phận khác nhau của đồ vật để tạo ra nhiều hình dạng mới Qua thời gian, tổng hợp hành động thực tiễn phát triển thành tổng hợp trí tuệ, diễn ra trong mối quan hệ tương hỗ và chặt chẽ Đối với học sinh trung học, tổng hợp trí tuệ trở thành hình thức chủ yếu trong quá trình học tập.
Hoạt động tổng hợp bắt đầu từ sự tổng hợp cục bộ, diễn ra thông qua quá trình chuyển hóa, tiến tới sự tổng hợp đầy đủ và cuối cùng là tổng hợp có hệ thống.
Sau khi hoàn thành bài học về "Hai mặt phẳng vuông góc", giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt các phương pháp chứng minh sự vuông góc giữa hai mặt phẳng.
- Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 o
Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Phân tích và tổng hợp là hai khía cạnh không thể tách rời trong một quá trình thống nhất, như F Ăngghen đã viết: "Không có phân tích thì không có tổng hợp" Phân tích một toàn thể đồng thời cũng là tổng hợp các phần của nó, nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các phần đó Qua phân tích, chúng ta có thể nhận thức sâu sắc hơn về cái toàn thể.
Sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp thể hiện qua việc cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định hướng cho quá trình phân tích, xác định các khía cạnh cần xem xét Kết quả của phân tích là giúp nhận thức sâu sắc hơn về cái toàn thể ban đầu (tổng hợp II).
Tổng hợp I – Phân tích – Tổng hợp II
Các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp là yếu tố thiết yếu trong mọi hành động trí tuệ Để so sánh hai hay nhiều đối tượng, trước hết cần tách biệt từng khía cạnh của các đối tượng đó Qua đó, ta có thể nhận diện những điểm tương đồng và khác biệt giữa chúng.
Khi tìm hiểu về hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chóp đều, học sinh cần phân tích hai khái niệm này để nhận diện sự tương đồng và khác biệt giữa chúng.
Chóp có đáy là đa giác đều
- Đáy là một đa giác đều
- Đáy là một đa giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau
Khi đã phân tích như vậy thì học sinh sẽ không nhầm lẫn giữa hai khái niệm này
Khi đối diện với một bài toán, học sinh cần phân tích giả thiết trước tiên Sau đó, họ tổng hợp những phân tích đó để tìm ra mối liên hệ giữa các dữ kiện, từ đó xác định cách giải chính xác cho bài toán.
Những kiến thức cơ bản để giải phương trình lượng giác trong Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành)
Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao (hiện hành)
1.2.1 Các công thức lượng giác
1.2.2 Phương trình lượng giác cơ bản
1.2.3 Một số phương trình lượng giác đơn giản
Một số biện pháp rèn luyện thao tác phân tích và tổng hợp cho học sinh qua việc tìm lời giải phương trình lượng giác 2.1 Tập cho học sinh nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã biết và cái cần tìm
Tập cho học sinh thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau
bổ ích hay không? Còn thiếu yếu tố nào nữa?
Tập cho học sinh tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, có hướng giải đơn giản hơn, sau đó tổng hợp lại cho kết quả
PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Phân tích là quá trình tách rời các bộ phận của sự vật hoặc hiện tượng, đồng thời xác định các dấu hiệu, thuộc tính và mối quan hệ giữa chúng theo một hướng cụ thể.
Quá trình nghiên cứu nhằm tìm hiểu sâu sắc và toàn diện về các sự vật, hiện tượng, từ đó giúp nhận thức đầy đủ hơn về chúng.
Phân tích luôn luôn là một việc làm có yêu cầu, diễn biến theo một phương hướng nhất định nào đó.
- Khi học sinh cầm nắm một đồ vật và quan sát để nhận dạng hình học của nó, đó là sự phân tích hành động thực tiễn.
- Khi quan sát một mô hình hình học, học sinh tách một bộ phận nào đó của hình để xem xét, đó là sự phân tích cảm tính.
Trong quá trình phân tích cảm tính, học sinh có thể áp dụng các biểu tượng và kiến thức hình học đã học để tạo ra một bài toán hình học mới, từ đó tiến tới hoạt động phân tích trí tuệ.
Sự phân tích trong học sinh trung học bao gồm hành động thực tiễn, cảm tính và trí tuệ, với sự hỗ trợ lẫn nhau Quá trình phát triển của phân tích diễn ra từ phiến diện đến toàn diện, bắt đầu với phân tích thử, sau đó là phân tích cục bộ, tiếp theo là phân tích thức hợp và cuối cùng là phân tích có hệ thống.
Ví dụ 1: Khi dạy về “Điều kiện để hai mặt phẳng song song” ta có định lí:
“ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)” Định lý được tóm tắt như sau:
Khi dạy khái niệm "Hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀", ta giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x₀ thuộc (a, b) Hàm số f(x) được xem là liên tục tại điểm x₀ nếu:
Khi dạy khái niệm này thì cần cho học sinh phân tích để hiểu sâu sắc hơn về thế nào là hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 , tức là:
Hàm số phải xác định tại x 0 tức là f x( ) 0
Nhờ đó mà học sinh thấy được mối quan hệ giữa giới hạn của hàm số tại điểm x 0 và giá trị của hàm số tại điểm x 0
Sau khi cho học sinh phân tích khái niệm đó thì giáo viên đặt câu hỏi:
“ Làm thế nào để xét một hàm số có liên tục hay không?”
Lúc đó học sinh sẽ tổng hợp lại các yếu tố vừa phân tích để có câu trả lời đúng nhất.
Thao tác tổng hợp là một hoạt động nhận thức quan trọng, phản ánh khả năng tư duy của con người Nó liên quan đến việc sử dụng trí óc để kết hợp các phần của một tổng thể hoặc kết nối những thuộc tính, khía cạnh khác nhau đã được tách ra, nhằm tạo ra sự hiểu biết sâu sắc hơn về cái toàn thể.
Thao tác tổng hợp được thể hiện qua nhiều hình thức và mức độ khác nhau Tại bậc tiểu học, học sinh chủ yếu thực hiện tổng hợp thông qua hành động thực tiễn, như việc ghép các bộ phận khác nhau của đồ vật để tạo thành hình dạng mới Qua quá trình này, tổng hợp hành động thực tiễn dần phát triển thành tổng hợp trí tuệ, diễn ra trong mối quan hệ tương hỗ và chặt chẽ Đối với học sinh trung học, tổng hợp trí tuệ trở thành yếu tố chủ yếu trong quá trình học tập.
Hoạt động tổng hợp khởi đầu từ sự tổng hợp cục bộ, diễn ra qua quá trình chuyển hóa, tiến tới sự tổng hợp đầy đủ và culminates ở tổng hợp có hệ thống.
Sau khi hoàn thành bài học về "Hai mặt phẳng vuông góc", giáo viên yêu cầu học sinh tổng hợp các phương pháp chứng minh sự vuông góc giữa hai mặt phẳng.
- Cách 1: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 o
1.1.3 Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp
Phân tích và tổng hợp là hai khía cạnh không thể tách rời trong một quá trình thống nhất F Ăngghen đã nhấn mạnh rằng "không có phân tích thì không có tổng hợp" Điều này có nghĩa là trong quá trình phân tích, chúng ta đã thực hiện tổng hợp các phần của một cái toàn thể Phân tích không chỉ đơn thuần là chia tách mà còn nhằm mục đích làm rõ mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể, từ đó giúp chúng ta nhận thức sâu sắc hơn về toàn bộ vấn đề.
Sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp thể hiện qua việc tổng hợp ban đầu (tổng hợp I) định hướng cho quá trình phân tích, xác định các khía cạnh cần được xem xét Kết quả của phân tích giúp nhận thức sâu sắc hơn về cái toàn thể ban đầu (tổng hợp II).
Tổng hợp I – Phân tích – Tổng hợp II
Các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp là thiết yếu trong mọi hành động trí tuệ Để so sánh hai hay nhiều đối tượng, trước tiên cần tách riêng từng khía cạnh của mỗi đối tượng (Tổng hợp II), từ đó xác định những điểm tương đồng và khác biệt giữa chúng.
Khi tìm hiểu về hình chóp có đáy là đa giác đều và hình chóp đều, học sinh sẽ phân tích để nhận diện sự tương đồng và khác biệt giữa hai khái niệm này.
Chóp có đáy là đa giác đều
- Đáy là một đa giác đều
- Đáy là một đa giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau
Khi đã phân tích như vậy thì học sinh sẽ không nhầm lẫn giữa hai khái niệm này
Khi đối diện với một bài toán, học sinh cần phân tích các giả thiết trước tiên Sau đó, họ tổng hợp những thông tin đã phân tích để tìm ra mối liên hệ giữa các dữ kiện, từ đó xác định được phương pháp giải chính xác cho bài toán.
1.1.4 Tác dụng của thao tác phân tích và tổng hợp trong dạy học Toán
- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng nằm trong một khái niệm, định lý.
Khi dạy khái niệm hình thoi, ta cần nhấn mạnh rằng hình thoi là một loại hình bình hành với hai cạnh kề bằng nhau Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi, học sinh sẽ dựa vào các dữ kiện trong bài toán và áp dụng các phương pháp chứng minh phù hợp Họ sẽ tiến hành phân tích các yếu tố liên quan để đưa ra kết luận chính xác.
+ Ý thứ nhất: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì có thể chứng minh một trong 3 trường hợp:
- Có hai cặp cạnh đối song song
- Có một cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau
- Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
+ Ý thứ hai: Có hai cạnh kề bằng nhau thì có thể chứng minh:
AB hoặc AB hoặc ADhoặc DC
- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một đối tượng.
Phân tích để thấy được sự giống và khác nhau giữa các đối tượng (hay phân tích để so sánh các đối tượng)
Khi học về phép quay và phép vị tự, học sinh sẽ phân tích để thấy sự khác nhau như sau:
Phép quay tâm O, góc quay biến
Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến M thành M’ thì ta có:
1.1.5 Một vài biện pháp thực hiện a Khi dạy khái niệm
