BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Ngọc Yến HỆ CHÍNH QUI PHỔ DỤNG VÀ HỆ CHÍNH QUI ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Ngọc Yến HỆ CHÍNH QUI PHỔ DỤNG VÀ HỆ CHÍNH QUI ĐẦY ĐỦ Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2106 Lời cám ơn Trước hết, hồn thành luận văn thạc sĩ này, tơi xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Hà Thanh, Thầy nhiệt tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức, hướng dẫn tận tình, góp ý, để tơi chỉnh sửa hồn chỉnh viết cách tốt Với tất kính trọng biết ơn, xin gửi lời cám ơn đến Thầy Kế đến, xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình tơi, đặc biệt mẹ dì tơi ln bên tơi động viên, chia sẻ, cảm thơng để tơi học tập thật tốt suốt trình ngày hôm Một lần gửi lời cám ơn tha thiết đến đấng sinh thành Tiếp theo, xin gửi lời cám ơn đến bạn bè lớp cao học Hình học tơpơ khóa 25, học tập, trao đổi, học nhóm, tiến hồn thành tốt khóa học thạc sĩ Tơi xin gửi lời cám ơn bạn Quyền, bạn Thanh, bạn Phương Anh, bạn Vi, bạn Yến sát cánh bên tôi, ủng hộ Cuối cùng, xin cám ơn bạn Yến giới thiệu tài liệu tham khảo lý thuyết tập hợp để tơi hồn thành luận Một lần nữa, Tôi xin gửi lời cám ơn đến tất người Học viên thực Phan Ngọc Yến Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Tốn học với đề tài “Hệ phổ dụng qui hệ qui đầy đủ” cá nhân thực với hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh, không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Học viên thực Phan Ngọc Yến Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nội dung phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học luận văn Cấu trúc luận văn Kí hiệu luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số thứ tự, số, tập số 1.2 Cận trên, cận dưới, cận đúng, cận 1.3 Dàn dàn đầy đủ 1.4 Hệ, đồng cấu hệ 1.5 Quan hệ thứ tự nhỏ quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ Hệ qui hệ qui đầy đủ 1.6 Cơ sở, Hệ phổ dụng, Cơ sở qui 10 1.7 Lực lượng tập hợp 12 1.8 Quan hệ tương đương lớp L 13 1.9 Không gian T0 14 1.10 Khơng gian hồn chỉnh 15 CHƯƠNG PHẦN TỬ PHỔ DỤNG TRONG HỆ CHÍNH QUI VÀ HỆ CHÍNH QUI ĐẦY ĐỦ 20 2.1 Bổ đề 20 2.2 Phần tử phổ dụng lớp hệ 23 2.3 Phần tử phổ dụng lớp hệ qui 34 2.4 Phần tử phổ dụng lớp hệ qui đầy đủ 40 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Danh mục kí hiệu L : tập hợp dàn  A : cận tập hợp A  A : cận tập hợp A  : số vô hạn F : hợp tất tập hợp hữu hạn  : quan hệ thứ tự nhỏ : quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ L: quan hệ thứ tự nhỏ xét dàn L L: quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ xét dàn L L : lớp khác rỗng dàn đầy đủ (hệ) : quan hệ tương đương x  : phần tử giả phần bù phần tử x B T : sở tập hợp T C s  : tập tất lớp tương đương quan hệ tương đương s, s  F RegFrm   : lớp tất hệ qui có số (lực lượng) nhỏ hay  CRegFrm   : lớp tất hệ qui đầy đủ có số (lực lượng) nhỏ hay  LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết phạm trù, hai đối tượng cần nghiên cứu “vật” “mũi tên” Qua đó, ta phân loại lớp không gian Đây toán quan tâm nhiều nhà toán học Chẳng hạn, tập hợp Cantor không gian phổ dụng lớp không gian mêtric chia n -chiều Không gian Nobeling phổ dụng lớp không gian mêtric chia n -chiều Không gian Hilbert không gian phổ dụng tất không gian metric chia Từ khơng gian nói trên, có nhiều kết quan trọng đẳng cự Chẳng hạn, hai không gian đẳng cự không gian mêtric phổ dụng Urysohn không gian tất hàm liên tục đoạn  0,1 với hội tụ đều, hai không gian chứa không gian metric chia Với lớp hệ, toán phổ dụng tìm đồng cấu từ hệ lớp hệ đến lớp hệ (nếu tồn tại) Trong lý thuyết tơpơ, tốn phổ dụng xem tốn khởi đầu tơpơ đại cương Trong lý thuyết hệ, toán phổ dụng toán khởi đầu Sự tồn phần tử phổ dụng lớp tất hệ chứa có lực lượng nhỏ hay số cho trước chứng minh [4] tài liệu tham khảo Gần đây, toán tiếp tục nghiên cứu Inderasan Naidoo, Janvan Mill, Stavros Illiadis, Themba Dube, Năm 2005, S.D.Iliadis nghiên cứu không gian phổ dụng ánh xạ tương ứng Năm 2015, S.D.Iliadis nối tiếp nghiên cứu chủ đề nói thông qua báo [5] Nội dung luận văn trình bày vấn đề nói làm sáng tỏ số vấn đề tìm phần tử phổ dụng hệ qui hệ qui đầy đủ Các kết nghiên cứu chủ yếu dựa vào báo [5] tài liệu tham khảo Qua đây, xin gửi lời cám ơn chân thành sâu sắc đến Stavros Iliadis, tác giả báo Nội dung phương pháp nghiên cứu Luận văn trình bày hai vấn đề tìm phần tử phổ dụng lớp hệ qui phần tử phổ dụng lớp hệ qui đầy đủ Phương pháp nghiên cứu luận văn dùng lý thuyết dàn, lý thuyết tập hợp, tổng hợp hoàn thiện từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu Ý nghĩa khoa học luận văn Luận văn trình bày vấn đề lý thuyết dàn xét không gian tôpô T0 Việc nghiên cứu phần tử phổ dụng cho tôpô cho ta thấy rõ kết nối hình học đại số Nội dung luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết tập hợp lý thuyết dàn tìm phần tử phổ dụng hệ hay hệ qui qui đầy đủ Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày sau: Mở đầu gồm có lý chọn đề tài, nội dung phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa luận văn, cấu trúc luận Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận văn Chương 2: Trình bày phần tử phổ dụng hệ qui qui đầy đủ Kết luận: Tóm tắt kết đạt Tài liệu tham khảo Kí hiệu luận văn Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thơng dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục kí hiệu) Để trích dẫn kết quả, chúng tơi dùng ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn,nếu ghi 1.1 có nghĩa xem mục 1.1 chương 1; ghi 2.1 có nghĩa xem mục 2.1 chương 31 1) Ta cần chứng minh M  N  K (1) Thật Lấy L L , với  j , i   J  I , ta có: A j  N , Ai  K (2) M  j ,i   N M  j ,i   K Nên M j ,i   M  :  j, i   J  I  K  sup  M   :  j , i   J  I   sup N :  j, i   J  I  N Điều có nghĩa sup M L j ,i j ,i L (3) L Tương tự ta có sup M L  sup K L (4) Từ (3) (4) ta suy M  N M  K Giả sử có phần tử P  T , ta có: P  N P  K , N , K phần tử sinh lớn nhất, P  N , P  K Lấy A phần tử P Khi A  N A  K nên ta đặt A  A j  Ai Từ định nghĩa trên, ta có M  j ,i    A  Vì A  M , P  M , suy PM Vậy ta chứng minh xong (1) 2) Ta cần chứng minh sup M L  sup N L  sup K L (5) L Đầu tiên ta chứng minh aLj  N L ai  K L aLj  aLi  M L (6) L Lấy aLj  N L ai  K L , tồn A  N A  K Đặt t   j ,i  với j i s  si  s j A  t   M  j ,i   M Do aLt   aLj  aLi , ta có aLj  aLi  M L Ta chứng minh (5)   Lấy a  M L , tồn  j  s j  F i  si  F cho a  M  j.i  , L M  j ,i   A j Ai Vì ta có a  A t   M  j i  , t   j ,i  , s  si  s j Điều có nghĩa a  aLj  aLi (7) 32 Từ (6) (7) ta chứng minh M L có dạng   M L  aLj  aLi : aLj  N L , aLi  K L Nên   sup M L  sup aLj  aLi : aLj  N L , aLi  K L Do L hệ, ta có:     sup M L  sup aLj : aLj  N L  sup aLi : aLi  K L  sup N L  sup K L Ta chứng minh (5) Từ (1) (5) ta chứng minh hL bảo toàn cận hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.3 Dàn đầy đủ  T ,   hệ Chứng minh Ta cần chứng minh dàn đầy đủ thỏa luật phân phối vô hạn nghĩa       N  sup K :     sup N  K :    (1),  với N , K  T Không tính tổng quát, ta giả sử N K  ,    hai phần tử sinh lớn tương  ứng N K Ta có:     N  A j : j  J ,  j  s j  F K   Ai  : i     I    ,i    si    F Khi đó, tập 33 K  K :      = Ai  : i     I    ,i    si    F ,          phần tử sinh phần tử sup K :    T nên K  sup K :   Từ quan hệ (2) bổ đề 2.2.2, với   tập hợp M   A A j i   : j  J ,  j  s j  F , i     I    ,i     si    F   phần tử sinh phần tử N  K  T Vì vậy, tập hợp M  M  :     = A j Ai  : j  J ,  j  s j  F , i     I    ,i    si    F ,       phần tử sinh phần tử sup N  K :    T Vì    M  sup N  K :    Quan hệ (1) đưa dạng N  K  M   Giả sử K   K , K   A : j  J ,  j  s j  F phần tử sinh lớn phần j tử K  T ( chứa K )   Tập hợp P  A A  : j  J ,  j  s j  F , j  J ,  j  s j  F phần tử sinh N  K T j j nên P  N  K  N  K 34 Vì K  K  ta có M  P nên M  N  K  N  K  Do để chứng minh bổ đề ta cần chứng minh N  K  M , tương đương với việc chứng minh sup PL  sup M L Với L L , với mục đích chứng minh này, ta cần chứng minh L L a  PL a  sup M L Lấy a  PL , tồn A  N A  K  cho a  L A t  , s  s j j j s j t   j ,  j  , a  aLt   aLj  aLj Nếu aL  aL  cho   i     I    a  M L Vì j i    = sup a   : j  J   sup a  sup aLj  aLj : j  J , j   J   sup aLj : j  J  sup aLj : j   J  L j L i     :   , i     I    Vậy ta chứng minh xong bổ đề Áp dụng bổ đề 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, định lí 2.2.1 chứng minh Chính hệ qui xây dựng quan hệ thứ tự nhỏ Cho nên việc tồn phần tử phổ dụng hệ qui phụ thuộc vào quan hệ thứ tự nhỏ định lí 2.3.1 sau làm rõ điều 2.3 Phần tử phổ dụng lớp hệ qui Định lí 2.3.1 35 Trong lớp RegFrm   tất hệ qui có lực lượng nhỏ hay  tồn phần tử phổ dụng Chứng minh L lớp hệ qui cho phần tử L  RegFrm   đẳng cấu với phần tử L Khơng tính tổng qt, ta giả sử phần tử L đôi khác Ta kí hiệu U hợp tất phần tử L Với LL ta kí hiệu B L sở qui L có lực lượng nhỏ hay  đóng phép lấy cận hữu hạn toán tử  B L  Sự tồn sở theo bổ  đề Ta xây dựng tập số đặc biệt cho sở này: B L  aL :    (1) Đầu tiên, với LL ta xây dựng tập số a L k ,    B L :  :  k ,     (2) Để thực điều này, ta cố định hai tập rời  1 cho      \    (3) Hơn với k ta xét bốn ánh xạ sau: k i) Đơn ánh  k 1 : k   k  1  \ k  1      ii) Đơn ánh  F  k 1  : F    k  1    k  1  \ k  1      , F    k  1    tập hợp tất phần tử F   k  1    có giao khác rỗng với tập k      k  1   cho kk1 k    F  k 1   F    k  1      (4) 36 (có thể xảy  kk1 k    F  k 1  F    k  1     \     )  iii) Ánh xạ k1 : k  1   k  tạo ảnh k     Với cấu trúc tập số (2) thỏa với k  để xây dựng tập số   BkL  aLk ,  :  k ,  k  (5) Ta xây dựng tập số phép quy nạp k L Với k  B0 ta xét tập số aL0,  :  0,  0   B L cho aL0,0  0L L aL0,1  1L Giả sử tồn tập số Bm , m  k  1  , ta xác định tập số BkL1 tập số thỏa điều kiện sau:  1) Nếu  k  1,    kk1 k     aLk 1,   aLk ,    BL  k ,    kk1   k  1,  (6) 1 2) Nếu  k  1,   F  k 1   F    k  1      aLk 1,    aLm ,  :  m,     F   k 1    3) Với  k ,   , tập aLk 1,  :  k  1,   k  1  k  1,  (7)    k ,   gồm tất phần tử a  B 1 L cho aLk ,   a  0L Do ta có  a    L k , B L   sup aLk 1,  :  k  1,   k1   4) Với  k ,   , tập aLk 1,  :  k  1,   k   k ,   1 1   k ,   (8) gồm tất phần tử a  B L cho aB L  aLk ,   1L B L sở qui L nên ta có:     k ,   (9) aLk ,   sup aLk 1,  :  k  1,   k 1 Do tập số (2) (5) xây dựng Điều kiện 3) 4) khẳng định tập số định nghĩa tốt 37 Ta kí hiệu  ánh xạ từ    vào nó, mà tập k    trùng với kk1 Ta kí hiệu  F    ta kí hiệu cho ánh xạ từ tập tất tập hữu hạn    vào    mà tập F    k  1    , trùng với ánh xạ  F  k 1  Ánh xạ   F    định nghĩa tốt Cuối cùng, với cách xây dựng tập số (1), ta xét đơn ánh  :    đặt aL  aL  ,   Ta kí hiệu F ánh xạ từ tập F vào F     sinh ánh xạ  đặt    1 F   F Ánh xạ  độc lập với LL thỏa điều kiện: với tập hữu hạn  , ,  p        ta có:  aL , , aL   aL  , , aL   aLt  p p Cho nên, ta dùng phương pháp phần 2.2 cho cấu trúc hệ  T Với    ta đặt A  aL : L L B   A :    Với tập M   A :        BT LL ta đặt M L  aL :      L U M  sup M L : L  L U Ta kí hiệu T tập tất tập U dạng M Tập M gọi phần tử sinh M  T Rõ ràng BT  T Trên tập M ta xác định thứ tự riêng sau: Với hai phần tử M N với phần tử sinh tương ứng M   A :   1 N   A :     ta đặt M  N sup M L  sup N L với LL 38 Tương tự định lí 2.2.1 ta thứ tự riêng T định nghĩa tốt (nghĩa thứ tự riêng không phụ thuộc vào phần tử sinh) Tập thứ tự riêng T hệ chứa L B T sở T Do đó, để chứng minh định lí, ta cần sở B T T qui lực lượng cuả  Tương tự bổ đề 2.1.1 ta có lực lượng B T  Ta cần chứng minh với   , A  sup  A  BT : A BT A  (10) Đầu tiên, cần chứng minh với   ,  A B  aL : L  L  BT (11) ,  T     1        Thật vậy, lấy   đặt M   A :       tập tất phần tử A B T cho A  A  0T Khi đó, M L  aL :     từ định nghĩa toán tử  BT  T , ta có  A  B  M  sup M L : L L *  T Cho nên, từ định nghĩa ánh xạ  ,  aL B  aL , ta cần chứng minh  aL B  sup M L    L L với LL Cố định phần tử LL xét N L tập tất phần tử a  B L cho   aL  a  0L Vì B L sở qui nên aL  BL  sup N L Do đó, cần chứng minh NL  M L Vì với    điều kiện A  A  0T kéo theo a  a  L ta có aL  N L nghĩa M L  NL Ta chứng minh bao hàm thức lại Lấy a  N L      k ,  Với điều kiện 3), tồn phần tử  k  1,    k   k ,  1 cho aLk 1,   a Đặt    1  k  1,   nên aL  aLk 1,   a Khi aL  aL  L Điều kiện 39 3) dẫn đến aL  aL  L với L L Điều nghĩa A  A  0T Do a  aL  M L , nghĩa N L  M L Vì  aL   BL  sup N L  sup M L chứng minh cho quan hệ (11) Bây ta chứng minh quan hệ (10) Lấy   G   A :         A  BT : A BT A  , nghĩa G tập tất A  BT  cho ABT  A  1T Ta cần chứng minh A  sup G  sup GL : L L tương đương aL  sup GL với LL Cố định phần tử LL xét tập K L tập tất phần tử a  B L cho aB  aL  1L Vì B L sở qui nên ta có aL  sup K L Do đó, L cần chứng minh GL  K L Lấy a  GL , điều có nghĩa tồn    cho aL  a Từ định nghĩa tập G ,  A B  A  1T quan hệ (11), aL  aL  1L   T     1        Sử dụng định nghĩa ánh xạ a  L   BL  , a  L   BL  aL nên L  aL  1L Điều nghĩa a  a  K L chứng minh cho GL  K L Ngược lại, lấy a  K L      k ,  Từ điều kiện 4), tồn phần tử  k  1,    k   k ,  1 cho aLk 1,   a Đặt    1  k  1,   nên aL  aLk 1,   a Khi  aL B  aL  1L Sử dụng điều kiện 4),  aL B  aL  1L với L L quan hệ   L L  L (11) aL  aL  1L nghĩa  A B  A  1T Do đó, a  GL nghĩa K L  GL Vì  T K L  GL aL  sup K L  sup GL chứng minh quan hệ (10) Vậy ta hoàn thành chứng minh Lưu ý 2.3.1 Cho A  aL : L L A  aL : L L hai phần tử BT Khi đó: 40 A BT A  aL BT aL (12) với LL Thật vậy, ta có: A A   A  BT  A  1T aL aL   aL  L  aL  1L với   BT BT B LL , đẳng thức  aL  BL  aL quan hệ (11)  Chính hệ qui đầy đủ xây dựng quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ Việc tồn phần tử phổ dụng hệ qui đầy đủ phụ thuộc vào quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ định lí 2.4.1 sau làm rõ điều 2.4 Phần tử phổ dụng lớp hệ qui đầy đủ Định lí 2.4.1 Trong lớp CRegFrm   tất hệ qui đầy đủ có lực lượng nhỏ hay  tồn phần tử phổ dụng Chứng minh Đặt L tập hợp hệ qui đầy đủ cho phần tử CRegFrm   đẳng cấu với phần tử L Khơng tính tổng qt ta giả sử phần tử L đôi khác Kí hiệu U hợp phần tử L Với LL ta cố định sở qui đầy đủ B L đóng thơng qua phép lấy cận hữu hạn toán tử B L Sử dụng bổ đề 2.1.2 ta có tồn sở Như định lí 2.3.1 ta xây dựng tập số đặc biệt cở sở sau: B L  a0L , a1L , , aL ,  (1) Sử dụng phương pháp tương tự định lí 2.3.1, ta xây dựng hệ qui đầy đủ T có lực lưởng nhỏ hay  Hệ qui đầy đủ T hệ chứa L nên phần tử phổ dụng CRegFrm   41 Với LL ta bắt đầu xây dựng tập số   B L : a L k ,   :  k ,     (2) Với mục đích này, ta cố định tập đôi mội khác  ,1  cho:   1     \  1   Tập hợp  biểu diễn hợp tập đôi rời rạc đếm được:     , r  : r  2     0,1 ,   ,  2   2   1      , r1      , r2  r1  r2  Hơn nữa, với k  ta xét ánh xạ  kk1 , F  k 1  ,k ,k k xác định  sau: Ánh xạ  kk1 , F  k 1  ,k ,k xác định định lí 2.3.1 Ánh xạ k ánh xạ từ tập k  1   vào tập k    thỏa điều kiện sau: Với   tồn   cho k  2    k ,   k    Và với  k ,   k   ta có:   : k  2    k ,    Với cấu trúc tập số (2) với k  ta cần xây dựng tập số  BkL  aLk ,  :  k ,  k   (3) Tập số xây dựng theo phép quy nạp theo k Với k  , B0L , ta xét tập số aL0,  :  0,  0   B L cho aL0,0  0L aL0,1  1L Giả sử ta xây dựng tập số BmL , m  k  1  , ta xây dựng tập số a L k 1,   :  k  1,  k  1  B L thỏa điều kiện sau: 42 i) Tập số có cơng thức với tập số mà ta định lí 2.3.1, nghĩa tập số thỏa điều kiện từ 1) đến 4) Hơn nữa, tập số thỏa điều kiện ii) sau  ii) Với  k ,  , tập aLk 1,  ,0 :  2  k a BT   k ,   gồm tất phần tử a  B 1  L cho  aLk ,  phần tử aLk 1,  ,0 tập aLk 1,  ,r  : r   0,1 B L -đoạn aLk 1,  ,0 aLk ,  Với cấu trúc tập số (1) ta xét đơn ánh  :    đặt aL  aL  ,   Trong định lí 2.3.1, ta đặt A  aL : L  L ,   , BT   A :    , với tập M   A :        BT , LL ta đặt M L  aL :      L U M  sup M L : L  L U Hơn nữa, ta kí hiệu T tập hợp tất tập hợp U dạng M T ta xác định thứ tự riêng  sau: Với hai phần tử M N T với M   A :   1 N   A :     M  N sup M L  sup N L với LL Như định lí 2.2.1 thứ tự riêng “ ” định nghĩa tốt, T hệ chứa L B T sở T có số bé hay  Do đó, để chứng minh T phổ dụng CRegFrm ta cần phải chứng minh B T sở qui đầy đủ Ta phải chứng minh rằng: với   , A  sup  A  BT : A Lấy   G   A :         A  BT : A BT BT A  (4) A  Ta cần chứng minh A  sup G  sup GL : L L tương đương với việc chứng minh: aL  sup GL với 43 LL Cố định phần tử LL xét tập K L gồm tất phần tử a B L cho a aL Sử dụng tính qui đầy đủ sở B L ta có aL  sup K L BT L Lấy a  GL Điều có nghĩa tồn    cho a  a Sử dụng định nghĩa tập G , A BT  A sử dụng lưu ý 2.3.1, aL B L L aL với LL nên a BL aL L nghĩa a  K L chứng minh GL  K L Ngược lại , lấy a  K L      k ,  Khi đó, a BT aL , aL  aLk ,  sử dụng điều kiện ii) định lí 2.4.1 tồn phần tử  2  k   k ,  , a 1 L k 1,   ,0    a tập a L k 1,  , r   :r   0,1   cho B L  đoạn aLk 1,  ,0  a aL  aLk ,   aLk 1,  ,1 Vì ánh xạ k ánh xạ độc lập với LL , ta có   tập aLk1,  ,r  : r   0,1 B L  đoạn aLk1,  ,r  aL  aLk,   aLk1,  ,1 với    0,1 (5), L L Xét tập A k 1,  ,r  : r    A k 1,  ,r   aLk1,  ,r  : L  L  BT Vì với L L , aLk1,  ,r  A k 1,  ,r1  BT  B L aLk1,  ,r2  với r1  r2 , áp dụng lưu ý 2.3.1 ta có A k 1,  ,r2  với r1  r2 Điều có nghĩa tập (5) BT  đoạn  A k 1,  ,0  aLk1,  ,0 : L L   A k 1,  ,1  aLk1,  ,1 : L  L  A Do ta suy aLk 1,  ,0   a  GL Điều chứng minh K L  GL Vậy ta có điều phải chứng minh 44 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn tìm hiểu “Hệ phổ dụng hệ qui hệ qui đầy đủ”, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị; khái niệm kết của việc xây dựng phẩn tử phổ dụng hệ Đặc biệt xây dựng phần tử phổ dụng hệ qui hệ qui đầy đủ Cụ thể chương sau: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị Lí thuyết dàn, phép tốn dàn, Hệ qui, hệ qui đầy đủ, Quan hệ thứ nhỏ dưới, quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ, Cơ sở hệ qui, sở hệ qui đầy đủ, Lí thuyết tập hợp, lực lượng tập hợp, Không gian hồn chỉnh Chương Trình bày Bổ đề tính chất sở hệ qui hệ qui đầy đủ; ta chọn sở cho hệ thông qua ánh xạ số, tìm phần tử phổ dụng lớp hệ thông qua ánh xạ số Từ đó, ta chọn sở đặc biệt cho hệ qui hệ qui đầy đủ thông qua ánh xạ số chứng minh tồn tại, phẩn tử phổ dụng lớp hệ qui hệ qui đầy đủ Từ kết đạt luận văn, ta thấy rằng, phần tử phổ dụng tơpơ phần tử phổ dụng hệ, hệ qui, hệ qui đầy đủ đóng vai trị quan trọng tơpơ đại cương lí thuyết dàn, nội dung nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Inderasan Naidoo, Janvan Mill, Stavros Illiadis, Themba Dube, Trong trình thực hiện, Trong chương 2, Bổ đề 2.2.1, chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh mà [5], tác giả không chứng minh cho phần lại Bổ đề Hơn nữa, Định lí 2.2.1, chúng tơi trình bày chi tiết theo cách khác [1] mà [5], tác giả nêu lên hướng dẫn 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Inderasan Naidoo,Jan van Mill, Stavros Illiadis, Themba Dube (2013) ,“Universal frames” , Topology and its Applications (160), 2454 – 2464 J Picado, A Pultr (2012) , Frames and Locales, Frontier in Mathematics, Birkhauser/Springer, Basel AG, Basel P.T Johnstone (1982), Stone Spaces, Cambridge Studies in Advanced Math., vol 3, Camb, Uni Press S.D.Iliadis (2005), Universal Spaces and Mappings, North-Holland Mathematics Studies, vol 198, Elsevier Science B.V., Amsterdam Stavros Iliadis (2015), “Universal regular and complete regular frames”, Topology and its Application, (179) 99-110 ... quan hệ (11)  Chính hệ qui đầy đủ xây dựng quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ Việc tồn phần tử phổ dụng hệ qui đầy đủ phụ thuộc vào quan hệ thứ tự nhỏ đầy đủ định lí 2.4.1 sau làm rõ điều 2.4 Phần tử phổ. .. hiểu ? ?Hệ phổ dụng hệ qui hệ qui đầy đủ? ??, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị; khái niệm kết của việc xây dựng phẩn tử phổ dụng hệ Đặc biệt xây dựng phần tử phổ dụng hệ qui hệ qui đầy đủ Cụ...  sup t  L : t y Vậy L hệ qui đầy đủ Hai bổ đề tiêu chuẩn để xét xem hệ hệ qui hệ qui đầy đủ Do tìm xây dựng phần tử phổ dụng ta cần xét sở hệ qui hay hệ qui đầy đủ, ta thấy rõ điều định lí