BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CƠNG TRÍ KHƠNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT VÀI MD5 – NHÓM LIÊN THƠNG ĐƠN LIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2004 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CƠNG TRÍ KHƠNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K – QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT VÀI MD5 – NHĨM LIÊN THƠNG ĐƠN LIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chuyên ngành : Tơpơ – Hình học Mã số : 1.01.05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2004 BẢNG CHỈ DẪN CÁC THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU Chữ đầu Thuật ngữ (ký hiệu) Trang xuất A nh xạ mũ exp 16 B Biễu diễn tuyến tính đại số Lie 11 Biễu diễn quy ad 12 Biễu diễn phụ hợp (K –biểu diễn, biểu diễn Kirollov) K 19 Biễu diễn khớp 11 Biễu diễn phụ hợp Ad 18 Đa tạp hoành 50 Đại số Lie L, G Đại số Lie Ideal 13 Đ Đại số Lie nhóm Lie K M N P T 15 2 Đại số Lie dẫn xuaát L , G , L , G ,… 13 Đại số Lie giải 14 Đại số Lie lũy linh 14 Đồng cấu đại số Lie 11 Độ đo hoành (đối với phân lá)  51 Độ đo X–bất biến 52 K–quỹ đạo (quỹ đạo Kirollov)  19 Không gian V/F phân 49 Kiểu tôpô phân 49 MD–nhóm, MD – đại số 19 MD - nhóm, MD - đại số 19 Nhóm Lie exponential 18 Nhóm Lie G Nhóm Lie giải được, lũy linh 16 Phân bố, phân bố khả tích F 45 Phân (V, F) 46 Phân cho phân thớ p: VB 48 Phân cho tác động nhóm Lie 48 Phân kiểu tôpô 49 Phân đo 50  Phủ đơn liên (phủ phổ dụng) nhóm Lie G Tập hoành Borel 51 Tôpô phân 48 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết nhóm Lie đại số Lie thực, lớp nhóm Lie đại số Lie giải đóng vai trò quan trọng Cấu trúc nhóm Lie đại số Lie giải dường đơn giản, nhiên việc phân loại chúng chưa giải triệt để Nhờ phương pháp quỹ đạo Kirillov (xem [Ki]), năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải mà đơn giản phương diện phân tầng K–quỹ đạo (quỹ đạo Kirillov) Đó lớp MD– nhóm MD–đại số Một nhóm Lie thực giải mà K–quỹ đạo không chiều chiều cực đại gọi MD–nhóm Khi số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm gọi MD –nhóm Đại số Lie MD–nhóm (tương ứng, MD – nhóm) gọi MD–đại số (tương ứng, MD – đại số) Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So–Vi]) phân loại triệt để lớp MD – đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán n–chiều n (n  1), đại số Lie 2–chiều aff đại số Lie 4–chiều aff Việc phân loại lớp MD–đại số đến toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp MD–nhóm MD–đại số theo số chiều Tức xét lớp MDn–nhóm (và MDn–đại số) gồm MD–nhóm (và MD–đại số ) n–chiều Vì tất đại số Lie 4–chiều liệt kê hết từ lâu nên ta xét lớp MDn– nhóm MDn–đại số với n4 Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) liệt kê toàn lớp MD4–đại số Đến năm 1990, lớp MD4–đại số Lê Anh Vũ (xem [Vu2], Vu4], Vu5]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) Gần đây, năm 2003, Lê Anh Vũ (xem[Vu6]) giới thiệu ba ví dụ đặc sắc MD5–đại số Hiện tại, lớp MD5–đại số chưa liệt kê phân loại đầy đủ Về phương diện hình học, không gian K–quỹ đạo MD–nhóm đơn giản Theo số chiều, MD–nhóm gồm hai tầng K–quỹ đạo: tầng quỹ đạo 0–chiều tầng quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng quỹ đạo chiều cực đại MD–nhóm liên thông, ta thấy quỹ đạo đa tạp liên thông, đôi rời có số chiều Điều gợi cho ta nghó đến phân Các phân xuất khảo sát lời giải hệ khả tích phương trình vi phân thường Kể từ công trình Reeb (xem [Re]) năm 1952, phân thực trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học nhanh chóng phát triển thành ngành mạnh hình học vi phân Đó lý thuyết tôpô phân Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp việc nghiên cứu phân lá, phân định hướng Khi trang bị độ đo hoành, phân gọi phân đo Bản luận văn nhằm mục đích kết hợp việc nghiên cứu MD5–nhóm MD5–đại số với tôpô phân đo Cụ thể, toán mà luận văn đề cập bao gồm bước sau  Bước 1: Liệt kê số MD5–đại số hoàn toàn  Bước 2: Mô tả tranh hình học K–quỹ đạo MD5–nhóm liên thông đơn liên ứng với MD5–đại số liệt kê  Bước 3: Nghiên cứu tôpô phân phân đo liên kết với mỗ i MD5–nhóm xét Bởi luận văn mang tên “không gian phân tạo K–quỹ đạo chiều cực đại vài MD5–nhóm liên thông đơn liên” Về nội dung, luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Phần mở đầu nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương I giới thiệu khái niệm cần thiết nhóm Lie, đại số Lie lớp MD– nhóm, MD–đại số Chương II chương III phần luận văn trình bày tỷ mỉ ba bước 1, 2, vừa kể kết đạt với đầy đủ chứng minh chặt chẽ Phần kết luận sau nhận xét vấn đề mở gợi lên cần phải tiếp tục nghiên cứu Các kết nhận luận văn là: Liệt kê bốn MD5–đại số họ vô hạn MD5–đại số phụ thuộc tham số thực khác Tất MD5–đại số không đẳng cấu (xem chương II; §2, mục 2.1 hệ 2) Mô tả tranh hình học K–quỹ đạo tất MD5–nhóm liên thông, đơn liên ứng với MD5–đại số liệt kê (xem chương II, §2, mục 2.2, định lý 1) Chứng tỏ rằng, MD5–nhóm liên thông đơn liên xét, họ K–quỹ đạo chiều cực đại lập thành phân đo Các phân tạo thành gọi MD5–phân Đồng thời mô tả chi tiết tôpô phân MD5–phân (xem chương III, §2, định lý 3, định lý mục 2.4) Việc liệt kê MD5–đại số mô tả tôpô phân MD5–phân tính toán túy đại số giải tích dựa dự cảm trực giác hình học Phương pháp mô tả hình học K–quỹ đạo MD5–nhóm xét phương pháp giới thiệu đầy đủ tài liệu [Vu2] Các kết luận văn nêu định lý 1, định lý 3, định lý hệ hoàn toàn công bố tạp chí chuyên ngành thời gian tới Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng, giải thích dùng lần đầu (xem bảng dẫn thuật ngữ ký hiệu) Để trích dẫn kết quả, dùng ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn xem [So–Vi, Theorem 4] có nghóa xem định lý tài liệu [So–Vi] Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy nghiêm khắc tiến s Lê Anh Vũ Tác giả xin chân thành biết ơn thầy hướng dẫn nhiệt tình, dẫn thấu đáo vấn đề mà tác giả chưa hiểu rõ chưa biết Tác giả xin chân thành cám ơn tiến s Nguyễn Thái Sơn, tiến sỹ Nguyễn Hà Thanh, PGS tiến s Bùi Tường Trí, PGS tiến s Lê Hoàn Hóa, PGS tiến s Nguyễn Bích Huy, tiến s Trần Huyên, GS tiến s Trần Văn Tấn thuộc Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao kiến thức chuyên môn Tác giả xin chân thành cám ơn tiến sỹ Bùi Phúc Trung, chủ nhiệm Khoa Toán– Thống Kê, thạc sỹ Hoàng Ngọc Nhậm, tổ trưởng môn Toán Kinh Tế, anh Phạm Xuân Long, phòng tư liệu Khoa Toán–Thống Kê thuộc Trường Đại Học Kinh Tế Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giúp đỡ tác giả sinh hoạt học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cám ơn tiến sỹ Trần Minh Thuyết, thạc sỹ Huỳnh Văn Đức bạn đồng nghiệp thân thiết liên tục động viên, nhiệt tình giúp đỡ tác giả phương pháp nghiên cứu suốt trình sinh hoạt, học tập Luận văn hoàn thành có phần đóng góp lớn Ban Giám Hiệu, phòng Tổ Chức Hành Chánh, phòng Tài Vụ Trường Đại Học Kinh Tế Thành Phố Hồ Chí Minh; Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán – Tin Học, phòng Khoa Học Công Nghệ Và Sau Đại Học, phòng Tài Vụ Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh bạn đồng môn Lê Minh Hòa Hoàng Công Phúc Một lần nữa, tác giả xin chân thành cám ơn tất người động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn CHƯƠNG I LỚP MD–NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE Chương giới thiệu lớp MD-nhóm lớp MD–đại số Lie mà quan tâm nghiên cứu nhóm Lie đại số Lie 5–chiều thuộc lớp Nhưng trước hết, ta nhắc lại khái niệm tính chất nhóm Lie đại số Lie (thực) Tất mệnh đề phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu nhóm Lie đại số Lie xin xem thêm tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch] § Nhắc Lại Khái Niệm Cơ Bản Về Nhóm Lie 1.1 ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Tập hợp G gọi nhóm Lie thực vừa nhóm (với phép toán nhân (.)) vừa đa tạp thực khả vi; đồng thời ánh xạ sau khả vi (.) : G  G  G  x , y   x.y (.)1 : G  G x  x 1 Ta không cần ý đến lớp khả vi đa tạp G rằng, theo định lý Gleason– Montgomery–Zippin, nhóm Lie lớp C0 đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C tương thích với cấu trúc nhóm 1.1.2 Nhóm Lie G gọi giao hoán phép toán nhân (.) giao hoán 1.2 CÁC VÍ DỤ 1.2.1 Đường thẳng thực  với phép (+) hiển nhiên nhóm Lie (giao hoán) 1.2.2 Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (Xem S1 tập số phức với modun 1) hiển nhiên nhóm Lie (giao hoán) 1.2.3 Tập hợp GL(n, ) tập hợp ma trận vuông cấp n không suy biến (xét miền mở  n ) với phép toán nhân ma trận nhóm Lie (không giao hoán n 2) Đặc biệt n=1 GL(1,)=*=(\{0}; ) 1.2.4 Nếu G1, G2 hai nhóm Lie tích G1G2 nhóm Lie Tương tự cho tích nhiều nhóm Lie Nói riêng ta có nhóm Lie với phép cộng n= …; xuyến n–chiều Tn=S1 S1… S1, (n=1,2,3,…) 1.2.5 Nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực  với tôpô tự nhiên nhóm Lie Nhóm ký hiệu Aff Cụ thể nhóm là: AffR   a, b  / a  * , b   1.3 TẬP CON LIÊN THÔNG – PHỦ ĐƠN LIÊN Giả sử G nhóm Lie, ký hiệu G0 thành phần liên thông đường phần tử đơn vị eG Tức G0 tập hợp tất phần tử thuộc G mà nối với e đường liên tục G Khi G0 tập liên thông vừa đóng vừa mở G Nếu G liên thông không đơn liên xây dựng nhóm Lie liên ~ thông đơn liên G mà gọi phủ đơn liên hay phủ phổ dụng G, lúc ~ G lại trở thành nhóm thương G 1.4 MỘT VÀI TÍNH CHẤT 1.4.1 Mệnh đề Mọi nhóm đóng nhóm Lie nhóm Lie 1.4.2 Mệnh đề Nếu G nhóm Lie, H nhóm chuẩn tắc đóng G, nhóm thương G/H nhóm Lie § NHẮC LẠI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ LIE Khái niệm đại số Lie xuất nghiên cứu nhóm Lie sau trở thành ngành riêng biệt 2.1 ĐỊNH NGHĨA Một đại số Lie trường  hay -đại số Lie không gian vectơ L  cung cấp phép toán bổ sung [.,.] (mà gọi móc Lie hay hoán tử) thỏa mãn tiêu đề sau: i) [.,.] song tuyến tính, nghóa là:  x1  x2 , y    x1, y    x2 , y     x , y     x , y  x , y  L ,   K.   x , y1  y2    x, y1    x , y2   x ,  y     x , y   ii) [.,.] phản đối xứng, nghóa là: [x, x]=0, xL iii) [.,.] thỏa mãn đồng thức Jacobi:  x , y  , z   y, z , x    z, x  , y   0, x , y, z  L xk+1= c1, …, xn= cn-k; k=dimF c1, c2,…, cn-k số (phụ thuộc vào tấm) Bản đồ địa phương (U,) ứng với hệ toạ độ địa phương nêu gọi đồ phân phân (, F) Như vậy, đa tạp phân  phủ tập đồ gồm đồ phân Mệnh đề 1.2.2 dùng làm định nghóa cho phân Lớp phân rộng lớp phân mà vừa định nghóa Cụ thể phân theo định nghóa mệnh đề 1.2.2 không xác định phân bố khả tích đa tạp phân (xem [Ta], chương 4, trang 121-126) Giả sử có họ C đa tạp đa tạp trơn  tạo thành phân hoạch  cho LC đa tạp tích phân liên thông tối đại phân bố khả tích F  Khi C họ phân (, F) Ta thường đồng C với phân bố F dùng ký hiệu F để họC Ta bảo họ F (các đa tạp ) lập thành phân  1.2.3 Phân đo cho phân thớ tác động nhóm Nếu có phân thớ (với thớ liên thông) p:   B cho thớ phân (, F) ta bảo phân (, F) cho phân thớ p:   B Tương tự có nhóm Lie G tác động (liên tục) lên  cho quỹ đạo G phân (, F) ta bảo (, F) cho tác động nhóm G lên đa tạp phân  1.3 TÔPÔ PHÂN LÁ Như hệ trực tiếp mệnh đề 1.2.2, tất phân chiều đa tạp vi phân có cấu trúc địa phương Tuy nhiên chúng khác theo quan điểm toàn cục Bài toán “Tôpô phân lá” nghiên cứu quan điểm tôpô vấn đề toàn cục phân Chẳng hạn tồn compact, trù mật, điều kiện đồng phôi lá, … 1.3.1 Không gian phân Một vấn đề toàn cục khác phân việc xét không gian phân Không gian /F phân (, F), không gian thương không gian tôpô  thu điểm Nhiều ví dụ phân tôpô /F không tách hay không tách, chí có tôpô tầm thường Nếu phân (, F) cho phân thớ p:   B không gian /F không gian đáy B phân thớ xác định phân Còn (,F) cho tác động nhóm G /F lại không gian /G G-quỹ đạo 1.3.2 Kiểu tôpô phân Hai phân (1, F1) (2, F2) gọi tương đương (tôpô) hay kiểu tôpô phân có đồng phôi h: 1  2 cho h chuyển F1 lên F2 Theo quan điểm tôpô, vấn đề địa phương toàn cục phân kiểu tôpô hoàn toàn Nói riêng, không gian hai phân tương đương đồng phôi 1.4 PHÂN LÁ ĐO ĐƯC Nhiều ví dụ phân cho thấy vấn đề cần phải lưu ý là: đa tạp phân  phân (, F) compact, không compact Nói cách khác, phân lá nói chung không compact Do khó nói tính chất toàn cục không compact L từ thông tin địa phương cho phân bố xác định phân Trong đó, L compact, nhiều kết hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương phân thớ tiếp xúc sang bất biến toàn cục L (xem [Co], Introduction) Như vậy, nghiên cứu tôpô phân lá, điều cần quan tâm trước tiên “số lượng” không compact không gian phân Nói cách khác, cần tìm cách trang bị cho không gian độ đo thích hợp A Connes [Co] đưa khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp với không gian phân mà sau sơ giới thiệu 1.4.1 Đa tạp hoành – tập hoành Borel Giả sử (, F) phân Đa tạp N  gọi hoành pN, Tp() chẻ thành tổng trực tiếp Tp(N)Fp Khi hiển nhiên dimN=codimF Hơn chọn đồ phân (U, ) quanh điểm pN cho U tương ứng 1-1 với điểm NU: tức U cắt N điểm Tập Borel B đa tạp phân  gọi tập hoành Borel BL đếm được, với L phân Một ý quan trọng tập hoành Borel hợp đếm tập hoành Borel B kiểu sau đây: tồn đơn ánh : B  N từ B vào đa tạp hoành N cho (x) thuộc chứa x, với xB (xem [Co, Introduction]) 1.4.2 Độ đo hoành phân – phân đo Một độ đo hoành  phân (, F) ánh xạ -cộng tính B    B  từ họ tập hoành Borel  đến [0, +] cho tiên đề sau thỏa: (1) Nếu : B1  B2 song ánh Borel (x) thuộc chứa x (xB1) (B1)= (B2) (tính đẳng biến Borel) (2) (K)