BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Quốc Cường KHÔI PHỤC MỘT LỚP HÀM NGUYÊN VÀ ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Quốc Cường Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CÁM ƠN Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy tôi, PGS TS Đặng T Đức Trọng tất hướng dẫn, góp ý, dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ nhiệt tình tận tâm Thầy suốt trình nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cám ơn đến tồn thể Q Thầy Cơ Tổ Tốn Giải tích Trường T Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình, ln khích lệ tơi đường học tập nghiên cứu Tốn học Tơi xin chân thành cám ơn Q Thầy Cơ phản biện đọc góp ý để tơi hồn chỉnh Luận T văn Tôi xin chân thành cám ơn Thầy Cô Hội đồng chấm Luận văn đọc cho T nhiều ý kiến quý báu để thấy thiếu sót Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn T T - Tin Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành T Luận văn T Tôi gửi lời cám ơn chân thành tới bạn bè, đồng nghiệp hỗ trợ, động viên tạo điều T kiện cho thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, ln bên tơi, giúp đỡ, động T viên, tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua khó khăn q trình học tập hoàn thành Luận văn Nguyễn Quốc Cường T MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát tốn khơi phục hàm ngun bắt nguồn từ thực tế, lĩnh vực điều T khiển học, vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, nhận dạng,… đặc biệt tốn khơng chỉnh Đây lĩnh vực toán học thực tiễn, sâu rộng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đạt nhiều thành tựu quan trọng Trong trình giải tốn khơi phục, kết thu có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống, nhận dạng tình xấu nhất,… Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày tốn khơi phục lớp hàm ngun từ giá T trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai T toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: tốn việc giải phương trình truyền nhiệt mà khơng có điều kiện đầu điều kiện cuối toán thứ hai việc xác định nguồn nhiệt toán nhiệt ngược thời gian Cụ thể sau: Cho σ > , ký hiệu Lσ2 không gian hàm nguyên f ∈ L2 ( ¡ = f ( z ) const.e σz ) thỏa mãn , z ∈£ Do định lý Paley-Wiener (xem Rudin [18, Chương 19]), hàm f ∈ Lσ2 biểu diễn biến đổi Fourier hàm g ∈ L2 ( −σ , σ ) , nghĩa f ( z) = σ ∫σ g ( t ) e itz dt , z ∈ £ − Chúng tơi quan tâm đến tốn khơi phục hàm Lσ2 từ giá trị tập biết ¡ , vấn đề biết xem xét số phương trình đạo hàm riêng Trước tiên, xem xét phương trình nhiệt ut − u xx= f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ Q=: ( 0,1) × ( 0, T ) ,  ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) 0, u x = (1) u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) biết Ở đây, nhớ lại rằng, C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) không gian tất hàm liên tục f : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) có f ' : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) liên tục L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) không gian tất hàm f : ( 0, T ) → H ( 0,1) thỏa mãn T ∫ f (t ) H ( 0,1) < ∞ Đây loại toán gọi “bài tốn khơng có điều kiện đầu” T Năm 1935, Tikhonov [25] chứng minh tính nghiệm phương trình truyền T nhiệt ut − ∆u= 0, − ∞ < t < ∞ Năm 1990, Safarov [19] giải tốn cho miền khơng bị chặn x > T T T cho < x < l Sau đó, phương trình truyền nhiệt khơng mà khơng có điều kiện đầu T T xem xét nhiều tác Shmulev [23], Kirilich [13] Guseinov [12] Các tác giả T kiểm tra toán điều kiện −∞ < t < ∞ −∞ < t < T họ đòi hỏi số giả thiết điều kiện nhiệt độ −∞ điều kiện tuần hồn để tốn giải Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày tốn khơng thời gian hữu T hạn < t < T , việc làm hợp lý cho ứng dụng thực tế Việc thiếu điều kiện đầu u (.,0 ) 0T T T T bù đắp cách thêm điều kiện biên u (1,.) Chúng muốn chứng minh toán (1) T T T có nhiều nghiệm giải số Với α ∈ ¡ , nhân vào hai vế phương trình (1) với v ( x ) = cos (α x ) sử T T T 0T T dụng tích phân phần, ta có 1 0 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx , x =1 d u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  ∫ x=0 dt 1 0 + α ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx, d F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos − α u ( 0, t ) sin  dt F ( f (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = Do u x = ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) nên d F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) dt F viết tắt biến đổi Fourier Cosin L2 ( 0,1) , nghĩa 0T T T T T F= ( w )( z ) : ∫ w ( x ) cos ( zx ) dx, w ∈ L2 ( 0,1) , z ∈ £ Từ phương trình T 0T d F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) , ta suy dt T ( ) d α 2t e F ( u (., t ) ) (α ) = eα t F ( f (., t ) ) (α ) , dt ( T ) T d α 2t α 2t ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e F ( f (., t ) ) (α ) dt , eα t F ( u (., t ) ) (α ) α 2T e t = T T α 2t = e F ( f (., t ) ) (α ) dt , t = ∫0 T α t F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = ∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt Do T = F ( u (., T ) ) (α ) e −α T F ( u (.,0 ) ) (α ) + ∫ e α ( t −T ) F ( f (., t ) ) (α ) dt (2) Khó khăn việc tìm u (., T ) điều kiện đầu u (.,0 ) khơng có sẵn Tuy nhiên, từ (2), T 0T T 0T T T chúng tơi có quan sát quan trọng rằng, α → +∞ e −α T → nhanh thật hợp lý để sử dụng xấp xỉ T F ( u (., T ) ) (α ) ≈ ∫ e α ( t −T ) F ( f (., t ) ) (α ) dt (3) Công thức (3) đưa xấp xỉ tốt cho F ( u (., T ) ) (α ) , α đủ lớn Bây giờ, mấu chốt vấn đề để khôi phục F ( u (., T ) ) (α ) cho α nhỏ Vì vậy, chúng tơi gặp tốn khơi phục hàm L12 từ giá trị tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , r > số lớn Bây giờ, xem xét toán truyền nhiệt khác gọi “bài toán nguồn nhiệt T ngược thời gian” Đây tốn tìm cặp hàm ( u , f ) thỏa mãn T T ut − u xx= ϕ ( t ) f ( x ) , ( x, t ) ∈ Q=  ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) 0, u x =  u ( x, T ) = g ( x ) , ( 0,1) × ( 0, T ) , (4) T ϕ ∈ L1 ( 0, T ) g ∈ L2 ( 0,1) cho trước 0T T 0T 0T 0T Bài toán nguồn nhiệt ngược thời gian “bài tốn khơng chỉnh”, nghĩa nghiệm T T khơng tồn chí tồn khơng phụ thuộc vào cách liên tục liệu Vì vậy, cách xử lý số thông thường chỉnh hóa cần thiết 0T Bài tốn tìm nguồn nhiệt dạng ϕ ( t ) f ( x ) , trong hai hàm ϕ f không T T T T T biết, kiểm tra thời gian dài Tính ổn định xem xét T nhiều tác Cannon-Esteva [5, 6], Yamamoto [31, 32], Yamamoto-Zou [33], Saitoh-TuanYamamoto [20, 21] Choulli-Yamamoto [7] Tuy nhiên, chỉnh hóa tốn trường hợp T khơng ổn định cịn khó khăn Sự chỉnh hóa toán cho trường hợp f ≡ kiểm tra T Wang-Zheng [29] Shidfar-Zakeri-Neisi [22], trường hợp ϕ ≡ xem xét Cannon [4], Wang-Zheng [30] Farcas-Lesnic [11] Gần đây, Trong-Long-Đinh [27] TrongQuan-Đinh [28] xem xét chỉnh hóa tốn ϕ cho trước f Tuy nhiên, hai báo này, hai điều kiện đầu u (.,0 ) điều kiện cuối u (., T ) bắt buộc Yêu cầu ngặt không tự nhiên Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày tốn tương tự [27], yêu cầu nhiệt độ ban đầu loại bỏ hoàn toàn Lưu ý rằng, f biết có tốn truyền nhiệt ngược thơng thường Vì vậy, chúng tơi tập trung vào việc tìm f Với α ∈ ¡ , nhân vào hai vế phương trình (4) với v ( x ) = cos (α x ) sử T T T 0T T dụng tích phân phần, ta có 1 0 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ ϕ ( t ) f ( x ) cos (α x ) dx , x =1 d u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  ∫ x=0 dt 1 0 + α ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ϕ ( t ) ∫ f ( x ) cos (α x ) dx, d F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos − α u ( 0, t ) sin  dt + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) Do u x = ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) nên d ϕ ( t ) F ( f )(α ) F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = dt Từ phương trình trên, ta suy T 0T 0T ( ) d α 2t e F ( u (., t ) ) (α ) = eα tϕ ( t ) F ( f )(α ) , dt T ( ) T d α 2t α 2t ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e ϕ ( t ) F ( f )(α ) dt , T t =T = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt , e F ( u (., t ) ) (α ) t =0 α 2t T eα T F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt 2 Do u ( x, T ) = g ( x ) nên F ( g )(α ) − e −α 2T T F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ e ( )ϕ ( t ) dt α t −T Vì F ( g )(α ) − e −α T F ( u (.,0 ) ) (α= ) D (ϕ )(α ) F ( f )(α ) , α ∈ ¡ , (5) T ϕ ( t ) dt D (ϕ )(α ) = ∫ e α ( t −T ) Nếu e −α T D (ϕ )(α ) → “đủ nhanh” α → +∞ có xấp xỉ F( f F ( u (.,0 ) ) (α ) F ( g )(α ) F ( g )(α ) ≈ )(α ) = − e−α T D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) (6) Vì vậy, chúng tơi gặp lại tốn khơi phục hàm L12 , nghĩa F ( f ) , từ giá trị tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , r > số lớn Tóm lại, hai tốn truyền nhiệt gợi cho “bài tốn cơng cụ” việc khơi T phục hàm Lσ2 Phần lại Luận văn trình bày thành Chương Trong 0T 0T Chương 1, giới thiệu trình bày số kiến thức bản, ký hiệu, không gian hàm sử dụng Luận văn Trong Chương 2, giới thiệu trình bày sơ lược hàm giải tích, hàm ngun tính chất quan trọng chúng sử dụng Luận văn Trong Chương 3, chúng tơi trình bày số kết “bài tốn cơng cụ” việc khôi phục hàm Lσ2 Trong Chương 4, chúng tơi trở lại tốn truyền nhiệt áp dụng 0T 0T kết Chương để giải chúng Một thực nghiệm số trình bày Chương để làm sáng tỏ hiệu phương pháp Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (xem [15, tr 3-4]) Cho K trường số thực ¡ trường số phức £ Tập hợp X khác rỗng với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân vô hướng) + : X×X → X ( x, y ) a x+ y : K×X → X (λ, x) a λx gọi khơng gian tuyến tính (hoặc khơng gian vectơ) K tính chất sau thỏa mãn: (a) X với phép cộng nhóm Abel, tức là: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X , (ii) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) với x, y, z ∈ X , (iii) Tồn phần tử X cho + x = x + = x với x ∈ X , (iv) Với phần tử x X , tồn phần tử − x X cho x + ( − x ) =0 (b) λ ( x + y ) = λ y + λ x với λ ∈ K , với x, y ∈ X , (c) ( λ + µ ) x =λ x + µ x với λ , µ ∈ K , với x ∈ X , (d) ( λµ ) x = λ ( µ x ) với λ , µ ∈ K , với x ∈ X , (e) 1x = x với x ∈ X Nếu K = ¡ X gọi khơng gian tuyến tính thực Nếu K = £ X gọi khơng gian tuyến tính phức Định nghĩa 1.1.2 (xem [16, tr 8]) Cho ( X , +, ⋅) không gian vectơ ¡ Một ánh xạ ⋅ : X → ¡ x a x gọi chuẩn X tính chất sau thỏa với x, y ∈ X , α ∈ ¡ , (i) x ≥ x = ⇔ x = , (ii) α x = α x , (iii) x + y ≤ x + y Chương 4: ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 4.1 Giới thiệu Trong Chương này, quay trở lại trình bày tốn truyền nhiệt (1) (4) Mục đích chúng tơi chứng minh tính nghiệm toán hiển thị chương trình tính tốn nghiệm số 4.2 Các kết nghiên cứu toán (1) Định lý 4.2.1 (Tính nhất) Với f ∈ L1 ( Q ) , hệ thống (1) có nhiều nghiệm u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) Chứng minh Giả sử u1 u2 hai nghiệm (1) tương ứng với liệu f Khi đó, u= u1 − u2 thỏa mãn (1) tương ứng với f = Từ (2) ta có F ( u (., T ) ) ( n ) e 4n = F ( u (.,0 ) ) ( n ) e ≤ u (.,0 ) L ( 0,1) e − n 2T + n − n 2T + n →0 n → ∞ Điều xảy từ Hệ 3.3.2 u (., T ) ≡ Tất nhiên, thay T t ∈ ( 0, T ) để có u (., t ) ≡ Vì u1 ≡ u2 Lưu ý rằng, tồn nghiệm không xem xét Thay vào đó, chúng tơi giả định rằng, có nghiệm xác u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) hệ thống (1) tương ứng với liệu xác f ∈ L1 ( Q ) Mục đích định lý xây dựng nghiệm số xấp xỉ u (., T ) từ liệu cho sẵn fε ∈ L1 ( Q ) thỏa mãn fε − f L1 ( Q ) ≤ε Với x ∈ ¡ , ký hiệu  x  số nguyên khoảng ( x, x + 1] Định lý 4.2.2 (Nghiệm số) Giả sử u0 (., T ) ∈ H ( 0,1) Định nghĩa T = Hε ( y ) ∫ ∫ f ε ( x, t ) e y ( t −T ) cos ( yx ) dxdt , y ∈ ¡ , 0    = ln    , M ε rε =   ε  ε , { } 1, 2, , 4rε , Aε =± ( rε + j ) j =  L [ Aε ; H ε ] , ≤ nπ < rε , Fε ( n ) =   H ε ( nπ ) , rε ≤ nπ < M ε , v= Fε ( ) + ∑ Fε ( n ) cos ( nπ x ) ε ( x) 1≤ n ≤ M ε Khi đó, có sai số ước lượng vε − u0 (., T ) H ( 0,1)    2 ≤ C0  ln    ε ,   ε  C0 viết tắt số phụ thuộc vào u0 Chứng minh Ký hiệu nghiệm xác u0 (., T ) v0 cho ngắn gọn Từ đây, sử dụng C0 số phổ dụng mà phụ thuộc vào u0 T Bước So sánh F ( v0 ) ( nπ ) F ( vε ) ( nπ ) với ≤ nπ ≤ M ε Cho y ∈ ¡ , y ≥ rε Điều xảy từ (2) F ( v0 ) ( = y ) − H ( y ) e − y T F ( u0 (.,0 ) ) ( y ) ≤ C0ε e − y 2T ≤e 6T − y ≤e 6T − rε ≤ e 6T ε Hơn H ( y ) − Hε ( y ) ≤ ε Do F ( v0 ) ( y ) − H ε ( y ) ≤ F ( v0 ) ( y ) − H ( y ) + H ( y ) − H ε ( y ) ≤ C0ε Đặc biệt, có F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) ≤ C0ε rε ≤ nπ ≤ M ε , max F ( v0 ) ( n ) − H ε ( n ) ≤ C0ε n∈Aε Chúng ta suy diễn từ bất đẳng thức Định lý 3.3.1 rằng, ≤ y ≤ rε (4.1) F ( v0 ) ( y ) − L [ Aε ; H ε ] ( y ) ≤ F ( v0 ) Chọn y = nπ sử dụng e − − L2 ( 0,1) e − rε + 8rε e3.96 rε C0ε ≤ e ≤ eε , nhận rε F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) ≤ C0ε ≤ nπ ≤ rε (4.2) Bước Áp dụng đẳng thức Parseval-Plancherel, ta có v0 − vε H ( 0,1) ∞ = F ( v0 ) ( ) − F ( vε ) ( ) + 2∑ (1 + n 2π ) F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) 2 n =1 ≤ 4π ∞ ∑n F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) 2 n =0 (4.3) Điều xảy từ (4.2) ∑π 0≤ n < rε n F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) { ≤ rε max n F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) 0≤ nπ < rε } 2   9 C0 rε ε ≤ rε rε  C0ε  =   (4.4) Tương tự, sử dụng (4.1), có ∑ π rε ≤ n < M ε n F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) ≤ M ε max rε ≤ nπ < M ε {n 2 F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) } ≤ M ε M ε2 ( C0ε ) = C02 ε ' Vì v0 ∈ H ( 0,1) v0'= , có ( ) v= (1) 1 1 F ( v0 ) ( nπ ) = v0' ( x ) sin ( nπ x ) dx = − − 2 ∫ v0'' ( x ) cos ( nπ x ) dx ∫ nπ nπ Đẳng thức Parseval-Plancherel đưa đến '' L2 v Vì ∞ = ∑ n 4π F ( v0 ) ( nπ ) n =1 (4.5) ∑ π n >Mε n F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) = ∑ n2 F ( v0 ) ( nπ ) 2 nπ > M ε ≤ ≤ M ε2 ∑ π n F ( v0 ) ( nπ ) n >Mε Mε π 2 v0'' L2 ( ,1) ≤ C0ε (4.6) Từ (4.3), (4.4), (4.5) (4.6), kết luận v0 − vε H ( 0,1) ( ≤ C0 rε ε ≤ C ln ( ε −1 )) e Chứng minh hoàn thành Chú ý 4.2.3 Nếu điều kiện = v0 : u (., T ) ∈ H ( 0,1) quy v0 ∈ H ( 0,1) , có v0 − vε L2 ( ≤ C0 ln ( ε −1 )) e Việc chứng minh chí đơn giản với số thay đổi nhỏ Bước 4.3 Các kết nghiên cứu toán (4) Chúng tơi trở lại xem xét tốn (4) Nhớ lại rằng, xấp xỉ (6) có e −α T D (ϕ )(α ) → “đủ nhanh” α → +∞ , T D (ϕ )(α ) = ∫ e ϕ ( t ) dt α ( t −T ) Để giữ cho D (ϕ )(α ) → “từ từ” α → +∞ , cần điều kiện yếu (H) ϕ Điều kiện (H) ϕ ∈ L1 ( 0, T ) lim− inf ϕ ( t ) > lim− sup ϕ ( t ) < t →T t →T Chú ý 4.3.1 Lớp hàm thỏa mãn (H) lớn Ví dụ, điều kiện ϕ liên tục t = T ϕ (T ) ≠ Bổ đề 4.3.2 Nếu ϕ thỏa mãn (H) lim inf α D (ϕ )(α ) > α →∞ Chứng minh Giả sử lim− inf ϕ ( t ) > Khi đó, tồn λ ∈ ( 0,T ) C0 > cho t →T ϕ ( t ) > C0 với t ∈ ( λ , T ) Do T α 2T ( t −T ) λ T ≥ ∫ eα ϕ ( t ) dt ( t −T ) ( t −T ) λ ≥ C0 λ ϕ ( t ) dt − ∫ eα D (ϕ )(α ) ≥ ∫ e λ α ( λ −T ) C0 dt − ∫ e ϕ ( t ) dt α ( λ −T ) 1− e α2 α ( λ −T ) −e ϕ L1 ( 0,T ) Nhân hai phía bất đẳng thức với α sau cho α → ∞ , có kết mong muốn Định lý 4.3.3 (Tính nhất) Giả sử ϕ thỏa mãn (H) g ∈ L2 ( 0,1) Khi đó, hệ thống (4) có nhiều nghiệm ( u, f ) ∈ ( C1 ([0, T ]; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) , L2 ( 0,1) ) Chứng minh Cho ( u1 , f1 ) ( u2 , f ) hai nghiệm Đặt u= u1 − u2 f= f1 − f Khi ( u, f ) nghiệm (4) tương ứng với ϕ g ≡ Do đó, (5) trở thành e −α T F ( u (.,0 ) ) ( n ) D (ϕ )(α ) F ( f )(α ) , α ∈ ¡ = (4.7) Đặc biệt, chọn α= n ∈ ¢ , ta có e = F ( f )( n ) n D (ϕ )( n ) n 2e 4n − n 2T + n F ( u (.,0 ) ) L∞ → n → ∞ Mặt khác, lim inf n D (ϕ )( n ) > Bổ đề 4.3.2 n →∞ Do e 4n F ( f )( n )= → n → ∞ Điều xảy từ Hệ 3.3.2 f ≡ Vì vậy, phương trình (4.7) trở thành F ( u (.,0 ) ) (α ) = với α ∈ ¡ , u (.,0 ) ≡ Như biết, phương trình truyền nhiệt với điều kiện đầu tầm thường u (.,0 ) ≡ có nghiệm tầm thường u ≡ Do ( u1 , f1 ) = ( u2 , f ) Bài toán (4) mà chúng tơi đề cập tốn khơng chỉnh cách khắt khe, chỉnh hóa cần thiết Giả sử ( u0 , f ) ∈ ( C1 ([0, T ]; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) , L2 ( 0,1) ) nghiệm xác (4) tương ứng với liệu xác (ϕ0 , g ) , ϕ0 thỏa mãn (H) g ∈ L2 ( 0,1) Cho sẵn liệu (ϕε , gε ) ∈ ( L1 ( 0, T ) , L2 ( 0,1) ) thỏa mãn ϕε − ϕ L1 ( 0,T ) ≤ ε gε − g L2 ( 0,1) ≤ε Mục đích chúng tơi xây dựng, từ (ϕε , gε ) , nghiệm chỉnh hóa fε xấp xỉ f Chúng ta sử dụng chương trình tương tự Định lý 4.2.2 Định lý 4.3.4 (Sự chỉnh hóa) Giả sử f ∈ H ( 0,1) Định nghĩa  F ( gε ) ( y ) , D (ϕε ) ( y ) ≠ 0,  H ε ( y ) =  D (ϕε ) ( y ) 0, D (ϕε ) ( y ) = 0,     rε = ln    , M ε π , = ε   ε  { } Aε =± ( rε + j ) j = 1, 2, , 4rε ,  L [ Aε ; H ε ] , ≤ nπ < rε , Fε ( n ) =   H ε ( nπ ) , rε ≤ nπ < M ε , f= Fε ( ) + ∑ Fε ( n ) cos ( nπ x ) ε ( x) 1≤ n ≤ M ε Khi đó, có sai số ước lượng fε − f 1 ≤ C0 ln  ε , ε  L2 ( 0,1) C0 viết tắt số phụ thuộc vào liệu xác Chứng minh Ý tưởng chứng minh tương tự phần Định lý 4.2.2 Bước So sánh F ( v0 ) ( nπ ) F ( vε ) ( nπ ) với ≤ nπ ≤ M ε Đầu tiên, xét y ∈ ¡ cho rε ≤ y ≤ M ε Cho ε > đủ nhỏ, Bổ đề 4.3.2 có D (ϕ ) ( y ) ≥ C1 y2 (4.8) với C1 > số phụ thuộc vào ϕ0 , D ( ϕε ) ( y ) ≥ D ( ϕ ) ( y ) − D ( ϕ ) ( y ) − D ( ϕε ) ( y ) ≥ C1 C − ε ≥ 12 y 2y (4.9) Điều xảy từ (5) (4.8) F ( u (.,0 )( y ) ) F ( f0 ) ( y ) − H ( y ) = e− y T D (ϕ ) ( y ) y 2e− y T F ( u (.,0 ) ) ≤ C1 e −y ≤e − rε L∞ ≤ C0ε (4.10) ≤e Hơn nữa, sử dụng (4.8), (4.9), có ước lượng từ tính tốn trực tiếp H ( y ) − H ε ( y= ) F ( g ) ( y ) F ( gε ) ( y ) − ≤ C0 y 4ε D (ϕ ) ( y ) D (ϕε ) ( y ) (4.11) Sử dụng (4.10), (4.11) bất đẳng thức tam giác, có F ( f ) ( y ) − H ( y ) ≤ C0 y 4ε rε ≤ y ≤ M ε Đặc biệt, có F ( f ) ( nπ ) − F ( fε ) ( nπ ) ≤ C0 M ε ε = C0π ε rε ≤ nπ ≤ M ε , (4.12) max F ( f ) ( n ) − H ε ( n ) ≤ C0 ( 5rε ) ε n∈Aε Điều xảy từ Định lý 3.3.1 bất đẳng thức ≤ y ≤ rε F ( f ) ( y ) − L [ Aε ; H ε ] ( y ) ≤ F ( f ) Chọn y = nπ sử dụng e − − L2 ( 0,1) e − rε + 8rε e3.96 rε C0 ( 5rε ) ε ≤ e rε ≤ eε , nhận F ( f ) ( nπ ) − F ( fε ) ( nπ ) ≤ C0ε ≤ nπ ≤ rε Bước Áp dụng đẳng thức Parseval-Plancherel, ta có T f − fε L2 ( 0,1) (4.13) ∞ = F ( f ) ( ) − F ( fε ) ( ) + 2∑ F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) 2 (4.14) n =1 Chúng ta có T ∑ F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) ≤ C0 rε e (4.15) ∑ π F ( v0 ) ( nπ ) − F ( vε ) ( nπ ) ≤ C0 ε (4.16) 0≤ nπ ≤ rε (4.12) rε ≤ n ≤ M ε (4.13) Cuối 1T ∑ π n >Mε F ( f ) ( nπ ) − F ( fε ) ( nπ ) = ∑ F ( f0 ) ( nπ ) 2 nπ > M ε ≤ M ε2 ∑ π n >Mε n 2π F ( f ) ( nπ ) ≤ f ' L2 ε (4.17) Từ (4.14), (4.15), (4.16), (4.17), kết luận T f − fε L2 ≤ C r ε ≤ C ln ( ε ε −1 )ε Chứng minh hoàn thành T Chú ý 4.3.5 Sai số ước lượng Định lý 4.3.4, với sai số ước lượng định lý chỉnh hóa thứ hai [27], [27] tác giả phải đòi hỏi thêm điều kiện đầu u (.,0 ) ln ( ε −1 )ε , cải tiến đáng kể so ln ( ε −1 )ε Hơn nữa, 4.4 Thực nghiệm số Để thấy hiệu phương pháp, xem xét ví dụ cho tốn nguồn nhiệt ngược (4) Chọn T = liệu xác ϕ0 ( t ) = et −1 , g ( x ) = x3 − x − cos (π x ) Khi đó, nghiệm xác (4) u0 ( x= , t ) et −1 ( x − x − cos (π x ) ) , f ( x, t )= x − x − 12 x + − (1 + π ) cos (π x ) Với số nguyên n ≥ 1, xem xét liệu bị nhiễu sin ( nπ x ) ϕ n ( t )= ϕ0 ( t ) , g n ( x )= g ( x ) + ⋅ ⋅ n Khi đó, nghiệm bị nhiễu tương ứng với liệu bị nhiễu t −1 sin ( nπ x ) % u ( x , t ) = u0 ( x , t ) + e , ⋅ n 2 2 ( 4n π + 1) sin ( nπ x ) − 2n π ° f n ( x )= f ( x ) + ⋅ n Chúng ta thấy gn − g0 L2 ( ,1) = → n → +∞ n ° fn − f0 = L ( ,1) 16π n + 8π n + → +∞ n → +∞ 3n Do đó, n lớn sai số nhỏ liệu gây sai số lớn nghiệm Vì vậy, tốn khơng chỉnh chỉnh hóa cần thiết Bây giờ, sử dụng chương trình Định lý 4.3.4 ε = n −1 để tính tốn nghiệm chỉnh hóa Tương ứng với ε k = 10− k , có nghiệm chỉnh hóa sau −0.448859 − 5.513525cos (π x ) + 0.546463cos ( 3π x ) , f ε1 ( x ) = −0.5007813 − 5.513525cos (π x ) + 0.546463cos ( 3π x ) + 0.195325cos ( 5π x ) , fε ( x ) = −0.512356 − 5.513525cos (π x ) + 0.546463cos ( 3π x ) + 0.195325cos ( 5π x ) fε ( x ) = Sai số + 0.099459cos ( 7π x ) + 0.060117 cos ( 9π x ) nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác xác định Bảng 4.1 −1 ε ε= Hình 4.1 đưa so sánh trực quan nghiệm chỉnh hóa tương ứng với = : 10 T T T nghiệm xác −1 ε ε= gây sai số lớn Lưu ý rằng, nghiệm bị nhiễu tương ứng với = : 10 ± f ε1 − f L2 ≈ 227.9865 ε = n −1 f − fε f − fε L f0 L2 L2 ε1 = 10−1 0.1742974617 0.04409277801 ε = 10−2 0.09321430861 0.02358082429 ε = 10−3 0.04569371374 0.01155933515 ε = 10−4 0.02675238031 0.006767664629 ε = 10−5 0.01374434647 0.003476966399 Bảng 4.1 Sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác - Nghiệm chỉnh hóa Nghiệm xác Hình 4.1 Nghiệm chỉnh hóa fε1 nghiệm xác KẾT LUẬN Luận văn chúng tơi trình bày tốn khơi phục lý thuyết hàm ngun Cụ thể khôi phục lớp hàm nguyên từ giá trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai tốn liên quan đến phương trình truyền nhiệt: toán việc giải phương trình truyền nhiệt mà khơng có điều kiện đầu điều kiện cuối, toán thứ hai việc xác định nguồn nhiệt toán nhiệt ngược thời gian Các kết trình bày Luận văn không mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo Điều mà Luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết Đồng thời, vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với nhiệt tình giúp đỡ góp ý Thầy hướng dẫn Qua Luận văn này, thân học tập nhiều điều bổ ích với cơng tác nghiên cứu khoa học hiểu sâu sắc kiến thức mà thân lãnh nhận từ tất Quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn Giải tích khóa 19 truyền thụ suốt q trình học tập Mặc dù, tơi có nhiều cố gắng học tập nghiên cứu, thời gian hạn chế kiến thức thân nhiều giới hạn, tác giả Luận văn chưa đưa nhiều ứng dụng thực tiễn thực nghiệm số hạn chế Luận văn Hướng phát triển Luận văn nghiên cứu tốn khơi phục Lý thuyết hàm giải tích TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đ Đ Áng, T L Cường, H B Lân, N V Nhân, Biến đổi tích phân, Nxb Giáo dục, 2001 [2] P Borwein and T Erdelyi, Polynomials and Polynomial Inequalities, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1995 [3] H Brezis (Người dịch: N H Nghĩa, N T Long), Giải tích hàm - Lý thuyết Ứng dụng, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [4] J R Cannon, Determination of an unknown heat source from overspecified boundary data, SIAM J Numer Anal (1968), 275-286 [5] J R Cannon and S P Esteva, Some stability estimates for a heat source in terms of over specified data in the 3-D heat equation, J Math Anal Appl 147 (2) (1990), 363-371 [6] J R Cannon and S P Esteva, Uniqueness and stability of 3D heat source, Inverse Problems (1) (1991), 57-62 [7] M Choulli and M Yamamoto, Conditional stability in determining a heat source, J Inverse Ill-Posed Problems 12 (3) (2004), 233-243 [8] P Duchateau D W Zachmann, Theory and problems of Partial Differential Equations, Mc Graw-Hill [9] D M Đức, Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2005 [10] G Evans, J Blackledge and P Yardley, Analytic Methods for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1999 [11] A Farcas and D Lesnic, The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable, J Engrg Math 54 (4) (2006), 375-388 [12] R V Guseinov, Problem without initial conditions for the heat equation, Mat Zametki, 76 (6) (2004), 824-832, translation in Math Notes 76 (5-6) (2004), 770-777 [13] V M Kirilich and A D Myshkis, A boundary value problem without initial conditions for a linear one-dimensional system of hyperbolic-type equations, Differentsial’nye Uravneniya 28 (3) (1992), 463-469, 548-549; translation in Differential Equations 28 (3) (1992), 393-399 [14] B Ya Levin, Lectures on Entire Functions, Trans Math Monographs, Vol.150, AMS, Providence, Rhole Island, 1996 [15] N X Liêm, Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, 1997 [16] P H Quân, Đ H Tâm, Đ N Thanh, Đ Đ Trọng, Giáo trình Giải tích hàm, 2011 [17] T Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press, 1995 [18] W Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987 [19] D Safarov, Problem without initial conditions for nonclassical system, Differentsial’nye Uravneniya i Primenen 45 (1990), 59-67 [20] S Saitoh, V K Tuan, and M Yamamoto, Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, JIPAM J Inequal Pure Appl Math (5) (2002), Article 80 (electronic) [21] S Saitoh, V K Tuan, and M Yamamoto, Convolution inequalities and applications, JIPAM J Inequal Pure Appl Math (3) (2003), Article 50 (electronic) [22] A Shidfar, A Zakeri, and A Neisi, A two-dimensional inverse heat conduction problem for estimating heat source, Int J Math Math Sci (10) (2005), 1933-1941 [23] I I Shmulev, Bounded solutions of boundary-value problems without initial conditions for parabolic equations and inverse boundary-value problems, Dokl Akad Nauk SSSR [Soviet Math Dokl.], 142 (1) (1962), 46-49 [24] P T Tạo, Giáo trình Matlab, Nxb Đại học Đà Nẵng, 2004 [25] A N Tikhonov, Uniqueness theorems for the heat equation, Math Sb [Math USSR-Sb.], 42 (2) (1935), 199-216 [26] A N Tikhonov and V Y Arsenin (Translation Editor: Fritz John), Solution of Ill-Posed Problem, V H Winston & Sons, Washington D.C, 1977 [27] D D Trong, N T Long, and P N Dinh Alain, Nonhomogeneous heat equation: Indentification and regularization for the inhomogeneous term, J Math Anal Appl 312 (2005), 93-104 [28] D D Trong, P H Quan, and P N Dinh Alain, Determination of a two-dimensional heat source: Uniqueness, regularization and error estimate, J Comput Appl Math 191 (1) (2006), 50-67 [29] P Wang and K Zheng, Determination of the source/sink term in a heat equation, Fourth Mississippi State Conference on Differential Equations and Computational Simulations, Electronic J Diff Equations, Conference 03 (1999), 119-125 [30] P Wang and K Zheng, Reconstruction of spacial heat source in heat conduction problems, Appl Anal 85 (5) (2006), 459-465 [31] M Yamamoto, Conditional stability in determination of force terms of heat equations in a rectangle, Math Comput Modelling 18 (1) (1993), 79-88 [32] M Yamamoto, Conditional stability in determination of densities of heat source in a bounded domain, Control and estimation of distributed parameter systems: nonlinear phenomena (Vorau, 1993), 359-370, Internat Ser Numer Math 118, Birkhauser, Babel, 1994 [33] M Yamamoto and J Zou, Simultaneous reconstruction of the initial temperature and heat radiative coefficient, Inverse Problems 17 (4) (2001), 1181-1202 ... tơi trình bày tốn khơi phục lý thuyết hàm nguyên Cụ thể khôi phục lớp hàm nguyên từ giá trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: ... trình bày tốn khơi phục lớp hàm ngun từ giá T trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai T toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: tốn việc giải phương trình truyền nhiệt. .. 4: ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 4.1 Giới thiệu Trong Chương này, chúng tơi quay trở lại trình bày tốn truyền nhiệt (1) (4) Mục đích chúng tơi chứng minh tính nghiệm tốn hiển thị chương trình