BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRANG BÌA PHỤ Lê Phong MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TƠPƠ I − ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRANG BÌA PHỤ Lê Phong MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TƠPƠ I − ADIC Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Tuấn Nam - Khoa Toán Tin - Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Thầy nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn, tơi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán Tin quý Thầy cô giảng dạy lớp Cao học Đại số lí thuyết số K24 truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích làm tảng cho việc nghiên cứu đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện giúp tơi hồn thành luận văn hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Phịng Sau Đại học Thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn trường Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 Tác giả Lê Phong MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tính thống cấu trúc đại số tôpô tập Tôpô I -adic Định lí Krull 1.2 Đầy đủ nhóm lọc, vành mơđun, ứng dụng tơpơ I − adic 1.3 Vành chuỗi lũy thừa hình thức bị chặn Bổ đề Hensel 1.4 Đầy đủ môđun hữu hạn sinh Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÔPÔ I − ADIC 2.1 Tính Noether I − adic đầy đủ 2.2 Một vài tiêu chuẩn chung tăng giảm I − đầy đủ 10 2.3 Chiều I − đầy đủ 13 2.4 Tính quy chiều tổng thể I − đầy đủ 16 2.5 Tính chất Cohen Macaulay Gorenstein I -đầy đủ 20 2.6 Tính nguyên I -đầy đủ 23 2.7 Nhân tử hóa I − đầy đủ 26 2.8 Các sợi kết cấu đồng cấu vành sợi kết cấu chuẩn tắc vành 29 2.9 Tính chất S n Rn I -đầy đủ 30 2.10 Tính chuẩn tắc I -đầy đủ 33 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Tôpô I − adic khái niệm quan trọng đại số giao hốn cơng cụ hữu ích cho hình học đại số Việc nghiên cứu số vấn đề đại số giao hoán hình học đại số cần sử dụng đến tơpơ I − adic tính chất chúng Chính chúng tơi chọn đề tài “Một số tính chất tơpơ I − adic” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn là: hệ thống lại số tính chất vành giao hốn, tóm tắt lại kết đại số giao hốn, trình bày số tính chất tơpơ I − adic liên quan vành giao hoán A đầy đủ  A Nội dung luận văn gồm có hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi nhắc lại số kiến thức: tính thống cấu trúc đại số tôpô tập, tơpơ I − adic, Định lí Krull, Bổ đề Artin-Rees, vành Zariski, đầy đủ môđun hữu hạn sinh, Bổ đề Hensel số tính chất chuỗi lũy thừa hình thức Chương Một số tính chất tôpô I − adic Ở chương chúng tơi trình bày vài tiêu chuẩn liên quan đến tăng (từ A đến  A ) giảm (từ  A đến A ) tính chất vành giao hốn như: tính quy, tính ngun, tính chuẩn tắc, tính chất Rn S n , tính chất Cohen Macaulay Gorenstein, … I − đầy đủ Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tính thống cấu trúc đại số tơpơ tập Tơpơ I -adic Định lí Krull Định nghĩa 1.1.1 Cho tập G nhóm aben (đối với phép cộng) đồng thời không gian tơpơ Nếu ánh xạ G × G → G xác định ( x, y ) → x − y liên tục ta nói G nhóm tôpô Định nghĩa 1.1.2 Cho A vành đồng thời nhóm tơpơ phép cộng Khi A gọi vành tôpô ánh xạ A × A → A xác định ( x, y ) → xy liên tục Định nghĩa 1.1.3 Cho M A − môđun I iđêan A Dãy M = M ⊃ M ⊃ ⊃ M n ⊃ , M n môđun M , gọi lọc M kí hiệu ( M n ) Nếu IM n ⊂ M n +1 với n ( M n ) gọi I − lọc Nếu IM n = M n +1 với n đủ lớn ( M n ) gọi I − lọc ổn định I − lọc dừng n n Kí hiệu ( I M ) : M ⊃ IM ⊃ ⊃ I M ⊃ I − lọc ổn định n n Tôpô xác định lọc ( I ) : A ⊃ I ⊃ ⊃ I ⊃ gọi tôpô I − adic A Hausdorff ∩ I n = Vành A (đôi kí hiệu ( A, I )) gọi vành I − adic I − vành Định nghĩa 1.1.4 Vành A với họ ( An ) n ≥0 nhóm nhóm cộng ( A, + ) ∞ thỏa mãn A = ⊕ An Am An ⊂ Am+ n với m, n ≥0 gọi vành phân bậc n =o Do A0 vành A An A0 − môđun Nếu A vành phân bậc A+ = ⊕ An iđêan A n >0 ∞ Nếu M A − môđun ( M n ) I − lọc M , đặt G ( M ) = ⊕ M n / M n +1 n =0 G ( M ) G ( A) − môđun phân bậc Ta kí hiệu Gn ( M ) thay cho M n / M n +1 Định lí 1.1.5 Cho A vành Noether I iđêan A, E môđun hữu hạn sinh, ( En ) I − lọc ổn định E , F mơđun E Khi đó: (i) ( En ∩ F ) I − lọc ổn định F k (ii) Tồn số nguyên k thỏa ( I E ) ∩ F = I n−k ( ( I E ) ∩ F ) ) k Định nghĩa 1.1.6 Giao tất iđêan tối đại vành A Jacobson A Kí hiệu rad A Một vành A địa phương có iđêan tối đại Định lí 1.1.7 (Định lí Krull) Cho A vành Noether I iđêan A , E môđun hữu hạn sinh Đặt F = ∩ I n E Khi x ∈ F tồn m ∈ I thỏa (1 − m) x = Đặc biệt, ta có F = giả thiết sau thỏa: (i) I ⊂ rad A (ii) A vành địa phương (iii) A miền nguyên Mệnh đề 1.1.8 Cho A vành Noether, I iđêan A Khi điều kiện sau tương đương: (i) I ⊂ rad A; (ii) Mọi A − môđun hữu hạn sinh I − Hausdorff; (iii) Nếu E A − môđun hữu hạn sinh mơđun E đóng I − tôpô E ; Mọi iđêan tối đại A đóng I − tơpơ (iv) Định nghĩa 1.1.9 Một vành tôpô Noether gọi vành Zariski vành I − adic với I thỏa mãn điều kiện tương đương Mệnh đề 1.1.8 1.2 Đầy đủ nhóm lọc, vành môđun, ứng dụng tôpô I − adic Định nghĩa 1.2.1 Cho G nhóm lọc Dãy ( xn ) phần tử G hội tụ tồn x ∈ G thỏa lim d ( x, xn ) = Một dãy hội tụ ln dãy Cauchy Định nghĩa 1.2.2 Nhóm lọc G đầy đủ thỏa điều điện tương đương sau: (i) G Hausdorff dãy Cauchy phần tử G hội tụ; (ii) Mỗi dãy Cauchy phần tử G có giới hạn (trong G ) Nếu A vành I − adic đầy đủ A gọi I − đầy đủ A kí hiệu ( A, I )  hay đơn giản A Định nghĩa 1.2.4 Dãy ( An , f n ) nhóm aben An đồng cấu nhóm f n : An+1 → An gọi hệ ngược Khi B = lim An gọi giới hạn ngược với ← B= an , ∀n} {(an ) ∈ ∏ An | f n (an +1 ) = Định lí 1.2.5 Tồn đẳng cấu tắc vành phân bậc G ( A) ≅ G ( A) đẳng cấu tắc G ( A) − mơđun phân bậc Mệnh đề 1.2.6 Cho A vành I − adic M A − mơđun Khi đó: (i) (ii) (iii) (iv)  / ( IM )  M  , đồng thời M  A − môđun tôpô Tồn I − đầy đủ  A M   ≅ lim M / I n M A ≅ lim A / I n M ← ← A / I Vành phân bậc G ( A) G ( A) đẳng cấu Đặc biệt A / I ≅   ) đẳng cấu Đặc biệt M / IM ≅ Mô-đun phân bậc G ( M ) G ( M Mệnh đề 1.2.7 Cho A vành I − adic,  A đầy đủ f : A → A −1 đồng cấu tắc Khi ánh xạ I → f ( I ) song ánh tập iđêan tối đại  A lên tập iđêan tối đại A chứa I Mệnh đề 1.2.8 Cho A vành địa phương I iđêan tối đại A Khi I − đầy đủ A vành địa phương với iđêan tối đại I Định nghĩa 1.2.9 Cho A, B vành địa phương với iđêan tối đại M , N −1 tương ứng Khi đồng cấu f : A → B gọi địa phương f ( N ) = M Hệ 1.2.10 Cho f : A → B đồng cấu địa phương vành địa phương Khi  f cảm sinh đồng cấu địa phương f :  A→ B Mệnh đề 1.2.11 Cho A vành, I iđêan A , S = + I tập nhân B = S −1 A Khi ( B, IB )  = ( A, I )  Định nghĩa 1.2.12 Cho A vành Noether Khi vành B Mệnh đề 1.2.11 đươc gọi vành Zariski IB − tôpô hay gọi Zariskification A I 1.3 Vành chuỗi lũy thừa hình thức bị chặn Bổ đề Hensel Cho A[[X , , X n ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức với n biến A Mệnh đề 1.3.1 Vành A[[X , , X n ]] đầy đủ vành A[ X , , X n ] ( X , , X n ) − tơpơ Định lí 1.3.2 Nếu A vành Noether A[[X , , X n ]] Noether Mệnh đề 1.3.3 Nếu A vành Noether I = (a1 , , an ) iđêan hữu hạn sinh A cho A Hausdorff I − tơpơ I − đầy đủ A đẳng cấu với vành A[[X , , X n ]]/(X − a1 , , X n − a n ) Ta kí hiệu M i (i ∈ ) iđêan chuỗi bị chặn vành A{X , , X n } với hệ số mi , σ tơpơ tuyến tính A{X , , X n } tạo iđêan M i ( X , , X n ) m (i, m ∈ ) , σ ' tôpô cảm sinh σ vành đa thức A[ X , , X n ] Mệnh đề 1.3.4 Vành A{X , , X n } Hausdorff đầy đủ σ − tôpô Cụ thể A{X , , X n } đầy đủ vành A{X , , X n } σ '− tôpô Đặc biệt, σ I − tơpơ A{X , , X n } đầy đủ A{X , , X n } I ( X , , X n ) − tơpơ Định lí 1.3.5 (Định lí Hensel) Cho A vành Hausdorff đầy đủ tơpơ tuyến tính, I iđêan đóng mà phần tử lũy linh tơpơ, B = A / I vành thương tôpô, φ: A{ X } → B{X } ánh xạ tắc Giả sử f ∈ A{ X }, p ∈ B ( X ), q ∈ B{X } cho φ ( f ) = pq , p có hệ số số hạng có bậc cao 1, p q nguyên tố B[ X ] Khi đó, tồn f ∈ A{ X }, p ∈ B ( X ), q ∈ B{X } thỏa f = pq, p có hệ số số hạng có bậc cao 1, φ ( p ) = p , φ (q ) = q Hơn nữa, p q nguyên tố A{ X } ; nhóm cộng f đa thức q đa thức 1.4 Đầy đủ môđun hữu hạn sinh Bổ đề 1.4.1 Mọi I − đầy đủ giao hoán với tổng trực tiếp hữu hạn Đặc biệt ta n có  An ≅  A Định lí 1.4.2 Cho A vành, I iđêan A, M A − môđun hữu hạn sinh,   I − đầy đủ A M Khi ánh xạ tắc φ: A M  = AM   song ánh hay M A ⊗A M → M Hệ 1.4.3 Nếu I iđêan hữu hạn sinh vành A thì: (i) (ii) I = AI n ^ ( I= ) (= I ) n  AI n với n ≥ Đặc biệt tôpô  A I − tôpô đồng thời I − tơpơ Định lí 1.4.4 Nếu M môđun hữu hạn sinh vành Noether A , I iđêan  I − đầy đủ A M ánh xạ tắc A ,  A M   đẳng cấu A ⊗A M → M Định nghĩa 1.4.5 Một A môđun E gọi môđun phẳng dãy khớp M ' → M → M '' A − mơđun dãy tương ứng E ⊗ M ' → E ⊗ M → E ⊗ M '' khớp Nếu điều ngược lại ta nói E mơđun phẳng trung thành Định lí 1.4.6 Cho A vành I − adic Noether  A đầy đủ Khi đó: (i)  A A − môđun phẳng (ii)  A phẳng trung thành A vành Zariski Hệ 1.4.7 Cho A I vành Noether B = ( A, I ){X , , X n } vành chuỗi lũy thừa bị chặn Khi : 25 Chứng minh A / I (Mệnh đề 1.2.6) nên spec( A / I ) liên thông Do A / I ≅  A I − đầy đủ nên theo Bổ đề 2.6.6 tồn spec(  A / I ) liên thông Mặt khác  A Do theo Bổ đề 2.6.4 ta có kết cần tìm ∎ đơn vị e ∈  Mệnh đề 2.6.8 Cho A I − vành  A đầy đủ Khi điều kiện sau tương đương: (i)  A miền; (ii)  A miền có tính chất địa phương A / I khơng chứa đơn vị khác 0,1; (iii)  A miền có tính chất địa phương spec( A / I ) liên thông; (iv)  A miền có tính chất địa phương spec A liên thông Chứng minh Theo Bổ đề 2.6.6 Hệ 2.6.5 ta có (i) ⇔ (ii), từ Bổ đề 2.6.4 ta có (ii) ⇔ (iii) Cuối (iii) ⇔ (iv) Hệ 2.6.7 ∎ A đầy đủ Giả sử thêm A có Hệ 2.6.9 Cho A I − vành  phân tích bất khả quy với iđêan tối đại chứa I Khi điều kiện sau tương đương: (i)  A miền; (ii) A / I không chứa đơn vị khác khác 1; (iii) spec( A / I ) liên thông; (iv) spec  A liên thông Chứng minh Theo Mệnh đề 2.6.2 ta có  A miền có tính chất địa phương Khi theo điều kiện tương đương Mệnh đề 2.6.8 ta kết cần tìm ∎ Bổ đề 2.6.10 Giả sử A vành Zariski  A đầy đủ Khi  A miền A miền 26 Chứng minh Do A vành Zariski nên theo Định lí Krull A Hausdorff đồng cấu tắc φ: A → A đơn ánh nên ta có kết cần chứng minh ∎ Hệ 2.6.11 Giả sử A vành, I iđêan A  A đầy đủ A Khi điều kiện sau tương đương: (i)  A miền quy; (ii) AN quy với iđêan tối đại N chứa I spec( A / I ) liên thông Hơn , ( A / I ) vành Zariski điều kiện tương đương với: (iii) spec( A / I ) liên thơng A miền quy Chứng minh A quy A quy với iđêan tối Theo Định lí 2.4.3,  đại N chứa I Vì vành địa phương quy miền nên theo Mệnh đề 2.6.8  A miền quy, AN quy với iđêan tối đại N chứa I spec( A / I ) mệnh đề tương đương ta có (i) ⇔ (ii) Nếu ( A, I ) vành Zariski , từ Mệnh đề 2.6.7 spec( A / I ) liên thông spec  A liên thơng, kết hợp (i) ta có A miền quy Ngược lại, A miền quy AN quy với iđêan tối đại N chứa I ta có (ii) ⇒ (i) ∎ 2.7 Nhân tử hóa I − đầy đủ Định nghĩa 2.7.1 Cho A miền nguyên Ta nói A nhân tố (hoặc miền nhân tử hóa nhất) phần tử a ∈ A, a ≠ a khác đơn vị có phân tích thành nhân tử bất khả quy (khơng kể giao hốn nhân tử) Mệnh đề 2.7.2 Một miền nguyên A nhân tố A thõa điều kiện sau: (i) Mọi phần tử khác A tích nhân tử bất khả quy; (ii) Mọi phần tử bất khả quy A nguyên tố (nghĩa sinh iđêan nguyên tố) 27 Định lí 2.7.3 Cho A miền nguyên Noether Khi điều kiện sau tương đương : (i) A nhân tố; (ii) Mọi iđêan nguyên tố A có độ cao iđêan chính; (iii) Giao hai iđêan A iđêan Chứng minh Xem [19, Định lí 6] Mệnh đề 2.7.4 (i) Cho S tập nhân A Khi A nhân tố S −1 A (ii) Giả sử A vành Noether, S tập nhân A sinh phần tử nguyên tố giả sử thêm S −1 A nhân tố A nhân tố Chứng minh Xem [19, Định lí Định lí 5] Định nghĩa 2.7.5 Vành A gọi nhân tố có tính chất địa phương AI nhân tố với iđêan tối đại I A Định lí 2.7.6 Cho A miền nguyên Noether Khi điều kiện sau tương đương: (i) A nhân tố có tính chất địa phương; (ii) Mọi iđêan nguyên tố A có độ cao iđêan khả nghịch; (iii) Giao hai iđêan khác A iđêan khả nghịch Chứng minh Xem [9, Định lí 3.3] Định nghĩa 2.7.7 Nhóm lớp A − mơđun xạ ảnh có hạng gọi nhóm Picard kí hiệu PicA Mệnh đề 2.7.8 Cho A vành Noether Khi điều kiện sau tương đương: (i) PicA = ; (ii) Mọi iđêan khả nghịch A tự Giả sử thêm specA liên thơng Khi điều kiện tương đương với: (iii) Mọi iđêan xạ ảnh A tự Chứng minh Xem [9, Mệnh đề 1.7] 28 Mệnh đề 2.7.9 Nếu A miền nhân tử hóa Noether PicA = Chứng minh Xem [9, Hệ 2.5] Mệnh đề 2.7.10 Cho A miền nguyên Noether Khi A nhân tố có điều kiện đây: (i) PicA = ; (ii) A nhân tố có tính chất địa phương Chứng minh Nếu A nhân tố PicA = A nhân tố có tính chất địa phương theo Mệnh đề 2.7.4 2.7.9 Ngược lại, PicA = A nhân tố có tính chất địa phương iđêan nguyên tố A có độ cao tự (theo Mệnh đề 2.7.7 2.7.8 ) Suy iđêan nguyên tố A có độ cao iđêan Từ theo Mệnh đề 2.7.3 ta có A nhân tố ∎ Định lí 2.7.11 (i) Một vành địa phương quy nhân tố (ii) Cho ( A, I ) vành Zariski cho I − đầy đủ  A A miền nhân tố Khi A nhân tố Chứng minh Xem [19, Định lí Định lí 11] Định lí 2.7.12 Giả sử A vành, I iđêan A thỏa + I sinh phần tử nguyên tố ∩ I n = Khi đó, I − đầy đủ  A A miền nhân tố A nhân tố Chứng minh Đặt S = + I , S −1 A vành Zarisskificatin nên S −1 A nhân tố Định lí 2.7.11 (i) Từ A nhân tố theo Định lí 2.7.4 (ii) ∎ Cho f : A → B đồng cấu vành Khi f : PicA → PicB đồng cấu tắc Bổ đề 2.7.13 Cho A vành, I iđêan A thỏa I ⊂ rad A ,  A I − đầy đủ A Khi đó: (i) đồng cấu ϕ : PicA → Pic( A / I ) đơn cấu; 29 (ii) A đầy đủ φ tồn cấu; (iii) đồng cấu µ : PicA → Pic  A đơn cấu Chứng minh Xem [1, Định lí 1.4, 1.7 1.18] Định lí 2.7.14 Cho A vành, I iđêan A ,  A I − đầy đủ A Khi  A nhân tố nếu: (i)  A nhân tố có tính chất địa phương; (ii) Spec( A / I ) liên thông; (iii) Pic( A / I ) = Chứng minh A / I A) ≅ Pic A theo Bổ đề 2.7.13 (ii) Do  Ta có Pic( A / I ) ≅ Pic(  A nhân tố A nhân tố có tính chất địa phương Pic A = theo Định lí 2.7.10, mà nên  Pic( A / I ) ≅ Pic  A nên Pic( A / I ) = Điều lại suy từ Mệnh đề 2.6.8 ∎ Định lí 2.7.15 Cho A vành nhân tố quy Khi A[[X ]] vành nhân tố Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4.11 (i) ta có A quy nên A[[X ]] quy Do A[[X ]] nhân tố có tính chất địa phương Vì A nhân tố, SpecA liên thông PicA = nên theo Đinh lý 2.7.14 ta có A[[X ]] vành nhân tố ∎ 2.8 Các sợi kết cấu đồng cấu vành sợi kết cấu chuẩn tắc vành Định nghĩa 2.8.1 Giả sử φ: A → B đồng cấu vành f : specB → specA ánh xạ −1 liên tục cảm sinh φ ( f xác định f ( p ) = ϕ ( p) với p ∈ specB ) Nếu −1 −1 p ∈ specA tồn song ánh tắc f ( p ) X = specS ( B / pB ) với S= A − p Khi X gọi sợi f p Định nghĩa 2.8.2 Nếu A vành địa phương sợi đồng cấu tắc φ: A → A gọi sợi chuẩn tắc A Nếu A vành P iđêan nguyên tố A sợi chuẩn tắc A P sợi chuẩn tắc vành địa phương AP 30 Định nghĩa 2.8.3 Cho k trường Một k − đại số A gọi chuẩn tắc mặt hình học trường mở rộng k ' k k '− đại số A ⊗k k ' chuẩn tắc Định lí 2.8.4 Cho A vành Noether Khi điều kiện sau tương đương: (i) Các sợi chuẩn tắc A iđêan tối đại chuẩn tắc mặt hình học; (ii) Với B A − đại số hữu hạn sinh bất kỳ, sợi chuẩn tắc B iđêan chuẩn tắc mặt hình học Chứng minh Xem [12, Định lí 7.4.4] 2.9 Tính chất S n Rn I -đầy đủ Giả thiết vành mục Noether Định nghĩa 2.9.1 Vành A gọi có tính chất S n (n = 0,1, ) depthAp ≥ min{n,dim Ap } với p ∈ specA Điều tương đương với Ap CM dim Ap ≤ n depthAp < n Định nghĩa 2.9.2 Một vành CM có tính chất S n với n Vành A có tính chất S1 iđêan hỗn tạp Iđêan I vành A hỗn tạp A / I có tính chất S1 Định lí 2.9.3 Giả sử A , B vành địa phương, I iđêan tối đại A φ: A → B đồng cấu địa phương phẳng Khi đó, ta có: (i) dim = B dim A + dim B / IB (ii) depthB = depthA + depthB / IB Chứng minh Xem [7, Định lí 5.1 5.2] Định lí 2.9.4 Giả sử A, B vành địa phương, I iđêan tối đại A φ: A → B đồng cấu địa phương phẳng Khi đó, ta có B CM A B / IB CM Chứng minh Theo Định lí depthB = depthA + depthB / IB 2.9.3 ta có: dimB = dimA + dimB / IB 31 Mặt khác, theo điều kiện (iv) Định lí 2.5.3 ta có B CM depthB p = dim B p , kết hợp Định lí 2.9.3 ta có cần tìm ∎ Định lí 2.9.5 Cho φ: A → B đồng cấu vành phẳng Khi với n ta có: (i) Nếu φ phẳng trung thành B có tính chất S n A có tính chất (ii) Nếu A sợi φ có tính chất S n B có tính chất S n Sn Chứng minh Lấy p ∈ specA Để chứng minh (i) ta cần depthAp ≥ min{n,dim Ap } Do −1 φ phẳng trung thành nên tồn q ∈ specB thỏa ϕ (q ) = p Ta giả sử q nhỏ thỏa tính chất nên dim Bq / pBq = Do φ: Ap → Bq đồng cấu địa phương phẳng cảm sinh φ nên theo Định lí 2.9.3 ta có dim Ap = dim Bq depthAp = depthBq Mà B Sn nên depthBq ≥ min{n,dim B p } Do đó, depthAp ≥ min{n,dim Ap } hay A có tính chất Sn −1 Giả sử q iđêan nguyên tố B p = ϕ (q ) Khi Bq / pBq địa phương hóa sợi φ p Áp dụng Định lí 2.9.3 với đồng cấu địa phương phẳng Ap → Bq cảm sinh φ ta có dim Bq = dim Ap depthBq = depthAp Do B có tính chất S n ∎ Điều kiện (i) Định lí tính chất S n giảm phẳng trung thành Từ Định lí 2.2.5 2.2.7 ta có kết sau: Định lí 2.9.6 Giả sử A I − vành,  A đầy đủ n nguyên Giả sử thêm với iđêan N A chứa I , sợi chuẩn tắc An có tính chất S n Khi điều kiện sau tương đương: (i)  A có tính chất Sn ; (ii) An có tính chất Sn với N iđêan tối đại chứa I Hơn nữa, I ⊂ radA điều kiện tương ứng với: 32 (iii) A có tính chất S n Mệnh đề 2.9.7 Cho B vành địa phương CM, b iđêan B A = B / b Khi sợi chuẩn tắc A CM Chứng minh ⊗ A≅ B  / bB  Do sợi chuẩn tắc A đẳng Theo Định lí 1.4.4 ta có  A≅ B B cấu tắc với sợi chuẩn tắc B iđêan nguyên tố B chứa b Giả sử p  / pB  ) sợi chuẩn tắc B p ( S= B − p ) iđêan nguyên tố C ≅ S −1 ( B Ta chứng minh Cq vành địa phương CM với iđêan nguyên tố q C  thỏa q = q ' C thu hẹp q ' Từ cách xác định C ta suy tồn q ' ∈ specB  q ' Từ  phẳng B , ta có đồng cấu địa phương phẳng B → B B p Do B p  q ' B  q ' CM (theo Định lí 2.5.4) Do theo Hệ 2.9.4 ta có C C ≅ Bq ' / pB q vành địa phương CM Vậy sợi chuẩn tắc A CM ∎ Định nghĩa 2.9.8 Vành A gọi có tính chất Rn (n = 0,1, ) Ap vành địa phương quy dim Ap ≤ n Mệnh đề 2.9.9 Cho φ: A → B đồng cấu vành phẳng I iđêan tối đại A Khi đó: i) Nếu B quy A quy; ii) Nếu A B / IB quy B quy Chứng minh Vì φ đồng cấu vành nên φ phẳng trung thành (theo Mệnh đề 1.4.9) Mặt khác B quy nên A quy theo Mệnh đề 2.4.9 Theo Mệnh đề 2.9.3 ta có dim = B dim A + dim B / IB Do A B / IB quy Định lí mơ tả đặc điểm vành địa phương quy (Định lí 2.4.2) ta có B quy Định lí 2.9.10 đó: Cho φ: A → B đồng cấu vành phẳng n số ngun Khi 33 Nếu B có tính chất Rn φ phẳng trung thành A có tính chất (i) Rn ; Nếu A tất sợi φ có tính chất Rn B có tính chất Rn (ii) Chứng minh Do B có tính chất Rn nên B quy Mặt khác φ phẳng trung thành nên theo Mệnh đề 2.9.8 A quy Do A có tính chất Rn −1 Giả sử q iđêan nguyên tố B p = ϕ (q ) Khi Bq / pBq địa phương hóa sợi φ p Áp dụng Định lí 2.9.3 với đồng cấu địa phương phẳng Ap → Bq cảm sinh φ ta có dim Bq = dim Ap depthBq = depthAp Do B có tính chất Rn ∎ Từ Định lí Định lí 2.2.5; 2.2.7 ta có: Định lí 2.9.11 Giả sử A I − vành,  A đầy đủ n nguyên Giả sử thêm với iđêan N A chứa I , sợi chuẩn tắc AN có tính chất Rn Khi điều kiện sau tương đương: (i)  A có tính chất Rn ; (ii) AN có tính chất Rn với N iđêan tối đại chứa I Hơn nữa, I ⊂ rad A điều kiện tương ứng với: (iii) A có tính chất Rn 2.10 Tính chuẩn tắc I -đầy đủ Định nghĩa 2.10.1 Cho B vành A vành Một phần tử x ∈ B gọi nguyên A tồn a0 , , an−1 ∈ A cho a0 + + an−1 x n−1 + x n= (n > 0) Vành A gọi đóng hoàn toàn B phần tử B có tính ngun A phần tử A Miền A gọi đóng hồn tồn A đóng hồn tồn trường thương 34 Vành A gọi chuẩn tắc Ap miền đóng hồn tồn với p ∈ specA Một miền nguyên A chuẩn tắc A đóng hồn tồn Định lí 2.10.2 (Tiêu chuẩn Serre) Một vành Noether chuẩn tắc có tính chất R1 S2 Chứng minh Xem [12, Định lí 2.5.8] Hệ 2.10.3 Cho φ: A → B đồng cấu phẳng vành Noether Khi đó: Nếu B chuẩn tắc φ phẳng trung thành A chuẩn tắc (i) Nếu A sợi φ chuẩn tắc B chuẩn tắc (ii) Chứng minh (i) Do B chuẩn tắc nên theo tiêu chuẩn Serre B có tính chất R1 S2 Do φ phẳng trung thành theo Định lí 2.9.9 ta có A có tính chất R1 Mặt khác, φ phẳng trung thành B có tính chất S nên A S theo Định lí 2.9.4 Do A có tính chất R1 S Theo tiêu chuẩn Serre lần ta có A chuẩn tắc (ii) Do A sợi φ chuẩn tắc nên ta có A có tính chất R1 S ; sợi φ có tính chất R1 S Khi theo Định lí 2.9.9 Định lí 2.9.4 ta có B có tính chất R1 S2 Vậy B chuẩn tắc ∎ Định nghĩa 2.10.4 Một vành địa phương A chuẩn tắc theo phân tích đầy đủ  A chuẩn tắc Nếu A Noether A chuẩn tắc Định lí 2.10.5 Cho A I − vành Noether  A đầy đủ Khi đó: (i) Nếu AN chuẩn tắc theo phân tích với iđêan tối đại N I  A chuẩn tắc (ii) Nếu spec( A / I ) liên thông  A miền chuẩn tắc 35 Chứng minh AN chuẩn tắc Giả sử R (i) Do AN chuẩn tắc theo phân tích nên  iđêan  A N thu hẹp R A Khi theo Mệnh đề 2.2.3 đầy đủ AN AR chuẩn tắc Từ ta có  AR đẳng cấu nên   A chuẩn tắc Do spec( A / I ) liên thông nên theo Mệnh đề 2.6.9 ta có  A miền (ii) Do  A miền chuẩn tắc theo Định nghĩa 2.10.1 ∎ Định lí 2.10.6 Giả sử A I − vành Noether  A đầy đủ Giả sử thêm sợi A chuẩn tắc với iđêan tối đại N chứa I Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i)  A chuẩn tắc; (ii) AN chuẩn tắc với iđêan tối đại N chứa I Hơn nữa, I ⊂ rad A điều kiện tương đương với: (iii) A chuẩn tắc Chứng minh (i) ⇔ (ii) Do  A chuẩn tắc nên theo tiêu chuẩn Serre  A có tính chất R1 S2 Khi theo Định lí 2.9.5 2.9.10 ta có AN có tính chất R1 S2 Do AN chuẩn tắc với iđêan tối đại N chứa I (ii) ⇔ (iii)  A chuẩn tắc nên  A có tính chất R1 S2 Khi A có tính chất R1 S nên A chuẩn tắc ∎ Bổ đề 2.10.7 Cho A vành Khi vành đa thức A[ X , , X n ] chuẩn tắc A chuẩn tắc Chứng minh Xem [5, Mệnh đề 3] Mệnh đề 2.10.8 Cho A I − vành Noether vành chuỗi lũy thừa bị chặn B = ( A, I ){X , , X n } Khi đó, ta có: (i) Nếu B chuẩn tắc A chuẩn tắc (ii) Nếu A chuẩn tắc sợi chuẩn tắc iđêan tối đại 36 chuẩn tắc mặt hình học B chuẩn tắc Chứng minh Theo Hệ 1.4.7 ta có B phẳng trung thành A Mà B chuẩn tắc nên A chuẩn tắc theo Hệ 2.10.3 Ngược lại, A chuẩn tắc A[ X , , X n ] chuẩn tắc theo Bổ đề 2.10.7 Hơn nữa, sợi chuẩn tắc A chuẩn tắc mặt hình học nên sợi A[ X , , X n ] theo Định lí 2.8.2 Vì B I ( X , , X n ) − đầy đủ A[ X , , X n ] theo Mệnh đề 1.3.4 nên B chuẩn tắc theo Định lí 2.10.6 ∎ 37 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi cố gắng trình bày cách hệ thống số tính chất vành giao hốn, số tính chất tơpơ I − adic liên quan vành giao hoán A đầy đủ  A Kết đạt luận văn sau: • Hệ thống hóa kiến thức sở làm tảng nghiên cứu đề tài: Định lí Krull, Bổ đề Artin-Rees, vành Zariski, đầy đủ môđun hữu hạn sinh, Bổ đề Hensel số tính chất chuỗi lũy thừa hình thức • Hệ thống lại tính chất I − đầy đủ: tính Noether, tính nguyên, tính chuẩn tắc, tính chất Rn S n , tính chất Cohen Macaulay Gorenstein • Trình bày vài tiêu chuẩn liên quan đến tăng (từ A đến  A ) giảm (từ  A đến A ) tính chất vành giao hốn • Trình bày sợi đồng cấu vành, sợi chuẩn tắc vành tính chất • Trình bày số vấn đề liên quan đến chiều I − đầy đủ, nhân tử hóa I − đầy đủ 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Arezzo D Greco S (1967), Sul gruppo delle classi di ideali, Ann Scuola Norm Sup Pisa, CL di Sc XXI, Face IV, 459-483 Atiyah M F., MacDonald I G (1969), Introduction to commutative Algebra, Reading, Addison Wesley Bass H (1963), On the ubiquity of Gorenstein rings, Math Z 82, 8-28 Bourbaki N (1961), Algebre Commutative, Ch I,II Paris: Hermann Bourbaki N (1964), Algebre Commutative, Ch V.VI Pari: Hermann Buchsbaum D (1961), Some remarks on factorization in power series rings, J Math Mech 10, 749-753 Dieudonne J (1967), Topics in local Algebra, Notes by Mario Borelli, Notre Dame Math Lect N 10 Notre Dame, Indian: University of Notre Dame Press Greco S ,Salmon P (1965), Anelli di Macaulay, Pubblicazioni dell’Istituto Matematico dell’Universita di Genova Greco S ,Salmon P (1966), Sugli ideali frazionari invertibili, Ren Sem Mat Univ Padova 36, 315- 333 10 Greco S, Salmon P (1969), Anelli di Gorenstein, Seminario Ist Mat Univ Genova 11 Grothendieck A, Dieudonné J (1964), léments de Géométrie Algébrique, IV (Première partie), Publ Math n o 20 12 Grothendieck A, Dieudonné J (1965), léments de Géométrie Algébrique, IV (Seconde partie), I.H.E.S Publ Math n o 24 13 Kaplanski I (1970), Commutative Rings, Boston; Allen and Bacon 14 Margaglio C (1967), Alcune proprietà delle R-coppie in un domino di integrità, Rend Sem Mat Univ Padova XXXIX, 389-399 15 Millevoi T (1968), Sulle estensioni di un anello di Gorenstein, Rend Sem Mat Univ Padova XLI, 319-325 16 Nagata M (1962), Local Rings, New York: Interscience 39 17 Salmon P (1964), Sur les series formelles restreintes, Bull Soc Math France 92, 385-410 18 Samuel P (1901), On unique factorization domains, Illinois J Math 5, 1-17 19 Samuel P (1963), Anneaux factoriels, Resdaction de A Micali, Soc De Mat De Sao Paulo 20 Samuel P (1964), Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of fundamental research, Bombay 21 Scheja G (1967), Einige Beispiele faktorieller lokaler Ringe, Math Ann 172, 124-134 22 Serre J.P (1965), Algefbre locale Multiplicitées, Lecture notes in math N 11 Berlin-Heidelberg-New York: Springer 23 Zariski O, Samuel P (1960), Commutative Algebra, Vol II Princeton: Van Nostrand ... / I Khi ? ?i? ??u kiện sau tương đương: (i) G I (A) ≅ k [ t1 ,t , , t d ] ; (ii) dim k ( I (iii) I sinh d phần tử I2 )= d; Chứng minh (i) ⇒ (ii) hiển nhiên (ii) ⇒ (iii) theo Định lí 1.4.9 (iii)... MỞ ĐẦU Tôpô I − adic kh? ?i niệm quan trọng đ? ?i số giao hốn cơng cụ hữu ích cho hình học đ? ?i số Việc nghiên cứu số vấn đề đ? ?i số giao hốn hình học đ? ?i số cần sử dụng đến tôpô I − adic tính chất chúng... có (ii) ⇒ (iii) (iii) ⇒ (i) Do X , , X n tạo thành B − dãy A ≅ B / ( X , , X n ) nên B Gorenstein A Từ ta có (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) Áp dụng (i) ⇔ (iii) trường hợp I = A , ta có (i) ⇔ (iv) ∎ 2.6 Tính