� 1R  [1, 0, 0] Lúc iđêan tối đại R {[0, b, c] | b, c  q } nhóm nhân R  {[a, b, c] | a  0} Dễ dàng nhận thấy với a, b, c  q [a, b, c]n  [a n , na n1b, na n1c] Điều có nghĩa [a, b, c]q  [a,0,0] [a, b, c] chứa  a,0,0 0, b, c  Suy với a  [a, b, c]  {[v, wb, wc] | v, w  p [a]} có bậc q Vì [a, b, c] vành thực R , nên theo bổ đề 2.2.2 R phủ 29 Bây cố định phần tử sinh  a, b, c  q q p Từ lập luận trên, với [a, b, c]  [ , b, c] Vì vành [ , b, c] tạo thành phủ R Từ ta xác định số vành tối đại R dạng [ , b, c] Giả sử hai phần tử b, c khác không S  [ , b, c] Thành phần thứ hai thứ ba [ , b, c] có dạng vectơ (b, c ) q q Ở  d , e, f  thuộc S , vectơ (e, f ) thuộc không gian tuyến tính q sinh (b, c ) Từ điều cho thấy S vành tối đại R Thật vậy, (d , e, f )  R \ S vectơ (e, f ) khơng thuộc vào khơng gian tuyến tính sinh (b, c ) Do vành R sinh S  d , e, f  chứa [ , 0, 0],[0,  , 0] [0, 0,  ] , kéo theo phải chứa tất phần tử R Các lập luận cho thấy rõ [ , b, c] tối đại hai phần tử b c khác không số vành tối đại với số khơng gian tuyến tính q Vì có q  vành tối đại chúng [ , 0,1] [ ,1, u ], u  q Do vành tối đại phủ R nên  ( R)  q  Tuy nhiên vành tối đại sinh phần tử đơn R nên vành tối đại phải nằm phủ R Vậy  ( R)  q  30 Kết luận Từ khái niệm phủ vành hữu hạn R họ vành chuyển thành phủ vành tối đại R , kết vành tối đại: bổ đề 2.1.3, 2.1.5 định lí 2.1.9 Trong luận văn này, tơi cố gắng trình bày điều kiện vành hữu hạn phủ (Bổ đề 2.2.2, định lí 2.2.5, hệ 2.2.6, định lí 2.3.1, 2.3.3), việc tìm số phủ vành hữu hạn thỏa mãn điều kiện (Định lí 2.4.3, 2.4.4) Đặc biệt, hệ 2.3.4 cho điều kiện để vành nửa đơn hữu hạn phủ Ở phần cuối luận văn, tơi có nêu ví dụ phủ vành giao hốn địa phương (ví dụ 2.5.1) Tơi hi vọng tiếp tục nghiên cứu phủ loại vành 31 Tài liệu tham khảo [1] A Azarang, O A S Karamzadeh, On maximal subrings of commutative rings, Algebra Collq 19 special issue no (2012) 1125-1138 [2] J Lewin, Subrings of finite index in finitely generated rings, J Algebra (1967) 84-88 [3] R Lild, H Niederreiter, Finite fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 2008 [4] B R McDonald, Finite Rings with Identity, Pure and Applied Mathematics, Vol 28, Marcel Dekker, New York, 1974 [5] B H Neumann, Groups covered by permutable subsets, J Lond Math Soc 29 (1954) 236-248 [6] M J Tomkinson, Groups as the union of proper subgroups, Math Scand 81 (1997) 191-198 [7] N J Werner, Covering Numbers of Finite Rings, The American Mathematical Monthly, 122:6, 552-566, 2015 ... đại sinh phần tử đơn R nên vành tối đại phải nằm phủ R Vậy  ( R)  q  30 Kết luận Từ khái niệm phủ vành hữu hạn R họ vành chuyển thành phủ vành tối đại R , kết vành tối đại: bổ đề 2.1.3,... kiện vành hữu hạn phủ (Bổ đề 2.2.2, định lí 2.2.5, hệ 2.2.6, định lí 2.3.1, 2.3.3), việc tìm số phủ vành hữu hạn thỏa mãn điều kiện (Định lí 2.4.3, 2.4.4) Đặc biệt, hệ 2.3.4 cho điều kiện để vành. .. cho điều kiện để vành nửa đơn hữu hạn phủ Ở phần cuối luận văn, tơi có nêu ví dụ phủ vành giao hốn địa phương (ví dụ 2.5.1) Tơi hi vọng tiếp tục nghiên cứu phủ loại vành 31 Tài liệu tham khảo