ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Sinh viên thực : Lê Hồng Thảo My Chun ngành : Sƣ phạm tốn học Lớp : 11ST Ngƣời hƣớng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy Đà Nẵng, tháng năm 2015 Khóa Luận LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, xin chân thành cảm ơn cô giáo – Th.S Ngơ Thị Bích Thủy tận tình, chu đáo hƣớng dẫn tơi suốt thời gian hồn thành khóa luận Bên cạnh đó, tơi xin cảm ơn tổ thƣ viện trƣờng ĐHSP-ĐHĐN hỗ trợ tơi q trình tìm tài liệu cho khóa luận Và cuối cùng, tơi xin cảm ơn bạn lớp 11ST đóng góp ý kiến để khóa luận đƣợc hồn chỉnh Đà Nẵng, ngày 24 tháng 04 năm 2015 Lê Hoàng Thảo My Khóa Luận MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC .2 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích .5 Nhiệm vụ .5 Phƣơng pháp nghiên cứu 5 Cấu trúc nghiên cứu khoa học CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN I.1 Thao tác tƣ phân tích tổng hợp .7 I.1.1 Khái niệm hai thao tác tƣ phân tích tổng hợp I.1.2 Mối liên hệ hai thao tác tƣ phân tích tổng hợp .9 I.1.3 Tác dụng hai thao tác tƣ phân tích tổng hợp 10 I.2 Dạy học giải tập toán .11 I.2.1 Yêu cầu giải toán 11 Khóa Luận I.2.2 Các bƣớc tiến hành dạy giải toán (bốn bƣớc giải Polya) 13 I.3 Đặc điểm hình học không gian lớp 11 15 I.4 Thực trạng dạy học hình học không gian lớp 11 phổ thông 15 CHƢƠNG II: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƢ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 17 II.1 Các toán 17 II.1.1 Bài toán 17 II.1.2 Bài toán 19 II.1.3 Bài toán 23 II.1.3 Bài toán 26 II.2 Các toán nâng cao 28 II.2.1 Bài toán 28 II.2.2 Bài toán 30 II.2.3 Bài toán 33 KẾT LUẬN .40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Khóa Luận MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nâng cao chất lƣợng dạy học nói chung, chất lƣợng dạy học mơn tốn nói riêng u cầu cấp bách ngành giáo dục nƣớc ta Để thực yêu cầu bƣớc quan trọng đổi nội dung phƣơng pháp dạy học Dạy học trình thống biện chứng việc dạy thầy việc học trò Muốn nâng cao chất lƣợng dạy học cần phải quan tâm nhiều đến hoạt động học tập học sinh Điều địi hỏi giáo viên phải tổ chức việc dạy tốn cho học sinh ln ln đứng trƣớc vấn đề mang tính tốn học cần giải Chính tình có vấn đề kích thích học sinh tƣ duy, tích cực suy nghĩ Vì vậy, việc rèn luyện phát triển thao tác tƣ cho học sinh nhiệm vụ cấp thiết công tác giảng dạy ngƣời giáo viên Một thao tác tƣ quan trọng thao tác tƣ phân tích tổng hợp Tuy nhiên, việc rèn luyện thao tác tƣ phân tích tổng hợp cho học sinh trƣờng phổ thơng cịn nhiều hạn chế Do đó, ngƣời giáo viên cần tìm nội dung kiến thức phù hợp để rèn luyện lực tƣ cho học sinh Qua trình nghiên cứu Sách giáo khoa Hình học 11- Nâng cao, tơi nhận thấy hai chƣơng “ Đường thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song” “ Vectơ không gian Quan hệ vng góc” chứa nhiều yếu tố để rèn luyện thao tác tƣ phân tích tổng hợp Khóa Luận Với lí trên, tơi định chọn đề tài “Rèn luyện phát triển thao tác tư phân tích tổng hợp cho học sinh thông qua việc giải tập hình học khơng gian lớp 11” Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh rèn luyện thao tác tƣ phân tích tổng hợp thơng qua việc giải tập hình học khơng gian lớp 11 Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt đƣợc mục đích trên, khóa luận có nhiệm vụ: a) Trên sở nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa hình học nâng cao 11, nêu số nội dung việc rèn luyện tƣ phân tích tổng hợp cho học sinh b) Đƣa hai dạng tập tập nâng cao để rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh theo mức độ khó dần Phƣơng pháp nghiên cứu a) Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa hình học nâng cao 11, sách tham khảo tài liệu mạng khác b) Phƣơng pháp nghiên cứu thực tế: Tiến hành tìm hiểu sơ rút số nhận xét việc rèn luyện tƣ cho học sinh học hình học khơng gian lớp 11 trƣờng phổ thơng Khóa Luận c) Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Sử dụng thao tác phân tích tổng hợp qua số dạy lớp chọn Trên sở đánh giá, bổ sung sửa đổi để dạy tốt Nội dung nghiên cứu Gồm ba phần: - Phần mở đầu: - Phần nội dung: có hai chƣơng + Chƣơng I: Cơ sở lí luận + Chƣơng II: Rèn luyện phát triển thao tác tƣ phân tích tổng hợp cho học sinh thơng qua việc giải tập hình học khơng gian lớp 11 - Phần kết luận: Khóa Luận CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Thao tác tƣ phân tích tổng hợp Thao tác tƣ phân tích tổng hợp hai thao tác trình tƣ 1.1.1 Khái niệm hai thao tác tƣ phân tích tổng hợp 1.1.1.1 Thao tác phân tích Phân tích q trình tách phận vật, tƣợng tự nhiên thực với dấu hiệu thuộc tính chúng nhƣ mối liên hệ quan hệ chúng theo hƣớng xác định Ví dụ: Phân tích tốn đƣợc hiểu tách yếu tố tốn làm cho xuất hết yếu tố (yếu tố cho, yếu tố cần tìm, số liệu, ) đồng thời làm xuất mối liên hệ yếu tố, từ xuất cấu trúc, mơ hình dạng tốn quen thuộc Q trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng cách đầy đủ, sâu sắc nhƣ nhận thức đƣợc cách trọn vẹn vật, tƣợng Khóa Luận 1.1.1.2 Thao tác tổng hợp Tổng hợp hoạt động nhận thức phản ánh tƣ duy, dùng trí óc hợp lại phần toàn thể kết hợp lại thuộc tính hay khía cạnh khác đƣợc tách nằm tồn thể Ví dụ: Sau học “Khoảng cách”, ta tổng hợp lại cách xác định khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo a b nhƣ sau: - Cách 1: xác định đoạn vng góc chung IJ a b Khi d  a; b   IJ - Cách 2: Tìm mặt phẳng  P  , cho:  P  a  P  // b Khi d  a; b   d  b;  P   - Cách 3: Tìm hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho:  P  a Q   b  P  //  Q  Khóa Luận Khi d  a; b   d   P  ;  Q   Trong tƣ duy, tổng hợp thao tác đƣợc xem mang dấu ấn sáng tạo gắn với tƣ sáng tạo 1.1.2 Mối liên hệ hai thao tác tƣ phân tích tổng hợp Phân tích tổng hợp khơng tách rời nhau, chúng hai mặt đối lập trình thống nhất; phân tích có tổng hợp, phân tích tồn thể đồng thời tổng hợp phần phân tích toàn thể thành phần nhằm mục đích làm bộc lộ mối liên hệ phần tồn thể Phân tích tồn thể đƣờng để nhận thức tồn thể sâu sắc Sự thống phân tích tổng hợp đƣợc thể chỗ: toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định hƣớng cho phân tích, cần phân tích mặt nào, khía cạnh Kết phân tích toàn thể ban đầu đƣợc nhận thức sâu sắc (tổng hợp II) Ví dụ: Để chứng minh tứ giác ABCD hình thoi, trƣớc hết ta nhớ lại khái niệm hình thoi: “Hình thoi hình bình hành có hai cạnh kề nhau” Khi ta phân tích nhƣ sau: - Ý thứ nhất: tứ giác ABCD hình bình hành chứng minh ba trƣờng hợp: + Có hai cặp cạnh đối song song + Có cặp cạnh đối vừa song song vừa Khóa Luận a≡a' b P + Nếu a không nằm  P  , cho học + Nếu a không nằm  P  lấy sinh vẽ hình A, B hai điểm phân biệt a Gọi A ', B ' lần lƣợt hình chiếu A, B lên  P  Khi hình chiếu a ' a đƣờng thẳng qua A ', B ' a A B A' a' P - Bây giờ, giả sử b  a Có nhận xét - B' b b  mp(a, a ') Vì b   P quan hệ đƣờng thẳng b b  A ' A , kết hợp với ba nên  mp  a, a '  ? Từ suy b nhƣ b  mp(a, a ') Suy b  a ' với a ' - Ngƣợc lại, giả sử b  a ' Có nhận xét - b  mp(a, a ') Vì b   P quan hệ đƣờng thẳng b b  A ' A , kết hợp với mp  a, a '  ? Từ suy b nhƣ b  mp(a, a ') Suy b  a với a 27 b  a' nên  Khóa Luận 2.2 Các toán nâng cao 2.2.1 Bài toán Cho tứ diện ABCD Các điểm P , Q lần lƣợt trung điểm AB CD Điểm R nằm cạnh BC cho BR  2RC Gọi S giao điểm mặt phẳng  PQR  cạnh AD Chứng minh SA  2SD Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh + Cho học sinh phân tích giả thiết kết + Đọc lại đề phân tích giả thiết , kết luận tốn luận GT tứ diện ABCD , PA  PB , QC  QD , BR  2RC , S  AD   PQR  KL chứng minh SA  2SD + Hƣớng dẫn học sinh vẽ hình: + Vẽ hình: - Cho học sinh nhắc lại cách xác định - Ta tìm mặt phẳng  P  đƣờng giao điểm đƣờng thẳng a thẳng b cho b cắt a Khi giao mặt phẳng  P  điểm đƣờng thẳng a mặt phẳng  P giao điểm đƣờng thẳng a đƣờng thẳng b 28 Khóa Luận - Hãy cách tìm giao điểm S - Trong mp  BCD  , gọi E  RQ  BD đƣờng thẳng AD mp  PQR  ? Khi mp  ABE  ,  PQR    PER  có cắt PE Trong mà AD PE   PQR  , suy AD  PE  S A P S D B E I Q R C + Trƣớc hết, ta ý điều cần chứng minh SA  2SD có giả thiết PE trung tuyến ABE ( P trung điểm AB ) Vậy ta chứng minh đƣợc SA  2SD S trọng tâm ABE Có nghĩa muốn chứng minh SA  2SD , ta chứng minh S trọng tâm ABE chứng minh D trung điểm BE + Gọi I trung điểm BR Có + ID // RQ Vì I trung điểm BR nhận xét quan hệ ID 29 Khóa Luận  BI  RI  RC  RQ đƣờng trung RQ ? bình ICD  ID // RQ + Khi ta chứng minh + D trung điểm BE Vì ID // RQ đƣợc D trung điểm BE chƣa?  ID // RE , mà I trung điểm BR nên D trung điểm BE + Học sinh tự kết luận toán + D trung điểm BE  AD đƣờng trung tuyến ABE Lại có PE đƣờng trung tuyến ABE AD  PE  S  S trọng tâm ABE  SA  2SD 2.2.2 Bài tốn Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a ; SA   ABCD  Gọi M N lần lƣợt hình chiếu điểm A đƣờng thẳng SB SD a) Chứng minh MN // BD SC   AMN  b) Gọi K giao điểm SC với mp  AMN  Chứng minh tứ giác AMKN có hai đƣờng chéo vng góc 30 Khóa Luận Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh + Cho học sinh phân tích giả thiết, kết + Phân tích giả thiết, kết luận: luận tốn GT h/c S ABCD , ABCD hình vng , SA   ABCD  , AM  SB , AN  SD KL a) cm: MN // BD , SC   AMN  b) SC   AMN   K Cm: tứ giác AMKN có hai đƣờng chéo vng góc + Hƣớng dẫn cho học sinh vẽ hình + Vẽ hình: Xác định điểm K : S - Gọi O  AC  BD K - Trong  SBD  , gọi I  MN  SO I M - Trong  SAC  : có AI cắt SC N A AI   AMN  nên K  AI  SC D O B 31 C Khóa Luận + a) chứng minh MN // BD - Ta thấy MN BD nằm mp  SBD  Nên muốn chứng minh MN song song với BD ta dùng định lí Ta-lét đảo SBD , nghĩa chứng minh SM SN  SB SD - Tìm mối liên hệ SB SD , - Ta có: SAB = SAD (cgc) AM , AN hai đƣờng cao tƣơng ứng hạ từ SM SN ? đỉnh A , nên SB  SD SM  SN - Suy SM SN  SB SD  MN // BD (đpcm) Chứng minh SC   AMN  - Chứng minh AM   SBC  - Ta có BC   SAB   BC  AM , mà AN   SCD  ? AM  SB  AM   SBC  ; tƣơng tự có CD   SAD   CD  AN có AN  SD  AN   SCD  - Hãy tìm mp  AMN  hai đƣờng - Ta có AM   SBC   AM  SC thẳng cắt vng góc với AN   SCD   AN  SC ; AM SC ? 32 Khóa Luận AN cắt mp  AMN  Nên AM AN hai đƣờng thẳng cần tìm - Từ suy SC   AMN  b) Chứng minh: tứ giác AKMN có hai đƣờng chéo vng góc nghĩa chứng minh AK  MN + Theo nhƣ câu a, ta có MN // BD + Có BD  AC ( ABCD hình Vậy chứng minh đƣợc AK  BD vuông) BD  SA , suy BD   SAC  AK  MN Hãy chứng minh BD   SAC  ? + Vậy BD   SAC   AK  BD  AK  MN  tứ giác AKMN có hai đƣờng chéo vng góc 2.2.3 Bài tốn Tứ diện OABC có OA  OB  OC  a , AOB  AOC  60 , BOC  90 a) Chứng tỏ ABC tam giác vng OA  BC b) Tìm đoạn vng góc chung OA BC ; tính khoảng cách hai đƣờng thẳng OA BC 33 Khóa Luận c) Chứng minh hai mặt phẳng  ABC  ,  OBC  vng góc với Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh + Cho học sinh phân tích giả thiết, kết + Phân tích giả thiết, kết luận tốn luận toán GT tứ diện OABC OA  OB  OC  a AOB  AOC  60 , BOC  90 KL a) Chứng tỏ ABC tam giác vng OA  BC b) Tìm đoạn vng góc chung OA BC , tính d  OA; BC   ? c) Chứng minh  ABC    OBC  + Hƣớng dẫn học sinh vẽ hình + Vẽ hình: O J B A I C a) Chứng tỏ ABC tam giác vuông 34 Khóa Luận + Từ giả thiết tốn, có nhận xét + OAB = OAC ( cgc ) Vì có: mối quan hệ OAB OAC ? - OA cạnh chung - AOB  AOC  60 - OB  OC (  a ) + Từ ta có AB  AC Vậy ABC tam giác vng vng A + Hãy nêu cách để chứng minh + Các cách để chứng minh AB  AC : AB  AC ? - Cách 1: đƣa chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đƣờng - Cách 2: dùng định lý Pytago - Cách 3: Chứng minh AB AC  + Đối với toán này, nên + Trong OAB : dùng cách Vì AB , AC hai cạnh ABC ; từ giả thiết AB  OA2  OB2  2.OAOB cos AOB tốn ta tính đƣợc AB , AC  a  a  2.a.a BC Suy AB  AC  a 35 a Khóa Luận Lại có: OBC vng cân O (vì OB  OC BOC  90 ) nên BC  a + Ta có: AB  AC  a BC  a , suy BC  AB2  AC Vậy ABC tam giác vuông A Chứng minh OA  BC + Ta chứng minh đƣợc ABC + Gọi I trung điểm BC Khi vng cân A có giả thiết OBC vuông cân O ; ABC OBC có cạnh chung BC Bây giờ, gọi I OI  BC ( OBC cân O ) AI  BC (vì ABC cân A ) trung điểm BC Hãy chứng minh  BC  OAI   BC   OAI  ? + Từ suy BC  OA b) Tìm đoạn vng góc chung OA BC + tìm đoạn vng góc chung OA BC nghĩa tìm đoạn thẳng vừa cắt OA , BC vừa vng góc với chúng + Ta có BC   OAI  nên BC + Kẻ IJ  OA ( J  OA ) (1) 36 Khóa Luận vng góc với đƣờng thẳng nằm Ta có BC   OAI   BC  IJ (vì mặt phẳng  OAI  , IJ   OAI  ) (2) BC   OAI   I Nếu kẻ IJ  OA ( J  OA ), chứng minh IJ đoạn vng góc chung cần tìm? Và BC  IJ  I , OA  IJ  J (3) Từ (1), (2) (3), suy IJ đoạn vng góc chung cần tìm Tính d  OA; BC   ? + Nhận xét mối quan hệ hai + OA BC hai đoạn thẳng chéo đoạn thẳng OA , BC ? + Khoảng cách hai đƣờng thẳng + Các cách xác định khoảng cách hai chéo a b đƣợc xác định nhƣ đoạn thẳng chéo nhau: nào? - Cách 1: Tìm đoạn vng góc chung IJ a b , d  a; b   IJ - Cách 2: Tìm mặt phẳng  P  chứa đƣờng thẳng a (hoặc b ) song song với đƣờng thẳng b ( a ), d  a; b   d  b;  P   - Cách 3: Tìm hai mặt phẳng  P   Q  lần lƣợt chứa a b song song với nhau, d  a; b   d   P  ;  Q   37 Khóa Luận + Dùng ba cách để tính + Ta có IJ đoạn vng góc chung d  OA; BC   ? OA BC , nên d  OA; BC   IJ OIA cân I , IJ đƣờng cao nên IJ đƣờng trung tuyến  J trung điểm OA  JO  JA  AO a  2 Suy  a   a 2 2 IJ  OI  OJ        2  a c) Chứng minh  ABC    OBC  + Nêu cách chứng minh hai mặt + Các cách chứng minh hai mặt phẳng phẳng vng góc? vng góc: - Cách 1: Tính trực tiếp góc hai mặt phẳng 90 - Cách 2: Tìm đƣờng thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng +Đối với tốn chứng minh 38 Khóa Luận hai mặt phẳng vng góc ta hay dùng cách để chứng minh + Để ý ta có OI  BC , cần tìm OI vng góc với đƣờng thẳng khác cắt BC nằm mp  ABC  xong + Chứng minh OI  AI ? + Ta có: OA  a , AI  a a , OI  2  OA2  AI  OI  OIA vuông cân I  OI  AI + Kết luận + ta có OI  BC OI  AI , suy OI   ABC  , suy OAB    ABC  (đpcm) 39 Khóa Luận KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu đề tài, đạt đƣợc số kết cụ thể sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm, mối liên hệ tác dụng thao tác tƣ phân tích, tổng hợp Đƣa cách thức rèn luyện phát triển tƣ phân tích, tổng hợp cho học sinh thông qua việc giải tốn nâng cao hình học lớp 11 Bài khóa luận hi vọng tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên ngành sƣ phạm toán trƣờng nhằm thực dạy học theo hƣớng phát huy lực tƣ cho học sinh Vì thời gian khả có hạn, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm cịn hạn chế Rất mong nhận đƣợc thông cảm đóng góp q báu thầy để khóa luận hồn thiện 40 Khóa Luận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa hình học 11 – nâng cao, NXB Giáo dục [2] Giáo trình phương pháp dạy – học toán, NXB Giáo dục [3] Phạm Quốc Phong, Bồi dưỡng hình học 11 Một số Website tham khảo: http://www.baigiang.violet.vn http://www.tailieu.vn 41 ... sinh thông qua việc giải tập hình học khơng gian lớp 11? ?? Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh rèn luyện thao tác tƣ phân tích tổng hợp thơng qua việc giải tập hình học khơng gian lớp 11 Nhiệm vụ... II: Rèn luyện phát triển thao tác tƣ phân tích tổng hợp cho học sinh thơng qua việc giải tập hình học khơng gian lớp 11 - Phần kết luận: Khóa Luận CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Thao tác tƣ phân tích. .. q trình rèn luyện lực thao tác tƣ trí tuệ cho học sinh, tạo cho học sinh hội để rèn luyện phát triển thao tác tƣ phân tích tổng hợp 1.4 Thực trạng dạy học hình học khơng gian lớp 11 phổ thơng