THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thùy Trang MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MƠN TỐN Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Tiến sĩ Đoàn Hữu Hải, người dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn ý kiến quý báu bà Claude Comiti, bà Annie Bessot cô Vũ Như Thư Hương cho đề cương luận văn hoàn chỉnh Xin gửi lời tri ân đến Cơ Lê Thị Hồi Châu Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Trần Lương Công Khanh, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, người tận tâm nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức Didactic năm đại học cao học sau Xin cảm ơn Ban lãnh đạo, anh chị chun viên phịng Khoa học cơng nghệ sau đại học tạo thuận lợi cho suốt khóa học thời gian thực luận văn Cảm ơn bạn, anh chị khóa Didactic 18, giúp đỡ, chia khó khăn, kinh nghiệm thời gian học trường Luận văn khơng thể hồn thành khơng có giúp đỡ, góp ý kiến Thầy Đậu Văn Duy trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đơn thành phố Hồ Chí Minh em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 hai trường phần thực nghiệm luận văn Cuối cùng, xin dành trọn lòng người ba mẹ, người thân gia đình anh Trần Anh Tuấn, người ln bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ suốt thời gian học tập thành phố DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HHKG : Hình học khơng gian HHP : Hình học phẳng HS : Học sinh SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách tập VTTĐ : Vị trí tương đối MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp thường gặp số nhận định sai lầm học sinh học HHKG lớp 11: - Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung - Hai đư ờng thẳng khơng song song ho ặc có điểm chung hình vẽ cắt - Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song cắt đường thẳng cịn lại - Hai đường thẳng khơng nằm mặt phẳng nhìn thấy hình khơng đồng phẳng Hai m ặt phẳng song song đường thẳng chứa song song… - Cuốn phương pháp dạy học mơn tốn có nhận định: “Do có giai đoạn dài học hình học phẳng nên việc quen tư theo kiểu hình học phẳng trở ngại, gây bỡ ngỡ học hình học khơng gian Hình học khơng gian gắn liền với hình biểu diễn, nguyên tắc vẽ phối cảnh khơng dễ nắm hình biểu diễn khơng hồn tồn trực quan hình học phẳng ” [10, tr.115] Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở lớp 10 đầu lớp 11, học sinh học hình học phẳng, học hình học khơng gian gặp nhiều khó khăn” [17, tr 42] Những quan sát có gợi cho chúng tơi câu hỏi sau: - Nguồn gốc nhận định học sinh khó khăn mà hai sách nói đến gì? - Liệu giải thích tượng khơng? - Và có giải cơng cụ nào? Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn thạc sĩ, dám dừng lại việc nghiên cứu đối tượng VTTĐ hai đường thẳng dạy học HHKG trường phổ thông phương pháp tổng hợp Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ chúng, xuất phát từ lý sau: - Đây đối tượng HS nghiên cứu kỹ HHP ti ếp xúc nhiều thực tế Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp nhiều - Thêm nữa, việc xét mối quan hệ hai đường thẳng liên quan đến loạt kiểu nhiệm vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng song song, xác định giao tuyến hai mặt phẳng,… Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm câu trả lời cho câu hỏi việc nghiên cứu chương trình HHKG mà giới hạn VTTĐ hai đường thẳng Cụ thể câu hỏi là: VTTĐ hai đường thẳng sách chương trình tốn phổ thơng xây dựng nào? Các thuộc tính đặc trưng chúng gì? u cầu HS? Việc dạy học VTTĐ hai đường thẳng không gian trường phổ thông xuất kiểu nhiệm vụ nào? Đâu kiểu nhiệm vụ trọng tâm? Những khó khăn HS tiếp xúc với đối tượng gì? Có thể tìm ngun nhân giải thích sai lầm không? Phạm vi lý thuyết tham chiếu Những vấn đề gợi liên quan đến việc dạy học hình học khơng gian trường phổ thơng Việt nam Do đó, chúng tơi chọn cơng cụ lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân) để tham chiếu Tìm giải thích khó khăn cơng cụ lý thuyết tình với khái niệ m sai lầm chướng ngại Cuối cùng, để thấy ứng xử học sinh với dạng tập đó, sử dụng công cụ hợp đồng didactic Cụ thể: 3.1 Thuyết nhân học Công cụ cho biết đối tượng VTTĐ hai đường thẳng trình bày chương trình Mối quan hệ với đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) với việc tiếp thu kiến thức HS Khi xuất quan hệ hai chéo hai đường thẳng khái niệm hai đường thẳng song song thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ với đối tượng cho phù hợp Hơn nữa, đường thẳng sống hai thể chế khác (dạy học hình học phẳng hình học khơng gian) phải tuân theo ràng buộc thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu thể chế Việc tiếp cận hoạt động tốn học theo mơ hình tổ chức [T ,τ ,θ , Θ] hình thành hệ thống kiểu nhiệm vụ xác định Và chúng tơi muốn tìm hiểu có kiểu nhiệm vụ liên quan, kiểu nhiệm vụ thường gặp,… 3.2 Sai lầm chướng ngại Ngồi sai lầm mang tính cá nhân, thiếu kiến thức có sai lầm HS khiến phải quan tâm khơng phải ngẫu nhiên sinh Những sai lầm thuộc kiến thức biểu kiến thức Nghiên cứu lý thuyết tình cung cấp cho công cụ để nghiên cứu sai lầm, khó khăn HS học VTTĐ hai đường thẳng không gian, chướng ngại tránh khơng tránh 3.3 Hợp đồng didactic Tìm giải thích quy tắc hợp đồng hình thành SGK Ứng với tình lạ đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng hình thành trước hay khơng? Phản ứng em nào? Trên khung lý thuyết này, câu hỏi ban đầu trình bày lại là: Q1' : Khái niệm VTTĐ hai đường thẳng xây dựng tài liệu trước đây? Q2' : Trong chương tr ình, sách giáo khoa tốn phổ thơng Việt nam, khái niệm đề cập sao, có thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức tốn học có liên quan? Q3' : Cách trình bày thể chế với đối tượng VTTĐ hai đường thẳng ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng hình thành từ cách trình bày này? Phương pháp nghiên cứu Với luận văn này, thực đồng thời nghiên cứu sau: Để trả lời cho Q1' , nghiên cứu tài liệu có liên quan đến VTTĐ hai đường thẳng, vấn đề hình vẽ qui t ắc vẽ hình dạy học HHKG Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG Việt nam qua việc phân tích chương trình, sách giảng dạy hành gồm SGK, SGV, SBT lớp lớp 11 để trả lời cho Q2' Việc nghiên cứu thực khung lý thuyết tham chiếu phương pháp nghiên cứu trình bày phần trước Trên s hình thành gi ả thuyết nghiên cứu Cuối cùng, giả thuyết kiểm nghiệm thực nghiệm xây dựng chương Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Nghiên cứu khó khăn, sai lầm học sinh tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ hai đường thẳng khơng gian đề tài thiết yếu Nó khơng cho phép hiểu cách sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho khái niệm didactic mà cịn mang lại kinh nghiệm bổ ích cho việc dạy học sau Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần sau: Mở đầu: Trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn ý nghĩa khoa học đề tài Chương 1: Trình bày tóm t cơng trình nghiên cứu, tài liệu liên quan Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ hai đường thẳng không gian trường phổ thông Việt nam Cụ thể: VTTĐ hai đường thẳng chương trình, SGK, SGV trình bày sao, hệ thống ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, tính chất,…Phân tích tổ chức toán học xây dựng, tổ chức chiếm vị trí quan trọng Trên sở này, chúng tơi tìm khó khăn, sai lầm HS mắc phải Những sai lầm giải thích cơng cụ didactic Cuối hình thành giả thuyết nghiên cứu Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m đối tượng HS P hân tích tiên nghiệm tình nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết thu nhằm kiểm chứng giả thuyết Kết luận: Tóm tắt, đánh giá kết thu được, hướng nghiên cứu mở Tài liệu tham khảo Chương 1: NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ HÌNH VẼ TRONG KHƠNG GIAN 1.1 Mục đích chương Mục đích chương tổng hợp cơng trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ hai đường thẳng, phép chiếu song song hình biểu diễn chúng số giáo trình Từ tạo sở lý luận cho việc phân tích chương Tài liệu mà chúng tơi sử dụng là: - Giáo trình hình học họa hình (1988), V O GƠCĐƠN, M, A XEMEXNƠP- OGHIEPXKI, NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hồng Văn Thân dịch) - Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir publishers Moscow - Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thơng, Lê Thị Hồi Châu (2004), Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh - Hình học khơng gian, thực trạng việc đọc hình vẽ học sinh cuối cấp trung học sở, Hamid CHAACHOUA - Các phép bi ến hình mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục 1.2 Một nghiên cứu cách xây dựng VTTĐ hai đường thẳng khơng gian Trong Elementary mathematics thì: Hai đường thẳng khơng gian có vị trí tương đối khác Chúng có điểm chung Vì chúng hồn tồn nằm mặt phẳng, để tạo thành mặt phẳng, vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm hai đường thẳng, điểm B C lấy tương ứng đường thẳng n, m Mặt phẳng chứa hai đường thẳng ột m hai có hai điểm chung với đường Bây giả sử đường thẳng khơng có điểm chung Điều khơng có nghĩa chúng song song, xác định tính song song qui định đường thẳng phải nằm mặt phẳng Để giải câu hỏi đường thẳng xác định vị trí nào, vẽ mặt phẳng λ qua hai đường, m chẳng hạn, qua điểm A tùy ý đường thẳng cịn lại Hai trường hợp xảy ra: (1) Mặt phẳng λ tạo thành chứa tồn đường thẳng thứ hai (hình 324) Khi ấy, đường thẳng m n thuộc mặt phẳng khơng giao nhau, chúng song song (2) Mặt phẳng λ cắt đường thẳng điểm A Khi ấy, hai đường thẳng không nằm mặt phẳng Những đường thẳng gọi đường thẳng chéo (hình 325) Tóm lại: có ba trường hợp có VTTĐ hai đường thẳng: Chúng nằm mặt phẳng cắt Chúng nằm mặt phẳng song song Chúng chéo nhau, nghĩa chúng không nằm mặt phẳng Như vậy, khái niệm trình bày thơ ng qua tình xây dựng mặt phẳng chứa đường thẳng để khái quát VTTĐ hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa chúng Liệu chương trình, SGK phổ thơng Việt Nam có theo đường hay nêu định nghĩa cách đặc trưng khái niệm 1.3 Phép chiếu song song vị trí tương đối hai đường thẳng Phần viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988) Lấy mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu Nếu đường thẳng chiếu đường thẳng song song phép chiếu gọi phép chiếu song song Có thể vẽ hình chiếu đường cách vẽ hình chiếu số điểm Các đường thẳng chiếu vẽ qua điểm tạo thành mặt gọi mặt chiếu Giao mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu hình chiếu cần vẽ Để xác định phép chiếu song song trước hết phải rõ hướng chiếu Hình chiếu song song điểm giao điểm đường thẳng chiếu, vẽ song song với hướng cho, với mặt phẳng hình chiếu Muốn có hình chiếu song song đường đó, ta vẽ hình chiếu số điểm nối chúng lại thành đường 1.3.1 Những tính chất phép chiếu song song Mặt chiếu đường thẳng trường hợp chung mặt phẳng Mỗi điểm đường khơng gian có hình chiếu Mỗi điểm mặt phẳng hình chiếu hình chiếu điểm đường thẳng chiếu qua Mỗi đường mặt phẳng hình chiếu hình chiếu đường mặt chiếu qua Muốn vẽ hình chiếu đường thẳng ta cần vẽ hình chiếu hai điểm Nếu điểm thuộc đường thẳng hình chiếu điểm thuộc hình chiếu đường thẳng Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu hình chiếu điểm Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu chiếu thành đoạn thẳng có độ dài Từ hình chiếu song song điểm đường ta suy cách vẽ hình chiếu song song mặt vật thể 1.3.2 VTTĐ hai đường thẳng qua phép chiếu song song Đường thẳng song song: “hình chiếu hai đường thẳng song song song song Nếu đường thẳng AB CD song song (hình 78) mặt phẳng chiếu Q R song song giao chúng với mặt phẳng hình chiếu P hình chiếu a p bp , c p d p song song Nhưng, giả sử a p bp // c p d p (hình 78) đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu khơng song song nhau: ví dụ đường thẳng AB khơng song song với C1 D1 ” [26, tr 46] Đường thẳng cắt nhau: “nếu đường thẳng cắt thì hình chiếu tên chúng cắt điểm hình chiếu giao điểm đường thẳng Thực (hình 82), điểm K thuộc hai đường thẳng AB CD hình chiếu K phải giao điểm hình chiếu AB CD” HÌNH 78 Điều kiện đủ để khẳng định đường thẳng cắt là: “giao điểm hình chiếu tên nằm đường thẳng vng góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay đồ thức khơng có trục chiếu (hình 84), nằm đường gióng” [26, tr 47] Đường thẳng chéo nhau: “là đường thẳng không cắt khơng song song Hình 86 biểu diễn hai đường thẳng chéo hình chiếu tên chúng cắt giao điểm nối đường song song với đường gióng l’l m’m tức đường thẳng không cắt nhau” [26, tr 48] đồng phẳng hay AB d khơng đồng phẳng Ta có: M , N , K ∈ ( ACD ) ; B ∉ ( ACD ) Bài ⇒ bốn điểm M, N, B, K không nằm mặt phẳng ⇒ MN, BK không đồng phẳng S3 III : Bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng hình nên AD, BC khơng đồng phẳng S3 III : Gọi (P), (Q) tương ứng hai mặt phẳng chứa a, b Vì a, b chéo nên (P), (Q) phân biệt Ta có: A, B ∈ a ⊂ ( P ) ; C , D ∈ b ⊂ ( Q ) ⇒ Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng (không nằm mặt phẳng) ⇒ AD BC chéo Câu III S3 III : Ta có C , D ∈ b ⇒ b ⊂ ( ACD ) , a ⊄ ( ACD ) Mà B thuộc a nên B ⊄ ( ACD ) Suy bốn điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng ⇒ AD BC chéo S3 III : C, D thuộc b nên b ⊂ ( ACD ) Lại có A, B thuộc a mà a chéo b a cắt ( ACD) điểm A nên B ∉ ( ACD ) ⇒ điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng ⇒ AD BC chéo S4: Chiến lược “chứng minh phản chứng” Những quan sát Câu S I : Giả sử hai đường thẳng BK MN đồng phẳng, suy chúng thuộc mp (α ) ⇒ B , M , K ∈ (α ) Câu I Mặt khác B, M , K ∈ ( BCD ) Theo tính chất thừa nhận có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng nên (α ) ≡ ( BCD ) ⇒ N ∈ ( BCD ) (vô lý) ⇒ BK MN không đồng phẳng nên chúng chéo S I : Giả sử BK MN đồng phẳng, suy chúng thuộc mp (α ) Ta có: C ∈ BM ⊂ (α ) ⇒ C ∈ (α ) D ∈ CK ⊂ (α ) ⇒ D ∈ (α ) A ∈ DN ⊂ (α ) ⇒ A ∈ (α ) Suy A, B, C, D thuộc (α ) (mâu thuẫn với giả thiết ABCD tứ diện) Vậy BK, MN không đồng phẳng nên chúng chéo Giả sử a b đồng phẳng suy chúng thuộc mặt Bài phẳng Mà a ⊂ ( R ) ⇒ b ⊂ ( R ) (vô lý với giả thiết b nằm ngồi (R)) Vậy a, b khơng đồng phẳng Giả sử AB d đồng phẳng Câu II Bài Ta có: AB ⊂ ( P ) ⇒ d ⊂ ( P ) (vơ lý giả thiết cho d cắt (P)) Vậy AB d không đồng phẳng Giả sử MN BK đồng phẳng ⇒ chúng nằm mặt phẳng Bài Mà M, N, K thuộc (ACD) ⇒ B ∈ ( ACD ) (vô lý ABCD tứ diện) Vậy MN BK khơng đồng phẳng Ta có AD BC chéo Thật vậy, giả sử AD BC không chéo nhau, tức chúng thuộc mp (α ) ⇒ A, B, C , D ∈ (α ) Câu III Mà A, B ∈ a; C , D ∈ b nên a, b chứa mp (α ) (vô lý với giả thiết a, b chéo nhau) S5: Chiến lược “dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo nhau” Những quan sát Câu Ta có: BK ⊂ ( BCD ) MN cắt mp(BCD) điểm M không thuộc BK nên MN Câu I BK chéo Câu II Bài Bài Nếu b cắt (R) điểm M thuộc a a b đồng phẳng Nếu M khơng thuộc A a b không đồng phẳng Nếu d cắt (P) điểm M nằm đường thẳng AB mà không thuộc đoạn AB đường thẳng qua hai điểm A, B với d đồng phẳng Trường hợp lại AB d không đồng phẳng Nếu MN qua điểm K BK cắt (ACD) K thuộc MN nên Bài MN BK đồng phẳng Trường hợp lại MN, BK không đồng phẳng S5 III : Ta có: AD ⊂ ( ACD ) BC cắt (ACD) điểm C không thuộc AD nên AD BC Câu III chéo S5 III : Ta có: BC ⊂ ( ABC ) AD cắt (ACD) điểm C không thuộc BC nên AD BC chéo Các câu trả lời An, Bình, Cường xếp vào chiến lược theo bảng 3.2 Lời giải An Bình Cường Câu I S2 S4 S5 Bài S2 S3 Bài S2 S5 Bài S2 S3 Câu II Bảng 3.2 S6: Chiến lược “chứng minh trực tiếp”: Chiến lược sử dụng câu Ta có: A, B ∈ a; C , D ∈ b Mà a, b chéo nên a, b không đồng phẳng ⇒ A, B, C , D không đồng phẳng ⇒ AD, BC chéo S7: Chiến lược “biện luận trường hợp hai đường thẳng” Chiến lược sử dụng câu Thật vậy, xét đồng phẳng hay không hai đường, ta xem chúng có song song có điểm chung hay khơng Do đó, ta phải biện luận trường hợp có hai đường, khơng phải vào hình vẽ hay xét trường hợp mà thơi Lời giải Bài S7.1.1 : Nếu a, b song song cắt a b đồng phẳng Bài Trường hợp cịn lại chúng khơng đồng phẳng S7.1.2 : Nếu AC, BD song song đồng qui với giao tuyến (P) (Q) a b đồng phẳng Bài Nếu M nằm đường thẳng AB mà không thuộc đoạn AB AB d nằm mặt phẳng Nếu M không nằm đường thẳng AB AB d khơng đồng phẳng Bài Nếu MN qua K MN BK đồng phẳng Trường hợp cịn lại chúng khơng đồng phẳng S8: Chiến lược cho câu trả lời sai không trả lời 3.4 Phân tích a posteriori Câu I: Bảng 3.3 thống kê câu trả lời 103 HS Bạn An Cường Bình Đồng ý 36 (34,95%) 93 (90,29%) 16 (15,53%) Khơng đồng ý 66 (64,07%) 10 (9,7%) 84 (81,55%) Không trả lời (0,98%) Đồng ý đổi thành không đồng ý 34 (33%) 0 Không đồng ý đổi thành đồng ý 10(9,7%) 0 Bảng 3.3 Qua bảng thống kê rút nhận xét sau: Đối với lời giải An (dùng chiến lược S2: định nghĩa hai đường thẳng khơng đồng phẳng) có 36 HS tổng số 103 HS đồng ý Tuy nhiên, ban đầu chúng tơi thấy có nhiều lựa chọn đồng ý sau thay đổi Chứng tỏ có lưỡng lự việc lựa chọn họ Bằng chứng tìm thấy vết tượng trê n làm 34 HS Tìm hiểu tượng này, vấn số HS nhận câu trả lời họ là: - Do em chưa đọc kỹ - Có thể khơng thuộc (BCD) thuộc mặt phẳng khác - Do thấy lời giải phản chứng hơn, em thường gặp - Thấy em chưa thấy thầy làm Đối với lời giải Bình (dùng chiến lược phản chứng S4) có tới 93 HS (90,29%) đồng ý Một số lớn so với 103 HS làm thực nghiệm Hầu hết HS không đồng ý với lời giải Cường (84 HS: 81,55%) Điều cho thấy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo không ý nhiều HS Như vậy, qua thực nghiệm câu I bước đầu cho phép củng cố tồn hai giả thuyết H1, H2 nêu đầu chương Tìm hiểu lời giải HS (chỉ xét lời giải nằm lời giải cho ba bạn, thống kê số lần sử dùng chiến lược đường, điểm không đồng phẳng S2, S3 phản chứng S4 lời giải HS sau: Chiến lược S2 S3 S4 Số lượng 10 13 Minh họa số lời giải HS H5/S3: Cho bốn điểm không nằm tr ong mặt phẳng nhìn thấy hình khơng đồng phẳng Ta có: B, M , K ∈ ( BCD ) ; N ∉ ( BCD ) ⇒ B, M , N , K không thuộc mặt phẳng ⇒ BK MN không đồng phẳng ⇒ BK MN chéo H67/S2: Cho hai đư ờng thẳng không nằm mặt phẳng nhìn thấy hình khơng đồng phẳng  BK ⊂ ( ABK )  MN ⊂ ( AMD ) Ta có :  Và (ABK) cắt (AMD) (vì (BCD) BK MN cắt nhau) ⇒ BK MN không nằm mặt phẳng ⇒ BK MN chéo H79/S4: Cho hai đường thẳng đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng nhìn thấy hình Giả sử BK MN đồng phẳng ⇔ BK , MN ⊂ ( BCD ) ⇔ B, K , M , N ⊂ ( BCD ) Mà N ∈ AD ⊂ ( ABD ) (giả thiết) ⇒ BK MN đồng phẳng ⇒ BK, MN chéo Câu II: Bảng 3.4 thống kê kết câu An Bài Chiến lược Đồng ý Bình Khơng Khơng Chiến đồng ý trả lời lược Đồng ý Không Không đồng ý trả lời S2 Bài 19 82 18,45% 79,61% S2 Bài 35 S2 1,94% 65 33,98% 63,12% Bài S3 79 16,5% 76,75% 6,8% 52 46,6% 50,49% 2,91% 41 61 S5 2,9% 17 48 39,81% 59,22% S3 69 67% 23 0,97% 11 22,33% 10,67% Bảng 3.4 Qua bảng thống kê, ghi nhận điểm sau: Số HS đồng ý với ý kiến An, Bình cao 71/309 lần đồng ý với An, 158/309 đồng ý với ý kiến Bình Do đó, câu khẳng định tồn H1 Tuy nhiên, số có chênh lệch hình Cụ thể chiến lược S2 lời giải An ba 19:35:17 Hơn số HS đồng ý với chiến lược điểm không đồng phẳng Bình Đối với yêu cầu cho thêm lời giải mình, phần lớn HS khơng trình bày, ghi lại câu lời giải An, Bình mà họ chọn Bảng 3.5 thống kê số lần sử dùng chiến lược đường, điểm không đồng phẳng phản chứng lời giải HS Chiến lược Bài Bài Bài S2 10 27 12 S3 17 17 S4 16 18 Cụ thể, số làm HS sau: H44/Bài 1: Dùng mối quan hệ đường, điểm tính đồng phẳng chúng Giả sử a b đồng phẳng C ∈ a ⊂ (α )  D ∈ a ⊂ (α ) Có: (1)   A ∈ b ⊂ (α ) ( )   B ∈ b ⊂ (α ) ⇒ A, B, C, D thuộc (α ) vơ lý A ∈ ( P ) ; B ∈ ( Q ) ; C , D ∈ ( R ) theo giả thiết ⇒ a, b không đồng phẳng H2/ Bài 2: Nếu hai đường thẳng đồng phẳng thuộc mặt phẳng nhìn thấy hình Đã vận dụng tính mặt phẳng qua ba điểm Trên d lấy điểm C Giả sử AB, d đồng phẳng ⇒ A, B, M thuộc mp (α ) mà A, B, M thuộc (P) ⇒ ( P ) ≡ (α ) ⇒ C ∈ ( P ) (vô lý d ∩ ( P )= M , M ≠ C ) Vậy AB, d không đồng phẳng H3/Bài 2: Cho điểm đồng phẳng thuộc mặt phẳng nhìn thấy hình Biết vận dụng quan hệ điểm, đường mặt Giả sử A, B, M nằm mp (α ) ⇔ A, B, M ∈ (α ) mà A, B, M ∈ ( P ) ⇔ (α ) ≡ ( P ) mà d ∈ (α ) ⇒ d ∈ ( P ) (vơ lý d cắt (P) M) ⇒ A, B d không nằm mặt phẳng H45/ Bài 3: Vận dụng tính mặt phẳng qua ba điểm Giả sử MN BK đồng phẳng ⇒ nằm mặt phẳng Mà M, N, K thuộc (ACD) ⇒ B ∈ ( ACD ) Mà theo giả thiết B ∉ ( ACD ) (mâu thuẫn) ⇒ MN BK không đồng phẳng Hiển nhiên lời giải phản chứng câu sai Giả thiết chưa xác định cụ thể VTTĐ hai đường thẳng nên đến mâu thuẫn Thêm nữa, họ hiểu sai định nghĩa điểm, đường thẳng đồng phẳng Điểm chung chứng minh phản chứng cho hai đường thẳng đồng phẳng có mặt phẳng chứa đường thẳng chứa đường cịn lại Cũng điểm đồng phẳng Điều giải thích em hiểu rằng: hai đường thẳng đồng phẳng hai đường thẳng nằm mặt phẳng nên biết mặt phẳng chứa đường suy chứa đường cịn lại Chúng tơi thống kê có HS cho lời giải Các em biết xác định VTTĐ hai đường thẳng cho trước dựa vào tính chất đặc trưng Khó khăn giải thích cho giả thiết mở hay HS nhìn hình vẽ mà kết luận Thêm nữa, thể chế khơng có nhiều tập u cầu HS biện luận VTTĐ có hai đường thẳng Chiến lược S7 Bài Bài Bài Số lượng Cụ thể số lời giải em HS sau: Lời giải Bài Bài 1/H56 Có hai trường hợp Trường hợp 1: A, B, C, D đồng phẳng Mà A, B ∈ a; C , D ∈ b ⇒ a, b đồng phẳng Trường hợp 2: A, B, C, D không đồng phẳng Mà A, B ∈ a; C , D ∈ b ⇒ a, b không đồng phẳng Trường hợp 1: A, B, M thẳng hàng (M nằm đoạn AB) ⇒ M ∈ AB mà M ∈ d ⇒ AB ∩ d = M ⇒ AB, d đồng phẳng Bài 2/H56 Trường hợp 2: A, B, M không thẳng hàng (M nằm ngồi đoạn AB) Ta có: d cắt (P) M nằm ngoại đoạn AB ⇒ AB d chéo ⇒ AB d không đồng phẳng Trường hợp 1: Giống bạn Bình Trường hợp 2: Nếu M nằm đoạn AB M thuộc d’ Bài 2/H67 qua AB ⇔ A, B, M thẳng hàng Mà M ∈ d ⇒ M = d ∩ d ' ⇒ d d’ đồng phẳng Có hai trường hợp Trường hợp 1: K ∈ MN Mà ba điểm M , N , B ∈ ( BMN ) ⇒ K ∈ ( BMN ) H56/Bài ⇒ Bốn điểm M, N, B, K đồng phẳng (thuộc (BMN)) ⇒ BK , MN đồng phẳng Trường hợp 2: K ∉ MN ⇒ BK ⊄ ( BMN ) ⇒ BK cắt (BMN) B mà MN ⊂ ( BMN ) ⇒ BK MN không đồng phẳng Câu III: Không cho HS lựa chọn lời giải cho sẵn, chúng tơi muốn tìm hiểu xem HS chứng minh hai đường thẳng chéo theo cách Bảng 3.6 thống kê kết thực nghiệm câu III Chiến lược Số lượng S2: Dùng “khái niện đường thẳng không đồng phẳng” S3: Dùng “khái niệm điểm không đồng phẳng” S4: Chứng minh phản chứng 55 S5: Dùng dấu hiệu nhận biết S6: Chứng minh trực tiếp 14 S8: Chiến lược sai không trả lời 18 Bảng 3.6 Qua bảng thống kê, thấy họ sử dụng năm chiến lược S2, S3, S4, S6 S8 Mặc dù có phân hóa chiến lược, chiến lược phản chứng chiếm ưu với số HS (53,4%) Minh họa số làm HS Chiến lược Lời giải H46: Ta có: AD ⊂ ( ACD ) , BC ⊂ ( BCD ) S2: Đường thẳng Mà (ACD) (BCD) không trùng không đồng phẳng ⇒ AD BC không đồng phẳng ⇒ AD BC chéo H92: Gọi (P) mặt phẳng chứa a, (Q) mặt phẳng chứa b S3: Điểm không Mà A, B ∈ a ⊂ ( P ) ; C , D ∈ b ⊂ ( Q ) đồng phẳng ⇒ A, B, C, D không nằm mặt phẳng ⇒ AD BC chéo H2: Giả sử AD BC không chéo ⇒ AD BC nằm mp (α ) Có A, B ∈ (α ) ; A, B ∈ a ⇒ a nằm mp (α ) (1) S4: Phản chứng Có C , D ∈ (α ) ; C , D ∈ b ⇒ b nằm mp (α ) (2) Từ (1) (2) ⇒ a, b nằm mp (α ) (mâu thuẫn với đề bài) Vậy AD; BC chéo H34: Ta có: a b hai đư ờng thẳng chéo S6: Trực tiếp A, B ∈ a; C , D ∈ b ⇒ A, B, C, D không đ ồng phẳng Vậy AD BC chéo Chiến lược dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng chéo không xuất Một lần nữa, khái niệm không đồng phẳng điểm đường theo quan niệm HS lại xuất câu III chứng minh hai đường thẳng chéo Chúng tơi tìm thấy nghĩa khái niệm “hai đường thẳng không đồng phẳng, điểm không đồng phẳng” giải thích như: - Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng không trùng (H46, 99, 98, 103,…) - Mỗi đường thẳng qua hai điểm hai mặt phẳng phân biệt (H51, 66,…) - Hai cặp điểm nằm hai mặt phẳng phân biệt (H72, 91, 92,…) - Một điểm không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm lại (H51, 60,…) Như vậy, câu III khẳng định tồn H2 khẳng định thêm H1 Học sinh có ý thức sử dụng phản chứng chứng minh khơng mà bỏ qua cách suy luận khác Có điều, phủ định sai mệnh đề cần chứng minh, khơng xét hết trường hợp không nắm vững định nghĩa, khái niệm nên chứng minh sai 3.5 Kết luận thực nghiệm Việc phân tích kết thực nghiệm cho phép khẳng định tồn giả thuyết nêu cuối chương hai Qua thực nghiệm, rút thêm số kết sau: Song song với việc xem hai đường thẳng không đồng phẳn g hai đường thẳng không nằm mặt phẳng nhìn thấy hình họ ứng xử bốn điểm không đồng phẳng Cụ thể: - Nếu bốn điểm không thuộc mặt phẳng hay thuộc mặt phẳng khác hình bốn điểm khơng đồng phẳng - Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng khác hay đường thẳng khơng thuộ c mặt phẳng chứa đường cịn lại chúng không đồng phẳng - Nếu hai đường thẳng đồng phẳng mà đường nằm mặt phẳng nhìn thấy mặt chứa đường cịn lại Tương tự điểm đồng phẳng Sai lầm giải thích cách hiểu hai đường thẳng đồng phẳng phải nằm mặt phẳng nhìn thấy mà không nghĩ tới việc chúng thuộc mặt phẳng tạo hai đường thẳng song song cắt Hình vẽ yếu tố ảnh hưởng đến chiến lược câu trả lời HS Thường họ nhìn trường hợp cụ thể hình vẽ để suy VTTĐ hai đường thẳng điểm Một biểu HS biết biện luận VTTĐ có hai đường thẳng Tức họ có trách nhiệm chứng minh VTTĐ khơng có trách nhiệm kiểm tra vị trí cịn lại chúng Do vậy, họ gặp khó khăn tốn mở giả thiết Mặc dù dạng nói đến phần trình bày lý thuyết SGK Khơng nắm vững tính chất xem ba điểm phân biệt xác định mặt phẳng mà khơng xét tính thẳng hàng chúng, khơng phân biệt tính mặt phẳng tạo hai đường song song cắt Vẫn trường hợp cho hai đường thẳng khơng đồng phẳng cắt Như thì: có kiến thức mà HS thu từ HHP sử dụng cách tùy tiện HHKG việc tiếp thu kiến thức lại khơng vận dụng cách xác Phương pháp phản chứng sử dụng nhiều chứng minh hai đường thẳng chéo Hay trường hợp xét đồng phẳng câu II, họ sử dụng chiến lược Vì tiền đề chưa rõ ràng nên không dẫn đến mâu thuẫn KẾT LUẬN Việc tổng hợp tài liệu, phân tích chương trình, SGK, SGV tốn p hổ thơng kết thu thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi phần mở đầu luận văn khẳng định tồn hai giả thuyết Điểm lại số kết mà luận văn đạt Chương một: Trình bày cách xây dựng VTTĐ hai đường thẳng khơng gian Sau đó, tổng hợp tài liệu liên quan đến phép chiếu song song hình biểu diễn VTTĐ hai đường thẳng Vai trị hình vẽ dạy học HHKG gian nói chung VTTĐ hai đường thẳng nói riêng Chương hai: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữ a hai đường thẳng dạy học HHKG trường phổ thơng Việt nam Cụ thể giáo trình giảng dạy chương trình dạy học phổ thơng qua hai giai đoạn: Giai đoạn 1: Lớp Đây giai đoạn thức đưa HHKG vào giảng dạy trường phổ thông Cho HS làm quen với đối tượng bản, kiến thức ban đầu dừng lại việc nhận biết VTTĐ hình vẽ cho sẵn hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nhận dạng VTTĐ hai đường thẳng dựa vào trực giác việc quan sát hình vẽ Chương trình sâu vào quan hệ song song đường mặt Bước chuyển từ HHP sang HHKG thể rõ SBT có liên hệ tính chất HHP mà không HHKG ằbng việc yêu cầu HS phản ví dụ Tức ý đến khác biệt HHP HHKG mà SGK không đề cập Thêm nữa, phức tạp cách nhìn hình, đọc hình vẽ số lượng tập SBT nhiều SGK Giai đoạn 2: Lớp 11 Chuyển từ việc mô tả lên khái quát kèm với định nghĩa VTTĐ hai đường thẳng Mối quan hệ điểm, đường, mặt phức tạp với nhiều khái niệm, định lí, tính chất lý thuyết số lượng tập có SGK Học sinh có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng chéo song song, đường thẳng song song với mặt phẳng theo định lý, tính chất cho sẵn mà khơng có trách nhiệm dựng hai đường thẳng chéo Kiểu tập dựng đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước xuất thường xuyên, kiểu tập xác định thiết diện, dựng giao tuyến Khái niệm hai đườ ng thẳng chéo định nghĩa dựa đặc trưng không đồng phẳng Không đưa dấu hiệu nhận bi ết hai đường thẳng chéo Phương pháp phản chứng sử dụng nhiều chứng minh hình học Chương ba: Kết nghiên cứu thực nghiệm làm rõ mối quan hệ nhân HS với đối tượng qua việc khẳng định tồn hai giả thuyết Thực nghiệm mang lại cho chúng tơi nhiều vấn đề có giá trị HẠN CHẾ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỞ RA CỦA LUẬN VĂN Hạn chế luận văn chưa xây dựng tình dạy học để giúp học sinh vượt qua khó khăn dạy học VTTĐ hai đường thẳng , chưa làm rõ khái niệm “không đồng phẳng” đường điểm Đây hướng nghiên cứu mở cho luận văn Thêm nữa, cần làm rõ vai trị hình vẽ việc xét VTTĐ hai đường, làm để HS vượt qua khó khăn, hạn chế sai lầm việc nhìn hình đọc hình Nếu có điều kiện, chún g tơi tiến hành thực nghiệm với giáo viên để tìm hiểu khó khăn chia kinh nghiệm dạy học HHKG họ TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Hữu Bình (1997), Kinh nghiệm dạy tốn học tốn bậc Trung học sở, Nxb Giáo dục Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến giải toán, Nxb Giáo dục Huỳnh Bảo Châu (2006), Nghiên cứu didactic kiến thức khơng gian kiến thức hình học dạy học hình học trường tiểu học – trường hợp hình chữ nhật, Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thơng, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh Lê Thị Hoài Châu Lê Văn Tiến (dịch), Những yếu tố Didactic toán, Nxb Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2007), Toán 8, tập 2, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2007), Sách giáo viên Toán 8, Nxb Giáo d ục Văn Như Cương (chủ biên) (2009), Bài tập Toán 11 Nâng cao, tập 1, Nxb Giáo dục Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2002), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, Nxb Giáo dục 10 Phạm Gia Đức (1998), Hình học SP, Tài liệu đào tạo giáo viên tiểu học hệ trung học sư phạm 9+3 9+4, Nxb Giáo dục 11 Phạm Gia Đức (1998), Phương pháp dạy học mơn tốn tập 2, Nxb Giáo dục 12 Nguyễn Mộng Hy (1991), Sách giáo viên hình học 11, Nxb Giáo dục 13 Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép bi ến hình mặt phẳng, Nxb Giáo d ục 14 Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương (1994), Phương pháp dạy học mơn tốn, Nxb Giáo dục 15 Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều (2001), Hình học 9, Nxb Giáo dục 16 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn tốn, Nxb Đại học sư phạm 17 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Sách giáo viên hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục 18 Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Hình học 11 Nâng cao, Nxb Giáo dục 19 Đào Tam (2007), Phương pháp dạy học hình học trường THPT, Nxb Đại học Sư phạm 20 Tôn Thân (chủ biên) (2007), Bài tập Toán 8, Nxb Giáo dục 21 Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kỹ mơn tốn 11, Nxb Giáo dục 22 Hồ Lộc Thuận (2006), Bài tốn d ựng hình thuật tốn trường trung học sở,trường hợp toán ti ếp tuyến với đường tròn, Đại học Sư phạm Tp HCM 23 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thơng, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh 24 V V ZAITSEV, V V RYZHKOV (1978), Elementary mathematics, Translated from Russian by George Yan koisky, Mir publishers Moscow 25 Hamid CHAACHOUA, Hình học khơng gian, thực trạng việc đọc hình vẽ học sinh cuối cấp trung học sở 26 V O GƠCĐƠN, M, A XEMEXNƠP- OGHIEPXKI (1988), Giáo trình hình học họa hình, NXB Mir Maxcova, Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch ... M, N hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng AB; P, Q hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng CD Xét vị trí tương đối hai đường thẳng MQ, NP vị trí tương đối hai đường thẳng MP, NQ Nhận xét: SGK không. .. - Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung - Hai đư ờng thẳng khơng song song ho ặc có điểm chung hình vẽ cắt - Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song cắt đường thẳng. .. phối cảnh, ghi nhận: - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt đường thẳng không song song - Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song đường thẳng khơng song song - Nếu