BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Huyền NHĨM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Huyền NHĨM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn tơi gặp khơng khó khăn hạn chế thời gian kiến thức Tuy nhiên ln nhận đươc quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, động viên kịp thời từ phía gia đình, thầy cô bạn bè Bởi mà xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến: Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Mỵ Vinh Quang người thầy đáng kính trực tiếp giúp đỡ tơi hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến Thầy tổ Đại số như: TS Trần Huyên, TS Trần Tuấn Nam, PGS TS Bùi Tường Trí, PGS TS Bùi Xuân Hải, Thầy trực tiếp giảng dạy cung cấp cho giảng hay, kiến thức bổ ích Đại số để tơi có tảng sở hồn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến 16 thành viên lớp Đại số & lý thuyết số K21, người anh, người chị người bạn tốt nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình thân u tơi: ông bà ba mẹ …đã bên tôi, tạo điều kiện tốt để tơi có điều kiện học tập công tác, chỗ dựa vững tiếp thêm sức mạnh nguồn động lực lớn để tơi hồn thành luận văn Tp HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2012 Tác giả Tạ Thị Huyền MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T 30T MỤC LỤC T 30T MỘT SỐ KÝ HIỆU T 30T MỞ ĐẦU T 30T Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T 30T 30T 30T 30T 30T 1.3 T 30T 30T 30T 1.5 30T 30T 30T 1.7 30T 1.8 30T 30T 30T 1.11 T 30T 1.12 T T Nhóm Fitting .22 30T 1.10 T 30T Nhóm pronormal 21 30T 1.9 T T Nhóm luỹ linh .20 30T T 30T Nhóm siêu giải 15 1.6 T T Nhóm Frattini .14 30T T T Nhóm đặc trưng 12 1.4 T 30T Nhóm chuẩn tắc .12 30T T T Định lý Sylow .10 1.2 T T Một số định lý đẳng cấu .8 1.1 T 30T 30T 30T Nhóm Fitting suy rộng 23 30T T H –nhóm 27 30T 30T Lớp bão hoà F 27 30T 30T Chương 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN 29 T 30T 30T T 2.1 Định nghĩa số nhận xét nhóm chuẩn tắc yếu nhóm 29 T T 2.2 Một số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn .30 T T 2.3 Các định lý quan trọng nhóm chuẩn tắc yếu 33 T T KẾT LUẬN 42 T 30T TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 T 30T MỘT SỐ KÝ HIỆU • H ≤G : H nhóm G • H ≤ N G ( H ) Do ∃x ∈< H , H g > cho H x = H g    (1) Mặt khác có x ∈ N G ( H ) ⇒ H x = H (2) Từ (1) (2) suy H g = H ⇒ g ∈ N G ( H ) ■ 2.2 Một số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn 2.2.1 Tính chất Cho G nhóm hữu hạn, N, H, K nhóm G (1) Nếu H ≤ K ≤ G H nhóm chuẩn tắc yếu G H chuẩn tắc yếu K (2) Nếu N  G N  H H chuẩn tắc yếu G H/N chuẩn tắc yếu G/N (3) Với H nhóm chuẩn tắc yếu G Nếu H ≤ K ≤ N G ( H ) N G ( K ) ≤ N G ( H ) (4) Nếu H  K ≤ G H chuẩn tắc yếu G H  K Chứng minh (1) Giả sử H k ≤ N K ( H ) cần chứng minh k ∈ N K ( H ) Thật vậy: Lấy k ∈ K H k ≤ N K ( H ) N K ( H ) ≤ N G ( H ) ⇒ H k ≤ N G ( H ) Do H nhóm chuẩn tắc yếu G nên suy k ∈ K k ∈ NG ( H ) ⇒ k ∈ K ∩ NG ( H ) ⇒  k ∈ NG ( H ) ⇒ k ∈ NK (H ) 31 (2) (⇒) Giả sử H nhóm chuẩn tắc yếu G Giả sử ( H / N ) gN ≤ N G / N ( H / N ) với g ∈ G, gN ∈ G / N ta cần chứng minh gN ∈ N G / N ( H / N ) Thật vậy: Ta có N G / N ( H / N ) = N G ( H ) / N gN ∈ N G / N ( H / N ) ( g ∈ G ) ⇔ ( H / N ) gN= H / N ⇔ gN ( H / N= ) ( H / N ) gN ⇔ gH = Hg ⇔ g ∈ N G ( H ) ⇔ gN ∈ N G ( H ) / N Từ điều giả sử ( H / N ) gN ≤ N G / N ( H / N ) ⇒ H g / N ≤ N G ( H ) / N Do H g ≤ N G ( H ) , H nhóm chuẩn tắc yếu G nên g ∈ N G ( H ) ⇒ gN ∈ N G ( H ) / N = N G / N ( H / N ) Do H / N chuẩn tắc yếu G/N (⇐) Giả sử H / N chuẩn tắc yếu G / N H g ≤ N G ( H ) với g ∈ G Suy H g / N ≤ N G ( H ) / N ⇒ ( H / N ) gN ≤ N G / N ( H / N ) Vì H / N chuẩn tắc yếu G / N nên gN ∈ N G / N (= H / N ) N G ( H ) / N ⇒ g ∈ N G ( H ) Do H chuẩn tắc yếu G (3) Lấy g ∈ N G ( K ) tức ta có Kg=K P P Theo giả thiết H ≤ K ≤ N G ( H ) , suy H g ≤ K g =K ≤ N G ( H ) ⇒ H g ≤ N G ( H ) Do H chuẩn tắc yếu G nên g ∈ N G ( H ) ⇒ N G ( K ) ≤ N G ( H ) (4) Do H nhóm chuẩn tắc K nên tồn dãy nhóm chuẩn tắc = H H= K  H1  H  H   H n Nếu n=1 hiển nhiên ta có điều phải chứng minh H  K Do ta giả sử n > 1, ta có H  H n −1  K = H n 32 Do H n −1  H n nên với x ∈ H n ta có xH n −1 = H n −1 x , hay x ∈ N G ( H n −1 ) ⇒ H n ≤ N G ( H n −1 ) Mặt khác H n −1  H n , nên theo (3) ta có N G ( H n −1 ) ≤ N G ( H ) Từ suy K = H n ≤ N G ( H n −1 ) ≤ N G ( H ) ⇒ K ≤ N G ( H ) có nghĩa với ∀g ∈ K ta có ■ g ∈ N G ( H ) ⇒ H g =H ⇒ Hg =gH ⇒ H  K 2.2.2 Tính chất Nếu N  G , P p-nhóm chuẩn tắc yếu G ( N , p) = PN chuẩn tắc yếu G PN/N chuẩn tắc yếu G/N Chứng minh • Chứng minh PN chuẩn tắc yếu G Theo giả thiết P chuẩn tắc yếu G N  G nên theo 2.1.(2) PN chuẩn tắc yếu GN = G • Chứng minh PN / N chuẩn tắc yếu G / N Giả sử ( PN / N ) gN ≤ N G / N ( PN / N ) ( g ∈ G, gN ∈ G / N ) Hay ( PN ) g ≤ N G ( PN ) ( g ∈ G ) cần chứng minh g ∈ N G ( PN ) Thật vậy: Vì N  G ( N , P ) = nên P p-nhóm Sylow PN Vì N G ( P) ≤ N G ( PN ) nên N G ( PN ) = N G ( P) N Nếu ( PN ) g ≤ N G ( PN ) ( g ∈ G ) P g ≤ N G ( P) N Do ∃m ∈ N G ( P), n ∈ N cho −1 m.n P g ≤ ( N G ( P)) = ( N G ( P)) n (do m ∈ N G ( P)) , suy P gn ≤ N G ( P) Vì P chuẩn tắc yếu G nên gn −1 ∈ N G ( P) ⇒ g ∈ N G ( P).N hay g ∈ N G ( PN ) ■ 33 2.2.3 Tính chất Giả sử G nhóm P p-nhóm chuẩn tắc G chứa Z ∞ (G ) Khi CG ( P) ≥ O p (G ) đó: CG ( P)= { g ∈ G / gh= hg ∀h ∈ P} O p (G ) = < x ∈ G / ( x , p) = > = ∩ {H  G / G / H p-nhóm } Xem [17, Bổ đề 2.8] 2.3 Các định lý quan trọng nhóm chuẩn tắc yếu 2.3.1 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H siêu giải Giả sử nhóm cyclic H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Khi G siêu giải Chứng minh Giả sử kết sai tức G khơng phải nhóm siêu giải được, ta xem xét phản ví dụ với cặp (G, H) trường hợp G + H bé Khi có (1) Mỗi nhóm thực G siêu giải Giả sử K nhóm thực G, theo định lý 1.1.1 (1) ta có K / ( K ∩ H )  KH / H KH / H ≤ G / H Do G/H nhóm siêu giải được, mà nhóm nhóm siêu giải nhóm siêu giải (theo định lý 1.6.2) nên K / ( K ∩ H ) nhóm siêu giải Theo giả thiết nhóm cyclic H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G, mà K ∩ H ≤ H (theo định lý 1.1.1 (1)) suy nhóm cyclic K ∩ H có cấp cấp nguyên tố chuẩn tắc yếu G Do K ∩ H  K < G nên theo tính chất 2.3.1 (1) ta có nhóm cyclic K ∩ H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu K Do ( K , K ∩ H ) thoả mãn điều kiện định lý Suy K nhóm siêu giải K khơng siêu giải tồn nhóm thực 34 nhóm khơng siêu giải G (tức có cấp nhỏ G) mà thoả mãn điều kiện định lý, điều mâu thuẫn với tính tối tiểu việc chọn G Do G nhóm khơng siêu giải nhóm thực G lại nhóm siêu giải Theo định lý 1.6.9, tồn p-nhóm Sylow chuẩn tắc P G cho G=P.M, M nhóm siêu giải tối đại G, P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) Hơn nữa, số mũ P p p > 2, số mũ P lớn p = (Nhắc lại: Cho G nhóm, số mũ G số nguyên dương bé n cho gn = với g ∈ G ) P P (2) H=P Do PM / P  M / ( M ∩ P) ⇒ G / P  M / ( M ∩ P) Mặt khác, M nhóm siêu giải được, M ∩ P  M , nhóm thương nhóm siêu giải nhóm siêu giải nên theo định lý 1.6.3 M / ( M ∩ P) siêu giải được, suy G/P siêu giải Mà G/H siêu giải theo giả thiết, nên theo định lý 1.6.8 suy G / ( P ∩ H ) siêu giải Giả sử P ∩ H < H Khi G siêu giải G không siêu giải mâu thuẫn với tính tối tiểu chọn cặp (G, H) điều mâu thuẫn Suy điều giả sử sai tức có P ∩ H = H Vì H  G P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) Do ta có H Φ ( P) = Φ ( P) hay H Φ ( P) = P Nếu H Φ ( P) = Φ ( P) ⇒ H ≤ Φ ( P) , kết hợp P ≤ G theo định lý 1.5.4 suy Φ ( P) ≤ Φ (G ) Do ta có H ≤ Φ ( P) ≤ Φ (G ) , G / Φ (G ) siêu giải nên theo mệnh đề 1.6.5 ta có G siêu giải được, điều mâu thuẫn Do ta có H Φ ( P) = H ta P , kết hợp với chứng minh P ∩ H = H=P 35 (3) Mâu thuẫn cuối Theo giả thiết nhóm cyclic H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Do H = P nên nhóm cyclic U P có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Vì U  P P  G tức ta có U  P  G nên theo tính chất 2.3.1 (4) ta có U  G Lập luận hoàn toàn tương tự giống nhóm chuẩn tắc H G ta có U = P U ≤ Φ ( P) Nếu U = P P cyclic (do U cyclic) Vì G/P siêu giải nên ta có G siêu giải được, điều mâu thuẫn Do ta giả sử U ≤ Φ ( P) với nhóm cyclic U P có cấp ngun tố cấp Vì số mũ P p nên ta có P ≤ Φ ( P) , điều vô lý Vậy điều giả sử sai, chứng tỏ G nhóm siêu giải ■ 2.3.2 Định lý Cho F formation bão hoà chứa lớp tất nhóm siêu giải U Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G/H ∈ F nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Khi G ∈ F Chứng minh Giả sử U nhóm cyclic F *( H ) có cấp nguyên tố cấp Khi theo giả thiết U chuẩn tắc yếu G Do U ≤ F * ( H ) ≤ G nên theo tính chất 2.2.1.(1) suy U chuẩn tắc yếu F * ( H ) Theo định lý 2.3.1 ( F * ( H )  F * ( H ) , nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu F * ( H ) ) suy F * ( H ) siêu giải Theo định lý 1.10.9(2) ta có F * ( H ) = F ( H ) 36 Vì F(H) luỹ linh nên với nhóm cyclic U F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp ta có U   F ( H )  H  G Theo tính chất 2.2.1 (4) suy U G Theo [14, Định lý 1] ta có G ∈ F ■ 2.3.2.1 Hệ Nếu H  G giải được, G/H siêu giải nhóm cyclic F(H) có cấp nguyên tố cấp H-nhóm G G nhóm siêu giải Chứng minh Gọi F lớp formation bão hồ chứa lớp tất nhóm siêu giải U Theo giả thiết ta có H  G , G/H siêu giải suy G / H ∈ F Mọi nhóm cyclic có cấp nguyên tố cấp F ( H ) ≤ F * ( H ) H-nhóm G, suy nhóm cyclic cấp nguyên tố cấp F * ( H ) chuẩn tắc yếu G (vì H-nhóm G chuẩn tắc yếu G) Theo định lý 2.3.2 ta có G ∈ F Vậy G siêu giải ■ 2.3.2.2 Hệ Cho F formation bão hồ chứa lớp tất nhóm siêu giải U Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G cho G/H ∈ F Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp pronormal G Khi G ∈ F Chứng minh Do nhóm pronormal G chuẩn tắc yếu G nên áp dụng định lý 2.3.2 ta có G ∈ F ■ 2.3.3 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm tối tiểu H bị chứa Z ∞ (G ) nhóm cyclic H có cấp chuẩn tắc yếu G Khi G luỹ linh 37 Chứng minh Giả sử kết sai, tức G khơng luỹ linh, ta đưa phản ví dụ trường hợp G bé Lấy K < G, theo định lý 1.1.1.(1) ta có K / ( K ∩ H )  KH / H ≤ G / H , G / H luỹ linh nên K / ( K ∩ H ) luỹ linh nhóm nhóm luỹ linh luỹ linh Theo giả thiết nhóm tối tiểu H bị chứa Z ∞ (G ) nên suy nhóm tối tiểu K ∩ H bị chứa K ∩ Z ∞ (G ) ≤ Z ∞ ( K ) Mỗi nhóm cyclic cấp H chuẩn tắc yếu G, mà K ∩ H ≤ H nên suy nhóm cyclic cấp K ∩ H chuẩn tắc yếu G Áp dụng tính chất 2.2.1.(1) với K ∩ H ≤ K < G ta có nhóm cyclic cấp K ∩ H chuẩn tắc yếu K Do ( K , K ∩ H ) thoả mãn điều kiện định lý, suy K luỹ linh K khơng luỹ linh tồn nhóm thực K G mà K < G điều mâu thuẫn với tính tối tiểu việc chọn G Do vậy, giả sử G khơng luỹ linh nhóm thực G luỹ linh Theo định lý 1.7.5 ta có G=P.Q P p – nhóm Sylow chuẩn tắc, Q q – nhóm Sylow cyclic khơng chuẩn tắc với q ≠ p , p, q số nguyên tố Và P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) Hơn nữa, exp (P) = p p > 2, exp(P) lớn p = Theo định lý 1.1.1 (2) tồn đơn cấu G / ( P ∩ H ) → G / P × G / H nên G / ( P ∩ H ) ≤ G / P × G / H Mà G/H luỹ linh G / P  Q luỹ linh suy G / ( P ∩ H ) luỹ linh Nếu P ≤ H P ∩ H < P Q( P ∩ H ) < QP = G nghĩa Q( P ∩ H ) nhóm thực G nên Q( P ∩ H ) luỹ linh (theo lập luận trên) 38 Vì Q nhóm Sylow chuẩn tắc Q( P ∩ H ) Q đặc trưng Q( P ∩ H ) nên Q( P ∩ H ) =Q × ( P ∩ H ) Mặt khác, G / ( P ∩ H ) luỹ linh Q( P ∩ H ) / ( P ∩ H )  G / ( P ∩ H ) nên Q  G suy G= P × Q (mâu thuẫn) Vì giả sử P ≤ H Nếu exp(P) = p P = P ∩ H ≤ Z ∞ (G ) Theo tính chất 2.2.3 ta có G= P × Q , điều mâu thuẫn Do có p=2 exp(P) = Giả sử tồn x ∈ P \ Φ ( P) với x = Đặt= M x G ≤P ta có M ≤ P M Φ ( P) / Φ ( P)  G / Φ ( P) Vì P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) nên P =M Φ ( P) =M ≤ Z ∞ (G ) điều mâu thuẫn R R Do phần tử P / Φ ( P) có cấp 4, nên với x ∈ P \ Φ ( P) x chuẩn tắc yếu G theo giả thiết Vì x  P  G nên x  G theo tính chất 2.2.1.(4) Nếu ∃x ∈ P \ Φ ( P) cho x Q = G G luỹ linh (mâu thuẫn) Do giả sử x Q < G (∀x ∈ P \ Φ ( P)) , suy x Q P×Q luỹ linh x ≤ N G (Q) ⇒ P ≤ N G (Q) ⇒ G = luỹ linh, điều mâu thuẫn Vậy điều giả sử ban đầu sai, suy G luỹ linh ■ 2.3.4 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp chuẩn tắc yếu G Khi G luỹ linh nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Chứng minh Chúng ta cần chứng minh điều kiện đủ Tức giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp chuẩn tắc yếu G 39 nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Khi G luỹ linh Thật Giả sử kết sai tức G không luỹ linh, ta đưa phản ví dụ trường hợp cấp G bé Khi có: (1) Mọi nhóm chuẩn tắc thực G luỹ linh F ( G ) nhóm chuẩn tắc tối đại G Giả sử M nhóm chuẩn tắc tối đại G Khi theo theo định lý 1.1.1.(1) ta có M / ( M ∩ H )  MH / H ≤ G / H , G / H luỹ linh nên M / ( M ∩ H ) luỹ linh nhóm nhóm luỹ linh luỹ linh Vì M ∩ H  H nên theo định lý 1.10.9.(1) ta có F * ( M ∩ H ) ≤ F * ( H ) có Z ∞ (G ) ∩ M ≤ Z ∞ ( M ) Suy ( M , M ∩ H ) thoả mãn điều kiện định lý nên suy M luỹ linh M khơng luỹ linh tồn nhóm khơng luỹ linh có cấp bé cấp G thoả mãn điều kiện định lý, điều mâu thuẫn với tính tối tiểu việc chọn G Do G hữu hạn nên F(G) luỹ linh nhóm tối đại, chuẩn tắc luỹ linh G, mà M nhóm chuẩn tắc tối đại luỹ linh G nên M = F ( G ) * (2) H = G = G’ F = (G ) F (G ) < G Nếu H < G tức H nhóm thực G theo (1) H luỹ linh, * F = ( H ) F= ( H ) H Theo định lý 2.3.3 G luỹ linh, mâu thuẫn với điều giả sử Do ta giả sử H = G Theo (1), F (G ) < G nhóm chuẩn tắc tối đại G nên G / F (G ) nhóm đơn Nếu G / F (G ) cyclic cấp nguyên tố G luỹ linh theo định lý 2.3.3 Do G / F (G ) nhóm đơn khơng Aben, nên G ' ≤ F (G ) suy G’=G Nếu * * ( H ) F= (G ) G Theo định lý 2.3.3 ta có G luỹ linh, F (G ) < F * (G ) F= điều mâu thuẫn Do F * (G ) = F (G ) 40 (3) Nếu q số nguyên tố nhỏ chia hết F (G ) Q q-nhóm Sylow F(G) G / CG (Q) q-nhóm Vì F (G ) = F * (G ) khơng phải nhóm đơn vị, với q số nguyên tố nhỏ chia hết F (G ) , nên q-nhóm Sylow Q F (G ) nhóm chuẩn tắc không tầm thường G Theo giả thiết Ω1 (Q) ≤ Z ∞ (G ) nên CG (Ω1 (Q)) ≥ O q (G ) theo tính chất 2.2.3 Nếu q>2 CG (Q) ≥ O q (G ) Do G / CG (Q) q-nhóm Nếu q=2 với nhóm cyclic x Q có cấp 4, x chuẩn tắc G chuẩn tắc yếu G theo giả thiết Do theo tính chất 2.2.1.(4) x  G Lấy p ước nguyên tố khác G P p-nhóm Sylow G Theo [9, IV, định lý 2.8], x P luỹ linh, P ⊂ CG < x > , suy O (G ) ⊂ CG < x > O (G ) ⊂ CG (Ω (G )) Do CG (Q) ≥ O (G ) G / CG (Q) 2-nhóm (4) Mâu thuẫn cuối Vì G ' = G G / CG (Q) q-nhóm nên CG (Q) = G , suy Q ≤ Z (G ) Theo định lý 1.10.9 (4) ta có F * (G / Q) = F * (G ) / Q Xét nhóm G = G / Q , q ước nguyên tố nhỏ F * (G ) Q q-nhóm Sylow F * (G ) nên phần tử y có cấp nguyên tố r F * (G ) coi ảnh phần tử y có cấp nguyên tố r F * (G ) với r > q Suy y nằm Z ∞ (G ) theo giả thiết Mặt khác Z ∞ (G / Q) = Z ∞ (G ) / Q nên y nằm Z ∞ (G / Q) Rõ ràng, F * (G / Q) nhóm cyclic cấp Do G = G / Q thoả mãn giả thiết định lý (theo tính chất 2.2.2) Do tính tối tiểu việc chọn G nên G/Q luỹ linh, G luỹ linh, mâu thuẫn cuối Mâu thuẫn cuối cho ta điều phải chứng minh ■ 41 2.3.4.1 Hệ Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp H-nhóm G Khi G luỹ linh nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Chứng minh Vì H-nhóm G chuẩn tắc yếu G nên theo định lý 2.3.4 ta có điều phải chứng minh ■ 2.3.4.2 Hệ Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp pronormal G Khi G luỹ linh nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Chứng minh Vì nhóm pronormal G chuẩn tắc yếu G nên theo định lý 2.3.4 ta có điều phải chứng minh ■ 42 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề lý thuyết nhóm, sau tìm hiểu chứng minh số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn, tiếp tục chứng minh định lý quan trọng đặc trưng tính siêu giải tính luỹ linh nhóm hữu hạn G với giả sử nhóm có cấp nguyên tố G chuẩn tắc yếu G Như vậy, ta biết việc sử dụng định nghĩa để chứng minh nhóm hữu hạn G nhóm siêu giải hay nhóm luỹ linh ta chứng minh theo cách khác thơng qua nhóm chuẩn tắc yếu (bằng phương pháp chứng minh phản chứng đưa mâu thuẫn để có điều phải chứng minh) Ngồi nhìn đặc trưng tính siêu giải tính luỹ linh qua nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn tìm hiểu qua nhóm khác như: π -tựa chuẩn tắc G ( π -quasinormal in G), s* -nửa hoán vị G ( s* -semipermutable in G) Để có kết cụ thể nhóm này, tiếp tục tìm hiểu thời gian tới 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xn Hải (2011), Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học quốc gia Tp HCM Bùi Xuân Hải (2002), Đại số đại, Nxb Đại học quốc gia Tp HCM Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Mỵ Vinh Quang (1999), Bài tập đại số đại cương, Nxb Giáo dục Hoàng Xuân Sính (1994), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Bùi Huy Hiển (2000), Bài tập đại số đại cương, Nxb Giáo dục Tiếng Anh Derek J S Robinson, A Course in the Theory of Groups, Spinger A Ballester-Bolinches and R Esteban-Romero, On finite T-groups, J Aut Math Soc, 75 (2003), 181-191 B Huppert, Endliche Gruppen, Vol I, Springer, New York, Berlin, 1967 10 B Huppert and N Blackburn, Finite Groups, Vol III, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1982 11 D Gorenstein, Finite Groups, Chelsea (New York, 1968) 12 K Doerk, Minimal nicht uberauflosbare endliche Gruppen, Math Z., 91 (1966), 198-205 13 K H Muller, Schwachnormale Untergruppen: Eine gemeinsame Verallgemeinerung der normalen und normalisatorgleichen, Rend Semm Mat Univ Padova, 36 (1966), 129-157 14 M Asaad, A Ballester-Bolinches and M C Pedraza, A note on minimal subgroups of finite groups, Comm Algebra, 24(8) (1996), 2771-2776 44 15 M Bianchi, A Gillio Berta Mauri, M Herzog and L Verardi, On finite sovlable groups in which normality is a transitive relation, J Group theory, (2000), 147-156 16 Piroska Cs o rg o and Marcel Herzog, On Supersolvable Groups and the Nilpotator, Comm Algebra, (2004), 609-620 17 Yangming Li and Yanming Wang, On π -quasinormally embedded subgroups of fi-nite group, J Algebra, 281 (2004), 109-123 ... nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn 2.2.1 Tính chất Cho G nhóm hữu hạn, N, H, K nhóm G (1) Nếu H ≤ K ≤ G H nhóm chuẩn tắc yếu G H chuẩn tắc yếu K (2) Nếu N  G N  H H chuẩn tắc yếu G H/N chuẩn tắc. .. p -nhóm chuẩn tắc yếu G ( N , p) = PN chuẩn tắc yếu G PN/N chuẩn tắc yếu G/N Chứng minh • Chứng minh PN chuẩn tắc yếu G Theo giả thiết P chuẩn tắc yếu G N  G nên theo 2.1.(2) PN chuẩn tắc yếu. .. T 2.1 Định nghĩa số nhận xét nhóm chuẩn tắc yếu nhóm 29 T T 2.2 Một số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn .30 T T 2.3 Các định lý quan trọng nhóm chuẩn tắc yếu 33 T T KẾT LUẬN