Định lý Ehrlich nhóm GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm LỜI MỞ ĐẦU Một nhóm 𝐺 gọi morphic tự đồng cấu 𝛼: 𝐺 → 𝐺 mà 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 thoả mãn 𝐺/𝛼𝐺 ≅ 𝐾er(𝛼) Một tự đồng cấu 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) quy 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 với 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺), 𝛼 đơn vị quy 𝛽 tự đẳng cấu 𝐺 Mục đích chứng minh lý thuyết nhóm sau tương tự định lý Ehrlich : 𝐺 nhóm morphic, tự đồng cấu 𝛼: 𝐺 → 𝐺 mà 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 đơn vị quy quy Ứng dụng, định lý giản ước biểu thị đặc điểm nhóm morphic số chúng với vị nhóm tự đồng cấu quy Cấu trúc đề tài: gồm phần Phần 1: Lý thuyết nhóm: Trình bày lại số khái niệm kết liên quan nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, đồng cấu nhóm, đẳng cấu nhóm… để phục vụ cho việc chứng minh bổ đề, định lý chương sau Phần 2: Định lý Ehrlich nhóm: định lý, bổ đề biểu thị đặc điểm nhóm morphic Trong q trình làm khố luận, người thực đề tài nhà trường thầy khoa Tốn tạo điều kiện cho sinh viên có mơi trường học tập, nghiên cứu tốt Em xin chân thành cảm ơn Đồng thời, em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Viết Đức nhiệt tình giúp đỡ, hướng dẫn, góp ý cho em suốt q trình em thực khố luận Mặc dù cố gắng, nỗ lực trình nghiên cứu bước đầu nghiên cứu, trình độ, kinh nghiệm cịn hạn chế nên không GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, em mong nhận lời bảo quý báu quý thầy góp ý bạn đọc Đà Nẵng, tháng 05 năm 2012 Người thực GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU _ PHẦN 1: LÝ THUYẾT NHÓM Khái niệm nhóm: _ Đồng cấu nhóm Nhóm cyclic Nhóm _ 10 Liên hợp nhóm chuẩn tắc _ 10 Nhóm thương 12 Tích trực tiếp tích nửa trực tiếp 13 Nhóm dihedral: _ 14 Nhóm đơn: 14 PHẦN 2: ĐỊNH LÝ EHRLICH VỀ NHÓM _ 15 1.Giới thiệu: _ 15 2.Nội dung _ 16 Bổ đề 2.1: _ 16 Bổ đề 2.2: _ 18 Ví dụ 2.3: 19 Ví dụ 2.4: 20 Bổ đề 2.5: _ 20 Định lý 2.6: 22 Định lý 2.7: 24 Bổ đề 2.8: _ 25 Định lý 2.9: 25 Định lý 2.10: _ 26 Định lý 2.11: _ 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO _ 28 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm PHẦN 1: LÝ THUYẾT NHĨM Phần nhắc lại số khái niệm lý thuyết nhóm để làm sở cho phần sau Khái niệm nhóm: Định nghĩa 1.1: Một nhóm cặp (𝐺,∘) 𝐺 tập hợp không rỗng ∘ luật hợp thành 𝐺, thoả mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Luật hợp thành kết hợp, tức (𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧 = 𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧) với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 (G2) Có phần tử 𝑒 ∈ 𝐺, gọi phần tử đơn vị, có tính chất 𝑥∘𝑒=𝑒∘𝑥 =𝑥 với 𝑥 ∈ 𝐺 (G3) Với 𝑥 ∈ 𝐺, có phần tử 𝑥′ ∈ 𝐺 gọi nghịch đảo 𝑥, cho 𝑥 ∘ 𝑥′ = 𝑥′ ∘ 𝑥 = 𝑒 Định nghĩa 1.2: Nhóm (𝐺,∘) gọi giao hoán ( hay abel) 𝑥∘𝑦 =𝑦∘𝑥 với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 Định nghĩa 1.3: (Nửa nhóm vị nhóm) Giả sử 𝐺 tập khơng rỗng ∘ luật hợp thành 𝐺 Ta gọi (𝐺,∘) nửa nhóm cặp thoả mãn: GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm Luật hợp thành kết hợp, tức (𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧 = 𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧) với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 Ta gọi (𝐺,∘) vị nhóm cặp thoả mãn hai điều kiện: - Luật hợp thành kết hợp, tức (𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧 = 𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧) với 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 - Có phần tử 𝑒 ∈ 𝐺, gọi phần tử đơn vị, có tính chất 𝑥∘𝑒=𝑒∘𝑥 =𝑥 với 𝑥 ∈ 𝐺 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 2.1: Giả sử 𝐺 𝐺′ nhóm (với luật hợp thành viết theo lối nhân) Một ánh xạ 𝜑: 𝐺 → 𝐺′ gọi đồng cấu nhóm nếu: 𝜑(𝑥𝑦) = 𝜑(𝑥)𝜑(𝑦) với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 Nếu 𝐺 = 𝐺 ′ đồng cấu 𝜑 gọi tự đồng cấu 𝐺 Vị nhóm tự đồng cấu kí hiệu 𝐸𝑛𝑑(𝐺) Mệnh đề 2.2: Giả sử 𝜑: 𝐺 → 𝐺 ′ đồng cấu nhóm Khi đó: (i) 𝜑 chuyển đơn vị 𝐺 thành 𝐺 ′ ,tức 𝜑(𝑒) = 𝑒 ′ GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm (ii) 𝜑 chuyển nghịch đảo phần tử 𝑥 ∈ 𝐺 thành nghịch đảo phần tử 𝜑(𝑥) ∈ 𝐺 ′ tức 𝜑(𝑥 −1 ) = 𝜑(𝑥)−1 Định nghĩa 2.3: (i) Một đồng cấu nhóm đồng thời đơn ánh gọi đơn cấu nhóm, hay phép nhúng nhóm (ii) Một đồng cấu nhóm đồng thời toàn ánh gọi toàn cấu nhóm (iii) Một đồng cấu nhóm đồng thời song ánh gọi đẳng cấu nhóm Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Định nghĩa 2.4: Hạt nhân ảnh đồng cấu nhóm 𝜑: 𝐺 → 𝐺 ′ định nghĩa tương ứng sau: 𝐾𝑒𝑟(𝜑) ≔ {𝑥 ∈ 𝐺: 𝜑(𝑥) = 𝑒 ′ } = 𝜑 −1 (𝑒 ′ ) 𝐼𝑚𝜑 ≔ {𝜑(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐺} = 𝜑(𝐺) 𝑒 ′ đơn vị 𝐺 ′ Mệnh đề 2.5: Đồng cấu nhóm 𝜑: 𝐺 → 𝐺 ′ toàn cấu 𝐼𝑚𝜑 =𝐺 ′ Nó đơn cấu 𝐾𝑒𝑟(𝜑) = 𝑒 𝑒 đơn vị 𝐺 Mệnh đề 2.6: Giả sử 𝜑: 𝐺 → 𝐺 ′ đồng cấu nhóm (i) Nếu có đồng cấu 𝜓: 𝐺 ′ → 𝐺 cho 𝜓𝜑 = 𝑖𝑑𝐺 ( 𝜓 gọi nghịch đảo trái 𝜑 ) 𝜑 đơn cấu GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm Nếu có đồng cấu 𝜓: 𝐺 ′ → 𝐺 cho 𝜑𝜓 = 𝑖𝑑𝐺 ′ ( 𝜓 (ii) gọi nghịch đảo phải 𝜑 )thì 𝜑 tồn cấu (iii) 𝜑 đẳng cấu có đồng cấu 𝜓: 𝐺 ′ → 𝐺 cho 𝜓𝜑 = 𝑖𝑑𝐺 , 𝜑𝜓 = 𝑖𝑑𝐺 ′ Khi 𝜓 = 𝜑 −1 đẳng cấu Giả sử 𝐺 nhóm Gọi 𝐴𝑢𝑡(𝐺) tập hợp tất đẳng cấu nhóm từ 𝐺 vào Mệnh đề 2.7: 𝐴𝑢𝑡(𝐺)là nhóm phép hợp thành ánh xạ Nó gọi nhóm tự đẳng cấu 𝐺 Nhóm cyclic Định nghĩa 3.1: Nhóm 𝐺 gọi nhóm cyclic chứa phần tử 𝑎 cho phần tử 𝐺 luỹ thừa nguyên 𝑎 Phần tử 𝑎 có tính chất gọi phần tử sinh nhóm cyclic 𝐺 Định nghĩa 3.2: Giả sử 𝐺 nhóm với đơn vị 𝑒 𝑎 ∈ 𝐺 Nếu 𝑎𝑚 ≠ 𝑒 với > , ta nói 𝐺 có cấp vơ hạn Nếu trái lại, số nguyên dương nhỏ 𝑚 cho 𝑎𝑚 = 𝑒 gọi cấp 𝑎 Định nghĩa 3.3: Nếu 𝑎 phần tử sinh nhóm cyclic 𝐺 cấp 𝑎 xác định 𝐺 xác tới đẳng cấu Nói rõ hơn, (i) Nếu cấp 𝑎 vô hạn, 𝐺 đẳng cấu với ℤ (ii) Nếu cấp 𝑎 số n hữu hạn, 𝐺 đẳng cấu với ℤ ∕ 𝑛 Định nghĩa 3.4: Cấp nhóm , kí hiệu |𝐺| , số phần tử 𝐺 𝐺 có hữu hạn phần tử, ∞ 𝐺 có vơ hạn phần tử Hệ 3.5: Hai phần tử sinh nhóm cyclic có cấp Cấp nhóm cyclic cấp phần tử sinh Hai nhóm cyclic đẳng cấu với chúng có cấp GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang Định lý Ehrlich nhóm Nhóm Định nghĩa 4.1: Giả sử 𝐺 nhóm Một tập khơng rỗng 𝑆 ⊂ 𝐺 gọi nhóm 𝐺 𝑆 khép kín luật hợp thành 𝐺 (tức 𝑥𝑦 ∈ 𝑆 với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) khép kín phép lấy nghịch đảo 𝐺 (tức 𝑥 −1 ∈ 𝑆 với 𝑥 ∈ 𝑆) Kí hiệu 4.2: Ta dùng kí hiệu 𝑆 ≤ 𝐺 để 𝑆 nhóm 𝐺 Mệnh đề 4.3: Nếu nhóm 𝐺 có hữu hạn phần tử tập hợp khác rỗng 𝑆 𝐺 nhóm 𝑆 khép kín phép nhân 𝐺 Mệnh đề 4.4: Nếu 𝜑: 𝐺 → 𝐺 ′ đồng cấu nhóm, 𝐾𝑒𝑟𝜑 𝐼𝑚𝜑 nhóm tương ứng 𝐺 𝐺 ′ Mệnh đề 4.5: Mọi nhóm nhóm cyclic cyclic Hệ 4.6: Giao họ nhóm nhóm nhóm 𝐺 Gọi 〈𝑋〉 giao tất nhóm họ Khi 〈𝑋〉 nhóm nhỏ 𝐺 chứa 𝑋 Nó gọi nhóm 𝐺 sinh 𝑋 Định nghĩa 4.7: Ta nói 𝑋 tập sinh 𝐺 ( hay 𝐺 sinh 𝑋) 〈𝑋〉 = 𝐺, tức 𝐺 nhóm nhỏ 𝐺 chứa 𝑋 Khi đó, 𝐺 khơng sinh tập thực 𝑋 ta nói 𝑋 tập sinh cực tiểu 𝐺 Nếu 𝑋 = {𝑎} tập gồm phần tử, ta viết đơn giản 〈𝑎〉 thay cho 〈{𝑎}〉 Nếu 𝐺 nhóm cyclic sinh 𝑎 {𝑎} tập sinh (cực tiểu ) 𝐺 Hơn nữa, 𝐺 nhóm bất kì, 𝑎 ∈ 𝐺 〈𝑎〉 nhóm cyclic sinh phần tử 𝑎 Nó gọi nhóm cyclic 𝐺 sinh 𝑎 Liên hợp nhóm chuẩn tắc GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 10 Định lý Ehrlich nhóm (ℎ, 𝑘)(ℎ′ , 𝑘 ′ ) = (ℎ𝑘, ℎ′ 𝑘 ′ ) , ∀(ℎ, 𝑘), (ℎ′ , 𝑘 ′ ) ∈ 𝐻 × 𝐾 nhóm Nhóm 𝐻 × 𝐾 xác định gọi tích trực tiếp ngồi hai nhóm 𝐻 𝐾 𝐺 gọi tích trực tiếp (trong) 𝐾 𝐻 𝐻 ⊲ 𝐺 , 𝐾 ⊲ 𝐺 , 𝐺 = 𝐻𝐾 𝐻 ∩ 𝐾 = Khi 𝐻 𝐾 hạng tử trực tiếp nhóm 𝐺 Kí hiệu 𝐺 = 𝐻 ⊙ 𝐾 𝐺 gọi tích nửa trực tiếp 𝐾 𝐻 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝐺 = 𝐾𝐻 𝐻 ∩ 𝐾 = Khi 𝐾 hạng tử nửa trực tiếp 𝐺 Kí hiệu 𝐺 = 𝐾 ⋊ 𝐻 Nhóm dihedral: Định nghĩa: Nhóm dihedral 𝐷𝑛 cấp 2𝑛 nhóm sinh hai phần tử 𝑎 cấp 𝑛 (𝑛 ≥ 2) 𝑏 cấp với quan hệ (𝑎𝑏)2 = e Nhóm biểu thị sau: 𝐷𝑛 = ⟨𝑎, 𝑏|𝑎𝑛 = 𝑒, 𝑏 = 𝑒, (𝑎𝑏)2 = e⟩ Nhóm đơn: Nhóm 𝐺 gọi nhóm đơn khơng có nhóm chuẩn tắc khác {𝑒} 𝐺 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 14 Định lý Ehrlich nhóm PHẦN 2: ĐỊNH LÝ EHRLICH VỀ NHĨM Phần nội dung đề tài, trình bày định lý Ehrlich nhóm Tóm tắt Một nhóm 𝐺 gọi morphic tự đồng cấu 𝛼: 𝐺 → 𝐺 mà 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 thoả mãn 𝐺/𝛼𝐺 ≅ 𝐾er(𝛼) Một tự đồng cấu 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) quy 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 với 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺), 𝛼 đơn vị quy 𝛽 tự đẳng cấu 𝐺 Mục đích chứng minh lý thuyết nhóm sau tương tự định lý Ehrlich : 𝐺 nhóm morphic, tự đồng cấu 𝛼: 𝐺 → 𝐺 mà 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 đơn vị quy quy Ứng dụng, định lý giản ước biểu thị đặc điểm nhóm morphic số chúng với vị nhóm tự đồng cấu quy 1.Giới thiệu: Nếu 𝑅 vành, tự đồng cấu 𝛼 𝑅- mơđun R M gọi quy 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 với 𝛽 tự đồng cấu Năm 1976 Gertrude Ehrlich gọi α đơn vị quy 𝛽 chọn tự đẳng cấu môđun 𝑀 Bà 𝛼 đơn vị quy quy có tính chất 𝑀/𝛼𝑀 ≅ ker(𝛼), bà dựa vào quan hệ tự đồng cấu để khẳng định định lý giản ước Trong bài, khái niệm mở rộng đến phần nhóm, chứng minh lý thuyết tương tự định lý Ehrlich Nếu 𝐺 nhóm, kí hiệu 𝐸𝑛𝑑(𝐺) vị nhóm tự đồng cấu 𝛼: 𝐺 → 𝐺, 𝐴𝑢𝑡(𝐺) nhóm tự đẳng cấu 𝐺 Các đồng cấu nhóm viết bên phải Thơng thường, viết 𝐻 ⊲ 𝐺 để 𝐻 nhóm chuẩn tắc 𝐺, viết 𝐶𝑛 nhóm cyclic cấp n Nếu 𝐻 𝐾 nhóm GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 15 Định lý Ehrlich nhóm 𝐺, ta nói 𝐺 tích trực tiếp (trong) 𝐻 𝐾 , kí hiệu 𝐺 = 𝐻 ⊙ 𝐾 nghĩa 𝐻 ⊲ 𝐺, 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝐺 = 𝐻𝐾 𝐻 ∩ 𝐾 = 1; trường hợp 𝐻 𝐾 hạng tử trực tiếp nhóm 𝐺 Ta nói 𝐺 tích nửa trực tiếp 𝐾 𝐻 ( kí hiệu 𝐺 = 𝐾 ⋊ 𝐻) 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝐺 = 𝐾𝐻 𝐻 ∩ 𝐾 = 1; trường hợp 𝐾 hạng tử nửa trực tiếp 𝐺 2.Nội dung: Chúng ta bắt đầu với số điều đáng ý nhóm Kết mơ tả đặc điểm tự đồng cấu nhóm Bổ đề 2.1: Cho 𝑮 nhóm, 𝜶 ∈ 𝑬𝒏𝒅(𝑮) Khi đó, mệnh đề sau tương đương (1) 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) (2) Tồn 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) với 𝐾𝑒𝑟(𝛼) = 𝛽𝐺 𝛼𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛽) (3) Tồn 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺)với 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ≅ 𝛽𝐺 𝛼𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛽) Chứng minh: (1) ⇒ (2) Giả sử 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Khi ∃ 𝜎: 𝐺 ⁄𝛼𝐺 → 𝐾𝑒𝑟(𝛼) phép đẳng cấu Lấy 𝜑 ∶ 𝐺 → 𝐺 ⁄𝛼𝐺 (tồn cấu tắc) Xác định 𝛽 = 𝜎𝜑 tự đồng cấu ⇒ 𝛽𝐺 = 𝜎𝜑(𝐺) = 𝜎(𝐺 ⁄𝛼𝐺 ) = 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Chứng minh: 𝛼𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛽)  𝛼𝐺 ⊂ 𝐾𝑒𝑟(𝛽) 𝐺 𝛽 𝐾𝑒𝑟(𝛼) 𝜎 𝜑 𝐺 ⁄𝛼𝐺 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 16 Định lý Ehrlich nhóm Ta có: 𝛽 = 𝜎𝜑 𝛽(𝛼𝐺) = 𝜎𝜑(𝛼𝐺) = 𝜎(𝑒𝐺∕𝛼𝐺) = 𝑒𝐾𝑒𝑟(𝛼) (vì 𝜎 đẳng cấu) ⇒ 𝛼𝐺 ⊂ 𝐾𝑒𝑟(𝛽)  𝐾𝑒𝑟(𝛽) ⊂ 𝛼𝐺 Ta có: 𝛽: 𝐺 → 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Khi đó: 𝐾𝑒𝑟(𝛽) = {𝑥 ∈ 𝐺| 𝛽(𝑥) = 𝑒𝐺 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝛼)} Với 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝛽) , 𝛽(𝑥) = 𝑒𝐺 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ⇒ 𝜎𝜑(𝑥) = 𝑒𝐺 ⇒ 𝜎(𝑥𝛼𝐺) = 𝑒𝐺 ⇒ 𝑥 ∈ 𝛼𝐺 ⇒ 𝐾𝑒𝑟(𝛽) ⊂ 𝛼𝐺 Vậy 𝛼𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛽) (2) ⇒ (3) hiển nhiên (3) ⇒ (1) Giả sử ∃ 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) cho 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ≅ 𝛽𝐺 𝛼𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛽) Phải chứng minh 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Thật vậy, 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) nên 𝐾𝑒𝑟(𝛽) ⊲ 𝐺 ⇒ 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 (vì 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛽) ) ⇒ 𝐺 ⁄𝛼𝐺 = 𝐺 ⁄𝐾𝑒𝑟(𝛽) = 𝛽𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) (đpcm) Một tự đồng cấu 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) gọi morphic thoả mãn điều kiện bổ đề 2.1 Ta có 𝛼 chuẩn tắc 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺, 𝛼 morphic chuẩn tắc 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 17 Định lý Ehrlich nhóm Rõ ràng tự đẳng cấu morphic (1) Bổ đề 2.1, tự đồng cấu tầm thường 𝜃 𝐺 xác định 𝜃𝑔 = , với 𝑔 ∈ 𝐺 Nói chung, 𝐺 = 𝐻 × 𝐾 phép chiếu (ℎ, 𝑘) → (ℎ, 1) morphic Nếu 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) morphic dễ dàng thấy 𝛼 đơn ánh tồn ánh trở thành morphic điều kiện xác định 𝛼 Bổ đề 2.2: Cho nhóm 𝐺 Các điều kiện sau tương đương (1) Mỗi tự đồng cấu chuẩn tắc 𝐺 morphic (2) Nếu 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝑁 ⊲ 𝐺 cho 𝐺 ∕ 𝐾 ≅ 𝑁 ⊲ 𝐺 𝐺 ∕ 𝑁 ≅ 𝐾 Chứng minh: (1) ⇒ (2) Giả sử 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝑁 ⊲ 𝐺 𝐺 ∕ 𝐾 ≅ 𝑁 ⇒ ∃ 𝜏: 𝐺 ∕ 𝐾 → 𝑁 phép đẳng cấu Lấy 𝜑: 𝐺 → 𝐺 ∕ 𝐾 ( tồn cấu tắc) Xác định 𝛼 ∈ 𝑒𝑛𝑑(𝐺) 𝛼 = 𝜏𝜑 ⇒ 𝛼𝐺 = 𝑁 ⊲ 𝐺 Theo (1) tự đồng cấu chuẩn tắc 𝐺 morphic Vậy 𝛼 morphic Do đó, từ Bổ đề 2.1: 𝐺 ⁄𝑁 = 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) = 𝐾 (2) ⇒ (1) GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 18 Định lý Ehrlich nhóm Giả sử 𝐾 ⊲ 𝐺 cho 𝐺 ∕ 𝐾 ≅ 𝑁 ⊲ 𝐺 𝐺 ∕ 𝑁 ≅ 𝐾 Phải chứng minh: Mọi tự đồng cấu chuẩn tắc 𝐺 morphic Thật vậy, giả sử 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) Chọn 𝐾 = 𝐾𝑒𝑟(𝛼) (𝐾 ⊲ 𝐺) 𝑁 = 𝛼𝐺 (𝑁 ⊲ 𝐺) 𝐺 ⁄𝐾 ≅ 𝑁 ⇒ 𝐺 ∕ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ≅ 𝛼𝐺 Theo (2)⇒ 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Theo Bổ đề 2.1, 𝛼 morphic  Một nhóm gọi nhóm morphic tự đồng cấu chuẩn tắc morphic Thử lại, 𝐶2 × 𝐶4 khơng morphic, khơng phải nhóm abel hữu hạn morphic Tuy nhiên, nhóm abel (nhóm cộng ) morphic morphic ℤ-mơđun Ta có ví dụ sau: Ví dụ 2.3: Một nhóm abel hữu hạn sinh morphic hữu hạn thành phần nguyên sơ p có dạng (𝑪𝒑𝒌 )𝒏 , với 𝒏 ≥ 𝟎 𝒌 ≥ 𝟏 Vậy nhóm (𝐶𝑝𝑘 )𝑛 morphic với số nguyên tố p số nguyên 𝑘 ≥ Chú ý 𝐶4 × 𝐶4 morphic ví dụ 3, nhóm (chuẩn tắc) 𝐶2 × 𝐶4 khơng morphic Trong 𝐶𝑛 morphic với 𝑛 ≥ 2, nhóm cyclic vơ hạn 𝐶∞ = 〈𝑎〉 khơng morphic (2) Bổ đề 2.2 𝐶∞ ∕ 〈1〉 ≅ 〈𝑎2 〉 𝐶∞ 〈𝑎2 〉 ≇ 〈1〉 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 19 Định lý Ehrlich nhóm Nhóm số hữu tỉ ℚ morphic ℚ⁄𝐾 ≅ 𝑁 ⊆ ℚ ⇒ 𝐾 = 0, ℚ ℚ⁄𝐾 tích xoắn (nếu ≠ (𝑚⁄𝑛) ∈ 𝐾 (𝑎⁄𝑑) ∈ ℚ 𝑚𝑑((𝑎⁄𝑑) + 𝐾) = 0) Ví dụ 2.4: Mọi nhóm đơn 𝑮 morphic Cho = 𝑆1 × 𝑆2 × … × 𝑆𝑛 , với 𝑆𝑖 nhóm đơn khơng giao hốn Khi 𝑆 morphic Thật vậy, 𝑆 × 𝐺 morphic 𝐺 morphic với điều kiện giảm dần nhóm 𝑆𝑖 khơng ảnh nhóm chuẩn tắc 𝐺 Đặc biệt, 𝑆 × 𝐺 morphic với morphic nào, nhóm abel hữu hạn Điều quan tâm phát biểu lý thuyết nhóm theo hướng giải thích định lý Ehrlich: Một tự đồng cấu 𝜋 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) gọi luỹ đẳng 𝜋 = 𝜋 Bổ đề 2.5: Cho 𝑮 nhóm (1) Nếu 𝜋 = 𝜋 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝜋) ⋊ 𝜋𝐺 (2) Nếu 𝜋 = 𝜋 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) chuẩn tắc 𝜋 morphic; 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝜋) ⊙ 𝜋𝐺 (3) Một tự đồng cấu luỹ đẳng không cần phải chuẩn tắc Chứng minh: (1) Giả sử 𝜋 = 𝜋 𝑔 ∈ 𝐺 Khi đó: 𝜋[𝑔(𝜋𝑔−1 )] = 𝜋𝑔 𝜋 (𝑔−1 ) = 𝜋𝑔 𝜋(𝑔−1 ) = 𝜋( 𝑔𝑔−1 ) = ⇒ 𝑔𝜋𝑔−1 𝜖 Ker(𝜋) ⇒ 𝐺 = Ker(𝜋) 𝜋𝐺 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 20 Định lý Ehrlich nhóm Hơn nữa: Ker(𝜋) ∩ 𝜋𝐺 = 𝜋𝑔 𝜖 Ker(𝜋) kéo theo = 𝜋(𝜋𝑔) = 𝜋𝑔 Vậy 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝜋) ⋊ 𝜋𝐺 (2) Nếu 𝜋𝐺 ⊲ 𝐺 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝜋) ⊙ 𝜋𝐺 (vì 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝜋) ⋊ 𝜋𝐺) Mặt khác: 𝐺 ∕ 𝜋𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝜋) Theo bổ đề 2.1, 𝜋 morphic (3) Xét nhóm dihedral 𝐷3 với |𝑎| = 3, |𝑏| = 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏 Đặt 𝐴 = 〈𝑎〉 𝐴 ⊲ 𝐺 𝐺 ∕ 𝐴 ≅ 𝐶2 ≅ 〈𝑏〉 Xác định 𝜋: 𝐺 → 𝐺 cho 𝑛ế𝑢 𝑔 ∈ 𝐴 𝜋𝑔 = { 𝑏 𝑛ế𝑢 𝑔 ∉ 𝐴 Khi 𝜋 tự đồng cấu luỹ đẳng, 𝜋 khơng chuẩn tắc 𝜋𝐺 = 〈𝑏〉 ⋪ 𝐺 Lưu ý: bỏ qua 𝐷3 nhóm morphic, thực tế nhóm dihedral 𝐷𝑛 morphic 𝑛 lẻ Chiều ngược lại (1) Bổ đề 2.5 Nếu 𝐺 = 𝐾 ⋊ 𝐻 𝐺 = 𝐾𝐻 xác định 𝜋: 𝐺 → 𝐺 𝜋(𝑘ℎ) = ℎ , 𝜋 hồn tồn xác định 𝐾 ∩ 𝐻 = 1, 𝜋 tự đồng cấu 𝐺 𝐾 ⊲ 𝐺 Bây giờ, rõ ràng 𝜋 = 𝜋, 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = 𝐾 𝜋𝐺 = 𝐻, từ suy 𝐺 ∕ 𝐾 ≅ 𝐻 Chú ý 𝐻 ⊲ 𝐺 𝜋 chuẩn tắc Thuật ngữ sau mơđun ,một tự đồng cấu nhóm 𝛼 ∈ 𝑒𝑛𝑑(𝐺)được gọi quy 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 với 𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺).Từ đó, luỹ đẳng quy , vậy, từ Bổ đề 2.5 ta có tự đồng cấu quy khơng chuẩn tắc Các tự đẳng cấu ví dụ tự đồng cấu quy, chuẩn tắc, GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 21 Định lý Ehrlich nhóm tự đồng cấu tầm thường Điều lưu ý tự đồng cấu quy chuẩn tắc Một định lý Azumaya [2] khẳng định 𝛼 tự đồng cấu mơđun R M vành 𝑅, 𝛼 quy 𝛼𝑀 𝐾𝑒𝑟(𝛼) số hạng trực tiếp 𝑀 Lý thuyết nhóm theo cách giải thích định lý Azumaya trở thành: Định lý 2.6: Cho 𝛼: 𝐺 → 𝐻 đồng cấu nhóm Các mệnh đề sau tương đương: (1) 𝛼 chuẩn tắc 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 với 𝛽: 𝐻 → 𝐺 (2) 𝐾𝑒𝑟(𝛼) hạng tử nửa trực tiếp 𝐺 𝛼𝐺 hạng tử trực tiếp 𝐻 Chứng minh: (1)⇒(2) Lấy 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 với 𝛼: 𝐺 → 𝐻, 𝛽: 𝐻 → 𝐺 Giả thiết 𝛽𝛼𝛽 = 𝛽 ( thay 𝛽 𝛽 ′ = 𝛽𝛼𝛽)  Xét luỹ đẳng 𝜋 = 𝛽𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) 𝜏 = 𝛼𝛽 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐻) Khi 𝜏𝐻 = 𝛼𝛽𝐻 = 𝛼𝐺 ⊲ 𝐻 giả thiết Vì 𝜏 luỹ đẳng chuẩn tắc 𝐸𝑛𝑑(𝐻) Như vậy, Bổ đề 2.5 𝛼𝐺 = 𝜏𝐻 hạng tử trực tiếp 𝐻  Nếu 𝑔 ∈ 𝐺 𝛼𝑔 = 𝛼(𝛽𝛼𝑔) ⇒ 𝑔(𝛽𝛼𝑔)−1 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Suy 𝐺 = Ker(α) βH Tiếp theo, giả sử 𝑔 ∈ Ker(α) ∩ βH ⇒ 𝑔 = 𝛽ℎ, ℎ∈𝐻 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 22 Định lý Ehrlich nhóm Ta có: 𝑔 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Khi = 𝛼𝑔 = 𝛼𝛽ℎ mà 𝛽 = 𝛽𝛼𝛽 Vì vậy: = 𝛽1 = 𝛽(𝛼𝛽ℎ) = 𝛽ℎ = 𝑔 ⇒ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ∩ 𝛽𝐻 = Vậy: 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ⋊ 𝛽𝐻 (2)⇒ (1) Cho 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ⋊ 𝑋 𝐻 = 𝛼𝐺 ⊙ 𝑌 với 𝑋 ⊆ 𝐺 𝑌 ⊆ 𝐺 nhóm Khi 𝛼𝐺 = 𝛼𝑋 ⇒ 𝐻 = 𝛼𝑋 ⊙ 𝑌 Xác định 𝛽: 𝐻 = 𝛼𝑋 ⊙ 𝑌 → 𝐺 cho 𝛽[(𝛼𝑥)𝑦] = 𝑥 với 𝑥 ∈ 𝑋 𝑦 ∈ 𝑌 Điều hoàn toàn xác định 𝐻 = 𝛼𝑋 ⊙ 𝑌 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ∩ 𝑋 = Khi 𝛽 đồng cấu nhóm 𝛽((𝛼𝑥)𝑦 (𝛼𝑥1 )𝑦1 ) = 𝛽((𝛼𝑥)(𝛼𝑥1 ) 𝑦𝑦1 ) = 𝛽(𝛼(𝑥𝑥1 ) 𝑦𝑦1 ) = 𝑥𝑥1 = 𝛽((𝛼𝑥)𝑦) 𝛽((𝛼𝑥1 )𝑦1 ) Nếu 𝑔 ∈ 𝐺, viết 𝛼𝑔 = 𝛼𝑥 với 𝑥 ∈ 𝑋 Khi (𝛼𝛽𝛼)𝑔 = 𝛼𝛽(𝛼𝑥) = 𝛼(𝛽(𝛼𝑥 1)) = 𝛼(𝑥) = 𝛼𝑔 Từ với 𝑔 ∈ 𝐺 tuỳ ý, 𝛼𝛽𝛼 = 𝛼 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 23 Định lý Ehrlich nhóm Lưu ý luỹ đẳng 𝜋 (3) Bổ đề 2.5 tự đồng cấu quy không chuẩn tắc Quay lại với thuật ngữ môđun, 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) gọi đơn vị quy 𝛼𝜎𝛼 = 𝛼 với tự đẳng cấu 𝜎 nhóm 𝐺 Từ đó, tự đồng cấu quy đơn vị quy, tất tự đẳng cấu luỹ đẳng Lưu ý, phần (3) Bổ đề 2.5 tự đồng cấu đơn vị quy khơng thiết phải chuẩn tắc Ta cần biểu thị đặc điểm ánh xạ đơn vị quy Định lý 2.7: Nếu 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺)thì điều kiện sau tương đương (1) 𝛼 đơn vị quy (2) 𝛼 = 𝜎𝜋 với 𝜋 = 𝜋 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) 𝜎 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) (3) 𝛼 = 𝜋𝜎 với 𝜋 = 𝜋 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) 𝜎 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) Chứng minh: Ta chứng minh (1) ⇔(2), tương tự (1) ⇔ (3) (1) ⇒(2) Nếu 𝛼 = 𝛼𝜎𝛼 với 𝜎 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺), viết 𝜋 = 𝜎𝛼 Khi 𝜋 = 𝜎𝛼𝜎𝛼 = 𝜎𝛼 = 𝜋 Và 𝛼 = 𝜎 −1 𝜋 (2) ⇒ (1) Nếu 𝛼 = 𝜎𝜋 với 𝜋 = 𝜋 𝜎 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) Khi 𝛼𝜎 −1 𝛼 = 𝜎𝜋𝜎 −1 𝜎𝜋 = 𝜎𝜋 = 𝜎𝜋 = 𝛼 ⇒ 𝛼 quy Vậy (1) ⇔ (2) GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 24 Định lý Ehrlich nhóm Trước tiến hành, cần bổ đề kĩ thuật: Bổ đề 2.8: Nếu 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) morphic, 𝜎𝛼 𝛼𝜎 morphic với 𝜎 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) Chứng minh: Ta có : 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) morphic ⇒ 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) (bổ đề 2.1) Khi 𝐺 ⁄𝜎𝛼𝐺 = 𝜎𝐺 ∕ 𝜎(𝛼𝐺) ≅ 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) = 𝐾𝑒𝑟(𝜎𝛼) 𝐺 ⁄𝛼𝜎𝐺 = 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ≅ 𝜎 −1 [𝐾𝑒𝑟(𝛼)] = 𝐾𝑒𝑟(𝛼𝜎) Việc nghiên cứu vành morphic thúc đẩy kết Ehrlich[3]: tự đồng cấu quy mơđun R M đơn vị quy morphic Tương tự định lý Ehrlich nhóm Định lý 2.9: Cho 𝐺 nhóm lấy 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) chuẩn tắc Khi 𝛼 đơn vị quy vừa quy vừa morphic Chứng minh: Cho 𝛼 đơn vị quy Theo bổ đề 2.7, viết 𝛼 = 𝜋𝜎 với 𝜋 = 𝜋 𝜎 ∈ 𝐴𝑢𝑡(𝐺) Khi 𝜋 chuẩn tắc 𝜋𝐺 = 𝜋𝜎𝐺 = 𝛼𝐺 ⊲ 𝐺 Vì 𝜋 morphic Bổ đề 2.5 Theo bổ đề 2.8, 𝛼 morphic Đảo lại, giả thiết 𝛼 quy morphic Theo Định lý 6, lấy 𝐺 = 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ⋊ 𝑋 𝐺 = 𝛼𝐺 ⊙ 𝑌 với 𝑋, 𝑌 nhóm 𝐺 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 25 Định lý Ehrlich nhóm Khi đó, 𝛼𝐺 = 𝛼𝑋,vì 𝐺 = 𝛼𝑋 ⊙ 𝑌 Ta có: 𝛼 morphic ⇒ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ≅ 𝐺 ⁄𝛼𝐺 = 𝐺 ⁄𝛼𝑋 ≅ 𝑌 𝛾: Lấy 𝑌 → Ker(𝛼) phép đẳng cấu Với điều này, xác định 𝜎∶ 𝐺 = 𝛼𝑋 ⊙ 𝑌 → 𝐺 Bởi 𝜎(𝛼𝑥 𝑦) = 𝑥 𝛾𝑦 Như chứng minh Định lý 6, tự đồng cấu hoàn toàn xác định 𝛼𝜎𝛼 = 𝛼 Cuối cùng, Ker(𝜎) = 𝛾 đơn ánh Ker(𝛼) ∩ 𝑋 = 1, 𝜎𝐺 = 𝑋 𝛾𝑌 = 𝑋 𝐾𝑒𝑟(𝛼) = 𝐺 Từ đó, 𝜎 tự đẳng cấu 𝐺 Bây chứng minh lý thuyết nhóm tương tự định lý Ehrlich: biểu thị đặc điểm nhóm morphic số nhóm với vị nhóm tự đồng cấu quy có tính chất giản ước Định lý 2.10: Cho 𝐺 nhóm giả sử tự đồng cấu 𝐸𝑛𝑑(𝐺) chuẩn tắc quy Khi điều kiện sau tương đương: (1) 𝐺 morphic (2) Nếu 𝐺 = 𝐾 ⊙ 𝑌 = 𝐾1 ⋊ 𝑌1 với 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝐾1 ⊲ 𝐺 , 𝐾 ≅ 𝑌1 , 𝑌 ≅ 𝐾1 Chứng minh: (1) ⇒ (2) Giả sử 𝐺 = 𝐾 ⊙ 𝑌 = 𝐾1 ⋊ 𝑌1 với 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝐾1 ⊲ 𝐺 Khi 𝐺 ∕ 𝐾1 ≅ 𝑌1 ≅ 𝐾 GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 26 Định lý Ehrlich nhóm Theo (1), 𝐺 morphic nên 𝐺 ∕ 𝐾 ≅ 𝐾1 mà 𝐺 ∕ 𝐾 ≅ 𝑌 ⇒ 𝑌 ≅ 𝐾1 (2) ⇒ (1) Cho 𝛼 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝐺) Theo giả thiết 𝛼 chuẩn tắc quy Định lý cho ta: 𝐺 = 𝛼𝐺 ⊙ 𝑌 = 𝐾𝑒𝑟(𝛼) ⋊ 𝑋 với 𝑌 𝑋 nhóm 𝐺 Khi 𝛼𝐺 ≅ 𝐺 ⁄𝐾𝑒𝑟 (𝛼) ≅ 𝑋 Theo (2) ta 𝑌 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Mặt khác 𝑌 ≅ 𝐺 ∕ 𝛼𝐺 ⇒ 𝐺 ∕ 𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) Vậy 𝐺 morphic Chúng ta kết luận với thay đổi nhỏ giản ước Định lý 2.10 Định lý 2.11: Cho 𝐺 nhóm morphic Nếu 𝐺 = 𝐾 ⊙ 𝐻 = 𝐾1 ⋊ 𝐻1 với 𝐾 ⊲ 𝐺, 𝐾1 ⊲ 𝐺 𝐾 ≅ 𝐾1 𝐻 ≅ 𝐻1 Chứng minh: Cho 𝜎: 𝐾 → 𝐾1 phép đẳng cấu dùng để xác định 𝛼: 𝐾 ⊙ 𝐻 → 𝐺 𝛼(𝑘ℎ) = 𝜎𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝐾, ℎ ∈ 𝐻 Như chứng minh định lý 6, 𝛼 đồng cấu nhóm hồn tồn xác định, 𝛼 chuẩn tắc 𝛼𝐺 = 𝜎𝐾 = 𝐾1 ⊲ 𝐺 Ta có 𝐺 morphic ⇒ 𝐻1 ≅ 𝐺 ⁄𝐾1 = 𝐺 ⁄𝛼𝐺 ≅ 𝐾𝑒𝑟(𝛼) = 𝐻 (đpcm) GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 27 Định lý Ehrlich nhóm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yuanlin Li and W.K Nicholson, ‘Ehrlich’s theorem for groups’, Bull.Aust.Math.Soc.81(2010),304-309 [2] G.Azumaya, ‘On generalized semi-primary rings and Krull-RemakSchmidt’s theorem’, Japan.J.Math 29(1948),525-547 [3] G.Ehrlich, ‘Units and one-sided units in regular rings’, Trans.Amer.Math.Soc.216(1976),81-90 [4] W.K Nicholson and E.Sanschez Campos, ‘Morphic modules’, Comm.Algebra 33(2005),2629-2647 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng(1999), ’Đại số đại cương’, NXB Giáo dục GVHD: Th.S Nguyễn Viết Đức Trang 28 ...